VETORES FISICA

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VETORES
Os vetores são entes matemáticos compostos de módulo, direção 
e sentido. Módulo é o seu tamanho (medida de comprimento do 
vetor), direção (horizontal ou vertical) e sentido (direita, esquerda, 
norte, sul). Com essas três informações, temos um vetor.
As grandezas físicas podem ser vetoriais ou escalares. As vetoriais 
precisam de todas essas informações, como: velocidade, aceleração, 
força, torque, entre outras. Já as escalares só precisam de um número, 
como: energia, temperatura, calor, trabalho etc.
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR
Além do módulo do vetor, que é o seu tamanho, temos que 
colocar a sua direção e o seu sentido. Para isso, vamos usar o vetor 
unitário, cujo módulo é 1 e que indicará a sua direção. É representado 
pelo sinal circun� exo. O sentido virá pelo sinal.
Vetor unitário na 
direção x
Vetor unitário na 
direção y
Vetor unitário na 
direção z
î : horizontal para 
direita
ĵ : vertical para 
cima
k̂ : saindo do papel
−î : horizontal 
para esquerda
− ĵ : vertical para 
baixo
−k : entrando no 
papel
Vetor unitário ou Versor
û
v
v
=

Em que v é o módulo de vetor 

v .
v v v vx y z� � �
2 2 2
Outra maneira de se representar um vetor, bastante usada na 
física, é a representação cartesiana. Por exemplo:

v i k� �2 5ˆ ˆ
É equivalente a:

v � � �2 0 5, ,
Além dessas duas representações, podemos usar os próprios eixos 
cartesianos1, por exemplo, e representá-lo gra� camente.
1 A depender do problema físico, pode ser interessante o uso de outros tipos de 
coordenadas. Vamos estudar apenas coordenadas cartesianas, mas é muito comum o uso 
de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. 
x
y
z
Exercício Resolvido
01. Na � gura abaixo, temos um lançamento oblíquo.
a) Qual é o vetor velocidade do projétil no instante inicial?
b) Qual é o vetor velocidade do projétil em um instante de tempo 
t qualquer, sendo t menor que o tempo total do movimento?
c) Qual é o vetor aceleração ao qual o projétil está submetido?
Resolução:
( )
0 0
0 0
j
v (v cos )i (v sen )j
v (v
a
cos )i v sen gt
g
j
ˆ= −
= α + α
= α + α −

 

 

Exercício Resolvido
02. Qual é o vetor unitário na direção do vetor v = (1, -2, 4)?
Resolução:
ˆ
, ,
, ,u
v
v
� �
�� �
� � �
�
��
�
�
�
�
�

1 2 4
1 2 4
1
21
2
21
4
212 2 2
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OPERAÇÕES COM VETORES
SOMA
No exemplo do lançamento oblíquo, temos que os vetores 
( ) ( )0 0 0 0x yv v cos i ev v sen j= α = α
 
  são as projeções ou decomposições 
do vetor 

v0 nas direções horizontal e vertical. Como a soma das 
decomposições é o próprio vetor, temos que:
v v vx y0 0 0
��� ��� �
� �
Usando Pitágoras, poderemos achar o módulo do vetor soma:
( ) ( ) 00 0 0 0x yv ² v ² v cos ² v sen ² v+ = α + α =
  
Abaixo, temos a representação geométrica do vetor soma 


a b+ .
Transladando o vetor 

b após o 

a e transladando o 

a após o 

b ,
os vetores arrastados se encontrarão em um ponto. Da origem dos 
vetores até esse ponto, teremos o vetor soma. Essa é a regra do 
paralelogramo.
Usando a Lei dos Cossenos:
a b a ² b ² 2 a b cos+ = + + α
    
