PC 2018 2 AP1 GABARITO

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AP1 – 2018-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
Nas questões (1) e (2) considere a função 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 − 4𝑥 − 5 . 
Questão 1 [Valor: 1,0] 
Sabendo que o polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 − 4𝑥 − 5 tem uma raiz inteira, fatore esse 
polinômio em ℝ , isto é, escreva 𝑝(𝑥) como um produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou 
fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique sua 
fatoração, mostrando como encontrou as raízes desse polinômio, apresente as contas que o 
levou à fatoração apresentada. Sem isso, a questão não será considerada. 
RESOLUÇÃO: 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) estão entre os divisores do termo independente −5 e são: ±1 ,
±5. 
Testando as possíveis inteiras: 
𝑝(−1) = 2 ∙ (−1)3 − 9 ∙ (−1)2 − 4 ∙ (−1) − 5 = −2 − 9 + 4 − 5 ≠ 0 , logo 𝑥 = −1 não é raiz 
de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = 2 ∙ 13 − 9 ∙ 12 − 4 ∙ 1 − 5 = 2 − 9 − 4 − 5 ≠ 0 , logo 𝑥 = 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(5) = 2 ∙ 53 − 9 ∙ 52 − 4 ∙ 5 − 5 = 250 − 225 − 20 − 5 = 0 , logo 𝑥 = 5 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 5. Usando Briot-Ruffini: 
 2 −9 −4 −5 
5 2 10 − 9 = 1 5 − 4 = 1 5 − 5 = 0 
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1). 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 2𝑥2 + 𝑥 + 1 : 
O discriminante ∆= 12 − 4.2.1 < 0 , então o trinômio do segundo grau 2𝑥2 + 𝑥 + 1 é irredutível 
em ℝ . 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1) . 
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Questão 2 [Valor: 1,0] 
Encontre o domínio da função 𝑠(𝑥) = 
1
 𝑝(𝑥)
 . Analise o sinal da função 𝑦 = 𝑠(𝑥). Para justificar 
suas respostas, deixe escritas as suas contas. 
RESOLUÇÃO: 
𝑠(𝑥) = 
1
 𝑝(𝑥)
 =
1
(𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1 )
 
Para encontrarmos o domínio da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) , precisamos impor que o denominador 
(𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1 ) seja não nulo. 
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Temos que (𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1 ) = 0 ⟺ 𝑥 − 5 = 0 ou 2𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 . Da questão 1 
segue que 2𝑥2 + 𝑥 + 1 é irredutível em ℝ e como o coeficiente de 𝑥2 é 2 , positivo, segue que 
2𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ . Portanto, (𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1 ) = 0 ⟺ 𝑥 − 5 = 0 ⟺
 𝑥 = 5. 
Assim (𝑥 − 5)(2𝑥2 + 𝑥 + 1 ) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 5. 
Portanto, o domínio de 𝑦 = 𝑠(𝑥) é: 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ , 𝟓) ∪ (𝟓 , +∞) . 
Analisando o sinal de 𝑠(𝑥) = 
1
 𝑝(𝑥)
 =
1
(𝑥−5)(2𝑥2+𝑥+1 )
 
Como o numerador, 1 , é positivo e 2𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então o sinal de 𝑠(𝑥) 
depende apenas do sinal de 𝑥 − 5 . Logo, 
𝑠(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 − 5 > 0 ⟺ 𝑥 > 5 . 
 𝑠(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 − 5 < 0 ⟺ 𝑥 < 5 . 
Como o numerador é 1 , então 𝑠(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒔) = (−∞ , 𝟓) ∪ (𝟓 , +∞) 
 
