M05-5A-Carlos-de-Melo

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
PUNÇÃO EM LAJES COGUMELO PROTENDIDAS COM 
PILARES DE EXTREMIDADE 
 
CARLOS EDUARDO LUNA DE MELO 
 
 
 
 
 
ORIENTADOR: GUILHERME SALES S. A. MELO 
 
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E 
CONSTRUÇÃO CIVIL 
 
 
PUBLICAÇÃO: E.DM-005 A/05 
BRASÍLIA/DF: MARÇO – 2005
 ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 
 
 
PUNÇÃO EM LAJES COGUMELO PROTENDIDAS COM PILARES 
DE EXTREMIDADE 
 
 
ENG.º CARLOS EDUARDO LUNA DE MELO 
 
 
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO 
DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE 
TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE 
DOS REQUISÍTOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE 
MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL. 
 
 
APROVADA POR: 
 
 
_________________________________________________ 
Prof. Guilherme Sales S. de A. Melo 
(Orientador – Ph.D. – UnB) 
 
_______________________________________________ 
Prof. Yosiaki Nagato 
(Examinador Interno – D.Sc. – UnB) 
 
_________________________________________________ 
Prof. Dênio Ramam Carvalho de Oliveira 
(Examinador Externo – D.Sc. – UFPA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BRASÍLIA/DF, 23 DE MARÇO DE 2005 
 iii
FICHA CATALOGRÁFICA 
MELO, CARLOS EDUARDO LUNA DE 
Punção em Lajes Cogumelo Protendidas com Pilares de Extremidade [Distrito Federal] 
2005. 
xvi, 169p., 210 x 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construção Civil, 2005). 
Dissertação de Mestrado – Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. 
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 
1.Punção 2.Lajes Cogumelo 
3.Protensão não aderente 4.Cordoalha Engraxada 
5. Pilares de Extremidade 
I. ENC/FT/UnB II. Título (série) 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
MELO, C. E. L. (2005). Punção em Lajes Cogumelo Protendidas com Pilares de 
Extremidade. Dissertação de Mestrado em Estruturas e Construção Civil, Publicação 
E.DM-005 A/05, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de 
Brasília, Brasília, DF, 169p. 
 
CESSÃO DE DIREITOS 
AUTOR: Carlos Eduardo Luna de Melo 
TÍTULO: Punção em Lajes Cogumelo Protendidas com Pilares de Extremidade. 
GRAU: Mestre ANO: 2005 
 
É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação 
de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e 
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação 
de mestrado pode ser reproduzida sem autorização por escrito do autor. 
 
 
____________________________________ 
Carlos Eduardo Luna de Melo 
Rua João Araripe, 120 - Apto 901 - Fátima 
60.410-750 Fortaleza - CE - Brasil. 
 
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 “Comece logo a fazer, que o sentimento aparece, as coisas mudam fora e dentro de 
você. Intenção sem ação é ilusão. Ouse a fazer e o poder lhe será dado.” 
 Dr. Lair Ribeiro 
 
 
 
 
 
 
 Dedico este trabalho a minha mãe, Nilma e 
 a Angélica, pelo amor e paciência. 
 v 
AGRADECIMENTOS 
 
A DEUS, a luz que ilumina os meus passos, pela saúde, dom da vida e graças alcançadas; 
Aos meus pais, familiares e amigos, pelo incentivo e apoio à realização deste trabalho; 
 
Ao Professor Guilherme Sales S. de A. Melo, pela confiança, orientação segura, motivação 
e apoio constante para a realização deste trabalho; 
 
Ao Professor Paul Regan, pelas contribuições nos ensaios e pela troca constante de 
informações; 
 
Ao Professor Yosiaki Nagato, pela disponibilidade, paciência e importante auxílio no 
Laboratório de Estruturas; 
 
Ao Professor da graduação, Gulielmo Viana Dantas, pela motivação e incentivo em 
realizar atividades científicas; 
 
Ao amigo Ricardo Carvalho Silva, pela ajuda e apoio durante o mestrado; 
 
Aos colegas: Fábio, Ronaldson, Selênio, Neres, Nélvio, Vladimir e Washington, pelo 
convívio, ajuda nos programas MAPLE e SAP 2000 e auxílio nos ensaios das lajes; 
 
A Delane Palácio, pela ajuda nos momentos mais difíceis; 
 
Aos técnicos: Leonardo, Severino e Xavier, pela colaboração na realização dos ensaios; 
 
A Sra. Rejane e Sr. Barreira (Intergraf), pelas cópias desta dissertação; 
 
A UFG, pelo fornecimento das cunhas e cones de ancoragem para a protensão; 
 
À Impacto Protensão, pelo apoio na área de protensão e pelo fornecimento das cordoalhas; 
 
Ao CNPq, pelo suporte financeiro durante o período do Mestrado. 
 vi 
RESUMO 
 
Foram ensaiadas 7 lajes cogumelo protendidas de 2000 x 1200 x 120 mm, com pilar de 
extremidade de seção quadrada, de 200 x 200 mm, com cabos não-aderentes com perfil 
curvo. O modelo experimental é do tipo local, simulando uma ligação laje cogumelo-pilar 
de extremidade. A principal variável do presente estudo foi a relação entre as cargas 
aplicadas, perpendicular (P1) e paralela (P2) à extremidade da laje, levando a relações M/V 
de 0,15 (laje L1) a 0,70 (laje L7), entre o momento fletor perpendicular à extremidade da 
laje (M), calculado na face interna do pilar, e a força cortante total na ligação laje-pilar (V). 
 
Resultados de cargas últimas e tipos de ruptura, fissuração, flechas, deformações do 
concreto, da armadura passiva e variação da força de protensão dos cabos são apresentados 
e analisados. Os resultados foram analisados também em comparação com as estimativas 
das normas ACI-318:2002, NBR 6118:2003, FIP:1998 e EC2:2002. 
 
Foram obtidas rupturas por punção, flexão/punção, flexão/punção/torção e flexão/torção, 
em função da variação da relação M/V atuante na laje. 
 
O FIP:1998 apresentou as estimativas menos conservadoras dentre as normas analisadas, 
seguido da NBR 6118:2003, que apresentaria estimativas um pouco menos conservadoras 
caso a parcela de compressão do concreto devido à protensão (Vcp) fosse incorporada à 
resistência da laje. 
 
O EC2:2002 apresentou as estimativas mais conservadores dentre as quatro normas 
estudadas, em função de considerar, ao contrário do FIP:1998 e da NBR 6118:2003, um 
limite para a parcela que leva em conta a resistência do concreto e taxa de armadura 
passiva (Vc). 
 
 
 
 
 
 
 vii
ABSTRACT 
 
Seven post-tensioned flat slabs, 2000 x 1200 x 120 mm, with square (200 x 200 mm) 
columns at the border, using curved unbonded tendons, were tested submitted to punching 
shear. It’s a local model simulating the connection between the column and the flat slab. 
The main variable of the study was the ratio between the applied loads, perpendicular (P1) 
and parallel to the border of the slab (P2), leading to ratios M/V from 0,15 (slab L1) to 0,70 
(slab L7), between the bending moment perpendicular to the edge of the slab (M), taken at 
the column edge, and the total shear force at the connection (V). 
 
Results of ultimate loads and failure types, cracking, deflections, concrete and non 
prestressed reinforcement strains, and variation of the cables forces are presented and 
analyzed. The test results were also compared with the estimations from ACI-318:2002, 
NBR 6118:2003, FIP:1998 and EC2:2002. 
 
Ruptures by punching, bending / punching, bending / punching / torsion, and bending / 
torsion were obtained. 
 
FIP:1998 presented the least conservative estimates, followed by the NBR 6118:2003, that 
would present less conservatives estimates if the concrete compression component due to 
the prestress (Vcp) was incorporated to the slab resistance. 
 
EC2:2002 presented the most conservative estimates among the four codes studied, as it 
considers a limit for the component that takes into account the concrete resistance and the 
ratio of non prestressedreinforcement (Vc), opposite to is done by FIP:1998 and NBR 
6118:2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 viii
SUMÁRIO 
 
1 - INTRODUÇÃO 1 
1.1 - MOTIVAÇÃO DA PESQUISA 1 
1.2 - OBJETIVOS E METODOLOGIA 2 
1.3 - ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO 3 
 
 
2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5 
2.1 - PESQUISAS REALIZADAS NO EXTERIOR 5 
2.1.1 - Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 5 
2.1.2 - Gardner e Shao (1996) 9 
2.1.3 - Gardner e Kallage (1998) 12 
2.1.4 - Gardner e Sharifi (2000) 16 
2.2 - PESQUISAS REALIZADAS NA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA – UnB 19 
2.2.1 - Corrêa (2001) 19 
2.2.2 - Alves (2002) 23 
2.2.3 - Villaverde (2003) 24 
2.2.4 - Silva (2005) 25 
2.2.5 - Carvalho (2005) 25 
2.3 - PRESCRIÇÕES NORMATIVAS 27 
2.3.1 - ACI-318:2002 27 
2.3.2 - NBR 6118:2003 31 
2.3.3 - FIP:1998 (Fédération Internationale de la Précontrainte) 35 
2.3.4 - EC2:2002 40 
 
 
3 - PROGRAMA EXPERIMENTAL 43 
3.1 - LAJES ENSAIADAS E ESQUEMA DE ENSAIO 43 
3.2 - ARMADURAS 49 
3.2.1 - Armadura passiva 49 
3.2.2 - Armadura ativa 52 
3.2.3 - Resumo das armaduras das lajes 53 
3.3 - CARACTERÍZAÇÃO DOS MATERIAIS 54 
3.3.1 - Concreto 54 
3.3.2 - Armadura passiva 55 
3.3.3 - Armadura ativa 55 
3.4 - INSTRUMENTAÇÃO 56 
3.4.1 - Instrumentação da armadura de flexão 56 
3.4.2 - Instrumentação do concreto 58 
3.4.3 - Instrumentação da armadura ativa 59 
3.4.4 - Deslocamentos verticais e fissuras 61 
3.5 - SISTEMA DE PROTENSÃO ADOTADO 63 
3.6 - PROCEDIMENTO DE ENSAIO 66 
3.6.1 - Protensão 66 
3.6.2 - Carregamento até a ruptura 66 
3.6.3 - Medição de deformações na armadura e no concreto 66 
3.6.4 - Medição de deslocamentos verticais 68 
 
 
 ix
4 - RESULTADOS EXPERIMENTAIS – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE 69 
4.1 - CONCRETO 69 
4.1.1 - Módulo de Elasticidade do Concreto 70 
4.1.2 - Resistência à Tração do Concreto 70 
4.2 - ARMADURA 71 
4.2.1 - Armadura Passiva 71 
4.2.2 - Armadura Ativa 72 
4.3 - PROTENSÃO INICIAL E PERDAS IMEDIATAS 73 
4.4 - VARIAÇÃO DA PROTENSÃO NAS CORDOALHAS 82 
4.5 - FISSURAÇÃO E CONE DE RUPTURA 88 
4.6 - DEFORMAÇÕES DAS ARMADURAS 94 
4.6.1 - Armadura de flexão 94 
4.7 - DEFORMAÇÃO DO CONCRETO 99 
4.8 - DESLOCAMENTOS VERTICAIS 104 
4.9 - CARREGAMENTOS E MODOS DE RUPTURA 111 
 
