TEMA 6 - Projeto de Lajes Especiais

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Projeto de Lajes Especiais
Prof.ª Larissa Camporez Araújo
Descrição Propriedades e características das lajes nervuradas, lajes steel deck,
lajes bubbledeck e lajes protendidas.
Propósito O conhecimento de possibilidades variadas do elemento laje para a
escolha da melhor opção para o sistema do projeto estrutural é de
grande importância para a formação do engenheiro civil.
Objetivos
Módulo 1
Lajes nervuradas
Empregar em projeto a laje nervurada do
tipo treliçada.
Módulo 2
Projeto de lajes em steel
deck
Aplicar cálculos para o projeto de lajes em
steel deck.
Módulo 3
Sistema de lajes bubbledeck
Reconhecer o sistema de lajes bubbledeck.
Módulo 4
Lajes protendidas
Analisar um projeto de laje em concreto
protendido.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os
conceitos de projeto de lajes especiais.
1 - Lajes nervuradas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar em projeto a laje nervurada do tipo treliçada.
Vamos começar!
Como empregar em projeto a laje
nervurada do tipo treliçada


Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
Lajes unidirecionais de vigotas
pré-moldadas: introdução e
de�nições
Neste conteúdo, serão considerados pavimentos simples, econômicos e que
resultam em boas soluções para pequenos e médios vãos – caso de casas,
sobrados e prédios pequenos com fins residenciais e comerciais.
Nessas situações, é crescente o emprego de lajes nervuradas com vigotas pré-
moldadas, em vez de utilizar sistemas de lajes maciças em concreto armado. A
imagem a seguir ilustra uma foto da execução de um projeto residencial com laje
nervurada pré-moldada treliçada unidirecional com enchimento de poliestireno
expandido (EPS), conhecido popularmente como “isopor”.
Lajes nervuradas pré-moldadas treliçadas com enchimento de EPS (poliestireno expandido)
Estudaremos as lajes nervuradas unidirecionais com vigotas pré-moldadas de
dois tipos: “trilho” e “treliça”, que são utilizadas para vencer pequenos e médios
vãos com cargas não muito elevadas. As normas brasileiras que tratam dessas
lajes são a ABNT NBR 14859:2002 e a ABNT NBR 14860:2002.
Essas lajes são formadas por vigotas (elementos pré-moldados), material de
enchimento (geralmente, blocos cerâmicos ou de “isopor”) e por uma capa de
concreto moldada no local.
Veja os exemplos a seguir:
Lajes tipo a) trilho e b) treliça.
Laje tipo trilho e treliça
A imagem ilustra de forma esquemática as lajes tipo trilho e tipo treliça.
Modelo de armação da vigota da laje treliçada.
Modelo de armação
A imagem ilustra um modelo de armação da vigota de uma laje
treliçada.
Vigotas treliçadas.
Vigotas treliçadas
A imagem ilustra uma foto com várias vigotas treliçadas.
Segundo a ABNT NBR 14859-1:2002, existe uma diferença entre as lajes pré-
fabricadas unidirecionais e as vigotas pré-fabricadas, veja:
Lajes pré-fabricadas
unidirecionais
São lajes nervuradas
constituídas por nervuras
principais longitudinais,
dispostas em uma única
direção.
Vigotas pré-fabricadas
São constituídas por
concreto estrutural,
construídas fora do local de
utilização, em indústrias ou
no canteiro de obras sob
rigoroso controle de
qualidade.
O concreto engloba parcial ou totalmente a armadura inferior de tração. As
vigotas pré-fabricadas podem ser:
Laje pré-fabricada com vigotas de concreto armado (LC).
De concreto armado
Com seção de concreto usualmente formando um “T” invertido, com
armadura passiva totalmente englobada pelo concreto da vigota (são
utilizadas para compor lajes de concreto armado – LC).
Laje pré-fabricada com vigotas de concreto protendido (LP).
De concreto protendido
Com seção de concreto usualmente formando um “T” invertido, com
armadura ativa pré-tensionada totalmente englobada pelo concreto da
vigota (são utilizadas para compor lajes de concreto protendido – LP)
Laje pré-fabricada com vigotas treliçadas (LP).

Treliçadas
Com seção de concreto formando uma placa, com armadura treliçada
(de acordo com a ABNT NBR 14862:2002), parcialmente englobado
pelo concreto da vigota. Dependendo dos esforços, pode ser necessária
a complementação da armadura passiva inferior de tração, que é
totalmente envolvida pelo concreto da nervura. São utilizadas para
compor as lajes treliçadas (LT).
As principais vantagens são: não gastar fundo e pouco escoramento. E, entre as
principais desvantages, podemos citar a dificuldade na execução das
instalações prediais e os valores dos deslocamentos transversais, que são bem
maiores do que os da laje maciça.
De acordo com a ABNT NBR 14859-1:2002, em lajes treliçadas, na
impossibilidade de ser colocada na vigota treliçada toda a armadura passiva
inferior de tração necessária, é admitida a armadura longitudinal complementar.
Também, de acordo com essa norma, deve ser colocada uma armadura de
distribuição posicionada na capa de concreto, nas direções transversal e
longitudinal, para a distribuição de tensões oriundas de cargas concentradas e
para o controle de fissuração.
A armadura de distribuição deve ter, no mínimo, uma área de para
aços e de para aços CA50 e CA60 e tela soldada com no
mínimo três barras por metro.
Carvalho (2014) apresenta sete etapas para a execução dessas lajes:
0, 9cm2/m
CA − 25 0, 6cm2/m
 Etapa 1
É realizado o nivelamento e acerto do piso e execução do
escoramento e das guias mestres que devem ser colocadas
em espelho. Nesta etapa, quando necessário, são
posicionadas as contraflechas.
 Etapa 2
É realizada a colocação das vigotas, posicionando o
material de enchimento, que pode ser lajota, EPS ou outro
nas extremidades como gabarito do espaçamento entre
vigotas. Podemos ter duas situações:
Apoio das vigotas sobre a estrutura de concreto armado
(vigas): as vigotas devem ser apoiadas sobre as formas,
após estarem alinhadas, niveladas, escoradas e com a
armadura colocada e posicionada; devem penetrar nos
apoios pelo menos 5cm e no máximo igual à metade da
l d i d i d
largura da viga; neste caso, a concretagem da viga e da
capa de concreto são simultâneas.
Apoio das vigotas diretamente sobre alvenaria: deve-se
respaldar a alvenaria e distribuir uma ferragem sobre ela
para se formar uma cinta de solidarização; as vigotas
devem penetrar nos apoios de modo semelhante ao anterior,
e a concretagem da cinta também deve ser simultânea à
capa.
 Etapa 3
É realizada a colocação dos elementos de enchimento,
tubulação elétrica, caixas de passagem etc.
 Etapa 4
É realizado o posicionamento das armaduras de distribuição
e, quando necessárias, as negativas, conforme indicação do
projetista ou do fabricante. As armaduras negativas devem
ser apoiadas e amarradas sobre a armadura de distribuição
e colocadas transversalmente às vigotas principais.
 Etapa 5
É realizada a limpeza cuidadosa da interface entre as
nervuras e o concreto que será lançado, retirando do local:
areia, pó, terra, óleo e qualquer substância que pode
prejudicar a transferência de esforços entre as superfícies
de contato. Essa interface deve ser mantida úmida, porém,
sem acúmulo de água.
A próxima imagem ilustra, esquematicamente, as lajes caracterizadas por
nervuras, formadas pela vigota e pelo concreto, moldando o local até a meia
distância entre as duas vigotas adjacentes alinhadas segundo apenas uma
direção, por isso, denominadas de lajes nervuradas unidirecionais. É possível
obter uma laje com nervuras em duas direções, com uso de vigotas e calhas pré-
moldadas.
Detalhes construtivos de lajes pré-moldadas.
 Etapa 6
É realizada a concretagem da capa de concreto que deve
ser adensado suficientemente para que penetre nas juntas
entre as vigotas e os elementos de enchimento. Também
deve-se efetuar boa cura, molhando bem a superfície do
concreto por pelo menos três dias após a concretagem.
 Etapa 7
É realizada a retirada do escoramento que deve ocorrer
aproximadamente após quinze dias do lançamento do
concreto. Nosedifícios de múltiplos pavimentos, o
escoramento da laje de piso só pode ser retirado após o
término da laje imediatamente superior.