Questão 3 [Valor: 1,5] 
Encontre o domínio da função 𝑟(𝑥) =
2𝑥−1
 √𝑥2−9 −4
 . Justifique! Responda o domínio na forma de 
união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm 
nenhum ponto em comum). 
RESOLUÇÃO: 
𝑟(𝑥) = 
2𝑥−1
 √𝑥2−9 −4
 . 
Para encontrarmos o domínio da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) , precisamos impor que: 
(I) O radicando 𝑥2 − 9 seja positivo ou nulo. 
(II) O denominador √𝑥2 − 9 − 4 seja não nulo. 
Observe que não precisamos impor restrições ao numerador. 
Resolvendo as exigências: 
 O radicando 𝑥2 − 9 é uma parábola de concavidade voltada 
para cima e raízes 𝑥 = 3 e 𝑥 = −3 
Logo, 𝑥2 − 9 ≥ 0 ⟺ 𝒙 ≤ −𝟑 𝐨𝐮 𝒙 ≥ 𝟑 . 
 O denominador √𝑥2 − 9 − 4 = 0 ⟺ √𝑥2 − 9 = 4 
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇔ 𝑥2 − 9 = 16 ⟺ 
𝑥2 = 25 ⟺ 𝑥 = 5 ou 𝑥 = −5 . 
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Assim, o denominador √𝑥2 − 9 − 4 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −5 𝑒 𝑥 ≠ 5 
De (I) e (II) temos que [𝑥 ≤ −3 ou 𝑥 ≥ 3] 𝑒 𝑥 ≠ −5 𝑒 𝑥 ≠ 5 . 
Portanto, o domínio de 𝑦 = 𝑟(𝑥) é: 𝑫𝒐𝒎(𝒓) = (−∞ , −𝟓) ∪ (−𝟓,−𝟑] ∪ [𝟑 , 𝟓) ∪ (𝟓 , +∞) . 
 
Nas questões (4) e (5) considere as funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑔(𝑥) = |𝑥| . 
Questão 4 [Valor: 1,0] 
Encontre os domínios das funções 𝑓 e 𝑔 . Esboce o gráfico da função 𝑓 e o gráfico da função 
 𝑔 . 
RESOLUÇÃO: 
A função 𝑓(𝑥) = √𝑥 está definida para todo 𝑥 ≥ 0 , pois é preciso que o radicando seja positivo ou 
nulo. Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [0 , +∞). 
A função 𝑔(𝑥) = |𝑥| está definida para todo 𝑥 ∈ ℝ . Logo, 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = ℝ = (−∞ , +∞) . 
Para construir o gráfico da função 𝑔(𝑥) = |𝑥|, lembremos que por definição 
𝑔(𝑥) = |𝑥| = {
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 . 
 
 
 
 
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Questão 5 [Valor: 0,8] 
Escreva a expressão da função 𝑦 = ℎ(𝑥) , que é a translação horizontal da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
duas unidades para direita. Escreva também a expressão da função 𝑦 = 𝑣(𝑥), que é a translação 
vertical da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) duas unidades para baixo. 
RESOLUÇÃO: 
𝑓(𝑥) = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
⇒ ℎ(𝑥) = √𝑥 − 2 
𝑔(𝑥) = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒ 𝑣(𝑥) = |𝑥| − 2 
 
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Questão 6 [Valor: 0,8] 
Considerando as funções ℎ e 𝑣 definidas na Questão 5, esboce o gráfico da função 
𝑦 = 𝐾(𝑥) = {
ℎ(𝑥) , 𝑥 ≥ 2 
𝑣(𝑥) , 𝑥 < 2 
. Encontre a imagem da função 𝑦 = 𝐾(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
𝑦 = 𝐾(𝑥) = {
ℎ(𝑥) , 𝑥 ≥ 2 
𝑣(𝑥) , 𝑥 < 2 
= {√𝑥 − 2 , 𝑥 ≥ 2 
|𝑥| − 2 , 𝑥 < 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝐾(𝑥) , concluímos que Im(𝐾) = [−2 , +∞) . 
 