 
5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS DA CARGA E MODO DE RUPTURA 117 
5.1 - RESUMO DE DADOS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 117 
5.2 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS COM AS NORMAS 119 
5.3 - COMPARAÇÃO ENTRE OS MODOS DE RUPTURA ESTIMADOS E 
OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE 133 
 
 
6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 137 
6.1 - CONCLUSÕES 137 
6.1.1 - Comportamento das lajes 138 
6.1.2 - Comparação com as normas 139 
6.2 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 141 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 143 
 
ANEXO A – EQUAÇÕES PARA O CÁLCULO DA PARCELA VP 147 
ANEXO B – EXEMPLO DE CÁLCULO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO 151 
ANEXO C – CÁLCULO DO MÓDULO DE RESISTÊNCIA PLÁSTICA W1 166 
ANEXO D – PERFIL DOS CABOS DAS LAJES ENSAIADAS 169 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 2.1 – Resultados dos ensaios – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 7 
Tabela 2.2 – Comparação de resultados – Gardner e Shao (1996) 11 
Tabela 2.3 – Comparação dos resultados experimentais – Gardner e Kallage (1998) 14 
Tabela 2.4 – Comparação dos resultados com as equações do ACI 318:1995 – Gardner e 
Sharifi (2000) 18 
Tabela 2.5 – Comparação dos resultados com a equação de Gardner e Kallage (1998) – 
Gardner e Sharifi (2000) 18 
Tabela 2.6 – Resumo das Lajes – (Corrêa 2001) 22 
Tabela 2.7 – Resumo dos resultados experimentais (Corrêa 2001) 23 
Tabela 2.8 – Valores estabelecidos para K1 (NBR 6118:2003) 33 
Tabela 2.9 – Determinação do coeficiente k (FIP:1998) 35 
Tabela 3.1 – Relações P1/P2 utilizadas nos ensaios 44 
Tabela 3.2 – Resumo das armaduras 53 
Tabela 3.3 – Traço em peso do concreto utilizado 54 
Tabela 3.4 – Dosagem para 1 m3 de concreto 54 
Tabela 3.5 – Propriedades mecânicas exigidas da armadura passiva 55 
Tabela 3.6 – Características de massa e seção da armadura passiva (fabricante) 55 
Tabela 4.1 – Resultados experimentais do concreto 69 
Tabela 4.2 – Características mecânicas da armadura passiva utilizada 72 
Tabela 4.3 – Características das cordoalhas engraxadas 72 
Tabela 4.4 – Forças de protensão nos cabos – Laje L1. 74 
Tabela 4.5 – Forças de protensão nos cabos – Laje L2. 75 
Tabela 4.6 – Forças de protensão nos cabos – Laje L3. 76 
Tabela 4.7 – Forças de protensão nos cabos – Laje L4. 77 
Tabela 4.8 – Forças de protensão nos cabos – Laje L5. 78 
Tabela 4.9 – Forças de protensão nos cabos – Laje L6. 79 
Tabela 4.10 – Forças de protensão nos cabos – Laje L7. 80 
Tabela 4.11 – Resumo das perdas totais médias em cada direção 81 
Tabela 4.12 – Variação da força de protensão – Cabos paralelos à extremidade 86 
Tabela 4.13 – Variação da força de protensão – Cabos perpendiculares à extremidade 87 
Tabela 4.14 – Variação da força de protensão – Cabos 2, 3, 4 e 5 87 
Tabela 4.15 – Carga de fissuração de flexão visível e direção de propagação 89 
Tabela 4.16 – Cargas de ruptura das lajes ensaiadas 111 
Tabela 5.1 – Resumo dos resultados experimentais 117 
Tabela 5.2 – Dados das lajes ensaiadas 118 
Tabela 5.3 – Dados para o cálculo pelo FIP:1998 120 
Tabela 5.4 – Relações M/V utilizadas 121 
Tabela 5.5 – Cargas últimas de punção – Laje L1 122 
Tabela 5.6 – Cargas últimas de punção – Laje L2 122 
Tabela 5.7 – Cargas últimas de punção – Laje L3 123 
Tabela 5.8 – Cargas últimas de punção – Laje L4 123 
Tabela 5.9 – Cargas últimas de punção – Laje L5 124 
Tabela 5.10 – Cargas últimas de punção – Laje L6 124 
Tabela 5.11 – Cargas últimas de punção – Laje L7 125 
Tabela 5.12 – Cargas últimas de punção pelo ACI-318: 2002 127 
Tabela 5.13 – Cargas últimas de punção pelo ACI-318: 2002* 128 
Tabela 5.14 – Cargas últimas de punção pelo FIP:1998 129 
Tabela 5.15 – Cargas últimas de punção pelo EC2:2002 130 
 xi
Tabela 5.16 – Cargas últimas de punção pela NBR 6118:2003 131 
Tabela 5.17 – Valores de M/V para cada ensaio 134 
Tabela 5.18 – Valores de VFlexão nas duas direções para cada relação P1/P2 134 
Tabela 5.19 – Modo de ruptura estimado e de ensaio 136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xii
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1.1 – Momento torçor na extremidade da laje – McGregor (1997) 2 
Figura 2.1 – Esquema de Ensaio – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 5 
Figura 2.2 – Arranjo das cordoalhas – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 6 
Figura 2.3 – Esquema de Ensaio - Gardner e Shao (1996) 10 
Figura 2.4 – Esquema de ensaio – Gardner e Kallage (1998) 13 
Figura 2.5 – Perfil dos cabos de protensão – Gardner e Kallage (1998) 13 
Figura 2.6 – Arranjo dos cabos e numeração dos pilares – Gardner e Sharifi (2000) 16 
Figura 2.7 – Esquema de ensaio – Vista superior – Corrêa (2001) 20 
Figura 2.8 – Esquema de ensaio – Vista lateral – Corrêa (2001) 20 
Figura 2.9 – Detalhe das lajes – Corrêa (2001) 21 
Figura 2.10 – Seção crítica e distribuição das tensões assumidas (ACI-318:2002) 28 
Figura 2.11 – Determinação de Vp – Mitchell e Collins (1991) 29 
Figura 2.12 – Perímetro crítico de punção (NBR 6118:2003) 31 
Figura 2.13 – Representação da carga equilibrante (NBR 6118:2003) 33 
Figura 2.14 – Perímetro de controle de punção (FIP:1998) 36 
Figura 2.15 – Parcela da carga equilibrante (FIP:1990) 37 
Figura 2.16 – Perímetro de controle de punção (EC2:2002) 41 
Figura 3.1 – Detalhe das lajes ensaiadas 43 
Figura 3.2 – Esquema de ensaio – Vista Lateral 45 
Figura 3.3 – Esquema de ensaio 46 
Figura 3.4 – Bomba elétrica utilizada 47 
Figura 3.5 – Sistema de rótula utilizado para aplicação da carga P2 47 
Figura 3.6 – Fixação do pilar ao pórtico de ensaios 48 
Figura 3.7 – Detalhe da armadura passiva superior. 50 
Figura 3.8 – Detalhe da armadura passiva inferior. 50 
Figura 3.9 – Armadura passiva – Vista Lateral 51 
Figura 3.10 – Traçado dos cabos de protensão e disposição das armaduras 51 
Figura 3.11 – Traçado em planta dos cabos de protensão 52 
Figura 3.12 – Perfil dos cabos poligonais na direção paralela à extremidade – Laje L1 53 
Figura 3.13 – Perfil dos cabos perpendiculares à extremidade– Laje L1 53 
Figura 3.14 – Extensômetro colado na barra de aço 56 
Figura 3.15 – Extensômetro colado e protegido com ARALDITE 56 
Figura 3.16 – Localização dos extensômetros 57 
Figura 3.17 – Extensômetros na posição definitiva 57 
Figura 3.18 – Localização dos extensômetros na face inferior do concreto 58 
Figura 3.19 – Extensômetros colados na superfície inferior do concreto 59 
Figura 3.20 – Instrumentação da armadura ativa 60 
Figura 3.21 – Numeração e posicionamento das células de carga 60 
Figura 3.22 – Numeração e posicionamento dos defletômetros 61 
Figura 3.23 – Defletômetros na face superior da laje 61 
Figura 3.24 – Fissuras iniciais na laje L4 62 
Figura 3.25 – Marcação de fissuras após a ruptura da laje L4 62 
Figura 3.26 – Detalhe da armadura e ancoragem ativa 63 
Figura 3.27 – Sistema de protensão adotado – Villaverde (2003) 64 
Figura 3.28 – Reprotensão e desprotensão do cabo 65 
Figura 3.29 – Sistema de aquisição de dados utilizado 67 
Figura 3.30 – Ensaio montado – Vista lateral 68 
Figura 4.1 – Gráfico tensão x deformação. Armadura passiva - φ 6,3 mm 71 
 xiii
Figura 4.2 – Gráfico tensão x deformação. Armadura passiva - φ 8,0 mm 72 
Figura 4.3 – Força nos cabos versus tempo, em horas 73 
Figura 4.4 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L1. 74 
Figura 4.5 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L2. 75 
Figura 4.6 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L3. 76 
Figura 4.7 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L4. 77 
Figura 4.8 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L5. 78 
Figura 4.9 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L6. 79 
Figura 4.10 – Forças de protensão nas cordoalhas – Laje L7. 80 
Figura 4.11 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L1. 82 
Figura 4.12 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L2. 83 
Figura 4.13 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L3. 83 
Figura 4.14 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L4. 84 
Figura 4.15 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L5. 84 
Figura 4.16 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L6. 85 
Figura 4.17 – Variação das forças de protensão durante o ensaio – Laje L7. 85 
Figura 4.18 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L1 90 
Figura 4.19 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L2 90 
Figura 4.20 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L3 91 
Figura 4.21 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L4 91 
Figura 4.22 – Mapeamento das fissuras e cone de ruptura – Laje L5 92 
Figura 4.23 – Mapeamento das fissuras – Laje L6 92 
Figura 4.24 – Mapeamento das fissuras – Laje L7 93 
Figura 4.25 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L1 94 
Figura 4.26 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L2 95 
Figura 4.27 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L3 95 
Figura 4.28 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L4 96 
Figura 4.29 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L5 96 
Figura 4.30 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L6 97 
Figura 4.31 – Reação do pilar versus deformação nas armaduras de flexão – Laje L7 97 
Figura 4.32 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L1 99 
Figura 4.33 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L2 100 
Figura 4.34 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L3 100 
Figura 4.35 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L4 101 
Figura 4.36 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L5 101 
Figura 4.37 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L6 102 
Figura 4.38 – Reação do pilar versus deformação no concreto – Laje L7 102 
Figura 4.39 – Fissura de torção – Laje L6 103 
Figura 4.40 – Reação do pilar versus flecha – Laje L1 104 
Figura 4.41 – Reação do pilar versus flecha – Laje L2 105 
Figura 4.42 – Reação do pilar versus flecha – Laje L3 105 
Figura 4.43 – Reação do pilar versus flecha – Laje L4 106 
Figura 4.44 – Reação do pilar versus flecha – Laje L5 106 
Figura 4.45 – Reação do pilar versus flecha – Laje L6 107 
Figura 4.46 – Reação do pilar versus flecha – Laje L7 107 
Figura 4.47 – Deslocamentos da laje L1 108 
Figura 4.48 – Deslocamentos da laje L7 108 
Figura 4.49 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 10 109 
Figura 4.50 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 11 109 
Figura 4.51 – Reação do pilar versus flecha – Defletômetro 13 110 
 xiv
Figura 4.52 – Ruptura da laje L1 112 
Figura 4.53 – Ruptura da laje L2 113 
Figura 4.54 – Ruptura da laje L3 113 
Figura 4.55 – Ruptura da laje L4 114 
Figura 4.56 – Ruptura da laje L5 114 
Figura 4.57 – Ruptura da laje L6 115 
Figura 4.58 – Ruptura da laje L7 – Fissuras de flexão e torção 115 
Figura 4.59 – Ruptura da laje L7 – Fissuras de torção 116 
Figura 5.1 – Discretização utilizada no programa SAP 2000 121 
Figura 5.2 – Carga atuante versus carga resistente pelo ACI-318:2002 128 
Figura 5.3 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo ACI-318:2002* 129 
Figura 5.4 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo FIP:1998 130 
Figura 5.5 – Tensão atuante versus tensão resistente pelo EC2:2002 131 
Figura 5.6 – Tensão atuante versus tensão resistente pela NBR 6118:2003 132 
Figura 5.7 – Equilíbrio das forças da seção da laje na ruptura por flexão 133 
Figura 5.8 – Modo de ruptura estimado das lajes ensaiadas 135 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xv 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
As - área da armadura passiva; 
Asp - área total da armadura de protensão em uma direção; 
bo - comprimento do perímetro de controle à d/2 da face do pilar definido pelo ACI-
318:2002; 
β coeficiente de majoração da carga atuante em uma laje cogumelo com 
transferência de momento entre a laje e o pilar; 
d - altura útil da armadura passiva; 
d (ACI) - Altura útil considerada para o ACI-318:2002; 
dp - altura útil dos cabos de protensão; 
f 'c - resistência a compressão de corpos de provas cilíndricos; 
fck - resistência característica da compressão de corpos de provas cilíndricos; 
fcm - resistência à compressão de corpos de provas cilíndricos; 
fpc - tensão média no plano da laje, devido as cargas de protensão iniciais; 
fyp - tensão convencional de escoamento da armadura de protensão; 
fys - tensão de escoamento da armadura passiva; 
h - altura da laje; 
m' - média dos momentos devido as cargas verticais aplicadas na laje, no alinhamento 
da face do pilar; 
m’pe - momento devido às excentricidades dos cabos devido à protensão; 
m’po - momento devido à compressão da superfície superior da laje promovido pela 
protensão; 
Mu - momento perpendicular à extremidade no momento da ruptura; 
P - força aplicada nos cabos de protensão por um macaco hidráulico de protensão; 
P0 - força no cabos de protensão após as perdas imediatas; 
Pi - força de protensão inicial aplicada pelo macaco hidráulico de protensão; 
PSd - valor de dimensionamento da força de punção atuante; 
PSd,eff - força efetiva de punção; 
Pu - carga de ruptura observada nos ensaios; 
Pc - carga de ruptura calculada; 
u1 - comprimento do perímetro de controle a 2d da face do pilar (FIP:1998, EC2:2001 
e NBR 6118:2003); 
 xvi
u1* - comprimento do perímetro de controle reduzido a 2d da face do pilar (FIP:1998, 
EC2:2001 e NBR 6118:2003); 
uo - comprimento do perímetro do pilar; 
V - reação do apoio da laje para uma carga unitária aplicada na laje; 
Vn - resistência à punção calculada sem ponderação; 
Vc - parcela de Vn independente da protensão; 
Vcp - parcela de Vn dependente da tensão no plano devido a protensão; 
Vp - parcela de Vn dependente das componentes verticais das forças de protensão; 
VR,c - resistência de uma laje cogumelo de concreto armado; 
VRk - resistência característica do valor de VR; 
VRk,c - resistência característica do valor de VR,c; 
Vu - carga de ruptura experimental;ρ - taxa de armadura passiva; 
σcp - tensão média de compressão no plano; 
φ - Fator de redução da resistência nominal; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
1 - INTRODUÇÃO 
1.1 - MOTIVAÇÃO DA PESQUISA 
 
