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PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES 
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AULA 16 – Noções de Variáveis aleatórias 
 
I.  VARIÁVEIS ALEATÓRIAS........................................................................................................................ 2 
1.  Distribuições de probabilidade de uma variável discreta ....................................................................... 3 
2.  Esperança para variáveis aleatórias discretas ........................................................................................ 7 
3.  Esperança para variáveis contínuas .................................................................................................... 15 
4.  Propriedades da esperança ................................................................................................................ 15 
5.  Variância e desvio‐padrão de uma variável aleatória .......................................................................... 19 
6.  Covariância ........................................................................................................................................ 30 
7.  Função densidade de probabilidade ................................................................................................... 41 
8.  Função distribuição de probabilidade ................................................................................................. 56 
II.  LEITURA OPCIONAL: PROBLEMAS “PROBLEMÁTICOS” ........................................................................ 66 
III.  LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO .................................................................................................. 74 
IV.  GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO .......................................................................................... 89 
 
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I. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Vamos trabalhar com o resultado do lançamento de um dado de seis faces. O resultado do 
lançamento de um dado pode ser: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Pois bem, nossa variável em estudo é justamente o resultado obtido no lançamento de um 
dado. Antes de lançarmos o dado, não temos condições de determinar, com certeza, qual será 
seu resultado. 
Esta variável em estudo é uma variável aleatória. Ela pode assumir valores diferentes e, além 
disto, de forma aleatória. 
Se quiséssemos de antemão determinar, com exatidão, o resultado do lançamento de um dado, 
teríamos que levar em conta uma gama muito grande de fatores. A posição de lançamento do 
dado. A força de arremesso. O ângulo. A rotação. Formato e densidade do dado. Atrito com o 
ar. Altura em relação à mesa. Inclinação da mesa. E poderíamos ficar imaginando aqui 
infinitos outros fatores que influenciariam no resultado. São tantos fatores que fica 
extremamente difícil modelar seu comportamento de tal modo que possamos predizer o 
resultado com 100% de certeza. 
Em casos assim, podemos dizer que a variável é aleatória. Ela assume diferentes valores e 
cada resultado possível pode ser associado a uma dada probabilidade. 
É claro que estamos muito longe de uma definição adequada de variável aleatória. Mas para 
gente essa noção “grosseira” já basta. 
Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. 
O que é uma variável discreta? De maneira bem simples (e imprecisa, até mesmo errônea), 
podemos dizer que é uma variável que assume apenas alguns valores. 
Considere o lançamento de um dado. Podemos obter apenas os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Essa variável é discreta. 
Melhorando um pouquinho nossa definição, podemos dizer que a variável discreta assume 
valores num conjunto enumerável de pontos da reta real. 
Imagine a variável aleatória que representa o número de grãos de areia colocados num 
caminhão para transporte. Esta variável aleatória pode assumir o valor zero (nos dias em que 
o caminhão não está rodando, portanto está vazio). Mas também pode assumir valores bem 
altos, nos dias em que o caminhão está com carga máxima. A rigor, ela não assume apenas 
alguns valores, como dissemos acima. São inúmeros valores possíveis. Contudo, ela assume 
valores que são enumeráveis. 
À variável discreta se contrapõe a variável contínua. A variável contínua pode assumir 
qualquer valor num intervalo real. Imagine que temos um termômetro “mágico”, que tem 
infinitas casas após a vírgula. 
A variável temperatura, medida com nosso termômetro mágico, é contínua. Ela pode assumir 
os valores 1°C, 2°C, 3ºC, ... Mas também pode assumir valores como 5,6798944635°C. Ou 
ainda, 2,33333...°C (uma dízima periódica). Ou ainda π °C (pi graus celcius). Ou 2 ºC (um 
número irracional). Ou qualquer outro número real. 
No caso de variável contínua, não podemos mais atribuir uma probabilidade a cada valor 
possível. 
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Exemplo: qual a probabilidade de a temperatura medida com nosso termômetro mágico ser de 
2,3333...ºC (uma dízima periódica)? 
Tem que ser exatamente este valor. 
Não pode ser 2,3ºC, nem 2ºC, nem 3ºC. Tem que ser exatamente 2,3333....ºC. 
A probabilidade é nula. Temos um único caso favorável em infinitos possíveis. 
No caso de variáveis contínuas, só podemos nos referir a probabilidades associadas a 
intervalos de valores. 
Poderíamos, por exemplo, calcular a probabilidade de a temperatura num dado instante estar 
entre 20ºC e 25ºC. 
 
No estudo de estatística inferencial é muito útil fazermos paralelos com a estatística 
descritiva. 
Já estudamos a abordagem frequentista da probabilidade. Vimos que a probabilidade tem 
papel análogo ao da freqüência relativa. 
Lá em estatística descritiva, quando tínhamos dados em rol ou agrupados por valor, podíamos 
nos referir à freqüência de cada observação. De forma análoga, com variáveis discretas, 
podemos nos referir à probabilidade de cada valor. 
Lá em estatística descritiva, quando tínhamos dados em classe, podíamos nos referir apenas às 
freqüências relativas das classes. De forma análoga, com variáveis contínuas, podemos nos 
referir apenas a probabilidades associadas a intervalos de valores. 
Paralelo entre estatística descritiva e inferencial 
Descritiva Inferencial 
freqüência relativa simples probabilidade 
dados em rol ou agrupados por valor variáveis aleatórias discretas 
dados em classe variáveis aleatórias contínuas 
 
1. Distribuições de probabilidade de uma variável discreta 
Lembram lá da aula 13, quando falamos em distribuição de freqüências? Relacionávamos 
cada valor (ou classe de valores) à respectiva freqüência (que poderia ser absoluta ou relativa, 
simples ou acumulada). 
Aqui vai ser bem parecido. Temos visto que a probabilidade é bem parecida com a freqüência 
relativa. Pois bem, se relacionarmos cada valor possível de uma variável aleatória com a sua 
respectiva probabilidade, temos a distribuição de probabilidade da variável aleatória. 
Como exemplo, voltemos ao lançamento do dado de seis faces. A variável aleatória X é 
justamente o resultado do lançamento do dado. A distribuição de probabilidade fica: 
X P(X) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
TOTAL 1 
4 
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Do mesmo modo que acontece com as freqüências relativas simples, a soma de todas as 
probabilidades é igual a 1. Isso porque a chance de X assumir algum dos valores de 1 a 6 é de 
100%. Com certeza, quando lançamos um dado, algum desses seis resultados irá ocorrer. 
Outro exemplo. 
 
EP 1 Temos um tetraedro homogêneo. Nas suas facestemos os números 1, 2, 3, 4. 
Lançamos o tetraedro. O resultado corresponde ao número da face que fica em contato com a 
mesa. Vamos chamar esse resultado de X. Em uma tabela, monte a distribuição de 
probabilidades da variável X. 
 
Resolução: 
São 4 faces. Cada uma tem chance de 25% de ocorrer. 
 
X P(X) 
1 1/4 
2 1/4 
3 1/4 
4 1/4 
TOTAL 1 
Observe a soma das probabilidades é igual a 1 
 
EP 2 Temos dois tetraedros homogêneos. Lançamos os dois, simultaneamente. Em ambos, 
as faces apresentam os números 1, 2, 3, 4. Seja Y a variável que indica a soma dos resultados 
dos lançamentos dois tetraedros. Em uma tabela, monte a distribuição de probabilidades da 
variável Y. 
 
Resolução: 
Em cada tetraedro, a probabilidade de ocorrer cada uma das 4 faces é de 25%. Portanto, as 
possibilidades de combinação ficam: 
 
Resultado do primeiro tetraedro Resultado do segundo tetraedro Soma 
1 1 2 
2 1 3 
3 1 4 
4 1 5 
1 2 3 
2 2 4 
3 2 5 
4 2 6 
1 3 4 
2 3 5 
3 3 6 
4 3 7 
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Resultado do primeiro tetraedro Resultado do segundo tetraedro Soma 
1 4 5 
2 4 6 
3 4 7 
4 4 8 
Portanto, a variável Y pode assumir valores de 2 a 8. Se os dois tetraedros forem honestos, 
cada uma das 16 combinações tem a mesma chance de ocorrer. 
Observe que cada um dos valores de Y tem chances distintas de ocorrer. Por exemplo, o valor 
2 só ocorre em uma única combinação (1 no primeiro tetraedro e 1 no segundo). Já o valor 4 
acontece em três situações (3 e 1; 2 e 2; 1 e 3). 
A distribuição de probabilidade fica: 
Y P(Y) 
2 1/16 
3 2/16 
4 3/16 
5 4/16 
6 3/16 
7 2/16 
8 1/16 
TOTAL 1 
 
 
EC 1 TCE/MG – 2007 [FCC] 
O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é 
uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades: 
X P(X) 
0 2m 
1 N 
2 2n 
3 N 
4 M 
 
Sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em um 
determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido 
inferior a 4 é: 
a) 70,0% 
b) 75,0% 
c) 80,0% 
d) 87,5% 
e) 90,0% 
 
Resolução: 
O exercício disse que a probabilidade de serem vendidas mais que 3 unidades é de 10%. 
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Ou seja, o enunciado está nos dizendo que: 
1,0=m 
Sabemos que a soma de todas as probabilidades é igual a 1. 
Portanto: 
122 =++++ mnnnm 
Substituindo o valor de ‘m’: 
175,0
4
7,011,022,0 ==⇒=++++ nnnn 
A distribuição de probabilidades fica: 
X P(X) 
0 0,2 
1 0,175
2 0,35 
3 0,175
4 0,1 
TOTAL 1 
Podemos pensar que, a cada 1.000 meses, temos o seguinte comportamento das vendas (casos 
possíveis): 
 
Em 200 meses são vendidas zero unidades 
Em 175 meses é vendida uma unidade 
Em 350 meses são vendidas duas unidades 
Em 175 meses são vendidas três unidades 
Em 100 meses são vendidas quatro unidades. 
 
 E estamos interessados nos meses em que foram vendidas menos de 4 unidades. Temos os 
seguintes casos favoráveis: 
Em 200 meses são vendidas zero unidades 
Em 175 meses é vendida uma unidade 
Em 350 meses são vendidas duas unidades 
Em 175 meses são vendidas três unidades 
 
Só que foi dada uma condição. A condição é: em um determinado mês, a venda não foi nula. 
Dada esta condição, qual a probabilidade da venda ter sido inferior a 4 unidades? 
Precisamos rever nossos casos possíveis e favoráveis. 
Casos possíveis: 
Em 200 meses são vendidas zero unidades 
Em 175 meses é vendida uma unidade 
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Em 350 meses são vendidas duas unidades 
Em 175 meses são vendidas três unidades 
Em 100 meses são vendidas quatro unidades. 
 
Casos favoráveis: 
Em 200 meses são vendidas zero unidades 
Em 175 meses é vendida uma unidade 
Em 350 meses são vendidas duas unidades 
Em 175 meses são vendidas três unidades 
 
Temos 700 casos favoráveis e 800 casos possíveis. A probabilidade fica: 
%5,87
800
700 ==P 
Gabarito: D. 
 
2. Esperança para variáveis aleatórias discretas 
Voltemos ao lançamento do dado. 
Considere que o dado é lançado seis vezes. São obtidos os seguintes resultados: 
Resultados obtidos em seis lançamentos: 2, 5, 3, 2, 4, 1. 
Obtidos esses resultados, podemos calcular a média. A média de um conjunto de dados nós já 
estudamos. 
6
142352 +++++=X 
83,2
6
142352 ≈+++++=X 
Até aqui nenhuma novidade. 
A esperança de uma variável aleatória é muito parecida com a média de um conjunto de 
dados. 
Depois que os lançamentos com nosso dado de seis faces foram feitos, sabemos exatamente 
os valores saíram e podemos calcular a média com tranqüilidade. 
Contudo, é muito comum querermos calcular uma “média” antes de lançarmos o dado. 
Só que antes de lançarmos o dado não sabemos quais os resultados sairão. Já vimos que se 
trata de uma variável aleatória. É impossível prever os resultados com uma certeza de 100%. 
É aí que entra a esperança. 
Considere que se trata de um dado honesto. Feito de material homogêneo, com formato 
simétrico. É bem razoável esperar que todas as seis faces tenham a mesma chance de sair. 
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É razoável esperar que, num número muito grande de lançamentos, cada uma das faces saia 
em 1/6 das vezes. 
Se lançarmos esse dado muitas e muitas vezes, podemos esperar a seguinte tabela de 
freqüências relativas: 
 
Valor da face 
(X) 
Freqüência relativa 
simples (fr) 
frX × 
1 1/6 1/6 
2 1/6 2/6 
3 1/6 3/6 
4 1/6 4/6 
5 1/6 5/6 
6 1/6 6/6 
Total 1 3,5 
Assim, o valor médio, esperado, é 3,5. 
Não temos certeza se, para um dado conjunto de lançamentos, a média será de 3,5. Pode não 
ser. No nosso exemplo acima, de fato, não foi. Mas para um número muito grande de 
lançamentos, é razoável esperar que a média se aproxime de 3,5. 
Dizemos que 3,5 é a esperança do resultado do lançamento de um dado honesto. 
Corresponde à média que seria obtida num número extraordinariamente grande de 
lançamentos. 
Apenas para ilustrar, você pode executar no excel uma lista de números aleatórios entre 0 e 6. 
Feito isto, pode pedir para ele arredondar para o inteiro logo acima, o que irá gerar, 
aleatoriamente, os números naturais de 1 a 6. 
Fiz um exemplo aqui no meu computador. A lista gerada, com 100 números, foi: 
 
1 2 3 3 4 1 6 3 6 4
4 3 5 2 3 6 3 3 4 5
3 6 1 6 2 6 3 2 1 3
1 5 6 4 5 5 6 2 6 1
6 6 3 3 2 2 5 2 5 6
3 6 4 4 2 3 4 1 4 5
4 3 3 1 1 4 2 4 3 4
3 5 1 5 4 3 4 1 3 4
2 1 4 1 4 3 1 4 6 2
4 1 4 2 6 1 5 3 2 1
A média destes valores é de 3,4. 
Repeti o mesmo procedimento, desta vez para 300 valores. A média foi de 3,52667. 
Vamos passar a fórmula da esperança. 
Nós adotamos dois símbolos para a esperança. 
O primeiro é: 
][XE 
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A letra entre colchetes (no caso, é a letra X) indica que estamos calculando a esperança da 
variável aleatória X. Outro símbolo possível é: 
Xμ 
A letra X, subscrita à letra grega “mi”, também indica que a esperança calculada se refere à 
variável aleatória X. 
 
Seja X uma variável aleatória que assume n valores (x1, x2, x3, ..., xn). 
Considere que cada um desses n valores tem uma dada probabilidade de acontecer. 
x1 tem probabilidade P(x1) de acontecer. 
x2 tem probabilidade P(x2) de acontecer.xn tem probabilidade P(xn) de acontecer. 
 
A esperança de X é dada por: 
[ ] ∑
=
×=
n
i
ii xxPXE
1
)( 
Para o dado, foi exatamente isto que fizemos. Sabíamos que os resultados possíveis eram 1, 2, 
3, 4, 5 e 6. Cada um com probabilidade de 1/6. A esperança ficou: 
5,36
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
6
1)( =×+×+×+×+×+×=XE 
É comum se empregar o seguinte símbolo para esperança: μ. 
Logo: 
5,36
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
6
1 =×+×+×+×+×+×=Xμ 
A esperança é bem parecida com a média. Só que em vez de sabermos quantas vezes um valor 
ocorreu, sabemos apenas a sua probabilidade. 
O cálculo é bem semelhante ao cálculo da média, quando são fornecidas apenas as 
freqüências relativas. A probabilidade de acontecer cada valor é análoga à sua freqüência 
relativa em um número muito grande de experimentos. É comum que se refira à esperança 
como “valor médio”, ou como “média de uma variável aleatória”. 
 
→ 
Esperança (ou média) da variável aleatória. 
É semelhante à média de um conjunto de dados. É a média que seria obtida num número muito 
grande de experimentos. No caso de variável discreta, é dada por: 
[ ] ∑
=
×=
n
i
ii xxPXE
1
)( 
 
Agora podemos aumentar um pouco nosso quadro que traça um paralelo entre estatística 
descritiva e inferencial. 
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Paralelo entre estatística descritiva e inferencial 
Descritiva Inferencial 
freqüência relativa simples probabilidade 
dados em rol ou agrupados por valor variáveis aleatórias discretas 
dados em classe variáveis aleatórias contínuas 
média de um conjunto de dados esperança ou média da variável aleatória 
 
EC 2 ENAP 2006 [ESAF] 
Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas 
resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra 
paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o 
valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os 
valores que ela paga à Suzana) é igual a 
a) 1,5. 
b) -0,75. 
c) 0,75. 
d) -1,5. 
e) 2,5. 
 
