AFRFB_racioc_logico_traumatizados_exercicios_Aula 19

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CURSO ON‐LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA DESESPERADOS
PROFESSORES: GUILHERME NEVES E VÍTOR MENEZES
www.pontodosconcursos.com.br
AULA 19 – Teste de hipóteses 
I. TESTE DE HIPÓTESES. ..............................................................................................................................2
II. TESTE SOBRE A MÉDIA . ..........................................................................................................................5
III. P‐VALOR .. 38
IV. TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES . . 54
1. Teste para proporções usando a distribuição binomial. . 54
2. Teste para proporções usando a distribuição normal . . 59
V. DISTRIBUIÇÃO DE QUI‐QUADRADO . . 66
1. Distribuição de qui‐quadrado e variância. . 68
2. Teste de qui‐quadrado para proporções . . 79
3. Teste de qui‐quadrado para várias proporções . . 81
VI. COMENTÁRIOS FINAIS SOBRE TESTE DE HIPÓTESES . . 108
VII. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO . . 108
VIII. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO . . 131
 
 
 
 
 
 
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Caros alunos 
Lá na aula demonstrativa, quando colocamos o cronograma de aulas que iríamos seguir, 
acabei me esquecendo de incluir o importante tópico de “teste de hipóteses”. Por conta desta 
falha, teremos que alterar um pouco nossa programação. 
Veremos hoje o teste de hipóteses, na aula 20 veremos correlação e análise de variância e 
precisaremos acrescentar a aula 21, em que falaremos sobre regressão linear e análise de 
regressão. 
Resumindo: precisaremos de uma aula extra para terminar o curso. A última aula será a de 
número 21. 
I. TESTE DE HIPÓTESES 
Maria tem duas moedas. Cada uma delas tem uma face cara e outra face coroa. 
Uma das moedas é normal. As duas faces têm a mesma probabilidade de sair. Vamos chamá-
la de moeda honesta. 
A outra é uma moeda viciada. Nesta, a probabilidade de sair coroa é de 2/3. Vamos chamá-la 
de moeda viciada. 
Maria escolhe uma das moedas. José, que tem conhecimento das probabilidades acima 
mencionadas, tem que adivinhar qual delas foi escolhida. Para tanto, Maria lança três vezes a 
moeda escolhida. Ao final de cada lançamento, comunica a José o resultado. 
José estabelece o seguinte critério de decisão. Se os três lançamentos resultarem em coroa, ele 
vai arriscar que se trata da moeda viciada. Caso contrário, vai arriscar que se trata da moeda 
honesta. 
O que José está fazendo é um teste de hipóteses. 
Num teste de hipóteses fazemos alguma consideração sobre um dado valor. No exemplo 
acima, José precisa decidir qual das duas moedas foi escolhida. No fundo, quer saber se, para 
a moeda escolhida, a probabilidade de sair coroa é de 2/3 ou 1/2. Qualquer que seja a sua 
conclusão, ela estará sujeita a erro. 
Vamos começar a nos acostumar com os termos utilizados no teste de hipótese. 
José quer testar a hipótese de, para a moeda escolhida por Maria, a probabilidade de sair coroa 
ser 1/2. Esta hipótese é chamada de H0 (lê-se agá zero). É também chamada de hipótese nula. 
Vamos escrever a hipótese H0: 
H0: P(coroa) = 1/2. (hipótese nula) 
Caso a probabilidade de sair coroa não seja de 1/2, então a referida probabilidade será de 2/3. 
Esta outra hipótese é a hipótese alternativa. É chamada de HA. 
HA: P(coroa) = 2/3. (hipótese alternativa) 
Algumas bancas costumam utilizar H1 em vez de HA. 
Muito bem, agora José define um critério de decisão. Seu critério é baseado no número de 
coroas que vão sair em três lançamentos. Se saírem duas, uma ou zero coroas, José vai 
assumir que se trata da moeda honesta. Se saírem três coroas, José vai assumir que se trata da 
moeda viciada. 
 
 
 
 
 
 
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Escolher o critério de decisão é a parte mais difícil de um teste de hipóteses. Os cálculos são 
um pouco mais complexos. E muitas vezes estão presentes alguns fatores difíceis de 
quantificar. 
Dada a dificuldade envolvida na escolha do critério de decisão, as questões de concursos não 
cobram seu cálculo. A questão sempre informa o critério a ser adotado. Ou então ela fornece 
todo o resultado do teste, de tal modo que seja fácil encontrar o critério de decisão escolhido. 
Ok, definidas as hipóteses que serão testadas (escolher entre H0 e HA), definido o critério de 
decisão, agora é só fazer a experiência e ver qual hipótese será escolhida. 
Muito bem. Vamos supor que Maria lança a moeda três vezes e nas três vezes o resultado é 
coroa. 
Neste caso, José rejeita a hipótese H0 e assume como verdadeira a hipótese HA. 
Veja que a conclusão de José está sujeita a erro. Isto porque é possível que, mesmo que a 
moeda seja honesta, tenhamos três resultados coroa. 
Vamos supor que José tenha errado. Neste caso, em que José rejeita a hipótese H0, dado que 
ela é verdadeira, a probabilidade de ele cometer um erro é: 
5% 12, 
2
1 )(
3
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=erroP 
 12,5% é a probabilidade de, lançando uma moeda honesta três vezes, saírem três coroas. 
Ou seja, caso a moeda lançada seja a moeda honesta, há uma probabilidade de 12,5% de José 
errar. Este erro é chamado de erro do tipo I. 
Erro tipo I: rejeitar H0 dado que ela é verdadeira. 
5% 12, 
2
1 )_ _(
3
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=I tipoerroP 
A probabilidade acima é também chamada de nível de significância do teste. O símbolo 
geralmente utilizado é α . 
5% , 12 α
Nível de significância: probabilidade de cometer o erro do tipo I. Símbolo usual: α
Ok, agora vamos alterar o exemplo. Agora, em vez de terem saído três coroas, na verdade 
saíram duas coroas e uma cara. Neste caso, utilizando seu critério de decisão, José aceita H0
como verdadeira e rejeita HA. 
Neste segundo exemplo, José também está sujeito a erro. Isto porque é possível que, lançando 
a moeda viciada três vezes, tenhamos pelo menos um resultado cara. 
Este segundo tipo de erro consiste em aceitar H0 dado que ela é falsa. É chamado de erro do 
tipo II. 
Erro tipo II: aceitar H0 dado que ela é falsa. 
A probabilidade de ocorrer o erro do tipo II é designada pelo símbolo β . Vamos calcular esta 
probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
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A probabilidade de, em três lançamentos da moeda viciada, obtermos uma, duas ou três caras 
é: 
,7037 0
3
2
3
1 3
3
2
3
1 3
3
1 )_ _(
223
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×× +×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=tipo II erroP 
37% , 70 β
A probabilidade de aceitar H0, dado que ela é falsa, é de 70,37%. 
O valor β−1 é chamado de poder do teste. 
%,63 29 1 =− β (poder do teste). 
O poder do teste é a probabilidade de H0 ser rejeitada dado que ela é falsa. 
Note como o poder do teste foi baixo. Isto porque José privilegiou a hipótese H0. Ele só a 
rejeita num caso muito extremo, em que os três resultados forem coroa. Por isto o valor de α
foi pequeno, garantindo uma baixa probabilidade de cometer o erro do tipo I. Contudo, em 
geral, quanto menor o valor de α , maior o valor de β (maior a probabilidade de se cometer o 
erro do tipo II). Daí a dificuldade de escolher um bom critério de decisão. É comum que, ao 
reduzirmos um tipo de erro, o outro aumenta. 
Teste de hipóteses é apenas isto. Queremos testar se uma dada hipótese H0 é verdadeira. O 
exercício vai nos dizer o critério de decisão. Vai nos fornecer um experimento. Com base no 
experimento, verificamos se o resultado foi extremo ao ponto de nos fazer rejeitar H0. Se for 
extremo, rejeitamos tal hipótese. Caso contrário, aceitamos. 
No exemplo que nós demos as hipóteses eram: 
H0: P(coroa) = 1/2HA: P(coroa) = 2/3. 
Neste exemplo acima, as duas hipóteses atribuíam à probabilidade em estudo um valor único. 
A hipótese nula atribuía o valor 1/2. A hipótese alternativa atribuía o valor 2/3. 
Este tipo de teste não é muito usual em concursos. As hipóteses alternativas que vão aparecer 
nos exercícios, geralmente, têm outra forma. Nos testes realmente cobrados em concursos, a 
hipótese alternativa seria assim: 
HA: P(coroa) ≠ 1/2. 
Outra opção: 
HA: P(coroa) < 1/2. 
Ou ainda: 
HA: P(coroa) > 1/2. 
No primeiro caso (em que temos o sinal de diferença ≠) o teste é dito bilateral. Nos outros 
dois casos (com os sinais de ‘>’ e ‘<’) o teste é dito unilateral. Vamos estudá-los com mais 
calma adiante. 
 