A solução em lajes cogumelo em concreto protendido vem sendo uma alternativa cada vez 
mais utilizada, pela simplicidade de execução, economia de material e diminuição da altura 
final da estrutura, possibilitando em muitos casos obter estruturas mais leves e com 
fundações mais econômicas. Outras vantagens que podem ser citadas: graças aos efeitos da 
protensão há a possibilidade de se obterem vãos maiores; redução das flechas em relação 
às lajes de concreto armado; valorização da estrutura esteticamente. A protensão influencia 
bastante a resistência de uma laje cogumelo, podendo a resistência variar de acordo com a 
força de protensão, a distribuição e o traçado dos cabos. 
 
Um dos fatores que exigem atenção em se tratando de lajes cogumelo em concreto armado 
ou protendido, é a possibilidade de ruptura da laje por punção. Entende-se por punção um 
tipo de ruptura transversal por cisalhamento em torno de carregamentos localizados, que 
ocorre de maneira brusca e que pode acarretar um colapso parcial ou total da estrutura. 
 
O fenômeno da punção é ainda mais complexo em lajes cogumelo com pilares de 
extremidade e de canto, devido à grande transferência de momento entre a laje e o pilar, 
fazendo com que a resistência da laje seja reduzida. 
 
Segundo MacGregor (1997), quando existe a transferência de momento entre a laje e o 
pilar, ou vice-versa, o comportamento é complexo, pois envolve combinações de tensões 
devidas à flexão, ao esforço cortante e ao momento de torção atuantes na porção da 
extremidade da laje que está ligada ao pilar, e dependendo do nível de concentração dessas 
tensões, diversos tipos de ruptura podem ser esperados. A Figura 1.1 esquerda mostra as 
ações em uma laje cogumelo com pilar de extremidade. Verifica-se que existem rotações 
diferentes em relação à extremidade da laje (Figura 1.1 direita), destacando o surgimento 
do momento torçor na extremidade da laje. 
 
 2 
Diversos estudos em lajes cogumelo protendidas com pilares internos foram realizados, 
podendo ser citados os trabalhos de Shehata (1982), Regan (1985), Melges (2001), Corrêa 
(2001), Alves (2002), Ramos (2003), Villaverde (2003), Silva (2005) e Carvalho (2005). 
 
Porém, em se tratando de laje com pilar de extremidade ou de canto submetida à punção, 
existem poucos estudos relacionados com o assunto, podendo ser citados os trabalhos de 
Foutch, Gamble e Sunidja (1990), Gardner e Kallage (1998) e Gardner e Sharifi (2000), e 
somente com estudos teóricos e experimentais pode-se definir uma base sólida para a 
criação de uma teoria consistente para o caso de lajes com pilares de extremidade ou de 
canto submetidas à punção. 
 
A
C
B
D
A'
B'
 
A
Aθ
C
θC
Aθ
 
Figura 1.1 – Momento torçor na extremidade da laje – McGregor (1997) 
 
 
1.2 - OBJETIVOS E METODOLOGIA 
 
Esse trabalho dá continuidade aos estudos sobre punção em lajes cogumelo protendidas 
realizados por Corrêa (2001), Alves (2002), Villaverde (2003), Silva (2005) e Carvalho 
(2005) na Universidade de Brasília. 
 
O principal objetivo deste trabalho é contribuir para o melhor conhecimento do mecanismo 
de resistência à punção de lajes cogumelo protendidas com pilar de extremidade, sendo 
este o primeiro a ser realizado na Universidade de Brasília sobre o assunto. Os objetivos 
específicos deste trabalho são: 
 
 3 
Analisar a influência da variação do momento fletor e do esforço cortante atuantes na 
ligação laje-pilar de extremidade, na resistência ao puncionamento da laje; 
 
• Verificar as contribuições das parcelas de compressão no plano (Vcp) e parcela da carga 
equilibrante ou vertical (Vp), na resistência à punção de uma laje cogumelo com pilar 
de extremidade; 
 
• Comparar os resultados experimentais obtidos com os estimados segundo as normas: 
ACI 318:2002, NBR 6118:2003, FIP:1998 e EC2:2002; 
 
• Verificar as restrições impostas pelo ACI 318:2002 e NBR 6118:2003 na contribuição 
da parcela da compressão no plano (Vcp) no cálculo da resistência da laje à punção. 
 
Para se atingir os objetivos propostos, a metodologia será a realização de ensaios de 
ruptura de 7 lajes com pilar de extremidade, protendidas com cabos não aderentes 
(cordoalhas engraxadas) e carregadas com diferentes relações entre o momento fletor e o 
esforço cortante atuantes na ligação laje-pilar. Esta série de ensaios faz parte do projeto de 
tese de doutorado do Eng. Vladimir Villaverde Barbán, em andamento na Universidade de 
Brasília. 
 
1.3 - ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO 
 
Além deste Capítulo 1, este trabalho está estruturado da seguinte forma: 
 
O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica na qual são descritos os trabalhos 
realizados recentemente em lajes de concreto armado e protendido com armadura não 
aderente, possuindo pilares de extremidade. Também são apresentadas quatro 
recomendações normativas para se estimar a resistência à punção de lajes cogumelo 
protendidas com pilares de extremidade. 
 
No Capítulo 3 é apresentado detalhadamente todo o programa experimental realizado, 
destacando os materiais e processos utilizados para a realização dos ensaios. 
 
 4 
No Capítulo 4 são apresentados e analisados os resultados experimentais das lajes, tais 
como: propriedades dos materiais utilizados, protensão inicial, cargas e tipos de ruptura, 
variação da força de protensão nos cabos durante os ensaios, deformações da armadura 
passiva e do concreto, deslocamentos verticais, fissuração e inclinação das fissuras do cone 
de ruptura. 
 
 O Capítulo 5 apresenta as comparações dos resultados experimentais da carga e do modo 
de ruptura das lajes com as estimativas segundo normas. 
 
No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões desta pesquisa e sugestões para trabalhos 
futuros. 
 
As Referências Bibliográficas são apresentadas após o Capítulo 6, seguindo-se os Anexos, 
A, B ,C e D. 
 
