lista_exercicios_Mecanica_Fundamental (1-4)

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA FUNDAMENTAL – CAPÍTULO 1
1.1) Uma part́ıcula move-se em trajetória eĺıptica dada por ~r(t) = bt [cos(ωt)x̂+ sen(ωt)ŷ].
Calcule:
(a) A aceleração escalar da part́ıcula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração para t = π/2ω.
1.2) Uma part́ıcula move-se em trajetória eĺıptica dada por ~r(t) = 2b cos(ωt)x̂+4b sen(ωt)ŷ.
Calcule:
(a) A velocidade escalar da part́ıcula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo.
1.3) Uma part́ıcula movimenta-se no plano Oxy em uma trajetória definida pela equação
y = x2, com ẋ(t) = b (sendo b uma constante) e x(0) = 0. Calcule:
(a) O vetor posição da part́ıcula em função do tempo [~r(t)].
(b) O ângulo entre ~r(t = 1) e ~v(t = 1).
1.4) Uma part́ıcula move-se em trajetória dada por ~r(t) = e−bt[cos(ωt)x̂+sen(ωt)ŷ]. Calcule:
(a) A velocidade escalar da part́ıcula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo.
1.5) Uma part́ıcula move-se em trajetória dada por ~r(t) = eγt[sen(ωt)x̂+cos(ωt)ŷ]. Calcule:
(a) A velocidade escalar da part́ıcula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo.
Respostas
1.1)(a) a(t) = bω
√
4 + ω2t2
1.1)(b) θ = cos−1
[
π/
√
16 + 5π2 + (π4/4)
]
1.2)(a) v(t) = 2bω
√
1 + 3cos2(ωt)
1.2)(b) θ(t) = cos−1
[
3sen(ωt)cos(ωt)/
√
4 + 9sen2(ωt)cos2(ωt)
]
1.3)(a) ~r(t) = btx̂+ b2t2ŷ
1.3)(b) θ(t = 1) = cos−1
[
(1 + 2b2)/
√
1 + 5b2 + 4b4
]
1.4)(a) v(t) = e−bt
√
b2 + ω2
1.4)(b) θ(t) = cos−1
(
−b/
√
b2 + ω2
)
1
1.5)(a) v(t) = eγt
√
γ2 + ω2
1.5)(b) θ(t) = cos−1
(
γ/
√
γ2 + ω2
)
2
LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA FUNDAMENTAL – CAPÍTULO 2
2.1) Uma part́ıcula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força constante F0.
Após um intervalo de tempo t0, a força abruptamente assume a forma F0e
−t/t0 .
(a) Esboce o gráfico F (t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part́ıcula em t = 2t0.
2.2) Uma part́ıcula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força constante F0.
Após um intervalo de tempo t0, a força assume a forma F0e
(t0−t)/t0 .
(a) Esboce o gráfico F (t).
(b) Calcule a posição em função do tempo, x(t), para t ≤ t0 e t ≥ t0.
(c) Calcule a velocidade da part́ıcula em t = 3t0.
2.3) Uma part́ıcula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força γ0t. Após um
intervalo de tempo t0 a força assume a forma constante γ0t0.
(a) Esboce o gráfico F (t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part́ıcula em t = 2t0.
2.4) Uma part́ıcula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força γ0t
4. Após
um intervalo de tempo t0 a força assume a forma constante γ0t
4
0.
(a) Esboce o gráfico F (t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part́ıcula em t = 2t0.
2.5) Uma part́ıcula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força constante F0.
Após um intervalo de tempo t0, a força assume a forma F0t0/t.
(a) Esboce o gráfico F (t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t ≤ t0.
(b) Calcule a velocidade da part́ıcula em função do tempo em para t > t0.
2.6) Uma part́ıcula de massa m move-se sob a ação de uma força com a forma F0t/t0. Após
um intervalo de tempo t0, a força assume a forma F0t0/t. Sabendo que x(0) = x0 e v0 = v0,
calcule:
(a) x(t0).
