AP1 - PC - 2019.2-Gabarito

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AP1 – 2019-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
P á g i n a 1 de 7 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [1,2] Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2. Esse polinômio tem uma raiz 
racional não inteira, encontre essa raiz . Para justificar sua resposta, deixe escritas as suas contas. 
Fatore o polinômio 𝑝(𝑥) em ℝ , isto é, escreva 𝑝(𝑥) como um produto de fatores lineares (tipo 𝒂𝒙 + 𝒃) 
e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄, que não possui raízes reais). Justifique sua 
fatoração, mostrando como encontrou as raízes desse polinômio, apresente as contas que o levou à 
fatoração apresentada. Sem isso, a questão não será considerada. 
RESOLUÇÃO: 
As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2 são os divisores de −2, o termo 
independente, que são ±1 , ±2 , divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, −2 , que 
são ±1 ,±2 . 
Assim, as possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2 são: 
±1 , ±2 , ±
1
2
 . 
Verificando se 𝑥 = −
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥) : 
𝑝 (−
1
2
) = −2 ∙ (−
1
2
)
3
+ (−
1
2
)
2
− 3 ∙ (−
1
2
) − 2 = −2 ∙ (−
1
8
) + 
1
4
 + 
3
2
− 2 = 
 = 
1
4
 + 
1
4
 + 
3
2
 − 2 = 
1
2
 + 
3
2
− 2 = 2 − 2 = 0. 
Como 𝑝 (−
1
2
) = 0 , então 𝑥 = −
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Encontrando 𝑥 = −
1
2
 como raiz de 𝑝(𝑥) , podemos dividir 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2 
por 𝑥 − (−
1
2
 ) = 𝑥 +
1
2
 , usando, por exemplo, o dispositivo de Briot Ruffini: 
Assim, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 +
1
2
) (−2𝑥2 + 2𝑥 − 4) = −2(𝑥 +
1
2
) (𝑥2 − 𝑥 + 2). 
Analisando o trinômio do segundo grau 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 , observamos que o discriminante 
∆ = (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −7 < 0 , concluímos, portanto, que este trinômio não admite raízes reais. 
E assim, 𝑝(𝑥) se fatora em ℝ da seguinte forma: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 +
1
2
) (−2𝑥2 + 2𝑥 − 4) ou 𝑝(𝑥) = −2(𝑥 +
1
2
) (𝑥2 − 𝑥 + 2) ou 
𝑝(𝑥) = −(2𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 2) 
 
 −2 1 −3 −2 
−
1
2
 
−2 
−2 ∙ (−
1
2
) + 1
= 2 
2 ∙ (−
1
2
) − 3 = 
−4 
−4 ∙ (−
1
2
) − 2 = 
0 
AP1 – 2019-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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Questão 2 [1,5] Considere a função 𝑟(𝑥) =
√𝑥2+𝑥−2 
(𝑥−3)∙(−𝑥2+2𝑥−3)
. 
Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) . Dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união de intervalos 
disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum). 
RESOLUÇÃO: 
Para que 𝑟(𝑥) possa ser calculada é preciso que: 
▪ o radicando seja positivo ou nulo, 𝑥2 + 𝑥 − 2 ≥ 0 
▪ o denominador seja diferente de zero, (𝑥 − 3) ∙ (−𝑥2 + 2𝑥 − 3) ≠ 0. 
Resolvendo as restrições: 
▪ Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 2. 
Δ = 12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) = 1 + 8 = 9 > 0, 
logo o trinômio possui duas raízes reais distintas que são as abscissas dos pontos onde o gráfico, que 
é uma parábola, corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−1±√12−4∙1∙(−2)
2∙1
=
−1±√9
2
=
−1±3
2
. 
Logo 𝑥1 =
−4
2
= −2 e 𝑥2 =
2
2
= 1. 
Como o coeficiente do termo 𝑥2, 𝑎 = 1 > 0, a parábola tem concavidade para cima e assim 𝑥2 +
𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1 . 