Nas questões (7) e (8) considere as funções: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 12 e 𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥 
 
Questão 7 [Valor: 1,2] 
Calcule, se possível: 𝑓(𝑔(0)), 𝑓(𝑔(−5)), 𝑓(𝑔(5)), 𝑔(𝑓(0)), 𝑔(𝑓(−5)), 𝑔(𝑓(5)). 
Se não for possível calcular, justifique. 
RESOLUÇÃO: 
𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(√4 − 0) = 𝑓(2) = (−2)2 − 12 = 4 − 12 = −8 
𝑓(𝑔(−5)) = 𝑓(√4 − (−5)) = 𝑓(√9) = 𝑓(3) = 32 − 12 = 9 − 12 = −3 
𝑓(𝑔(5)) = 𝑓(√4 − 5) = 𝑓(√−1) , não é possível calcular pois não existe raiz quadrada de número 
negativo. 
𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(02 − 12) = 𝑔(−12) = √4 − (−12) = √16 = 4. 
𝑔(𝑓(−5)) = 𝑔((−5)2 − 12) = 𝑔(13) = √4 − 13 = √−9 , não é possível calcular pois não existe 
raiz quadrada de número negativo. 
𝑔(𝑓(5)) = 𝑔(52 − 12) = 𝑔(13) = √4 − 13 = √−9 , não é possível calcular pois não existe raiz 
quadrada de número negativo. 
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Questão 8 [Valor: 0,8] 
Encontre, na forma mais simples possível, a expressão de cada composta: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) e (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥). 
 
RESOLUÇÃO: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√4 − 𝑥) = (√4 − 𝑥)
2
− 12 = −𝑥 − 8. 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2 − 12) = √4 − (𝑥2 − 12) = √16 − 𝑥2. 
 
 
Nas questões (9) a (11) considere o gráfico da função 
𝑦 = 𝐹(𝑥) esboçadoa seguir. 
 
 
Questão 9 [Valor: 0,6] 
A função 𝑦 = 𝐹(𝑥) é PAR, ÍMPAR ou NEM PAR e NEM ÍMPAR? Use simetria para justificar a resposta. 
RESOLUÇÃO: 
Como o domínio é o intervalo [−6, 6], sabemos que 𝑥 ∈ [−6, 6] e −𝑥 ∈ [−6, 6], 
isto é, o domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica e a função satisfaz a primeira 
condição de função PAR e de função ÍMPAR. 
Como o gráfico é simétrico em relação ao eixo 𝑦, podemos dizer que 𝐹(−𝑥) = 𝐹(𝑥) ∀𝑥 ∈ [−6, 6] 
e a função satisfaz a segunda condição de função PAR. 
Portanto a função é PAR. 
 
Questão 10 [Valor: 0,8] 
Dê os intervalos do domínio em que a função 𝑦 = 𝐹(𝑥) é crescente e os intervalos do domínio em 
que a função 𝑦 = 𝐹(𝑥) é constante. 
RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico, vemos que 𝐹(𝑥), o valor da função, cresce de 0 até 3 quando 𝑥 varia de −6 
até −5 e que 𝐹(𝑥), o valor da função, cresce de −2 até 3 quando 𝑥 varia de 0 até 4. 
Isto é, a função é crescente no intervalo [−6,−5] e no intervalo [0, 4], intervalos contidos no domínio. 
Conclusão: a função é crescente em [−6,−5] ∪ [0, 4]. 
Observando o gráfico, vemos que 𝐹(𝑥), o valor da função, se mantém constante e igual a 3 quando 𝑥 
varia de −5 até −4 e quando 𝑥 varia de 4 até 5. 
Conclusão: a função é constante em [−5,−4] ∪ [4, 5]. 
 
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Questão 11 [Valor: 0,5] 
Encontre a imagem da função 𝑦 = 𝐹(𝑥), explicando como encontrou a imagem. 
RESOLUÇÃO: 
Projetando o gráfico no eixo 𝑦, observamos que 𝑦 = 𝐹(𝑥) varia por todos os valores reais, de 𝑦 = −2 
até 𝑦 = 3. Assim, concluímos que: 
 Imagem da função 𝐹 = 𝐼𝑚(𝐹) = {𝑦 ∈ ℝ | − 2 ≤ 𝑦 ≤ 3} = [−2, 3].