Determinação das �echas e
esforços
Cálculo das �echas
O cálculo de flechas é um fator de extrema importância no dimensionamento
das lajes com vigotas pré-moldadas. Iremos efetuar o cálculo considerando as
vigotas com comportamento isolado, e assim estaremos a favor da segurança.
O efeito da fluência no concreto (deformação ao longo do tempo sob ações
perpendiculares) deve ser considerado na avaliação da flecha final, conforme
solicita a ABNT NBR 6118:2014. Para o cálculo da flecha, o efeito elástico do
concreto para a situação de vigotas simplesmente apoiadas nas extremidades é
dada por:
Em que:
 é a ação atuante em uma nervura;
 é o vão do tramo da nervura, medido entre os eixos das vigas de
apoio;
 é o módulo de elasticidade do concreto;
 é a inércia média.
Momento �etor e modelo para o cálculo da armadura
A próxima imagem mostra os diagramas de momento fletor da região central do
pavimento. Na placa (laje maciça), temos o menor valor. Na nervura (laje pré-
moldada), o valor é intermediário; e, em elemento isolado, temos o maior valor
de momento.
f =
5 ⋅ p ⋅ l4
384 ⋅ Ec ⋅ Im
p
l
Ec
Im
Diagrama de momento fletor na região central da placa.
Como o valor do momento fletor máximo em elementos isolados é próximo ao
apresentado na nervura, utilizaremos a equação a seguir para o
dimensionamento das lajes nervuradas.
Em que:
 é a ação atuante em uma nervura;
 é o vão do tramo da nervura, medido entre os eixos das vigas de
apoio;
Para o modelo de cálculo de laje, adotaremos uma seção transversal em forma
de “T” como ilustrado na próxima imagem. Lembrando que deve ser colocada
uma armadura ante a face superior do piso nas regiões de apoio das nervuras
para limitar a abertura das fissuras, mesmo que as nervuras sejam calculadas
como simplesmente apoiadas.
De acordo com a ABNT NBR 14859-1:2002, as vigotas devem ter uma largura
mínima que resulte em uma nervura com largura mínima de 4,0cm. E a ABNT
NBR 6118:2014 diz que a espessura da nervura não pode ser inferior a 5cm para
lajes nervuradas moldadas no local.
Esquema da seção transversal da laje e o respectivo modelo adotado.
Mma ́x =
p ⋅ l2
8
p
l
Com base nesse modelo, na prática, é possível tabelar os resultados obtidos, a
fim de que o engenheiro possa usar determinada laje pré-moldada sem efetuar
todo o cálculo. Porém, esse procedimento não é o mais adequado. O melhor é
que o projetista efetue o dimensionamento para cada situação que se apresente.
Veri�cação ao cisalhamento
As lajes podem precisar de armadura transversal para resistir aos esforços de
tração devido à força cortante. Ou seja, se a força cortante de cálculo , a
uma distância da face do apoio, for menor ou igual à resistência de projeto ao
cisalhamento , para situação sem armadura de protensão temos:
Sendo que é a tensão resistente de
cálculo ao cisalhamento; e é a armadura longitudinal
total de todas as nervuras existentes no trecho considerado; é a altura útil das
nervuras; é a soma das larguras das nervuras no trecho considerado,
lembrando que em lajes é usual utilizar uma faixa de largura igual a 1,0 m; e é
um coeficiente que tem os seguintes valores:
Para elementos em que 50% da armadura inferior não chegam até o
apoio: ;
Para os demais casos: , não menor que , com em
metros.
Critérios para escolha da laje pré-
moldada
Para determinar a altura e a armadura de uma laje, é preciso, primeiramente,
conhecer as ações que irão atuar sobre ela. A determinação das ações atuantes
na laje foi apresentada anteriormente.
Na determinação do tipo de laje, a razão da escolha de vigotas pré-moldadas é a
economia de fôrmas e por isso não é conveniente variar muito sua geometria. É
possível, uma vez fixada a geometria, a armadura e a resistência do concreto,
determinar os momentos resistidos e assim obter o vão máximo empregado.
Dessa forma, o engenheiro pode escolher o tipo de lajes sem calculá-las.
A tabela a seguir apresenta os vãos livres máximos para laje pré-moldada tipo
trilho com apoio simples e intereixo de 33cm de acordo com o tipo/altura da laje
e a carga aplicada. Sendo a carga total aplicada.
(Vsd)
d
(VRd1)
Vsd ≤ VRd1 = [τRd ⋅ k ⋅ (1, 2 + 40 ⋅ ρ1)] ⋅ bw ⋅ d
τRd = 0, 25. fctd = 0, 25. fctk,inf/γc
ρ1 =
As1
bw⋅d
≤ 0, 02;As1
d
bw
k
k = |1|
k = |1, 6 − d| |1| d
p
Tipo
de
laje
Altura
(cm)
0,5 1 2 3,5 5 8
9,5 4,2 4 - - - -
11 4,5 4,3 4,1 3,5 2,7 -
15 5,7 5,5 5,3 4,5 3,4 -
20 6,9 6,8 6,5 5,7 4,6 3,3
25 8,3 8,1 7,9 6,7 5,5 4
30 - - 9 8,7 8,4 6,2
35 - - 10,3 9,9 9,6 7,2
Tabela 1: Vãos livres máximos (metros)para laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples – intereixo de
33cm.
Carvalho (2014, p. 95)
O uso de tabelas como a apresentada não é suficiente para a realização de um
bom projeto, pois não fornece a área de armadura necessária nem considera a
condição de deformação excessiva. A altura da laje é determinada pelo
momento fletor máximo ou pela flecha-limite.
Exemplos
Exemplo 1
(CARVALHO, 2014, p. 102-103) Escolha uma laje pré-moldada para a laje do
terraço, cuja planta de fôrmas está indicada na imagem a seguir. Suponha que o
terraço não tem acesso ao público e que o revestimento superior e inferior
 é de 1,5cm.
p (kN/m²)
β9,5
β11
β15
β20
β25
β30
β35
(γ = 19kN/m3)
Planta de fôrmas do exemplo 1.
Direção das nervuras
A direção usual para as nervuras é a menor, no caso .
Ações atuantes
Terraço sem acesso ao público (ABNT NBR 6120:2019): 
Revestimento inferior mais superior (3cm): 
Escolha da laje
É calculada de acordo com a tabela a seguir.
Altura total da laje Peso próprio
(forro)
10 1,1 3,5 m
12 1,41 5,0 m
14 1,5 6,0 m
l = 3, 0m
q = 2, 00kN/m2
g2 = 0, 03.19 = 0, 57kN/m
2
Ptotal  = 2, 57kN/m
2
(cm) (kN/m²)
p < 1, 0 kN/m²
Altura total da laje Peso próprio
(forro)
16 ou maior 1,61 -
Tabela 2: Alturas iniciais para laje pré-moldada em função de carga e vãos livres máximos.
Carvalho (2014, p. 98).
Para a carga de e , de acordo com a tabela,
teremos uma altura total de laje igual a e peso próprio de
. A altura da capa de concreto será obtida a partir da tabela a
seguir.
Altura
total da
laje (cm)
- 11 12 13 14
Espessura
mínima
da capa
resistente
(cm)
3 3 4 4 4
Tabela 3: Espessura mínima da capa para as alturas totais padronizadas.
Carvalho (2014, p. 99).
Logo, a espessura considerada para a capa será de 4cm.
Exemplo 2
Calcular, para o exemplo anterior, a reação da laje nas vigas.
Com o processo simplificado e :
Vigas V101 e V102
Vigas V103 e V104
Exemplo 3
(cm) (kN/m²)
p < 1, 0 kN/m²
>
Ptotal  = 2, 57kN/m
2 l = 3, 0m
12cm (β12)
1, 41kN/m2
(lx = 3, 0m ly = 5, 0m)
pV 101 = pV 102 =
Plaje  ⋅ lx
2
=
(1, 41 + 2, 57) ⋅ 3, 0
2
= 5, 97kN/m
pV 103 = pV 104 =
0, 25 ⋅ Plaje  ⋅ ly
2
=
0, 25(1, 41 + 2, 57) ⋅ 5, 0
2
= 2, 49kN/m
Para o problema anterior, qual a carga que a viga V101 transmite ao pilar P1,
considerando o processo simplificado? Admita que a viga é de concreto
aparente com largura de 25cm e que sobre ela há um parapeito de tijolos
cerâmicos ) de 1,5m de altura e que o aço empregado é o
CA50.