▪ (𝑥 − 3) ∙ (−𝑥2 + 2𝑥 − 3) ≠ 0 ⟺ 𝑥 − 3 ≠ 0 e − 𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≠ 0 . 
Temos que: 
✓ 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 . 
✓ O discriminante do trinômio do segundo grau 𝒚 = −𝑥2 + 2𝑥 − 3 é 
Δ = 22 − 4 ∙ (−1) ∙ (−3) = 4 − 12 = −8 < 0. Portanto, como o coeficiente do termo 𝑥2, 𝑎 =
−1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo e não tem raízes reais. Assim 𝑥2 + 𝑥 − 2 < 0 para 
todo 𝑥 ∈ ℝ e, portanto 𝑥2 + 𝑥 − 2 ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Portanto, 
𝑥 − 3 ≠ 0 e − 𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 3 
Logo, 
𝑫𝒐𝒎(𝒓) = [𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 1] e [ 𝑥 ≠ 3 ] = 
 𝑥 ≤ −2 ou (𝑥 ≥ 1 e 𝑥 ≠ 3) = (−∞ , −2] ∪ [1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . 
 
 
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Nas questões 3 a 5, considere o trinômio do segundo grau 𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 e a função 
 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 . 
Questão 3 [1,0] Use o método de completar quadrado para determinar o vértice 𝐴(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) da 
parábola que representa o gráfico de 𝐸(𝑥) . Dê a concavidade da parábola. Usando a forma canônica de 
𝐸(𝑥), calcule se possível as suas raízes. Encontre a interseção dessa parábola com o eixo 𝒚. 
RESOLUÇÃO: 
Completando o quadrado: 
𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = −2(𝑥2 − 2𝑥) + 6 = −2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1 − 1) + 6 = 
= −2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1) + 2 + 6 = −2(𝑥 − 1)2 + 8. 
𝐴(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela equação na forma canônica, ℎ = 1 e 𝑘 = 8 . Logo 𝐴(1 , 8). 
Concavidade: como 𝑎 = −2 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. 
Calculando as raízes: 
𝐸(𝑥) = −2(𝑥 − 1)2 + 8 = 0 ⟺ 2(𝑥 − 1)2 = 8 ⟺ (𝑥 − 1)2 = 4 ⟺ 
 𝑥 − 1 = ±2 ⟺ 𝑥 = 1 ± 2 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 3 . 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = −2 ∙ 02 + 4 ∙ 0 + 6 = 6. Logo a interseção com o eixo 𝑦 é: (0 ,6). 
 
Questão 4 [1,3] Encontre as interseções do gráfico da função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 com os eixos coordenados. 
Esboce, em um mesmo par de eixos, o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 e, usando as informações obtidas 
na questão 3, a parábola que representa o gráfico da função 𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6. Indique nos dois 
gráficos as interseções com os eixos coordenados e o vértice da parábola. 
Encontre os pontos de interseção da parábola que representa o gráfico de 𝐸(𝑥) com o gráfico da função 𝑓. 
Marque esses pontos nos gráficos. 
RESOLUÇÃO: 
Buscando as interseções do gráfico da função 𝑓 com os eixos coordenados. 
Interseção com o eixo 𝒚 : fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = 𝑓(0) = −4 ∙ 0 + 6 = 6 . Logo a interseção com o 
eixo 𝑦 é o ponto: (0 ,6). 
Interseção com o eixo 𝒙 : fazendo 𝑦 = 0 temos: 
0 = −4𝑥 + 6 ⟺ 4𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 =
6
4
 =
3
2
 . Logo a interseção com o eixo 𝑥 é o ponto: (
3
2
, 0). 
Interseção da parábola que representa o gráfico de 𝑬(𝒙) com o gráfico da função 𝒇. 
𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = −4𝑥 + 6 = 𝑓(𝑥) ⟺ −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = −4𝑥 + 6 ⟺ 
−2𝑥2 + 8𝑥 = 0 ⟺ 2𝑥(−𝑥 + 4) = 0 ⟺ 2𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 𝑥 + 4 = 0 ⟺ 
 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 4 . 