 
 
 
 
 
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Teste de hipóteses. 
Erro tipo I: rejeitar H0 dado que ela é verdadeira. Probabilidade deste tipo de erro: α
(nível de significância) 
Erro tipo II: aceitar H0 dado que ela é falsa. Probabilidade deste tipo de erro: β
Poder do teste: probabilidade de rejeitar H0 dado que H0 é falsa. (= β−1 ) 
II. TESTE SOBRE A MÉDIA 
Para entendermos como fazer o teste de hipóteses sobre a média, vejamos alguns exemplos. 
Nos primeiros exemplos, eu vou dar todas as contas prontas. O objetivo é que vocês não 
precisem quebrar a cabeça fazendo as contas. Não quero que se preocupem com isso, não por 
enquanto. A proposta é que apenas entendam a idéia geral do teste. 
Depois, nos exemplos posteriores, aí sim entraremos mais a fundo nas contas envolvidas, 
certo? 
1º tipo de exemplo: entendendo os tipos de teste: bilateral e unilateral 
EP 1 Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo 
produto. Sabemos que, em licitações honestas (livres de fraudes), para uma certa região do 
país, o preço médio é de R$ 220,00. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de 
fraudes em licitações. As duas fraudes em análise são as seguintes: 
· Há prévio acerto entre as licitantes, de forma que o preço contratado é consideravelmente 
maior que R$ 220,00; 
· Há acerto prévio entre a licitante vencedora e o órgão, de tal forma que o preço contratado 
é muito inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dará na execução do 
contrato tendo em vista que, sendo o preço inexeqüível, o contrato não será regularmente 
cumprido. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A 
média para esta amostra foi de R$ 230,00. 
Queremos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa 
de as licitações terem sido fraudadas. Escreva as hipóteses a serem testadas. 
Resolução. 
É natural esperar que, se em um dado órgão ocorrem fraudes a licitações, elas são 
sistemáticas. Assim, vamos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a 
hipótese alternativa de as licitações terem sido fraudadas. 
No fundo queremos testar a hipótese de a média da população da qual foi retirada esta 
amostra ser igual a R$ 220,00. 
H0: 220 μ
HA: 220 μ
 
 
 
 
 
 
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Este primeiro tipo de teste da média é chamado de teste bilateral. Ele é caracterizado pela 
hipótese alternativa ser do tipo k μ (a média é diferente de alguma coisa). 
Por que a palavra bilateral? Porque há duas formas de rejeitarmos a hipótese H0. Se a média 
da amostra for consideravelmente maior que R$ 220,00, rejeitamos a hipótese por ser mais 
provável que tenha havido conluio entre as empresas e o preço esteja superfaturado. 
De outra maneira, se o valor obtido for consideravelmente menor que R$ 220,00, também 
rejeitamos a hipótese H0. Desta vez seria mais provável estarmos diante do segundo tipo de 
irregularidade: há conluio entre a licitante e o órgão contratante. 
Ou seja, analisamos os valores nos dois sentidos. Tanto os que são muito menores que 220 
quanto os que são muito maiores que 220. Por isto o teste é chamado de bilateral. Tanto em 
um caso quanto em outro, concluímos que a amostra não foi retirada da população das 
licitações honestas. 
A finalidade do teste de hipóteses é apenas isto. Neste caso, queremos avaliar se 230 é 
consideravelmente diferente de 220 ou não. Até poderíamos fazer isto de forma intuitiva. Há 
casos em que a diferença é tanta que nem precisaríamos de teste algum. Se a média da 
amostra fosse de 500 (mais que o dobro de 220), certamente estaríamos diante de fraudes. 
Já no caso do exercício, queremos avaliar se 230 é consideravelmente diferente de 220. 
Intuitivamente, algumas pessoas podem dizer que não é. Essas pessoas tenderiam a aceitar a 
hipótese de que essas licitações são honestas (hipótese nula). Outras pessoas tenderiam a 
achar que a diferença é considerável, sendo levadas a rejeitar a hipótese nula. 
O teste de hipóteses nos fornece uma forma sistemática de testar se os valores envolvidos são 
consideravelmente diferentes ou não. 
Bem, encerrando este exercício, a resposta fica: 
H0: 220 μ
HA: 220 μ
→ 
Teste de hipóteses para a média – bilateral. 
Hipótese alternativa: a média é diferente de alguma coisa 
HA: k μ
EP 2 Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo 
produto. Sabemos que, em licitações honestas (livres de fraudes), para uma certa região do 
país, o preço médio é de R$ 220,00. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de 
fraudes em licitações. Há um único tipo de fraude em análise, que consiste em acerto entre 
as licitantes, de forma que o preço contratado é consideravelmente maior que R$ 220,00. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A 
média para esta amostra foi de R$ 230,00. 
Queremos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa 
de as licitações terem sido fraudadas. 
Escreva as hipóteses a serem testadas. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução. 
Agora, o único tipo de fraude ocorre quando a média dos preços contratados é 
significativamente maior que 220,00. 
Ou seja, valores significativamente menores que 220,00 não nos fazem mais rejeitar a 
hipótese nula, a exemplo do que ocorria no exercício anterior. O teste é unilateral, pois só 
analisarmos a reta real em um sentido: só valores significativamente maiores que 220,00 nos 
fazem rejeitar H0. 
A resposta fica: 
H0: 220 μ
HA: > 220 μ
EP 3 Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo 
produto. Sabemos que, em licitações honestas (livres de fraudes), para uma certa região do 
país, o preço médio é de R$ 220,00. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de 
fraudes em licitações. Há um único tipo de fraude em análise, que consiste acerto prévio entre 
a licitante vencedora e o órgão, de tal forma que o preço contratado é muito inferior a R$ 
220,00. Nestes casos, o grande problema se dará na execução do contrato tendo em vista que, 
sendo o preço inexeqüível, o contrato não será regularmente cumprido. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A 
média para esta amostra foi de R$ 230,00. 
Queremos testar a hipótese de as licitações terem sido honestas contra a hipótese alternativa 
de as licitações terem sido fraudadas. 
Escreva as hipóteses a serem testadas. 
Resolução. 
Agora, apenas valores significativamente menores que 220,00 nos fazemrejeitar a hipótese 
nula. Ficamos com: 
H0: 220 μ
HA: 220 μ
Nos dois últimos exemplos, tivemos testes unilaterais, pois havia uma única forma de 
rejeitarmos a hipótese nula. 
 
 
 
 
 
 
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Teste de hipóteses para a média – unilateral. 
Há dois tipos de teste unilateral. 
1º tipo - Hipótese alternativa: a média é maior que alguma coisa 
HA: k >μ
2º tipo - Hipótese alternativa: a média é menor que alguma coisa 
HA: k μ
2º tipo de exemplo: entendendo a idéia do teste de hipótese 
(por enquanto, não se preocupe em fazer contas!!!) 
EP 4 Estamos analisando o preço pelo qual a Administração Pública compra um certo 
produto. Sabemos que, em licitações honestas (livres de fraudes), para uma certa região do 
país, o preço médio é de R$ 220,00. 
Sabemos também que a variância da variável preço, nas licitações honestas, é de 120 R$2. 
Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns órgãos em que há suspeita de 
fraudes em licitações. As duas fraudes em análise são as seguintes: 
· Há prévio acerto entre as licitantes, de forma que o preço contratado é consideravelmente 
maior que R$ 220,00; 
· Há acerto prévio entre a licitante vencedora e o órgão, de tal forma que o preço contratado 
é muito inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dará na execução do 
contrato tendo em vista que, sendo o preço inexeqüível, o contrato não será regularmente 
cumprido. 
Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado órgão público. A 
média para esta amostra foi de R$ 230,00. Teste a hipótese de as licitações terem sido 
honestas contra a hipótese alternativa de as licitações terem sido fraudadas. Considere um 
nível de significância de 5%. 
Resolução. 
Já vimos que este é um teste bilateral: 
H0: 220 μ
HA: 220 μ
Se a média da amostra for significativamente diferente de 220, rejeitaremos a hipótese nula. 
Consideraremos que a média da população da qual foi extraída a amostra não tem média 220. 
Caso contrário, aceitamos a hipótese nula. Assumiremos que a média da população é sim 
igual a 220. 
Ou seja, nosso teste se resume a determinar se 230 é significativamente diferente de 220 ou 
não. 
Mas, em termos objetivos: a partir de qual valor já podemos considerar que estamos 
significativamente afastados de 220? 
 
 
 
 
 
 
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Esta pergunta é respondida pelos valores críticos. 
Para fazer um teste de hipóteses, a gente sempre dá um crédito para a hipótese nula. Sempre 
partimos do pressuposto de que ela é verdadeira. Ou seja, iniciamos supondo que a média da 
população é realmente 220,00. 
Feito isso, já temos condições de estudar a média amostral ( X ). 
Vimos na aula passada que X é uma variável aleatória. Sua esperança coincide com a média 
da população. Sua variância é igual à variância da população dividida por n (onde n é o 
tamanho da amostra). 
Conhecendo o comportamento de X , podemos determinar os valores críticos. São valores 
que delimitam os casos raros. 
O nível de significância está intimamente relacionado com os casos raros. 
Se o nível de significância é de 5%, então os casos raros são aqueles que só ocorrem em 5% 
das vezes. 
Por enquanto, não vamos fazer contas ainda. Certo? Vou dar todas as contas prontas. 
Supondo que a média populacional seja 220,00, podemos concluir que X tem o seguinte 
comportamento: 
- em 95% das vezes, X assume valores entre 216,08 e 223,92 
- em 5% das vezes, X assume valores fora deste intervalo. 
Estes são os valores críticos. São os valores que separam os casos usuais (que ocorrem em 
95% das vezes) dos casos raros (que ocorrem em 5% das vezes). 
Observem que os casos raros foram delimitados de forma que a probabilidade de ocorrência 
seja igual ao nível de significância (5%). 
No nosso exemplo, a média amostral foi de 230,00. 
É possível que a população tenha média 220,00 e, ainda sim, seja extraída uma amostra com 
média 230,00? 
Sim, é possível. Mas é um caso raro. Na grande maioria das vezes, a média amostral estará 
entre 216,08 e 223,92. 
Nós não aceitamos casos raros. Neste caso, concluímos que a amostra não foi retirada de uma 
população com média 220,00. Por isso, rejeitamos a hipótese nula. 
O valor da média amostral obtido para o experimento realizado (=230,00) é chamado de 
estatística teste. 
Resposta: deve-se rejeitar a hipótese nula. 
 
