AFRFB_racioc_logico_traumatizados_exercicios_Aula 15

Prévia do material em texto

CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
1 
www.pontodosconcursos.com.br
AULA 15 – Probabilidade 
I. PROBABILIDADE.....................................................................................................................................2
1. Probabilidade condicional . .....................................................................................................................8
2. Fórmula da probabilidade condicional . . 17
3. Probabilidade da união de dois eventos . . 34
4. Probabilidade do evento complementar. . 56
5. Teorema da probabilidade total . . 69
6. Teorema de Bayes.. 79
7. Probabilidade e análise combinatória. . 86
II. BOX PLOT.. 104
III. PROBLEMAS “ESPINHOSOS” . 114
IV. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO. . 118
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
2 
www.pontodosconcursos.com.br
I. PROBABILIDADE 
Daqui para frente vamos falar bastante em probabilidade. Probabilidade tem relação com a 
chance de um dado evento ocorrer. 
Passaremos longe, muito longe de uma definição adequada de probabilidade. Ao contrário, 
vamos dar uma explicação que, a rigor, está errada. Mas a ideia aqui é conseguir resolver 
questões de concurso e apenas isso. 
Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favoráveis e casos 
possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis e casos possíveis. 
Vejamos o exemplo do lançamento de um dado. 
Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de 3. Então a pergunta é: qual 
a probabilidade de sair um número múltiplo de 3 quando se lança um dado de seis faces? 
A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e casos possíveis. 
Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de um dado, podemos 
obter os seguintes resultados: 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, estamos 
interessados nos múltiplos de 3. 
Casos favoráveis: 3, 6. 
Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos favoráveis. 
Quantos são os múltiplos de 3 presentes nas faces de um dado? 
Resposta: são dois os múltiplos de 3 presentes nas faces de um dado (o número 3 e o número 
6). 
Depois contamos quantos são os casos possíveis. 
Quantos são os casos possíveis no lançamento de um dado? 
Resposta: são seis os casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). 
A probabilidade será obtida dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos 
possíveis. Ficaria assim: 
6
2
_
_ = ⇒= P 
possíveiscasos
casos favoráveis P 
Ou seja, a probabilidade de sair um número múltiplo de 3 em um lançamento de um dado é de 
dois sextos. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
3 
www.pontodosconcursos.com.br
O conjunto com todos os casos possíveis é muitas vezes chamado de espaço amostral. No 
caso do lançamento do dado, o espaço amostral é: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Repetindo: espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. 
Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os eventos 
servem para designar um resultado em particular. 
No caso acima estávamos interessados nos resultados que são múltiplos de 3. Esses eram os 
nossos casos favoráveis. A esse resultado em particular, qual seja, “sair múltiplo de 3”, 
chamamos de evento. 
Neste caso, o evento “sair múltiplo de 3” corresponde ao seguinte conjunto: 
{3, 6} 
Veja como o evento é um subconjunto do espaço amostral. 
Com essa noção de espaço amostral e de evento, em vez de dizermos que a probabilidade de 
um dado evento é a relação entre número de casso favoráveis e o número de casos possíveis, 
podemos dizer que é a relação entre o número de elementos do evento e o número de 
elementos do espaço amostral. 
amostral espaçodoelementosde numero
evento doelementos denumero
possiveiscasosdenumero
favoraveis casosde numeroP 
__ __ _
_ __ _
__ _
__ _ == 
A probabilidade só pode ser definida como a relação entre casos favoráveis e casos possíveis 
(ou ainda, como a relação entre o número de elementos do evento e o número de elementos do 
espaço amostral) quando todos os casos têm a mesma chance de ocorrer. A resolução acima 
só é válida se o dado for “honesto”. Ou seja, se for um dado simétrico e de material 
homogêneo. 
Quando dizemos que o dado é “honesto”, estamos considerando que, em um lançamento 
qualquer, a probabilidade de sair a face de número 1 é igual à probabilidade de sair a face de 
número 4, de número 6, ou qualquer outra. Costumamos dizer que todas as faces são 
equiprováveis (ou seja, têm a mesma chance de ocorrer). 
Como já dissemos, é comum se utilizar a expressão “evento” para designar um resultado em 
particular. Assim, no lançamento de um dado, o evento “sair o número 1” tem a mesma 
probabilidade do evento “sair o número 2”, que por sua vez tem a mesma probabilidade do 
evento “sair o número 3”, e assim por diante. Todos esses eventos são equiprováveis. 
Neste ponto, podemos citar um trechinho do livro História da Matemática: 
“A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo 
número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre 
sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja 
probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a 
medida desta probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de 
casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis”. 
Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
4 
www.pontodosconcursos.com.br
Fonte: História da Matemática, Carl B. Boyer 
Aí vem a pergunta: e se todos os casos não tiverem a mesma chance de ocorrer? E se o dado 
não for honesto? E se a probabilidade de sair “1” for diferente da probabilidade de sair “2”? 
Resposta: bom, deixemos isto para depois (daqui a pouco na verdade). Para concursos 
públicos, esta noção de casos favoráveis e possíveis já ajuda bastante. 
Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que provavelmente 
vocês estão pensando. 
Pergunta: Mas professor, você disse que essa explicação sobre probabilidade não é 
adequada. Por quê? 
Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da probabilidade podem ser 
resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. Imagine que queremos calcular qual a 
probabilidade de, no dia 19/03/2011, a ação da empresa alfa subir. Não dá para transformar 
esse problema numa situação de número casos possíveis e favoráveis. 
Acontece que os problemas em que dá para contar quantos são os casos possíveis e quantos 
são os casos favoráveis são os mais fáceis pra gente começar a se acostumar com 
probabilidade. Por isso, de início, vamos focar apenas neles. Ou então, “dar um jeitinho” para 
que a questão possa ser interpretada como uma relação entre casos favoráveis e possíveis. 
Um outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que probabilidade é igual à 
divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis quando todos os 
casos têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito de probabilidade. 
Que raio de definição é essa? Se utilizarmos na definição o conceito que pretendemos definir, 
não estamos definindo nada. 
Novamente, deixemos esses problemas de lado. 
Antesde passarmos para o próximo tópico, só um alerta. Quando usamos as expressões 
“casos favoráveis”/”casos desfavoráveis” (ou ainda: sucessos e fracassos), estamos apenas nos 
referindo aos casos em que estamos ou não interessados. Não estamos fazendo nenhum juízo 
de valor. Não nos preocupamos se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou errado, etc. 
Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a utilização de um 
produto e o desenvolvimento de câncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma cobaia 
que utilizou o produto por tempo prolongado ter a doença. Nessa situação, os casos favoráveis 
(=sucesso) seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, independentemente de se 
considerar que contrair câncer seja bom ou ruim. Ok? 
Continuemos com a matéria. 
EC 1 SEFAZ/SP 2009 [ESAF] 
Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes 
são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma 
pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? 
a) 44% 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
5 
www.pontodosconcursos.com.br
b) 52% 
c) 50% 
d) 48% 
e) 56% 
Resolução: 
Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos. 
fumantes não-fumantes total 
homem 
mulher 
total 100 
O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes. 
100 40 % 40 ×
Logo, temos 40 fumantes. 
fumantes não-fumantes total 
homem 
mulher 
total 40 100 
40% dos fumantes são mulheres. 
16 40,4 0 ×
São 16 mulheres fumantes. 
fumantes não-fumantes total 
homem 
mulher 16 
total 40 100 
Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes. 
fumantes não-fumantes total 
homem 
mulher 16 
total 40 60 100 
O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. Portanto, há 36 mulheres não-
fumantes (=60% de 60). 
fumantes não-fumantes total 
homem 
mulher 16 36 
total 40 60 100 
Ao todo, temos 52 mulheres. 
fumantes não-fumantes total 
homem 
mulher 16 36 52 
total 40 60 100 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
6 
www.pontodosconcursos.com.br
O exercício pediu a probabilidade de, escolhendo uma pessoa adulta ao acaso, ela ser mulher. 