Fazendo 𝑥 = 0 , na função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 , temos 
𝑓(0) = −4 ∙ 0 + 6 = 6. Assim, um dos pontos de interseção é (𝟎 , 𝟔). 
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Fazendo 𝑥 = 4 , na função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6: 
𝑓(4) = −4 ∙ 4 + 6 = −16 + 6 = −10 . Assim, o outro ponto de interseção é (𝟒 , −𝟏𝟎) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 [0,4] Observando os gráficos esboçados na questão 4, responda para quais valores de 𝑥 , 
𝐸(𝑥) > 𝑓(𝑥) e para quais valores de 𝑥 , 𝐸(𝑥) < 𝑓(𝑥) . Dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união 
de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum). 
RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico temos que 
𝐸(𝑥) > 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑥 ∈ (0 , 𝟒) e 𝐸(𝑥) < 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (4, +∞). 
________________________________________________________________________________ 
Nas questões 6 a 9 considere as funções 𝑓(𝑥) = 3 − |𝑥 + 1| e 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2. 
Questão 6 [1,2] Dê o domínio da função 𝑓 e usando transformações em gráficos a partir da 
função 𝑦 = |𝑥|, esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3 − |𝑥 + 1|. Descreva as transformações que 
usou ou esboce os gráficos usados até encontrar o gráfico pedido. Determine e indique no gráfico, 
se existirem, as coordenadas dos pontos de interseção com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
RESOLUÇÃO 
A função modular é definida para todos os reais, logo não há restrição para o domínio de 𝑓. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ = (−∞,∞). 
Uma possível sequência de transformações nos gráficos,até encontrar o gráfico pedido, é: 
𝑦 = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = |𝑥 + 1| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −|𝑥 + 1| 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − |𝑥 + 1| 
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OBSERVAÇÃO: há outras possíveis sequências de transformações até encontrar o gráfico pedido. 
Ou, esboçando os gráficos até encontrar o gráfico pedido, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando a interseção com o eixo 𝒚: 𝑥 = 0, logo 𝑦 = 3 − |0 + 1| = 3 − 1 = 2 
Logo a ordenada na interseção com o eixo 𝑦 é: 𝑦 = 2. 
Determinando a interseção com o eixo 𝒙: 𝑦 = 0, logo 3 − |𝑥 + 1| = 0. 
Resolvendo, 
3 − |𝑥 + 1| = 0 ⟺ |𝑥 + 1| = 3 𝑥 + 1 = 3 𝑜𝑢 𝑥 + 1 = −3 
⟺ 𝑥 = 3 − 1 𝑜𝑢 𝑥 = −3 − 1 ⟺ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −4. 
Logo as abscissas na interseção com o eixo 𝑥 são: 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = −4. 
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Questão 7 [1,0] Determine o domínio da função 𝑔 e esboce o gráfico dessa função usando 
uma transformação a partir do gráfico de 𝑦 = √𝑥. Para justificar a construção do gráfico, esboce o 
gráfico de 𝑦 = √𝑥 e descreva a transformação para obter o gráfico de 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2. Encontre e 
indique no gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), se existirem, as coordenadas das interseções do gráfico da função 
com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. Observando o gráfico da função 𝑔, encontre a sua imagem. 
RESOLUÇÃO 
A restrição do domínio é: 𝑥 − 2 ≥ 0. Resolvendo, 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 2. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 2} = [2,∞). 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 
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Marcamos dois pontos no gráfico de 𝑦 = √𝑥, por exemplo, (0, √0) = (0, 0) e (1, √1) = (1, 1). 
Determinando a interseção do gráfico de g com o eixo 𝒚: 𝑥 = 0, 
Como 0 ∉ [0,∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔), o gráfico não intersecta o eixo 𝑦. 