O Anexo A apresenta o desenvolvimento das expressões para a determinação da parcela 
Vp. O Anexo B apresenta um exemplo resolvido e comentado do cálculo da resistência à 
punção da laje L5 pelas diferentes normas apresentadas no trabalho. O Anexo C apresenta 
o cálculo do módulo de resistência plástica da seção crítica W1, para pilares de 
extremidade, pois as normas não apresentam este desenvolvimento. O Anexo D apresenta 
os perfis dos cabos observados para todas as lajes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
São apresentadas neste capítulo as recentes pesquisas realizadas no exterior em punção em 
lajes cogumelo protendidas com pilares de extremidade, e as pesquisas realizadas na 
Universidade de Brasília na área de punção em lajes cogumelo protendidas. 
2.1 - PESQUISAS REALIZADAS NO EXTERIOR 
2.1.1 - Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 
 
Apresentaram resultados de ensaios de quatro lajes quadradas protendidas de 1524 mm x 
1524 mm x 102 mm, com pilares de extremidade de concreto armado, quadrados, de 305 
mm x 305 mm, com cordoalhas não aderentes dispostas de duas maneiras: concentradas na 
região do pilar na direção perpendicular à extremidade da laje e uniformemente 
distribuídas na outra direção. 
PLANTA
D
A
S4
A
 305
S2
S3
S1
D (mm)
 610
 610
1067
CORTE A - A
CÉLULA DE CARGA
MACACO HIDRÁULICO
MECANISMO DE CARGA
LAJE DE REAÇÃO
1524
305
30
5
15
24
305
10
2D
 
Figura 2.1 – Esquema de Ensaio – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 
 
Os objetivos desse trabalho foram estudar o efeito da relação momento/cortante na resposta 
da ligação laje-pilar, estudar o aumento das tensões nos cabos e o mecanismo de ruptura e 
desenvolver um procedimento de cálculo simples para avaliar a resistência das ligações 
laje-pilar de extremidade. As principaisvariáveis foram a distribuição das cordoalhas 
consideradas e a distância do carregamento em relação à face do pilar, no sentido 
 6 
perpendicular à extremidade livre da laje, para estudar o efeito da relação 
momento/cortante. 
 
Os autores compararam os resultados dos ensaios com as formulações prescritas pelo ACI 
318:1983, que apresentava as equações para o cálculo de resistência à punção em lajes com 
pilares de extremidade sem levar em consideração os efeitos da protensão. 
 
A restrição da resistência à compressão do concreto imposta pelo ACI 318:1983 em 35 
MPa também foi testada utilizando-se um concreto com uma média de resistência de 45,8 
MPa para as 4 lajes ensaiadas. 
 
As lajes S1 e S2 tiveram o mesmo tipo de armadura ativa e passiva, possuíam 11 
cordoalhas concentradas próximas ao eixo do pilar, dispostas perpendicularmente à 
extremidade livre da laje, e na outra direção foram dispostas 5 cordoalhas. As lajes S3 e S4 
tiveram também o mesmo tipo de armadura ativa e passiva, possuíam 6 cordoalhas 
concentradas próximas ao eixo do pilar, dispostas paralelamente à extremidade livre da 
laje, enquanto na outra direção foram dispostas 4 cordoalhas. A Figura 2.2 mostra o arranjo 
das cordoalhas utilizado. 
 
343
114
114
343
76
LAJES S1 E S2
76
76
76
76
76
76
76
LAJES S3 E S4
279
406
152
406
279
40676 152 406406 76 7676 11476 7676 1029
 
Figura 2.2 – Arranjo das cordoalhas – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 
 
A força máxima de protensão em cada cabo no início do ensaio foi cerca de 70% da carga 
última do cabo para prover uma certa margem de segurança durante os ensaios. 
 7 
 
O carregamento foi aplicado gradualmente até a ruptura em diferentes distâncias da face do 
pilar (1067, 610, 610 e 305 mm), utilizando dois macacos hidráulicos de 30 ton. ancorados 
à laje de reação, e produzindo força de cima para baixo na laje. As relações Mu/Vu das 
lajes ensaiadas foram: 1,00 (S1), 0,60 (S2), 0,59 (S3) e 0,31 (S4), considerando o momento 
na face do pilar. 
 
O pilar foi armado de tal forma a resistir à transferência de momento da laje e estava preso 
a um sistema que impedia a sua rotação. 
 
A laje S1 rompeu por flexão com superfície de ruptura passando ao longo da face do pilar, 
enquanto a laje S2 teve um modo de ruptura frágil por punção, com um colapso súbito da 
zona de compressão ao longo de uma superfície formada por fissuras inclinadas nas 
vizinhanças imediatas do pilar. A ruptura da laje S3 ocorreu de forma dúctil por flexão ao 
longo de uma linha de ruptura passando pela laje e a face do pilar. 
 
A laje S4 era idêntica à S3, exceto pelo ponto de carregamento, e apresentou uma relação 
Mu/Vu = 0,31, pelo fato do carregamento estar bastante próximo da face do pilar. A 
ruptura da laje S4 foi semelhante à laje S2 e ocorreu de forma frágil. Os resultados dos 
ensaios, destacando os modos de ruptura, são apresentados na Tabela 2.1 
 
Tabela 2.1 – Resultados dos ensaios – Foutch, Gamble e Sunidja (1990) 
Modelo D* (mm) 
Md* (kN.m) 
ACI 318-77 
Md* (kN.m) 
Forças Internas 
Mu* 
(kN.m) 
Mu** 
(kN.m) 
Vu 
(kN) 
Modo 
de 
Ruptura 
S1 1067 55,53 56,48 58,62 67,28 58,15 Flexão 
S2 610 50,31 49,45 50,19 62,74 83,82 Punção 
S3 610 37,83 39,72 40,40 50,50 67,65 Flexão 
S4 305 33,47 35,38 35,78 52,99 114,64 Punção 
* Em relaçao à face do pilar. 
** Em relação ao centro do pilar 
 
Foi verificado que a seção mais apropriada para se calcular os momentos atuantes na seção 
crítica é em relação ao eixo que passa na face do pilar, sendo também a seção apropriada 
para considerar a resistência à flexão usando a teoria das linhas de ruptura. 
 8 
 
Em relação ao aumento das tensões nos cabos, os autores verificaram que em nenhum 
ensaio o aumento da tensão no cabo em relação ao nível de tensão no início do ensaio foi 
maior que 50% do aumento estimado pelo ACI 318:1977 e foi de apenas 84% do esperado 
pelo ACI 318:1983. O aumento médio das tensões das cordoalhas nos ensaios foi de 65 a 
81% do maior aumento registrado numa cordoalha. Os autores verificaram que o aumento 
das tensões nos cabos é similar à relação momento versus deflexão dos modelos. 
 
Em relação aos efeitos da protensão, os autores verificaram que a parcela da compressão 
no plano Vcp aumenta significativamente a resistência à punção, e a não consideração dessa 
parcela em lajes cogumelo protendidas com pilares de extremidade, como recomenda o 
ACI 318:1983, acarretaria resultados subestimados de resistência das lajes. Os autores 
concluíram que é recomendado o uso da equação de cálculo da resistência à punção para 
ligações laje-pilar de interior no cálculo da resistência à punção de ligações laje-pilar de 
extremidade, considerando a contribuição da compressão do concreto devido à protensão. 
 
Os autores observaram também que para o caso de uma ruptura por punção, a armadura 
passiva superior não é efetiva no combate ao pós-puncionamento, porque tende a arrancar 
uma área significativa de concreto na parte superior da laje. 
 
Os autores concluíram também que os limites de 35 MPa para a resistência do concreto e 
de 3,5 MPa para a tensão de compressão do concreto devido à protensão, tal como 
recomenda o ACI 318:1983, podem ser estendidos respectivamente para 50 MPa e 3,9 
MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
2.1.2 - Gardner e Shao (1996) 
 
Apresentaram resultados experimentais para punção de uma laje cogumelo contínua de 
concreto armado, com 9 pilares e um comprimento de vão de 2743 mm, que foi carregada 
até a ruptura, simulando uma carga uniformemente distribuída por meio de 40 pontos de 
cargas concentradas na laje. A laje possuía 4 pilares de extremidade, 4 pilares de canto e 1 
pilar de interior, sendo que 1 pilar de extremidade e 1 pilar de canto eram de seção circular, 
com diâmetro de 254 mm e os demais eram de seção quadrada de 254 x 254 mm. A 
espessura da laje foi de 140 mm, com uma altura útil de 120 mm e as extremidades norte e 
leste tinham uma aba de 125 mm. 
 
O objetivos do estudo foram: 1) investigar a adequabilidade de se usar modelos isolados 
para representar lajes contínuas reais ; 2) o estudo da validade das prescrições do ACI 
318:1989, BS 8110:1985 e o código CEB-FIP:1990 na punção; 3) o comportamento das 
ligações laje-pilar de interior, extremidade e de canto; 4) os efeitos das escoras ao redor 
dos pilares na resistência da laje. 
 
A armadura foi calculada de acordo com o ACI 318:1989 e distribuída para assegurar que 
a laje tivesse rupturas por punção antes de rupturas por flexão. 
 
Os cálculos de resistência da laje cogumelo foram feitos desconsiderando as restrições de 
resistência do concreto impostas pelo ACI 318:1989, BS 8110:1985 e o Código Modelo do 
CEB-FIP:1990. 
 
A metodologia do ensaio consistiu da aplicação gradual de 40 cargas concentradas 
simultâneas, simulando uma carga uniformemente distribuída, até verificar a ruptura de 
alguma ligação laje-pilar. Inicialmente rompeu o pilar de interior para uma carga de 34,4 
kN/m2. Para dar prosseguimento ao ensaio, a ligação laje-pilar de centro foi escorada. Após 
mais incremento de carga, os pilares de extremidade nº 2 e nº 5 romperam a uma carga de 
34,4 kN/m2. As ligações nº 2 e nº 5 foram escoradas e o ensaio prosseguiu até a ruptura da 
ligação laje-pilar de canto. A ligação laje-pilar de extremidade 3 e a ligação laje-pilar de 
canto romperam a uma carga de 44,8 kN/m2. A Figura 2.3 mostra o esquema de ensaio 
utilizado, destacando os pontos de aplicação de carga, numeração dos pilares e localização 
das escoras. 
 10 
5867
2743
686
2743
458
8
914
L12
L11
5
913458
L14
L37
L32
L13
L36
L31
L38
L33
Escoras de 95 x 95 mm
L9
3
L10
6
L17 L18 L19
L28
L23
L27
L22
1
L24
L1 L2
2
58
67
27
43
68
5
9
L8
L7
127
458458228 228
L15
L39
L34
L16
L40
L35
12
768
6
N
S
127
O L
45
8
22
8
45
822
8
4
7
L6
L5L20L21
L29
L25
L30
L26
L3
D = 254 mm
L4
27
43
91
4
45
8
45
8
D = 254 mm
12
7
12
7
 
Figura 2.3 – Esquema de Ensaio - Gardner e Shao (1996) 
 
Todas as rupturas observadas nas ligações laje-pilar foram combinadas de flexão e punção, 
apresentando fissuras grandes o bastante para indicar que o aço teria escoado devido aos 
momentos negativos. 
 
Os autores assumiram que a carga uniformemente distribuída aplicada na laje foi 
distribuída da seguinte forma: a ligação laje-pilar de interior recebeu 26,2%, a ligação laje-
pilar nº 2 recebeu 12,14% e a ligação de canto recebeu 5,7%. 
 