 
 
 
 
 
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Teste de hipóteses para a média. 
 - Calculamos os valores críticos (que separam os casos raros daqueles que ocorrem 
frequentemente) 
- Analisamos se a estatística teste é um caso raro ou não. Se for raro, rejeitamos a 
hipótese nula. 
Agora sim, vamos às contas!!! 
Vamos refazer o mesmo exercício. Mas vamos nos concentrar em como calcular os valores 
críticos. 
Como as provas geralmente fornecem a tabela para a distribuição normal reduzida (com 
média zero e variância 1), então é comum que todo teste de hipóteses seja feito com base na 
variável Z, que estudamos nas aulas anteriores. 
Vamos colocar o passo a passo do teste, para já começarmos a gravar. 
Primeiro passo: determinar o valor crítico de Z. 
Valor crítico é o valor extremo até onde aceitamos a hipótese H0. No exemplo das moedas de 
Maria, o valor crítico era dois. Até o limite de dois resultados “coroa”, aceitaríamos a hipótese 
H0. Após este limite, rejeitávamos H0. 
Quando o teste for sobre médias, vamos fazer o seguinte. Vimos na aula passada que a média 
amostral ( X ) pode ser vista como uma variável aleatória de média μ e desvio padrão Xσ . 
Relembrando a nossa simbologia: 
· X é uma variável aleatória que representa os diversos valores de média amostral que 
podem ser obtidos, caso fizéssemos inúmeras amostras. 
· μ é a média da população. 
· σ é o desvio padrão da população. 
· n é o tamanho das amostras. 
· Xσ é o desvio padrão de X . Ele pode ser calculado assim: nX
σσ = . 
Vimos também que X é uma variável normal (caso a população tenha distribuição normal) 
ou aproximadamente normal (caso a população não seja normal, mas as amostras sejam 
suficientemente grandes). 
Assim, para X nós podemos utilizar a tabela de áreas da variável normal. Só que para utilizar 
esta tabela, nós precisamos trabalhar com a variável normal reduzida. Para obter a variável 
reduzida Z, nós estudamos a seguinte transformação: 
X
X Z σ
μ −= 
Z tem média zero e desvio padrão unitário. 
 
 
 
 
 
 
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Vamos, a partir da tabela de áreas para a variável normal reduzida, obter o intervalo centrado 
na média que contém 95% dos valores de Z. 
Por que 95%? 
Porque estamos delimitando os casos freqüentes. 
Com isso, automaticamente, os casos raros corresponderão a 5%, coincidindo com o nível de 
significância. 
Consultamos a tabela I ao final da aula. Verificamos que 47,5% dos valores de Z estão entre 0 
e 1,96. Como a distribuição é simétrica, 47,5% dos valores estão entre 0 e 96, 1− . 
Juntando os dois, temos que a probabilidade de Z estar entre -1,96 e 1,96 é de 95% (= área 
verde da figura abaixo). 
Estes são os valores críticos de Z. São os valores que delimitam a área de 95%. 
Valores críticos de Z: 
961, _1 _ =crítico Z 
,96 12__ =crítico Z 
Segundo passo: obter a estatística teste. 
A estatísticateste é o valor de Z para o experimento realizado. 
X
X testeZ σ
μ −=_ 
Para o experimento feito, = 230 X . 
A média populacional (μ ), esta nós não sabemos. Assim, neste segundo passo, nós vamos 
supor que a hipótese nula seja verdadeira. Supondo que realmente a média da população seja 
de 220 ( = μ 
 
 
 
 
 
 
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X
teste Z σ
220 230_ −= 
Precisamos calcular Xσ . Lembrando a sua fórmula (estudada na aula anterior): 
nX
2
2 σσ = . 
4 
30
1202 2 = ==
nX
σσ 
2=
X
σ
Continuando o cálculo de Z: 
X
teste Z σ
220 230_ −= 
5
2
220 230_ =−=testeZ 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com os valores críticos. Verificamos que 5 
(estatística teste) é maior que 1,96. Portanto, está fora do intervalo -1,96 a 1,96. Está 
significativamente afastado da média de Z. 
Ou seja, se pudéssemos fazer inúmeras amostras de tamanho 30, a partir de uma população 
com média 220 e variância 120, em 95% dos casos o valor de Z_teste estaria entre -1,96 e 
1,96. 
A região verde da figura acima é delimitada pelos valores críticos de Z. 
Se o valor de Z_teste caísse dentro do intervalo -1,96 a 1,96, estaríamos dentro da região 
verde. Ela contém 95% dos valores da variável normal reduzida. Esta região é chamada de 
região de aceitação. Se, para o experimento em análise, o valor de Z_teste estivesse na região 
de aceitação, nós aceitaríamos a hipótese H0. Consideraríamos que o valor de Z_teste não é 
significativamente diferente de zero (e, portanto, X não é significativamente diferente de 220). 
Não foi o caso. Vimos que Z_teste cai fora da região de aceitação. O Z_teste cai na área 
amarela (região crítica). 
 
 
 
 
 
 
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A área amarela pode ser chamada de região crítica. É a região além dos valores críticos. É a 
região em que os valores de Z nos fazem rejeitar a hipótese H0. 
Conclusão: rejeitamos a hipótese nula. 
Por curiosidade, vejamos os valores de X que correspondem a -1,96 e 1,96. 
220 2
2
220 + =⇒ −= Z XXZ 
Quando Z vale -1,96, X vale: 
,08 216 22096) , 1( 2 = +− ×=X 
Quando Z vale +1,96, X vale: 
,92 223 22096) 1, ( 2 = +× =X 
Se a média da população realmente fosse igual a 220, e se fosse possível fazer infinitas 
amostras de tamanho 30, a média amostral, em 95% dos casos, estaria entre 216,08 e 223,92 
(o que implica em Z_teste entre -1,96 e 1,96). Não foi o caso. Ou estamos diante de um caso 
raro ou a média populacional não é 220. 
Diante deste quadro, rejeitamos a hipótese nula. 
Pergunta: qual a probabilidade de cometer o erro do tipo I? 
Em outras palavras: qual a probabilidade de rejeitar a hipótese H0, dado que ela é verdadeira? 
Cometemos o erro do tipo I numa das raras vezes em que, apesar da média populacional ser 
realmente 220, o valor de Z_teste cai na região amarela. 
Lembrem-se do que dissemos acima: se a média da população realmente fosse igual a 220, e 
se fosse possível fazer infinitas amostras de tamanho 30, a média amostral, em 95% dos 
casos, estaria entre 216,08 e 223,92 (o que implica em Z_teste entre -1,96 e 1,96). Como 
conseqüência, em 5% das vezes a média amostral estaria fora do intervalo entre 216,08 e 
223,92 (o que implica em Z_teste fora do intervalo entre -1,96 e 1,96). 
Nessas raras ocasiões (em 5% das vezes), nós rejeitaremos a hipótese nula, mesmo que ela 
seja verdadeira. Logo, a probabilidade de se cometer o erro do tipo I é de 5%. Portanto: 
% 5 α
Interessante notar que a soma das áreas amarelas é exatamente igual ao valor de α (=5%). 
Esta igualdade deixa claro porque no início do problema procuramos o intervalo que continha 
95% dos valores. Isto fez com que a área verde fosse de 0,95. Como conseqüência, a soma das 
duas áreas amarelas é de 0,05. As áreas amarelas correspondem aos valores mais afastados da 
média de Z. Nestas áreas temos os valores mais extremos, mais afastados de zero. São os 
valores que nos fazem rejeitar a hipótese nula. 
 
 
 
 
 
 
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→ 
Resumo do teste da média quando a variância populacional é conhecida. 
1º Passo: encontrar os valores críticos de Z. Isto deve ser feito de modo que a 
região crítica tenha área igual ao nível de significância. 
2º Passo: encontrar a estatística teste. Usar a fórmula: 
X
X testeZ σ
μ −=_ 
3º Passo: ver se a estatística teste cai na região de aceitação ou na região crítica.
Pronto. Teste de hipóteses é apenas isso. 
Caso o teste seja unilateral, só o que muda é que a região crítica estará toda de um lado só da 
reta real (em vez de dividida em duas partes). 
Vamos mudar um pouco o exercício acima. Agora, vamos supor que não conhecemos mais a 
variância da população. 
EP 5 Obtivemos uma amostra de 30 compras de um órgão público. A média para esta 
amostra foi de R$ 230,00. A variância desta amostra foi 120 R$2. Teste a hipótese de que a 
média da população da qual foi extraída esta amostra seja igual a R$ 220,00, considerando um 
nível de significância de 5% ( % 5=α ). 
Resolução: 
A grande diferença deste exercício para o anterior é que agora não sabemos a variância da 
população. Nestes casos, não podemos utilizar a variável Z, que tem distribuição normal. 
Utilizamos a variável t, que tem distribuição T de Student. 
A situação é bem semelhante à da aula passada, quando tínhamos intervalos de confiança para 
a média. Se soubermos a variância populacional, usamos a variável Z (normal reduzida). Caso 
contrário, usamos a distribuição T. 
De resto, o passo a passo é bem semelhante. 
Primeiro passo: determinar os valores críticos da variável t. 
A tabela para a distribuição T está ao final desta apostila (tabela II). 
Na distribuição T precisamos do número de graus de liberdade. Vimos isto na aula anterior. 
−No caso da distribuição T, o número de graus de liberdade é igual a 1 n . Vamos consultar a 
tabela para 29 graus de liberdade e para o nível de significância de 5%. 
O valor de t correspondente é: 2,045. 
,045 1 2 __ =critico t 
,045 2 2 __ =critico t 
Segundo passo: obter a estatística teste. 
A estatística teste é o valor de t para o experimento realizado. 
Para o experimento feito, o valor de t vale: 
 