Em que α é o ângulo entre os vetores 

a e 

b.
Exercício Resolvido
03. Qual é a soma dos vetores abaixo, ou seja, qual é o vetor 
resultante?
Resolução:
Veja que:





a b c d e� �� � � �� � � � � � � � � �� �0 6 4 2 10 0 0 3 6 9, ; , ; , ; , ; ,
Fazendo 
 




s a b c d e� � � � �
Teremos:

s � � � � � � � � � �� � � � �0 4 10 0 6 6 2 0 3 9 8 4, ,
A soma é um vetor que parte da origem e ocupa 8 quadrados na 
horizontal e 4 na vertical, como a � gura abaixo:
Note que 




 
a b c d e s� � � � � � 0
Conhecida como regra do polígono.
SUBTRAÇÃO
Na � gura abaixo, temos a representação geométrica do vetor 
diferença 


a b− .
Para facilitar a visualização, vamos chamar o vetor 

a de A – O e o 
vetor 

b de B – O. Então:


a b A O B O A B� � �� � � �� � � �
Ou seja, o vetor diferença começa em B e termina em A. Se fosse 


b a− seria B – A, ou seja, apontaria para o sentido oposto ao 


a b− .
Logo:

 

a b b a� � � �� �
Exercício Resolvido
04. A posição inicial de uma partícula é (0,0,2) m e a posição � nal 
é (2,0,0) m. Qual é o vetor deslocamento e qual é o valor de seu 
módulo?
Resolução:
�
�
S m ou i k m
e:
S
� ��
� ��
� �� � � � � � � �� � �� �
� � �� �
2 0 0 0 0 2 2 0 2 2 2
2 22
, , , , , ,
22
2 2� m
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Exercício Resolvido
05. Adiante, usaremos subtração vetorial para resolvermos 
exercícios que envolvem a grandeza vetorial momento linear ou 
quantidade de movimento (

p):
 
p mv=
Em que m é a massa do móvel e 

v, o seu vetor velocidade.
Vamos supor que uma bolinha de tênis, de 50 g, bata em uma 
parede com uma velocidade 

v Km h0 108 0� � �, / e retorne com a 
mesma velocidade, em módulo. Qual é o módulo do vetor variação 
da quantidade de movimento (� �p
� ��
)?
Resolução:
Se retorna com a mesma velocidade, em módulo, podemos inferir 
que o vetor velocidade � nal vale:
�
� �� � �
v
Km
h
m
s
v v v
�
�� �
�
�� �
�
� � � �� � � � � � �
108 0 30 0
30 0 30 0 60 00
, ,
, , ,� �� �m s/
Então:
� � �p m v Kgm s p Kgm s
� �� � � ��
� � �� � � �� � � �0 05 60 0 3 0 3, , , / /
Note que, quando temos vetores em sentidos opostos, o módulo 
do vetor subtração será a soma de seus módulos.
Observação
O vetor 2 2ˆ ˆi k− pode ser escrito da seguinte forma: 2 ˆ ˆi k�� � . 
Quando multiplicamos um vetor por um escalar (número), todos 
os componentes são multiplicadas pelo escalar:
r r r
v u v u u uz= ∴ =α α α α( ), ,x y
Exercício Resolvido
06. Sabendo-se que o vetor força elétrica (

FE) é o produto entre 
a carga (q) de uma partícula e o campo elétrico (

E) ao qual ela 
está submetida, qual é o vetor força elétrica que uma partícula de 
carga 2 μC sofre quando está em uma região cujo campo elétrico 
vale (103, 0, 0) N/C?
Resolução:
F qE NE . , , , ,2 10 0 0 2 10 0 0
3 3
Ou seja, seu módulo vale 2⋅10-3 e atua na direção horizontal e 
aponta para a direita. A unidade da grandeza força é N (Newton).
Observação: µ (micro) significa 10-6.
Exemplo: 1 µm = 10-6 m.
PRODUTO
VETORIAL
Várias grandezas físicas vetoriais são produtos vetoriais de outras 
grandezas vetoriais, por exemplo, força magnética (FM):
F q vxBM
Em que q é a carga da partícula, 

v é o vetor velocidade da 
partícula que sofre a força magnética e 

B é o vetor campo magnético 
na região onde a partícula está se movimentando.
Observação
O produto de dois vetores dará um terceiro vetor, perpendicular 
aos outros dois.
Exercício Resolvido
07. Uma partícula de carga q = 5 µC e velocidade 