Verificou-se que a ligação laje-pilar de interior é mais crítica em punção que a ligação laje-
pilar de extremidade e de canto, numa laje contínua corretamente projetada e com taxa de 
armaduras aproximadamente iguais. As ligações laje-pilar 2 e 6, que possuíam pilares de 
seção circular, romperam com cargas mais baixas que as ligações análogas usando pilares 
de seção quadrada (ligações laje-pilar 4 e 9). Os comentários do ACI 318:1989 sugerem 
que um pilar de seção circular pode ser tratado como um pilar de seção quadrada para o 
cálculo da resistência à punção. 
 
 11 
A equação linear de interação de momento e cortante do ACI 318:1989 é não-conservadora 
no cálculo dos coeficientes das ligações nº 2 e nº 5, mas conservadora para a ligação nº 6. 
A comparação das ligações de extremidade com as normas é exposto na Tabela 2.2. 
 
Tabela 2.2 – Comparação de resultados – Gardner e Shao (1996) 
Pc (kN/m
2) Pu (kN/m
2) Pu/Pc Pc (kN/m
2) Pu (kN/m
2) Pu/Pc
ACI 45,2 0,76 43,6 0,79
BS 8110 31,7 1,09 31,7 1,09
CEB 38,1 0,90 31,8 1,08
Método proposto 36,5 0,94 35,5 0,97
Coeficiente Proposto 34,5 1,00 33,1 1,04
Taxa de armadura (ρ)
FORMULAÇÕES
 LIGAÇÃO 2
0,0057 0,0057
 LIGAÇÃO 5
34,4 34,4
 
 
Os autores concluíram que os ensaios isolados de punção podem representar o 
comportamento de punção em ligações laje-pilar de interior em sistema de lajes contínuas, 
por darem valores próximos aos estimados. 
 
O mais fiel resultado experimental foi para o pilar de interior, pois os resultados para os 
pilares de extremidade e de canto foram baixos devido à ruptura das ligações iniciais que 
transferem carga para as ligações laje-pilar que não romperam. 
 
Em relação às ligações laje-pilar de extremidade e de canto, verificou-se que uma interação 
momento-cisalhamento é adequada para determinar a resistência à punção com 
transferência de momento entre a laje e o pilar. 
 
Os autores afirmaram que a punção não é um fenômeno de cisalhamento puro e sempre 
ocorre em locais de grandes momentos e é um fenômeno de flexo-punção e sugerem que 
um modelo de bielas e tirantes pode ser mais válido que os atuais métodos que utilizam 
perímetros críticos de punção. 
 
Os autores sugerem que sejam incorporadas às equações do ACI 318:1989 termos que 
considerem o efeito do tamanho da laje. 
 12 
2.1.3 - Gardner e Kallage (1998) 
 
Apresentaram resultados experimentais de ruptura por punção de uma laje cogumelo 
contínua, de 5690mm x 5690 mm, com protensão não-aderente, calculada de acordo com 
as provisões do ACI 318-95, exceto que não foi adicionada nenhuma armadura aderente. A 
laje possuía em vão de 2700 mm entre os pilares, espessura de 89 mm e era apoiada em 
nove pilares, sendo seis pilares quadrados com lado de 203 mm e três pilares circulares 
com diâmetro de 203 mm. Uma carga uniformemente distribuída foi simulada por meio de 
40 pontos de carregamento afastados de 914 mm em cada direção principal. 
 
A laje foi protendida com cabos não-aderentes, sendo 20 cabos em cada direção. Na 
direção leste-oeste os cabos foram dispostos em faixas passando pelos pilares e na direção 
norte-sul os cabos foram uniformemente distribuídos. A tensão nos cabos de protensão foi 
medida por meio de 19 células de carga. O arranjo dos cabos, pontos de aplicação de carga 
e a identificação das células de carga é mostrado na Figura 2.4 e o perfil dos cabos é 
mostrado na Figura 2.5. 
 
Os cabos de protensão eram do tipo engraxado, com sete fios e diâmetro de 13 mm, 
envolvidos por um plástico para eliminar a aderência, satisfazendo as especificações do 
ASTM-A416-88b e GSA-G279 e foram protendidos aproximadamente 60 dias após a 
concretagem da laje com uma força de 96 kN, apresentando uma força final de 89 kN por 
cabo após as perdas de ancoragem. A tensão no concreto após a protensão foi de 3,5 MPa 
em ambas direções. 
 
O concreto apresentou uma resistência à compressão média de 44 MPa no dia do ensaio. 
 13 
8
2,
74
 m
92
5 
m
m
2,74 m
340 mm
1 7
3
2
A
4
6
4
7
2,
74
 m
2,74 m
2 9
B
1 3
15
C 914 mm
9
914 mm
610
11 1312 14
D
N
19
5
16 17 18
8
 
Figura 2.4 – Esquema de ensaio – Gardner e Kallage (1998) 
 
 
 
 
 
2,74 m
50
 m
m
75
 m
m
2,74 m
20
 m
m
90
 m
m
 
Figura 2.5 – Perfil dos cabos de protensão – Gardner e Kallage (1998) 
 
 
 
 
 
 14 
A laje foi carregada de modo a obter rupturas em todas as ligações laje-pilar existentes. 
Primeiramente rompeu a ligação laje-pilar nº 2. Os ângulos da superfície de ruptura da 
ligação laje-pilar nº 2 foram medidos na face da extremidade da laje e foram de 16 e 20º. 
Houve um acréscimo de tensão na ordem de 25% dos dois cabos que passavam dentro do 
pilar 2, na direção norte-sul. 
 
Após a ruptura da ligação laje-pilar nº 2, a carga foi aliviada e a laje foi escorada ao redor 
da ligação rompida. Após o escoramento a laje foi novamente carregada até a ruptura de 
outra ligação. O pilar de interior rompeu com uma carga 10% menor que a carga aplicada 
para romper a ligação laje-pilar nº 2, provavelmente por uma redistribuição de cargas do 
sistema, ou uma redução da protensão dos cabos, ou a ligação laje-pilar de interior sofreu 
uma ruptura por punção iniciada por uma fissura diagonal interna na ordem de 1/2 a 2/3 da 
carga última. 
 
Após essa etapa, a carga foi novamente aliviada, a laje foi escorada ao redor da ligação 
laje-pilar de interior e foi aplicado novamente o carregamento, rompendo então o pilar de 
canto. 
 
O resultado mais fiel foi para a ligação laje-pilar de extremidade, pois a redistribuição das 
cargas das ligações rompidas e a degradação da laje provavelmente afetaram a resistência 
das ligações laje-pilar de interior e de canto. A Tabela 2.3 mostra a comparação dos 
resultados obtidos com os valores prescritos e com o método proposto pelo autor somente 
para a ligação laje-pilar de extremidade. 
 
Tabela 2.3 – Comparação dos resultados experimentais – Gardner e Kallage (1998) 
Carga 
Experimental 
(kN/m2)
Vu 
(kN)
dp 
(mm)
fcp(1) 
(Mpa)
ACI 318-95(2) 
(d = def) (kN)
ACI 318-95(3) 
(d = 0,8h) (kN)
BS 8110 
(kN)
Método 
Proposto 1 
(kN)
Método 
Proposto 2 
(kN)
32,9 135 50 9,84 95 56 133 128 114
Vu/Vn - - - - 1,42 2,41 1,02 1,05 1,18
Método Proposto 1 - Proposta de um fator de acréscimo da carga efetiva.
Método Proposto 2 - Resistência de cálculo proposta considerando uma excentricidade do cortante
Ligação 
Nº 2
(1) Tensão no concreto calculada na face do pilar
(2) Desconsiderando o efeito da componente vertical Vp da força de protensão
(3) Desconsiderando o efeito da compressão no plano
 
 15 
Os autores propuseram um método de cálculo para prever resistência de ligações laje-pilar 
de interior de concreto armado e protendido, que foi estendido dos trabalhos de Shehata e 
Regan (1989) e Shehata (1990), considerando uma excentricidade do cortante na ligação 
laje-pilar de extremidade e também propôs um simples coeficiente para determinação da 
carga efetiva aplicada na laje. 
 
Os autores concluíram que: 
 
- O comportamento à flexão das lajes de concreto protendido com cabos não-aderentes é 
excelente, com as lajes sustentando grandes cargas após a fissuração. 
 
- A protensão é efetiva para a extremidade da laje e pode ser usada nos cálculos da 
resistência estimada à punção. 
 
-As simplificações do perímetro de punção retangular e a altura efetiva da laje, em no 
mínimo a 80% da altura da laje permitida pelo ACI 318:1995 nos cálculos da capacidade 
de punção de lajes de concreto protendido, deveriam ser eliminadas. 
 
- Não é adequado desprezar o efeito do desvio dos cabos na vertical e o efeito da 
descompressão da protensão, pois nesse caso o cálculo da resistência da ligação seria 
subestimado. 
 
- A consideração de punção e transferência de momentos pode ser realizada com um 
simples fator multiplicador ou através de uma equação de excentricidade de cortante para 
prever a resistência da laje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
2.1.4 - Gardner e Sharifi (2000) 
 
Apresentaram resultados de uma investigação experimental de uma laje cogumelo contínua 
de concreto protendido com 9 pilares, com 89 mm de espessura e com 3200 mm de vão, 
projetada para investigar o efeito da protensão em ligações laje-pilar de extremidade. Os 
resultados foram comparados com a prescrição do ACI 318:1995 e com a proposta de 
Gardner e Kallage (1998). 
 
Os pilares de extremidade e de canto eram quadrados de 203 mm de lado e o pilar de 
interior era de 305 mm de lado para evitar uma ruptura por punção. O modelo da laje foi 
protendido com 18 cabos em cada direção. Foram usadas células de carga para medir as 
forças em cabos selecionados, que após as perdas foi de 85 kN (859 MPa). Os cabos foram 
colocados a uma altura dp = 70 mm. A Figura 2.6 mostra o arranjo dos cabos da laje de 
ensaio. 
 
5 6 7
30
4
375
30
4
375
375
375
3
305
305
375
305
305
305
305
4
457
305
305
457
457
457
35
7
35
7
35
7
35
7
35
7
30
4
30
4
76 35
7
35
7
35
7
2
9
7642
6
42
6
42
6
1
8
76 N
 
Figura 2.6 – Arranjo dos cabos e numeração dos pilares – Gardner e Sharifi (2000) 
 17 
O concreto utilizado possuía uma resistência especificada de 35 MPa aos 28 dias, 70 mm 
de slump e um tamanho máximo de agregado de 19 mm. A resistência obtida do concreto 
no dia do ensaio foi de 45 MPa. 
 
Os cabos protendidos eram de 13 mm de diâmetro, engraxados, com sete fios, envoltos em 
uma proteção plástica para eliminar a aderência com o concreto, satisfazendo as 
especificações do ASTM-A416-88b e CSA-G279. A resistência última dada pelo 
fabricante foi de 1860 MPa. 
 