Altura da viga V101
Considerando 3cm de cobrimento da armadura chega-se a uma altura total de
. Adota-se, então, .
Carga na viga V101
Peso próprio do parapeito: 
Peso próprio da viga: 
Carga proveniente da laje: 
Total: 
Reação do pilar P1
(γ = 18kN/m3
d ≥
l
Ψ2Ψ3
≥
5, 0
1, 0.17
= 0, 29m
h = 0, 32m h = 35cm
g2 = 0, 25 ⋅ 1, 5.18 = 6, 75kN/m
g1 = 0, 25 ⋅ 0, 35.25 = 2, 19kN/m
Pl = 5, 97kN/m
Pt = 14, 91 ≅15kN/m
RP1 =
15, 0 × 5
2
= 37, 5kN
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
As lajes nervuradas treliçadas são formadas por _________________
(elementos __________________), ________________________ e
____________________.
Marque a opção que preenche a frase acima de forma correta.
A
vigotas, pré-moldados,material de enchimento, capa de
concreto
Parabéns! A alternativa A está correta.
As lajes nervuradas treliçadas são formadas pelas vigotas pré-moldadas,
materiais de enchimentos como lajotas e EPS e uma capa de concreto
moldada in loco. Também é posicionada sobre as vigotas uma malha de aço
afim de evitar a fissuração do concreto.
Questão 2
O cálculo de flechas é muito importante no dimensionamento das lajes com
vigotas pré-moldadas devido às deformações desse sistema. Dada a viga a
seguir e a equação, marque a opção que apresenta a flecha, sem considerar
os efeitos da fluência, sabendo que o módulo de elasticidade da viga é
 e o momento de inércia é .
B
capas de concreto, pré-moldados, armadura ativa, material de
enchimento
C
vigotas, moldados in loco, material de enchimento, capa de
concreto
D
materiais de enchimento, de concreto, armadura passiva,
capa de concreto
E
capas de concreto, moldados in loco, armadura ativa, material
de enchimento
24GPa 1, 07 ⋅ 10−3m4
f =
5 ⋅ p ⋅ l4
384 ⋅ Ec ⋅ Im
A 0,41cm.
B 0,52cm.
Parabéns! A alternativa C está correta.
2 - Projeto de Lajes em steel deck
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para o projeto de lajes em steel deck.
Vamos começar!
Cálculos para o projeto de lajes em steel
deck
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
C 0,63cm.
D 0,74cm.
E 0,85cm.
f =
5 ⋅ 20 ⋅ 103 ⋅ 54
384 ⋅ 24 ⋅ 109 ⋅ 1, 07 ⋅ 10−3
=
62500 ⋅ 103
9861, 12 ⋅ 106
= 6, 3 ⋅ 10−3m = 0, 63 cm

De�nições, comportamento,
materiais e dimensões
De�nições
As lajes chamadas de steel deck são lajes mistas de aço e concreto, também
conhecidas como lajes com fôrma de aço incorporada. A imagem a seguir
ilustra, de forma esquemática, a laje constituída por uma fôrma de aço nervurada
conformada a frio, sobre a qual é lançado o concreto estrutural. Como pode ser
visto na próxima imagem, a fôrma de aço possui mossas ou reentrâncias para
assegurar a aderência com o concreto. Perto da face superior do concreto é
posicionada uma armadura em tela soldada a fim de evitar a ocorrência de
fissuras ocasionadas por retração ou variações de temperatura.
Laje steel deck ou laje mista de aço e concreto.
Essas lajes apresentam diversas vantagens, como: facilidade de instalação,
dispensa de escoramento e de desforma, alta velocidade construtiva,
possibilidade da fôrma de aço funcionar como plataforma de serviço e proteção
dos operários do andar inferior. Entre as desvantagens, podemos citar:
necessidade de maior quantidade de vigas perpendiculares às nervuras da fôrma
para suporte da laje mista (geralmente vigas secundárias) e, por questões
estéticas, a necessidade de utilização de forros suspensos. A imagem a seguir
ilustra um edifício com a utilização de lajes steel deck, onde podem ser vistas as
fôrmas de aço usadas como plataforma de serviço.
Forma de aço usada como plataforma de serviços.
Comportamento
Nas lajes steel deck, as fôrmas de aço devem ser capazes de suportar as ações
atuantes, na fase inicial, durante a construção. A fase inicial compreende o
tempo anterior ao concreto atingir 75% da resistência característica à
compressão . Já na fase final, a fôrma de aço e o concreto constituem um
único elemento estrutural para suportar as ações durante a vida útil da
construção. Vale lembrar que a fôrma trabalha como a armadura positiva da laje
na direção das nervuras.
Temos dois tipos de formas:
Trapezoidais
As fôrmas trapezoidais
precisam de mossas para
garantir a aderência dessa
fôrma com o concreto.
Reentrantes
Nas fôrmas reentrantes, a
aderência é garantida pelo
atrito entre o aço e o
concreto, potencializado
pelo confinamento do
concreto entre as nervuras.
Materiais e dimensões
Atualmente, no Brasil, existem apenas fabricantes de fôrmas trapezoidais com
altura nominal das nervuras variando entre 50mm e 75mm. Com essas
(fck)

(hf)
medidas, teremos no projeto final uma altura total variando entre 100mm e
200mm ( é medida da face inferior da fôrma ao topo do concreto).
O concreto precisa ter altura mínima de 50mm acima do topo das nervuras.
Normalmente, o agregado utilizado é a brita 1, que apresenta a dimensão
máxima de 25mm. Em algumas situações, nas quais temos uma densidade
maior de armadura, utiliza-se a brita 0. A imagem a seguir apresenta as
dimensões de uma laje mista de aço e concreto.
Dimensões da laje mista.
A armadura em tela soldada deve possuir área de seção transversal mínima de
0,1% da área de concreto acima do topo da fôrma e ter seu eixo posicionado,
aproximadamente, 20mm abaixo da face superior da laje.
Dica
No catálogo da Metform, empresa especializada no ramo, é possível encontrar
as especificações das telas soldadas a serem utilizadas.
As fôrmas de aço são fabricadas com chapas finas de aço estrutural que
atendam o disposto na ABNT NBR 14762:2011 e é interessante que sejam
galvanizadas em suas duas faces. Em ambientes agressivos, além da
galvanização, é recomendada uma pintura apropriada na face exposta ao meio
externo.
O concreto precisa ter altura mínima de 50mm acima do topo das nervuras.
Normalmente, o agregado utilizado é a brita 1, que apresenta a dimensão
máxima de 25mm em algumas situações. Onde temos uma densidade maior de
armadura, utiliza-se a brita 0.
Dimensionamento da laje mista
As cargas a serem suportadas pela fôrma na fase inicial estão listadas a seguir.
Peso próprio: Do concreto fresco, da forma, da malha de aço e de
eventuais armaduras adicionais.
Sobrecarga de construção: Carga uniformemente distribuída com valor
característico mínimo de .
Efeito de empoçamento: Para casos em que o deslocamento no centro
do vão da forma, calculado com o seu peso próprio somado ao do
concreto fresco, ultrapasse o valor de , onde é o vão teórico
da laje na direção das nervuras. É considerado um acréscimo na
espessura nominal do concreto de do valor do deslocamento.
(ht)
ht
(hc)
(hc)
1kN/m2
LF/250 LF
70%
A sobrecarga de construção deve ser substituída por uma carga linear de 2,2
kN/m perpendicular à direção das nervuras, na posição mais desfavorável, se for
mais nociva, na verificação da fôrma ao momento fletor. Há alguma
complexidade nos cálculos na fase inicial, por isso, os fabricantes das fôrmas
fornecem tabelas de dimensionamento que podem ser usadas com
simplicidade.
Já na fase final, temos a ação de uma carga uniformemente distribuída
suportada pelo sistema misto de aço e concreto. E os seguintes estados-limite
últimos são aplicáveis, veja a seguir os estados-limite últimos em função de
cargas uniformemente distribuídas.
Charneira
plástica
É a plastificação de uma
linha da laje na direção
perpendicular às nervuras
pela ação do momento
fletor.
Cisalhamento
vertical
É o colapso por
cisalhamento vertical,
causado pela força
cortante.
Cisalhamento
longitudinal
É o colapso por
cisalhamento longitudinal
(na direção das nervuras),
causado pela força
cortante.