Probabilidade tem a ver com a chance de um dado evento ocorrer. Em outras palavras, pede-
se a chance de a pessoa escolhida ser uma mulher. 
Neste exercício, todas as pessoas têm a mesma chance de ser escolhida. Quando isso 
acontece, a probabilidade é dada pela divisão entre o número de casos favoráveis e o número 
de casos possíveis. 
casos possiveis numero
favoraveis casosnumero P 
__
__= 
Os casos favoráveis são aqueles em que estamos interessados. Neste problema, estamos 
interessados que seja escolhida uma mulher. 
Número de casos favoráveis: 52 
Além disso, temos 100 casos possíveis (são 100 adultos na cidade). 
Com isso, a probabilidade fica: 
52% 
100
= 52 = P 
Gabarito: B 
EC 2 MPOG 2010 [ESAF] 
Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são 
moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona 
Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que seráa 
responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três 
pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson 
não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em 
termos percentuais, igual a: 
a) 30 % 
b) 80 % 
c) 62 % 
d) 25 % 
e) 75 % 
Resolução. 
Vamos listar todas as comissões, representando cada pessoa pela inicial do seu nome. 
Comissões possíveis, excluindo Denílson: 
- A, B, C 
- A, B, E 
- A, C, E 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
7 
www.pontodosconcursos.com.br
- B, C, E 
São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão. 
São 3 casos favoráveis em 4 possíveis. 
Logo: % 75
4
3 = =P 
Gabarito: E 
EC 3 MPE Amazonas 2002 [FGV] 
A análise dos dados obtidos das Declarações de Ajuste do Imposto de Renda, em um sistema 
econômico hipotético, mostrou o seguinte resultado, relativamente à renda anual dos 
contribuintes: 
Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente para verificação de suas informações pela 
autoridade fiscal, a probabilidade de que essa pessoa tenha renda anual superior a R$ 8 000,00 
será igual a: 
(A) 0,03 
(B) 0,05 
(C) 0,25 
(D) 0,30 
(E) 0,70 
Resolução: 
São casos favoráveis os contribuintes com renda superior a 8.000. Estão nessa situação os 
15.000 contribuintes da segunda classe e os 3.000 contribuintes da terceira classe. 
Casos favoráveis: 15.000 + 3.000 = 18.000 
O número de casos possíveis é dado por: 
.000 000 60 3. .000 000 15 . 42 =++
A probabilidade fica: 
==
000 .60
.000 18 P 0,3 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
8 
www.pontodosconcursos.com.br
1. Probabilidade condicional 
Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de material homogêneo. Só 
que agora vamos pintar as faces. As faces terão as seguintes cores: 
Cor azul: faces 1 e 2. 
Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6. 
Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular qual a probabilidade 
de ter saído um múltiplo de 3. 
Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3? 
2 .Resposta: 
6 
É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm a mesma chance de 
sair. Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A probabilidade 
fica: 
6
2
_
_ = ⇒= P 
possíveiscasos
casos favoráveis P 
Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso dado. João não viu o 
resultado. Maria fala para João: “Saiu uma face de cor verde”. 
Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É uma informação nova! 
Esta informação vai mudar completamente o cálculo. Isto porque já sabemos, com certeza, 
que não saiu uma face azul. 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo que a face que saiu 
é verde. Esta questão pode ser enunciada como: 
Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dado que saiu uma 
face verde? 
Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É uma informação 
conhecida e que deve ser usada. 
Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos: 
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é possível terem saído 
os números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde. 
Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E estas duas 
faces podem ter saído, dado que ambas são da cor verde. 
Casos favoráveis: 3,6. 
Fazendo o cálculo, temos: 
Número de casos possíveis: 4 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
9 
www.pontodosconcursos.com.br
Número de casos favoráveis: 2 
E a probabilidade fica: 
4
2
_
_ = ⇒= P 
possíveiscasos
casos favoráveis P 
A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova alterou o cálculo 
da probabilidade. Dizemos que a probabilidade é condicional porque teve uma condição a ser 
obedecida.Não era simplesmente calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Foi dada 
uma condição, uma informação nova. Justamente esta condição alterou o cálculo da 
probabilidade. 
Agora vejamos alguns exercícios para aplicarmos o que acabamos de aprender. 
EC 4 MPU 2004/2 [ESAF] 
Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria 
ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas 
essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se 
apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua 
pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta 
tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das 
pulseiras que ganhou de João é igual a: 
a) 1/3 
b) 1/5 
c) 9/20 
d) 4/5 
e) 3/5 
Resolução: 
Vamos dar nomes às pulseiras. 
JP1, JP2, JP3, JP4 são as pulseiras dadas por João que são de prata. 
JO1, JO2, JO3, JO4, JO5 são as pulseiras dadas por João que são de ouro. 
PP1, PP2, PP3, PP4, PP5, PP6, PP7, PP8 são as pulseiras dadas por Pedro que são de prata. 
PO1, PO2, PO3 são as pulseiras dadas por Pedro que são de ouro. 
Se não soubéssemos da informação de que a pulseira retirada é prata, teríamos os seguintes 
casos possíveis: 
Casos possíveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5, PP1, PP2, PP3, PP4, PP5, 
PP6, PP7, PP8, PO1, PO2, PO3. (total: 20) 
Os casos favoráveis são aqueles em que estamos interessados. Estamos interessados nas 
pulseiras que tenham sido presentes de João. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
10 
www.pontodosconcursos.com.br
Casos favoráveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5 (total: 9) 
Com isso, a probabilidade ficaria: 
casos possiveis numero
favoraveis casosnumero P 
__
__= = 
20 
9 
Entretanto, uma informação nova foi dada (uma condição!). Sabemos que a pulseira retirada é 
de prata. Não é simplesmente calcular a probabilidade de a pulseira ter sido dada por João. 
Isto porque já é dado, é sabido, que a pulseira é de prata. 
Para satisfazer a esta condição, temos que rever a lista de casos possíveis e favoráveis. 
Temos certeza de que não foi retirada uma pulseira de ouro. Assim, temos que excluí-las da 
nossa lista: 
Casos possíveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5, PP1, PP2, PP3, PP4, PP5, 
PP6, PP7, PP8, PO1, PO2, PO3. 
Notem que os casos possíveis foram reduzidos para 12. 
Casos favoráveis: JP1, JP2, JP3, JP4, JO1, JO2, JO3, JO4, JO5 
Notem que os casos favoráveis foram reduzidos para 4. 
Agora podemos prosseguir com nosso cálculo. 
Número de casos favoráveis: 4 
Número de casos possíveis: 12 
E a probabilidade fica: 
12
4
_
_ = ⇒= P 
possíveiscasos
casos favoráveis P 
Simplificando: 
3
1 =P 
Gabarito: A 
EC 5 MPU 2004 [ESAF] 
Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma 
aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
11 
www.pontodosconcursos.com.br
40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, 
José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer 
Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de 
que essa sopa tenha sido feita por José é igual a 
a) 0,15. 
b) 0,25. 
c) 0,30. 
d) 0,20. 
e) 0,40. 
Resolução: 
No início deste tópico, comentamos que a probabilidade pode ser calculada como a relação 
entre casos possíveis e favoráveis. Mas isto só vale quando todos os casos têm a mesma 
chance de ocorrer (dizemos que são eventos equiprováveis), o que nem sempre ocorre. 
Vamos usar este exercício para visualizar a questão. 
São três cozinheiros que fazem a sopa. Se a chance de cada um deles fazer a sopa fosse igual, 
teríamos: 
Casos possíveis: José faz a sopa, João faz a sopa, Maria faz a sopa. 
Casos favoráveis: José faz a sopa. 
1 .A probabilidade de José fazer a sopa seria de 
3 
Mas a chance de cada um deles ter feito a sopa, num dado dia, não é igual. Maria faz sopa 
menos vezes que João e José. 