 
 
 
 
 
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X
s
X testet μ −=_ 
Onde 
Xs é o estimador de Xσ . 
Precisamos calcular o valor de 
Xs . A fórmula é (matéria da aula passada): 
2
30
1202 ===
n
ss XX
Agora obtemos o valor da estatística teste: 
X
s
X testet μ −=_ 
5
2
220 230_ =−=testet 
Terceiro passo: comparamos os valores críticos de t com a estatística teste. Verificamos que a 
estatística teste está fora do intervalo definido pelos valores críticos. Portanto, rejeitamos a 
hipótese H0. 
→ 
Resumo do teste da média quando a variância populacional é desconhecida. 
1º Passo: encontrar os valores críticos de t. Definir a região de aceitação e a região 
crítica. 
2º Passo: encontrar a estatística teste. Usar a fórmula: 
Xs
X testet μ −=_ 
3º Passo: ver se a estatística teste cai na região de aceitação ou na região crítica
EP 6 Trabalhamos em uma indústria. Precisamos saber se um dado produto resiste a uma 
temperatura de 200°C (para verificar se atende a alguns requisitos técnicos). Para tanto, 
selecionamos uma amostra de 100 produtos e o submetemos a temperaturas cada vez maiores,até que o produto comece a derreter. Para esta amostra de 100 produtos, a temperatura média 
na qual começou o derretimento foi de 195°C. A variância da amostra foi de 25 ºC2. 
Teste a hipótese de que a média da população de onde foi retirada a amostra seja de 200 °C, 
contra a hipótese alternativa de a média seja inferior a 200°C, para um nível de significância 
de 5%. 
Dados: 
,45 ) 0 ,645 10 ( =≤≤ ZP 
,05 ) 0 ,66 1 ( =− ≤tP 
Resolução. 
As hipóteses são: 
H0: 200μ
 
 
 
 
 
 
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HA: 200μ
Podemos usar direto a informação do enunciado ou podemos consultar a tabela da distribuição 
T para 99 graus de liberdade. 
E agora, cuidado! Não podemos consultar a coluna de nível de significância de 5%. Apesar do 
problema ter solicitado o nível de 5% ele não pode ser utilizado porque a tabela que consta ao 
final da apostila é para testes bilaterais. 
Se consultarmos a tabela para 99 graus de liberdade e nível de confiança de 5%, como se trata 
de uma tabela para o teste bilateral, saberemos que a área verde da figura abaixo será igual a 
95%. 
É isto que a tabela fornece. Ela indica que a probabilidade de t estar fora do intervalo de -1,98 
a 1,98 é igual ao nível de significância de 5%. É uma tabela para ser utilizada em testes 
bilaterais. Ela indica que a área da região crítica (=soma das duas áreas amarelas) é igual a 
0,05. Há duas regiões críticas. Uma para valores consideravelmente maiores que zero. Outra 
para valores consideravelmente menores que zero. 
Só que nosso teste é unilateral. Ele não tem duas áreas amarelas. Ele tem uma só. Queremos 
achar um valor de t crítico tal que a área verde da abaixo seja de 95%. 
No gráfico acima sim, temos apenas uma área de rejeição (área amarela). 
 
 
 
 
 
 
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Se a área verde é igual a 95%, a área amarela é 5%. 
Ou seja, nossa tarefa é achar um t_crítico tal que a área amarela da figura acima seja de 5%. 
Tal que à sua esquerda tenhamos 5% dos valores. 
Para acharmos o t_crítico, vamos consultar a tabela para 99 graus de liberdade e nível de 
confiança de 10% (sempre assim, quando o teste é unilateral e a tabela é para testes bilaterais, 
consultamos o dobro do nível de significância). Consultando a tabela, obtemos 1,66. 
Isto significa que a área verde da figura abaixo é de 0,9. 
O que a tabela da distribuição T nos indica é que a soma das duas áreas amarelas acima é 
0,10, que corresponde a um nível de significância de 10% em um teste bilateral. 
Só que nosso teste é unilateral. E o t crítico que procurávamos é exatamente -1,66, pois à sua 
esquerda temos 5% dos valores. 
Segundo passo: encontrar a estatística teste. 
X
s
X testet μ −=_ 
Precisamos encontrar 
Xs . 
 
 
 
 
 
 
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,5 0
100
252 ===
n
ss XX
Continuando o cálculo da estatística teste: 
10 
5, 0
200 195_ − =−=testet 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com o valor crítico. 
Verificamos que a estatística teste está além do valor crítico. Se a estatística teste assumisse 
valores até -1,66, consideraríamos que a temperatura média para a amostra não é 
significativamente menor que 200°C. Contudo a estatística teste foi de -10, número este 
abaixo de -1,66. Rejeitamos a hipótese H0 e consideramos que a população de onde foi 
retirada a amostra não atende à especificação de suportar temperaturas de 200°C. A estatística 
teste caiu na região amarela (região crítica). 
→ 
Testes unilaterais: só há uma região crítica; só há um valor crítico. 
Cuidado para as informações fornecidas na questão. Se a questão trouxer dados 
sobre o teste bilateral, é preciso adaptar a informação.
Texto para EC 1 e EC 2. 
Um pesquisador avaliou se a pressão sangüínea dos candidatos do último Concurso para um 
Tribunal de Contas se alterava no início da prova. Em condições normais, sem stress, os 
candidatos entre 18 e 32 anos apresentaram uma pressão sistólica média de 120 mm Hg. Após 
medir a pressão de 36 candidatos a cinco minutos do início da prova, foi encontrada a pressão 
sistólica média de 125,2 mm Hg com desvio padrão amostral de 12 mm Hg. Deve-se testar: 
120 :0 =μH 
120 :1 >μH 
EC 1 TCE RO 2007[CESGRANRIO] 
O valor calculado da estatística t é: 
(A) 2,60 
(B) 0,43 
(C) 0,01 
(D) – 0,43 
(E) – 2,60 
Resolução. 
Como não conhecemos o desvio-padrão da população, devemos utilizar o desvio-padrão 
amostral. Neste caso, em vez da distribuição normal, consultamos a tabela para a distribuição 
T, com 35 graus de liberdade (= 1 36 − ). 
 
 
 
 
 
 
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No caso específico desta questão, não precisamos fazer todo o teste de hipóteses. A questão 
apenas solicitou o cálculo da estatística teste. 
X
s
X testet μ−=_ 
Precisamos encontrar 
Xs . 
2
36
12 = ==
n
ss xX 
Continuando o cálculo da estatística teste: 
,6 2
2
1202, 125_ =−=testet 
Gabarito: A 
EC 2 TCE RO 2007[CESGRANRIO] 
Nos níveis de significância de 5% e 10%, é correto afirmar que a(o): 
(A) hipótese nula é aceita em ambos os níveis. 
(B) hipótese nula é rejeitada em ambos os níveis. 
(C) hipótese nula é rejeitada em 5% e aceita em 10%. 
(D) hipótese nula é aceita em 5% e rejeitada em 10%. 
(E) teste é inconclusivo. 
Resolução. 
Precisamos achar o valor crítico de t. A consulta deveria ser feita na tabela da distribuição T 
com 35 graus de liberdade. Ocorre que na prova da Cesgranrio não foi fornecida a linha 
equivalente a 35 graus de liberdade. De igual modo, na tabela constante ao final da aula, 
também não consta a linha para 35 graus de liberdade. 
Por isso, vamos tomar os valores mais próximos disponíveis na tabela (30 e 40 graus de 
liberdade). 
Primeiro caso: nível de significância de 5%. 
Queremos achar o valor de t0 tal que a área amarela da figura abaixo seja de 5% (pois o teste é 
unilateral). 
 
 
 
 
 
 
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Se o número de graus de liberdade fosse 30, teríamos: 0 ,t = 697 1 . 
Se o número de graus de liberdade fosse 40, teríamos: 0 ,t = 684 1 . 
Observem que, apesar de o nível de significância ser de 5%, consultamos a coluna de 10%, 
pois a tabela é para testes bilaterais. 
Como o número de graus de liberdade é 35 (que está entre 30 e 40), o valor crítico procurado 
está entre 697, 1 e 684 ,1 . 
Logo, a estatística teste, certamente, cairá na região crítica (área amarela). A hipótese nula 
deve ser rejeitada. 
Segundo caso: nível de significância de 10%. 
Aumentar o nível de significância é aumentar a área amarela. A área amarela passaria a ser de 
10%. 
Quando a área amarela era menor (tamanho 5%), a estatística teste caia na região amarela. 
Agora estamos aumentando a região crítica. Com isso, certamente, a estatística teste vai 
continuar caindo na região amarela. 
A hipótese nula será novamente rejeitada. 
Gabarito: B 
EC 3 SEFAZ RJ 2007 [FGV] 
Para a realização do teste de hipóteses Ho: μ = μo, contra H1: μ > μo, definimos como ERRO 
DO TIPO I: 
 
 
 
 
 