(b) Calcule a velocidade da part́ıcula em função do tempo em para t > t0.
3
2.7) Uma part́ıcula de massa m presa a uma mola move-se em movimento harmônico simples
com com amplitude A. Sabendo que ela passa no instante t = 0 por uma posição genérica
x0 com velocidade v0, determine:
(a) O peŕıodo do movimento, T .
(b) A velocidade em função do tempo, v(t).
2.8) Uma part́ıcula de massa m presa a uma mola move-se em movimento harmônico simples
com peŕıodo T0. Sabendo que ela passa pela posição de equiĺıbrio (origem) com velocidade
v0, determine a amplitude do movimento A.
2.9) Uma part́ıcula de massa m move-se sujeita ao potencial V (x) = (kx4/4)−V0. Sanbendo
que em t = 0 a part́ıcula encontra-se na posição x0 e possui velocidade nula (v0 = 0), calcule:
(a) A Força que atua sobre a part́ıcula em função da posição, F (x).
(b) A velocidade da part́ıcula em função da posição, v(x).
2.10) A equação do movimento de um oscilador harmônico amortecido é ẍ + bẋ + 9x = 0,
onde b é uma constante.
(a) Considere b = 6, x(0) = 4 e ẋ(0) = −8. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Calcule qual deve ser o valor de b para que o oscilador possua uma frequência angular
igual à um terço da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse
amortecimento.
2.11) Considere uma part́ıcula de massa m = 1 sob a ação de uma força F = −6ẋ − 12x.
(a) Calcule o peŕıodo de oscilação, T.
(b) Determine a posição da part́ıcula em t = π/(3
√
3), para o caso em que x(0) = −1/2 e
ẋ(0) = −1.
2.12) Um certo sistema oscilatório obedece à equação ẍ+ bẋ+ x = 0.
(a) Considere b = 2, x(0) = 10, e ẋ(0) = −15. Determine x(t) para este oscilador.
(b) Determine o coeficiente de amortecimento b para que a frequência angular seja igual à
metade da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse amortecimento.
2.13) A equação do movimento de um oscilador harmônico amortecido é 8ẍ + bẋ + 2x = 0,
onde b é uma constante.
(a) Considere b = 8, x(0) = 4 e ẋ(0) = 10. Determine x(t) para este oscilador.
4
(b) Calcule qual deve ser o valor de b para que o oscilador possua uma frequência angu-
lar igual à metade da frequência angular que este mesmo oscilador teria se não houvesse
amortecimento.
2.14) Uma part́ıcula se move obedecendo à seguinte equação de movimento: 2ẍ+8ẋ+6x = 0.
As condições iniciais são x(0) = 0 e ẋ(0) = 1.
(a) Calcule a posição x(t) da part́ıcula.
(b) Esboce o gráfico x(t)× t.
2.15) Um objeto se move de acordo com a equação de movimento ẍ + cẋ + x = 0, com
0 < c < 2.
(a) Considerando a condição inicial x(0) = 0, e ẋ(0) = 1, determine a posição do objeto em
função do tempo, x(t).
(b) Encontre o coeficiente de amortecimento c para o qual o peŕıodo do movimento seja 50%
maior que o peŕıodo do movimento não amortecido (c = 0) correspondente.