Neste tipo de questão, em que os casos não têm a mesma chance de acontecer, não temos que 
nos preocupar muito. Isto porque o enunciado tem que dizer quais são as chances de cada 
evento. Ora, se eles não são equiprováveis (ou seja, não têm a mesma chance de acontecer), o 
enunciado tem que falar qual a probabilidade de cada um (ou então dar todas as informações 
para que possamos calcular tais probabilidades). Se o enunciado não desse nenhuma 
informação, nós teríamos que simplesmente adivinhar a probabilidade de cada evento, algo 
absurdo. 
Voltando à questão, podemos pensar que, a cada 100 dias em que o Carlos freqüente o 
restaurante, temos que: em 40 dias a sopa é feita por João, em 40 dias a sopa é feita por José, 
em 20 dias a sopa é feita por Maria. 
Para tornar o exemplo mais claro, vamos supor que o Carlos tenha freqüentado o tal 
restaurante do dia 01/01/07 até o dia 10/04/07, totalizando os 100 dias. Daí, pegamos o 
calendário e escolhemos um desses 100 dias aleatoriamente. A pergunta é: qual a chance de, 
no dia escolhido, a sopa ter sido feita por José, sabendo que estava salgada? 
Nestes 100 dias, vamos ver como cada cozinheiro se comporta. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
12 
www.pontodosconcursos.com.br
João fez a sopa 40 vezes. Em 10% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. 
José fez a sopa 40 vezes. Em 5% dessas 40 vezes, ele salgou demais a sopa. 
Maria fez a sopa 20 vezes. Em 20% dessas 20 vezes, ela salgou demais a sopa. 
Resumindo: 
Em 36 dias o João fez uma sopa normal. 
Em 4 dias o João fez uma sopa salgada. 
Em 38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa salgada. 
Com este artifício, contornamos o problema citado no começo da resolução. Quando listamos 
o que acontece em cada um dos cem dias, conseguimos levar em conta o fato de Maria fazer 
sopa menos vezes que João e José. 
Dentre os cem dias, selecionamos um ao acaso. Agora sim. Estamos focando nos dias, não 
nos cozinheiros. Todos os cem dias são equiprováveis. Todos têm a mesma chance de serem 
escolhidos. 
Esta é a chamada abordagem frequentista da probabilidade. Consideramos que a 
probabilidade corresponde à freqüência relativa que seria obtida num número grande de 
experimentos. 
Caso fosse possível analisar um número muito grande de dias, seria razoável esperar que João 
faria a sopa em 40% das vezes, José em 40% das vezes e Maria em 20% das vezes. Estas 
freqüências relativas seriam iguais às respectivas probabilidades. 
Continuemos com a resolução do problema. 
Se não soubéssemos que a sopa está salgada, teríamos: 
Casos possíveis: 100 dias, assim discriminados: 
36 dias o João fez uma sopa normal. 
4 dias o João fez uma sopa salgada. 
38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa 
salgada. 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
13 
www.pontodosconcursos.com.br
Casos favoráveis: 40, assim discriminados: 
38 dias em que o José fez uma sopa normal2 dias em que o José fez uma sopa salgada. 
Contudo, temos a informação de que a sopa está salgada (condição!). Temos que rever nossa 
lista de casos possíveis e favoráveis. 
Casos possíveis: 10, assim discriminados: 
36 dias o João fez uma sopa normal. 
4 dias o João fez uma sopa salgada. 
38 dias o José fez uma sopa normal 
Em 2 dias o José fez uma sopa salgada. 
Em 16 dias a Maria fez uma sopa normal 
Em 4 dias a Maria fez uma sopa 
salgada. 
Casos favoráveis: 2, assim discriminados: 
38 dias em que o José fez uma sopa normal 
2 dias em que o José fez uma sopa salgada 
A probabilidade fica: 
 
2
_
_ = =⇒= P 
possíveiscasos
casos favoráveis P 
Gabarito: D 
Poderíamos resolver todos os exercícios desta aula usando a abordagem frequentista da 
probabilidade. Para tanto, basta imaginar que o experimento seja realizado muitas vezes. A 
freqüência relativa dos casos favoráveis seria a probabilidade. 
Mas, às vezes, dá trabalho ficar listando todos os casos possíveis e favoráveis. Por isso é 
importante aprendermos algumas fórmulas, como a da probabilidade condicional, a da 
probabilidade da intersecção de dois eventos, da probabilidade da união, probabilidade do 
evento complementar, entre outras. 
EC 6 MPOG 2010 [ESAF] 
Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão 
três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes 
perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 
50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante 
perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
14 
www.pontodosconcursos.com.br
respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao 
acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho 
da direita? 
a) 1. 
b) 2/3. 
c) 1/2. 
d) 1/3. 
e) 1/4. 
Resolução. 
O exercício não é propriamente de probabilidade condicional. Mas vamos usa-lo para praticar 
mais um pouco a abordagem frequentista da probabilidade. 
Imaginemos que vários viajantes passem regularmente por esta bifurcação, e que eles nunca 
saibam qual o caminho correto. 
Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se 
comportam os meninos. 
Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino que 
pode tanto dizer a verdade quanto mentir. 
As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, BC, CA, CB. 
Todas estas combinações são equiprováveis. 
Nestes 60 dias, temos: 
- AB ocorreu 10 vezes 
- AC ocorreu 10 vezes 
- BA ocorreu 10 vezes 
- BC ocorreu 10 vezes 
- CA ocorreu 10 vezes 
- CB ocorreu 10 vezes 
Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das vezes em que ele foi 
escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50% das 
vezes, ele disse o contrário do que o outro menino escolhido. 
Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi escolhido: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
15 
www.pontodosconcursos.com.br
- AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas 
contrárias. 
- AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
- BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas 
contrárias. 
- BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
- CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
- CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais 
- em 5 vezes eles dão respostas contrárias 
Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas 
respostas iguais é de: 
3
1 
60
= 20 = P 
Gabarito: D 
EC 7 Petrobras 2008/1 [CESGRANRIO] 
A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas freqüências. 
Não há observações coincidentes com os extremos das classes. 
Uma pessoa com mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de que o peso dessa 
pessoa esteja entre 60 kgf e 80 kgf é, aproximadamente, 
(A) 65% 
(B) 63% 
(C) 60% 
(D) 58% 
(E) 55% 
Resolução. 
Vamos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ter entre 60 e 80 kgf. 
Classes Freqüência 
40 a 50 2 
50 a 60 5 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
16 
www.pontodosconcursos.com.br
60 a 70 7 
70 a 80 8 
80 a 90 3 
total 25 
Temos 15 casos favoráveis (ver linhas em vermelho), em 25 possíveis. A probabilidade é 
dada por: 
25
15 =P 
Ocorre que foi dada uma condição. A condição é que a pessoa escolhida tem mais de 50 kgf. 
Esta informação nova vai mudar o cálculo da probabilidade. Temos que rever nossos casos 
possíveis. Agora, os casos possíveis são apenas os listados abaixo: 
Classes Freqüência 
50 a 60 5 
60 a 70 7 
70 a 80 8 
80 a 90 3 
total 23 
Temos 15 casos favoráveis (linhas em vermelho) em 23 possíveis. A probabilidade é dada 
por: 
22% 65, 
23
15 ≅ =P 
Gabarito: A 
EC 8 Minc 2006 [FGV] 
Lança-se um dado não-tendencioso. Se o resultado é par, qual é a probabilidade de que tenha 
sido um "quatro"? 
(A) 1/2 
(B) 1/3 
(C) 1/4 
(D) 1/5 
(E) 1/6 
Resolução. 
A pergunta pode ser resumida como: qual a probabilidade de sair o número 4, dado que o 
resultado é par. 
Inicialmente temos o seguinte: 
- caso favorável: 4 
- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
17 
www.pontodosconcursos.com.br
Mas temos uma condição a ser obedecida. É dado que o resultado é par. Assim, precisamos 
rever nossa lista de casos possíveis e favoráveis. Devemos excluir todos os resultados que são 
ímpares. 