 
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Resolução:A questão foi anulada. Mas ainda é útil para revisarmos o tal do erro de tipo I. 
O erro do tipo I consiste em rejeitarmos a hipótese nula, dado que ela é verdadeira. A 
probabilidade de cometermos o erro de tipo I é chamada de nível de significância. Seu 
símbolo usual é α . 
Neste caso, rejeitaríamos a hipótese nula quando a média amostral para o experimento feito é 
maior que o valor crítico. Vamos chamá-lo de k . 
Isto ocorre quando: 
kX > 
Assim, a probabilidade do erro de tipo I ficaria: 
)( 0μμ => k XP 
E não há qualquer alternativa que contém esta expressão. A mais próxima é a letra B, que 
corresponde ao gabarito preliminar. 
Na verdade, a questão contém alguns erros. 
A primeira falha consiste em se referir a “erro do tipo I”. O erro de tipo I é simplesmente isso: 
rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Mas o que as alternativas tentaram 
apresentar foi a probabilidade de cometermos o erro de tipo I. 
Por causa desta falha, a questão foi anulada. 
Outra falha, não reconhecida pela banca, foi a que segue. 
Quando fazemos um teste de hipótese, a variável em estudo é a média amostral ( X ). É ela 
que pode assumir vários valores (quando pensamos nas infinitas amostras possíveis). Por isso, 
a probabilidade está relacionada justamente à variável X . 
As alternativas pretenderam definir probabilidades relacionadas à média populacional (μ ). 
Mas a média populacional não é aleatória. Ela não varia. Ela é um número, fixo, constante. 
Pode até ser desconhecido. Mas é constante. 
Por fim, a última falha foi na definição do que é que ocasiona a rejeição da hipótese nula. Ela 
será rejeitada quando X é maior que o valor crítico (e não maior que 0μ ). 
Gabarito: Questão anulada. 
EC 4 SEFAZ MS 2006 [FGV] 
Em um teste de hipóteses, a hipótese nula foi rejeitada no nível de 3%. Portanto, a hipótese 
nula: 
(A) será aceita no nível de 1%. 
(B) será aceita no nível de 5%. 
(C) pode ser aceita ou rejeitada no nível de 5%. 
(D) será rejeitada no nível de 1%. 
(E) será rejeitada no nível de 5%. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução. 
Vamos começar pela situação em que o nível de significância é de 3%. 
Neste caso, a área da região crítica é igual a 3%. 
Se a hipótese nula é rejeitada, então a estatística teste cai dentro da região crítica (área 
amarela da figura abaixo): 
Se aumentarmos o nível de significância, a região amarela ficará ainda maior. Portanto, com 
certeza, a estatística teste continuará caindo na região crítica, e continuaremos rejeitando a 
hipótese nula. Isto está descrito na letra E. Se o nível de significância sobe para 5%, 
certamente rejeitamos a hipótese nula. 
Se diminuirmos o nível de significância, duas coisas podem ocorrer. Podemos diminuir 
bastante, de tal modo que a estatística teste fique fora da região crítica. Neste caso, 
aceitaríamos a hipótese nula. 
Ou então poderíamos diminuir só um pouquinho, de tal modo que a estatística teste continue 
caindo na região crítica. 
Assim, não temos como saber, com certeza, o que ocorre quando o nível de significância é 
diminuído. Precisaríamos de mais informações. 
Gabarito: E 
EC 5 SEFAZ RJ 2009 [FGV] 
Uma empresa afirma que os pacotes de bala que ela produz pesam em média 25g. Para testar 
essa hipótese, foram selecionados ao acaso 16 pacotes produzidos pela empresa, registrados 
seus pesos X1, X2, ..., X16 e calculadas as estatísticas 
320
16
1
=∑
=i
iX ; 7360
16
1
2 =∑
=i
iX 
 
 
 
 
 
 
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O valor da estatística t (a ser comparado com o ponto desejado da distribuição t de Student) 
para o teste é: 
(A) –0,8. 
(B) –1,2. 
(C) –2,0. 
(D) –2,5. 
(E) –3,2. 
Resolução: 
Quando o desvio padrão da população não é conhecido, não temos como calcular o valor de 
Z. 
Neste caso, substituímos pelo desvio padrão da amostra. O resultado é que, em vez de 
trabalharmos com Z (normal padrão), usamos a variável t (distribuição T de Student). É bem 
parecido com o que vimos na aula passada, quando estudamos intervalos de confiança. 
No mais, é o mesmo passo a passo que estudamos anteriormente. 
Nesta questão, só temos como calcular o desvio-padrão amostral. Fica assim: 
==
∑
=
n
X
X
n
i
i
1 =
16
320 20 
A variância, calculada com “n” no denominador, fica: 
=−
∑
= 21
2) (
X
n
X
n
i
i
−
16
7360 202 
= 60 
Mas como se trata de uma variância amostral, devemos usar 1−n no denominador. Fazendo o 
ajuste: 
= ×= 60 
15
162s 64 
Logo: 
8=s 
Primeiro passo: determinar o valor crítico para a variável t (agora não é mais Z, pois não 
conhecemos o desvio padrão da população). 
A questão não forneceu dados para calcularmos o valor crítico. Isto é porque a questão não 
pediu para efetivamente realizarmos o teste de hipóteses. Ela só pediu o cálculo da estatística 
teste. 
Apenas para treinarmos, vamos supor que: 
 
 
 
 
 
 
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- o nível de significância é de 5%. 
- a hipótese nula é do tipo: 25 ≠μ
Neste caso, seria um teste bilateral. 
Haveria duas regiões críticas: aquelas com valores significativamente menores que 25 e 
aquela com valores significativamente maiores que 25. 
Ou seja: as regiões críticas estão nas duas extremidades da reta real (tanto à esquerda de 25, 
quanto à direita de 25). 
Como conseqüência, quando trabalhamos com a variável t, também teremos duas áreas 
críticas: uma à direita de zero, outra à esquerda de zero. 
Ou seja, procuramos por valores críticos tais que a soma das duas áreas amarelas da figura 
abaixo sejam iguais a 5%: 
As duas áreas amarelas definem a região crítica. Se a estatística teste cair nela, rejeitamos a 
hipótese nula. 
A área branca seria a região de aceitação. Se a estatística teste cair nela, aceitamos a hipótese 
nula. 
Vamos consultar a tabela colocada ao final da aula. 
Precisamos consultar a coluna para 5% e a linha para 15 graus de liberdade (= 1−n ). 
Consultando a tabela, temos: 
,131 2_ =críticot 
Ou seja, os valores 2,131 e -2,131 delimitam duas áreas amarelas, duas regiões críticas. Cada 
uma delas tem área de 2,5%. 
Segundo passo: calcular a estatística teste. 
X
s
X t μ −= 
Vimos na aula passada que: 
 
 
 
 
 
 
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n
ssX = = 2 4
8 = 
E a estatística teste fica: 
=teste t _ 5 ,2
2
25 20 − =−
Gabarito: D 
Para concluirmos o teste, vamos comparar a estatística teste com os valores críticos. 
Se a estatística teste estivesse entre -2,131 e 2,131, ela cairia na região de aceitação. Ou seja: 
nós aceitaríamos a hipótese nula. 
Como a estatística teste está fora do intervalo acima, então ela caiu em uma das regiões 
criticas. Na verdade, ela caiu na região crítica à esquerda de zero. Ela está além do valor 
,131 2 − . Com isso, devemos rejeitar a hipótese nula. 
EC 6 CGU 2008 [ESAF] 
Um fabricante divulga que a característica principal de seu produto tem uma média de 1.000 
unidades. Um pesquisador, duvidando desta afirmação, encontrou uma característica média de 
935 e desvio-padrão amostral de 130 examinando uma amostra aleatória simples de tamanho 
9 destes produtos. Calcule o valor mais próximo da estatística t para testar a hipótese nula de 
que a média da característica principal do produtoé 1 000, admitindo que a característica tem 
uma distribuição normal. 
a) -1,5. 
b) -1,78. 
c) -1,89. 
d) -1,96. 
e) -2,115. 
Resolução. 
O exercício nem pediu para fazermos o teste de hipóteses completo. Solicitou apenas o 
cálculo da estatística teste. 
Xs
X testet μ−=_ 
A média amostral é 935 ( = 935 X ). 
O desvio padrão amostral é 130 ( =130 s . 
O desvio padrão da média amostral é dado por: 
nX
σσ = 
 
 
 
 
 
 
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Quando não conhecemos o desvio padrão da população (σ ), o substituímos por sua 
estimativa ( s ). E em vez de termos o desvio padrão amostral ( Xσ ), calculamos sua estimativa 
( Xs ). Como conseqüência, em vez de utilizarmos a distribuição normal, utilizamos a 
distribuição T. 
3
130 ==
n
ssX 
Substituindo todos os valores: 
Xs
X testet μ−=_ 
,5 1 
130
3 65
3 
130
1000 935_ − =× −=−=testet 
Gabarito: A. 
EC 7 SEFAZ/SP 2006 [FCC] 
Seja X uma variável aleatória representando o valor arrecadado de um determinado tributo. 
Suponha que X tem distribuição normal (população de tamanho infinito) com média μ e 
desvio padrão de 500 reais. Desejando-se testar 
H0: 000 .1 =μ reais (hipótese nula) 
H1: 000 .1 ≠μ reais (hipótese alternativa) 
tomou-se uma amostra aleatória de 400 valores de X, obtendo-se para a média amostral o 
valor de 1.060 reais. Seja α o nível de significância do teste e suponha que a região de 
rejeição de H0 é { }2 /αZ Z > , onde 2 /αZ representa o escore da curva normal padrão tal que 
αα> =)( 2 /Z ZP . 
Tem-se que: 
a) Se H0 foi rejeitada, existe um nível de significância β (β > ) tal que H0 não seria 
rejeitada. 
b) Para qualquer nível de significância α , H0 será rejeitada, uma vez que 1000 1060 ≠ . 
c) H0 não será rejeitada se 32 / <αZ 
d) H0 será rejeitada se 22 / =αZ 
e) Para 22 / >αZ , H0 não será rejeitada 
Resolução. 
O exercício disse que os valores de 2 /αZ± são tais que a área amarela da figura abaixo é igual 
a α . 
 