Respostas
2.1)(a) x(t ≤ t0) = F0t2/(2m)
2.1)(b) v(2t0) = (F0t0/m)(1− e−2 + e−1)
2.2)(a) x(t ≤ t0) = F0t2/(2m) ; x(t ≥ t0) = F0t20/(m)
[
(2t/t0)− 5/2 + e[(t0−t)/t0]
]
2.2)(b) v(3t0) = (F0t0/m)(2− e−2)
2.3)(a) x(t ≤ t0) = γ0t3/(6m)
2.3)(b) v(2t0) = 3γ0t
2
0/(2m)
2.4)(a) x(t ≤ t0) = γ0t6/(30m)
2.4)(b) v(2t0) = 6γ0t
5
0/(5m)
2.5)(a) x(t ≤ t0) = F0t2/(2m)
2.5)(b) v(t > t0) = (F0t0/m)[1 + `n(t/t0)]
2.6)(a) x(t0) = x0 + v0t0 + F0t
2
0/(6m)
2.6)(b) v(t > t0) = v0 + (F0t0/m)[(1/2) + `n(t/t0)]
2.7)(a) T = 2πA/v0
2.7)(b) v(t) = v0cos(v0t/A)
2.8) A = v0T0/(2π)
2.9)(a) F (x) = −kx3
5
2.9)(b) v(x) = ±
√
(k/2m)(x40 − x4)
2.10)(a) x(t) = 4e−3t(1 + t)
2.10)(b) b = 4
√
2
2.11)(a) T = 2π/
√
3
2.11)(b) x = −(3/2)e−π/
√
3
2.12)(a) x(t) = 5e−t(2− t)
2.12)(b) b =
√
3
2.13)(a) x(t) = 4e−t/2(1 + 3t)
2.13)(b) b = 4
√
3
2.14) x(t) = (1/2) (e−t − e−3t)
2.15)(a) x(t) = (1/
√
1− c2/4)cos(
√
1− (c/2)2 t− π/2)e−ct/2
2.15)(b) b = (2/3)
√
5
2.16)(a) T = 2π/
√
3
2.16)(b) x = −(3/2)e−π/
√
3
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LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA FUNDAMENTAL – CAPÍTULO 3
3.1) Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
(a) ~F = x cos(z) x̂+ z cos(x) ŷ + ẑ
(b) ~F = yz x̂+ xz ŷ + xy ẑ
(c) ~F = yez x̂+ zey ŷ
(d) ~F = yz2 x̂+ x2z ŷ + xy2 ẑ
(e) ~F = (2x+ y2) x̂+ 2xy ŷ + z2 ẑ
(f) ~F = x2 x̂+ z2cos(y) ŷ + 2z sen(y) ẑ
3.2) Calcule o potencial associado às seguintes forças conservativas:
(a) ~F = sen(x) x̂− 2y sen(z) ŷ − y2 cos(z) ẑ
(b) ~F = ezsen(x) x̂− ŷ − ez cos(x) ẑ
(c) ~F = ex x̂+ sen(y+ z)(ŷ + ẑ)
(d) ~F = x x̂+ y ŷ + z ẑ
(e) ~F = (2x+ y2) x̂+ 2xy ŷ + z2 ẑ
(f) ~F = x2 x̂+ z2cos(y) ŷ + 2z sen(y) ẑ
(g) ~F = (x2 + y2) x̂+ 2xy ŷ
(h) ~F = −excos(y) x̂+ exsen(y) x̂− ẑ
3.3) Uma part́ıcula de massa m é lançada de uma altura h com uma velocidade horizontal
~v0 = v0x̂. Além do peso ~P (= −mgŷ, onde g é a aceleração da gravidade), a part́ıcula sofre
a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo ~F = −mγ~v, onde ~v é o vetor velocidade e
γ é uma constante.
(a) Calcule a dependência temporal da coordenada vertical da part́ıcula, y(t).
(b) A função y(t) encontrada no ı́tem (a) possui um termo exponencial com a forma e−γt.
Tomando apenas os três primeiros termos na expansão em série desta função exponencial,
calcule o tempo necessário para que a part́ıcula atinja o solo. Lembrete: eu =
∑
n u
n/n!.
(c) Mostre que a part́ıcula nunca alcançará uma distância horizontal (medida a partir do
ponto de lançamento) maior que v0/γ, mesmo que h→∞.
3.4) Um paraquedista salta de uma altura h, na vertical, com velocidade inicial nula. Além do
própio peso ~P (= −mgŷ, onde m é massa do paraquedista e g é a aceleração da gravidade),
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ele sofre a ação de uma força de resistêencia do ar do tipo ~F = −β~v, onde ~v é o vetor
velocidade e γ é uma constante. Calcule:
(a) O vetor velocidade do paraquedista em função do tempo, ~v(t).