Resolução: 
Seja A o evento que ocorre quando, lançando a primeira moeda, obtemos cara. 
Seja B o evento que ocorre quando, lançando a segunda moeda, obtemos cara. 
Vamos calcular a probabilidade da intersecção entre A e B. Como os dois eventos são 
independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. 
)()()( BPAPBAP ×=∩ 
25,05,05,0)( =×=∩ BAP 
Deste modo, a probabilidade de termos duas caras é de 25%. 
Vamos indicar por X o quanto Sandra ganha com esta aposta. 
Se as duas moedas resultarem em cara, Sandra ganha R$ 6,00. Certo? 
Ou seja, neste caso, temos: 
6=X 
É certeza que Sandra ganhará 6,00? 
Não, não é certeza. É apenas uma possibilidade. 
E qual a probabilidade de isso ocorrer? 
Como vimos acima, a probabilidade de duas caras é 25%. 
Logo, há 25% de chance de Sandra ganhar 6,00. 
Tudo certo até aqui? 
 
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Para qualquer outra combinação de resultados nas duas moedas, Sandra perde R$ 4,00 . 
Neste caso, teríamos: 
4−=X 
É certeza que Sandra perderá 4,00? Não, não é. É apenas uma possibilidade. 
E qual a probabilidade de isso ocorrer? 
Oras, se a probabilidade de saírem duas caras é 25%, então a probabilidade de não saírem 
duas caras é 75% (eventos complementares, matéria da aula passada). 
Logo, há 75% de chance de Sandra perder 4,00. 
 
Podemos concluir que X varia (pois, a cada nova aposta, X pode assumir valores diferentes). 
Além disso, a cada valor possível de X está associada uma dada probabilidade. Assim, X é 
uma variável aleatória. 
A tabela abaixo resume os possíveis valores de X, acompanhados de suas probabilidades. 
X Probabilidade 
(P) 
– 4 75% 
6 25% 
A esperança de uma variável aleatória nada mais é do que sua média. 
Para tanto, nós adotamos a abordagem frequentista da probabilidade, que vimos na aula 
passada. 
Relembrando: nesta abordagem, consideramos que a probabilidade é a freqüência relativa que 
seria obtida em um número muito grande de experimentos. 
Ou seja, se as duas amigas fizessem esta aposta inúmeras vezes, é natural esperar que, em 
75% dos casos, Sandra perca 4,00. E é natural esperar que em 25% dos casos ela ganhe 6,00. 
Ou seja, a probabilidade seria análoga à freqüência relativa. 
Em outras palavras, a esperança da variável aleatória X é a média que seria obtida em um 
número muito grande de apostas entre Sandra e sua amiga. 
Portanto, para calcular a esperança, basta considerar que estamos diante de um caso de 
cálculo de média com freqüências relativas simples. É exatamente o mesmo procedimento 
visto na aula 13. 
Temos que multiplicar cada valor por sua freqüência. Depois somamos. Depois dividimos 
pelo total das freqüências. 
X P PX ×
-4 0,75 -3 
6 0,25 1,5 
total 1 -1,5 
1
5,1][ −== XXE μ = 5,1− 
O que isto significa? 
Significa que, se fosse possível realizar infinitas vezes esta aposta, Sandra perderia, em média, 
R$ 1,50 por aposta. 
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Se, em vez da tabela, fôssemos deixar indicadas todas as contas realizadas, chegaríamos a: 
=×+×−= 25,0675,04)(XE -1,5 
Com isso dá para generalizar a fórmula da esperança para uma variável discreta. 
Seja X uma variável discreta que assume os valores 1x , 2x ... nx . Estes valores têm 
probabilidades )( 1xP , )( 2xP ... )( nxP . A esperança da variável aleatória X fica: 
)(][
1
∑
=
×=
n
i
ii xPxXE 
Gabarito: D 
 
EC 3 TCE RO 2007 [CESGRANRIO] 
O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, 
com função de probabilidade dada a seguir. 
 
O retorno esperado é: 
(A) – 0,5% 
(B) 0,5% 
(C) 1,5% 
(D) 5% 
(E) 7,5% 
 
Resolução: 
 
∑∞
=
×=
1
)()(
i
ii wPwWE 
05,0%)15(15,0%)10(25,0%)5(15,0%)0(4,0%)5()( ×+×+×+×+×−=WE 
%)75,0(%)5,1(%)25,1(%)0(%)2()( ++++−=WE 
%5,1)( =WE 
O cálculo da esperança é muito semelhante ao da média. Só que no lugar de frequências 
relativas, temos probabilidades. 
Podemos dizer que a esperança é igual a uma média ponderada entre os possíveis valores de 
W. Os pesos de ponderação são justamente as probabilidades. 
Muitas questões, em vez de utilizarem o símbolo E( ) para indicar esperança, utilizam a letra 
grega μ . 
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%5,1)( == WWE μ 
Gabarito: C 
 
EC 4 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Em um estudo sobre o tratamento de crises asmáticas construiu-se a função conjunta de 
probabilidades com preços em reais de dois medicamentos A e B para tratamento de asma, 
apresentada abaixo: 
Preço de B 4 5 10 
Preço de A
1 0,1 0 0 
2 0,1 0,2 0,2 
5 0 0,2 0,2 
Sabendo que cada tratamento utiliza duas unidades do medicamento A e uma unidade do 
medicamento B, o custo médio para tratar um paciente asmático é: 
a) R$ 8,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 11,00 
d) R$ 13,00 
e) R$ 15,00 
 
Resolução: 
Não vimos, durante a teoria, nada sobre distribuições conjuntas de probabilidade. 
Quando estudamos o lançamento de um dado, vimos que cada face tem a probabilidade 1/6 de 
ocorrer. Se chamarmos o resultado do lançamento de variável X, sabemos qual a 
probabilidade de X assumir cada um dos valores possíveis. 
Pois bem, nesse exercício, em vez de termos umaúnica variável, temos duas. As variáveis são 
o preço da mercadoria “A” e o preço da mercadoria “B”. E a tabela dá a probabilidade de cada 
um dos possíveis pares de valores de preços. 
Por exemplo, a probabilidade do preço de “A” ser igual a R$ 1,00 e, simultaneamente, o preço 
de B ser igual a R$ 4,00, é de 10%. 
Vamos ver o preço total do tratamento, para cada par de preços de A e B. 
 
Preço de A Preço de B Probabilidade Preço do tratamento 
R$ 1,00 R$ 4,00 0,1 R$ 6,00 
R$ 1,00 R$ 5,00 0 R$ 7,00 
R$ 1,00 R$ 10,00 0 R$ 12,00 
R$ 2,00 R$ 4,00 0,1 R$ 8,00 
R$ 2,00 R$ 5,00 0,2 R$ 9,00 
R$ 2,00 R$ 10,00 0,2 R$ 14,00 
R$ 5,00 R$ 4,00 0 R$ 14,00 
R$ 5,00 R$ 5,00 0,2 R$ 15,00 
14 
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R$ 5,00 R$ 10,00 0,2 R$ 20,00 
Vamos chamar de X o preço do tratamento. 
A tabela abaixo traz os valores que X pode assumir, bem como as respectivas probabilidades. 
Probabilidade X 
0,1 R$ 6,00 
0,1 R$ 8,00 
0,2 R$ 9,00 
0,2 R$ 14,00 
0,2 R$ 15,00 
0,2 R$ 20,00 
O exercício pergunta o custo médio do tratamento. Em resumo, queremos saber o valor médio 
da variável X. 
Aplicando a fórmula da esperança: 
 
[ ] ∑
=
×==
n
i
ii xxPXE
1
)(μ 
[ ] 13202,0152,0142,092,081,061,0 =×+×+×+×+×+×=XE 
A média de X é de R$ 13,00. 
Gabarito: D 
 
EC 5 MPE PE/2006. [FCC] 
A tabela de dupla entrada, apresentada a seguir, mostra a distribuição conjunta das variáveis F 
e M que representam o número de anos para completar o ensino fundamental e médio, 
respectivamente. Em uma cidade, esta tabela foi adotada para calcular a média da variável Z, 
que representa o número de anos para completar todo o ciclo básico, isto é Z = F + M. O valor 
médio de Z será 
M
F 
3 4 5 
8 0,2 0,1 0,1 
9 0,3 0 0,1 
10 0,1 0,1 0 
a) 8,1 
b) 10,0 
c) 12,4 
d) 13,4 
e) 14,0 
 
Resolução. 
Vamos ver os valores que Z assume, bem como as respectivas probabilidades. 
15 
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F M Probabilidade 
(P) 
Z ZP× 
8 3 0,2 11 2,2 
8 4 0,1 12 1,2 
8 5 0,1 13 1,3 
9 3 0,3 12 3,6 
9 4 0 13 0 
9 5 0,1 14 1,4 
10 3 0,1 13 1,3 
10 4 0,1 14 1,4 
10 5 0 15 0 
TOTAL 1 12,4 
O valor médio de Z fica: 
4,12
1
4,12][ ==ZE 
Gabarito: C. 
 
3. Esperança para variáveis contínuas 
A fórmula vista na seção anterior, para cálculo de esperanças, só vale para variáveis discretas. 
No caso de variáveis contínuas, a coisa é um pouco mais complicada. Isto porque não 
podemos nos referir à probabilidade de uma variável contínua assumir um valor específico. 
Basta pensarmos na probabilidade de a temperatura, medida com nosso termômetro mágico, 
assumir exatamente o valor 2,3333...ºC. Tem que ser exatamente este valor (uma dízima 
periódica). 
Não pode ser 2,3ºC, nem 2,33ºC, nem 2,34ºC. Tem que ser exatamente o valor acima. 
De quanto é essa probabilidade? 
Ela é zero! 
Seriam infinitos casos possíveis e um único caso favorável. 
Deste modo, para variáveis contínuas nós só podemos falar em probabilidades associadas a 
intervalos de valores. Poderíamos, por exemplo, calcular a probabilidade de a temperatura 
estar entre 20ºC e 25ºC. 
Quanto ao cálculo de esperança para variáveis contínuas, falamos um pouco a respeito em 
momento posterior (ver fl. 67). 
 
4. Propriedades da esperança 
Independentemente de a variável em estudo ser contínua ou discreta, a esperança tem algumas 
propriedades. 
Sejam A e B duas variáveis aleatórias. 
Sabemos que a esperança de A pode ser escrita como ][AE ou Aμ . 
A esperança de B pode ser escrita como ][BE ou Bμ 
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Pois bem, seja C = A + B 
Seja D = A – B. 
Então, as esperanças de C e D serão: 
BABEAECE μμ +=+= ][][][ 
BABEAEDE μμ −=−= ][][][ 
A esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
A esperança da subtração é igual à subtração das esperanças. 
Se A e B forem independentes (ou seja, o resultado de uma variável não influenciar em nada 
no resultado da outra), então ainda temos mais uma propriedade. 
Seja H = A × B. 
BABEAEHE μμ ×=×= ][][][ 
Quando as variáveis são independentes, a esperança do produto é igual ao produto das 
esperanças. 
Seja k uma constante real. Seja AkI ×= . A esperança de I fica: 
][]][][][ AEkIEAkEIE ×=⇒×= 
Se multiplicarmos uma variável aleatória por uma constante k, podemos retirar esta constante 
da esperança. 
Por fim, seja k uma constante. A esperança da constante é: 
kkE =][ 
A esperança de uma constante é igual à própria constante. 
 
→ 
Propriedades da esperança. 
Sejam A e B variáveis aleatórias, e k uma constante 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]AkEkAE
kkE
BEAEBAE
BEAEBAE
=
=
−=−
+=+
][
 
Se A e B forem independentes, ainda vale: 
][][][ BEAEABE ×= 
Um detalhe importante. Vimos que se as variáveis são independentes, a esperança do produto 
é igual ao produto das esperanças. Mas o contrário não é verdadeiro. O fato da esperança do 
produto ser igual ao produto das esperanças não garante que as variáveis sejam 
independentes. Ou seja: 
 
17 
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→ 
X e Y independentes → )()()( YEXEXYE ×= 
)()()( YEXEXYE ×= → não garante nada. 
 
EP 3 Seja A uma variável aleatória de média 2. Seja B uma variável aleatória de média 5. 
Sabendo que A e B são independentes, calcule a média da variável C onde: 
ABAC 3+= 
 
Resolução: 
Vamos aplicar as propriedades da esperança. 
]3[][ ABAECE += 
Temos uma esperança de uma soma. Podemos separar em uma soma de esperanças. 
]3[][][ ABEAECE += 
Agora temos uma constante multiplicando nossas variáveis aleatórias. Esta constante pode 
sair da esperança. 
][3][][ ABEAECE += 
Temos uma esperança de um produto. Como as variáveis são independentes, podemos separar 
em um produto de esperanças. 
][][3][][ BEAEAECE ×+= 
Substituindo os valores, ficamos com: 
325232][ =××+=CE 
EP 4 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. X tem média 4. Y tem média 6. Calcule a média 
da variável Z, onde Z = 3X – 2Y 
 
Resolução: 
Usando as propriedades da esperança, temos: 
][2][3][ YEXEZE ×−×= 
06243][ =×−×=ZE 
 
A variável Z tem média zero. 
 
EC 6 ANP 2008 [CESGRANRIO] 
Três dados comuns, honestos, são lançados seqüencialmente. Se o resultado S1 do primeiro 
dado for igual a 3, a distribuição de probabilidades da soma dos três resultados, condicional a 
S1 = 3, terá moda igual a 
(A) 11 
(B) 10 
(C) 9 
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(D) 7 
(E) 1/6 
 
Resolução. 
Para achar a moda de uma variável aleatória discreta, consideramos que as probabilidades são 
análogas às freqüências relativas. O termo com maior freqüência relativa (ou ainda, com 
maior probabilidade) é a moda. 
O ideal é que o candidato perceba que a soma dos três dados é uma variável aleatória 
simétrica (logo, a média é igual à mediana, que é igual à moda). Deste modo, calcular a média 
é o mesmo que calcular a moda. 
O primeiro dado resultou em 3. 
Seja X a variável que designa o resultado do segundo dado. Seja Y a variável que designa o 
resultado do terceiro dado. 
Temos: 
5,3
6
654321)( =+++++=XE 
5,3
6
654321)( =+++++=YE 
A soma dos três lançamentos é dada por: 
YXS ++= 3 
Usando as propriedades da esperança: 
)()()3()( YEXEESE ++= 
105,35,33)( =++=SE 
A média de Sé igual a 10. Portanto, a moda de S também é igual a 10. 
Gabarito: B 
 
Apenas para ficar claro que a seqüência é simétrica, vamos ver todos os possíveis valores de 
S: 
S Possíveis resultados 
5 (3,1,1) 
6 (3,1,2); (3,2,1) 
7 (3,1,3); (3,3,1); (3,2,2) 
8 (3,1,4); (3,4,1); (3,2,3); (3,3,2) 
9 (3,1,5); (3,5,1); (3,2,4); (3,4,2); (3,3,3) 
10 (3,1,6); (3,6,1), (3,2,5); (3,5,2); (3,3,4); (3,4,3) 
11 (3,2,6); (3,6,2), (3,3,5); (3,5,3); (3,4,4) 
12 (3,3,6); (3,6,3), (3,4,5); (3,5,4) 
13 (3,4,6); (3,6,4), (3,5,5) 
14 (3,5,6); (3,6,5) 
15 (3,6,6) 
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Ou seja, a distribuição de probabilidade é dada por: 
S Probabilidade 
5 1/36 
6 2/36 
7 3/36 
8 4/36 
9 5/36 
10 6/36 
11 5/36 
12 4/36 
13 3/36 
14 2/36 
15 1/36 
Notem que a maior probabilidade corresponde ao 10. 
10=M 
 
5. Variância e desvio-padrão de uma variável aleatória 
Os símbolos utilizados para variância são: 
2)()( σ== XVXVar 
Na aula de estatística descritiva, vimos que a variância de um conjunto de dados é a média 
dos quadrados dos desvios. 
Em variáveis aleatórias, é bem parecido. A variância é o desvio quadrático esperado, ou 
ainda, a média dos quadrados dos desvios que seria obtida em um número muito grande de 
experimentos. 
Portanto, a fórmula da variância fica: 
=)(XVar [ ]2)( μ−XE 
Ainda na aula de estatística descritiva, nós estudamos uma fórmula alternativa para cálculo de 
variância de um conjunto de dados. Vimos que bastava fazer assim: 
- calculamos a média das observações ao quadrado 
- calculamos o quadrado da média das observações 
- subtraímos um do outro. 
A variância ficava: 
22 XX − 
Aqui, em variáveis aleatórias, será bem parecido. Basta lembrar que média é sinônimo de 
esperança. 
A variância fica: 
22 ][)( μ−= XEXV 
Para melhor fixação, vamos ver um exemplo. 
20 
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Vamos trabalhar novamente com o resultado do lançamento de um dado de seis faces. O 
resultado do lançamento de um dado pode ser: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Pois bem, suponhamos que lançamos o dado seis vezes e obtivemos os seguintes resultados: 
Resultados obtidos em seis lançamentos: 2, 5, 3, 2, 4, 1. 
A média desses resultados fica: 
83,2
6
17
6
142352 ≈=+++++=X 
E a variância fica: 
80,1
6
)83,21()83,24()83,22()83,23()83,25()83,22( 2222222 ≈−+−+−+−+−+−=σ 
Agora, de forma análoga ao feito com a esperança, vamos calcular qual a variância que seria 
obtida num número muito grande de lançamentos de um dado. 
Em um número muito grande de lançamentos, é razoável esperar que cada uma das faces 
ocorra em 1/6 das vezes. E é razoável esperar que a média seja próxima a 3,5. 
Se lançarmos este dado muitas e muitas vezes, a tabela de freqüências obtida seria: 
 
Valor da face (X) Freqüência relativa simples (fr) 
frX × 
1 1/6 1/6 
2 1/6 2/6 
3 1/6 3/6 
4 1/6 4/6 
5 1/6 5/6 
6 1/6 6/6 
Total 1 3,5 
5,3
1
5,3)( ==XE 
A média seria 3,5. 
O cálculo da variância ficaria: 
Valor da face 
(x) 
Quadrado do desvio em 
relação à média )( 2e 
1 6,25 
2 2,25 
3 0,25 
4 0,25 
5 2,25 
6 6,25 
Total 17,5 
E a variância seria: 
9166,2
6
5,172 ==σ 
Ou então podemos usar o método alternativo. Primeiro calculamos a média dos quadrados. 
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Valor da face 
(X) 
Valor da face ao 
quadrado 
(X2) 
Freqüência relativa 
simples (fr) 
frX ×2
1 1 1/6 1/6 
2 4 1/6 4/6 
3 9 1/6 9/6 
4 16 1/6 16/6 
5 25 1/6 25/6 
6 36 1/6 36/6 
Total 1 91/6 
6
91)( 2 =XE 
A variância fica: 
=−=−= 2222 5,3
6
91)( μσ XE 2,91666 
Ou seja, o valor da variância seria 2,9166, em um número muito grande de lançamentos. 
É claro que, num experimento em particular, a variância pode ser diferente desta acima. No 
caso dos seis lançamentos, visto no começo deste tópico, de fato, foi diferente. Mas em um 
número grande de lançamentos, o valor da variância se aproxima de 2,9166. 
Para aquela simulação de cem lançamentos feita no excel, a variância foi de 2,66. 
 
→ 
Símbolos para variância de uma variável aleatória: 
)()(2 XVarXV ==σ 
Fórmulas da variância de uma variável aleatória. 
( )[ ]2)( μ−= XEXV 
ou 
22 ][)( μ−= XEXV 
Ambas são equivalentes 
A partir da fórmula de definição de variância, podemos facilmente obter a segunda fórmula 
fornecida. Para tanto, basta aplicar as propriedades da esperança. Vejam: 
( )[ ]2)( μ−= XEXV 
Esta é a fórmula de definição da variância. 
Desenvolvendo o quadrado da diferença: 
]2[)( 22 μμ +−= XXEXV 
Agora podemos utilizar as propriedades da esperança. A esperança da soma é igual à soma 
das esperanças. 
][]2[][)( 22 μμ EXEXEXV +−= 
22 
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Só que o valor de μ é constante. Multiplicando uma variável aleatória por uma constante, a 
esperança também fica multiplicada pela mesma constante. 
][][2][)( 22 μμ EXEXEXV +−= 
O valor 2μ também é constante. A esperança de uma constante é igual à própria constante. 
22 ][2][)( μμ +−= XEXEXV 
A esperança de X é igual a μ. 
222 2][)( μμ +−= XEXV 
22 ][)( μ−= XEXV 
Pronto. Esta foi a segunda fórmula apresentada. 
 
Quando ao desvio-padrão da variável aleatória, ele é dado pela raiz quadrada da variância. 
 
Paralelo entre estatística descritiva e inferencial 
Descritiva Inferencial 
freqüência relativa simples probabilidade 
dados em rol ou agrupados por valor variáveis aleatórias discretas 
dados em classe variáveis aleatórias contínuas 
média de um conjunto de dados esperança ou média da variável aleatória 
variância de um conjunto de dados 
= 
média dos quadrados dos desvios 
variância da variável aleatória 
= 
Esperança dos quadrados dos desvios 
Desvio-padrão de um conjunto de dados Desvio padrão da variável aleatória 
 
EC 7 BACEN 2001 [ESAF] 
Um investidor aplica em um fundo de ações e espera os rendimentos seguintes, dependentes 
do cenário econômico vigente: 
Cenário Rendimento 
Economia em recessão R$ 1.000,00 
Economia estável R$ 2.000,00 
Economia em expansão R$ 4.000,00 
Com base em sua experiência passada, a distribuição de probabilidades do cenário econômico 
seria: 
Cenário Probabilidade 
Economia em recessão 0,4 
Economia estável 0,4 
Economia em expansão 0,2 
Assinale a opção que dá o valor do desvio-padrão em reais da rentabilidade do investidor. 
a) 1100 
b) 2000(1/5)0,5 
c) 3000(3/5)0,5 
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d) 1000(6/5)0,5 
e) 2000 
 
Resolução: 
Seja X a variável que representa o rendimento obtido pelo investidor. X apresenta a seguinte 
distribuição de probabilidades. 
X Probabilidade 
1000 0,4 
2000 0,4 
4000 0,2 
Podemos calcular a esperança de X. 
∑
=
×=
n
i
ii xxPXE
1
)(][ 
[ ] 000.22,0000.44,0000.24,0000.1 =×+×+×== μXE 
Podemos também calcular a esperança de X2. 
∑
=
×=
n
i
ii xxPXE
1
22 )(][ 
[ ] 000.200.52,0000.000.164,0000.000.44,0000.000.12 =×+×+×=XE 
A variância de X fica: 
22 ][][ μ−= XEXV 
000.200.1000.000.4000.200.5][ 2 =−== σXV 
O desvio padrão de X é igual à raiz quadrada da variância: 
000.200.1=σ 
Vamos fatorar o número 1.200.000 
30410000.200.1 4 ××= 
Ficamos com: 
3020030410000.200.1 4 =××==σ 
E não há alternativa com este número. 
Todas as alternativasque apresentam a raiz quadrada contém uma fração em que o 
denominador é 5. 
Vamos “construir” uma fração em que o denominador seja 5. 
5
61000
5
625200
5
15020030200 =×== 
Gabarito: D. 
 
EC 8 AFRFB 2009 [ESAF] 
A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X: 
24 
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Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: 
 
a) 5,0−=Xμ e 45,32 =Xσ 
b) 5,0=Xμ e 45,32 −=Xσ 
c) 0=Xμ e 12 =Xσ 
d) 5,0−=Xμ e 7,32 =Xσ 
e) 5,0=Xμ e 7,32 =Xσ 
 
Resolução: 
Em vez de usar a palavra “probabilidade”, a questão fala em “freqüência relativa”, 
demonstrando a utilização da abordagem frequentista da probabilidade. 
Observem que a alternativa “B” traz uma variância negativa, o que é absurdo. A variância é a 
média dos quadrados dos desvios. Se os desvios são elevados ao quadrado, só obtemos 
números não negativos. Logo, a média destes desvios ao quadrado nunca poderia ser negativa. 
A variável X só assume os valores -2, 1 e 2. Logo, somando todas as probabilidades 
associadas a estes valores, devemos ter 100%. 
1,01316 =⇒=++ aaaa 
Agora podemos calcular a esperança de X: 
=×+×+×−= 3,021,016,0)2()(XE 5,0− 
De igual modo, podemos calcular a esperança de X2. 
=×+×+×−= 3,021,016,0)2()( 2222XE 3,7 
A variância é dada pela diferença entre a esperança de X2 e o quadrado da esperança de X. 
=−−=−= 2222 )5,0(7,3)( XX XE μσ 3,45 
Gabarito: A 
 
EC 9 TJ RO [CESGRANRIO] 
Sendo y um erro de medida expresso em milímetros, y é uma variável aleatória cuja variância 
(A) não pode ser calculada se a distribuição de y for contínua. 
(B) é a raiz quadrada do desvio padrão de y. 
(C) é uma grandeza sem unidades. 
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(D) é o dobro da média de y. 
(E) mede a dispersão de y em torno de sua média. 
 
Letra A. 
A variância não deixa de ser uma esperança. É a esperança do desvio ao quadrado. 
Ocorre que, por enquanto, nós só sabemos calcular esperanças para variáveis aleatórias 
discretas. Basta considerar que as probabilidades são análogas às freqüências relativas. 
Quando temos variáveis contínuas, o cálculo é baseado em uma função, chamada de 
densidade de probabilidade, que estudaremos posteriormente. Ou seja, mesmo para variáveis 
contínuas é possível calcular a esperança (e, portanto, a variância). 
 
Letra B. 
O desvio-padrão é que é a raiz quadrada da variância. 
 
Letra C. 
A variância tem unidade que corresponde ao quadrado da unidade dos dados. No caso, a 
variância de y seria expressa em mm2. 
 
Letra D. 
Não temos informações suficientes para calcular nem a média nem a variância. 
 
Letra E. 
Alternativa correta. A variância é uma medida de dispersão. Mede quanto os possíveis valores 
da variável aleatória estão afastados de sua média. 
Gabarito: E 
 
Texto para as questões EC 10, EC 11 e EC 12. 
A tabela de dupla entrada abaixo apresenta a distribuição conjunta das freqüências relativas a 
X e Y, onde: 
X = preço, em reais, do produto X 
Y = preço, em reais, do produto Y. 
Y
X 
2 3 4 
1 0,2 0,1 0,1
2 0 0,1 0,1
3 0,3 0 0,1
 
26 
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EC 10 MPU/2007 [FCC] 
Para fabricação de uma peça Z são utilizados os produtos X e Y e está sendo analisada a 
viabilidade econômica desta peça. Se esta peça utiliza 3 unidades de X e 5 unidades de Y, o 
custo médio de Z é: 
a) 11 reais 
b) 12 reais 
c) 15,5 reais 
d) 20 reais 
e) 22 reais 
 
Resolução: 
Note que o exercício nem fala em variáveis aleatórias e probabilidades. Ele utiliza a expressão 
“freqüências relativas”. Poderíamos muito bem ter resolvido essa questão lá na aula de 
medidas de dispersão. 
Para treinarmos a matéria que estamos vendo, podemos pensar que os preços dos produtos X e 
Y são variáveis aleatórias. E a tabela fornece as probabilidades para cada par de valores de 
preços. 
Vamos chamar de W o preço da peça Z. W é uma variável aleatória, que pode assumir 
diversos valores, conforme X e Y variam. 
Vamos ver os valores que W assume, bem como as respectivas probabilidades. 
Preço de X Preço de Y Probabilidade 
(P) 
W WP× 
1 2 0,2 13 2,6 
1 3 0,1 18 1,8 
1 4 0,1 23 2,3 
2 2 0 16 0 
2 3 0,1 21 2,1 
2 4 0,1 26 2,6 
3 2 0,3 19 5,7 
3 3 0 24 0 
3 4 0,1 29 2,9 
TOTAL 1 20 
 
O valor médio de W fica: 
20
1
20][ ==WE 
Gabarito: D. 
 
EC 11 MPU/2007 [FCC] 
A proporção de vezes em que o valor de Y supera o de X é: 
27 
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a) 0,3 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9 
Resolução: 
O único caso em que Y não supera o valor de X é quando X vale 3 e Y vale 2. A probabilidade 
de isso acontecer é de 0,3. Ou, se em vez de pensarmos em probabilidade, pensarmos em 
freqüências relativas, isso acontece em 30% das vezes. 
Portanto, em 70% das vezes, Y supera X. 
Gabarito: C. 
 
EC 12 MPU/2007 [FCC] 
O coeficiente de variação populacional de X é: 
a) 
8,0
2 b) 
3
8,0 c) 
2
8,0 d) 
6,0
3 e) 
2
6,0 
Resolução: 
Vamos calcular o valor médio de X. Sabemos que X assume os valores 1, 2 e 3. E precisamos 
saber a probabilidade de cada um desses valores. Para tanto, basta somar as linhas 
correspondentes, lá na tabela do enunciado. 
Y
X 
2 3 4 TOTAL
1 0,2 0,1 0,1 0,4 
2 0 0,1 0,1 0,2 
3 0,3 0 0,1 0,4 
A probabilidade de X assumir o valor 1 é 40%. A probabilidade de assumir o valor 2 é 20%. E 
de assumir o valor 3 é 40%. 
Vamos calcular o valor médio de X: 
 
X Probabilidade 
(P) 
XP× 
1 0,4 0,4 
2 0,2 0,4 
3 0,4 1,2 
TOTAL 1 2 
O valor médio de X é igual a: 
2=Xμ 
Vamos agora calcular o valor médio de X2. 
X X2 Probabilidade 
(P) 
2XP× 
1 1 0,4 0,4 
2 4 0,2 0,8 
3 9 0,4 3,6 
TOTAL 1 4,8 
28 
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O valor médio de X2 é dado por: 
8,4][ 2 =XE 
A variância de X fica: 
22 ][][ XXEXVar μ−= 
8,048,428,4][ 2 =−=−=XVar 
O desvio padrão de X é igual à raiz quadrada da variância. 
8,0=Xσ 
Finalmente, chegamos ao coeficiente de variação: 
2
8,0==
X
X
XCV μ
σ 
Gabarito: C. 
 
EC 13 Senado 2008 [FGV - Adaptada] 
Janaína ganhou de seus pais uma caixa com 3 canetas coloridas, todas com cores diferentes. 
Ela destampou as canetas, fechou os olhos, embaralhou as tampas e tampou-as novamente de 
forma aleatória. A esperança e a variância, respectivamente, do número de canetas que foram 
tampadas com sua tampa original são: 
(A) 1 e 5/3. 
(B) 1 e 2/3. 
(C) 1 e 1. 
(D) 2 e 3. 
(E) 2 e 1. 
 
Resolução: 
A questão está adaptada. No enunciado original eram 12 canetas, o que dificulta bastante a 
resolução. 
Mas nunca é demais lembrar que a questão foi retirada de uma prova para o cargo de 
estatístico, onde os candidatos já estão mais treinados na aplicação das propriedades da 
esperança e no cálculo da covariância (matéria que ainda estudaremos). 
Para gente aqui, acho que o problema original não seria razoável. Por isso eu diminuí a 
quantidade de canetas. Assim a gente pode simplesmente listar todos os casos para fazer as 
contas. 
Caso alguém queira, eventualmente, resolver o exercício original, com as 12 canetas, basta ler 
os comentários colocados ao final da aula. 
 
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Sejam A, B e C as três canetas. Vamos listar todas as possibilidades de combinação de tampa 
com caneta. 
Vou chamar de Y a variável que indica o número de canetas que recebeu tampa correta. 
 CANETAS 
 A B C Y Y2 
TAMPAS 
A B C 3 9 
A C B 1 1 
B A C 1 1 
B C A 0 0 
C A B 0 0 
C B A 1 1 
A variável Y assume os valores 3, 1, 1, 0, 0, 1. 
Sua média fica: 
1
6
100113)( =+++++=YE 
Analogamente, podemos calcular a esperança de 2Y . Fica assim: 
2
6
100119)( 2 =+++++=YE 
Com isso, a variância de Y fica: 
112)()()( 22 =−=−= YEYEYV 
Tanto a variância quanto a esperança valem 1. 
Gabarito: C 
 
EC 14 CGU 2008 [ESAF] 
Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável 
42 += XY ? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 12 
 
Resolução: 
Temos: 
42 += XY 
Na aula 14 nós vimos algumas propriedades da variância de um conjunto de dados. 
Aqui, para variáveis aleatórias, elas continuam valendo. 
30 
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Somas e subtrações não interferem na variância. Multiplicações e divisões sim. Como X foi 
multiplicado por 2, a variância fica multiplicada por 2 ao quadrado. 
)(2)( 2 XVYV ×= 
824)( =×=YV 
Gabarito: D 
 
EC 15 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Seja X uma variável com média 3 e coeficiente de variação igual a 0,5. Seja Y = -2X+3. As 
variâncias de X e Y são dadas, respectivamente, por: 
a) 1,5 e 6 
b) 2,25 e 9 
c) 1,5 e 3 
d) 2,25 e 5 
e) 2,5 e 6 
 
 
Resolução: 
Sabemos que o coeficiente de variação é dado pela divisão entre o desvio padrão e a média. 
X
X
XCV μ
σ= 
Substituindo os valores dados: 
25,25,1
3
5,0 2 =⇒=⇒= XXX σσσ 
A variância de X é igual a 2,25. Ficamos entre as alternativas B e D. 
Foi informado que 32 +−= XY . 
Somas e subtrações não interferem na variância. Multiplicações sim. 
Como X foi multiplicado por -2, então a variância sofre a variação ao quadrado. A variância 
de Y é 4 vezes a variância de X. 
925,24)(4)( =×=×= XVarYVar 
Gabarito: B. 
 
6. Covariância 
Por definição, a covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é: 
( ) ( )[ ]YX YXEYXCov μμ −×−=],[ 
Desenvolvendo a fórmula acima: 
( ) ( )[ ]YX YXEYXCov μμ −×−=],[ 
31 
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( )[ ]YXXY YXXYEYXCov μμμμ +−−=],[ 
A esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
][][][][],[ YXXY EYEXEXYEYXCov μμμμ +−−= 
Os valores de Xμ e Yμ são constantes. Podemos retirá-los das esperanças. Ficamos com: 
YXXY YEXEXYEYXCov μμμμ +−−= ][][][],[ 
Lembrando que XXE μ=][ e YYE μ=][ 
YXYXXYXYEYXCov μμμμμμ +−−= ][],[ 
Cancelando os termos com sinais opostos: 
XYXYEYXCov μμ−= ][],[ 
Se X e Y forem independentes, a covariância fica: 
XYXYEYXCov μμ−= ][],[ 
XYYEXEYXCov μμ−×= ][][],[ 
Isto porque, para variáveis independentes, a esperança do produto é igual ao produto das 
esperanças. 
XYXYYXCov μμμμ −=],[ 
0],[ =YXCov 
 
→ 
Fórmulas para covariância 
( )( )[ ]YX YXEYXCov μμ −−=],[ 
ou 
XYXYEYXCov μμ−= ][],[ 
Caso X e Y sejam independentes, a covariância é nula
 
Agora um detalhe importante. Vimos que sempre que as variáveis são independentes, a 
covariância é nula. Mas o inverso não é verdadeiro. O fato da covariância ser nula não garante 
que as variáveis sejam independentes. 
 
→ 
X e Y independentes → 0),( =YXCov 
0),( =YXCov → não garante nada 
 
Sabendo o conceito de covariância, podemos calcular a variância da soma de duas variáveis 
aleatórias. 
Seja YXZ += 
Queremos calcular: 
32 
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( )[ ] ?)( 2 =−= ZZEZV μ 
Usando as propriedades da esperança, de forma bem semelhante ao que fizemos acima 
(quando manipulamos a fórmula da covariância) é possível chegar ao seguinte resultado: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV ++=+ 
De forma análoga, a variância da diferença entre duas variáveis fica: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV −+=− 
→ 
Variância da soma: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV ++=+ 
Variância da diferença: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV −+=− 
 
EC 16 BACEN/2006 [FCC] 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e 
I – E(X) e E(Y) as expectâncias de X e Y, respectivamente; 
II – Var(X) e Var(Y) as variâncias de X e Y, respectivamente; 
III – Cov(X,Y) a covariância de X e Y. 
Tem-se que, em qualquer situação: 
a) [ ]22 )()()( XEXEXV += 
b) )()(),()( YEXEYXCovXYE += 
c) )(2)32( XEXE =+ 
d) Se 0),( =YXCov então X e Y são independentes. 
e) )()()( YEXEYXE +=+ somente no caso de X e Y serem independentes. 
 
Resolução: 
Nós vimos que a covariância pode ser escrita como: 
XYXYEYXCov μμ−= ][],[ 
Substituindo Xμ por E[X] e Yμ por E[Y], ficamos com: 
][][][],[ YEXEXYEYXCov −= 
Isolando E[XY]: 
][][],[][ YEXEYXCovXYE += 
Alternativa correta. 
 
Vamos para a letra “C”. 
Vamos desenvolver o termo )32( +XE 
33 
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Primeiro, lembramos que a esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
)3()2()32( EXEXE +=+ 
Observe que X está sendo multiplicado por 2. Podemos tirar a constante da esperança. 
)3()(2)3()2( EXEEXE +=+ 
Por fim, a esperança da constante 3 é o próprio 3. 
3)(2)3()(2 +=+ XEEXE 
Concluindo, ficamos com: 
3)(2)32( +=+ XEXE 
Alternativa errada. 
 
Na alternativa “D” temos uma inversão das coisas. 
Dissemos apenas que: se duas variáveis forem independentes, a covariância é nula. Mas o fato 
da covariância ser nula não implica que as variáveis sejam independentes. 
Alternativa errada. 
 
Na alternativa “E” afirma-se que )()()( YEXEYXE +=+ apenas se X e Y forem 
independentes. 
Isto é errado. Esta propriedade vale sempre, mesmo que X e Y não sejam independentes. 
Gabarito: B. 
 
EC 17 BACEN/2006 [FCC] 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e 
I. E(X) e E(Y) as expectâncias de X e Y, respectivamente; 
II. Var(X) e Var(Y) as variâncias de X e Y, respectivamente; 
III. Cov(X,Y) a covariância de X e Y. 
Tem-se, em qualquer situação, 
a) ][4]52[ XEXE ×=+ 
b) se ][][][ YEXEXYE ×= então X e Y são independentes 
c) 10][]10[ +=+ XVarXVar 
d) ],[][][][ YXCovXYEYEXE −=× 
e) ][][],[ YVarXVarYXCov ×= 
 
Resolução: 
Letra A. 
34 
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5][2]52[ +×=+ XEXE 
A expressão acima não é igual, em qualquer situação, a ][4 XE . Alternativa errada. 
 
Letra B. 
Novamente, uma inversão das coisas. Dissemos que, se X e Y forem independentes, então 
][][][ YEXEXYE ×= . Mas o fato de ][][][ YEXEXYE ×= não implica que as variáveis 
sejam independentes. 
Alternativa errada. 
 
Letra C. 
Vimos desde a aula de medidas de dispersão que somas e subtrações não alteram a variância. 
Aqui isso continua valendo. Ou seja, se somamos 10 à variável X, a variância não muda. 
Portanto: 
][]10[ XVarXVar =+ 
Alternativa errada. 
 
Letra D. 
Nós vimos que a covariância pode ser escrita como: 
XYXYEYXCov μμ−= ][],[ 
Substituindo Xμ por E[X] e Yμ por E[Y], ficamos com: 
][][][],[ YEXEXYEYXCov ×−= 
],[][][][ YXCovXYEYEXE −=× 
Alternativa correta. 
 
Letra E. 
A igualdade dada é incorreta. 
Gabarito: D. 
 
EC 18 BACEN/2002 [ESAF] 
Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Sejam 45 e 65 asmédias de X e de Y, 
respectivamente. Sejam 4 e 16 as variâncias de X e Y respectivamente e 3 a covariância entre 
essas variáveis. Assinale a opção que dá a variância da diferença X – Y. 
a) 26 
b) 20 
c) 23 
d) 14 
35 
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e) Não é possível calcular a variância de X – Y com a informação dada. 
 
Resolução: 
Sabemos que: 
45=Xμ 
65=Yμ 
4)( =XV 
16)( =YV 
3),( =YXCov 
Sabemos que a fórmula da variância da diferença entre duas variáveis é: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV −+=− 
Substituindo os valores: 
32164)( ×−+=−YXV 
14)( =−YXV 
Gabarito: D. 
 
EC 19 BASA – 2007 [CESPE] 
Considere duas variáveis aleatórias independentes X e Y idênticas e uniformemente 
distribuídas no intervalo (0, 1). Acerca da distribuição da soma Z = X + Y, julgue os seguintes 
itens. 
61 A média de Z é igual a zero. 
62 A variância de Z é igual à variância da diferença X – Y. 
63 A covariância entre Z e X é igual a 1/12. 
[obs: Como não estudamos algumas matérias necessárias para resolver a questão, 
considere as seguintes informações adicionais: 5,0][][ == YEXE ; 
3
1][ 2 =XE ]. 
 
Resolução. 
Por enquanto não se preocupem com o termo “uniformemente distribuídas”. Ainda veremos 
do que se trata. 
Fiquem apenas com a informação de que, no presente caso, este termo implica em médias 
iguais a 0,5, para as variáveis X e Y. 
Vamos ao item 61. 
Z é igual à soma de duas variáveis aleatórias. Portanto, basta aplicarmos a propriedade 
segundo a qual a esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
)()()()( YEXEYXEZE +=+= 
36 
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15,05,0)( =+=ZE 
Portanto, a média da variável aleatória Z (ou a sua esperança) é igual a 1. Item errado. 
 
Vamos ao item 62. 
Z é igual à soma de duas variáveis. Sua variância fica (usando a fórmula da variância da 
soma): 
),(2)()()( YXCovYVXVZV ++= 
Como X e Y são independentes, sua covariância é nula. 
)()()( YVXVZV += 
Vamos agora calcular a variância da diferença YX − . 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV −+=− 
Mas a covariância é nula. 
)()()( YVXVYXV +=− 
Logo, realmente a variância de Z é igual à variância de YX − . 
Item correto. 
 
Vamos ao item 63. Queremos a covariância entre X e Z. Nós vimos que a fórmula é: 
XZXZEZXCov μμ−= ][],[ 
Sabemos que a média de Z é 1 e a média de X é 0,5. 
5,01][],[ ×−= XZEZXCov 
Sabemos também que Z é igual a YX + . 
5,01)]([],[ ×−+×= YXXEZXCov 
5,01][],[ 2 ×−+= XYXEZXCov 
Sabemos que a esperança da soma é igual à soma das esperanças. 
5,01][][],[ 2 ×−+= XYEXEZXCov 
Como X e Y são independentes, a esperança do produto é igual ao produto das esperanças. 
5,01][][][],[ 2 ×−+= YEXEXEZXCov 
5,015,05,0][],[ 2 ×−×+= XEZXCov 
Ainda não temos condições de calcular o valor de ][ 2XE . Por enquanto, fiquem com a 
informação de que a esperança de X2 é igual a 1/3. 
5,015,05,03/1],[ ×−×+=ZXCov 
12
1
12
634
2
1
4
1
3
1],[ =−+=−+=ZXCov 
Item correto. 
37 
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Gabarito: errado, certo, certo 
 
EC 20 SEFAZ MS 2006 [FGV] 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y: 
I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes; 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) 
IV – Se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Assinale: 
a) se nenhum alternativa estiver correta 
b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas 
c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas 
d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas 
e) se todas as alternativas estiverem corretas. 
 
Resolução: 
O que nós estudamos foi: 
· Se X e Y são independentes, a covariância é nula 
· Se X e Y são independentes, a esperança do produto é igual ao produto das esperanças. 
E foi só isto. Qualquer outra conclusão não é necessariamente correta. O fato de 
)()()( YEXEXYE ×= não implica que as variáveis sejam independentes. O fato de a 
covariância ser nula não implica que as variáveis sejam independentes. 
As únicas alternativas corretas são I e III. 
Gabarito: B. 
 
EC 21 MPE RO 2005 [CESGRANRIO] 
Se 3)( =XVar , 2)( =YVar e 1),cov( =YX , então )( YXVar − é igual a: 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
Resolução. 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV −+=− 
38 
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31223)( =×−+=−YXV 
Gabarito: B 
 
EC 22 MPE RO 2005 [CESGRANRIO] 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis 
aleatórias X e Y. 
I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y). 
II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes. 
III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y). 
IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) II, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV 
 
Resolução. 
Primeiro item. 
Se X e Y são independentes, então a covariância entre elas é nula. Logo, a variância da soma 
fica reduzida à soma das variâncias. O item está correto. 
 
Segundo item. 
Temos: 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV ++=+ 
Se o exercício afirma que a variância da soma é igual à soma das variâncias, então: 
0),(),(2)()()()( =⇒++=+ YXCovYXCovYVXVYVXV 
A covariância entre X e Y é nula. Mas isso não implica que X e Y sejam independentes. É 
justamente o contrário: se X e Y forem independentes, aí sim a covariância será nula. 
Isso não impede que duas variáveis dependentes possuam covariância igual a zero. Item 
errado. 
 
Terceiro item. 
A esperança da soma sempre é igual à soma das esperanças. Isso vale, inclusive, se X e Y 
forem independentes. 
Item correto. 
 
39 
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Quarto item. 
O fato da esperança da soma ser igual à soma das esperanças não implica que as variáveis 
sejam independentes. Item errado. 
Gabarito: B 
 
EC 23 PM MANAUS 2004 [CESGRANRIO] 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y. 
I – Se X e Y são independentes, então Cov(X;Y) = 0. 
II – Se Cov(X;Y) = 0, então X e Y são independentes. 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). 
IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) I, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV. 
 
Resolução. 
Primeiro item. De fato, se X e Y forem independentes, a covariância é nula. Item correto. 
Segundo item. O simples fato da covariância ser nula não garante que X e Y sejam 
independentes. 
Terceiro item. De fato, se X e Y forem independentes, então a esperança do produto é igual ao 
produto das esperanças. O item está certo. 
Quarto item. O simples fato da esperança do produto ser igual ao produto das esperanças não 
garante que X e Y sejam independentes. Item errado. 
Gabarito: B 
 
EC 24 PM Manaus 2004 [CESGRANRIO] 
Se Var(X) = 3, Var(Y) = 2 e Cov(X, Y) = 1, então Var(2X – Y) é igual a: 
(A) 2 
(B) 6 
(C) 8 
(D) 10 
(E) 12 
 
40 
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Resolução. 
),2cov(2)()2()2( YXYVarXVarYXVar −+=− 
Toda vez que multiplicamos uma variável por uma constante, a variância fica multiplicada 
pela constante ao quadrado. 
),2cov(2)()(4)2( YXYVarXVarYXVar −+=− 
),2cov(2234)2( YXYXVar −+×=− 
Para continuar a resolução do problema, precisamos saber a covariância entre 2X e Y. 
( ) ( )[ ]YYXXEYX −×−= 22),2cov( 
Colocando o “2” em evidência: 
( ) ( )[ ]YYXXEYX −×−×= 2),2cov( 
O “2” é uma constante multiplicativa. Podemos retirá-la da esperança. 
( ) ( )[ ]YYXXEYX −×−×= 2),2cov( 
),cov(2),2cov( YXYX ×= 
E vocês podem guardar isso para um caso qualquer. 
→ 
Sejam a e b constantes reais quaisquer. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. 
),cov(),cov( YXbabYaX ××= 
Agora podemos continuar com o exercício. 
),2cov(2234)2( YXYXVar −+×=− 
),cov(22234)2( YXYXVar ×−+×=− 
10122234)2( =××−+×=−YXVar 
Gabarito: D 
 
EC 25 ENAP 2006 [ESAF] 
- Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. 
Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se afirmar que 
a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. 
b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. 
c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. 
d) o valor esperado de Z é igual a 2. 
e) a variância de Z é igual a zero. 
 
Resolução. 
Aplicando a fórmula da variância da diferença: 
),2(2)()2()2( YXCovYVXVYXV −+=− 
41 
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A constante 2 que multiplica a variável X pode sair da variância. Só que o efeito é ao 
quadrado. 
)(4)2( XVXV = 
Voltando à equação original: 
),2(2)()2()2( YXCovYVXVYXV −+=− 
),2(2)()(4)2( YXCovYVXVYXV −+=− 
Utilizando as propriedades da esperança, é possível verificar que: 
),(2),2( YXCovYXCov = 
Assim, temos: 
),2(2)()(4)2( YXCovYVXVYXV −+=− 
),(22)()(4)2( YXCovYVXVYXV ××−+=− 
Como X e Y são independentes, então a covariância entre ambas é nula. 
022)()(4)2( ××−+=− YVXVYXV 
)()(4)2( YVXVYXV +=− 
Assim, a variância de Z é superior à variância de X e de Y. 
Gabarito: B 
 
EC 26 Sefaz RJ 2008 [FGV] 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então: 
(A) VAR (X – Y) = VAR (X) – VAR (Y). 
(B) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – COV (X, Y). 
(C) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – 2 COV (X, Y). 
(D) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). 
(E) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 COV (X, Y). 
 
Resolução: 
Cobrança direta da fórmula da variância da diferença. 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV ×−+=− 
Gabarito: C 
 
7. Função densidade de probabilidade 
Para o exemplo do lançamento do dado (com faces 1, 2, 3, 4, 5, 6), vimos que os valores que 
nossa variável poderia assumir eram 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dizemos que a variável aleatória é 
discreta. Ela não pode assumir qualquer valor real no intervalo de 1 a 6. Ela assume apenas 
alguns valores. 
42 
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No caso de uma variável aleatória poder assumir qualquer valor real num dado intervalo, 
dizemos que ela é contínua. 
Suponha que temos um termômetro capaz de medir a temperatura com infinitas casas depois 
da vírgula. Este termômetro poderia medir temperaturas de 1°C, ou 2°C. Mas também poderia 
medir temperaturas de 1,2356897623154 °C, ou π°C, ou 2 °C. 
A variável temperatura é contínua. Pode assumir qualquer valor real num dado intervalo. 
Quando nossa variável é contínua, o cálculo de esperança muda um pouco. Isto porque não 
podemos falar em probabilidade de sair um dado valor. 
Por exemplo: qual a probabilidade de medirmos (com o nosso termômetro “mágico”, com 
precisão de infinitas casas após a vírgula) a temperatura de uma sala e o resultado ser, 
exatamente, 21,3568798888888.... °C. 
Tem que ser exatamente este valor acima (uma dízima periódica). Não pode ser 21,35°C. Não 
pode ser 22°C. Nem 21,3568°C. Tem que ser exatamente o valor acima. A probabilidade é 
zero. 
Isto porque temos infinitos resultados possíveis. E só nos interessamos por um resultado em 
particular. 
A situação é totalmente diferente com o lançamento do dado, em que a variável era discreta. 
A probabilidade do resultado 1 era de 1/6. Isto porque tínhamos seis possibilidades, todas eles 
com a mesma chance de acontecer. Então, a probabilidade de sair 1 (ou qualquer outra face) 
era igual a 1/6. 
No caso de variáveis contínuas, não podemos falar em probabilidade de ocorrer um dado 
valor. Mas podemos falar em probabilidades de um intervalo de valores. A probabilidade de 
ocorrer exatamente a temperatura 21,356879888888..., medida com nosso termômetro 
mágico, é igual a zero. Mas a probabilidade de ocorrerem temperaturas entre 20 e 25ºC é 
diferente de zero. Por exemplo, podemos falar que, em 23% das vezes, uma determinada 
cidade registra temperaturas diárias máximas que estão no intervalo de 20°C a 25°. 
No caso de variáveis contínuas é muito importante a representação gráfica de uma função 
chamada de “função densidade de probabilidade” (símbolo: fdp). 
Ela tem um papel muito semelhante ao do histograma. 
Vamos revisar o histograma. Para tanto, vamos retomar um exercício resolvido lá na aula 13. 
 
Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano de 
2000 em uma clínica infantil, expressa em anos. 
 
A idade que separa os 30% mais jovens é: 
a) 3,5 
43 
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b) 4,2 
c) 4,4 
d) 4,6 
e) 5,0 
 
Resolução: 
Na aula 13, apresentamos duas soluções para este problema. Chegamos à resposta indicada na 
letra D (4,6). 
Vamos redesenhar o histograma, desta vez com base em densidades de freqüência. 
Ou seja, em vez de indicarmos as freqüências de cada classe, vamos indicar a densidade de 
freqüência. 
Lembrando, densidade de freqüência é a freqüência divida pela amplitude de classe: 
classedeamplitude
frequenciafrequenciadedensidade
__
__ = 
Todas as amplitudes de classe são iguais a 2. Então as densidades de freqüência serão: 
9%, 20%, 12,5% e 8,5% 
O histograma fica: 
 
Vamos calcular a área a esquerda de 4,6. 
 
Temos um retângulo de base 2 e altura 0,09. E outro de base 0,6 e altura 0,42. A área total 
desses dois retângulos é de: 
3,020,06,009,02_ =×+×=verdeA 
44 
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Notem que a área à esquerda de 4,6 foi de 30%. 
E o percentual de valores a esquerda de 4,6 também é de 30%. 
Conclusão: quando o histograma é elaborado com base em densidade de freqüência, a área 
associada a um intervalo indica o percentual de observações naquele intervalo. 
 
Aqui em estatística inferencial a função densidade de probabilidade é bem parecida com um 
histograma baseado em densidade de freqüências. 
A área da função densidade de probabilidade vai nos dar a probabilidade associada a um dado 
intervalo. 
Para ficar mais claro, vejamos um exemplo. 
 
EC 27 BACEN – 2002 [ESAF]. 
Uma variável aleatória do tipo absolutamente contínuo tem a função densidade de 
probabilidade seguinte: 
xxf 08,02,1)( −= , se 10 ≤ x ≤ 15 
0)( =xf , caso contrário 
Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores entre 10 e 
12. 
a) 0,160 
b) 0,640 
c) 0,500 
d) 0,200 
e) 0,825 
 
Resolução: 
Vimos lá na fl. 15 que, no caso de variáveis contínuas, não podemos falar em probabilidade 
de ocorrer um dado valor. 
Só podemos falar em probabilidades associadas aum intervalo de valores. 
Naquela oportunidade, demos o seguinte exemplo: a probabilidade de medirmos a 
temperatura de 2,3333... ºC, com nosso “termômetro mágico”, é nula, pois seria um caso 
favorável em infinitos possíveis. 
Só poderíamos falar em probabilidades de um intervalo de valores. Assim, poderíamos 
calcular a probabilidade de a temperatura medida estar entre 20ºC e 25ºC. 
Para cálculo de probabilidades associadas a variáveis contínuas, utilizamos a chamada função 
densidade de probabilidade (fdp). Ela é uma função muito interessante. A área abaixo da 
curva, para determinado intervalo, corresponde à probabilidade daquele intervalo. 
Nesta questão, o gráfico da função é o seguinte: 
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Para calcular a probabilidade de X assumir valores entre 10 e 12, basta calcular a área abaixo 
da curva, entre esses valores. 
A área é a seguinte: 
 
Temos um trapézio. A área depende da base maior (B), da base menor (b) e da altura (h). 
A base maior vale 0,4. 
A base menor corresponde ao valor da função para x igual a 12. 
24,01208,02,1)12( =×−=f 
A base menor vale 0,24. 
A altura vale 2. 
A área fica: 
( )
2
hbBArea ×+= 
2
2)24,04,0( ×+=Area 
64,0=Area 
Portanto, a probabilidade de X assumir valores entre 10 e 12 é de 0,64. 
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Gabarito: B. 
 
Podemos pensar que o gráfico da fdp é um histograma formado por retângulos bem estreitos. 
Com esta idéia, vamos dar um “zoom” na figura acima. Obtemos o seguinte resultado: 
 
A linha inclinada não é realmente uma reta. Tem formato de escada, com vários andares. Só 
que os andares são bem pequenos, de tal modo que visualizamos apenas a reta. 
A cada andar podemos associar um retângulo bem estreito. Do mesmo modo que o 
histograma era composto por retângulos, aqui podemos também pensar em retângulos, só que 
com bases muito pequenas, tendendo a zero. 
Acho importante esse “paralelo” entre fdp e histograma. Ajuda a entender o sentido da função 
densidade de probabilidade. 
 
Então guarde o seguinte: a função densidade de probabilidade é uma função especial. Serve 
para calcularmos probabilidades associadas a intervalos de valores. Para tanto, basta calcular 
a área abaixo da curva. 
 
E agora podemos aumentar o nosso quadro que traça um paralelo entre estatística descritiva e 
inferencial (em vermelho as linhas acrescentadas). 
 
Paralelo entre estatística descritiva e inferencial 
Descritiva Inferencial 
freqüência relativa simples probabilidade 
densidade de freqüência relativa densidade de probabilidade 
dados em rol ou agrupados por valor variáveis aleatórias discretas 
dados em classe variáveis aleatórias contínuas 
média de um conjunto de dados esperança ou média da variável aleatória 
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variância de um conjunto de dados 
= 
média dos quadrados dos desvios 
variância da variável aleatória 
= 
desvio quadrático esperado 
histograma baseado em densidade de 
freqüência 
função densidade de probabilidade 
 
EC 28 BACEN/2006 [FCC] 
Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade: 
3
1)( += axxf , se 0 ≤ x ≤ 2 
0)( =xf , caso contrário 
Sendo ‘a’ uma constante, seu valor é igual a: 
a) 1/6 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 2/3 
e) 1 
 
Resolução: 
O gráfico da função densidade de probabilidade seria assim: 
 
Entre os valores 0 e 2, temos uma reta, cujo coeficiente angular nós não sabemos. Sabemos 
que, em x igual a zero, o valor da função é 1/3. Fora do intervalo de 0 a 2, a função vale zero. 
Como descobrir o valor de “a”? 
Sabemos que X só assume valores de 0 a 2. 
Vamos calcular a probabilidade de X estar entre 0 e 2, através da área abaixo da curva. 
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A área que procuramos é a do trapézio acima. 
Detalhe: sabemos que X só assume valores entre 0 e 2. Logo, a probabilidade de X estar entre 
0 e 2 é de 100%. Com certeza X está entre 0 e 2. 
Portanto, a área acima tem que ser igual a 1. 
A área do trapézio é dada por: 
( )
2
hbBArea ×+= 
Onde “B” é a base maior, “b” é a base menor e “h” é a altura. 
A área fica: 
2
2
3
1 ×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += BArea 
Sabemos que está área é igual a 1. 
2
2
3
11 ×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += B 
3
2=B 
Portanto, o real gráfico da função é: 
49 
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Sabemos que, em x = 2, o valor da função é 2/3. 
Agora podemos calcular o valor de “a”. 
3
1)( += axxf 
3
12)2( +×= af 
3
12
3
2 +×= a 
2
3
1
3
2 ×=− a 
6
1=a 
Gabarito: A. 
Antes de passarmos para o próximo exercício, vale comentar algumas propriedades da fdp. 
A área total abaixo da curva sempre é igual a 1. Isso porque a probabilidade da variável em 
estudo assumir um valor qualquer na reta real é sempre de 100%. Isso inclusive foi usado 
nesse exercício acima. 
Outro detalhe é o que segue. A fdp só assume valores maiores que zero. Se a curva cruzasse o 
eixo horizontal, para baixo, teríamos probabilidades negativas, o que é impossível. 
 
EC 29 BACEN/2006[FCC] 
Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade: 
Kxxf +=
12
)( , se 0 ≤ x ≤ 3 
0)( =xf , caso contrário 
Sendo ‘K’ uma constante, seu valor é igual a: 
a) 1 
50 
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b) 3/4 
c) 2/3 
d) 7/30 
e) 5/24 
 
Resolução: 
Problema bem semelhante ao anterior. O gráfico da fdp fica: 
 
A área total da figura acima deve ser igual a 1. Temos um trapézio. A área é igual a: 
hbBA ×+=
2
 
Como a variável aleatória só assume valores entre 0 e 3, então a área acima é igual a 1. 
No trapézio formado, a base maior vale “k+1/4”, a base menor vale “k”, e a altura vale 3. 
24/53
2
4/11 =⇒×++= KKK 
Gabarito: E. 
 
EC 30 BACEN 2001 [ESAF] 
A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo com 
densidade de probabilidades: 
α2
1)( =xf , se αα <<− x 
0)( =xf , caso contrário. 
Onde α é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de α 
para que se tenha 25,0)1( =>XP . 
a) 4 
b) 0 
c) 3 
51 
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d) 1 
e) 2 
 
Resolução: 
Observem que a questão apresenta alternativas não muito inteligentes. Se o próprio enunciado 
já afirmou que α é maior que 1, então já podemos descartar as alternativas B e D. Só com a 
simples leitura do enunciado já eliminamos duas alternativas. 
O gráfico da fdp fica: 
αα−
α21
 
O enunciado disse que a probabilidade de X ser maior que 1 é de 25%. Portanto, a área verde 
da figura abaixo é de 0,25. 
 
 
 
Temos um retângulo. A altura é igual a α21 . A base é igual a 1−α . Ficamos com: 
hbA ×= 
52 
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( ) αα 2
1125,0 ×−= 
225,0
2
1
2
15,025,0 =⇒=⇒−= ααα 
Gabarito: E. 
 
EC 31 MPE PE/2006. [FCC] 
A função densidade de probabilidade do tempo, em segundos, requerido para completaruma 
operação de montagem é: 
40/1)( =xf , se 5010 << x 
0)( =xf , caso contrário. 
Sabendo que “a” segundos é o tempo que é precedido por 25% das montagens, o valor de a é: 
a) 20 
b) 18,5 
c) 17,8 
d) 17,2 
e) 16 
 
Resolução. 
O gráfico da fdp fica: 
0
0,025
0,05
0 10 20 30 40 50 60
 
O exercício pediu o valor de “a” tal que a área verde abaixo seja de 0,25. 
53 
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Temos um retângulo. A área verde é dada por: 
hbA ×= 
20025,0)10(25,0 =⇒×−= aa 
Gabarito: A. 
 
EC 32 TCE RO [CESGRANRIO] 
Considere a seguinte função de densidade de probabilidade: )1(2)( xxf −×= , para 
ax ≤≤0 . 
O valor da constante a é: 
(A) 1/2 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 5/2 
 
Resolução. 
O gráfico da função densidade é dado por: 
54 
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A área verde corresponde a um trapézio. Sua altura e suas bases maior e menor medem: 
ah = ; 2=B ; )1(2 ab −×= . 
Como a variável aleatória só assume valores no intervalo de 0 a “a”, a probabilidade deste 
intervalo é 100%. Logo, a área do trapézio acima é igual a 1. 
hbB ×+=
2
1 
aa ×−×+=
2
)1(221 
aa ×−+=
2
2221 
( ) aa ×−= 21 
0122 =+− aa 
( ) 01 2 =−a 
1=a 
Gabarito: B 
 
EC 33 ANP 2008 [CESGRANRIO] 
A figura mostra a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X. 
 
55 
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A distribuição apresentada acima NÃO 
(A) é bimodal. 
(B) é simétrica. 
(C) tem mediana igual a 2. 
(D) tem primeiro quartil igual a 1. 
(E) tem média igual à moda. 
 
Resolução. 
Apesar do enunciado ter utilizado a expressão “distribuição”, na verdade, o gráfico acima é de 
uma função densidade. Como veremos ainda nesta aula, a função distribuição é sempre 
crescente (ou seja, vai sempre aumentando), o que não ocorreu com a função acima. 
Ainda não aprendemos a calcular a esperança de variáveis contínuas. Na verdade, nem vamos 
aprender. Isso não pode ser cobrado numa prova aberta a candidatos de todas as áreas. Para 
quem tiver formação em exatas, a título de curiosidade, trago alguns comentários a respeito, 
ao final desta aula. 
Mesmo sem saber como é feito o cálculo, neste caso específico, temos como encontrar a 
média. Como o gráfico da fdp é simétrico, então a média é igual à mediana que é igual a 2. 
Isto porque se colocássemos um espelho bem em cima do “2”, as duas metades se 
sobreporiam com perfeição. 
 
Gabarito: E 
 
56 
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8. Função distribuição de probabilidade 
Outra função relacionada com o cálculo de probabilidade é a função distribuição de 
probabilidade (FDP). Ela nos dá a informação sobre qual a probabilidade de obtermos um 
valor menor ou igual ao valor em análise. 
 
→ 
FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE. 
Nos dá a probabilidade da variável aleatória assumir valores menores ou iguais a um dado 
valor. 
 
Vejamos um exemplo. 
Considere as seguintes informações sobre a função distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória X. 
x FDP 
1 0,0 
4 0,2 
5 0,5 
10 1,0 
Vamos à primeira linha. 
O valor da FDP para x = 1 é 0,0. O que isto significa? 
Significa que a probabilidade de X assumir valores iguais ou inferiores a 1 é 0%. 
O valor da FDP para x = 4 é 0,2. O que isto significa? Significa que a probabilidade de X 
assumir valores iguais ou inferiores a 4 é 20%. 
O valor da FDP para x = 5 é 0,5. O que isto significa? Significa que a probabilidade de X 
assumir valores iguais ou inferiores a 5 é 50%. 
O valor da FDP para x = 10 é 1. O que isto significa? Significa que a probabilidade de X 
assumir valores iguais ou menores que 10 é 100%. Ou seja, não há valores de X maiores que 
10. 
 
E se a pergunta fosse: qual a probabilidade de X ser maior que 4? 
Com a FDP sabemos que a probabilidade de X ser igual ou menor que 4 é de 0,2. 
Portanto, para saber a probabilidade de X ser maior que 4, basta subtrair o valor acima de 1. 
Ficamos com: 
8,02,01)4( =−=>XP 
Ou seja, a probabilidade de X assumir valores maiores que é de 80%. 
 
Lembram que fizemos um paralelo entre probabilidade e freqüências relativas? Pois bem, aqui 
isso também vale. A FDP tem um papel análogo ao das freqüências relativas acumuladas. 
Podemos aumentar o quadro que traça um paralelo entre estatística descritiva e inferencial. 
Em vermelho, as linhas acrescentadas. 
57 
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Paralelo entre estatística descritiva e inferencial 
Descritiva Inferencial 
freqüência relativa simples probabilidade 
densidade de freqüência relativa simples densidade de probabilidade 
freqüência relativa acumulada função distribuição de probabilidade 
dados em rol ou agrupados por valor variáveis aleatórias discretas 
dados em classe variáveis aleatórias contínuas 
média de um conjunto de dados esperança ou média da variável aleatória 
variância de um conjunto de dados 
= 
média dos quadrados dos desvios 
variância da variável aleatória 
= 
desvio quadrático esperado 
histograma baseado em densidade de 
freqüência 
função densidade de probabilidade 
A título de exemplo, podemos construir uma tabela com valores de função distribuição de 
probabilidade para o resultado do lançamento de um dado de seis faces. 
Ficaria assim: 
Intervalos de 
valores 
FDP
x < 1 0 
1 ≤ x < 2 1/6 
2 ≤ x < 3 2/6 
3 ≤ x < 4 3/6 
4 ≤ x < 5 4/6 
5 ≤ x < 6 5/6 
x ≥ 6 6/6 
O primeiro intervalo abrange apenas valores abaixo de 1. 
Assim, para qualquer x inferior a 1, a FDP vale zero. Por quê? 
Tomemos o valor 0,999. 
Qual a probabilidade de, lançando um dado, sair um resultado igual ou inferior a 0,999? 
A probabilidade é zero. Não há qualquer resultado, nas faces de um dado, que seja igual ou 
inferior a 0,999. Por isso sua FDP é zero. E isto vale para todos os valores de x menores que 
1. 
Mudemos de intervalo. 
Qual a probabilidade de, lançando um dado, sair um resultado igual ou inferior a 1? 
A probabilidade é 1/6. Dentre as faces de um dado há apenas uma cujo resultado é igual ou 
inferior a 1. É a face de número 1. 
Portanto, a FDP de 1 é 1/6. 
O mesmo vale para a FDP de x = 1,7. Qual a probabilidade de, lançando um dado, obtermos 
um resultado igual ou inferior a 1,7? 
A probabilidade é 1/6. Há uma face que nos interessa (a face 1) em seis possíveis. 
Para qualquer outro valor no intervalo 1 ≤ x < 2, a FDP será de 1/6. 
 
58 
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E qual a probabilidade de, lançando um dado, obtermos um resultado igual ou inferior a 4,89? 
A probabilidade é 4/6. Há quatro faces que nos interessam (1, 2, 3, 4) em seis possíveis. Por 
isso, a FDP de todos os valores do intervalo 4 ≤ x < 5 é igual a 4/6. 
 
Finalmente, para qualquer valor maior que 6, a FDP valerá 1. 
Exemplo: qual a FDP para x = 7? 
É só calcular a probabilidade de, lançando um dado, obtermos um resultado igual ou inferior a 
7. Como todos os resultados possíveis são inferiores a 7, a probabilidade é 100%. 
 
Se desenharmos o gráfico da FDP para o lançamento do dado, ficamos com: 
 
Repare que o gráfico apresenta “saltos”. A função vinha com valor zero. De repente, quando x= 1, a função salta para 1/6. 
A função permanece constante em 1/6. De repente, quando x = 2, a função salta para 2/6. 
Depois, em x = 3, ela salta para 3/6. E assim por diante. 
Este tipo de gráfico, com saltos (ou ainda, em degraus, ou “em forma de escada”) é 
característico de uma variável aleatória discreta. 
Justamente onde ocorrem os “saltos” temos os valores que a variável aleatória assume. 
No caso, trata-se do lançamento de um dado. O resultado não pode assumir qualquer valor 
real no intervalo [1;6]. Não é possível termos o resultado 1,56. Nem o resultado “π ” (pi). 
Apenas os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Ou seja, nossa variável é discreta. Os saltos da FDP ocorrem justamente para os valores que 
nossa variável aleatória pode assumir. 
Este tipo de gráfico (em forma de escada) é o que geralmente é cobrado em concursos. 
 
Detalhe: não confunda os gráficos. O cálculo de probabilidades por meio da área abaixo da 
curva só é aplicável ao gráfico de fdp. 
 
Vamos treinar um pouco com alguns exercícios. 
59 
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EC 34 SEFAZ/MG – 2005 [ESAF] 
Uma variável aleatória X tem função distribuição de probabilidades dada por: 
0)( =xF , se x < 0. 
243
1)( =xF , se 0 ≤ x < 1 
243
11)( =xF , se 1 ≤ x < 2 
243
51)( =xF , se 2 ≤ x < 3 
243
131)( =xF , se 3 ≤ x < 4 
243
211)( =xF , se 4 ≤ x < 5 
1)( =xF , se x > 5 
Assinale a opção correta. 
a) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,461 
b) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,658 
c) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506 
d) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506 
e) X não é do tipo discreto nem (absolutamente) contínuo Pr (2 < x ≤ 4) = e 0,506. 
 
Resolução: 
Primeiro, vamos verificar qual o tipo da variável. Se é discreta ou contínua. 
Note que a FDP apresenta saltos. Seu valor é igual a zero, para todos os valores negativos de 
x. Quando x assume valor 0, aí a FDP salta para 1/243. O próximo salto se dá em 1, quando a 
FDP assume valor 11/243. 
Concluímos que é uma FDP em forma de escada. Caracteriza uma variável aleatória que é 
discreta. 
Agora vamos calcular a probabilidade de x estar entre 2 e 4. 
A FDP nos fornece a probabilidade de X ser igual ou inferior ao valor em análise. 
Para x = 2, a FDP é 51/243. O que isto significa? 
Significa que a probabilidade de sair um resultado igual ou inferior a 2 é de 51/243. 
 
Para x = 4, a FDP é 211/243. O que isto significa? 
Significa que a probabilidade de sair um resultado igual ou inferior a 4 é 211/243. 
 
60 
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Para obter a probabilidade de 2 < x ≤ 4, basta subtrair um do outro: 
658,0
243
51
243
211)2()4()42( =−=−=≤< FDPFDPxP . 
Gabarito: B. 
 
EC 35 BACEN 2001 [ESAF]. 
Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por: 
0)( =xF , x < 0 
4
1)( =xF , 0 ≤ x < 1 
12
7)( =xF , 1 ≤ x < 2 
12
11)( =xF , 2 ≤ x < 3 
1)( =xF , x ≥ 3 
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de X = 2. 
a) 7/12 
b) 11/12 
c) 1/3 
d) 3/4 
e) 10/12 
 
Resolução: 
A FDP apresenta saltos. Ou seja, a variável aleatória é discreta. A variável X só assume os 
valores 0, 1, 2 e 3, valores esses que correspondem aos valores de x para os quais a FDP 
“salta”. 
A FDP para x = 1 é 7/12. Ou seja, a probabilidade de X ser igual ou inferior a 1 é 7/12. Ou 
ainda, a probabilidade de X ser igual a 0 ou igual a 1 é de 7/12. 
A FDP para x = 2 é 11/12. Portanto, a probabilidade de X ser igual ou inferior a 2 é 11/12. Ou 
ainda, a probabilidade de X ser igual a 0 ou 1 ou 2 é 11/12. 
Ora, se a probabilidade de ser 0, 1 ou 2 é 11/12 e a probabilidade de ser 0 ou 1 é 7/12, 
concluímos que a probabilidade de ser exatamente igual a 2 é: 
3
1
12
4
12
7
12
11)2( ==−==XP 
Gabarito: C. 
 
61 
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EC 36 IPEA/2004 [ESAF] 
A variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades: 
0)( =xF , se 1<x 
8/1)( =xF , se 21 <≤ x 
4/1)( =xF , se 32 <≤ x 
1)( =xF se 3≥x 
Assinale a opção correta: 
a) A probabilidade de que X=3 é 0,75 
b) A probabilidade de que X=2 é 1/4. 
c) A aleatória X é uniforme discreta 
d) a variável aleatória X tem valor esperado unitário 
e) A variável aleatória X é uniforme contínua 
 
Resolução: 
Observe que a função apresenta saltos. Portanto, a variável aleatória X é discreta. Já 
descartamos a letra E. 
Ainda não estudamos o que é uma variável uniforme (letra C). Veremos isso mais adiante. De 
todo modo, a letra C está errada (apesar da variável ser discreta, ela não é uniforme). 
Vamos à letra A. Precisamos calcular a probabilidade de X=3. 
A função apresenta saltos em 1, 2 e 3. São esses os valores que a variável X pode assumir. 
Sabemos que a probabilidade de X ser menor ou igual a 2 é de 1/4. E a probabilidade de X ser 
menor ou igual a 3 é de 100%. 
Para saber a probabilidade de X ser exatamente igual a 3, basta fazer: 
75,04/34/11)2()3()3( ==−=−== FDPFDPXP 
A letra A está correta. 
 
Vamos para a letra B. 
8/18/14/1)1()2()2( =−=−== FDPFDPXP 
Alternativa errada. 
 
Letra D. 
Para calcular a esperança, precisamos das probabilidades de X assumir cada valor. 
Já calculamos a probabilidade de X ser igual a 2 e a 3. Falta a probabilidade de X=1 
8/108/1)0()1()1( =−=−== FDPFDPXP 
Usando a fórmula vista nesta aula, a esperança fica: 
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[ ] ∑
=
×=
n
i
ii xxPXE
1
)( 
[ ]
8
213
4
32
8
11
8
1 =×+×+×=XE 
A esperança não é igual a 1. Alternativa errada. 
Gabarito: A. 
 
EC 37 PM Vila Velha 2008 [CESPE] 
Considere o tempo gasto para análise de recursos administrativos pelos servidores de 
determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é 
dada por xexF 51)( −−= , se x ≥ 0 e 0)( =xF , se x < 0. Com base nessas informações, julgue 
os itens subseqüentes. 
69. A probabilidade de X ser igual a 0,2 é superior a 0,5 
72. A probabilidade condicional )1|2( >> XXP é igual à probabilidade )1( >XP 
 
 
Resolução. 
Note que a variável aleatória é contínua. Basta verificar que a FDP não dá saltos. Não tem 
forma de escada. 
Portanto, a probabilidade de X ser igual a 0,2 é zero. Há infinitos valores possíveis e estamos 
interessados em apenas 1 deles. O item 69 está errado. 
O item 72 envolve probabilidade condicional. Aplicando a fórmula que vimos para a 
probabilidade condicional, ficamos com: 
)1(
)12()1|2( >
>∩>=>>
XP
XXPXXP 
Vamos calcular as probabilidades. 
Primeiro a probabilidade da intersecção. 
)12( >∩> XXP é a probabilidade de X ser maior que 2 e, ao mesmo tempo, ser maior que 
1. Sempre que um número for maior que 2, ele automaticamente é maior que 1. Portanto, esta 
probabilidade fica simplesmente: 
)2()12( >=>∩> XPXXP 
Foi dada a FDP. Com a FDP, conseguimos descobrir a probabilidade de X ser menor ou igual 
a 2. 
xexF 51)( −−= 
101)2( −−= eF 
Portanto, a probabilidade de X ser menor ou igual a 2 é: 101 −− e 
Para descobrir a probabilidade de X ser maior que 2, basta pegar o valor acima e subtrair de 1. 
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1010 )1(1)2( −− =−−=> eeXP 
 
Com a FDP também conseguimos descobrir a probabilidade de X ser menor ou igual a 1.xexF 51)( −−= 
51)1( −−= eF 
Para descobrir a probabilidade de X ser maior que 1, basta pegar o valor acima e subtrair de 1. 
55 )1(1)1( −− =−−=> eeXP 
Agora podemos continuar o cálculo. 
)1(
)12()1|2( >
>∩>=>>
XP
XXPXXP 
5510
5
10
)1|2( −+−−
−
===>> ee
e
eXXP 
Concluindo: 
· 5)1|2( −=>> eXXP . 
· 5)1( −=> eXP . 
As duas probabilidades são iguais. O item está correto. 
Gabarito: errado, certo 
 
EC 38 Prefeitura Municipal de Recife 2003 [ESAF] 
Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo discreto X obteve-se a função de 
distribuição empírica seguinte: 
0)( =xF , se 1<x . 
15,0)( =xF , se 21 <≤ x 
35,0)( =xF , se 32 <≤ x 
55,0)( =xF , se 43 <≤ x 
85,0)( =xF , se 54 <≤ x 
1)( =xF , se 4 5≥x 
Assinale a opção que corresponde à freqüência de observações de X iguais a três. 
a) 55 
b) 35 
c) 20 
d) 30 
e) 85 
 
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Resolução. 
Na verdade a questão não é de variáveis aleatórias. O experimento já foi feito e temos as 
freqüências de cada observação (não as suas probabilidades). 
Mas, para treinarmos matéria que estamos vendo, dá para pensar que o que temos é uma 
função distribuição de probabilidades. E a pergunta é: qual a probabilidade de X ser igual a 3? 
Nesse caso, as alternativas estariam em percentual. 
A FDP apresenta saltos (para x igual a 1, 2, 3, 4 e 5). Esses são justamente os valores que X 
pode assumir. 
20,035,055,0)2()3()3( =−=−== FDPFDPXP 
A probabilidade de X ser igual a 3 é de 20%. 
Gabarito: C. 
 
EC 39 TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade dada por: 
kkXP −== 2)( , para ,...3,2,1=k 
Se F(x) é a função de distribuição acumulada de X, então )21( ≤= XXP e F(3) são dadas, 
respectivamente, por: 
a) 2/3 e 7/8 
b) 2/3 e 3/4 
c) 2/3 e 5/8 
d) 1/2 e 7/8 
e) 1/2 e 3/4 
 
Resolução: 
Podemos calcular as seguintes probabilidades: 
2/12)1( 1 === −XP 
4/12)2( 2 === −XP 
8/12)3( 3 =−= −XP 
A probabilidade de X ser menor ou igual a 3 é: 
8
7
8
1
4
1
2
1)3( =++=F 
A probabilidade de X ser menor ou igual a 2 é: 
4
3
4
1
2
1)2( =+=F 
O enunciado também pediu )21( ≤= XXP 
65 
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3/2
4/3
2/1
)2(
)1(
)2(
)21()21( ==≤
==≤
≤∩==≤=
XP
XP
XP
XXPXXP 
Gabarito: A. 
 
Para encerrar a aula, um exercício bem diferente de todos aqueles vistos durante a aula, que 
envolve o conhecimento de progressão geométrica. Por ser um exercício diferente, optei por 
colocá-lo no final da aula. 
 
EC 40 TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade dada por: 
kkXP −== 2)( , para ,...3,2,1=k 
 
A média, a moda e a mediana de X são dadas, respectivamente, por: 
a) 1,1,1 
b) 1,1,2 
c) 2,1,1 
d) 2,1,2 
e) 2,2,1 
 
Resolução: 
Note que a distribuição de probabilidade é decrescente. À medida que os valores de k 
aumentam, diminui a probabilidade relacionada. A moda, valor de k para o qual é máxima a 
probabilidade, é igual ao menor valor que a variável X assume. A moda é igual a 1. 
1=M 
A mediana é o valor tal que a probabilidade de X ser menor ou igual a k é de 50%. 
Note que, para k=1, temos: 
5,02)1( 1 === −XP 
O menor valor que X assume é 1. Desse modo, a probabilidade de X ser menor ou igual a 1 é 
igual à probabilidade de X ser igual a 1 (que vale 50%). Logo, a mediana é igual a 1. 
1=D 
A média é dada por: 
∑∞
=
=×=
1
)(][
i
ii kXPkXE 
...24232221][ 4321 +×+×+×+×= −−−−XE 
Podemos separar esta soma em partes: 
( ) ( ) ( ) ......22...222....2222][ 434324321 ++++++++++++= −−−−−−−−−XE 
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Dentro de cada parêntesis, nós temos uma progressão geométrica infinita com razão igual a 
1/2. São progressões cujas somas são dadas por: 
q
aS −= 1
1 
Onde 1a é o primeiro termo e q é a razão. 
A soma da primeira PG fica: 
1
2/1
2/1
1 ==S 
Analogamente, as somas das demais PG’s ficam: 
2/1
2/1
4/1
2 ==S 
4/1
2/1
4/1
3 ==S 
E assim por diante. Cada soma é igual à metade da soma anterior, o que dá origem a uma 
nova progressão geométrica. Como a razão é sempre igual a ½ e o primeiro termo de cada PG 
é sempre metade do primeiro termo da PG anterior, então as somas vão sendo divididas por 2. 
Para achar a soma de todas as somas, precisamos adicionar os seguintes valores: 
...8/14/12/11_ ++++=geralS 
A soma dos termos desta progressão fica: 
2
2/11
1_ =−=geralS 
Concluindo: 
2][ =XE 
A média é igual a 2, a mediana é igual a 1 e a moda é igual a 1. 
Gabarito: C 
 
Encerramos aqui a aula de hoje. 
Na seqüência, trago comentários adicionais, de leitura opcional. 
 
II. LEITURA OPCIONAL: PROBLEMAS “PROBLEMÁTICOS” 
Há alguns assuntos que, para vermos com mais detalhes, seria necessário um contato prévio 
com noções de cálculo (limite, derivada, integral). 
Estas ferramentas são estudadas em cursos de graduação da área de exatas (matemática, física, 
engenharia, etc). 
Só que é inviável abordar detalhadamente este tipo de assunto num curso para concursos. Na 
minha opinião, um concurso aberto a candidatos de todas as áreas jamais poderia exigir algo 
desse tipo. 
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Pois é, mas, infelizmente, nem sempre é o que acontece. Um grande exemplo foi a prova do 
último AFRFB, que cobrou o conhecimento do cálculo de uma integral. Tudo bem que a 
integral era simples. Mas, para quem não é da área de exatas, qualquer integral é impossível, 
simplesmente porque a pessoa nunca estudou esta matéria. 
Por conta destas cobranças totalmente desarrazoadas, vou incluir esta leitura “extra”, com 
resolução de alguns exercícios de concurso a respeito. 
Mas já fica o alerta: se você nunca estudou cálculo, na boa, esquece o que vem a seguir. 
Melhor dizendo: nem gaste seu tempo lendo. Não vale a pena o custo/benefício. 
Por outro lado, se você já estudou cálculo, aí talvez a continuação da aula possa lhe ser útil. 
 
Como já dissemos, o cálculo de esperança para variáveis contínuas não é um assunto cuja 
exigência é razoável para uma prova aberta a candidatos de todas as áreas. Isto porque exige 
que o aluno já tenha estudado cálculo, matéria pertencente às cadeiras introdutórias de cursos 
de engenharia, matemática, física etc. 
Pois bem, apesar de isto ser o razoável, não é o que tem ocorrido. Basta dar uma olhada na 
última prova do AFRFB. Imaginem que vem a ESAF e me coloca uma questão que exigia 
justamente isso: o cálculo de esperança para variáveis contínuas. 
No caso da prova da Receita Federal, até que não foi tão ruim assim. Mesmo que o candidato 
não soubesse nada de cálculo, apenas analisando as alternativas era possível chegar à resposta. 
Vamos ver a questão cobrada no AFRFB: 
 
EC 41 AFRFB 2009 [ESAF] 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por: 
23)( xxf = , se 01 ≤≤− x 
)(xf = 0, caso contrário. 
Para esta função, a média de X também denominada expectância de X e denotada por E(X), é 
igual a: 
a) 4/3 
b) 3/4 
c) -3/4 
d) x
4
3− 
e) x
3
4− 
 
Resolução. 
Olha só como não era preciso saber nada de cálculo para marcar a alternativa correta. 
A esperança de X é um número. É algo fixo, que não varia. 
 X é uma variável aleatória. Mas sua média é um número real. Logo, já descartamosas 
alternativas D e E. 
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Sabemos que a variável só assume valores no intervalo de -1 a 0. Logo, ela só assume valores 
negativos. Portanto, sua média só pode ser negativa. Com isso, marcamos a letra C. 
Gabarito: C 
 
E para realmente resolver a questão? E para realmente calcular a esperança, como faz? 
Bom, aí é que precisaríamos ver a definição de esperança para variáveis contínuas, algo que, 
como já disse, não deveria ser cobrado numa prova aberta a candidatos de todas as áreas. 
Pelo sim pelo não, vou colocar alguns exercícios sobre o cálculo de esperança para variáveis 
contínuas. Mas só será útil para quem já tiver estudado cálculo. Creio que foge ao escopo 
deste curso ficar dando teoria de cálculo, como explicações sobre o que é uma derivada, o que 
é uma integral, e como calcular cada uma delas. 
Se você nunca estudou estas matérias, não tem a menor idéia do que seja uma integral, 
nem perca tempo lendo o restante da aula. Na boa: seria matéria nova demais, com 
chances reduzidas de serem cobradas. Não vale a pena!!! 
Se você já estudou cálculo, aí sim, continue lendo a aula. Pelo menos você fica precavido para 
o caso de a ESAF repetir a dose. 
 
Vamos rever algumas coisas de estatística descritiva. O intuito é fazer paralelos entre a 
estatística descritiva e a inferencial. 
 
1 – Paralelo entre dados agrupados por valor (estatística descritiva) e variáveis aleatórias 
discretas (estatística inferencial). 
Dados agrupados por valor: a freqüência relativa indica a proporção de valores associadas a 
uma dada observação. Aí, para calcularmos a média dos conjunto de dados, fazemos assim: 
∑ ×= XfX r 
Multiplicamos cada observação pela sua freqüência relativa. Depois somamos. 
Nas variáveis aleatórias discretas, a probabilidade faz as vezes da freqüência relativa. Com 
isso, a esperança fica: 
∑ ×= ii xxPXE )()( 
2 – Paralelo entre dados em classe (estatística descritiva) e variáveis aleatórias contínuas 
(estatística inferencial). 
Dados em classe: 
- a densidade de freqüência relativa ( frd ) é dada pela divisão entre a freqüência relativa do 
intervalo (fr) e a amplitude do intervalo (h). 
- para achar a freqüência relativa acumulada de um intervalo (Fr), basta somarmos todas as 
freqüências relativas das classes anteriores (vamos acumulando as freqüências relativas 
simples). 
Assim: 
∑ ∑ ×== hdfF frrr 
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Para achar a média do conjunto de dados, nós multiplicamos a freqüência relativa do intervalo 
pelo ponto médio da classe. Depois somamos. 
∑ ∑ ××=×= hdXfXX frr 
 
Variáveis contínuas: 
Em variáveis contínuas, não podemos falar em probabilidade associada a uma dada 
observação. Neste caso, trabalhamos com densidade de probabilidade. 
A função densidade de probabilidade (fdp) é análoga à densidade de freqüência relativa lá da 
estatística descritiva. 
E a função distribuição de probabilidade é análoga à freqüência relativa acumulada lá da 
estatística descritiva. 
A amplitude do intervalo é considerada muito pequena, tendendo a zero (dx). 
Com isso, substituímos os somatórios por integrais. Fica assim: 
∫
∞−
=
X
dxxfXF )()( 
∫∞
∞−
××= dxxfxXE )()( 
Onde F representa a FDP e f representa a fdp. 
Note como o paralelo é perfeito: 
Estatística descritiva Estatística inferencial Comentários 
∑ ×= hdF rfr ∫
∞−
=
X
dxxfXF )()( 
- Freq. relativa acumulada vira 
FDP; 
- densidade de freqüência relativa 
vira fdp 
- amplitude do intervalo vira dx 
- somatório vira integral 
∑ ××= hdXX fr ∫∞
∞−
××= dxxfxXE )()( - densidade de freqüência relativa vira fdp 
- amplitude do intervalo vira dx 
- somatório vira integral 
No caso da questão do AFRFB, a esperança ficaria: 
4/3
4
33)()(
0
1
40
1
3 −====
−−
∞
∞−
∫∫ xdxxdxxxfXE 
Na seqüência, veremos mais alguns exercícios a respeito. Detalhe: todas as questões a seguir 
foram retiradas de provas destinadas a candidatos com formação específica (a maioria para a 
área de estatística). E eu continuo achando que esse tipo de questão não pode ser cobrada em 
70 
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prova aberta a candidatos de todas as áreas. Mas, caso a ESAF resolva repetir a dose, aí já 
viu... 
 
EC 42 MPE PE/2006 [FCC] 
A trava de segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com freqüência, de modo a 
evitar a quebra devido ao fim de sua vida útil. Estudos anteriores admitem que essa vida útil 
possa ser representada por uma variável aleatória contínua X, assumindo valores entre 0 e 1 
ano. 
Seja: 
( )212/3)( xxf −×= se 10 ≤< x 
0)( =xf , caso contrário. 
A probabilidade da vida útil ser superior a 6 meses é: 
a) 3/16 b) 5/16 c) 3/8 d) 7/16 e) 5/8 
 
Resolução 
1
5,0
31
5,0
2
5,0 32
3
2
)1(3)()5,0(
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×=−×==> ∫∫∞ xxdxxdxxfXP 
%25,31
2
5,0
2
5,1
2
1
2
3
3
5,05,0
3
11
2
3)5,0(
33
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−−×=>XP 
Gabarito: B 
 
EC 43 MPU/2007 [FCC] 
O tempo em minutos, X, para a digitação de um texto, é considerado uma variável aleatória 
contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
4/1)( =xf , se 20 <≤ x 
8/1)( =xf , se 62 <≤ x 
0)( =xf , caso contrário 
 
O valor esperado de X é: 
a) 5,0 b) 4,0 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,0 
 
Resolução: 
Temos: 
∫∫∫ +==
∞
∞−
6
2
2
0 84
)(][ dxxdxxdxxxfXE 
71 
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5,2
16
4
16
36
2
1
168
][
6
2
22
0
2
=−+=+= xxXE 
Gabarito: D. 
 
EC 44 Petrobras 2005 [CESGRANRIO] 
A variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade )1(6)( xxxf −×= , se 
10 << x e 0)( =xf , se x≤ 0 ou x ≥ 1. Qual é a média de X? 
(A) 0,4 
(B) 0,5 
(C) 0,6 
(D) 0,75 
(E) 0,8 
 
Resolução. 
266)( xxxf −= , para x entre 0 e 1. 
Logo: 
∫ ×=
1
0
)()( dxxfxXE 
( )∫ −= 1
0
32 66)( dxxxXE 
1
0
43
4
6
3
6)( xxXE −= 
5,05,12
4
6
3
6)( =−=−=XE 
Gabarito: B 
 
Lá na questão do concurso do Basa (EC 19) nós precisávamos calcular a esperança de X, 
sabendo que sua fdp valia 1 no intervalo de 0 a 1 e zero nos demais intervalos. 
 
Agora já sabemos como calcular esperanças a partir de uma fdp. Para a nossa variável X, 
uniforme no intervalo de 0 a 1, ficamos com: 
∫+∞
∞−
××= dxxfxXE )()( 
Mas a função densidade só é diferente de zero no intervalo de 0 a 1. 
72 
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xdxfxXE ∫ ××= 1
0
)()( 
Substituindo o valor da fdp: 
∫ ××= 1
0
1)( dxxXE 
1
0
2
2
)( xXE = 
5,0
2
1)( ==XE 
Por isto a esperança de X é igual a 0,5. 
Com o mesmo raciocínio podemos encontrar a esperança de X2. 
∫
+∞
∞−
××= dxxfxXE )()( 22 
∫ ×= 1
0
22 )( dxxXE 
3
1
3
)(
1
0
3
2 == xXE 
 
Para encerrar a aula, como prometido, vamos fazer mais comentários sobre o EC 13 (aquele 
sobre a Janaína, que resolve tampar suas canetas coloridas de forma aleatória). 
Para o enunciado original, com 12 canetas, a solução apresentada durante a aula é totalmente 
inútil. Com 12 canetas, escrever todas as possibilidades é algo totalmente inviável (seriam 12! 
linhas). 
Se você quiser resolver a questão original, aíterá que adotar uma estrutura de resolução 
diferente. 
Ficaria assim (continuarei resolvendo para três canetas; mas agora será um solução que pode 
ser generalizada para n canetas): 
Sejam X1 uma variável aleatória que assume o valor 1 quando a primeira caneta recebe a 
tampa correta e zero quando recebe a tampa errada. 
Sejam X2 e X3 variáveis aleatórias análogas, referentes à segunda e à terceira caneta. 
 
X1 assume os valores 0 e 1 com probabilidades 2/3 e 1/3. Logo, a esperança e a variância de 
X1 ficam: 
3/13/113/20)( 1 =×+×=XE 
3/13/113/20)( 2221 =×+×=XE 
73 
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9
2
9
1
3
1)()()( 21
2
11 =−=−= XEXEXV 
Analogamente, as esperanças e as variâncias de X2 e X3 também serão iguais a 1/3 e 2/9. 
 
Para 3 canetas, o número de formas de distribuir as 3 tampas é : 
3! = 6. 
Em apenas 1 caso a primeira e a segunda canetas recebem suas tampas corretas, 
simultaneamente. Com isso: 
6
1)11( 21 ==∩= XXP 
Assim: 
0
6
51
6
1)( 21 ×+×=× XXE = 6
1 
Do que resulta: 
18
1
18
23
9
1
6
1),(),( 212121 =−=−=×−= XXXXEXXCov μμ 
Analogamente, as covariâncias entre X1 e X3 e entre X2 e X3 também são iguais a 1/18. Assim, 
para simplificar, vou indicar qualquer uma destas três covariâncias por “cov”. 
 
Finalmente, vamos para a variável Y, que designa o número de canetas com a tampa correta. 
321 XXXY ++= 
Aplicando propriedades da esperança: 
)()( 321 XXXEYE ++= 
)()()()( 321 XEXEXEYE ++= 
1)( =YE 
A variância de Y fica: 
])[( 2YYE μ− = ])[( 2321321 XXXXXXE μμμ −−−++ 
= CovXVXVXV 6)()()( 321 +++ 
= 
18
16
9
2
9
2
9
2 ×+++ 
= 1
9
3
9
6 =+ 
É curioso observar que, resolvendo de forma literal (usando “n” em vez de 3 canetas), o 
resultado será exatamente o mesmo. É isso aí. Para qualquer n, a esperança e a variância 
valem 1. 
74 
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Ou seja, se Janaína tivesse ganhado duzentas de dezessete canetas, o resultado seria o mesmo 
(esperança 1 e variância 1). 
Para n canetas, de forma muito resumida, temos o seguinte. 
A esperança de Xi será igual a n
1 ; sua variância será 2
1
n
n − . 
A esperança do produto ji XX × será igual a )1(
1
!
)!2(
−×=
−
nnn
n . Com isso, a covariância 
será 
)1(
1
2 −× nn . 
Em relação à variável Y, sua esperança será igual a .11 =×
n
n 
E a variância de Y ficará: cov21 2, ××+− nCn
n , expressão esta que, após diversas 
simplificações, é igual a 1. 
Encerramos aqui nossa aula. 
 
III. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO 
 
EC 1 TCE/MG – 2007 [FCC] 
O número de unidades vendidas, mensalmente, de um produto em uma determinada loja é 
uma variável aleatória (X) com a seguinte distribuição de probabilidades: 
X P(X) 
0 2m 
1 N 
2 2n 
3 N 
4 M 
 
Sabe-se que somente em 10% dos meses são vendidos mais que 3 unidades. Então, se em um 
determinado mês a venda realizada não foi nula, tem-se que a probabilidade dela ter sido 
inferior a 4 é: 
a) 70,0% 
b) 75,0% 
c) 80,0% 
d) 87,5% 
e) 90,0% 
 
EC 2 ENAP 2006 [ESAF] 
Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas 
resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra 
paga a Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o 
75 
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valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os 
valores que ela paga à Suzana) é igual a 
a) 1,5. 
b) -0,75. 
c) 0,75. 
d) -1,5. 
e) 2,5. 
 
EC 3 TCE RO 2007 [CESGRANRIO] 
O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, 
com função de probabilidade dada a seguir. 
 
O retorno esperado é: 
(A) – 0,5% 
(B) 0,5% 
(C) 1,5% 
(D) 5% 
(E) 7,5% 
EC 4 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Em um estudo sobre o tratamento de crises asmáticas construiu-se a função conjunta de 
probabilidades com preços em reais de dois medicamentos A e B para tratamento de asma, 
apresentada abaixo: 
Preço de B 4 5 10 
Preço de A
1 0,1 0 0 
2 0,1 0,2 0,2 
5 0 0,2 0,2 
Sabendo que cada tratamento utiliza duas unidades do medicamento A e uma unidade do 
medicamento B, o custo médio para tratar um paciente asmático é: 
a) R$ 8,00 
b) R$ 10,00 
c) R$ 11,00 
d) R$ 13,00 
e) R$ 15,00 
 
EC 5 MPE PE/2006. [FCC] 
76 
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A tabela de dupla entrada, apresentada a seguir, mostra a distribuição conjunta das variáveis F 
e M que representam o número de anos para completar o ensino fundamental e médio, 
respectivamente. Em uma cidade, esta tabela foi adotada para calcular a média da variável Z, 
que representa o número de anos para completar todo o ciclo básico, isto é Z = F + M. O valor 
médio de Z será 
M
F 
3 4 5 
8 0,2 0,1 0,1 
9 0,3 0 0,1 
10 0,1 0,1 0 
a) 8,1 
b) 10,0 
c) 12,4 
d) 13,4 
e) 14,0 
 
EC 6 ANP 2008 [CESGRANRIO] 
Três dados comuns, honestos, são lançados seqüencialmente. Se o resultado S1 do primeiro 
dado for igual a 3, a distribuição de probabilidades da soma dos três resultados, condicional a 
S1 = 3, terá moda igual a 
(A) 11 
(B) 10 
(C) 9 
(D) 7 
(E) 1/6 
 
EC 7 BACEN 2001 [ESAF] 
Um investidor aplica em um fundo de ações e espera os rendimentos seguintes, dependentes 
do cenário econômico vigente: 
Cenário Rendimento 
Economia em recessão R$ 1.000,00 
Economia estável R$ 2.000,00 
Economia em expansão R$ 4.000,00 
Com base em sua experiência passada, a distribuição de probabilidades do cenário econômico 
seria: 
Cenário Probabilidade 
Economia em recessão 0,4 
Economia estável 0,4 
Economia em expansão 0,2 
Assinale a opção que dá o valor do desvio-padrão em reais da rentabilidade do investidor. 
a) 1100 
b) 2000(1/5)0,5 
77 
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c) 3000(3/5)0,5 
d) 1000(6/5)0,5 
e) 2000 
 
EC 8 AFRFB 2009 [ESAF] 
A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X: 
 
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: 
 
a) 5,0−=Xμ e 45,32 =Xσ 
b) 5,0=Xμ e 45,32 −=Xσ 
c) 0=Xμ e 12 =Xσ 
d) 5,0−=Xμ e 7,32 =Xσ 
e) 5,0=Xμ e 7,32 =Xσ 
 
EC 9 TJ RO [CESGRANRIO] 
Sendo y um erro de medida expresso em milímetros, y é uma variável aleatória cuja variância 
(A) não pode ser calculada se a distribuição de y for contínua. 
(B) é a raiz quadrada do desvio padrão de y. 
(C) é uma grandeza sem unidades. 
(D) é o dobro da média de y. 
(E) mede a dispersão de y em torno de sua média. 
 
Texto para as questões EC 10, EC 11 e EC 12. 
A tabela de dupla entrada abaixo apresenta a distribuição conjunta das freqüências relativas a 
X e Y, onde: 
X = preço, em reais, do produto X 
Y = preço, em reais, do produto Y. 
Y
X 
2 3 4 
1 0,2 0,1 0,1
2 0 0,1 0,1
78 
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3 0,3 0 0,1
 
EC 10 MPU/2007 [FCC] 
Para fabricação de uma peça Z são utilizados os produtos X e Y e está sendo analisada a 
viabilidade econômica desta peça. Se esta peça utiliza 3 unidades de X e 5 unidades de Y,o 
custo médio de Z é: 
a) 11 reais 
b) 12 reais 
c) 15,5 reais 
d) 20 reais 
e) 22 reais 
 
EC 11 MPU/2007 [FCC] 
A proporção de vezes em que o valor de Y supera o de X é: 
a) 0,3 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9 
 
EC 12 MPU/2007 [FCC] 
O coeficiente de variação populacional de X é: 
a) 
8,0
2 b) 
3
8,0
 c) 
2
8,0
 d) 
6,0
3 e) 
2
6,0
 
EC 13 Senado 2008 [FGV - Adaptada] 
Janaína ganhou de seus pais uma caixa com 3 canetas coloridas, todas com cores diferentes. 
Ela destampou as canetas, fechou os olhos, embaralhou as tampas e tampou-as novamente de 
forma aleatória. A esperança e a variância, respectivamente, do número de canetas que foram 
tampadas com sua tampa original são: 
(A) 1 e 5/3. 
(B) 1 e 2/3. 
(C) 1 e 1. 
(D) 2 e 3. 
(E) 2 e 1. 
 
EC 14 CGU 2008 [ESAF] 
Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável 
42 += XY ? 
a) 2 
b) 4 
79 
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c) 6 
d) 8 
e) 12 
 
EC 15 Ministério da Saúde/2007 [FCC] 
Seja X uma variável com média 3 e coeficiente de variação igual a 0,5. Seja Y = -2X+3. As 
variâncias de X e Y são dadas, respectivamente, por: 
a) 1,5 e 6 
b) 2,25 e 9 
c) 1,5 e 3 
d) 2,25 e 5 
e) 2,5 e 6 
 
EC 16 BACEN/2006 [FCC] 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e 
I – E(X) e E(Y) as expectâncias de X e Y, respectivamente; 
II – Var(X) e Var(Y) as variâncias de X e Y, respectivamente; 
III – Cov(X,Y) a covariância de X e Y. 
Tem-se que, em qualquer situação: 
a) [ ]22 )()()( XEXEXV += 
b) )()(),()( YEXEYXCovXYE += 
c) )(2)32( XEXE =+ 
d) Se 0),( =YXCov então X e Y são independentes. 
e) )()()( YEXEYXE +=+ somente no caso de X e Y serem independentes. 
 
EC 17 BACEN/2006 [FCC] 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e 
I. E(X) e E(Y) as expectâncias de X e Y, respectivamente; 
II. Var(X) e Var(Y) as variâncias de X e Y, respectivamente; 
III. Cov(X,Y) a covariância de X e Y. 
Tem-se, em qualquer situação, 
a) ][4]52[ XEXE ×=+ 
b) se ][][][ YEXEXYE ×= então X e Y são independentes 
c) 10][]10[ +=+ XVarXVar 
d) ],[][][][ YXCovXYEYEXE −=× 
80 
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e) ][][],[ YVarXVarYXCov ×= 
 
EC 18 BACEN/2002 [ESAF] 
Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Sejam 45 e 65 as médias de X e de Y, 
respectivamente. Sejam 4 e 16 as variâncias de X e Y respectivamente e 3 a covariância entre 
essas variáveis. Assinale a opção que dá a variância da diferença X – Y. 
a) 26 
b) 20 
c) 23 
d) 14 
e) Não é possível calcular a variância de X – Y com a informação dada. 
 
EC 19 BASA – 2007 [CESPE] 
Considere duas variáveis aleatórias independentes X e Y idênticas e uniformemente 
distribuídas no intervalo (0, 1). Acerca da distribuição da soma Z = X + Y, julgue os seguintes 
itens. 
61 A média de Z é igual a zero. 
62 A variância de Z é igual à variância da diferença X – Y. 
63 A covariância entre Z e X é igual a 1/12. 
[obs: Como não estudamos algumas matérias necessárias para resolver a questão, 
considere as seguintes informações adicionais: 5,0][][ == YEXE ; 
3
1][ 2 =XE ]. 
EC 20 SEFAZ MS 2006 [FGV] 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y: 
I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes; 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) 
IV – Se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Assinale: 
a) se nenhum alternativa estiver correta 
b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas 
c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas 
d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas 
e) se todas as alternativas estiverem corretas. 
 
EC 21 MPE RO 2005 [CESGRANRIO] 
Se 3)( =XVar , 2)( =YVar e 1),cov( =YX , então )( YXVar − é igual a: 
81 
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(A) 1 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
EC 22 MPE RO 2005 [CESGRANRIO] 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis 
aleatórias X e Y. 
I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y). 
II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes. 
III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y). 
IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) II, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV 
EC 23 PM MANAUS 2004 [CESGRANRIO] 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y. 
I – Se X e Y são independentes, então Cov(X;Y) = 0. 
II – Se Cov(X;Y) = 0, então X e Y são independentes. 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). 
IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) I, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV. 
 
EC 24 PM Manaus 2004 [CESGRANRIO] 
Se Var(X) = 3, Var(Y) = 2 e Cov(X, Y) = 1, então Var(2X – Y) é igual a: 
(A) 2 
82 
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(B) 6 
(C) 8 
(D) 10 
(E) 12 
 
EC 25 ENAP 2006 [ESAF] 
- Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. 
Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se afirmar que 
a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. 
b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. 
c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. 
d) o valor esperado de Z é igual a 2. 
e) a variância de Z é igual a zero. 
 
EC 26 Sefaz RJ 2008 [FGV] 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então: 
(A) VAR (X – Y) = VAR (X) – VAR (Y). 
(B) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – COV (X, Y). 
(C) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – 2 COV (X, Y). 
(D) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). 
(E) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 COV (X, Y). 
EC 27 BACEN – 2002 [ESAF]. 
Uma variável aleatória do tipo absolutamente contínuo tem a função densidade de 
probabilidade seguinte: 
xxf 08,02,1)( −= , se 10 ≤ x ≤ 15 
0)( =xf , caso contrário 
Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores entre 10 e 
12. 
a) 0,160 
b) 0,640 
c) 0,500 
d) 0,200 
e) 0,825 
EC 28 BACEN/2006 [FCC] 
Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade: 
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3
1)( += axxf , se 0 ≤ x ≤ 2 
0)( =xf , caso contrário 
Sendo ‘a’ uma constante, seu valor é igual a: 
a) 1/6 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 2/3 
e) 1 
 
EC 29 BACEN/2006[FCC] 
Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade: 
Kxxf +=
12
)( , se 0 ≤ x ≤ 3 
0)( =xf , caso contrário 
Sendo ‘K’ uma constante, seu valor é igual a: 
a) 1 
b) 3/4 
c) 2/3 
d) 7/30 
e) 5/24 
EC 30 BACEN 2001 [ESAF] 
A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades do tipo absolutamente contínuo com 
densidade de probabilidades: 
α2
1)( =xf , se αα <<− x 
0)( =xf , caso contrário. 
Onde α é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de α 
para que se tenha 25,0)1( =>XP . 
a) 4 
b) 0 
c) 3 
d) 1 
e)2 
EC 31 MPE PE/2006. [FCC] 
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A função densidade de probabilidade do tempo, em segundos, requerido para completar uma 
operação de montagem é: 
40/1)( =xf , se 5010 << x 
0)( =xf , caso contrário. 
Sabendo que “a” segundos é o tempo que é precedido por 25% das montagens, o valor de a é: 
a) 20 
b) 18,5 
c) 17,8 
d) 17,2 
e) 16 
EC 32 TCE RO [CESGRANRIO] 
Considere a seguinte função de densidade de probabilidade: )1(2)( xxf −×= , para 
ax ≤≤0 . 
O valor da constante a é: 
(A) 1/2 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 5/2 
EC 33 ANP 2008 [CESGRANRIO] 
A figura mostra a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X. 
 
 
 
A distribuição apresentada acima NÃO 
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(A) é bimodal. 
(B) é simétrica. 
(C) tem mediana igual a 2. 
(D) tem primeiro quartil igual a 1. 
(E) tem média igual à moda. 
 
EC 34 SEFAZ/MG – 2005 [ESAF] 
Uma variável aleatória X tem função distribuição de probabilidades dada por: 
0)( =xF , se x < 0. 
243
1)( =xF , se 0 ≤ x < 1 
243
11)( =xF , se 1 ≤ x < 2 
243
51)( =xF , se 2 ≤ x < 3 
243
131)( =xF , se 3 ≤ x < 4 
243
211)( =xF , se 4 ≤ x < 5 
1)( =xF , se x > 5 
Assinale a opção correta. 
a) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,461 
b) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,658 
c) X é do tipo discreto e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506 
d) X é do tipo (absolutamente) contínuo e Pr (2 < x ≤ 4) = 0,506 
e) X não é do tipo discreto nem (absolutamente) contínuo Pr (2 < x ≤ 4) = e 0,506. 
 
EC 35 BACEN 2001 [ESAF]. 
Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades dada por: 
0)( =xF , x < 0 
4
1)( =xF , 0 ≤ x < 1 
12
7)( =xF , 1 ≤ x < 2 
12
11)( =xF , 2 ≤ x < 3 
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1)( =xF , x ≥ 3 
Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de X = 2. 
a) 7/12 
b) 11/12 
c) 1/3 
d) 3/4 
e) 10/12 
 
EC 36 IPEA/2004 [ESAF] 
A variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidades: 
0)( =xF , se 1<x 
8/1)( =xF , se 21 <≤ x 
4/1)( =xF , se 32 <≤ x 
1)( =xF se 3≥x 
Assinale a opção correta: 
a) A probabilidade de que X=3 é 0,75 
b) A probabilidade de que X=2 é 1/4. 
c) A aleatória X é uniforme discreta 
d) a variável aleatória X tem valor esperado unitário 
e) A variável aleatória X é uniforme contínua 
 
EC 37 PM Vila Velha 2008 [CESPE] 
Considere o tempo gasto para análise de recursos administrativos pelos servidores de 
determinada prefeitura seja uma variável aleatória X cuja função de distribuição acumulada é 
dada por xexF 51)( −−= , se x ≥ 0 e 0)( =xF , se x < 0. Com base nessas informações, julgue 
os itens subseqüentes. 
69. A probabilidade de X ser igual a 0,2 é superior a 0,5 
72. A probabilidade condicional )1|2( >> XXP é igual à probabilidade )1( >XP 
 
EC 38 Prefeitura Municipal de Recife 2003 [ESAF] 
Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo discreto X obteve-se a função de 
distribuição empírica seguinte: 
0)( =xF , se 1<x . 
15,0)( =xF , se 21 <≤ x 
35,0)( =xF , se 32 <≤ x 
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55,0)( =xF , se 43 <≤ x 
85,0)( =xF , se 54 <≤ x 
1)( =xF , se 4 5≥x 
Assinale a opção que corresponde à freqüência de observações de X iguais a três. 
a) 55 
b) 35 
c) 20 
d) 30 
e) 85 
 
EC 39 TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade dada por: 
kkXP −== 2)( , para ,...3,2,1=k 
Se F(x) é a função de distribuição acumulada de X, então )21( ≤= XXP e F(3) são dadas, 
respectivamente, por: 
a) 2/3 e 7/8 
b) 2/3 e 3/4 
c) 2/3 e 5/8 
d) 1/2 e 7/8 
e) 1/2 e 3/4 
 
EC 40 TRF 1ª Região/2001 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade dada por: 
kkXP −== 2)( , para ,...3,2,1=k 
 
A média, a moda e a mediana de X são dadas, respectivamente, por: 
a) 1,1,1 
b) 1,1,2 
c) 2,1,1 
d) 2,1,2 
e) 2,2,1 
 
EC 41 AFRFB 2009 [ESAF] 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por: 
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23)( xxf = , se 01 ≤≤− x 
)(xf = 0, caso contrário. 
Para esta função, a média de X também denominada expectância de X e denotada por E(X), é 
igual a: 
a) 4/3 
b) 3/4 
c) -3/4 
d) x
4
3− 
e) x
3
4− 
 
EC 42 MPE PE/2006 [FCC] 
A trava de segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com freqüência, de modo a 
evitar a quebra devido ao fim de sua vida útil. Estudos anteriores admitem que essa vida útil 
possa ser representada por uma variável aleatória contínua X, assumindo valores entre 0 e 1 
ano. 
Seja: 
( )212/3)( xxf −×= se 10 ≤< x 
0)( =xf , caso contrário. 
A probabilidade da vida útil ser superior a 6 meses é: 
a) 3/16 b) 5/16 c) 3/8 d) 7/16 e) 5/8 
 
 
EC 43 MPU/2007 [FCC] 
O tempo em minutos, X, para a digitação de um texto, é considerado uma variável aleatória 
contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
4/1)( =xf , se 20 <≤ x 
8/1)( =xf , se 62 <≤ x 
0)( =xf , caso contrário 
 
O valor esperado de X é: 
a) 5,0 b) 4,0 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,0 
 
EC 44 Petrobras 2005 [CESGRANRIO] 
A variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade )1(6)( xxxf −×= , se 
10 << x e 0)( =xf , se x≤ 0 ou x ≥ 1. Qual é a média de X? 
89 
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(A) 0,4 
(B) 0,5 
(C) 0,6 
(D) 0,75 
(E) 0,8 
 
 
IV. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO 
 
1 d 
2 d 
3 c 
4 d 
5 c 
6 b 
7 d 
8 a 
9 e 
10 d 
11 c 
12 c 
13 c 
14 d 
15 b 
16 b 
17 d 
18 d 
19 errado certo certo 
20 b 
21 b 
22 b 
23 b 
24 d 
25 b 
26 c 
27 b 
28 a 
29 e 
30 e 
31 a 
32 b 
33 e 
34 b 
35 c 
36 a 
37 errado certo 
38 c 
39 a 
40 a 
41 c 
42 b 
43 d 
44 b