 
 
 
 
 
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Portanto, os valores de 2 /αZ ± são justamente os valores críticos. 
Vamos calcular a estatística teste. 
X
X testeZ σ
μ−=_ 
Sabemos que: 
25 
400
500 = ==
nX
σσ 
Ficamos com: 
X
X testeZ σ
μ−=_ 
,4 2
25
1000 1060_ =−=testeZ 
Ainda não sabemos se a hipótese nula deve ser rejeitada ou não porque o exercício não 
informou qual o critério de decisão. Vamos às alternativas. 
Letra A. 
A questão disse que a hipótese nula foi rejeitada. Ou seja, a estatística teste caiu dentro da 
região amarela. Concluímos que teste Z _ é maior que 2 /αZ . 
A partir deste quadro, a questão afirma que, se aumentássemos o nível de significância, a 
hipótese nula poderia não ser rejeitada. 
Isto é falso. Se aumentamos o nível de significância, aumentamos a área amarela. A região 
crítica é ainda maior, o que faz com que a estatística teste fique ainda mais afastada da região 
verde. 
 
 
 
 
 
 
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Letra B 
Afirma-se que, para qualquer nível de significância, a hipótese nula será rejeitada. Isto é falso. 
Se α for tal que 2 /αZ é maior que 2,4, então a hipótese nula será aceita. Se 2 /αZ for maior 
que 2,4, a estatística teste cai dentro da região verde. 
Letra C. 
Alternativa falsa. Não são todos os valores de 2 /αZ inferiores a 3 que nos fazem aceitar a 
hipótese nula. Por exemplo, se 2 /αZ for igual a 2, então a estatística teste (=2,4) fica fora da 
região de aceitação. 
Letra D. 
Se 2 /αZ for igual a 2, então a estatística teste cai fora da região verde. A estatística teste fica 
na região crítica (área amarela) e a hipótese é rejeitada. 
Letra E 
Alternativa falsa. Não são todos os valores de 2 /αZ maiores que 2 que nos fazem aceitar a 
hipótese nula. Por exemplo, se 2 /αZ for igual a 2,1, então a estatística teste cai na região 
crítica. 
Gabarito: D. 
EC 8 Petrobrás – 2007 [CESPE] 
A taxa de octano existente em determinado combustível é uma variável aleatória X cuja 
distribuição possui média μ e desvio-padrão σ . Uma amostra aleatória simples fornecida por 
dez distribuidores diferentes desse combustível resultou nos valores apresentados na tabela a 
seguir. 
Amostra Taxa de octano (em 
%) 
1 90 
2 96 
3 92 
4 87 
5 85 
6 85 
7 90 
8 92 
9 93 
10 90 
Considerando as informações acima, julgue os itens subseqüentes. 
1. O desvio-padrão amostral da taxa de octano é inferior a 4%. 
 
 
 
 
 
 
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2. A estimativa do erro-padrão da média amostral é superior a 2%. 
3. Caso seja utilizado o teste t para testar as hipóteses H0: % 89≥μ versus H1: % 89μ é 
correto afirmar que a hipótese nula não seria rejeitada ao se fixar níveis de significância 
inferiores a 50%. 
Resolução. 
Questão do CESPE. Muito boa para revisarmos assuntos de aulas anteriores. 
Primeiro item. 
É cobrado o desvio padrão amostral. Vamos colocar os valores numa tabela de freqüências. 
Valores de Taxa de Octano 
(%) 
Freqüência 
85 2 
87 1 
90 3 
92 2 
93 1 
96 1 
Total 10 
Antes de calcular o desvio padrão, precisamos saber a média da amostra. 
Para obter a média, fazemos a coluna auxiliar de valor vezes freqüência, somamos seus 
resultados e dividimos por 10 (são 10 valores). 
Valores de Taxa de Octano ( X ) Freqüência ( f ) fX 
× 
85 2 170 
87 1 87 
90 3 270 
92 2 184 
93 1 93 
96 1 96 
 
900 
A média amostral fica: 
90 
10
= 900 = X 
Tendo a média, podemos achar os desvios de cada valor em relação à média aritmética e, a 
partir deles, calcular a variância amostral. 
Valores de Taxa 
de Octano ( X ) 
Quadrado do desvio em 
Relação à média ( 2e ) 
Freqüência ( f ) fe ×2 
85 25 2 50 
87 9 1 9 
 
 
 
 
 
 
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90 0 3 0 
92 4 2 8 
93 9 1 9 
96 36 1 36 
Total 83 10 112 
Foi pedida a variância amostral. 
A fórmula estudada é: 
1 10
1122
− =s 
Observe o ‘n-1’ no denominador. Sempre que se falar em variância amostral, utilize o 
denominador ‘n-1’. 
22 % 44, 12
1 10
112 =−=s 
O desvio padrão amostral, é dado por: 
53% , 3(%) 44, 12 × 2 ≈ =s 
Ressalto que não era necessário fazer esta conta de raiz quadrada. Não se pediu o valor do 
desvio padrão. Apenas precisávamos saber se era menor que 4% ou não. Como 12,44 é menor 
que 16, a raiz quadrada de 12,44 é menor que 4. 
O item está correto. 
Gabarito: certo. 
Segundo item. 
Pede-se o desvio padrão da média amostral. Isto é matéria da aula anterior. Vimos que a 
média amostral ( X ) pode ser vista como uma variável aleatória de média μ e desvio padrão 
dado por: 
nX
σσ = 
Neste exercício não temos como calcular o desvio padrão de X porque não sabemos qual o 
desvio padrão da população (σ ). Podemos apenas calcular a sua estimativa, substituindo o 
desvio padrão da população pelo desvio padrão da amostra ( s ). E a estimativa do desvio 
padrão de X fica: 
12% , 1(%) 244, 1
10
(%) 44, 12 2
2
≈×=×= = 
n
ssX 
O item está errado, pois a estimativa do desvio padrão da média amostral é inferior a 2%. 
Novamente não era necessário fazer a conta da raiz quadrada. Bastava ver que 1,244 é menor 
que 4. Portanto,a raiz quadrada de 1,244 é menor que 2. 
Gabarito: errado. 
 
 
 
 
 
 
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Terceiro item. 
Agora sim, tratamos do assunto da aula de hoje: teste de hipóteses com distribuição T. 
Primeiro passo: encontrar o valor crítico de t. 
Se o nível de confiança fosse de 50% ( % 50 α ) a região crítica seria de 50%. E a região de 
aceitação também seria de 50%. Essas duas regiões estão representadas no gráfico abaixo: 
Só que o nível de significância é inferior a 50%. 
Vamos considerar um nível de significância um pouco menor que 50%. Seria o caso em que a 
região amarela é um pouco menor que a região verde. Ficaríamos com o seguinte gráfico: 
O valor crítico de t está justamente na divisa entre as regiões de aceitação (verde) e de 
rejeição (amarela). O valor de t_crítico estaria um pouco à esquerda de zero. 
0_ <crítico t 
Segundo passo: calcular a estatística teste. 
Xs
X testet μ−=_ 
 
 
 
 
 
 
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Nos itens anteriores nós calculamos a média amostral. 
90=X 
Portanto: 
Xs
X testet μ −=_ 
0 8990 _ >−=
Xs
testet 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com o valor crítico. 
A estatística teste é maior que zero. O valor crítico é menor que zero. Portanto a estatística 
este está na região verde do gráfico abaixo (região de aceitação). 
Conclusão: aceitamos a hipótese nula. O item está correto, pois, quando o nível de 
significância é inferior a 50%, nós não rejeitamos a hipótese nula. 
Gabarito: certo. 
EC 9 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2007 [CESPE] 
Um estudo foi realizado por uma prefeitura acerca da qualidade do atendimento no hospital 
municipal da cidade. Com base em uma amostra de 100 dias, foram produzidas as seguintes 
estatísticas referentes ao número diário de pacientes atendidos. 
média = 30 
variância amostral = 100 
mínimo = 0 
primeiro quartil = 10 
segundo quartil = 25 
terceiro quartil = 40 
máximo = 60. 
 
 
 
 
 
 
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Com relação ao texto e considerando que a amostra de 100 dias seja aleatória simples, julgue 
os próximos itens. 
1. Considere as hipóteses nula e alternativa, dadas respectivamente por H0: μ = 25 e HA: μ ≠ 
25, em que μ representa a média populacional. Pelo teste t, há fortes evidências para se 
rejeitar H0. 
Resolução. 
A pergunta é sobre teste de hipóteses com distribuição T. Note que o teste é bilateral. São 
duas regiões críticas. Há dois valores críticos para t. 
Primeiro passo: calcular os valores críticos de t. 
Não temos como calcular tais valores porque o enunciado não informou qual o nível de 
significância (valor de α ). Ou seja, o enunciado não disse qual o critério de decisão. 
Segundo passo: calcular a estatística teste. 
X
s
X testet μ −=_ 
1 
100
10 = ==
n
ssX 
A média amostral foi dada no enunciado. 
= 30 X 
A média populacional que estamos testando é 25. 
25μ
A estatística teste fica: 
5
1
2530_ =−=testet 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com os valores críticos. 
Aqui vem a diferença da questão. Não foi fornecida nenhuma tabela de valores para a 
distribuição T. Não foi fornecido nenhum critério de decisão. Creio que a questão tenha 
pretendido apenas ver se o candidato tinha noção do comportamento da distribuição T que, 
para uma amostra de tamanho 100 (amostra grande), é bem semelhante à distribuição normal. 
Quando o valor de n é elevado (quando as amostras são grandes) a distribuição T é 
praticamente igual à distribuição normal. 
No caso da distribuição normal, o intervalo entre -1,96 e 1,96 já abrange 95% dos valores. 
Vimos isto várias e várias vezes. 
Note que, em todas as tabelas de distribuição normal fornecidas ao final das aulas, só 
indicamos valores até 3. Isto porque, apesar da distribuição assumir valores em toda a reta 
real, o intervalo entre -3 e 3 contém 99,8% dos valores. 
 