(b) A expressão geral de sua posição na direção vertical, y(t).
(c) O vetor aceleração do paraquedista em função do tempo, ~a(t).
(d) Os módulos de sua velocidade e aceleração depois de transcorrido um tempo muito longo
após o salto (t→∞).
3.5) Um corpo de massa m move-se sob a ação de seu peso (−mg ŷ) na direção vertical,
e ainda sob a ação de uma força resistiva na direção horizontal, proporcional apenas à
componente horizontal da sua velocidade, ~Fr = −mγẋ x̂, onde γ é uma constante. Se em
t = 0, o corpo é lançado da origem com velocidade ~v◦ = v1x̂+ v2ŷ, calcule:
(a) O vetor posição do corpo em função do tempo, ~r(t) = x(t)x̂+ y(t)ŷ.
(b) O valor de x o instante em que o corpo volta à posição vertical y = 0.
3.6) Uma part́ıcula de massa unitária move-se no potencial do oscilador não isotrópico tri-
dimensional V = x2 + 4y2 + 9z2. Sabendo que a part́ıcula passa pela origem com velocidade
unitária na direção (1,1,1) no instante t = 0, determine x(t), y(t) e z(t).
Respostas
3.1)(a) não, (b) sim, (c) não, (d) não, (e) sim, (f) sim.
3.2)(a) V (x, y, z) = cos(x) + y2sen(z) + c
3.2)(b) V (x, y, z) = ezcos(x) + y + c
3.2)(c) V (x, y, z) = −ex + cos(y + z) + c
3.2)(d) V (x, y, z) = −(1/2)(x2 + y2 + z2) + c
3.2)(e) V (x, y, z) = −x2 − xy2 − z3/3 + c
3.2)(f) V (x, y, z) = −x3/3− z2sen(y) + c
3.2)(g) V (x, y, z) = −x3/3− xy2 + c
3.2)(h) V (x, y, z) = excos(y) + z + c
3.3)(a) y(t) = h− (g/γ)t+ (g/γ2) (1− e−γt)
3.3)(b) t ≈
√
2h/g
3.4)(a) ~v(t) = −(mg/β)
(
1− e−βt/m
)
ŷ
3.4)(b) y(t) = h− (mg/β)t+ (m2g/β2)
(
1− e−βt/m
)
8
3.4)(c) ~a(t) = −ge−βt/m ŷ
3.4)(d) v ≈ mg/β, a ≈ 0
3.5)(a) ~r(t) = (v1/γ) (1− e−γt) x̂+ (v2t− gt2/2) ŷ
3.5)(b) x = (v1/γ)
(
1− e−2γv2/g
)
3.6) x(t) = (1/
√
6)cos(
√
2t+ 3π/2), y(t) = (1/
√
24)cos(
√
8t+ 3π/2),
z(t) = (1/
√
54)cos(
√
18t+ 3π/2)
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LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA FUNDAMENTAL – CAPÍTULO 4
4.1) Considere um sistema composto por duas part́ıculas de massa unitária, cujos respectivos
vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
~r1 = 2x̂+ ŷ + 3ẑ ; ~v1 = −2x̂+ 4ŷ + ẑ
~r2 = −3x̂+ 2ŷ − 2ẑ ; ~v2 = x̂+ 4ŷ + 2ẑ
Calcule:
(a) O momentum angular do sitema no referencial do laboratório.
(b) A energia cinética do sistema em relação ao centro de massa.
4.2) Considere um sistema composto por três part́ıculas de massa unitária, cujos respectivos
vetores posição e velociade num dado instante t são dados por:
~r1 = 2x̂+ ŷ − ẑ ; ~v1 = x̂− ŷ + ẑ
~r2 = x̂− 2ŷ + ẑ ; ~v2 = −x̂− ŷ + ẑ
~r3 = −2x̂+ 2ŷ − ẑ ; ~v3 = x̂+ ŷ − ẑ
Calcule:
(a) O momentum angular do sitema em relação à origem.