Tabelas de dimensionamento para as fases inicial e
�nal
Em Fakury et al. (2016), as tabelas apresentadas para o desenvolvimento do
dimensionamento das fases inicial e final são referentes as fôrmas MF-50 e MF-
75 (formas da Metform), conforme ilustra o manual do fabricante disponível no
site da empresa, envolvendo as fases inicial e final, respectivamente. Nessas
tabelas, iremos obter o vão máximo sem escoramento, que pode ser simples,
duplo, triplo, ou ainda, um balanço. Veja!
Vãos
simples
A fôrma é
simplesmente
apoiada.
Vãos duplos
A fôrma é contínua
sobre dois vãos
consecutivos.
Vãos triplos
A fôrma é contínua
sobre três vãos
consecutivos.
Cada vão tem o seu comprimento indicado no quadro. Se o vão do projeto for
maior que o vão da tabela, é necessária a realização de escoramento para a
concretagem.
Para a fase final temos a obtenção da máxima carga uniformemente distribuída
sobreposta que pode atuar em determinado vão. Nessa fase, a laje é
considerada simplesmenteapoiada. Para uso das tabelas, deve-se saber que:
O peso próprio da laje é pressuposto considerando o concreto com
massa específica de ;
O concreto tem resistência entre 20 MPa e 50 MPa;
As cargas sobrepostas são características e não incluem o peso
próprio da laje mista;
As lajes com altura total de 100mm para MF-50 e 130mm para a MF-75
devem ser utilizadas apenas para laje de forro.
Para evitar problemas localizados (enrugamento da alma da fôrma ou
esmagamento do apoio), as fôrmas MF-50 devem se apoiar em vigas com
comprimento mínimo de 50mm nos apoios externos e de 100mm nos apoios
internos. Repare as MF-75 em comprimento de 75mm e 150mm,
respectivamente, na próxima imagem:
Comprimentos mínimos de apoio das fôrmas de aço.
Dimensionamento da laje mista aos estados-limite
de serviço
Na fase inicial, sem escoramento da forma, o deslocamento máximo sob os
valores característicos dos pesos próprios, desconsiderando a sobrecarga de
construção, não deve exceder ou 20mm, o que for menor.
Na fase final, considerando apenas os efeitos das ações variáveis, o
deslocamento vertical das lajes mistas não pode ser maior que:
Exemplos de aplicação
Facury et al. (2016) propõem dimensionar uma laje mista (steel deck) de piso
com espaçamento entre as vigas de suporte igual a 2,80 m (próxima imagem)
para suportar uma sobrecarga característica de e carga de
revestimento de . O concreto a ser utilizado possui resistência
característica de 30 MPa.
2400kg/m3
Lf
180
Lf
350
4kN/m2
1, 1kN/m2
Planta de fôrma do exemplo.
Solução
Primeiro, constata-se que a resistência característica do concreto de 30 MPa
está dentro da faixa permitida que vai de 20 MPa até 50 MPa.
Carga característica sobreposta aplicada à laje: 
Saiba mais
Consultando as tabelas do catálogo da Metform para vão da laje mista de 2,80m
e a carga calculada, encontramos diversas opções de lajes para serem utilizadas
como piso. Considerando apenas as soluções com a menor espessura da forma,
0,80mm, temos as seguintes lajes que podemos aplicar, veja.
Entre as alternativas, a que apresenta o menor peso próprio é a fôrma MF-75,
com altura total da laje de 140mm. Como temos 75mm de altura de forma,
teremos 65mm de altura de concreto acima da nervura.
Na próxima imagem, verificamos que, para dispensar o escoramento durante a
construção, deve-se ter, no mínimo, vãos duplos. Para vão simples, é necessário
escoramento.
Identificação dos vãos máximos sem escoramento.
Na laje adotada é preciso usar uma tela soldada Q-75
 (como na próxima imagem) para evitar fissuras
oriundas de retração ou variações de temperatura, situadas a aproximadamente
20mm da sua face superior.
Quadro para consumo de concreto e armadura de retração.
p = 4 + 1, 1 = 5, 1kN/m2
(ϕ3, 8 × ∅3, 8 − 150 × 150)
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04373/catalogo_da_metform.pdf
Na imagem a seguir, veja um exemplo de uso de tela soldada para evitar fissuras
oriundas de retração ou variações de temperatura, situadas a aproximadamente
20mm da sua face superior.
Posicionamento da tela soldada, concreto e telha-forma.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Marque a opção que apresenta a correta definição para as lajes chamadas de
steel deck.
A
Lajes de aço leve conformadas a frio, cujas formas que
apresentam mossas ou reentrâncias fazem parte da laje.
B
Lajes mistas de aço e concreto, cuja forma é incorporada à
laje e apresenta características para assegurar a aderência
com o concreto.
C
Lajes em concreto pré-moldado, cuja forma de madeira é
aderida à laje formando um sistema de maior rigidez.
D
Lajes mistas de aço e concreto pré-moldado de grandes
dimensões e que necessitam de guindaste para sua
montagem.
E
Lajes formadas por vigotas de aço e com material de
enchimento (tipo: tijolos cerâmicos e EPS) que apresentam
facilidade na montagem.
Parabéns! A alternativa B está correta.
São lajes mistas de aço e concreto, com forma de aço incorporada. A forma
de aço possui mossas ou reentrâncias para assegurar a aderência com o
concreto.
Questão 2
As lajes steel deck apresentam duas fases para o suporte das cargas: inicial
e final. A seguir são realizadas algumas afirmações a respeito do suporte das
cargas.
I. As cargas do concreto fresco, da forma, da malha de aço e de eventuais
armaduras adicionais são suportadas pela forma na fase inicial.
II. A sobrecarga de construção com valor característico mínimo de 
é suportada pela forma na fase inicial.
III. O efeito de empoçamento é uma carga de suporte da fase final.
IV. Na fase final, as cargas aplicadas são suportadas apenas pelo concreto.
São corretas:
Parabéns! A alternativa A está correta.
As cargas devido ao efeito de empoçamento são suportadas pela forma na
fase inicial e as cargas, na fase final, são suportadas pelo sistema misto de
aço e concreto.
1kN/m2
A apenas as afirmativas I, II.
B apenas as afirmativas II, III.
C apenas as afirmativas III, IV.
D apenas as afirmativas I, II, III.
E afirmativas I, II, III e IV.
3 - Sistema de lajes bubbledeck
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o sistema de lajes bubbledeck.
Vamos começar!
Como reconhecer o sistema de lajes
bubbledeck
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
Considerações sobre lajes
bubbledeck
Antes de iniciar o estudo das lajes bubbledeck é importante ressaltar que,
embora não tenhamos uma norma brasileira específica para essas lajes, estudos
têm mostrado que elas apresentam os requisitos de segurança e qualidade
conforme as especificações da ABNT NBR 6118.

A bubbledeck surge como uma grande opção para
construções sustentáveis e uma alternativa às lajes mais
comuns como de concreto armado maciço, nervurado e até
mesmo steel deck. Ela é caracterizada pela colocação de
bolas/esferas ocas de polipropileno que não reagem com o
concreto na região onde a laje é tracionada e por isso não
teria a necessidade do preenchimento com concreto.
Isso também ocorre nas lajes nervuradas e nas lajes steel deck. Porém, as
esferas da bubbledeck são feitas a partir da reutilização de plásticos usados nas
próprias construções, reduzindo a emissão de gases e a quantidade de materiais
utilizados. Por isso, esse sistema de laje ganhou o prêmio de Selo Verde.
A imagem a seguir ilustra os três tipos de laje bubbledeck. Veja:
Tipos de laje em bubbledeck.
A primeira imagem ilustra o tipo A. Tem-se uma camada inferior com espessura
de 60mm de concreto que necessita de um guindaste para erguê-la. Geralmente,
é utilizada nos novos projetos por ser de fácil instalação e é ideal para acomodar
tubos e partes de instalações elétricas e hidráulicas. É possível realizar aberturas
na laje mesmo após a sua finalização.
Já o tipo B do sistema bubbledeck, representado na imagem do meio, são
módulos que englobam o reforço de bolha. Geralmente, é utilizado em reformas
e consiste na instalação de bolhas in loco, não necessitando de guindaste. No
sistema B, a laje é concretada em duas etapas, e é necessária a confecção de
fôrmas na parte inferior.
A terceira imagem representa as lajes de tipo C, montadas fora do canteiro de
obras e entregues conforme o projeto final.
É um método dinamarquês que, embora pouco utilizado no
Brasil, é bem popular no restante do mundo: já foram
construídos mais de um milhão de metros quadrados.
Consiste em unir o vazio gerado pela colocação das esferas
plásticas junto à malha de aço no interior da laje de concreto,
armada em duas direções.
Além de ser caracterizada como uma boa alternativa sustentável devido à
redução dos impactos ambientais, também apresenta redução de custos e
tempo de construção.
O sistema apresenta diversas vantagens: arquitetônicas, de engenharia, para o
desenvolvedor, para o construtor e para o meio ambiente. Algumas outras estão
descritas a seguir.
Liberdade arquitetônica – Pode apresentar qualquer forma. Vence
grandesvãos e balanços, com consequente liberdade de projeto para
os arquitetos;
Comportamento biaxial – Permite alterações como a adição de
aberturas e escadas adicionais. Não são necessárias vigas, tendo uma
laje completamente plana e mais leve;
Baixo peso próprio – As esferas ocas incorporadas na laje reduzem o
peso em até 35% em relação a uma laje maciça com a mesma
capacidade de carga;
Grandes vãos– Devido à sua leveza e biaxialidade, pode alcançar
grandes vãos em todas as direções;
Industrializada – Possibilidade de ser industrializada, diante da
redução dos prazos de execução e custos indiretos;
Redução do custo – Devido à redução da utilização de aço e concreto;
Potencial– Alto potencial de isolamento térmico e acústico;
Cálculo fácil – Pode ser dimensionada como uma laje maciça, pelos
mesmos métodos; É testado e calculado de acordo com as normas
internacionais (Eurocodes EC2, ACI, BS 8110 e AS3660);
Possibilidade de lajes termoativas.
Veja na imagem a seguir exemplos da liberdade arquitetônica que esse tipo de
sistema apresenta:
Exemplos de obras com Lajes bubbledeck.
Na próxima imagem é possível ver a montagem de uma laje termoativa.
Montagem de laje termoativa.
Pré-dimensionamento
O sistema de lajes bubbledeck é composto por pilares, pré-lajes em concreto
armado montados sobre escoramento metálico e com posterior complemento
de concreto (capeamento), como pode ser visto na imagem a seguir.
O cálculo apresenta os mesmos princípios estruturais de uma laje maciça
convencional, trabalhando nas duas direções, mas com até 35% de redução do
seu peso próprio.
Montagem de uma laje no sistema bubbledeck.
A Bubbledeck (2021) apresenta as seguintes informações técnicas para esse
sistema, veja:
Informações técnicas.
A distância entre as esferas de polipropileno deve ser 1/9 maior que seu
diâmetro e a espessura da laje varia de acordo com o vão a ser vencido e da
tipologia de cada projeto.
Para o dimensionamento dessas lajes, no Brasil, é utilizada como referência a
ABNT NBR 6118, considerando a laje de concreto armado maciça. É importante
desconsiderar os vazios devido ao posicionamento das esferas ocas que não
apresentam função estrutural. Alguns autores relataram a deficiência em relação
à resistência e à punção nas ligações da laje com o pilar. Uma solução é, nessas
regiões, retirar as esferas e dimensionar a laje maciça.
A tabela a seguir apresenta as propriedades das lajes de acordo com os
diâmetros das esferas. Esses dados são importantes para realizar o projeto no
sistema bubbledeck, pois consta o espaçamento entre intereixos das esferas, a
quantidade de esferas por , os fatores de redução da carga e a espessura
mínima a ser adotada para a laje.
Diâmetro da esfera
(mm)
180
Mínimo intereixo
das esferas (mm)
200
Número de esferas
(m²)
25
Espessura mínima
da laje (mm)
230
Redução de carga
por esfera (kN)
0,08
Redução máxima
de carga (kPa)
1,91
Tabela 4: Propriedades de acordo com o diâmetro da esfera.
Bubbledeck internacional, 2021, n. p.
A partir dessas informações, podemos realizar um pré-dimensionamento da
altura da laje e as dimensões das esferas.
Exemplo de dimensionamento
Oliveira (2020) propõe o estudo de dimensionamento que avalia a viabilidade do
sistema construtivo de bubbledeck em uma edificação residencial de dois
pavimentos com pé-direito de 3m e uma área de , conforme ilustra a
próxima imagem.
m2
241, 8m2
Planta baixa do exemplo.
Para o dimensionamento de lajes bubledeck, considera-se uma redução de 
do peso em relação à laje lisa maciça. No cálculo da flecha, foi considerado o
fator de 0,9EI (módulo de elasticidade momento de inércia).
Primeiramente, Oliveira (2020) realizou o dimensionamento da bubbledeck com
230mm, 285mm e 340mm, ou seja, BD230, BD285 e BD340, já que são
espessuras usuais para o tipo de projeto adotado. Adotou-se um concreto de
classe C25 usinado. O tipo de bubbledeck utilizado foi o B, sem a pré-laje. Foram
utilizados os aços CA-50 e CA-60 com malhas inferiores e superiores espaçadas
a cada 10cm e 15cm, respectivamente.
Para determinar o consumo de volume de concreto no sistema, foi adotado o
apresentado na imagem de informações técnicas. Logo, os resultados foram:
Informações técnicas
35%
×
BD230 → 0, 15m3
BD285 → 0, 19m3
BD340 → 0, 23m3
Para concluir o dimensionamento, Oliveira (2020) utilizou o software CypeCAD,
embora a técnica não esteja presente. O sistema foi calculado como laje
nervurada e com os parâmetros da laje bubbledeck.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
As _______________ de ____________ podem ser feitas de materiais reciclados e
são utilizadas nas lajes bubbledeck na região de ______________o. Essas lajes
são uma opção para as construções _______________.
A sequência de palavras correta é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
O que caracteriza as lajes bubbledeck é a presença de esferas ocas de
polipropileno, material que pode ser obtido por meio de reciclagem. Essas
esferas são posicionadas em substituição ao concreto tracionado, visto que o
concreto na tração tem resistência desprezível. Por esses motivos é
considerada uma construção sustentável.
Questão 2
A seguir, são apresentadas afirmações sobre as lajes bubble eck.
I. Grandes vãos são alcançados em todas as direções devido à leveza e à
biaxialidade dessa laje.
A esferas ocas, polipropileno, tração, sustentáveis
B vigas, concreto, tração, sustentáveis
C esferas ocas, concreto, neutralidade, rápidas
D vigas, polipropileno, neutralidade, flexíveis
E pilares, aço, compressão, rápidas
II. Caso seja industrializada, pode haver a redução tanto dos prazos de
produção quanto dos custos indiretos de fabricação.
III. Apresentam baixo potencial de isolamento térmico e acústico.
IV. Por poder ser dimensionada como se fosse uma laje maciça, pelos
mesmos métodos normativos, é considerada de cálculo fácil.
São corretas:
Parabéns! A alternativa E está correta.
Entre as diversas vantagens na utilização das lajes bubbledeck, podemos
citar: os grandes vãos alcançados por ser uma laje leve e biaxial; a
possibilidade de ser industrializada e termos a redução do tempo de
produção e dos custos; alto isolamento térmico e acústico devido à presença
das esferas ocas; e embora não tenha uma norma brasileira para esse tipo de
lajes, podemos utilizar para o seu dimensionamento a NBR 6118 para lajes
maciças, que é considerada de cálculo fácil.
A apenas as afirmativas I, II.
B apenas as afirmativas II, III.
C apenas as afirmativas III, IV.
D apenas as afirmativas I, II, III.
E apenas as afirmativas I, II e IV.
4 - Lajes protendidas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar um projeto de laje em concreto protendido.
Vamos começar!
Analisando um projeto de laje em
concreto protendido
Assista ao vídeo a seguir para conhecer os principais pontos que serão
abordados neste módulo.
Tipos de lajes protendidas
A seguir veja uma laje protendida sendo armada e um edifício construído com
laje protendida já finalizado. Como o conceito e os cálculos de uma estrutura
protendida já foram vistos em estudo anterior, para uma melhor compreensão
das lajes em concreto protendido veremos o exemplo numérico adaptado,
proposto por Carvalho (2017) mais adiante.
Laje sendo armada
Nessa imagem, é possível
ver uma laje protendida
sendo armada.
Laje construída
Nessa imagem, é possível
ver um edifício contruído
com laje protendida já
finalizado.
Temos as lajes protendidas moldadas no local e as pré-moldadas. As moldadas
no local são executadas com pós-tração, com destaque para as lajes lisas (lajes


sem vigas) e as cordoalhas engraxadas de monocordoalhas, que simplificam
bem o sistema. As lajes pré-moldadas usam a pré-tração. A seguir, são citados
os tipos de lajes protendidas.