v m s� � �2 10 0 06. , , / penetra em uma região de campo magnético 

B T� �� �0 1 0, , . Qual é o vetor força magnética ao qual a partícula 
está submetida?
Resolução:
F q vxB xM
��� � �
� � � � �� � �� �5 2 10 0 0 0 1 06� , , , ,
Para resolvermos esse produto vetorial 


vxB , vamos colocar os 
vetores sob forma de matriz:
ˆ ˆ ˆi j k
2 10 0 0
0 1 0
6�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
O produto vetorial é o determinante da matriz:
ˆ ˆ ˆ
ˆ
i j k
k2 10 0 0
0 1 0
2 106 6�
�
� � �
Então:
F k kNM 5 2 10 10
6.
Significa que a magnitude da força magnética é 10 N e aponta para 
dentro da folha do exercício. Veja que esse vetor é perpendicular 
ao vetor velocidade, que é horizontal, e ao vetor campo, que é 
vertical.
Adiante, na Física 2, em Força Magnética, vamos aprender 
um método mais simples para descobrirmos um produto vetorial 
conhecido como regra da mão direita/esquerda.
Observação
O produto vetorial é zero quando os dois vetores atuam na mesma 
direção, ou seja, são colineares e é máximo quando os vetores são 
ortogonais.
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Exercício Resolvido
08. Qual é o produto vetorial entre os vetores 
 
u a b c e v d e f� � � � � �, , , , ?
Resolução:
 
uxv
i jk
a b c
d e f
bfi cdj aek bdk cei afj bf ce cd
� �
� � � � � � � �
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , aaf ae bd, �� �
Note que, no produto vetorial, na direção î, não aparecem a e d, 
na direção ĵ, não aparecem b e e, e na direção k̂ não aparecem 
c e f, devido ao fato de o produto ser ortogonal aos vetores da 
operação.
Observação
O produto 
   
uxv vxu���� .
 
vxu
i j k
d e f
a b c
cei afj bdk aek bfi cdj ce bf af
� �
� � � � � � � �
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ccd bd ae uxv, �� � � � 
O módulo do produto vetorial pode ser escrito como 
� � � �
uxv u v sen� �, em que α é o ângulo entre os vetores.
Vamos voltar ao exemplo da força magnética:
FM
��� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �q vxB sen N5 2 10 1 2
106�
�
. . .
ESCALAR
Várias grandezas físicas são escalares, oriundas de produto escalar 
entre duas grandezas vetoriais. Por exemplo, trabalho (τ):
� � �
� � ���
F S�
Em que 

F é a força aplicada no corpo e ��S
� ��
, como já sabemos, é 
o vetor deslocamento do corpo.
Observação
O produto escalar entre dois vetores colineares é o produto 
de seus módulos. Sendo assim:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k� � � � � � 1
O produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero.
Sendo assim:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j i k j k� � � � � � 0
Generalizando:
a b c d ac bd, ,� � � � � � �
Observação
Perceba que o produto escalar é comutativo:
c d a b ca db a b c d, , , ,� � � � � � � � � � � � �
Logo:
   
u v v u� � �
Exercício Resolvido
09. Uma caixa está apoiada em um piso horizontal e liso, em 
repouso. Ao sofrer a atuação da força 

F N� � �10 10 0, , sofre um 
deslocamento �S m
� ��
� � �20 0 0, , , após um intervalo de tempo 
qualquer. Qual é o trabalho realizado por essa força?
Resolução:
� � � � � � � � � � � �
� � ��
F S J� 10 10 0 20 0 0 200 10 0 0 200, , . , , .
Adiante, iremos estudar essa grandeza com mais detalhes. 
Podemos adiantar um pouco, e perceber que só há trabalho, a 
força e o deslocamento estão na mesma direção. A componente 
na direção ĵ não realiza trabalho (não fez nenhuma diferença no 
nosso exercício, pois não houve deslocamento nessa direção).
O produto escalar pode ser escrito como 
   
u v u v cos� � � , 
em que α é o ângulo entre os vetores.
No exemplo anterior:
� � �� � � � � � �
� � ��
F S cos cos J. . . /� 10 10 20 4
200 2 2
2
2002 2
10
π/4 rad
y
xO 10 20
��S
� ��

F
Na � gura acima temos a representação grá� ca do vetor força. 
Veja que o ângulo entre o vetor e a horizontal, que é a direção do 
vetor deslocamento, vale π/4 rad.
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (EEAR) Sabendo-se que o valor numérico máximo da soma de dois 
vetores é 20 e o mínimo é 4, os módulos dos vetores que conduzem 
a estes resultados são
a) 9 e 11.
b) 8 e 12.
c) 20 e 4.
d) 16 e 4.
02. (EEAR) Qual alternativa só contém grandezas vetoriais?
a) comprimento, massa e força.
b) tempo, deslocamento e altura.
c) força, deslocamento e velocidade.
d) massa, velocidade e deslocamento.
03. (EEAR) No esquema abaixo, os módulos dos vetores valem 
= = =

 
a 3, b 7 e c 8. O valor do vetor resultante, de acordo com o 
esquema citado, é
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a) 8 b) 7 c) 3 d) Zero
04. (EEAR) Dois vetores de módulos 3 e 4 são somados. Se a soma 
vetorial destes dois vetores é 37 , então eles formam entre si um 
ângulo, em graus, de
a) 0 b) 30 c) 60 d) 90
05. (EEAR) Quanto à adição vetorial de dois vetores A e B, pode-se 
a� rmar que sempre 
a) + = +
 
A B A B
b) + ≠ +
 
A B A B
c) + = +
   
A B B A
d) + ≠ +
   
A B B A
06. (EEAR) Dados os vetores A e B, o vetor S = A – 2B pode ser 
representado pela seguinte expressão: Considere i = j = 1
a) 12i + 7j b) 10i - 4j c) 20i - 3j d) -16i + 9j
07. (EEAR) Considere um sistema em equilíbrio que está submetido a 
duas forças de intensidades iguais a 10 N cada uma, formando entre 
si um ângulo de 120°. Sem alterarmos as condições de equilíbrio 
do sistema, podemos substituir essas duas forças por uma única de 
intensidade, em N, igual a 
a) 10 3 . b) 10 2 . c) 10. d) 5.
08. (EEAR) Durante a batalha que culminou no afundamento do 
encouraçado alemão Bismarck, os ingleses utilizaram aviões biplanos 
armados com torpedos para serem lançados próximos ao encouraçado. 
A velocidade horizontal do torpedo, desprezando qualquer resistência 
por parte da água e do ar, em relação a um observador inercial, logo 
após atingir a superfície do mar é dada: 
a) pela soma da velocidade do avião com a velocidade produzida 
pelo motor do torpedo. 
b) pela soma das velocidades do motor do torpedo e do navio Bismarck. 
c) somente pela velocidade do avião. 
d) somente pelo motor do torpedo.
09. (EEAR) Em hidrostática, pressão é uma grandeza física
a) escalar, diretamente proporcional à área.
b) vetorial, diretamente proporcional à área.
c) escalar, inversamente proporcional à área.
d) vetorial, inversamente proporcional à área
10. (EEAR) Considere dois vetores A e B, formando entre si um 
ângulo θ, que pode variar da seguinte maneira o 0 ≤ θ ≤ 180°. 
À  medida que o ângulo θ aumenta, a partir de 0° (zero graus), 
a intensidade do vetor resultante 
a) aumenta. 
b) diminui. 
c) aumenta e depois diminui. 
d) diminui e depois aumenta.
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (QC - MARINHA) Se o vetor A é paralelo ao vetor B, pode-se dizer 
que:
a) A ∙ B = 0
b) A ∙ B = 1
c) A × B = 1
d) A × B = 0
e) A × A = 1
02. (UEL) Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: TEMPO, 
MASSA, FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm caráter 
vetorial apenas 
a) força e velocidade. 
b) massa e força. 
c) tempo e massa. 
d) velocidade e trabalho. 
e) tempo e trabalho. 
03. (EEAR) Sobre uma partícula P são aplicadas duas forças  

A e 

B , conforme o desenho. Das alternativas abaixo, assinale a qual 
representa, corretamente, a direção, o sentido e a intensidade, 
em newtons, de uma outra força (