Para simular uma carga uniformemente distribuída, a laje foi carregada para baixo por 48 
pontos de carga espaçados 914 mm em cada direção. Cada carga foi aplicada por meio de 
uma barra de aço de 15 mm de diâmetro e fixada numa laje de reação e foi carregada com 
macacos hidráulicos situados abaixo da laje de reação que reagia contra a superfície 
inferior da laje de reação. 
 
A ruptura por punção ocorreu para uma carga de 24 kN/m2 na ligação laje-pilar nº 2. Após 
a ruptura a carga da laje foi aliviada, a protensão dos cabos que passavam pelo pilar 2 foi 
liberada e foi feita uma recuperação da ligação laje-pilar rompida. Após 10 dias, os cabos 
foram novamente protendidos e a ligação foi escorada. Por causa da redução de tensões no 
cabos passando entre os pilares 2 e 6 na direção norte-sul, a laje ao redor do pilar 6 foi 
também escorada para prevenir uma ruptura. 
 
A laje foi novamente carregada e a ligação laje-pilar 8 rompeu para uma carga de 26 
kN/m2 e foi feito o mesmo procedimento de recuperação já descrito. As ligações laje-pilar 
2 e 8 foram escoradas e as escoras ao redor do pilar 6 foram removidas. 
 
Foi aplicada novamente uma carga na laje e houve uma ruptura na conexão 6 para uma 
carga de 25,7 kN/m2. Para aumentar a velocidade do ensaio, a ligação 6 não foi reparada, 
mas foi escorada com 2 filas de apoios. Todas as ligações exceto a ligação 4 foi escorada. 
A laje foi recarregada e a ligação 4 rompeu à uma carga entre 23,3 e 23,9 kN/m2. Após 
esse procedimento todas as ligações laje-pilar foram escoradas, exceto as ligações de canto. 
A laje foi novamente carregada até a ruptura das ligações de canto. A Tabela 2.4 mostra 
uma comparação entre as cargas estimadas pelo ACI 318:1995 com as cargas de ensaio, 
desconsiderando o efeito da compressão do concreto. 
 18 
 
Tabela 2.4 – Comparação dos resultados com as equações do ACI 318:1995 – Gardner e 
Sharifi (2000) 
Ligação Laje-Pilar
Mu 
(kN.m)
Vu 
(kN)
νu 
(MPa)
νc 
(MPa)
fpc 
(MPa)
νu/νc 
(MPa)
2 22,7 94,1 3,63 1,72 - 2,11
8 28 122 4,59 1,72 - 2,68
Calculado usando fck = 35 MPa e d = 0,8h 
 
 
A Tabela 2.5 compara as tensões atuantes de punção e estas são calculadas usando a 
equação desenvolvida por Gardner e Kallage (1998). Estimar a compressão devida à 
protensão para ser usada na equação desenvolvida por Gardner e Kallage (1998) é difícil, 
porque é diferente nas duas direções e na direção perpendicular com a extremidade, 
dependendo do espaçamento do cabo, pode ser consideravelmente maior localmente do 
que a calculada, tornando-se a largura do painel da laje toda. 
 
Tabela 2.5 – Comparação dos resultados com a equação de Gardner e Kallage (1998) – 
Gardner e Sharifi (2000) 
νc (kN) νu/νc νu (MPa) νu/νc
2 5,08 0,0105 64,6 4,59 7,39 1,61 4,63 1,01
8 3,43 0,0071 42,3 3,80 9,28 2,44 6,00 1,58
Interação Linear Simples Coeficiente
Calculado usando fck = 35 MPa e d = 0,8h
νc 
(MPa)
Ligação 
Laje-Pilar
fpc 
(MPa)
ρp
Vd 
(kN)
 
 
 
Os autores concluíram que ao desconsiderar o efeito da compressão do concreto devido à 
protensão, como considerado pelo ACI 318:1989, torna o valor calculado da resistência à 
punção da ligação subestimado. Uma estimativa fornecida pela protensão pode ser 
determinada pelo método proposto por Gardner e Kallage (1998), que considera o efeito da 
protensão e a armadura aderente. Em pilares de extremidade e de canto, deve ser ressaltado 
que cabos aderentes promovem menos compressão do concreto do que cabos não 
aderentes. 
 
 
 19 
2.2 - PESQUISAS REALIZADAS NA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA – UnB 
 
Corrêa (2001), Alves (2002), Villaverde (2003), Silva (2005) e Carvalho (2005) 
apresentaram resultados de ensaios em lajes de concreto protendidas com pilares internos. 
 
Apesar desses estudos serem para lajes cogumelo protendidas com pilares internos, é 
relevante citá-los, pois existem conclusões inerentes às lajes protendidas que se aplicam 
tanto para lajes com pilares internos quanto para pilares de extremidade, como: traçado dos 
cabos, força de protensão, altura e distribuição dos cabos, fissuração da laje e modo de 
ruptura. 
 
2.2.1 - Corrêa (2001) 
 
O trabalho desenvolvido por Corrêa foi o primeiro trabalho realizado na UnB na linha de 
punção em lajes cogumelo protendidas. O sistema de protensão utilizado foi do tipo não-
aderente com cordoalhas engraxadas e teve como objetivo avaliar os efeitos da protensão 
na resistência última à punção. 
 
Foram avaliados o efeito da compressão no plano e o efeito da força equilibrante nas lajes, 
adotando-se para o primeiro caso um traçado reto em planta e em perfil, com os cabos 
situados no plano médio da laje, para que os efeitos de desvio da força vertical fossem 
minimizados, e para o segundo caso adotando-se um traçado reto em planta e semi-
poligonal em perfil, composto por dois traçados retilíneos e por uma pequena curvatura no 
centro da laje. 
 
O estudo consistiu no ensaio de 6 lajes de dimensões 2000 x 2000 mm e com espessura de 
120 mm, com mesma armadura passiva aderente, mesma armadura de fretagem e mesmo 
tipo de aço de protensão, e tendo como principais variáveis o traçado, disposição e 
quantidade de cabos, exceto para a laje LP1, que não possuía armadura ativa e que era de 
referência. 
 
O sistema de ensaio utilizado consistiu na aplicação de uma carga por meio de um macaco 
hidráulico situado no centro da laje, que transmitia a carga através de uma placa metálica 
 20 
de 150 x 150 mm, simulando um pilar. A laje, por sua vez, reagia com uma laje de reaçãopor meio de vigas metálicas que estavam situadas em seus bordos e ancoradas com 
parafusos de alta resistência. A Figura 2.7, a Figura 2.8 e a Figura 2.9 apresentam detalhes 
das lajes ensaiadas. 
 
 
28
0
80
0
10001000
Reação
Vigas de
80
0
28
0
150x150
Placa Metálica
 
Figura 2.7 – Esquema de ensaio – Vista superior – Corrêa (2001) 
 
Laje de Reação
Macaco
900 kN
Reação
Viga de
Célula de Carga
Placa Metálica
 
Figura 2.8 – Esquema de ensaio – Vista lateral – Corrêa (2001) 
 21 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Detalhe das lajes – Corrêa (2001) 
 
Foram utilizadas mono cordoalhas engraxadas do tipo CP190RB de 12,7 mm, com fptk = 
1873 MPa, fp0,1k = 1686 MPa e Ep = 1,96x105 MPa, concreto com resistência de 40 MPa 
aos 28 dias e aço aderente de CA50, fyk = 500 MPa e Es = 2,1x105 MPa. A armadura de 
flexão consistia de barras de 12,5 mm, espaçadas a cada 100 mm em cada direção, com 
altura efetiva nas duas direções de 105 mm e empregou-se uma malha inferior de barras de 
6,3 mm a cada 100 mm. As lajes LP2 e LP3 foram executadas com um traçado reto nos 
cabos e com 6 e 10 cabos por seção, respectivamente. As lajes LP4, LP5 e LP6 foram 
executadas com um traçado poligonal e com 2, 4 e 6 cabos por seção, respectivamente. A 
laje LP1 foi utilizada como referência e não possuía armadura ativa. O resumo das lajes 
ensaiadas é mostrado na Tabela 2.6. 
 
 
 
150mm x 150mm
1125
mm
LP2 LP3
1125
mm
150mm x 150mm
LP4
70mm
150mm x 150mm
LP5
210mm
150mm x 150mm
LP6
350mm
150mm x 150mm
 22 
Tabela 2.6 – Resumo das Lajes – (Corrêa 2001) 
Sup. Inf. Seção crítica Toda a laje
LP1 - 1,1 0,3 - - - -
LP2 Reto 1,1 0,3 0,8 0,37 6 100
LP3 Reto 1,1 0,3 0,8 0,62 10 100
LP4 Poligonal 1,1 0,3 0,8 0,12 2 100
LP5 Poligonal 1,1 0,3 1,6 0,25 4 100
LP6 Poligonal 1,1 0,3 1,6 0,37 6 100
Laje nº
ρp (%) Nº 
cabos
P/cabo 
(kN)
ρs (%)
Traçado
 
 
O estudo verificou que os ângulos de inclinação das superfícies de ruptura em forma de 
troncos de cone, medidos externamente, diminuem com a inserção de protensão, quando se 
compara a laje LP1 com as demais. A laje LP1 teve o ângulo variando de 22º a 37º, a laje 
LP2 teve o ângulo variando de 14º a 27º, a laje LP3 teve o ângulo variando de 17º a 19º, a 
laje LP5 teve o ângulo de 19º e a laje LP6 teve o ângulo variando de 13º a 29º. As lajes 
LP2 e LP3 fissuraram menos que a laje de referência e menos ainda que as lajes destinadas 
à avaliação do efeito da força de desvio. A Tabela 2.7 apresenta os resultados dos ensaios. 
 
Para as cargas de ruptura por punção, obteve-se um melhor resultado utilizando-se as 
expressões do FIP/98, seguido pelas expressões da EC2/98. Apesar de ser simplificada a 
formulação do ACI-318/95 mostrou resultados que menos se aproximaram dos ensaios 
experimentais. A parcela da compressão no plano foi 1,5 vez maior que a estimada nas 
expressões do FIP/98 e EC2/98 e cerca de 3 vezes menor no caso do ACI-318/95, 
indicando que a expressão do ACI está mal aferida para o estudo. As expressões da FIP/98 
trazem expressões do MC/90 adotadas pela NB2/00, obtendo-se os melhores resultados. 
 
Em relação aos efeitos da protensão, Corrêa observou que houve uma contribuição maior 
na resistência à punção nas lajes em que foram estudados os efeitos da força equilibrante, 
na ordem de 25% de aumento médio da resistência efetiva das lajes, e um aumento por 
volta de 10% da resistência nas lajes onde foi estudado o efeito da compressão no plano. 
 
 
 
 23 
Tabela 2.7 – Resumo dos resultados experimentais (Corrêa 2001) 
Laje Nº cabo/ direção Traçado
fc (Mpa) fct (Mpa) Pt (kN)
LP1 - - 52,2 3,3 327,5
LP2 6 Reto 50,6 3,3 355,4
LP3 10 Reto 53,9 4,1 415,4
LP4 2 Poligonal 49,2 3,7 390,0
LP5 4 Poligonal 49,2 3,7 475,0
LP6 6 Poligonal 52,9 3,5 437,0 
 
 
Vale ressaltar que não houve uma correção da protensão inicial nos ensaios de Corrêa 
(2001), ficando os cabos de protensão com força bem inferior à prevista. O autor usou de 2 
a 10 cabos em cada direção e controlou a força de protensão em apenas dois cabos em cada 
ensaio, obtendo-se nos cabos controlados forças variando de 76 a 111 kN, com uma força 
de protensão prevista de 100 kN. 
 
2.2.2 - Alves (2002) 
 
O trabalho desenvolvido por Alves (2002) teve como objetivo investigar a influência da 
curvatura vertical e da curvatura horizontal dos cabos de protensão, decorrentes do não 
alinhamento dos pilares, na resistência à punção de lajes cogumelo protendidas com pilares 
internos e utilizando cabos não aderentes. O autor utilizou o mesmo esquema de ensaio de 
Corrêa (2001), utilizando também apenas duas células de carga para medição da variação 
da força de protensão nos cabos. 
 
O autor concluiu que os cabos com configuração reta apresentam em geral uma variação 
maior da tensão de protensão em comparação com os cabos curvos, apresentando um 
acréscimo de 8% e 5% durante os ensaios, respectivamente. 
 
Alves, concluiu também que os melhores resultados foram para as lajes que apresentavam 
os cabos que permaneciam dentro da superfície de ruptura do tronco de cone. 
 
 24 
Em relação aos efeitos da protensão, o autor concluiu que houve uma contribuição maior 
na resistência à punção nas lajes que foram estudadas os efeitos da força equilibrante (Vp), 
na ordem de 25%, obtendo 10% no estudo do efeito da compressão no plano (Vcp). 
 
O autor concluiu que todos os resultados obtidos nas lajes de Corrêa foram superiores aos 
resultados das lajes com cabos curvos na horizontal apresentadas em seu trabalho, exceto 
para duas lajes que foram calculadas pelo EC2:1998. 
 
2.2.3 - Villaverde (2003) 
 
Seguindo a mesma linha de pesquisa desenvolvida por Alves (2002), Villaverde (2003) 
investigou de forma mais aprofundada a influência da curvatura vertical e da curvatura 
horizontal dos cabos de protensão, decorrentes do não alinhamento dos pilares, na 
resistência à punção de lajes cogumelo com pilares de interior. 
 
O autor concluiu que a resistência última à punção pouco varia quando se inclinam os 
cabos em até 30º, apresentando uma maior variação na resistência na ordem de 3,5%. 
 
Em relação à parcela da carga equilibrante (Vp), o autor recomendou a consideração das 
componentes verticais das forças de protensão dos cabos que passam dentro de um suposto 
cone formado a 45º a partir da face do pilar, uma vez que este procedimento apresentou os 
melhores resultados. 
 
Em relação à parcela de compressão no plano, o autor concluiu que esta parcela influi 
cerca de 10% na resistência última por punção em níveis usuais de tensão e recomendou a 
consideração desta parcela pela NBR 6118:2003 no cálculo da resistência de uma laje 
cogumelo protendida com pilar de interior. 
 
 
 
 
 25 
2.2.4 - Silva (2005) 
 
O trabalho desenvolvido por Silva (2005) teve os seguintes objetivos: realizar um estudo 
detalhado da resistência ao puncionamento em lajes cogumelo protendidas com pilares de 
interior, destacando principalmente as parcelas de compressão no plano (Vcp) e a 
equilibrante (Vp); estudar a resistência ao puncionamento para lajes com diferentes 
relações “lado do pilar”/ “altura útil da laje” (c/d); e estudar a resistência ao 
puncionamento para lajes com a cablagem passando dentro e fora da seção transversal do 
pilar. 
 
Foi observado um crescimento da carga de protensão durante os ensaios, para as lajes com 
pilar de 300 x 300 mm, entre 8% e 17%. Observou-se também que esses aumentos da 
carga de protensão foram maiores nas cordoalhas próximas ao pilar. 
 
O autor concluiu que a localização dos cabos de protensão fora do pilar reduz a resistência 
à punção da laje. Também se verificou que as lajes com menor espaçamento entre os 
cabos, possuem mais resistência que as lajes com o mesmo número de cabos, com maior 
espaçamento. 
 
O autor apresentou resultados em que a parcela da resistência relativa à compressão do 
concreto devido à protensão (Vcp) é superiorà parcela devido à curvatura dos cabos na 
vertical (Vp). 
 
2.2.5 - Carvalho (2005) 
 
O trabalho apresentado por Carvalho (2005) teve como objetivo estudar o comportamento 
e resistência de lajes cogumelo protendidas com pilares internos, com cabos não aderentes 
e armadura de cisalhamento, submetidas à punção, tendo como principais variáveis a área, 
a distribuição e o número de camadas da armadura de cisalhamento e o comprimento do 
lado do pilar. 
 
 26 
O autor concluiu que o acréscimo de armadura de cisalhamento nas lajes protendidas 
aumentou a resistência à punção de 16% a 60% em relação às lajes de referência e a altura 
efetiva da laje também exerceu importante influência na resistência ao puncionamento. 
 
Em relação ao aumento na força de protensão, o autor observou um incremento entre 5% e 
27% da força de protensão em relação à força média de protensão no início do ensaio, 
observando incrementos maiores em carregamentos próximos ao aparecimento da primeira 
fissura circunferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
2.3 - PRESCRIÇÕES NORMATIVAS 
2.3.1 - ACI-318:2002 
 
O dimensionamento de uma seção sujeita à uma transferência de momento entre a laje e o 
pilar e sem armadura de cisalhamento deve ser baseado em: 
 
un vv ≥φ (2.1) 
 
onde: 
uv = tensão de cisalhamento atuante na seção considerada; 
nv = tensão resistente nominal ao cisalhamento, dada por db
V
v cn
0
φ
φ = ; 
cV = resistência nominal de punção; 
ob = perímetro crítico; 
d = altura útil da laje; 
φ = fator de redução da resistência nominal, igual a 0,85 para peças solicitadas por 
cisalhamento. 
 
A distribuição de tensões é assumida como ilustrado na Figura 2.10 e as tensões de 
cisalhamento atuantes podem ser calculadas usando as seguintes expressões: 
 
c
ABuv
c
u
ABu J
cM
A
V γ
ν +=)( 
 (2.2) 
c
CDuv
c
u
CDu J
cM
A
V γ
ν −=)( 
(2.3) 
 )1( fv γγ −= (2.4) 
21 /)3/2(1
1
bbf +
=γ (2.5) 
 
onde: 
Vu = força ou reação do pilar; 
Mu = momento perpendicular à extremidade da laje em relação ao eixo que passa no centro 
de gravidade da seção crítica; 
 28 
b1 = largura da seção crítica medida na direção do vão para quais os momentos são 
determinados; 
b2 = largura da seção crítica medida na direção perpendicular a b1; 
Ac = área de concreto da seção crítica assumida = bo.d; 
Jc = momento polar de inércia da seção crítica assumida; 
cAB = centro de gravidade do perímetro crítico.. 
 
Seção 
CríticaC
CABCCD
c
B
Cisalhamento
Tensão de
D
b1= c2 + d
c A
vCD
V
M
C.G. Pilar
vAB
c
cb2 = c1 + d/2
 
Figura 2.10 – Seção crítica e distribuição das tensões assumidas (ACI-318:2002) 
 
O valor da resistência à punção, Vc, para lajes cogumelo protendidas é dado pela equação: 
 
p0pc
'
cpc Vdbf3,0fV +⋅⋅


 += β (2.6) 
 
onde: 
 
sα = 
 
 
 
 
 
 'cf = resistência à compressão especificada do concreto; 
 ob = perímetro crítico (mm), dado por: b0 = 3c + 2d, para pilares com seção quadrada; 
 c = lado da seção quadrada do pilar; 
 d = altura útil da laje considerando a armadura ativa e passiva. d ≥ 0,8h; 
pβ : o menor valor entre 
 
0,29 
12
5,1b
d
o
s 



 +⋅α
; 
 
 
40 para pilares de interior 
30 para pilares de extremidade; 
20 para pilares de canto 
 
 29 
 pcf = valor médio da tensão no concreto nas duas direções; 
 pV = componente vertical da força de protensão efetiva que atravessa a seção critica. 
 
Observa-se que o valor de Vc na expressão anterior está em função de três fatores: 
resistência do concreto, resistência acrescida ao concreto pelo confinamento causado pela 
componente horizontal da protensão, e finalmente a resistência devida à carga equilibrante 
ou de desvio, causada pelas componentes verticais da força de protensão dentro do 
perímetro crítico, como se observa na Figura 2.11. 
 
O perímetro crítico é dado pelo contorno distante a d/2 do contorno do pilar, da carga 
concentrada ou da região carregada, como mostra a Figura 2.10. 
 
A equação apresentada para o cálculo da parcela Vp é sugerida por Mitchell e Collins 
(1991) e vale para o esquema da Figura 2.11. 
 
( )
( )dc
l
hPVp +⋅
⋅⋅
= 12
1
22
β
 (2.7) 
 
onde: 
P = força de protensão aplicada no cabo; 
Βl1 = corresponde à distancia do centro do pilar ao ponto de inflexão do cabo; 
h2 = altura vertical do ponto de inflexão à altura máxima do cabo. 
 
1c
do cabo
Ponto de inflexão 
Vp
β
Seção crítica parad/2
a punção
2h
1l
 
Figura 2.11 – Determinação de Vp – Mitchell e Collins (1991) 
 
 30 
As restrições para o cálculo da parcela Vc são: 
- Nenhuma porção da seção transversal do pilar deve estar mais próxima de uma 
descontinuidade menor do que quatro vezes a espessura da laje; 
- 'cf na equação não deve ser maior do que 35 MPa; 
- pcf em cada direção não deve ser menor do que 0,9 MPa, e não maior do que 3,5 MPa. 
 
De acordo com o ACI-318:2002, para o caso da laje estudada, a protensão no perímetro 
crítico não é totalmente efetiva no cálculo da resistência da laje à punção e devem ser 
desprezadas as parcelas devidas ao efeito da protensão. 
 
Para possibilitar uma análise de quanto carga atuante é majorada, será considerado um 
termo β, que será o coeficiente de majoração da carga atuante e que é fruto da interação 
momento/cortante atuante na laje. A Equação 2.2 pode ser escrita então da seguinte forma: 
 
db
V
o
u
ABu βν =)( 
 (2.8) 
 
onde: 
 






+=
cu
ABuv
JV
dbcM 01
γ
β 
 (2.9) 
 
Vale ressaltar que a relação M/V é constante para cada laje ensaiada, por isso o termo β 
pode ser tratado como um coeficiente de redução da capacidade resistente, visto que é 
necessário saber com que carga vertical a laje vai romper em cada ensaio. 
 
Dessa forma, pode-se determinar a equação da capacidade resistente à punção de uma laje 
cogumelo protendida com pilar de extremidade, de acordo com o ACI-318:2002. 
 
( )[ ]ppccpn VdbffV +⋅⋅+= 0' 3,01 ββ 
 (2.10) 
 
 
 
 31 
2.3.2 - NBR 6118:2003 
 
A verificação à punção em lajes pela norma NBR 6118:2003 analisa três superfícies 
criticas: na primeira superfície critica (Contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve 
ser verificada a tensão de compressão diagonal do concreto através da tensão de 
cisalhamento; na segunda superfície (Contorno C’), afastada a 2d do contorno do pilar, 
deve ser verificada a capacidade da ligação à punção associada à tensão resistente da 
compressão diagonal; e a terceira superfície (Contorno C’’) apenas é verificada quando for 
preciso colocar armadura transversal de cisalhamento. 
 
2d2d da lajeda laje
reduzido u*
Perímetro crítico
Perímetro crítico u
Borda livre
C1
C2
2d2d
Borda livre
1,5d e 0,5C1
 
Figura 2.12 – Perímetro crítico de punção (NBR 6118:2003) 
 
Deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto através da 
tensão de cisalhamento no contorno do pilar (Contorno C), em lajes submetidas à punção, 
com ou sem armadura de punção, de acordo com a Equação 2.11. 
 
cdvRdefsd fαττ 27,02, =≤ (2.11) 
 
onde: 
 
)
250
f1( ckv −=α ; com fck em MPa. (2.12) 
 
 
 32 
Além da verificação da tensão resistente no contorno crítico C, deve ser feita uma 
verificação da tensão resistente na superfície crítica C’, de acordo com a Equação 2.13. 
 
3/1
1, )..100)(/201(13,0 ckRdefsd fd ρττ +=≤ (2.13) 
 
onde: 
d = altura útil da laje ao longo da superfície crítica C’ da área da aplicação da força (cm); 
ρ = taxa de armadura de flexão aderente calculada para uma faixa igual a 3d da face do 
pilar; 
 
A tensão atuante na superfície crítica é calculada fazendo uma interação entre o momento e 
o cortante atuante na laje, levando em consideração as características do pilar e da laje. 
 
Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre a tensão atuante deve sercalculada usando a Expressão 2.14. 
 
dW
MK
du
F
p
SdSd
Sd
1
11
*
+
⋅
=τ (2.14) 
 
onde: 
0*)(1 ≥−= SdSdSd MMM (2.15) 
Fsd = força ou reação concentrada de cálculo; 
d = altura útil da laje = 0,5(dx+dy); 
u* = perímetro crítico reduzido; 
MSd = momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre em relação ao eixo que 
passa pelo centro do pilar; 
MSd* = momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* 
em relação ao centro do pilar; 
WP1 = módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o 
perímetro crítico u. 
 
O desenvolvimento para se chegar à equação de WP1 para lajes cogumelo com pilares 
interior e de extremidade é apresentado no Anexo C. A norma NBR 6118:2003 adota o 
 33 
mesmo critério para o cálculo de W1 utilizado pelo EC2:2002 e pelo FIP:1998. O valor de 
WP1 para lajes cogumelo com pilares de extremidade pode ser tomado por: 
 
1
2
2
21
2
1
1 8222
dcddc
ccc
WP π++++= (2.16) 
 
Tabela 2.8 – Valores estabelecidos para K1 (NBR 6118:2003) 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
K1 0,45 0,60 0,70 0,80
C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força;
C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força;
 
Com relação aos efeitos da protensão, a norma introduziu como redução da força efetiva o 
valor correspondente à força devida ao efeito da inclinação dos cabos que atravessam o 
contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar. Dos cabos que passam a 
menos de d/2 da face do pilar, a parcela da carga equilibrante deve ser calculada de acordo 
com o esquema da Figura 2.13. 
 
2P.sen
P.sen
P
α
2d
α
α
2d
P.senα
P
α
 
Figura 2.13 – Representação da carga equilibrante (NBR 6118:2003) 
 
A tensão atuante efetiva, τSd,ef, deve ser calculada levando em consideração o efeito dos 
cabos inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/2 da face 
do pilar e deve ser calculada usando a seguinte expressão: 
 
PdSdefSd τττ −=, (2.17) 
 
onde: 
 34 
du
senP iik
Pd .
inf,∑= ατ (2.18) 
 
onde: 
τPd = tensão devida ao efeito da inclinação dos cabos; 
Pkinf,i = força de protensão do cabo i; 
αi = inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado; 
u = perímetro crítico considerado, em que se calculam τSd,ef e τSd. 
 
Tal como mostrado no item 2.3.1, será considerado um coeficiente β que será o coeficiente 
de majoração da carga atuante. Dessa forma, a Equação 2.14 pode ser escrita da seguinte 
forma: 
 
du
FSd
Sd ⋅
=
*
βτ ; (2.19) 
 
onde: 








+=
1
11 *1
pSd
Sd
WF
uMK
β ; (2.20) 
 
Como a relação M/V é constante para cada ensaio, a capacidade resistente à punção de 
uma laje cogumelo protendida com pilar de extremidade, de acordo com a norma NBR 
6118:2003, pode ser calculada pela equação: 
 
( )pcR VVP += β
1 ; (2.21) 
 
onde: 
 
Vc = parcela da resistência do concreto juntamente com contribuição da armadura passiva; 
Vp = parcela devido à curvatura vertical dos cabos que atravessam o contorno considerado. 
 
 
 
 35 
2.3.3 - FIP:1998 (Fédération Internationale de la Précontrainte) 
 
As recomendações do FIP:1998 para as verificações de punção em lajes cogumelo 
protendidas consideram lajes com altura constante dentro de uma área crítica, podendo ter 
diferentes níveis de protensão nas duas direções ou ser protendida em apenas uma direção. 
 
A carga efetiva atuante de punção pode ser definida levando-se em conta os efeitos de um 
possível momento transmitido entre a laje e o pilar. A carga efetiva aplicada é dada pela 
seguinte expressão: 
 
),(, PPPP SdSdeffSd β= (2.22) 
 
PSd(PSd,p,P) é obtido pela análise de cargas externas e cargas de protensão. PSd é a carga 
atuante na laje e pode ser reduzida da carga equilibrante de protensão que age dentro de um 
perímetro que dista 0,5h da face do pilar ou da carga aplicada. 
 
O coeficiente β para ligações laje-pilar de extremidade, na qual a excentricidade 
perpendicular à extremidade livre da laje é na direção do interior da laje, é dado por: 
 






+=
1
1
*
1
1
wP
uM
k
u
u
Sd
Sdβ (2.23) 
 
O valor de k depende da relação entre as dimensões do pilar, e é mostrado na Tabela 2.9. 
 
Tabela 2.9 – Determinação do coeficiente k (FIP:1998) 
c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0 
k 0,45 0,60 0,70 0,80 
c1 (paralelo à excentricidade, dada por e = MSd/PSd) e c2 (perpendicular à excentricidade) 
 
O parâmetro w1 pode ser determinado por: 
∫=
1
01
u
dlew (2.24) 
 
onde: 
dl = comprimento infinitesimal do perímetro crítico u1; 
e = distância de dl ao eixo em que atua o momento MSd. 
 36 
 
De acordo com o exposto no Anexo C, o valor de w1, para lajes cogumelo com pilares de 
extremidade, pode ser determinado pela seguinte equação: 
 
1
2
2
21
2
1
1 8222
dcddccccw π++++= (2.25) 
 
O perímetro de controle u1 e o perímetro de controle reduzido, u1* são obtidos a partir do 
contorno afastado de 2d da face do pilar ou área carregada de acordo com a Figura 2.14. 
 
Zona de ancoragem
Perímetro de controle
reduzido u*1
2d
2d
C1
C2
2d
2d
1,5d e 0,5C1
Menor valor entre
Perímetro de controle u1
 
Figura 2.14 – Perímetro de controle de punção (FIP:1998) 
 
A carga efetiva de punção, apresentada na Equação 2.22, pode ser reduzida pela carga de 
punção de descompressão equivalente Pp0. 
 
0, ),( pSdSdeffSd PPPPP −= β (2.26) 
 
O efeito da compressão da protensão pode ser obtido pela equação: 
 
yx
yxxy
p bb
bPbP
P
+
+
= 000 (2.27) 
 
onde bx e by são as dimensões do perímetro de controle em x e em y. Px0 e Py0 são as forças 
de descompressão correspondentes às forças de protensão nas duas direções. 
As forças de descompressão devem ser calculadas usando: 
 37 
Sd
ySd
y
x PM
M
P 00 = e Sd
xSd
x
y PM
M
P 00 = (2.28) 
 
onde PSd = PSd(PSd,P) é a força de punção de projeto e MxSd(PSd,P) e MySd(PSd,P) sãos os 
momentos fletores na face do pilar para a largura bx e by, respectivamente, definido como: 
 
6
2
0
hbM xcpyx σ= e 6
2
0
hb
M ycpxy σ= (2.29) 
 
onde σcpx e σcpy são as tensões principais na seção transversal da laje devido a protensão. 
 
A Equação 2.26 pode ser tomada como sendo: 
 
0,, )( ppSdSdeffSd PPPP −−= β (2.30) 
 
onde: 
PSd = carga vertical atuante na laje (reação do pilar); 
PSd,p = parcela da carga equilibrante de protensão que age dentro de um perímetro que dista 
0,5h da face do pilar ou da carga aplicada; 
Pp0 = parcela carga de punção de descompressão equivalente ou de compressão no plano. 
 
O valor de PSd,p, ou parcela da carga equilibrante deve ser obtido pelo esquema da Figura 
2.15. 
P.tan
P
α
0,5h
α
α
0,5h
P.tan α
P
α
2P.tan
 
Figura 2.15 – Parcela da carga equilibrante (FIP:1990) 
 
 38 
O valor da carga resistente à punção, em Newtons, com fck em MPa, pode ser obtido pela 
expressão: 
 
dufP ckRd ..).100(12,0 1
3/1ρξ= (2.31) 
 
onde: 
d
2001+=ξ , d em milímetros; 
ρ = taxa de armadura de flexão aderente calculada para uma faixa igual a 2d da face do 
pilar; 
u1 = perímetro de controle; 
d = altura útil da laje; 
Fck = resistência característica do concreto. 
 
Para a verificação ser satisfeita é necessário que PSd,eff ≤ PRd. 
 
Dessa maneira, pode-se criar uma expressão para a carga resistente da punção em lajes 
cogumelo protendidas com pilares de extremidade: 
 
[ ] pSdpckRd PPdufP ,013/1 ..).100(12,01 ++= ρξβ (2.32) 
 
SdeffSd PP =, (2.33) 
 
Silva (2005) apresenta a equação da carga resistente de uma laje cogumelo protendida com 
pilar interno pelo FIP:1998 da seguinte forma: 
 
pe
p
pPcRkRk mm
m
VVVVV
''
'
)( 0, −
−++= (2.34) 
 
O mesmo autor apresenta a Equação 2.34 de modo que a relação de V/m’ seja conhecida e 
apresenta a Equação 2.35. 
 
( ) ( ) ( )[ ] 0''
'
''
' 0,,0
2 =++




+





+++




− pppcRkpepcRkpepRkRk VmVVmm
VVVmm
m
VVV (2.35) 
 
 39 
Porém, a Equação 2.35 considera uma