- caso favorável: 4 
- casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
E a probabilidade fica: 
3
1
__
__ ==
possiveis casosnumero
casos favoraveis numero P 
Gabarito: B 
2. Fórmula da probabilidade condicional 
Uma outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma 
fórmula. 
Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a 
probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento? 
A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos possíveis. 
Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, alguém 
nos informa: saiu um número maior que 4. 
Pronto. Agora temos uma informação nova. 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um número 
maior que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar. 
Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os casos 
possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2. 
Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim: 
) (
)() |( 
B P
B AP BA P ∩= 
Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Temos dois eventos. 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o evento ‘A’. O evento ‘A’ 
é um subconjunto do espaço amostral. 
A = {3, 6} 
Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento‘B’. 
B = {5, 6}. 
A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
18 
www.pontodosconcursos.com.br
A ∩ B = {6} 
O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça pra baixo indica a intersecção. Neste exemplo, está 
associado ao resultado do lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 4 e 
múltiplo de 3. 
As probabilidades relacionadas são: 
· ) (AP é a probabilidade de o evento A ocorrer. 
· ) (BP é a probabilidade de o evento B ocorrer. 
· ) ( B AP ∩ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que parece 
um “U” de cabeça para baixo indica intersecção. Ou seja, estamos interessados nos casos 
em que os dois eventos ocorrem simultaneamente. 
· ) |( B AP é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a 
probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B. 
No caso do lançamento do dado, ficamos com: 
6
2 )( =AP (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
2 )( =BP (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
6
1 )( =∩ BA P (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo, maior que 4 e múltiplo 
de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Aplicando a fórmula: 
) (
)() |( 
B P
B AP BA P ∩= 
2
1 
6
2 
6
1 )|( = ÷=BA P 
Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 é de 
50%. 
Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
19 
www.pontodosconcursos.com.br
O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos todos os possíveis 
resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho representa 
o evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores que 4). 
É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já sabemos que o 
resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde. 
Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a condição 
estabelecida modificasse nosso espaço amostral. 
Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
20 
www.pontodosconcursos.com.br
Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao número que, além de 
ser múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que está na 
intersecção entre A e B. 
Ou seja, temos uma condição (o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B). Graças 
a esta condição, os casos favoráveis estão relacionados à intersecção e os casos possíveis 
estão relacionados ao conjunto B. 
Logo, a probabilidade fica “casos favoráveis” sobre “casos possíveis”. 
Vou indicar por “n( )” o número de elementos de cada conjunto. 
A probabilidade condicional fica: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
21 
www.pontodosconcursos.com.br
) (
)() |( 
B n
B An BA P ∩= 
Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral (S): 
( ) ) (
) ()() |( 
S nB n
S nB An BA P ÷
 ∩= 
O que conduz a: 
) (
)() |( 
B P
B AP BA P ∩= 
Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando ) () |( A PB AP = . Ou seja, o 
fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na probabilidade de ‘A’. 
→ 
FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL: 
) (
)() |( 
B P
B AP BA P ∩= 
Se A e B são independentes, então: 
) () |( A PB AP = e ) () |( B PABP =
É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade condicional, 
podemos chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos: 
( ) | ) ()(
) 
)() |( B PB AP BA P
B P
B AP BA P ×= ∩⇒∩= 
Na situação de independência entre os eventos, chegamos ao seguinte: 
⇒⎭⎬
⎫
=
×= ∩
) () |(
) () |()(
A PB AP
B PB AP BA P 
) () ()( B PA PB AP × ∩
Quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das 
probabilidades. 
→ 
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS 
( ) | ) ()( B PB AP BA P × ∩
Quando os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das 
probabilidades. A fórmula se reduz a: 
( ) ( ) )( B PA PB AP × ∩
EC 9 CGU/2008 [ESAF] 
A e B são eventos independentes se: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
22 
www.pontodosconcursos.com.br
a) ) () ()( B PA PB AP += ∩ 
b) ) () ()( B PA PB AP ÷= ∩ 
c) ) () ()( B PA PB AP −= ∩ 
d) )() ()( A BP AP BA P += ∩ 
e) ) () ()( B PA PB AP ×= ∩ 
Aplicação direta da fórmula vista. 
Gabarito: E. 
EC 10 STN 2008 [ESAF] 
Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: 
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula 
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
Resolução: 
Aplicação direta do conceito visto acima. 
Gabarito: D 
EC 11 MPU 2004 [ESAF] 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, 
ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a 
probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e 
Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando 
que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora 
estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a 
a) 2/3 
b) 1/7 
c) 1/3 
d) 5/7 
e) 4/7 
Resolução: 
Primeiro vamos resolver sem a fórmula. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
23 
www.pontodosconcursos.com.br
Vamos imaginar a seguinte situação, bem esdrúxula. 
Ana sempre vai a Paris na segunda, terça e quarta. 
Beatriz sempre vai a Paris na quarta e quinta. 
Carlos sabe dessas informações. Só que Carlos é concurseiro. Ficou tanto tempo estudando 
para concurso, sem parar, que perdeu a noção do tempo e não sabe que dia é hoje. 
Para ele, a probabilidade de hoje ser segunda é de 1/7. E de ser terça também é 1/7. Idem para 
qualquer outro dia da semana. 
E mais. 
A probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7 (casos favoráveis: segunda, terça e 
quarta). 
A probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7 (casos favoráveis: quarta e quinta). 
A probabilidade de ambas estarem hoje em Paris é de 1/7 (caso favorável: quarta) 
Ana informa a Carlos: hoje estou em Paris. 
Aí Carlos conclui: com certeza hoje só pode ser ou segunda, ou terça ou quarta. 
Ou seja, agora temos três casos possíveis: 
Segunda, terça, quarta. 
E Carlos está interessado nos dias em que Beatriz também vai estar em Paris. Só tem um caso 
favorável: quarta feira. 
Caso favorável: 
Quarta. 
Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris, é: 
3
1 =P 
Gabarito: C 
Agora vamos usar a fórmula. 
Seja “A” o evento que ocorre quando, escolhendo-se um dia da semana ao acaso, ele é um dia 
em que Ana está em Paris.Seja “B” o evento análogo, referente aos dias em que Beatriz está em Paris. 
O exercício disse que: 
/ 7 ) 3 ( =A P 
/ 7 ) 2 ( =B P 
7 /1 )( ∩ B AP 
E foi pedido: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
24 
www.pontodosconcursos.com.br
? )( =AB P 
Usando a fórmula: 
3
1 
7/ 3
7 /1
) (
)()( ==∩=
A P
ABP AB 
P 
EC 12 Paraná Previdência 2002 [CESPE] 
Texto IV 
 
 
 Desempenho Tipo de deficiência Total 
Surdez Cegueira Outras Sem 
deficiência 
Bom 35 40 2 123 200 
Regular 5 20 18 157 200 
Total 40 60 20 280 400 
Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 
1. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como 
tendo bom desempenho será igual a 0,50. 
2. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo 
bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0,20. 
3. Considere A o evento “o empregado é surdo” e B o evento “o empregado tem desempenho 
regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de 
ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A ∩ B), será igual a P(A) 
× P(B) = 0,05. 
4. Considere C o evento “o empregado é cego” e B o evento “o empregado tem desempenho 
regular”. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade condicional será 
,1 0
) (
)() |( = ∩=
B P
C BP CB P . 
5. Considere B o evento “o empregado tem desempenho regular” e D o evento “o empregado 
tem desempenho bom”. Os eventos B e D são independentes, pois 0 )( =∩ DB P . 
Resolução: 
Vamos ao primeiro item. Queremos a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter 
bom desempenho. 
São 400 funcionários. Logo, são 400 casos possíveis. Todos eles são equiprováveis (todos os 
funcionários têm a mesma chance de serem escolhidos). 
Estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho. Portanto, são 
200 casos favoráveis. 
A probabilidade fica: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
25 
www.pontodosconcursos.com.br
,5 0 
400
200
_
_ = ==
possiveis casos
casos favoraveis P 
O item está correto. 