C ) que equilibra a partícula P. 
Considere os vetores 

A e 

B  subdivididos em segmentos iguais que 
representam 1N cada um.
a) c)
b) d)
04. (EEAR) Considerando que a � gura representa um conjunto de 
vetores sobre um quadriculado, assinale a alternativa que indica o 
módulo do vetor resultante desse conjunto de vetores.
a) 10 b) 8 c) 6 d) 0
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05. (EEAR) Dois vetores 

A e 

B  estão representados a seguir. Assinale 
entre as alternativas aquela que melhor representa a resultante da 
operação vetorial 

A - 

B
a) c)
b) d)
06. (EEAR) Um ponto material está sujeito simultaneamente a ação 
de duas forças perpendiculares de intensidades F1 e F2, conforme 
mostrado na � gura a seguir. O ângulo θ tem valor igual a 30° e a força 
F1 tem intensidade igual a 7 N. Portanto, a força resultante FR tem 
intensidade, em N, igual a _____. 
a) 7 
b) 10 
c) 14 
d) 49 
07. (EEAR) A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido 
resulta num vetor cujo módulo vale 8. Quando estes vetores são 
colocados perpendicularmente, entre si, o módulo do vetor resultante 
vale 4 2. Portanto, os valores dos módulos destes vetores são 
a) 1 e 7. 
b) 2 e 6. 
c) 3 e 5. 
d) 4 e 4. 
08. (EEAR) Na operação vetorial representada na � gura, o ângulo α, 
em graus, é:
Dados: =
 
| b | 2 | a | e θ = 120º
a) 30
b) 45
c) 60
d) maior que 60
09. (EEAR) A � gura a seguir representa quatro forças F1, F2, F3  e 
F4  aplicadas sobre uma partícula de massa desprezível. Qual deverá 
ser o valor de F2, em newtons, para que a força resultante sobre a 
partícula seja nula? 
(Dados: sen 60º = 0,86; cos 60º = 0,5). 
a) zero b) 5 c) 10 d) 18,6
10. (EEAR) Dois vetores 1V e 2V formam entre si um ângulo θ e 
possuem módulos iguais a 5 unidades e 12 unidades, respectivamente. 
Se a resultante entre eles tem módulo igual a 13 unidades, podemos 
a� rmar corretamente que o ângulo θ entre os vetores 1V e 2V vale: 
a) 0º b) 45º c) 90º d) 180º
11. (EEAR) No conjunto de vetores representados na � gura, sendo 
igual a 2 o módulo de cada vetor,as operações +
 
A B e + + +
   
A B C D
terão, respectivamente, módulos iguais a:
a) 4 e 0 b) 4 e 8 c) 2√2 e 0 d) 2√2 e 4√2
12. (EEAR) Dois vetores 
 
A e B   possuem módulos, em unidades 
arbitrárias: = =
 
| A | 10 e | B | 8 .
Se  + =
 
| A B | 2 , o ângulo entre 
 
A e B  vale, em graus:
a) 0 b) 45 c) 90 d) 180
13. (EEAR) Dados dois vetores coplanares de módulos 3 e 4, 
a resultante “R” da soma vetorial desses vetores possui certamente 
módulo _____________.
a) R = 5
b) R = 7
c) 1 ≤ R ≤ 7
d) R < 1 ou R > 7
14. (EEAR) Dois vetores 
 
A e B  de módulos, respectivamente, iguais a 
 
A e B formam entre si um ângulo agudo cujo cosseno é igual a cos α. 
Neste caso, o módulo da resultante 

| R | da soma vetorial entre esses 
dois vetores pode ser determinado por
a) = + − ⋅ ⋅ −α
    