As lajes protendidas moldadas no local usam a cordoalha engraxada que
simplifica a operação de protensão diminuindo o custo. É possível, também,usar
a protensão com aderência posterior usando as bainhas chatas que alojam até
duas cordoalhas com excentricidade. Os pisos com lajes protendidas podem ser
compostos com lajes maciças e vigas, nervuradas, lisas, lisas e aliviadas e
nervuradas com vigas faixas.
Lajes lisas protendidas
O foco do nosso estudo será nas lajes lisas protendidas. Os sistemas estruturais
dessas lajes são conhecidos por sem vigas ou lajes-cogumelo. Veremos a
seguir as vantagens desse sistema sobre o sistema com vigas.
Permite, de uma maneira geral, velocidade e repetição das formas;
requisitos básicos para a racionalização, e, dependendo da espessura do
elemento, inclusive o embutimento de pequenas tubulações.
Permite amplos ambientes e um pé-direito livre em toda a área de
construção. O que é interessante quando se deseja ambientes versáteis
em que divisórias ou paredes podem ser suprimidas ou acrescidas sem
que apareçam vigas. Não há o obstáculo de vigas para passagem de
tubulação, o que é muito interessante em hospitais, em que tubulações
de oxigênio e outras precisam ter trajetórias com curvas suaves em
planta (raios grandes) e podem ser necessárias depois da execução da
edificação.
Permite um fluxo constante do ar, melhorando os aspectos de ventilação
da edificação.
Já as desvantagens da laje lisa são:
Construção 
Estética 
Conforto 
Consumo 
Pode ter um consumo maior de concreto e armadura.
As deformações verticais são maiores, o que geralmente inviabiliza esse
sistema para vãos acima de cerca de 9m, necessitando da protensão,
que pode eliminar a fissuração do concreto em serviço.
Possibilidade de punção da laje junto aos pilares, sendo que nesse caso a
protensão gera um alívio, pois introduz uma compressão na região e
combate o cortante atuante.
Por não possuir vigas, não conta com a mesma rigidez que o sistema
tradicional pilar-viga-laje possui sob esforços transversais.
Dimensionamento de lajes lisas
protendidas
Determinação dos esforços solicitantes
Os esforços solicitantes em lajes lisas podem ser obtidos por: método dos
pórticos equivalente, método dos elementos finitos e grelha equivalente. Este
último é o método mais empregado no Brasil porque permite ao engenheiro
analisar os resultados de maneira simples e manipular a entrada de dados
facilmente.
No método da grelha equivalente pode-se, com precisão, considerar as cargas e
sobrecargas permanentes e acidentais como aplicadas nos nós, levando em
conta que cada nó interno terá aplicado uma carga igual a:
Deformações 
Punção 
Rigidez 
Pi = p ⋅ a ⋅ b
Em que:
 é a intensidade da ação uniformemente distribuída que se deseja
considerar ou ;
 e são os espaçamentos entre os elementos da grelha.
O cálculo do efeito de protensão pode ser feito a partir de três processos: carga
equivalente, forças de desviação e método de ação interna. Neste estudo,
iremos aprofundar apenas a carga equivalente, considerando uma carga linear e
uniforme distribuída em trechos e os esforços de protensão aplicados na
extremidade. Tal processo resultará em um carregamento linear constante (sem
considerar as perdas) aplicado à estrutura igual a:
Em que:
 é a força de protensão aplicada no trecho considerando o cabo
parabólico;
 é a flecha da parábola;
 é o vão da parábola;
 é o carregamento aplicado à estrutura no trecho considerado da
parábola.
A próxima imagem ilustra como é realizado o carregamento equivalente.
Carregamento equivalente.
Pré-dimensionamento dos cabos
p
(g1, g2 q)
a b
up =
8 ⋅ P ⋅ e
l2
P
e
l
up
É preciso atender os estados-limite últimos (ELU) e de serviço (ELS). Veja:
Estados-limite
últimos (ELU)
Para o ELU, na flexão, há duas
situações, a da protensão em
vazio (protensão no tempo
zero e carga
permanente ) e no
tempo infinito.
Estados-limite de
serviço (ELS)
Para as condições do ELS
será preciso atender as
condições de limitações de
tensões ou aberturas de
fissuras em função das
condições ambientais.
A seguir são apresentadas as etapas para o pré-dimensionamento dos cabos.
Distribuição da estrutura em faixas
São regiões em que os momentos fletores são da mesma ordem de grandeza e
deseja-se colocar cabos com mesma trajetória e um determinado espaçamento.
Ao concluir o pré-dimensionamento, os esforços de protensão são introduzidos e
assim repetem-se os cálculos descritos a seguir considerando todas as cargas.
Resolução da estrutura
Resolve-se a estrutura considerando-a submetida às ações g1, g2 e q obtendo-se
flechas e esforços solicitantes nas diversas seções e faixas.
De�nição da trajetória do cabo representante
O cabo representante é aquele que representa os demais em cada faixa,
podendo ser usado para toda a estrutura. Em geral, o formato de sua trajetória é
um diagrama de momento fletor da faixa em questão. Para faixas mais
solicitadas, considera-se que o início e o final do cabo estejam no centro de
gravidade da peça. Após a ancoragem, tem-se um trecho reto (trecho 1) e em
seguida um trecho curvo (trecho 2) e parte central no tramo (trecho 3). Junto ao
apoio intermediário, o trecho curvo 4 terá como cota vertical a máxima
excentricidade possível, veja na próxima imagem.
Traçado vertical típico de um cabo em laje lisa.
Perdas de protensão nos cabos representantes
−pto−
−g1
São as diminuições dos esforços de protensão que ocorrem ao longo dos cabos,
discutidas em estudo anterior de estruturas protendidas. No caso da perda por
fluência, a tensão no nível dos cabos poderá ser considerada em torno de 3 MPa.
Consideração do carregamento equivalente do cabo e seus esforços
Deve-se montar o carregamento do cabo representante para o tempo zero e
infinito, considerando a distribuição de um cabo por metro, e com forças
constantes por trecho, como mostra a imagem a seguir.
Ações do cabo representante atuando em um metro (no caso para o tempo zero).
Determinação do número de cabos a se usar em cada faixa com a
condição do estado-limite último no ato da protensão
Faz-se, inicialmente, para a seção mais solicitada da faixa, considerando a força
de um cabo representante no tempo zero, sendo os limites para compressão de
0,7 (resistência à compressão do concreto na data da protensão) e para
tração, inicialmente o valor de tensão nula (situação em vazio). As equações
são:
Em que:
 é o número de cabos;
 é o módulo de resistência da faixa em questão (largura e altura da
laje);
 o momento fletor devido à carga permanente na seção e faixa em
questão;
 e é o esforço normal e o momento fletor na seção e faixa em
questão para o tempo zero e para situação de um cabo por metro;
 é a tensão de protensão;
 é a área de resistência da faixa em questão (largura e altura da laje).
Resolução da estrutura com o número de cabos determinados
fcj
σs =
nNP
A
+
nMP
Ws
−
Mg1
Ws
≤ 0, 7 ⋅ fcj
σi =
nNP
A
+
nMP
Wi
−
Mg1
Wi
≥ 0
n
W
Mg1
NP MP
σ
A
n
Deve-se resolver a estrutura, considerando agora o efeito de protensão, por
faixas, com os valores de determinados no item anterior, verificando se
atendem às condições de protensão em vazio.
Veri�cação em serviço, �ssuração
Para a verificação em serviço, deve-se adotar o disposto no quadro da próxima
imagem.
Quadro referente à combinação de ações para o ELS.
Para a fissuração, deve-se adotar o disposto no quadro da imagem a seguir.
Quadro referente à combinação de ações para o ELS.
Veri�cação de ruptura no tempo in�nito (cálculo da armadura passiva
complementar)
Essa verificação é feita igual ao concreto armado, e o modelo é apresentado na
imagem a seguir.
Verificação no estado-limite último na flexão no tempo infinito seção transversal em cima do apoio.
Em que:
n
 é a área da armadura ativa;
 é a área da armadura passiva;
 é a força total;
 é a força ativa;
 é a força passiva;
 é a força do concreto;
 é o momento de cálculo aplicado.
Veri�cação quanto à �echa
É realizada a verificação com as combinações de ações, as características
geométricas das seções, osefeitos da fissuração, a fluência do concreto e as
flechas-limite.
Exemplo numérico
Agora vamos determinar o número de barras de protensão de uma laje sem viga
de 16 x 16m, apoiada em nove pilares, com os seguintes dados:
Laje: espessura da laje = 26cm; vão = 8m;
Armadura: ativa cordoalha engraxada com (aço
CP190RB). Passiva AÇO CA50; cobrimento ; área do
cabo ;
Geometria do cabo:
;
Ações: ;
Características dos materiais:
;
.
Ambiente industrial.
Veja o desenho esquemático na imagem a seguir.
Ap
As
Ft
Fp
FS
Fc
Md
∅ = 12, 7mm
cnom = 3.27cm
= 1cm2
l1 = 115cm; l2 = 235cm; l3 = 235cm; l4 = 115cm
g1 = 6, 5kN/m2; g2 = 0, 5kN/m2; q = 1, 5kN/m2
fck = 30MPa;Ec,i = 30672MPa;Gc = 12200.MPa
Ep = 2, 0 ⋅ 105MPa; fpyk = 1, 6 ⋅ 10
3Mpa; fptk = 1, 9 ⋅ 10
3MPa
Desenho esquemático da fôrma de laje.
Solução
1. Escolha as faixas com que irá trabalhar
As faixas escolhidas estão representadas na imagem a seguir, com 4m para as
faixas do tipo 1 e 2 e 2m para as do tipo 3. Os esforços serão considerados por
metro e os momentos máximos de cada faixa. As faixas ímpares contêm os
pilares e, portanto, devem possuir momentos fletores de grande magnitude,
enquanto a faixa 2 deve conter momento positivo grande e o maior
deslocamento vertical (flecha).
Desenho esquemático das faixas.
2. De�nir a malha da grelha equivalente
A laje foi resolvida utilizando o método de grelha equivalente e, com o programa
LASER, obteve-se a malha com os nós e elementos ilustrados na imagem a
seguir.
Grelha equivalente para representar a laje com a numeração dos nós e elementos.
O processo utilizado foi o de dupla simetria, considerando apenas um quarto da
estrutura: apenas os pilares P1 (nó 1), P2 (nó 9), P4 (nó 72) e P5 (nó 81). O giro
segundo o eixo vertical nos nós está impedido, assim como as
rotações segundo um eixo horizontal nos nós também estão
impedidas. O espaçamento entre os elementos da grelha é de 1m.
3. De�nição do cabo representante
O cabo representante é detalhado com o perfil apresentado na imagem a seguir.
Traçado do cabo representante da laje lisa do exemplo.
A partir desse traçado foram obtidos os valores do desvio angular e da flecha
para cada trecho do cabo, como apresentado na tabela a seguir.
9, 18, 27, . .81
72, 73, … 81
Trechos S1-S2 S2-S3
Flechas (cm) 2,99 6,1
Desvio angular (°) 2,77 2,77
Tabela 5: Valores do desvio angular e da flecha para cada trecho do cabo representante
CARVALHO, 2015, p. 12.
4. Cálculo das perdas imediatas
Com os valores da tabela 5, é possível obter as perdas imediatas por atrito e por
deformação da ancoragem. Como é pequena, a perda imediata do concreto
durante a protensão será desprezada. A perda por atrito é:
Em que:
;
 (cordoalha engraxada);
 (tensão do aço na extremidade ativa por ocasião da protensão).
Adota-se o menor valor das equações a seguir:
Logo, 
5. Cálculo das tensões em cada trecho após as perdas devido ao atrito
Os valores são apresentados na tabela a seguir.
Seção Distância(m)
S1 0 0 0 1
S1 1,00 0 0 0,999
S2 2,25 2,77 0,048 0,996
S3 4,50 5,54 0,097 0,993
σs = σpi ⋅ e
−μ.(Δα+βx)
β = 0, 01rad∖m
μ = 0, 05
σpi
σpi = 0, 74 ⋅ fptk = 14060kgf/cm
2
σpi = 0, 84 ⋅ fpyk = 13440kgf/cm
2
σpi = 13440kgf/cm
2
Δα (∘) Δα(rad) e−μ⋅(Δα+βx)
Seção Distância(m)
S4 6,85 11,06 0,193 0,987
S5 8,00 16,58 0,289 0,982
S6 9,15 22,11 0,386 0,976
S7 11,50 27,62 0,482 0,970
S8 13,85 30,39 0,530 0,967
S9 15,00 33,16 0,578 0,964
S10 16,00 33,16 0,578 0,964
Tabela 6: Valores das tensões pós-atrito
CARVALHO, 2015, p. 13.
6. Cálculo das tensões em cada trecho após as perdas devido à
deformação por ancoragem
O cálculo é feito da seguinte forma:
Os valores finais da protensão após a perda de ancoragem são mostrados na
tabela a seguir.
Tensão Distância (m) Área parcial
13440 0 0
13426 100 1400
13386 225 13000
13346 450 27000
13265 685 91935
13198 800 99495
Δα (∘) Δα(rad) e−μ⋅(Δα+βx)
Δl = 6mm (Catálogo do MAC), Ep = 1, 9 ⋅ 106kgf. cm2
Ω = Ec ⋅ Δl = 1, 9 ⋅ 106 ⋅ 0, 6
Ω = 1140000kgf. cm
Tensão Distância (m) Área parcial
13117 915 138915
13037 1150 165200
12996 1385 103935
12956 1500 115400
12956 1600 0
Tabela 7: Tensões finais
CARVALHO, 2015, p. 13.
7. Cálculo das forças de protensão em cada trecho e os
carregamentos 
Como:
Na tabela a seguir, temos os valores das forças de protensão e os
carregamentos provenientes da ação dos cabos : com um cabo por metro, e
com um cabo a cada 44cm. Também são apresentados os valores dos esforços
para um cabo médio.
Seção
Unidade
SO-S10 1230,95 1279,35 1255,15
125,987*
S1-S9 1233,53 1295,65 1264,59
126,022*
S2-S8 1236,35 1275,35 1255,85
125,5825*
(u)
Fp =
σi + σi+1
2
1, 00cm2
w1 =
8Fpei
(2li)
2
(P)
(up)
σA−P σP−A σmédia Ptrecho
(MPa) (MPa) (MPa) (kN)
Seção
S3-S4 1240,35 1271,25 1255,8
125,5825*
S4-S6 1248,45 1263,25 1255,85
125,55*
S5-S5 1255,15 1255,15 1255,15
Tabela 8: Tensões no cabo AP e PA, forças de protensão e carga uniforme
CARVALHO, 2015, p. 14-15.
É importante ressaltar que o cabo utilizado tem ancoragem ativa (viva) do lado
esquerdo e ancoragem passiva (morta) do lado direito. Logo, o seu simétrico
corresponde a outro com ancoragem ativa à direita e passiva à esquerda.
E, a partir desses cálculos, obtém-se o carregamento final ilustrado na imagem a
seguir.
Ações em uma faixa de 1 m.
8. Cálculo das perdas ao longo do tempo
As perdas são calculadas da seguinte forma:
Têm-se os seguintes dados: ; Umidade: ; Tempo
zero: to 
Com esses dados:
Logo,
σA−P σP−A σmédia Ptrecho
Perda por retração do concreto 
hfic = 26cm U = 75%
= 5
φ (t∞, t0) = 3, 0
εcs (t∞, t0) = −0, 23 ⋅ 10
4
Adotar:
Logo,
Para um tempo infinito:
Portanto,
E,
Δσp, s = −2, 3.10 − 5 ⋅ 1, 9 ⋅ 1044 = 4, 37.10 − 1 = 43, 7MPa =
Perda por fluência do concreto 
Δσp,c = αp ⋅ σco.ϕ
σco = 50Kgf/cm
2
σP =
εP
EP
αP =
1, 9 ⋅ 106
3, 06 ⋅ 105
= 6, 2
φ (t∞, t0) = 3, 0
Δσp,c = 6, 2.50.3 = 930kgf
Perda por relaxação 
r =
σpi
fptk
=
13440
16000
= 0, 84 = 84% →  baixa relaxação 
ψ1000,0.84 = 3, 9%
ψ1000,0.84 = 3, 9.2, 5 = 9, 75%
Δσp,r(∞ + 7) = ψ1000,0.84 ⋅ Δσp,i = 0, 0975.13400 = 1306, 5kgf/
A tabela a seguir apresenta os valores das tensões iniciais e as tensões no
tempo infinito.