(b) A energia cinética do sistema.
4.3) Uma espaçonave de massa m move-se com velocidade ~v = 5x̂ + 3ŷ. Ao passar pelo
ponto ~r = 2x̂+ 4ŷ, ela explode em dois pedaços de mesma massa, um deles com velocidade
~v1 = 4x̂ + 6ŷ (todos os vetores são relativos a um sistema de coordenadas fixo no solo).
Calcule, para o instante imediatamente após a explosão:
(a) A velocidade do pedaço 2 em relação ao pedaço 1.
(a) O momentum angular do sistema em relação à origem no solo.
4.4) Uma granada de massa m0 é lançada com uma velocidade ~v0 formando um ângulo θ0
com a horizontal (considere o eixo x na direção horizontal e o eixo y na direção vertical).
Na parte mais alta da tragetória, ela explode dividindo-se em dois fragmentos de mesma
massa. O primeiro fragmento recua com velocidade ~v1 = −v0 cos (θ0) x̂. Calcule:
(a) O momentum angular do segundo fragmento (~L2) em relação à origem logo após a
explosão.
(b) A distância relativa entre os dois fragmentos após atingir o solo.
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4.5) Uma granada de massa m0 é lançada com uma velocidade ~v0 formando um ângulo θ0
com a horizontal (considere o eixo x na direção horizontal e o eixo y na direção vertical).
Na parte mais alta da trajetória ela explode, se partindo em dois fragmentos de massa
m1 = (1/4)m0 e m2 = (3/4)m0. Sabendo que primeiro fragmento (de massa m1) cai a partir
do repuoso após a explosão, calcule:
(a) A velocidade linear do segundo fragmento em função do tempo.
(b) O momentum angular do segundo fragmento em relação à origem, imediatamente após
a explosão.
4.6) Um vagão de comprimento L e massa m0 (quando vazio) move-se livremente sobre um
trilho horizontal enquanto está sendo carregado com areia, a uma taxa q = dm/dt. Sabendo-
se que o vagão iniciou o carregamento com velocidade v0, calcule:
(a) A variação da posição da frente do vagão em função do tempo [x(t)], enquanto durar
o carregamento [considere a posição da frente do vagão no ińıcio do carregamento igual a
zero, ou seja x(0) = 0].
(b) O comprimento L para que o vagão deixe o local de carga com uma velocidade igual
à metade da velocidade inicial, ou seja, v(tf ) = v0/2, onde tf é o tempo de duração do
carregamento.
4.7) Um navio de massa m0 move-se com velocidade ~v0 = v0x̂ quando começa a bombear
para fora uma massa de água que inunda seus porões. A massa de água que encontra-se
incialmente nos porões é igual a um quarto da massa inicial total (m0/4). A água é espelida
a uma taxa constante q e com velocidade relativa ao navio ~u = −ux̂ (onde u é uma constante
positiva). Sabendo-se que existe uma força de resistência contrária ao movimento do navio
~Fext = −(uq/2)x̂, calcule:
(a) O tempo necessário para que toda a água seja colocada para fora dos porões.
(b) A velocidade do navio após toda a água ter sido removida.
4.8) Um foguete possui uma massa inicial de 1200 kg, incluindo 1000 kg de combust́ıvel. Esse
foguete é ejetado verticalmente a uma velocidade de 4000 m/s. Considerando que aceleração
da gravidade não varia substancialmente (g = 9.8 m/s2 ≈ constante), e que o combust́ıvel
se queima a uma taxa de 12,5 kg/s, determine:
(a) A expressão geral da velocidade do foguete em função do tempo.
11
(b) A aceleração na partida.
(c) A aceleração no momento do fim da queima do combust́ıvel.
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