| R | ² | A | ² | B | ² | A | | B | cos(180º ).
b) = +
  
| R | ² | A | ² | B | ²
c) = +
  
| R | | A | | B |
d) = −
  
| R | | A | | B |
15. (EEAR) Sobre uma mesa sem atrito, um objeto sofre a ação de 
duas forças =1F 9 N e =2F 15 N, que estão dispostas de modo a 
formar entre si um ângulo de 120º. A intensidade da força resultante, 
em newtons, será de 
a) 3 24
b) 3 19
c) 306
d) 24
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VETORES
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16. (UEPG) O estudo da física em duas e três dimensões requer o uso 
de uma ferramenta matemática conveniente e poderosa conhecida 
como vetor. Sobre os vetores, assinale o que for correto. 
01) A direção de um vetor é dada pelo ângulo que ele forma com um 
eixo de referência qualquer dado. 
02) O comprimento do segmento de reta orientado que representa o 
vetor é proporcional ao seu módulo. 
04) Dois vetores são iguais somente se seus módulos correspondentes 
forem iguais. 
08) O módulo do vetor depende de sua direção e nunca é negativo. 
16) Suporte de um vetor é a reta sobre a qual ele atua. 
17. (UFPB) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados 
de I a IV.
Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = 
A - B são apenas: 
a) I e III b) II e IV c) II e III d) III e IV e) I e IV 
18. (UFC) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, 
conforme � gura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação 
vetorial correta.
a) CB + CD + DE = BA + EA 
b) BA + EA + CB = DE + CD 
c) EA - DE + CB = BA + CD 
d) EA - CB + DE = BA - CD 
e) BA - DE - CB = EA + CD 
19. (MACK) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se 
o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 
6 vetores é:
a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 
20. (EEAR) O conceito de grandezas vetoriais e escalares é fundamental 
no estudo da Física para garantir uma correta compreensão dos 
fenômenos e a precisa determinação das intensidades destas 
grandezas. Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que contém, 
do ponto de vista da Física, apenas grandezas escalares.
a) Massa, peso e tempo.
b) Potência mecânica, comprimento e força.
c) Intensidade da corrente elétrica, temperatura e velocidade.
d) Intensidade da corrente elétrica, potência mecânica e tempo.
21. (EEAR) Uma força, de módulo F, foi decomposta em duas 
componentes perpendiculares entre si. Veri� cou-se que a razão entre 
os módulos dessas componentes vale 3 .O ângulo entre esta força e 
sua componente de maior módulo é de: 
a) 30°. b) 45°. c) 60°. d) 75°. 
22. (EEAR) Um vetor de intensidade igual a F pode ser decomposto 
num sistema cartesiano de tal maneira que a componente Fx, que 
corresponde a projeção no eixo das abscissas, tem valor igual a 3
2
Fy, 
sendo Fy a componente no eixo das ordenadas. Portanto, o cosseno 
do ângulo α formado entre o vetor F e a componente Fx vale ________
a) 7
2
b) 2 7
7
c) ( )21
7
d) 7
23. (AFA) Durante uma decolagem, ao perder o contato com a pista, 
um avião mantém velocidade constante em direção que forma um 
ângulo de 30º com a pista horizontal. A razão entre a velocidade do 
avião e a velocidade de sua sombra a pista é
a) 
1
2
b) 2
c) 
3
2
d) 
2 3
3
24. (AFA) Na � gura abaixo, os quadrados apresentam lados 
correspondentes a uma unidade de medida.
A resultante dos vetores A, B e C, representados nessa figura, 
tem módulo
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
25. (EEAR) Considere os vetores coplanares A, B, C, D todos de 
mesmo módulo. Sabe-se que:
– A e B possuem mesma direção e sentidos contrários
– B e D são vetores opostos.
– C e D possuem direções perpendiculares entre si.
Assinale a alternativa em que aparece apenas vetores diferentes:
a) A, B, C e D b) B, C e D c) A, B e D d) A e D
38
VETORES
PROMILITARES.COM.BR
26. (EEAR) Durante a idade média, a introdução do arco gaulês nas 
batalhas permitiu que as � echas pudessem ser lançadas mais longe, 
uma vez que o ângulo θ (ver � gura) atingia maiores valores do que 
seus antecessores. Supondo que um arco gaulês possa atingir um valor 
θ = 60°, então, a força aplicada pelo arqueiro (FARQUEIRO) exatamente 
no meio da corda, para mantê-la equilibrada antes do lançamento da 
� echa é igual a ____. 
Obs.: T é a tração a que está submetida a corda do arco gaulês. 
a) T b) ½ T c) 3 2 T d) 3 T
27. (ETAM) Observe o sistema de forças abaixo, que atua sobre o 
corpo M:
O módulo da força resultante desse sistema vale:
a) 5 N b) 5 2 N c) 5 3 N d) 10N
28. (EFOMM) Analise as a� rmativas abaixo.
Pode-se considerar que a grandeza física quantidade de movimento é
I. Vetorial.
II. Escalar.
III. O produto escalar da massa pelo vetor aceleração. 
IV. O produto escalar da massa pelo vetor velocidade.
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a a� rmativa IV é verdadeira.
b) As a� rmativas I e II são verdadeiras.
c) As a� rmativas I e IV são verdadeiras.
d) As a� rmativas II e III são verdadeiras.
e) As a� rmativas I e III são verdadeiras.
29. (UFC) Na � gura abaixo, em que o reticulado forma quadrados de 
lado L 5 0,50 cm, estão desenhados dez vetores, contidos no plano xy. 
O módulo da soma de todos esses vetores é, em centímetros:
a) 0,0. b) 0,50. c) 1,0. d) 1,5. e) 2,0.
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (EPCAR/AFA 2012) Os vetores A
��
 e B

, na figura abaixo, 
representam, respectivamente, a velocidade do vento e a velocidade 
de um avião em pleno voo, ambas medidas em relação ao solo. 
Sabendo-se que o movimento resultante do avião acontece em uma 
direção perpendicular à direção da velocidade do vento, tem-se que o 
cosseno do ângulo θ entre os vetores velocidades A
��
 e B

 vale
a) −
B
A
���
� ��
b) −
A
B
� ��
���
c) � �A B
� �� ���
d) A B
� �� ���
⋅
02. (IFCE 2014) Se cada quadrado, na figura abaixo, tem lado 1, é 
correto afirmar-se que o vetor resultante mede
a) 20.
b) 20 2.
c) 5 2.
d) 1 20 .
e) 10.
03. (CESGRANRIO 1993) O ângulo entre os vetores u = 3i + j e v = i + 2j
é igual a:
a) 0°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 90°.
04. (EPCAR/AFA 2013) Sejam três vetores 
  
A B e C, . Os módulos dos 
vetores 
 
A e B são, respectivamente, 6u e 8u. O módulo do vetor 
  
S A B� � vale 10u, já o módulo do vetor 
  
D A C� � é nulo.
Sendo o vetor 
  
R B C� � , tem-se que o módulo de 
  
F S R� � é igual a 
a) 16u. b) 10u. c) 8u. d) 6u.
05. (MACKENZIE 2016)
Uma partícula move-se do ponto P1 ao P4 em três deslocamentos 
vetoriais sucessivos a, b e c
  
. Então, o vetor de deslocamento d

 é
a) c (a b)
b) a b c
c) (a c) b
d) a b c
e) c a b
� �
� �
� �
� �
� �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
39
VETORES
PROMILITARES.COM.BR
06. (UPE 2015) A figura a seguir mostra o vetor v

 representado no 
plano cartesiano.
A representação e o módulo desse vetor são, respectivamente, 
a) v (5,1) e | v | 3
b) v (3,0) e | v | 3
c) v ( 3, 4) e | v | 4
d) v ( 3, 4) e | v | 5
e) v ( 1, 4) e | v | 5
� �
� �
� � � �
� � � �
� � � �
� �
� �
� �
� �
� �
07. (CFTMG 2010) Considere os vetores A B
�� �
 e desenhados abaixo.
A operação vetorial A B
�� �
 - está melhor representada pelo segmento 
orientado dereta em 
a) 
b) 
c) 
d) 
08. (UNIRIO 2000)
Considere os vetores a, g e ω anteriormente representados. 
O vetor v tal que 
1 1
v a g
2 4
� � � � é:
� �
7
a) 6,
4
b) 2,3
7
c) ,6
4
7
d) , 6
4
7
e) 6,
4
� ��� �
� �
�
� ��� �
� �
� ��� �
� �
� ��� �
� �
09. (UPE 2013) Os vetores u e v
 
, representados na figura a seguir, têm 
módulos, respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo θ mede 120°.
Qual é o módulo do vetor u - v
 
?
a) 3√3
b) 4√3
c) 5√3
d) 3√5
e) 4√7
10. (IFPE 2012) Qual é o cosseno do ângulo formado pelos vetores 
A i j
� � �
� �4 3. . e B i j
� �
� � �1 1. . , em que i
→
 e j
→
 são vetores unitários?
a) 
− 2
10
b) 
− 10
2
c) 
2
10
d) 
10
2
e) 0
DESAFIO PRO
1 (EFOMM) A matriz ( )
−
= = −ij 3x3
2 1 1
A a 1 1 0
1 2 1
 de� ne em ³ 
os vetores = + + ≤ ≤
 
 
i i1 i2 i3v a i a j a k , 1 i 3.
Se 

u e 

v são dois vetores em ³ satisfazendo:
• 

u é paralelo, tem mesmo sentido de 

2v e u = 3; 
• 

v é paralelo, tem mesmo sentido de 

3v e u = 2. 
Então o produto vetorial ×
 
u v é dado por:
a) 
3 2
2
( ( )+ − +  i j 2 1 k) 
b) 3 2 ( ( )− + −  i j 2 1 k) 
c) 3 ( ( )+ − −  2i j 2 1 k) 
d) 2 2 ( ( )+ + −  i 2 j 1 2 k) 
e) −3 2 ( ( )+ − −  i j 2 1 k) 
40
VETORES
PROMILITARES.COM.BR
2 (AFA) Considere que dois vetores 

A e 

B fazem entre si um 
ângulo de 60°, quando têm suas origens sobre um ponto 
em comum. Além disso, considere também, que o módulo de 

B
é duas vezes maior que o de 

A , ou seja, B = 2A. Sendo o vetor 
soma = +
  
S A B e o vetor diferença = −
  
D A B , a razão entre os 
módulos 
S
D
 vale 
a) 21
3
b) 1 
c) 7
d) 3 
3 (EFOMM) Duas pessoas tentam desempacar uma mula, usando uma corda longa amarrada no animal. Uma delas 
puxa com força FA, cuja intensidade é de 200 N, e a outra com 
força  FB. Ambas desejam mover a mula apenas na direção 
perpendicular à linha horizontal representada na � gura dada 
por FR. Considere que os ângulos são os dados na � gura, que 
a mula está no ponto  P  e que essas pessoas, após um tempo 
de 0,1 microsséculo, conseguem � nalmente mover o animal na 
direção desejada. Pode-se a� rmar, em valores aproximados, que 
a intensidade da força FB aplicada e o tempo em minutos levado 
para mover o animal são, respectivamente,
a) 230 N e 25 min.
b) 230 N e 5 min.
c) 348 N e 25 min.
d) 348 N e 5 min.
e) 348 N e 15 min.
4 (UFOP-MG) Os módulos de duas forças F1 e F2 são |

1F | = 3 e 
|

2F | = 5, expressos em newtons. Então, é sempre verdade 
que:
I. − =


1 2F F 2
II. ≤ − ≤


1 22 F F 8
III. + =


1 2F F 8
IV. ≤ + ≤


1 22 F F 8
Indique a alternativa correta:
a) Apenas I e III são verdadeiras.
b) Apenas II e IV são verdadeiras.
c) Apenas II e III são verdadeiras.
d) Apenas I e IV são verdadeiras.
e) Nenhuma sentença é sempre verdadeira.
5 (UFC) M e N são vetores de módulos iguais (|M| = |N| = M). O vetor M é � xo e o vetor N pode girar em torno do ponto 
O (veja � gura) no plano formado por M e N. Sendo R = M + N, 
indique, entre os grá� cos a seguir, aquele que pode representar a 
variação de |R| como função do ângulo θ entre M e N. 
a) d)
b) e)
c)
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. B
02. C
03. D
04. C
05. C
06. D
07. C
08. A
09. C
10. B
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D
02. A
03. C
04. A
05. B
06. C
07. D
08. A
09. D 
10. C
11. C
12. D
13. C
14. A
15. B
16. 23
17. B
18. D
19. B
20. D
21. A
22. C
23. D
24.D
25. B
26. A
27. B
28. C
29. E
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. B
02. C
03. C
04. A
05. A
06. D
07. D
08. C
09. E
10. A
DESAFIO PRO
01. A
02. A
03. D
04. D
05. B