Seção
Tensões com
perdas inicias -
Tensões no tempo
infinito -
S0 12309,5 9636
S1 12323,5 9650
S2 12363,5 9690
S3 12403,5 9730
S4 12484,5 9811
S5 12551,5 9878
S6 12632,5 9959
S7 12712,5 10039
S8 12753,5 10080
S9 12793,5 10120
S10 12793,5 10120
Tabela 9: Tensões com perdas iniciais e no tempo infinito
CARVALHO, 2015, p. 16.
9. Determinação do número de cabos
Resolvendo a estrutura com os dados da tabela 9, chegamos aos resultados
apresentados na tabela 10.
Ação Pg1 Pg1+g2+0,3q Pg1+g2+0,4q Pg1+g2
Momento
apoio
pilar
-156 -179 -182 -204
Δσp,s+c+r = 437 + 930 + 1306, 5 = 267, 35MPa
t0(Nf/cm²) t∞(Nf/cm²)
Ação Pg1 Pg1+g2+0,3q Pg1+g2+0,4q Pg1+g2
central
(kNm/m)
Momento
meio do
vão
(kNm/m)
18,6 21,2 21,7 24,2
Momento
na borda
(kNm/m)
-61,48 70,08 71,73 -80
Tabela 10: Valores dos momentos considerando um cabo por metro
CARVALHO, 2008, p. 17
No pré-dimensionamento da quantidade de cabos na laje, consideramos a
verificação no ato da protensão (protensão no tempo zero e ação do peso
próprio) como mais desfavorável. Portanto, os limites das tensões para ELU no
ato da protensão são (sem tração) ou - 
(com tração). Será apresentado o cálculo de cabos para o pilar central e para o
meio do vão.
Em que:
 é o número de cabos;
 é o módulo de resistência da seção;
 é o momento devido ao peso próprio;
 é o momento de protensão obtido da resolução da estrutura;
 é a tensão de protensão inicial (considerando as perdas iniciais);
 é a área do cabo de protensão.
Pilar central
As bordas são calculadas da seguinte forma:
 sem tração 
 (com tração)
2100kN/m2 ≤ σ ≤ 0 347.57kN/m2
n
W
Mg1
M1cabo
σi
Acabo
Borda inferior 
nσiAcabo 
Aconcreto 
− nM1 cabo Wi +
Mg1
Wi
≥ 0( )
n125,5
1.0,26 −
n62,36
1,126⋅10−2+ 156
1,126⋅10−2
≥ 0
n ≤ 2, 74
n125,5
1.0,26 −
n62,36
1,126⋅10−2
+ 156
1,126⋅10−2
≥ −347, 57
Meio do vão
As bordas são calculadas da seguinte forma:
 (sem tração)
 (com tração)
n ≤ 3, 42
Borda superior 
nσsAcabo 
Aconcreto 
− nM1 cabo Ws +
Mg1
Ws
≤ 2100
n125,5
1.0,26 +
n62,36
1,126⋅10−2
− 156
1,126⋅10−2
≤ 2100
n ≤ 5, 79
Borda inferior 
n124
1.0,26 +
n12,05
1,126⋅10−2
− 18,6
1,126⋅10−2
≤ 0
n ≤ 14, 66
Borda superior 
n124
1.0,26
− n12,05
1,126⋅10−2
+ 18,6
1,126⋅10−2
≥ 0
n ≤ 2, 77
n124
1.0,26 −
n12,05
1,126⋅10−2
+
18,6
1,126⋅10−2
≥ −347, 57
n ≤ 8, 64
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O cálculo do efeito de protensão pode ser realizado por três processos: carga
equivalente, forças de desviação e método de ação interna. No processo de
carga equivalente, considera-se uma carga linear e uniforme distribuída em
trechos e os esforços de protensão aplicados na extremidade. Um
engenheiro, ao projetar uma laje protendida de comprimento de 7m,
encontrou uma força de proteção de 325 kN e uma flecha de 6cm. Logo, o
valor do carregamento linear (sem considerar as perdas) aplicado à estrutura
será de:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Questão 2
Os sistemas estruturais das lajes protendidas são conhecidos por “sem
vigas” ou “lajes-cogumelo”. Abaixo são apresentadas vantagens desse
sistema sobre o sistema com vigas.
I. No aspecto de estética, permite amplos ambientes e um pé-direito livre em
toda área de construção.
II. Permite ambientes versáteis em que divisórias ou paredes podem ser
suprimidas ou acrescidas sem que apareçam as vigas.
III. No caso de hospitais, em que tubulações de oxigênio e outras precisam
ter trajetórias curvas com raios grandes e podem ser necessárias depois da
execução da edificação, é uma solução muito interessante.
IV. No aspecto de construção, as lajes lisas têm como desvantagem o ganho
de velocidade, pois não pode haver repetição das formas, impactando em
baixa a economia e reutilização de materiais.
Estão corretas
up =
8 ⋅ P ⋅ e
l2
A 3, 2kN/m2
B 3, 4kN/m2
C 3, 6kN/m2
D 3, 8kN/m2
E 4, 0kN/m2
up =
8.P .e
l2
= 8.325.0,06
72
= 3, 2kN/m2
A apenas I e II.
B apenas II, III.
Parabéns! A alternativa E está correta.
Para o sistema de lajes protendidas lisas, ou seja, sem vigas, entre as
diversas vantagens, podemos citar: a possibilidade de ambientes amplos e
com pé-direito livre em toda a extensão da edificação; as divisórias e paredes
podem ser retiradas ou acrescentadas sem que pareçam vigas, o que torna
os ambientes versáteis; a possibilidade de trajetórias curvas de grandes raios
para as tubulações; e velocidade, economia e reutilização de materiais na
repetição das formas nas lajes.
Considerações �nais
Como vimos, as lajes especiais aqui consideradas – nervurada, steel deck, laje
bubbledeck e protendida – apresentam características específicas e métodos de
dimensionamento próprios.
Durante o estudo, compreendemos particularidades, vantagens, desvantagens,
processos construtivos e de cálculo aplicados a cada laje de forma específica.
Por fim, para uma boa formação, o engenheiro calculista precisa saber aplicar as
diversas opções de sistemas estruturais para, então, escolher a que irá fornecer
a melhor solução para o seu projeto.
Podcast
C apenas II, III, IV.
D apenas I, III, IV.
E afirmativas I, II, III.

Agora, o especialista encerra o tema falando sobre os principais tópicos
abordados.
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Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14859 . Laje pré-
fabricada – pré-laje – requisitos, parte 1: lajes unidirecionais. Rio de Janeiro:
ABNT, 2002a.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14860 . Laje pré-
fabricada – requisitos, parte 1: lajes unidirecionais. Rio de Janeiro: ABNT, 2002b.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14762 .
Dimensionamento de estruturas deaço constituídas por perfis formados afrio –
Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2011.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118 . Projeto de
estruturas de concreto: procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
BUBBLEDECK INTERNATIONAL. BubbleDeck. 2021. Consultado na internet em:
11 nov. 2022.
DIALAMAN, J. P.; MIRANDA, L. R.; FLORIAN, F. Bubbledeck: inovação,
sustentabilidade e custobenefícios no sistema construtivo de lajes
bubbledeck. Uniara, Araraquara, p. 1-14, out. 2021.
CARVALHO, R. C. Estruturas de concreto protendido : cálculo e detalhamento.
São Paulo: PINI, 2012.
CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto
armado. 4. ed. São Paulo: EduFSCar, 2014.
CARVALHO, R. C. Estruturas em concreto protendido: cálculo e detalhamento.
São Paulo: EduFSCar, 2015.
FAKURY, R. H. et al. Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos
de aço e concreto. São Paulo: Pearson, 2016.
GONÇALVES, L. C.; LOSOVOI, G. C.; MACEDO, N. D. Lajes Bubbledeck e
nervurada: estudo comparativo. In: CONIC-Semesp, 2019. Consultado na internet
em: 11 nov. 2022.
MAC. Sistema Brasileiro de Protensão. Catálogo. Consultado na internet em: 11
nov. 2022.
METFORM. Telhas de Aço: economia, qualidade e durabilidade. Betim: Metform,
2019. Consultado na internet em: 11 nov. 2022.
OLIVEIRA, T. H. Lajes bubbledeck: um comparativo com o sistema construtivo de
lajes maciças. Revista de Engenharia Civil IMED, v. 7, n. 1, p. 164, 2020.
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