 
 
 
 
 
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O que estou querendo dizer é que, para variáveis reduzidas (seja normal, seja t) o valor 5 é 
muito distante de zero. 
Para se ter uma idéia, consulte a tabela II, fornecida ao final desta aula, para 99 graus de 
liberdade (é o número de graus de liberdade dado no exercício). Veja que o intervalo entre – 
2,871 e 2,871 contém 99,5% dos valores (nível de significância de 0,5%). 
Se o nível de confiança fosse de apenas 0,5% (um valor extremamente baixo), o valor crítico 
seria 2,871. Num caso extremo deste, em que o nível de significância é muitíssimo baixo, nós 
só rejeitamos a hipótese nula em casos realmente muito extremos. 
E mesmo que o nível de significância fosse de 0,5%, ainda sim nós rejeitaríamos a hipótese 
dada no exercício. Vejamos: 
,871 1 2 __ =crítico t 
,871 2 2 __ =crítico t 
 
A área verde, entre os valores -2,87 e 2,87, corresponde à região de aceitação. As regiões 
amarelas (praticamente imperceptíveis), seriam as regiões críticas. Mesmo nesta situação 
exagerada, rejeitaríamos a hipótese nula, pois a estatística teste (igual a 5) está fora da região 
verde. 
Portanto, mesmo sem saber qual o valor do nível de significância, mesmo sem consultar a 
tabela da distribuição T, temos fortes indícios de que a hipótese nula deva ser rejeitada. O 
item está correto. 
Gabarito: certo 
EC 10 BACEN/2006 [FCC] 
Uma amostra aleatória de 100 valores de aluguéis em uma cidade forneceu um valor médio de 
R$ 600,00. O desvio padrão da população, considerada normal e de tamanho infinito, é de R$ 
250,00. Deseja-se saber se o valor médio encontrado na amostra é superior ao valor de R$ 
550,00, que se supõe ser a verdadeira média, ao nível de significância de α . Seja αZ o escore 
da curva normal padrão tal que αα => )( Z ZP , H0 a hipótese nula do teste ( 550μ ). 
Sabendo-se que H0 foi rejeitada, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
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a) o valor do escore reduzido referente ao valor médio encontrado para a amostra e necessário 
para comparação com Zα é igual a 0,2. 
b) 2 >αZ 
c) 2 <αZ 
d) Para qualquer nível de significância H0 seria rejeitada, pois 600 > 550. 
e) A um nível de significância β , β > , H0 não teria sido rejeitada 
Resolução. 
O teste é unilateral. Só rejeitamos a hipótese nula se o valor da média amostral for 
consideravelmente maior que R$ 550. Isso implica em valores de Z significativamente 
maiores que zero. 
Primeiro passo: determinar o valor crítico. 
O exercício já informou que o valor crítico é αZ . Ou seja, αZ é tal que a área amarela da 
figura abaixo é igual a α . 
Segundo passo: determinar a estatística teste. 
X
X testeZ σ
μ −=_ 
25 
10
250 = ==
nX
σσ 
2
25
550600_ =−=testeZ 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com o valor crítico. 
Como a hipótese nula foi rejeitada, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
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crítico Zteste Z __ > 
α> Z 2 
2<αZ 
Portanto a alternativa C está correta, pois afirma que 2<αZ . 
Gabarito: C 
EC 11 BACEN/2006 [FCC] 
Uma amostra aleatória de 9 valores de salários extraída de uma população, consideradanormal e de tamanho infinito, apresentou uma média igual a R$ 800,00 com um desvio 
padrão igual a R$ 120,00. Os registros históricos indicam que a média dos salários da 
população é igual a R$ 740,00. Deseja-se testar a hipótese, ao nível de significância α , se o 
valor da média verificada na amostra difere do valor de R$ 740,00. Seja H0 a hipótese nula do 
teste ( = 740 μ ), H1 a hipótese alternativa ( 740μ ) e 02 / >αt o quantil da distribuição ‘t’ de 
Student, no nível de significância α para testes bicaudais com 8 graus de liberdade. Sabendo-
se que H0 foi rejeitada, tem-se que: 
a) o valor da variável do teste t (t calculado) obtido através da amostra e necessário para a 
comparação com 2 /αt − e 2 /αt é igual a 0,5. 
b) para qualquer nível de significância H0 seria rejeitada, pois 0 )740800 ( ≠−
,c) 5 12 / >αt 
d) 5 , 12 / <αt 
e) a um nível de significância β , β > , H0 não teria sido rejeitada. 
Resolução. 
Teste bicaudal é sinônimo de teste bilateral. 
Primeiro passo: determinar o valor crítico. 
O exercício já informou que os valores críticos são 2 /αt− e 2 /αt 
Segundo passo: determinar a estatística teste. 
40 
3
120 = ==
n
ssX 
X
s
X testet μ −=_ 
,5 1
40
740800_ =−=testet 
 
 
 
 
 
 
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Terceiro passo: comparar a estatística teste com os valores críticos. 
Como a hipótese nula foi rejeitada, então a estatística teste está fora do intervalo entre 2 /αt− e 
2 /αt . 
Como a estatística teste é maior que zero, para que ela esteja fora do intervalo acima, tem-se 
que: 2 /_ αt testet > 
,5 1,5 1 2 /2 / <⇒ > α α tt 
Gabarito: D. 
EC 12 MP RO 2005 [CESGRANRIO] 
Um teste de hipótese rejeitou a hipótese nula H0 no nível de significância de 5%. O que 
aconteceria com H0 nos níveis de significância de 1% e 10%? 
Resolução. 
Ao nível de 5%, a hipótese nula foi rejeitada. Se aumentarmos o nível de significância para 
10%, isto implica que a região crítica ficará ainda maior. Ou seja, a hipótese nula continuará 
sendo rejeitada. 
Se reduzirmos o nível de significância para 1%, a região crítica ficará menor. Neste caso, não 
temos como saber qual o resultado do teste. Pode ser que a região crítica fique tão pequena a 
ponto de não abranger a estatística teste, o que implica em aceitar a hipótese nula. 
Mas pode ser também que a área crítica continue abrangendo a estatística teste, o que 
significa que devemos rejeitar a hipótese nula. 
Gabarito: B 
EC 13 CAPES 2008 [CESGRANRIO] 
Considere as asserções a seguir. 
A região de rejeição de um teste de hipóteses é obtida sob a suposição de que a hipótese da 
nulidade (H0) é verdadeira. 
PORQUE 
Em testes de hipóteses, o erro do tipo I é aquele cometido ao se rejeitar a hipótese da nulidade 
(H0) quando esta é verdadeira. 
Analisando-se as asserções, conclui-se que 
(A) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. 
 
 
 
 
 
 
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(B) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa correta da primeira. 
(C) a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa. 
(D) a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira. 
(E) a primeira e a segunda asserções são falsas. 
Resolução. 
A primeira frase está correta. A região crítica é obtida sob a suposição de que a hipótese nula 
é verdadeira. 
A segunda frase está correta. O erro do tipo I é aquele que ocorre quando rejeitamos a 
hipótese nula, dada que ela é verdadeira. 
A segunda frase não justifica a primeira. É convencionado que a região crítica seja definida 
sob a suposição de que a hipótese nula seja verdadeira. Com isso, a área da região crítica 
acaba coincidindo com o valor da probabilidade de se cometer o erro do tipo I. Mas o simples 
fato de o erro de tipo I ser aquele em que rejeitamos a hipótese nula, quando ela é verdadeira, 
em nada justifica a área a ser tomada como região crítica. 
Seria possível, por exemplo, que a teoria tivesse adotado outra convenção. Seria possível que 
a região crítica fosse definida com base no erro do tipo II. A região crítica, nesta situação, 
coincidiria com o valor de β . Nesta situação “inventada”, a probabilidade de se cometer o 
erro do tipo I não mais seria igual à área da região crítica. 
Gabarito: B 
III. P-VALOR 
EC 14 IPEA 2004 [ESAF] 
Um fabricante de lanternas operadas com gás butano anuncia que o reservatório de gás de seu 
produto tem duração esperada µ de pelo menos 40 horas. Face à reclamação de alguns 
consumidores, uma agência independente resolve verificar a veracidade da afirmação do 
fabricante por meio do teste estatístico da hipótese H0: µ≥40 contra a alternativa HA: µ < 40 
com controle do erro do tipo I em 5%. Uma amostra aleatória de 49 reservatórios produziu o 
valor médio X de 38 horas. Suponha que a distribuição dos tempos de duração do gás seja 
aproximadamente normal com desvio padrão de 7 horas. 
A tabela abaixo dá os valores da função de distribuição F(Z) da normal padrão para alguns 
valores selecionados de Z. 
Z F(Z) 
0,34 0,633 
0,54 0,705 
0,64 0,739 
2,00 0,977 
3,00 0,999
Assinale a opção que dá o valor probabilístico (p-valor) do teste constituído com base na 
estatística 40 −X 
 
 
 
 
 
 
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a) 5% 
b) 2,3% 
c) 3% 
d) 4% 
e) 2,5% 
Resolução. 
Pede-se o p-valor. 
Esta questão está aí justamente para falarmos deste tal p-valor (ou probabilidade de 
significância; ou ainda, nível descritivo). É um termo que vez ou outra aparece em testes de 
hipóteses. 
Uma definição do p-valor seria: a probabilidade de a variável reduzida assumir valores iguais 
ou mais extremos do que a estatística teste observada, dado que a hipótese nula é verdadeira. 
Entendeu? 
Pois é, a definição pode não ser muito clara à primeira vista. Creio que fica mais fácil vermos, 
no exercício, o que é o tal do p-valor. 
Uma forma mais fácil de entender é pensarmos em áreas. 
Vimos que a área delimitada pelo valor crítico é igual ao nível de significância. Assim, se o 
nível de significância é de 5%, o valor crítico delimita uma área de 5%. 
Aqui é parecido. 
O p-valor seria a área delimitada pela estatística teste. 
Se o p-valor é de 4%, então a estatística teste delimita uma área de 4%. É isso. 
Vamos fazer o teste de hipóteses indicado na questão. 
Notem que se trata de um teste unilateral. Só há uma região crítica. 
Primeiro passo: calcular o valor crítico de Z. É o valor tal que a região de aceitação seja de 
95% e a região crítica seja de 5%. O exercício não forneceu informações para calcular este 
valor. É porque não precisa. Mas fica a informação de que este valor é igual a -1,645. 
 
 
 
 
 
 
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,645 1_ =crítico Z 
Segundo passo: calcular a estatística teste. 
X
X testeZ σ
μ −=_ 
X
X testeZ σ
μ −=_ 
O exercício disse que 38 =X . Disse também que 7 σ . Podemos calcular o desvio padrão 
da média amostral. 
1 
49
7 = ==
nX
σσ 
X
X testeZ σ
μ −=_ 
2
1
40 38_ − =−=testeZ 
Terceiro passo: comparar a estatística teste com o valor crítico. 
A estatística teste é menor que o valor crítico. Ela cai na área amarela (área crítica). 
Rejeitamos a hipótese nula. 
 
 
 
 
 
 
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Por que rejeitamos a hipótese nula? Porque a estatística teste caiu na área crítica. 
Aceitaríamos a hipótese nula para valores até -1,645. Este valor é considerado crítico. Valores 
além dele (ou seja, mais extremos que ele) nos fazem rejeitar a hipótese nula. E foi 
exatamente isto que aconteceu. O valor -2 está além de -1,645. É um valor significativamente 
menor que zero. 
Supondo que a hipótese nula seja verdadeira, qual a probabilidade de obtermos valores, para a 
variável reduzida, menores ou iguais a -2? 
Queremos saber a área abaixo da curva à esquerda de -2. Queremos a área vermelha da figura 
abaixo: 
Esta probabilidade é justamente o p-valor. Supondo que a hipótese nula seja verdadeira, é a 
probabilidade de Z assumir valores iguais ou mais extremos que a estatística teste ( 2 = ). 
Neste caso, é a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 2 − . 
Em outras palavras: é a área delimitada pela estatística teste. 
Agora sim vamos utilizar a tabela fornecida no exercício. Fomos informados que a função 
distribuição para Z igual a 2 é 0,977. Ou seja, a probabilidade de Z assumir valores menores 
ou iguais a 2 é de 97,7%. 
 
 
 
 
 
 
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Portanto, a probabilidade de Z assumir valores maiores que 2 é de 2,3%. Como a função 
densidade de probabilidade da variável normal é simétrica, a probabilidade de Z assumir 
valores menores que -2 também é de 2,3%. 
Portanto o p-valor é de 2,3%. 
Gabarito: B. 
EC 15 IPEA 2004. [ESAF - adaptada] 
Assinale a opção que dá o valor do poder do teste estatístico descrito na questão anterior 
quando μ =39 horas. 
a) 50% 
b) 10% 
c) 5% 
d) 26,1% 
e) 30,2% 
[dados: %) 95 ,645 1 ( =≤ZP ] 
Resolução. 
A questão original não informou que % 95645) , 1( =≤Z P . Como este dado é importante para 
a resolução da questão, eu acrescentei tal informação. Não tenho o gabarito oficial definitivo 
para saber se a falta desta informação ocasionou a anulação da questão. 
Como a média da população é 39, já sabemos que a hipótese nula é falsa. Neste caso, é 
possível que seja cometido o erro de tipo II (aceitar a hipótese nula, dado que ela é falsa). 
Já o poder do teste consiste na probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula, dado que ela é 
falsa. 
Rejeitaremos a hipótese nula se a estatística teste for menor que -1,645 (conforme resolução 
da questão anterior, em que utilizamos o fato de que % 95645) , 1( =≤Z P ). A estatística teste 
era obtida da seguinte forma: 
1
40_ −= XtesteZ 
Para que a estatística teste seja menor que -1,645, devemos ter: 
,645 1
1
40 − <−X 
X 38,355 
Qual a probabilidade de X ser menor que 38,355? 
Bem, sabemos que X tem média igual à média da população (=39) e desvio padrão dado por: 
1 
49
7 = ==
nX
σσ 
 
 
 
 
 
 
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Logo, para sabermos a probabilidade de X ser menor que 38,355, basta encontrarmos o valor 
correspondente da variável normal reduzida. 
,64 645 0 0, 
1
355 39 , 38 − ≅− =−= −=
X
X Z σ
μ
 
Da tabela fornecida, temos que: 
739 ,) 0 ,64 0 ( =≤Z P 
Logo: 
,261 739 0 , 0),64 1 0 ( = =>ZP 
Portanto: 
,261 ),64 0 0( = <ZP 
Assim, a probabilidade de Z ser menor que -0,64 é de 26,1%. 
Consequentemente, a probabilidade de X ser menor que 38,355 é, também, de 26,1%. 
E quando isso acontece, ou seja, quando X é menor que 38,355, nós rejeitamos a hipótese 
nula. 
Portanto, a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula, dado que a média populacional é 39, 
é de 26,1% 
Gabarito: D 
EC 16 SEFAZ MS 2006 [FGV] 
Um teste de hipótese apresentou p-valor igual a 0,03. Portanto, nos níveis de significância de 
1% e 5%, respectivamente, a hipótese nula: 
a) deve ser aceita e aceita 
b) deve ser aceita e rejeitada 
c) deve ser rejeitada e aceita 
d) deve ser rejeitada e rejeitada 
e) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a hipótese ser simples ou não. 
Resolução. 
Vamos desenhar alguns gráficos da função densidade de probabilidade (fdp) da variável 
normal para entendermos melhor o problema. 
Embora o problema não tenha dito, vamos supor que se trata de um teste unilateral. Só para 
facilitar o desenho. Mas para o teste bilateral o raciocínio seria o mesmo. 
Vamos primeiro considerar o nível de significância de 1%. Neste primeiro caso, vamos 
chamar o valor crítico de Z_crítico_1. 
Este valor é tal que a área crítica (área amarela) seja igual a 0,01. 
 
 
 
 
 
 
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Do jeito que desenhamos, a hipótese alternativa é do tipo k μ (a média é menor que um 
dado valor). 
A estatística teste obtida é tal que a área à sua esquerda é de 0,03. É justamente o p-valor. Ou 
seja, a probabilidade de obtermos um valor tão extremo quanto a estatística teste é de 3%. A 
área vermelha da figura abaixo é igual a 0,03. 
Sobrepondo as duas figuras, temos: 
 
 
 
 
 
 
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A estatística teste cai fora da região amarela (região crítica). Portanto, devemos aceitar a 
hipótese nula. Isto ocorre porque a área amarela está contida na área vermelha. 
Um resumo de tudo o que fizemos pode ser assim: se o p-valor for maior que o nível de 
significância, devemos aceitar a hipótese nula. 
Vamos para o segundo caso. Agora o nível de significância é de 5%. A região crítica (área 
amarela) é maior. 
Agora o valor crítico será Z_crítico_2. 
A área amarela (região crítica), agora, é igual a 0,05. 
O p-valor continua sendo o mesmo. Portanto, a área à esquerda da estatística teste é de 3%. 
 
 
 
 
 
 
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Juntando as duas figuras: 
A estatística teste cai dentro da região crítica. Rejeitamos a hipótese nula. Isto porque a região 
vermelha está contida na região amarela. Resumindo: sempre que o p-valor for menor que o 
nível de significância, rejeitamos a hipótese nula. 
Gabarito: B. 
→ 
Se o p-valor for maior que o nível de significância, devemos aceitar a hipótese nula. 
Sempre que o p-valor for menor que o nível de significância, rejeitamos a hipótese 
nula. 
 
 
 
 
 
 
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EC 17 MPU 2004 [ESAF] 
Considere o teste da hipótese H: μ =100 contra alternativa A:μ ≠ 100 em uma amostra da 
normal com média μ e variância σ2. O valor da estatística teste t com distribuição de Student 
sob a hipótese H: μ =100 é de –1,7864 e sabe-se que P(t ≥ 1,7864) = 0,0446. 
Suponha que a probabilidade de erro do tipo I esteja sendo controlada em 5%. Assinale a 
resposta correta. 
a) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua H :μ = 100. 
b) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua A:μ ≠ 100. 
c) Como o valor probabilístico do teste é 0,0892 não há evidência para rejeitar H :μ = 100. 
d) Como o valor probabilístico do teste é 0,0223 conclua A:μ ≠ 100. 
e) Não se pode tirar nenhuma conclusão pois, o tamanho da amostra, a média amostral e o 
desvio padrão amostral não foram dados. 
Resolução. 
As hipóteses são: