Lista Gravitação avançada

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Lista Extra - Gravitação 
 
 
Prof. Fulgêncio 
 
1 
1. Um veículo espacial está em uma órbita circular em torno da 
Terra. A massa do veículo é m e o raio da órbita é 2R. Ele deseja 
se transferir para uma órbita de raio 4R. A massa da Terra é M. 
4R
A B
2R
 
a) Qual a diferença de energia entre a órbita mais externa e a 
órbita mais interna? 
b) Uma maneira eficiente de realizar a transferência de órbita é 
através da utilização de uma órbita elíptica do ponto A da órbita 
interna até o ponto B da órbita externa (essa órbita é conhecida 
como Órbita de Transferência de Hohmann). Isso é feito 
disparando um propulsor por um pequeno intervalo de tempo 
durante cada mudança de órbita, aumentando assim a velocidade 
tangencial do satélite. Quais são as mudanças de velocidade 
necessárias nos pontos de interseção, A e B? 
 
2. Um planeta descreve uma trajetória elíptica ao redor do Sol, na 
qual os semieixos são “a” e “b” (a > b). Determine o raio de 
curvatura da trajetória do planeta quando este se encontra a uma 
distância “a” do Sol. 
 A. ( ) 
2b
a
 B. ( ) 
2a
b
 
 C. ( ) 
2 2a b
b

 D. ( ) 
2 2a b
a

 
 E. ( ) 
2ab
a b
 
 
3. O sistema da figura a seguir possui dois corpos de massa m. Um 
deles está fixo e o outro é lançado horizontalmente de um local 
muito afastado, seguindo a trajetória indicada na figura. 
Determine a menor separação entre os corpos ao longo da 
trajetória. Considere que G é a constante de gravitação universal, 
v a velocidade inicial de uma das massas e b a distância vertical 
inicial entre as massas. Considere também que 2mG bv . 
m
b
m
v
 
 
4. A distância entre duas estrelas é igual a 10a. As massas das 
estrelas são iguais a M e 16M e seus raios iguais a a e 2a, 
respectivamente. Um corpo de massa m é atirado da superfície 
da estrela maior em direção à estrela menor ao longo da reta que 
une os seus centros. Qual é a velocidade mínima necessária que 
deve ser dada ao corpo para que ele atinja a superfície da estrela 
menor? 
 
A. ( ) mín
3 5 GM
v
2 a
 B. ( ) mín
3 5 GM
v
4 a
 
C. ( ) mín
1 GM
v
2 a
 D. ( ) mín
6 5 GM
v
2 a
 
E. ( ) mín
3 2 GM
v
2 a
 
 
5. Considere casca esférica fina de massa M e raio R fixa em uma 
região do espaço. Um pequeno orifício é feito na casca e uma 
massa m é solta do repouso, de uma distância R do orifício, e se 
movimenta em uma linha de ação que passa pelo buraco e pelo 
centro da casca. Considerando G a constante de gravitação 
universal, quanto tempo demora para que a massa m se desloque 
desde o orifício até a posição diametralmente oposta? 
 
R
R
M
m
 
A. ( ) 
3R
t
GM
 B. ( ) 
32R
t
GM
 
C. ( ) 
3R
t 2
GM
 D. ( ) 
32R
t 2
GM
 
E. ( ) 
33R
t 2
GM
 
 
6. Um binário, formado por duas estrelas de massas m1 e m2 e raios, 
respectivamente, R1 e R2 giram sobre a influência da força 
gravitacional com um período T. Se elas forem subitamente 
paradas, qual será a velocidade v1 da estrela m1, quando elas 
colidirem? Considere que G é a constante de gravitação universal. 
A. ( ) 
 
 
3
2
2
2
1 1
1 2 1 2 2 3
1 2
2
2Gm 1 1
v
m m R R
T G m m
4
  
  
  
  
     
   
   
      
 
B. ( ) 
 
 
3
2
2
2
1 2
1 2 1 2 2 3
1 2
2
Gm 1 1
v
m m R R
T G m m
4
  
  
  
  
     
   
   
      
 
 
 2 
C. ( ) 
 
 
1
2
2
2
1 2
1 2 1 2 2 3
1 2
2
2Gm 1 1
v
m m R R
T G m m
4
  
  
  
  
     
   
   
      
 
D. ( ) 
 
 
1
2
2
2
1 2
1 2 1 2 2 3
1 2
2
Gm 1 1
v
m m R R
T G m m
4
  
  
  
  
     
   
   
      
 
E. ( ) 
 
 
1
2
2
2
1 1
1 2 1 2 2 3
1 2
2
2Gm 1 1
v
m m R R
T G m m
4
  
  
  
  
     
   
   
      
 
 
7. Um planeta orbita com um período T em torno do Sol em uma 
trajetória circular. Se este planeta for subitamente parado em sua 
órbita, quanto tempo leva para que ele caia no Sol? 
A. ( ) 
2
T
8
 B. ( ) 
2
T
4
 
C. ( ) 
2
T
2
 D. ( ) 
T
2
 
E. ( ) T 
 
8. Os satélites representados na figura a seguir descrevem órbitas 
em torno de um planeta, cuja massa é muito maior que as massas 
dos satélites. O ponto C é o centro da elipse e o ponto A, que é o 
ponto de interseção das órbitas, está sobre o eixo menor da 
elipse. Se o período do satélite 1 é 30 dias, qual o período do 
satélite 2? Qual a relação entre as energias mecânicas totais (ET) 
dos satélites 1 e 2? 
(1)
(2)
elipse planeta
circunferência
C
A
 
A. ( ) T2 = 10 dias; ET1 = 2ET2 
B. ( ) T2 = 10 dias; 2ET1 = ET2 
C. ( ) T2 = 30 dias; ET1 = 2ET2 
D. ( ) T2 = 30 dias; ET1 = ET2 
E. ( ) T2 = 60 dias; ET1 = 2ET2 
 
9. Um satélite está se movimentando em torno da Terra em uma 
órbita circular de raio r e velocidade 0v . Uma partícula é lançada 
do satélite na mesma direção e sentido da velocidade do satélite, 
com uma velocidade relativa   0v 1,25 1 v .  Calcule a 
distância mínima e máxima do centro da Terra do movimento 
subsequente da partícula. 
 
10. Suponha que no espaço existe um anel homogêneo de massa 
M = 2m e uma partícula de massa m, dispostos conforme a 
figura a seguir. Determine a velocidade da partícula quando ela 
passa pelo centro geométrico do anel 
(ponto O), em função da constante de gravitação universal G, 
da massa M e da distância h. Considere 
h 3
.
R 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ( ) 
GM
v
5h
 B ( ) 
GM
v
10h
 
C ( ) 
2GM
v
5h
 D ( ) 
5GM
v
3h
 
E ( ) 
4GM
v
5h
 
 
11. (ITA – 1977) Uma das conclusões expressas nas famosas leis 
de Kepler foi sobre o movimento dos planetas em órbita elípticos 
das quais o Sol ocupa um dos focos. 
A. ( ) esta conclusão foi uma conseqüência, e, portanto 
posterior, do enunciado das leis da Mecânica de Newton. 
B. ( ) coube a Sir Isaac Newton interpretar teoricamente estas 
conclusões com base na lei de gravitação universal e nos 
princípios de Mecânica Clássica que ele próprio havia proposto. 
C. ( ) esta conclusão não apresenta nenhuma relação com o 
movimento dos engenhos conhecidos como satélites artificiais 
da Terra. 
D. ( ) o movimento da Lua em torno da Terra é de natureza 
diferente daquele descrito por Kepler. 
E. ( ) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira. 
 
12. (ITA – 1984) Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno 
de uma estrela cuja massa é muito maior que a massa do 
planeta. 
Seja r a distância entre a estrela e o planeta, num ponto 
genérico da órbita, e v a velocidade do planeta no mesmo 
ponto. 
Sabendo-se que a e b são, respectivamente, os valores mínimo 
e máximo de r e v1 o valor mínimo de v, pode-se afirmar que o 
produto vr satisfaz a relação: 
 
A. ( ) 1vr v b B. ( ) 1vr v b 
C. ( ) 
2
1
b
vr v
a
 D. ( ) 
2
1
a
vr v
b
 
E. ( ) 
2
1
b
vr v
2a

 
 
 
h
M
mO
R
 
 3 
13. (ITA - 1984) Na questão anterior, designando por M a massa da 
estrela (M >> m) e por E a energia mecânica total, pode-se 
afirmar que: 
A. ( ) 2
E GM
v 2
m r
 
  
 
 B. ( ) 2
E GM
v 2
m r
 
  
 
 
C. ( ) 2
2
E GM
v 2
m r
 
  
  
D. ( ) 2
2
E GM
v 2
m r
 
  
 
 
E. ( ) 
E GM
v
m r
  
 
GABARITO 
 
 
2. B 
 
4. A 
 
5. C 
 
6. E 
 
7. A 
 
8. D 
 
10. A