Determinando a interseção do gráfico de g com o eixo 𝒙: 𝑦 = 0 , logo √𝑥 − 2 = 0. 
Resolvendo, 
√𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2. 
Logo a abscissa na interseção do gráfico com o eixo 𝑥 é 𝑥 = 2. 
Marcamos mais um ponto do gráfico de g, por exemplo, (3, √3 − 2) = (3, √1) = (3, 1). 
Pelo gráfico, a imagem da função 𝑔 é: 𝐼𝑚(𝑔) = [0,∞). 
 
Questão 8 [1,3] Observando os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔, esboce o gráfico da função 
ℎ(𝑥) = {
3 − |𝑥 + 1| 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 2
√𝑥 − 2 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 4
. 
Observando o gráfico da função ℎ, dê a sua imagem e responda para quais valores do domínio a 
função é crescente. 
RESOLUÇÃO 
Vamos encontrar pontos importantes do gráfico. 
ℎ(−4) = 3 − |−4 + 1| = 3 − |−3| = 3 − 3 = 0. 
Logo podemos marcar o ponto (−4, 0) do gráfico de ℎ. 
ℎ(2) = 3 − |2 + 1| = 3 − |3| = 3 − 3 = 0. 
Logo podemos marcar o ponto (2, 0) do gráfico de ℎ. 
Entre os pontos (−4, 0) e (2, 0), repetimos o gráfico de 𝑓, encontrado na questão 6. 
Fazendo 𝑥 = 2 vamos calcular o valor de 𝑦 na equação 𝑦 = √𝑥 − 2 para ver qual seria o valor da 
função ℎ se em 𝑥 = 2, a função ℎ fosse definida por 𝑦 = √𝑥 − 2. 
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Se 𝑥 = 2 então 𝑦 = √2 − 2 = √0 = 0, logo o ponto do gráfico seria (2, 0). 
ℎ(4) = √4 − 2 = √2. 
Logo, outro ponto do gráfico de ℎ é (4, √2). 
Entre os pontos (2, 0) e (4, √2), repetimos 
o gráfico da função 𝑔, encontrado na questão 
7. 
Observando o gráfico da função ℎ, 
concluímos que: 
𝐼𝑚(ℎ) = [0, 3]. 
A função ℎ é crescente se 𝑥 ∈ [−4,−1] ou 𝑥 ∈ [2, 4]. 
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Questão 9 [1,1] A função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 admite função inversa 𝑦 = 𝑔−1(𝑥). Observando o 
domínio e a imagem da função 𝑔 , determine o domínio e a imagem da função inversa 𝑔−1. 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥), esboçado na questão 7, esboce no mesmo par de eixos, 
a reta de equação 𝑦 = 𝑥 , o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) e o gráfico de 𝑦 = 𝑔−1(𝑥) . Encontre a expressão 
da função inversa 𝑦 = 𝑔−1(𝑥). 
𝐷𝑜𝑚(𝑔−1) = 𝐼𝑚(𝑔) = [0,∞) . 
𝐼𝑚(𝑔−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [2,∞). 
O gráfico da função inversa 𝑦 = 𝑔−1(𝑥) é a reflexão 
do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) em torno da reta de 
equação 𝑦 = 𝑥. 
Ao lado estão esboçados o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), a reta 
de equação 𝑦 = 𝑥 e o gráfico da função inversa 𝑦 =
𝑔−1(𝑥). 
Observem os pontos simétricos em relação à reta de 
equação 𝑦 = 𝑥, que estão marcados, por exemplo, (2, 0) e (0, 2) são simétricos, (3, 1) e (1, 3) são 
simétricos. 
Determinando a expressão da função inversa: 
𝑦 = √𝑥 − 2 ⟹ 𝑦2 = 𝑥 − 2 ⟺ 𝑥 = 𝑦2 + 2. 
𝑔−1(𝑦) = 𝑦2 + 2, trocando a variável 𝑦 por 𝑥, 
𝑔−1(𝑥) = 𝑥2 + 2.