Segundo item. 
A escolha vai se dar apenas entre os empregados com bom desempenho. São 200 casos 
possíveis (há 200 empregados com bom desempenho). 
Estamos interessados apenas nos empregados que têm bom desempenho e são cegos. Nesta 
condição temos 40 funcionários. São 40 casos favoráveis. 
A probabilidade fica: 
,2 0 
200
40
_
_ = ==
possiveis casos
casos favoraveis P 
O item está certo. 
Terceiro item. 
Queremos a probabilidade da intersecção de dois eventos. Queremos que o empregado seja, 
ao mesmo tempo, surdo e tenha desempenho regular. Estão nesta condição 5 empregados. São 
5 casos favoráveis. Os casos possíveis são 400. 
A probabilidade fica: 
,0125 0 
400
5
_
_ = ==
possiveis casos
favoraveis casosP . 
O item está errado. 
Quarto item. 
Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. 
Trata-se de cálculo de probabilidade condicional. Note que a fórmula dada pelo exercício está 
errada. Já dava pra marcar errado de cara, sem fazer conta. 
Podemos fazer o problema aplicando a fórmula ou não. Primeiro, sem utilizar a fórmula. 
Queremos calcular a probabilidade de o funcionário ter desempenho regular. 
Se não tivéssemos nenhuma informação, os casos possíveis seriam 400, assim discriminados: 
35 funcionários têm desempenho bom e são surdos 
40 funcionários têm desempenho bom e são cegos 
2 funcionários têm desempenho bom e têm outras deficiências 
123 funcionários têm desempenho bom e não têm deficiência 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
26 
www.pontodosconcursos.com.br
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
Estamos interessados nos empregados que têm desempenho regular. São 200 casos 
favoráveis, assim discrimiandos: 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
Só que temos uma condição. É dado que o empregado escolhido é cego. Nossos 
casos possíveis passam a ser apenas 60, assim discriminados: 
 40 funcionários têm desempenho bom e são cegos 
2 funcionários têm desempenho bom e têm outras deficiências 
123 funcionários têm desempenho bom e não têm deficiência 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
E os casos favoráveis ficam assim: 
5 funcionários têm desempenho regular e são surdos 
20 funcionários têm desempenho regular e são cegos 
18 funcionários têm desempenho regular e têm outras deficiências 
157 funcionários têm desempenho regular e não têm deficiência 
A probabilidade fica: 
333.. , 0
60
20 = =P 
O item está errado. 
Para resolver esse item, também poderíamos utilizar a fórmula. 
Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. 
Cegos com desempenho regular são apenas 20. 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
27 
www.pontodosconcursos.com.br
,05 0 
400
20 )( = =∩C BP 
A probabilidade de um cego ser escolhido é: 
,15 0 
400
60 )( = =C 
P 
Portanto, a probabilidade de ser escolhido um empregado com desempenho regular, dado que 
foi escolhido um cego, é de: 
333... 0, 
 
,05 0
) (
)() |( ==∩=
C P
C BP CB P 
Item errado. 
Quinto item. 
Não há nenhum funcionário que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um 
desempenho regular. Portanto: 
) 0 ( ∩B D P 
A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular é: 
,5 0 
400
200 )( = =B P 
A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom é: 
,5 0 
400
200 )( = =D P 
Concluímos que: 
) () ()( D PB PD BP × ∩
Portanto, os dois eventos não são independentes. Item errado. 
EC 13 TCE ES 2004 [CESPE] 
Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão 
escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas 
qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, 
enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, 
julgue os itens subseqüentes. 
1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser 
escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é 
menor que 1/4 . 
Resolução. 
O exercício forneceu as seguintes probabilidades: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
28 
www.pontodosconcursos.com.br
8 /3 )( =Jose P 
/ 8 ) 5 ( =Carlos P 
5 /1 )( =CarlosJose P 
A pergunta é: 
? )( =∩Jose Carlos P 
Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos: 
)()()( Carlos JoseP CarlosP CarlosJose P ×=∩8
1 
5
1 
8
5 )( = ×=Jose ∩Carlos P 
Gabarito: certo 
Outra forma de resolução seria assim. A cada 8 auditorias, temos: 
- Carlos é escolhido em 5 (assim, a probabilidade de ele participar de uma auditoria qualquer 
é 5/8). 
- Das 5 auditorias em que Carlos participa, em 1 delas o José também participa (assim, a 
probabilidade de José participar, dado que Carlos participa, é de 1/5). 
Assim, dessas oito auditorias, José e Carlos participam conjuntamente de 1 auditoria. 
Logo, a probabilidade de ambos serem escolhidos é de 1/8. 
EC 14 ANA 2009 [ESAF] 
Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação 
genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais 
próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação 
genética? 
a) 0,98% 
b) 1% 
c) 2,94% 
d) 1,30% 
e) 3,96% 
Resolução: 
Quais são as maneiras de exatamente 1 pessoa ter a variação genética? Podemos ter o 
seguinte: 
· a primeira pessoa escolhida tem a variação; as outras duas não 
· a primeira pessoa não tem a variação; a segunda tem; a terceira não 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
29 
www.pontodosconcursos.com.br
· a primeira e a segunda pessoas não têm a variação; a terceira tem 
Vamos focar no primeiro caso. 
Seja E1 o evento que ocorre quando, escolhida a primeira pessoa, ela tem a variação. Seja E2 
o evento que ocorre quando, escolhida a segunda pessoa, ela NÃO tem a variação. Seja E3 o 
evento que ocorre quando, escolhida a terceira pessoa, ela NÃO tem a variação. 
O exercício quer que estes três eventos ocorram simultaneamente. Ou seja, queremos calcular 
a probabilidade da intersecção dos três eventos. 
) ? 2 3 1 ( ∩∩ EEEP 
Esses três eventos são independentes. Neste caso, a probabilidade da intersecção é igual ao 
produto das probabilidades. 
3) (2) (1) (3) 1 2 ( E PE PE PE EE P ×× ∩∩ 
Substituindo as informações do enunciado: 
9801% 0, ,99 99 0 0, ,01 ) 0 2 3 1 ( × =∩∩ E EEP 
Esta é a probabilidade de ocorrer o primeiro caso (a primeira pessoa escolhida tem a variação; 
as outras duas não). 
Para os demais casos, o cálculo é idêntico. 
A probabilidade total fica: 
9403% 2, 9801% 0, 3 =×
Gabarito: C 
EC 15 RFB 2009 [ESAF] 
Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve 
utilizar sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada 
sequência, sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 
25 letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, 
por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o 
correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. 
Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em 
sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
Resolução. 
Seja “A” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente três teclas em seqüência, o 
cliente acerta a senha. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
30 
www.pontodosconcursos.com.br
Seja “E1” o evento que ocorre quando, pressionando aleatoriamente uma tecla, o cliente 
acerta a primeira letra da senha. 
Sejam “E2” e “E3” eventos análogos, correspondentes aos acertos da segunda e da terceira 
letras da senha. 
Para que “A” ocorra, devemos ter, simultaneamente, “E1”, “E2” e “E3” ocorrendo. Ou seja: 
32 1 E EE A ∩=
 Portanto: 
) 32 1() ( E EE PA P ∩=
Os três eventos são independentes. A probabilidade da intersecção é o produto das 
probabilidades. 
3) (2) (1) () ( E PE PE PA P ××=
Vamos calcular a probabilidade de “E1”. 
Na primeira vez em que as teclas são mostradas na tela, são cinco teclas possíveis e apenas 
uma é correta. Logo: 
,2 0 
5
1 )1 ( = =E P 
Analogamente: 
,2 ) 0 3 () 2( == P E E P 
Do que resulta: 
) 3() 2() 1() ( E PE PE PA P ××=
,2 0 2, 0,2 0 )( ×=A P = 0,008 
Gabarito: E 
EC 16 ANP 2008 [CESGRANRIO] 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência dos vinte empregados de uma empresa, de 
acordo com as suas idades. Dois empregados diferentes são escolhidos em seqüência, 
aleatoriamente, para representar a empresa num determinado evento. Qual a probabilidade de 
que ambos tenham 34 anos? 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
31 
www.pontodosconcursos.com.br
(A) 5/20 
(B) 5/34 
(C) 2/20 
(D) 2/34 
(E) 1/19 
Resolução. 
Seja “A” o evento que ocorre quando o primeiro funcionário escolhido aleatoriamente tem 34 
anos. Seja “B” o evento que ocorre quando o segundo funcionário escolhido aleatoriamente 
tem 34 anos. O exercício pediu: 
) ? ( ∩A B P 
Aplicando a fórmula: 
) ()()( A PABP AB P ×= ∩ 
Vamos calcular a probabilidade do evento “A”. São 5 casos favoráveis (5 funcionários com 
34 anos) em 20 possíveis. 
20
5 )( =AP 
Agora vamos calcular a probabilidade de “B dado A”. Ou seja, queremos saber a 
probabilidade do segundo funcionário escolhido ter 34 anos, dado que o primeiro escolhido 
também tem 34 anos. 
Neste caso, temos apenas 4 casos favoráveis (pois uma das pessoas com 34 anos já foi 
escolhida). E temos apenas 19 casos possíveis. 
19
4 )( =AB P 
Logo: 
) ()()( A PABP AB P ×= ∩ 
19
1 
19
4 
20
5 )( = ×=∩ AB P 
Gabarito: E 
Outra opção de resolução é usar os conceitos de análise combinatória. 
Número de agrupamentos possíveis; 
190
2
1920
! 18! 2
! 20
2 ,20 =×=×=C 
Número de agrupamentos favoráveis: 
10 
!! 2 3
! 5
2 ,5 =×=C 
Por fim: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
32 
www.pontodosconcursos.com.br
19
1 
190
= 10 = P 
EC 17 BNDES 2008/1 [CESGRANRIO] 
Um dado comum, com seis faces numeradas de 1 a 6 e não viciado, será lançado repetidas 
vezes. Qual a probabilidade de que se obtenha o 6 como resultado pela primeira vez após o 
segundo lançamento? 
(A) 25/36 
(B) 11/36 
(C) 5/36 
(D) 25/216 
(E) 11/216 
Resolução. 
Seja “A” o evento que ocorre quando o resultado do primeiro lançamento é diferente de 6. 
Seja “B” o resultado que ocorre quando o resultado do segundo lançamento é diferente de 6. 
O exercício pediu: 
) ? ( ∩A B P 
Aplicando a fórmula: 
) ()()( A PABP AB P ×= ∩ 
Vamos calcular a probabilidade de “A”. Queremos que o primeiro lançamento não resulte em 
6. Temos 5 casos favoráveis (1, 2, 3, 4, 5) em 6 possíveis. 
6
5 )( =AP 
Vamos agora calcular a probabilidade de “B dado A”. Queremos que o resultado do segundo 
lançamento seja diferente de 6, dado que o resultado do primeiro lançamento foi diferente de 
6. Ocorre que o resultado de um lançamento não interfere em nada no resultado do 
lançamento seguinte. São dois eventos independentes. 
6
5 )()( == B PABP 
Ou seja, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades: 
36
25 )() ()( =×= ∩ A PB PABP 
Gabarito: A 
EC 18 MPE RO 2005 [CESGRANRIO] 
Qual a probabilidade de serem obtidos três ases em seguida, quando se extraem três cartas de 
um baralho comum de 52 cartas se a carta extraída é reposta no baralho antes da extração da 
próxima carta? 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES33 
www.pontodosconcursos.com.br
(A) 1/169 
(B) 1/221 
(C) 1/2197 
(D) 1/5525 
(E) 1/140608 
Resolução. 
Em um baralho de 52 cartas, temos 4 ases. Sejam A, B, e C os eventos que ocorrem quando 
um “ás” é retirado, respectivamente, na primeira, na segunda e na terceira extrações. 
Como, depois de cada extração, a carta retirada é reposta, teremos sempre 52 cartas possíveis 
e 4 cartas favoráveis. 
13
1 
52
4 )() () ( = === C PB PA P 
Os eventos A, B, e C são independentes. Pouco importa qual carta foi sorteada na primeira 
extração. Ela é reposta no monte de cartas, de forma que, para a segunda extração, a 
probabilidade de tirar um “ás” continua sendo de 1/13. 
O exercício pediu: 
) ? ( ∩∩ B C A P 
Como os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das 
probabilidades. 
( ) ( ) ( ) )( C PB PA PC BA P ×× ∩∩
2197
1
13
1 )(
3
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=∩ ∩ C BA P 
Gabarito: C 
EC 19 Sefaz RJ 2009 [FGV] 
Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que 
apresenta um possível valor para P(A ∩ B). 
(A) 0,13. 
(B) 0,22. 
(C) 0,31. 
(D) 0,49. 
(E) 0,54. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
34 
www.pontodosconcursos.com.br
Como vimos no começo deste tópico, a representação dos conjuntos em um diagrama acaba 
guardando perfeita relação com as probabilidades envolvidas. Podemos, portanto, representar 
nos diagramas diretamente as probabilidades. 
Seja x a probabilidade da intersecção entre A e B. Temos: 
Todas as regiões acima correspondem a probabilidades. Como não existe probabilidade 
negativa, então: 
,4 00,4 0 ≤⇒ ≥− xx 
Se somarmos todas as probabilidades acima, devemos ter, no máximo, 100% (não existe 
probabilidade superior a 1). 
) 1 ,9 (0 ),4 0 ( − +− xx x 
1,3 1 − x 
3, 0≥x 
Com isso, concluímos que x dever ser maior ou igual a 30%, para que a soma das 
probabilidades não supere 100%. Além disso, x deve ser menor ou igual a 40%, para que não 
haja probabilidades negativas. 
,4 0,3 0 ≤ x 
A única alternativa possível é a letra C (pois 31% está entre 30% e 40%) 
Gabarito: C 
3. Probabilidade da união de dois eventos 
Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois 
eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do começo 
da aula? Queríamos calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Pois bem, seja ‘A’ o 
evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face múltipla de 3. 
Sabemos que: 
A= {3, 6}. 
O espaço amostral é dado por: 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número de elementos do 
evento (=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6). 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
35 
www.pontodosconcursos.com.br
Haveria uma outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que o conjunto ‘A’ 
ainda pode ser decomposto em mais conjuntos. 
Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. Seja ‘C’ o evento 
que ocorre quando se obtém a face ‘6’. 
B = {3} 
C = {6} 
Podemos dizer que: 
CBA ∪=
O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a probabilidade de sair um 
múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à probabilidade da união dos eventos “sair 3” e “sair 
6”. 
Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento ‘A’, poderíamos ter 
calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, usando a probabilidade da união de 
dois eventos, obtido a probabilidade de ‘A’. 
Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. Nem 
sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem sem ela. 
Mas é bom saber que existe. 
Antes de entrarmos na fórmula, alguns comentários. O evento ‘A’ pôde ser decomposto em 
outros dois eventos (B e C). Já os eventos ‘B’ e ‘C’ não podem mais ser decompostos. Cada 
um deles é formado por um único elemento. Dizemos que B e C são eventos elementares. 
EP 1. Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados 
cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos. 
Atualmente temos a seguinte situação: 
· 30 alunos fazem inglês. 
· 20 alunos fazem inglês e espanhol. 
· 35 alunos fazem espanhol. 
· 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol. 
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês ou 
espanhol? 
Resolução: 
Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa inglês, temos o evento ‘I’. 
Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento ‘E’. 
Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos 
interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem inglês e 
espanhol. 
Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”. 
?)( =∪ I EP 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
36 
www.pontodosconcursos.com.br
Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos interessados nos 
casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos interessados 
nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. 
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola. 
alunos que fazem 
espanholalunos que 
fazem ingles
10 20 15
25 
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do 
circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho. 
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão 
dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul. 
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol. 
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol. 
Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, são os 
alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis. 
E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso de 
idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos. 
A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é: 
70
45 )( =∪ IE P 
Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos. 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é: 
70
30 )( =IP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é: 
70
35 )( =EP 
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é: 
70
20 )( =∩ IE P 
Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos saber 
quantos são os casos favoráveis. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
37 
www.pontodosconcursos.com.br
São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos 
alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores. 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65 
Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos que 
fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunos foram contados duas vezes. São 20 
alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20. 
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20 
Pronto. Achamoso total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos 
possíveis, achamos a probabilidade procurada. 
70
203530 )( +=∪ IE P 
70
20 
70
35 
70
30 )( − +=∪ IE P 
)() () ()( I EP IP EP IE P −+=∪ 
Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos dois 
eventos é: 
)(( ) ( ) )( B AP BP AP BA P −+=∪ 
Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a intersecção entre ambos é 
nula, dizemos que são eventos mutuamente excludentes. 
Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos: 
0)( ∩ B AP 
Neste caso, a probabilidade da união fica: 
) () ()( B PA PB AP +=∪ 
→ 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DE DOIS EVENTOS A e B 
)() () ()( B AP BP AP BA P −+=∪ 
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a: 
( ) ( ) )( B PA PB AP +=∪ 
EP 2. Calcule a probabilidade de, ao lançarmos um dado honesto, sair um número par. 
Resolução: 
Queremos calcular a probabilidade da união dos eventos “sair 2”, “sair 4” e “sair 6”. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
38 
www.pontodosconcursos.com.br
Todos esses eventos são mutuamente exclusivos. Por quê? 
Porque não tem como o lançamento de um dado resultar, simultaneamente, em 2 e 4, ou em 2 
e 6, ou em 4 e 6. 
Nestes casos, a probabilidade da soma é igual à soma das probabilidades dos eventos. 
%5063/ / 3 3 1 1/ / 3 ) 1 (6 4) (2) ()_ ( = + =++= P Ppar P sair P 
Outra forma de resolver é escrevendo os casos possíveis e os casos favoráveis. 
São 6 casos possíveis: 
1, 2, 3, 4, 5, 6 
São 3 casos favoráveis: 
2, 4, 6 
% 506 /3 =P 
EP 3. No lançamento de dois dados honestos: 
a) qual a probabilidade de sair um número par no primeiro dado e de sair o número 5 no 
segundo? 
b) qual a probabilidade de sair um número par no primeiro dado ou sair o número 5 no 
segundo dado? 
Resolução: 
Agora temos lançamentos de dois dados. O espaço amostral, que é o conjunto de todos os 
resultados possíveis, fica: 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), 
(3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
Seja ‘A’ o evento “sair número par no primeiro dado”. 
Seja ‘B’ o evento “sair o número 5 no segundo dado”. 
Vamos escrever os dois eventos: 
A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), 
(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} 
‘A’ tem 18 elementos. ‘B’ tem 6 elementos. O espaço amostral tem 36 elementos. 
3618 / ) ( =A P 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
39 
www.pontodosconcursos.com.br
36 /6 )( =B P 
Letra a). 
Queremos que os dois eventos ocorram simultaneamente. Estamos interessados na intersecção 
dos eventos ‘A’ e ‘B’. 
A intersecção de ‘A’ e ‘B’ tem 3 elementos: 
5)} 6, (),,5 (4 5), 2, {( ∩ B A 
A probabilidade da interseção fica: 
36 /3 )( ∩ B AP 
Interessante observar que o resultado do lançamento de um dado em nada influi no resultado 
do outro dado. Os resultados dos dois lançamentos são independentes. Os eventos ‘A’ e ‘B’ 
são independentes. 
Note que: 
( ) ( ) )( B PA PB AP × ∩
Letra b) 
A união entre os dois eventos é dada por: 
A ∪ B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), 
(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,5), (3,5), (5,5)} 
A união tem 21 elementos. 
/12 36 7 21/ )( ==∪ B AP 
Outra forma de resolução seria usar a fórmula da união. 
)() () ()( B AP BP AP BA P −+=∪ 
12
7 
36
21
36
3 
36
6 
36
18 )( = =− +=∪ BA P 
EC 20 MTE 98 [ESAF] 
De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em francês, 110 em inglês e 40 não 
estão matriculados nem em inglês nem em francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 
estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos 
uma dessas disciplinas (isto é, em inglês ou em francês) é igual a: 
a) 30/200 
b) 130/200 
c) 150/200 
d) 160/200 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
40 
www.pontodosconcursos.com.br
e) 190/200 
Resolução: 
São 200 estudantes. Há 200 estudantes que podem ser escolhidos. São 200 casos favoráveis. 
40 não fazem nem inglês nem francês. 
Sobram 160, que fazem pelo menos uma das duas disciplinas. Estamos interessados nesses 
estudantes. São 160 casos favoráveis. 
Portanto, a probabilidade de o estudante selecionado cursar pelo menos uma das disciplinas é: 
200
160 =P 
Gabarito: D. 
Vamos aproveitar o exercício para verificar a fórmula vista para a probabilidade da união de 
dois conjuntos. 
São 160 estudantes que fazem inglês ou francês. 
110 fazem inglês e 80 fazem francês. 
Somando esses dois valores, temos: 
110+80=190 
Ocorre que não temos 190 que fazem inglês ou francês. São só 160. Porque a soma acima deu 
maior que 160? Porque estamos contando em duplicidade os estudantes que fazem, ao mesmo 
tempo, francês e inglês. 
30 160 190 −
Precisamos retirar 30 estudantes para chegar nos 160. 
Portanto, 30 estudantes fazem francês e inglês. 
Resumindo, temos: 
· 80 estudantes fazem só inglês 
· 50 estudantes fazem só francês 
· 30 fazem francês e inglês 
· 40 não fazem nem francês nem inglês 
Sorteando-se um estudante ao acaso, ocorrerá o evento ‘I’ se este estudante cursar inglês. 
Ocorrerá o evento ‘F’ se este estudante cursar francês. 
Como são 200 estudantes ao todo, as probabilidades ficam: 
200
110 )( =IP 
200
80 )( =FP 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
41 
www.pontodosconcursos.com.br
200
30 )( =∩ FI P 
200
160 )( =∪ FI P 
Note que: 
)() () ()( F IP FP IP FI P −+=∪ 
Precisou da fórmula para resolver o exercício? Não, não precisou. Dava para resolver sem 
utilizá-la. 
EC 21 MPU/2004 [ESAF] 
Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o 
nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a 
probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a probabilidade 
de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem 
para verificar a pressão dos pneus é igual a 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65. 
Resolução: 
Primeiro vamos usar a fórmula. 
Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). 
Dizendo de outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o pneu. 
Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, 
ocorre o evento ‘A’ quando, no dia escolhido, ela verifica o óleo. Ocorre o evento ‘B’ quando, 
no dia sorteado, ela verifica o pneu. 
Temos: 
)(( ) ( ) )( B AP BP AP BA P −+=∪ 
O enunciado disse que: 
,28 0 )( =A P 
,11 ) 0 ( =B P 
,04 0 )( ∩ B AP 
Portanto: 
)() () ()( B AP BP AP BA P −+=∪ 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
42 
www.pontodosconcursos.com.br
,35 04 0 , 0,11 0 28, 0)( − =∪ B AP 
A probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%. 
Concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois é: 
%35 65 0, 1−=P 
Gabarito: E. 
Outra resolução, agora sem fórmula. 
Lígia foi ao posto durante 100 dias. 
Em 28 ela chegou o óleo. Em 11 ela checou os pneus. Em 4 ela checou os dois juntos. 
Vamos representar graficamente o que ocorreu. 
Em 4 dias, Lígia verifica o pneu e o óleo. 
4
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
Em 28 dias ela verifica o óleo. Já assinalamos 4 desses 28 dias. Faltam 24. 
24 4
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
Em 11 dias ela verifica os pneus. Já assinalamos 4 desses 11 dias. Faltam 7. 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
43 
www.pontodosconcursos.com.br
24 74
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
Ao todo são 100 dias. Já assinalamos 35. Faltam 65, em que Lígia não verifica nem pneus 
nem óleo. 
24 74
dias em que 
verificou óleo dias em que 
verificou pneu
65
Em 65 dos 100 dias ela não verifica nem pneus nem óleo. A probabilidade procurada, 
portanto, é de 65%. 
EC 22 TRF 2ª Região/2007 [FCC] 
Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que 4 0, ) ( =A P e 
,7 0 )( =∪ BA P e pB P =)( . Os valores de p que fazem com que A e B sejam mutuamente 
exclusivos e A e B sejam independentes são, respectivamente, 
a) 0,3 e 0,5 b) 0,4 e 0,2 c) 0,5 e 0,2 d) 0,6 e 0,2 e) 0,3 e 0,4 
Resolução: 
Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, temos a seguinte condição: 
( ) ( ) )( B PA PB AP +=∪ 
Substituindo os valores: 
,3 0,4 7 0 , 0 =⇒ = p p 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
44 
www.pontodosconcursos.com.br
Para que A e B sejam independentes, temos a seguinte condição: 
)(( ) )( B PA PB AP × ∩
Sabendo disso, vamos partir da probabilidade da união de A e B. 
)(( ) ( ) )( B AP BP AP BA P ∪−+=∪
)(( ) ( ) ( ) )( B PA PB PA PB AP ×−+=∪ 
Substituindo os valores: 
,5 0,3 0,6 0,4 0,4 7 0 , 0 =⇒ ×⇒ −+ = pppp 
Gabarito: A 
EC 23 Petrobras 2005 [CESGRANRIO] 
Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. 
Quanto vale P(A∪B)? 
(A) 0,5 
(B) 0,6 
(C) 0,7 
(D) 0,8 
(E) 0,9 
Resolução. 
Como os eventos são independentes, então: 
2 ,4 0 0, ,5 ) 0 (( ) )( ×=×=∩ B PA PB AP 
Agora podemos achar a probabilidade da união: 
)(( ) ( ) )( B AP BP AP BA P −+=∪
70, ,2 4 0 0, ,5 ) 0 ( − =∪ B AP 
Gabarito: C 
EC 24 Petrobras 2005 [CESGRANRIO] 
Lança-se uma moeda não tendenciosa até a obtenção da segunda “cara”. Qual é a 
probabilidade de a moeda ser lançada quatro vezes? 
(A) 1/16 
(B) 1/8 
(C) 3/16 
(D) 1/4 
(E) 5/16 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
45 
www.pontodosconcursos.com.br
Resolução. 
Na minha opinião o exercício ficou mal formulado. O que a questão quis dizer foi: qual a 
probabilidade de a moeda ser lançada exatamente 4 vezes? Ou seja, queremos que a segunda 
coroa seja obtida no quarto lançamento. 
Do jeito que ficou escrito, a interpretação que me pareceria correta (e para qual não há 
resposta) é a de que a segunda coroa pudesse ser obtida no quarto lançamento, ou em qualquer 
lançamento posterior. Assim, se a segunda coroa for obtida no sexto lançamento, a moeda terá 
sido lançada 6 vezes. Portanto, terá sido lançada 4 vezes. 
Ignorando esta imprecisão, vamos à resolução. 
Vamos indicar por “C” o resultado “cara” e “K” o resultado “coroa”. Vamos pensar na 
seguinte seqüência: 
“A”: K, C, C, K 
Esta seqüência acima corresponde ao evento “A”. Neste caso, a segunda coroa é obtida 
justamente no quarto lançamento. Logo, este caso satisfaz à condição estabelecida: a segunda 
coroa foi obtida no quarto lançamento. Qual a probabilidade de ocorrer esta seqüência? 
Bom, queremos que: 
· o primeiro lançamento resulte em coroa (evento W) 
· o segundo lançamento resulte em cara (evento X) 
· o terceiro lançamento resulte em cara (evento Y) 
· o quarto lançamento resulte em coroa (evento Z) 
Os eventos W, X, Y e Z são independentes. O resultado de um lançamento da moeda não tem 
qualquer interferência no resultado do lançamento seguinte. 
A probabilidade de cada evento é igual a 1/2. 
O evento “A” corresponde à intersecção de W, X, Y, Z. 
A probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. Ou seja, a 
probabilidade de obtermos (K, C, C, K) é de: 
16
1
2
1 )(
4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=A P 
Ok. Só que essa não é a única solução. Satisfazem ao enunciado os seguintes casos: 
A; K, C, C, K 
B: C, K, C, K 
C: C, C, K, K 
Os eventos “A”, “B” e “C” têm probabilidade de 1/16. Além disso, todos eles são 
mutuamente excludentes. Logo, a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades. 
16
3 
16
1 
16
1 
16
1 )( = ++ =∪ ∪ C BA P 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
46 
www.pontodosconcursos.com.br
EC 25 Potigas 2006 [FGV] 
Uma moeda não-tendenciosa é lançada até que ocorram dois resultados sucessivos iguais. A 
probabilidade de que ela seja lançada quatro vezes é: 
(A) 1/8. 
(B) 3/8. 
(C) 1/2. 
(D) 5/8. 
(E) 2/3 
Resolução: 
Vou representar coroa por K e cara por C. 
Considere a seguinte seqüência: 
C, K, C, K, K 
A moeda precisou ser lançada 5 vezes para ocorrerem dois resultados iguais e sucessivos. Do 
jeito que o enunciado está escrito, esta seqüência atende ao comando da questão. Se a moeda 
foi lançada cinco vezes, então ela foi lançada quatro vezes. Assim, do jeito que está escrito, 
teríamos que calcular a probabilidade de a moeda ser lançada 4 ou mais vezes. 
E aí vem o problema: fazendo desta forma, não encontramos nenhuma alternativa. 
Aí vem o que eu sempre digo. Não brigue com o enunciado. Não durante a prova. Deixe para 
brigar com o enunciado na fase dos recursos. 
Lá na hora da prova, tente entender o que o examinador quer. Neste caso, houve uma 
imprecisão. O que a questão quer é que a moeda seja lançada exatamente 4 vezes. Ou seja, 
ela quer que os dois resultados sucessivos e iguais ocorram no terceiro e no quarto 
lançamentos. 
Existem duas seqüências que satisfazem esta condição: 
C, K, C, C 
K, C, K, K 
Vamos calcular a probabilidade de a primeira seqüência ocorrer. 
Seja A o evento que ocorre quando o primeiro lançamento resulta em cara. 
Analogamente, sejam B, C e D os eventos que ocorrem quando o segundo, o terceiro e o 
quarto lançamento resultam, respectivamente, em coroa, cara e cara. 
Queremos calcular a seguinte probabilidade: 
) ? ( ∩ ∩ D CB AP 
Os lançamentos são independentes. O resultado de um lançamento em nada interfere no 
resultado dos demais. Quando isso ocorre, a probabilidade da intersecção é igual ao produto 
das probabilidades. 
( ) ( ) ( ) ( ) )( D PC PB PA PD CB AP ××× ∩∩ ∩ 
 
 
 
 
 
 
CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
47 
www.pontodosconcursos.com.br
Todos os eventos têm probabilidade de 50%. 
42
1
2
1
2
1
2
1
2
1 )( = ×× ×= ∩∩ ∩ D CB AP 
Para a sequencia K, C, K, K as contas são análogas. A probabilidade também será de 42
1 . 
Ok, já sabemos que: 
C, K, C, C tem probabilidade 42
1 
K, C, K, K tem probabilidade 42
1 
Para que a moeda seja lançada exatamente 4 vezes, deve ocorrer a primeira seqüência ou a 
segunda. Ou seja, queremos a probabilidade da união destas duas seqüências. Como são 
eventos mutuamente excludentes, a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades.