Física_mod1

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Pré-Vestibular Social
Rua da Ajuda, n° 5, 15º andar – Centro – CEP: 20040-000 – Rio de Janeiro – RJ 
Site: www.pvs.cederj.edu.br 
Carlos a. F. leite
eden Vieira Costa
Pré-Vestibular Social
Módulo 1 :: 2015
Física
Carlos Alberto Faria Leite
EdEn ViEira Costa
6ª Edição 
rEVisada
Módulo 1
2015
Física
Fundação Cecierj
Pré-VEstibular soCial
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Governador
Luiz Fernando de Souza Pezão
Secretário de Estado de Ciência, Tecnologia e Inovação
Gustavo Tutuca
Fundação Cecierj
Presidente
Carlos Eduardo Bielschowsky
Vice-Presidente de Educação Superior a Distância
Masako Oya Masuda
Vice-Presidente Científica
Mônica Damouche
Pré-Vestibular Social
Rua da Ajuda 5 - 15º andar - Centro - Rio de Janeiro - RJ - 20040-000
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Diretora
Celina M.S. Costa 
Coordenadores de Física
Carlos Alberto Faria Leite
Eden Vieira Costa
Material Didático
Elaboração de Conteúdo
Carlos Alberto Faria Leite
Eden Vieira Costa
Capa, Projeto Gráfico, Manipulação de Imagens 
e Editoração Eletrônica
Filipe Dutra de Brito
Cristina Portella
Deborah Curci
Mário Lima
Foto de Capa
David Ritter
Copyright © 2014, Fundação Cecierj 
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por 
qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, 
por escrito, da Fundação.
L533p
Leite, Carlos Alberto Faria.
Pré-vestibular social: física. v. 1 / Carlos Alberto Faria Leite, Eden Vieira 
Costa. – 6. ed. rev. – Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2014.
120 p. ; 21 x 28 cm.
ISBN: 978-85-7648-979-5
1.Física. I. Costa, Eden Vieira. II. Título.
CDD 530
5
7
13
19
25
29
35
41
45
49
57
Apresentação
Capítulo 1
Grandezas Físicas :: Vetores :: O Sistema Internacional de Unidades 
Capítulo 2
Introdução ao estudo da Cinemática :: Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
Capítulo 3
O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Capítulo 4
O movimento de queda livre
Capítulo 5
Lançamento de projéteis
Capítulo 6
Movimento Circular Uniforme
Capítulo 7
O Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
Capítulo 8
Composição vetorial de velocidades
Capítulo 9
A 1a Lei de Newton
Capítulo 10
A 2a Lei de Newton
Sumário
63
71
77
83
87
93
99
103
107
111
119
Capítulo 11
A 3a Lei de Newton e as condições de equilíbrio
Capítulo 12
Gravitação 
Capítulo 13
Trabalho, potência e rendimento
Capítulo 14
A energia cinética e sua relação com o trabalho
Capítulo 15
A energia potencial
Capítulo 16
A energia mecânica e a conservação da energia
Capítulo 17
Impulso e momento linear
Capítulo 18
Colisões
Capítulo 19
Atividades complementares
Gabaritos
Bibliografia
Apresentação
Caro Aluno,
Este conjunto de apostilas foi elaborado de acordo com as necessidades e a lógica do projeto do Pré-
Vestibular Social. Os conteúdos aqui apresentados foram desenvolvidos para embasar as aulas semanais 
presenciais que ocorrem nos polos. O material impresso por si só não causará o efeito desejado, 
portanto é imprescindível que você compareça regularmente às aulas e sessões de orientação acadêmica 
para obter o melhor resultado possível. Procure, também, a ajuda do atendimento 0800 colocado à sua 
disposição. A leitura antecipada dos capítulos permitirá que você participe mais ativamente das aulas 
expondo suas dúvidas o que aumentará as chances de entendimento dos conteúdos. Lembre-se que o 
aprendizado só acontece como via de mão dupla.
Aproveite este material da maneira adequada e terá mais chances de alcançar seus objetivos.
Bons estudos!
Equipe de Direção do PVS
[ ]
:: Meta ::
Apresentar aos alunos os principais tipos de grandezas estudadas em Física, suas relações e o 
modo de operar com elas.
:: Objetivos ::
• Distinguir grandezas escalares de grandezas vetoriais;
• Efetuar operações simples com vetores;
• Reconhecer as unidades mecânicas fundamentais do S.I.
1
Grandezas Físicas :: Vetores
O Sistema Internacional de Unidades
8 :: FísiCa :: Módulo 1
Representando um vetor graficamente
A seta não é um vetor, é apenas uma representação gráfica que nos ajuda a 
visualizá-lo. Um vetor é um “objeto” ou “ente” matemático que tem módulo, 
direção e sentido.
Outras Representações
Podemos também representar um vetor utilizando uma letra, com uma 
pequena seta em cima. Para representar o vetor “vê”, escrevemos . Para 
representar explicitamente o módulo de , escrevemos | | (com uma barra de 
cada lado), ou simplesmente V (sem a “setinha”).
Graficamente:
Consideremos um vetor com módulo 20.
Este aqui terá módulo 40.
E este aqui, módulo 30.
O comprimento da seta representa o módulo do vetor.
Atividade 1
Agora você: dê mais alguns exemplos de grandezas escalares e grandezas 
vetoriais. Leve a lista para discussão em sala:
Grandezas escalares
Grandezas vetoriais
Grandezas escalares
Imagine um automóvel que, viajando entre Nova Friburgo e Niterói, percorre 
os cerca de 130 quilômetros da estrada em 2 horas. Quais grandezas físicas estão 
envolvidas no movimento que acabamos de descrever?
Em primeiro lugar, temos a distância percorrida, isto é, o comprimento da 
estrada. Temos, também, o tempo gasto no percurso e, finalmente uma outra 
grandeza, que relaciona o caminho percorrido com o tempo gasto no percurso, nos 
indicando a rapidez com que foi feita a viagem, a qual chamamos velocidade. A 
velocidade é definida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto 
no percurso. Isto é:
No caso do nosso automóvel, a velocidade V será então:
Dizemos que o módulo da velocidade do automóvel é de 65 km/h.
Veja que o comprimento da estrada não depende do fato de o automóvel 
estar viajando de Friburgo para Niterói ou de Niterói para Friburgo. Da mesma 
forma, o tempo “passa” do mesmo jeito, independentemente de “para onde” 
o móvel está se dirigindo. As grandezas tempo e comprimento são chamadas 
grandezas escalares.
Grandezas escalares são as que ficam bem definidas apenas 
pelos seus valores numéricos, seguidos das respectivas unidades 
de medida:
Exemplos de grandezas escalares:
tempo → a seção de cinema durou 2 h;
comprimento → a régua tem 30 cm;
área → a sala de aula tem 48 m2;
volume → a capacidade do balde é de 6 litros;
massa → o caminhão pode transportar 3 toneladas.
Sendo um dos propósitos da mecânica determinar “onde” o móvel estará 
após decorrido um certo tempo, torna-se muito importante saber o sentido em 
que o móvel está se deslocando. Além disso, o motorista pode, sem querer, entrar 
numa estrada errada, isto é, tomar uma outra direção e acabar não chegando nem 
em Friburgo nem em Niterói. Para que o movimento fique bem definido, torna-se 
importante saber também a direção e o sentido da velocidade, além do seu 
valor numérico (seu módulo).
Grandezas vetoriais
As grandezas físicas que só ficam bem definidas se soubermos a sua direção 
e sentido, além do seu módulo, são descritas em linguagem matemática por um 
vetor. Para nosso estudo é conveniente representar um vetor por um segmento de 
reta orientado (uma “seta”) do seguinte modo:
Velocidade
tempo
=
distanciaˆ
V
quilometros
horas
km h= =130
2
65
ˆ
/ 
10 10
a
b
c
A extremidade (ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.
r
V
r
V
r
V
r
V
10 10
a
b
c
A extremidade (ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.
r
V
r
V
r
V
r
V
10 10
a
b
c
A extremidade (ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.
r
V
r
V
r
V
r
V

V

V

V

V
A extremidade(ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.�
V
CaPítulo 1 :: 9
O Método do Paralelogramo 
para a Adição de Vetores
É comum termos que somar apenas dois vetores, sendo conveniente 
utilizar o método descrito abaixo. Consideremos dois vetores quaisquer e , 
representados por:
Para somá-los, colocamos os dois vetores com uma origem comum e 
traçamos retas paralelas a cada um dos vetores, passando pela extremidade do 
outro, respectivamente:
O vetor resultante é obtido ligando-se a origem comum à interseção das retas 
auxiliares, que formam o paralelogramo.
A Subtração de Vetores
Para subtrairmos um vetor de outro podemos proceder como na soma, mas 
invertendo-se o sentido do vetor a subtrair. Assim, para efetuarmos – , com os 
mesmos vetores dados anteriormente, faremos:
Observe que o vetor – tem o mesmo módulo e direção, mas sentido 
contrário ao vetor + .
Um outro modo de se fazer a subtração graficamente consiste em colocar os 
dois vetores com uma origem comum. Para efetuarmos a diferença – , ligamos 
a extremidade do segundo ( ) à origem do primeiro ( ). Vejamos:
Veja que o vetor resultante é o mesmo 
que o anterior.
A Adição de Vetores :: Método 
Gráfico
Consideremos , e grandezas vetoriais quaisquer, de módulo 3, 2 e 1, 
respectivamente, representadas graficamente a seguir:
Para fazer a soma + + , graficamente, escolhemos uma origem, e 
colocamos os vetores um em seguida do outro. A soma é obtida ligando-se a 
origem do primeiro à extremidade do último:
A ordem dos vetores não altera a sua soma (a soma vetorial é comutativa). 
Vamos somar na seguinte ordem: + + :
Veja que o vetor resultante é igual ao anterior (tem o mesmo módulo, 
direção e sentido).
Atividade 2
Utilize uma régua e faça você a soma dos vetores na ordem + + , a 
partir da origem O indicada a seguir. Verifique se o vetor resultante é o mesmo 
dos casos anteriores.
10 10
a
b
c
A extremidade (ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.
r
V
r
V
r
V
r
V

a

b

c

a

b

c
a
b
c
R
R = a + b + c
b
c
R
a
Este é o vetor resultante e seu 
comprimento representa o módulo.
a
b
c
R
R = a + b + c
b
c
R
a
Este é o vetor resultante e seu 
comprimento representa o módulo.

a

b

c

R
10 10
a
b
c
A extremidade (ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.
r
V
r
V
r
V
r
V
10 10
a
b
c
A extremidade (ponta) da seta 
nos indica o Sentido do vetor.
Esta é a Origem do vetor.
O comprimento da seta nos indica o 
Módulo (ou Intensidade) do vetor.
Esta é a chamada reta suporte e sua 
inclinação nos indica a Direção do vetor.
r
V
r
V
r
V
r
V

a

b

c
O
•
a
b
a
b
a
b
R
Este é o vetor resultante.
O
•
a
b
a
b
a
b
R
Este é o vetor resultante.
O
•
a
b
a
b
a
b
R
Este é o vetor resultante.

a

b

a

b

a

b

b

b
a
b R
a
b
R
a b
R
R a
b
a
b
R
α
F
F x
y
F
x
y
Resultante

b

a
a
b R
a
b
R
a b
R
R a
b
a
b
R
α
F
F x
y
F
x
y
Resultante

R
O
10 :: FísiCa :: Módulo 1
 e são as componentes de .
A seguir, vamos olhar em detalhe o triângulo retângulo da figura anterior, 
onde o cateto Fx é o módulo de ; o cateto Fy é o módulo de e a hipotenusa é o 
módulo do nosso vetor (vamos representar os módulos dos vetores pela mesma 
letra, mas sem a “setinha” superposta).
Lembrando as definições de seno e cosseno de um ângulo agudo (menor que 
o ângulo reto), num triângulo retângulo, temos:
 e 
Logo, no triângulo retângulo que vimos, temos:
E também:
Vamos nos lembrar de que a tangente de um ângulo é dada por:
Logo, temos:
A tangente do ângulo nos indica a inclinação da hipotenusa. Assim, nesses 
casos, conhecida a tangente do ângulo fica conhecida a direção do vetor (no caso 
o nosso vetor ).
Atividade 3
Mostre você que a tangente pode ser dada pela razão entre o seno e o 
cosseno do ângulo, isto é, mostre que .
Casos Especiais
Podemos determinar facilmente o módulo do vetor resultante em três casos 
particulares: quando os vetores têm o mesmo sentido, quando têm sentidos 
opostos, e quando são perpendiculares. Vejamos a soma dos vetores e em 
cada caso.
1o caso: e têm o mesmo sentido. Em módulo, temos que R = a + b 
como na soma algébrica comum.
2o caso: e têm sentidos opostos. Neste caso, R = a – b, como na soma 
algébrica comum.
3o caso: e são perpendiculares. Aqui aplicamos o teorema de 
Pitágoras: . Podemos escrever, também, em termos dos módulos 
dos vetores:
Teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo o 
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos catetos.
Decomposição de um Vetor em 
Componentes Perpendiculares
Já vimos como podemos encontrar a resultante de dois vetores perpendiculares, 
utilizando o teorema de Pitágoras. Em nosso estudo, como veremos mais adiante 
na decomposição dos movimentos ou das forças que atuam sobre um corpo, é 
conveniente que façamos o inverso, isto é, conhecendo um vetor, encontremos as 
suas componentes perpendiculares.
Consideremos um vetor que faz um ângulo α com o eixo horizontal 
(eixo x). As suas componentes horizontal e vertical são as projeções de 
 sobre os eixos x e y, conforme a figura a seguir:



R a b= +2
2
R a b= +2 2
a
b R
a
b
R
a b
R
R a
b
a
b
R
α
F
F x
y
F
x
y
Resultante
a
b R
a
b
R
a b
R
R a
b
a
b
R
α
F
F x
y
F
x
y
Resultante
a
b R
a
b
R
a b
R
R a
b
a
b
R
α
F
F x
y
F
x
y
Resultante
a
b R
a
b
R
a b
R
R a
b
a
b
R
α
F
F x
y
F
x
y
Resultante

a

b

a

b

a

b

a

b

F

Fx 

Fy 

F

Fx 

Fy 

F

F

Fx 

Fy 
seno
cateto
hipotenus
 (de um angulo)
 oposto a esse anguloˆ
ˆ
=
aa
cosseno (de um angulo)
cateto adjacente a esse angulo
hip
ˆ
ˆ
=
ootenusa
tangente (de um angulo)
cateto oposto ao angulo
cateto ad
ˆ
ˆ
=
jjacente ao anguloˆ
t g
Fy 
F
 
 x
α =
t g
sen
 
 
cos 
α α
α
=
α
F
F
Fy
x
Este cateto é oposto ao ângulo α e 
tem o mesmo comprimento que Fy.
Este cateto é um dos lados do ângulo α. 
Ele é adjacente ao ângulo α.
Esta é a hipotenusa.
sen
F
F
F seny y onde F 
 
 α α= =
cos cos onde F x xα α= =
F
F
F

F
CaPítulo 1 :: 11
É de grande utilidade conhecermos os valores do seno, do cosseno e da 
tangente dos ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º, muito comuns nos problemas de 
física. A seguir, temos a tabela onde deixamos alguns valores para você completar 
com base nas definições dadas, anteriormente.
Ângulo 
(em graus)
seno cosseno tangente
0 0 1 0
30
45
60
90 1 ∞
Exemplo
A força também é uma grandeza vetorial. Suponha que uma pessoa 
está puxando uma caixa sobre um piso bem liso, fazendo uma força de 10 N 
(newtons), segundo um ângulo de 45º com a horizontal de modo que a caixa é 
arrastada para a direita, conforme ilustrado na figura abaixo.
Neste caso, a força que realmente faz a caixa se mover é apenas a 
componente da força na direção do movimento, sua componente . Vejamos:
Assim, a força na direção do movimento (x) será:
E a componente vertical de , , o que faz? (pense um pouco e discuta com 
os colegas em sala).
O Sistema Internacional 
de Unidades
As grandezas físicas podem ser medidas em muitas unidades diferentes. 
O comprimento, por exemplo, pode ser medido em centímetros, metrosou 
quilômetros. Já nos países de língua inglesa, é comum o uso da polegada 
como unidade de comprimento. Para que fossem uniformizadas as diversas 
unidades de medidas utilizadas no mundo, a maioria dos países resolveu 
adotar as unidades do Sistema Internacional de Unidades (que chamaremos 
S.I.). Este sistema foi proposto na 11a Conferência Geral de Pesos e Medidas, 
sendo o Brasil um de seus signatários. O Brasil adota esse sistema desde 
1960, por meio de uma lei sancionada pelo então presidente da república, 
João Goulart. 
Em 1971, uma nova grandeza mecânica, o mol, foi acrescentada ao S.I. para 
a quantidade de matéria.
Grandezas Fundamentais 
da Mecânica
As grandezas fundamentais da mecânica são o comprimento, a massa e 
o tempo. Suas unidades no Sistema Internacional são dadas no quadro a seguir:
Grandeza Unidade de medida Abreviatura
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
Obs.: Não existe plural de abreviaturas. Por exemplo, 3 metros abrevia-se 
como 3 m e não 3 ms ou pior ainda 3 mts.
Todas as outras grandezas mecânicas são derivadas dessas três fundamentais. 
Por exemplo, a velocidade, como vimos, é a razão entre o comprimento (distância) 
e o tempo, por isso sua unidade S.I. é o m/s. Mais adiante, à medida que formos 
estudando as outras grandezas, veremos quais são suas unidades no S.I.
Existem outras unidades que, por terem um uso muito comum, serão também 
estudadas como, por exemplo, o minuto e a hora para o tempo ou o quilômetro por 
hora (km/h) para a velocidade. Essas são chamadas unidades práticas.
Transformação de Unidades
Para passarmos da unidade prática, km/h (quilômetro por hora) para a 
unidade S.I. de velocidade, o m/s (metro por segundo), fazemos:
Assim, em resumo, temos:
1
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
F Fx cos 45º Newtons= = = ≅ ≅10
2
2
5 2 5 1 41 7i ,
45˚
F
45˚
Fy
xFx
F
y
m/s km/h
c
d
A
B
1
2
3
direção e sentido do movimentocaixa
Multiplicar por 3,6
Dividir por 3,6
45˚
F
45˚
Fy
xFx
F
y
m/s km/h
c
d
A
B
1
2
3
direção e sentido do movimentocaixa
Multiplicar por 3,6
Dividir por 3,6

F

Fx 

Fy 

F
1
1
1000 1
3 6
 
 
 m
3600 s
km
h
m s= =
,
/
45˚
F
45˚
Fy
xFx
F
y
m/s km/h
c
d
A
B
1
2
3
direção e sentido do movimentocaixa
Multiplicar por 3,6
Dividir por 3,6
12 :: FísiCa :: Módulo 1
5) Uma força de 100 newtons faz um ângulo de 30º com o eixo horizontal. 
Calcular os módulos das componentes horizontal e vertical (consulte a tabela 
das funções trigonométricas dada anteriormente).
6) Analise as afirmativas abaixo e assinale se verdadeira (V) ou falsa (F), 
conforme o caso.
a) ( ) Dois vetores de mesma direção têm sempre o mesmo suporte. 
b) ( ) Dois vetores de mesma direção têm sempre o mesmo sentido. 
c) ( ) Dois vetores de mesmo suporte têm sempre a mesma direção.
d) ( ) Dois vetores de mesmo suporte têm sempre o mesmo sentido.
7) Determine graficamente o vetor soma ( ) e o vetor subtração ( ) 
dos vetores dados a seguir.
8) Um ônibus viaja a 108 km/h. Expresse sua velocidade em unidades do sistema 
internacional.
9) A grandeza trabalho (τ) pode ser definida como o produto da força pelo 
deslocamento, sendo sua unidade SI (no sistema internacional de unidades) 
chamada de J (joule). A grandeza força é definida como o produto da massa pela 
aceleração. Escreva o J em termos das unidades fundamentais (também chamadas 
primárias) do SI .
Exercícios 
1) Como podemos distinguir entre uma grandeza escalar e uma grandeza 
vetorial?
2) Identifique cada uma das grandezas a seguir, escrevendo V ou E, entre os 
parênteses, conforme a grandeza seja vetorial ou escalar, respectivamente.
a) Temperatura ( ) 
b) Volume ( ) 
c) Peso ( )
d) Massa ( ) 
e) Força ( ) 
f) Pressão ( )
g) Comprimento ( ) 
h) Voltagem ( ) 
i) Tempo ( )
j) Velocidade ( ) 
k) Aceleração ( ) 
l) Campo elétrico ( )
m) Corrente elétrica ( )
3) Cite algumas unidades práticas (usuais) que não se encontram no S.I. para o 
comprimento e a velocidade.
4) Dados os vetores e representados, encontre, graficamente, os vetores 
resultantes das operações que se pede:
a) + 
b) – 
c) – 
45˚
F
45˚
Fy
xFx
F
y
m/s km/h
c
d
A
B
1
2
3
direção e sentido do movimentocaixa
Multiplicar por 3,6
Dividir por 3,6

c

d

c

d

c

d

c

d

Fx 

Fy 


a b+


a b−
a
�
b
�
a
�
b
�
a + b
��a – b
��
[ ]:: Meta ::Definir os prinicipais conceitos físicos necessários para o estudo dos movimentos dos corpos.:: Objetivos ::• Conhecer os conceitos de movimento, repouso, deslocamento, posição, trajetória e referencial;• Caracterizar a velocidade de um móvel;• Resolver problemas e analisar gráficos do movimento uniforme.
2
Introdução ao Estudo da Cinemática:
movimento retilíneo uniforme (mru)
14 :: FísiCa :: Módulo 1
Podemos representar as coordenadas da posição, por exemplo, em um 
sistema de dois eixos perpendiculares, x e y, onde cada “par ordenado” (x, y) 
indica uma posição. Veja a figura a seguir:
Com esse sistema de eixos podemos representar muitos tipos de movimentos 
por meio de seus gráficos. Por exemplo, o gráfico da posição S em função do 
temopo t. Em vez do par de números puros x e y, o par (x, y), usamos o par 
ordenado (S, t), isto é, a posição S onde o móvel se encontra e o instante t 
correspondente àquela posição.
No caso do movimento retilíneo uniforme que estamos estudando, precisamos 
de apenas um eixo, isto é, podemos trabalhar em apenas uma dimensão. 
Exemplo
Consideremos o movimento de uma formiguinha que caminha do ponto A ao 
ponto B. Ela pode fazer o percurso através de inúmeras trajetórias. Por exemplo, 
as trajetórias 1, 2 ou 3.
Um Sistema de Referência: 
os Eixos Cartesianos
É importante sabermos localizar o móvel na trajetória. Para isto, vamos 
utilizar um sistema de referência chamado de eixos cartesianos, idealizado por 
René Descartes.
René Descartes (1596–1650)
Introdução
A Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento dos corpos, 
abrangendo, por exemplo, desde o movimento de um carrinho de brinquedo 
descendo uma rampa, uma pedra lançada para o alto, um caixote puxado 
por meio de uma corda ou mesmo o movimento dos planetas e das estrelas 
distantes. Através das leis, definições e equações que regem os movimentos, 
podemos prever onde um móvel irá chegar, e quando chegará em um outro 
lugar do espaço, desde que conheçamos sua posição e sua velocidade em um 
determinado instante inicial.
Estudaremos em primeiro lugar, nos capítulos de número 2 a 8 apenas os 
principais tipos de movimentos, sem nos preocupar com suas causas e efeitos. 
A essa parte da Mecânica chamamos de Cinemática. Nos capítulos seguintes, 
estudaremos as leis que regem o movimento dos corpos assim como as causas e 
efeitos desses movimentos. A essa parte do estudo chamamos de Dinâmica (ou 
Mecânica propriamente dita).
Estudaremos também um caso particular do movimento, que é a situação (ou 
“estado”) de repouso, e suas condições. A essa parte da mecânica chamamos de 
Estática.
Para iniciar os nossos estudos de cinemática é necessário conhecer alguns 
conceitos relativos aos movimentos bastantes gerais e importantes, que 
definiremos a seguir.
Referencial e Trajetória
Imagine que você está viajando em um ônibus. Se olhar pela janela verá 
as casas, os postes de luz, as pessoas lá fora se movendo para trás em relação 
a você. Caso olhe o passageiro sentado no banco a seu lado, dirá que ele está 
em repouso (parado). Assim, para caracterizarmos um movimento, é necessário 
especificar em relação a que ou a quem o móvel está se movendo (ou está em 
repouso).
Chamamos de referencial a qualquer corpo, objeto, ou 
conjunto de objetos em relação aos quais verificamos se o 
corpo está em movimento ou em repouso.
Um móvel pode, em princípio, fazer qualquer caminho para ir de um ponto 
a outro.
Chamamos trajetória aos sucessivos pontos do espaçoque o corpo ocupa durante o percurso.
45˚
F
45˚
Fy
xFx
F
y
m/s km/h
c
d
A
B
1
2
3
direção e sentido do movimentocaixa
Multiplicar por 3,6
Dividir por 3,6
3–2
3
2
x
y
– 3 – 2 – 1 0 +1 +2 +4+3 +5 +6 +7 +8 +9 +10
(metros)
– 30 – 20 – 10 10 +20 +30 +40 +50 +60 +70 +80 +90 +1000
S i
(metros)
0 ∆S
S (t = 0) (instante t)
(origem)
0
S
t
S0
S
S
t
0
Este é o ponto (–2, 3)
Este é o ponto (3, 2)
S
S
f
Grande filósofo e matemático 
francês criador do sistema de 
eixos coordenados, responsável 
por grande avanço no estudo da 
geometria.
CaPítulo 2 :: 15
Tomamos uma reta orientada, onde estabelecemos uma origem (a posição zero) 
e dividimos a reta em distâncias igualmente espaçadas, por exemplo, em metros e 
orientamos a reta para a direita, indicando seu sentido positivo.
Desse modo, se dizemos que um móvel se encontra na posição 8 significa que 
ele está 8 m à direita da origem. Se dissermos que está na posição -2, significa 
que o móvel está 2 m à esquerda da origem. Não é comum, mas perfeitamente 
possível, orientarmos a reta para a esquerda, isto é, definirmos o sentido esquerdo 
como negativo se isto puder nos facilitar de alguma forma os cálculos.
O Deslocamento (ΔS) e o 
Intervalo de Tempo (Δt)
Sempre usamos a letra grega Δ (delta maiúsculo) para indicar um intervalo 
de uma grandeza qualquer. Vamos chamar as posições sobre a trajetória, 
genericamente de S. Chamaremos a posição inicial Si e a posição final Sf . 
Analogamente, para o tempo, chamaremos ti para o instante inicial e tf o instante 
final. ΔS representará o intervalo entre duas posições e Δt entre dois instantes 
de tempo.
Consideremos um móvel que se encontra na posição Si = 20 m, no instante 
ti = 0 s e que no instante tf = 20 s passa pela posição Sf = 100 m, conforme 
ilustrado no sistema de referência dado a seguir:
O deslocamento é calculado do seguinte modo: ΔS = Sfinal – Sinicial
Assim, no caso, temos o deslocamento: ΔS = Sf – Si = 100 – 20 = 80 m.
Do mesmo modo, o intervalo de tempo é calculado como: Δt = tfinal – tinicial
Assim, no nosso exemplo, Δt = tf – ti = 20 – 0 = 20 s.
A Velocidade Média Vm
Como vimos no Capítulo 1, a velocidade é a grandeza que relaciona o 
caminho percorrido com o tempo gasto no percurso. Com respeito ao móvel que 
estamos considerando, sabemos que ele caminhou de posição 20 m até a posição 
100 m, e que gastou 20 segundos, mas não sabemos o que ocorreu entre essas 
duas posições. Ele pode ter corrido muito, pode ter freado, pode até ter dado uma 
parada, de modo que sua velocidade pode ter variado bastante durante o percurso. 
Quando calculamos a razão entre o deslocamento total ΔS e o intervalo de tempo 
Δt, gasto no percurso, estamos calculando apenas a velocidade média do móvel.
No nosso exemplo, temos:
Obs.: A velocidade real que o móvel possui em cada instante de tempo e em 
cada ponto da trajetória chamamos de velocidade instantânea. Vamos estudar esse 
conceito mais adiante.
Veja que é apenas uma velocidade média, não é necessariamente 
a velocidade do móvel em qualquer instante. Esta definição vale para qualquer 
tipo de movimento. Dessa forma, o caminho percorrido por um móvel ΔS em 
um intervalo de tempo Δt pode ser sempre calculado por ΔS = Vm.Δt desde que 
consigamos calcular ou conheçamos a velocidade média Vm do móvel.
O Movimento Retilíneo Uniforme 
(MRU)
O movimento uniforme se caracteriza pela velocidade uniforme, 
isto é, a velocidade é constante durante todo o trajeto. Nesse caso, a 
velocidade média é a própria velocidade do móvel em qualquer instante.
A Equação do Movimento
Consideremos um móvel que está numa posição qualquer S0 da trajetória, 
no instante em que começamos a contar o tempo, isto é, em tinicial = 0, e 
que num instante posterior, t, chega à posição S, conforme representado no 
referencial a seguir.
Durante todo o movimento temos:
 (onde, nesse caso, V é uma constante)
Passando primeiro o t, e depois o S0 para o segundo membro da equação, 
teremos: S = S0 + Vt que é a equação horária do MRU. Tanto a velocidade V 
quanto a posição inicial S0 são constantes.
Exemplo
Consideremos um móvel que caminha em linha reta, com velocidade constante 
de 10 km/h, a partir do quilômetro 30 de uma estrada. Escrever a função horária 
do movimento e calcular a posição do móvel no instante t = 2,5 h.
Solução:
Neste caso, temos S0 = 30 km e V = 10 km/h. Como V é constante, temos 
um MU e a equação do movimento é do tipo S = S0 + V t. Para esse móvel, temos, 
então: S = 30 + 10t onde t está em hora e S em quilômetro.
V
S
t
S S
t
sm 
 f i
 f it
 m= ∆
∆
=
−
−
= −
−
= =100 20
20 0
80
20
4 /
3–2
3
2
x
y
– 3 – 2 – 1 0 +1 +2 +4+3 +5 +6 +7 +8 +9 +10
(metros)
– 30 – 20 – 10 10 +20 +30 +40 +50 +60 +70 +80 +90 +1000
S i
(metros)
0 ∆S
S (t = 0) (instante t)
(origem)
0
S
t
S0
S
S
t
0
Este é o ponto (–2, 3)
Este é o ponto (3, 2)
S
S
f
∆
∆
=
−
−
=S
t
V
S
V ou 
S
t
 0
0
3–2
3
2
x
y
– 3 – 2 – 1 0 +1 +2 +4+3 +5 +6 +7 +8 +9 +10
(metros)
– 30 – 20 – 10 10 +20 +30 +40 +50 +60 +70 +80 +90 +1000
S i
(metros)
0 ∆S
S (t = 0) (instante t)
(origem)
0
S
t
S0
S
S
t
0
Este é o ponto (–2, 3)
Este é o ponto (3, 2)
S
S
f
V
S
tm 
= ∆
∆
– 3 – 2 – 1 0 +1 +2 +4+3 +5 +6 +7 +8 +9 +10
(metros)
16 :: FísiCa :: Módulo 1
Calculando a velocidade através do gráfico.
Como nesse caso a velocidade é constante, podemos escolher qualquer 
intervalo de tempo para o cálculo, por exemplo, entre t = 1s e t = 5 s, teremos:
 , como já sabíamos, pois a equação 
do movimento é S = 30 + 10t. 
Logo: S0 = 30 m e V = 10 m/s 
(em S = S0 + Vt, equação horária do MRU).
O gráfico da velocidade. 
Como no caso V = constante e igual a 10 m/s temos:
Exercícios 
1) Um corredor olímpico, disputando a prova dos 100 metros rasos, fez o percurso 
em 10 segundos. Calcule a velocidade média do atleta.
2) Você observa o clarão de um raio numa noite chuvosa e, 3 segundos depois, 
escuta o barulho do trovão. Sabendo que o som se propaga a aproximadamente 
340 m/s no ar, calcule a que distância de você caiu o raio.
3) Um motorista de um ônibus levou 2,0 h para ir de Niterói a Nova Friburgo, 
percorrendo uma distância aproximada de 130 km, tendo parado 30 min para 
fazer um lanche. Determine a velocidade escalar média do ônibus em km/h e em 
m/s, ao final da viagem.
A posição do móvel em t = 2,5 h será: 
S = 30 + 10 × 2,5 = 30 + 25 = 55 km.
Gráficos do MRU
Gráfico da Posição em Função do Tempo S × t
De um modo geral, temos:
Se a velocidade V é positiva, S aumenta linearmente com o tempo.
 Representação da reta
 S = S0 + vt
Se a velocidade V é negativa, S diminui linearmente com o tempo.
 Representação da reta
 S = S0 – vt
Gráfico de V × t para o MRU
Como a velocidade é constante, temos:
Vejamos um exemplo numérico:
Exemplo
Vamos rever o exemplo anterior onde o móvel tem equação horária S = 30 + 
10t no S.I. Calculando-se as posições do móvel para os instantes t = 0, t = 1, t = 2, 
t = 3, t = 4 e t = 5 segundos, podemos preencher a tabela:
tempo (s) 0 1 2 3 4 5
posição (m) 30 40 50 60 70 80
e construir os gráficos da posição e da velocidade em função do tempo para 
este móvel:
Para fazer o gráfico de S = 30 + 10t, primeiro marcamos as posições para 
cada par ordenado (t, S): (0, 30); (1, 40); (2, 50) etc. Depois ligamos os 
pontos.
t
v
V
80
60
40
S (m)
t (s)31
20
0 4
0 32 5 t (s)
10
20
30
40
50
V (m/s)
0 2 8 10
20
40
60
S (m)
t (s)
2
1 4
4 6
5
t
v
V
80
60
40
S (m)
t (s)31
20
0 4
0 32 5 t (s)
10
20
30
40
50
V (m/s)
0 2 8 10
20
40
60
S (m)
t (s)
2
1 4
4 6
5
3–2
3
2
x
y
– 3 – 2 – 1 0 +1 +2 +4+3 +5 +6 +7 +8 +9 +10
(metros)
– 30 – 20 – 10 10 +20 +30 +40 +50 +60 +70 +80 +90 +1000
S i
(metros)
0 ∆S
S (t = 0) (instante t)
(origem)
0
S
t
S0
S
S
t
0
Este é o ponto (–2, 3)
Este é o ponto (3, 2)
S
S
f
3–2
3
2
x
y
– 3 – 2 – 1 0 +1 +2 +4+3 +5 +6 +7 +8 +9 +10
(metros)
– 30 –20 – 10 10 +20 +30 +40 +50 +60 +70 +80 +90 +1000
S i
(metros)
0 ∆S
S (t = 0) (instante t)
(origem)
0
S
t
S0
S
S
t
0
Este é o ponto (–2, 3)
Este é o ponto (3, 2)
S
S
f
V
S
t
m
s= =
−
−
= =
∆
∆
80 40
5 1
40
4
10
0 32 5 t (s)
5
10
15
V (m/s)
1 4
CaPítulo 2 :: 17
4) Um carro percorre 20 km com velocidade constante e igual a 60 km/h e, a 
seguir, 60 km também com velocidade constante e igual a 90 km/h, na mesma 
direção e sentido. Determine sua velocidade média nos 80 km assim percorridos.
5) A equação horária para o movimento de um móvel é S = 2,0 + 4,0t, sendo S 
expresso em metro e t em segundo.
a) Determine a posição escalar inicial.
b) Determine a velocidade escalar.
c) Determine a posição escalar no instante 1,5 s.
6) Dois móveis, A e B, descrevem a mesma trajetória retilínea, com equações 
horárias SA = 20 + 5t e SB = 50 – 10t, sendo S expresso em metro e t em 
segundo. Sabendo que os móveis partiram ao mesmo tempo de suas posições 
iniciais, calcule a posição e o instante em que os dois móveis se encontram.
7) O gráfico de S × t para o movimento de um móvel está representado na figura 
a seguir.
Pede-se:
a) a posição inicial S0 do móvel.
b) A posição do móvel no instante t = 5 s.
c) Calcular a velocidade do móvel.
d) Escrever a equação horária do movimento.
t
v
V
80
60
40
S (m)
t (s)31
20
0 4
0 32 5 t (s)
10
20
30
40
50
V (m/s)
0 2 8 10
20
40
60
S (m)
t (s)
2
1 4
4 6
5
8) (UEL/2001) Um pequeno animal desloca-se com velocidade média igual a 0,5 
m/s. A velocidade desse animal em km/dia é: 
(A) 13,8 
(B) 48,3 
(C) 43,2 
(D) 1,80 
(E) 4,30.
9) (UFPE/2001) Um velocista percorre uma distância de 100 m em 10 s. 
Quantos quilômetros ele percorre em 10 min, supondo que ele mantenha essa 
mesma velocidade média? 
(A) 6,0 km
(B) 5,0 km
(C) 7,0 km 
(D) 4,0 km
(E) 3,0 km.
10) (UFPE/2002) A equação horária para o movimento de uma partícula é 
x(t) = 15 – 2t, onde x é dado em metros e t em segundos. Calcule o tempo, em 
segundos, para que a partícula percorra uma distância que é o dobro da distância 
à origem no instante t = 0 s.
(A) 10 s 
(B) 20 s
(C) 30 s 
(D) 15 s 
(E) 12 s.
11) (Cederj/2007) Um ônibus e um caminhão partem simultaneamente da 
cidade A com destino à cidade B, distante 120 km de A. O ônibus faz a viagem 
com uma velocidade escalar média de 80 km/h e o caminhão, com velocidade 
escalar média de 75 km/h. Sendo assim, o ônibus chegou à cidade B:
(A) 4 minutos antes do caminhão; 
(B) 6 minutos antes do caminhão;
(C) 8 minutos antes do caminhão; 
(D) 10 minutos antes do caminhão;
(E) 12 minutos antes do caminhão.
12) (ESFA0-RJ/1999) Um carro de bombeiros, para atender um chamado, sai 
do quartel às 14h 32min, percorrendo 10,0 km até o local do sinistro. Tendo 
chegado a esse local às 14h 40min, e gasto 2,5 litros de combustível, calcule, 
para o trajeto de ida:
a) a velocidade média da viatura, em km/ h;
b) o consumo médio de combustível, em km/litro.
18 :: FísiCa :: Módulo 1
13) (Cederj/2004) Um atleta corre durante duas horas seguidas com um 
aparelho que registra o número de seus batimentos cardíacos por minuto, mas sem 
registrar a distância percorrida. O aparelho registrou 100 batimentos por minuto 
durante a primeira meia hora, 120 batimentos por minuto na hora seguinte e, 
finalmente, 145 batimentos por minuto na meia hora final. A relação entre a 
frequência cardíaca e a velocidade desse atleta é conhecida e dada no gráfico 
seguinte.
Determine a distância percorrida pelo atleta durante as duas horas de 
treinamento. 
Dica: durante a meia hora inicial, como diz o enunciado, os batimentos 
cardíacos do atleta permaneceram na marca de 100 batimentos por minuto. 
De acordo com o gráfico a sua velocidade era de 6 km/h. Portanto a distância 
percorrida nesse intervalo foi D1 = 6 (km/h) . 1/2 (h) = 3 km. Siga esse raciocínio 
e calcule as respectivas distâncias na hora seguinte e na meia hora final...
14) (UERJ/2000 – modificado) Um juiz, que está na posição J da figura a seguir, 
apita uma falta num instante t0 . Um goleiro, na posição G, leva um intervalo de 
tempo Δt1 = t1 – t0 para ouvir o som do apito, propagado ao longo do segmento 
JG. Decorrido um intervalo de tempo Δt2 = t2 – t1 , o goleiro houve o eco dessa 
onda sonora, através de sua reflexão num ponto P da parede. Considerando que a 
velocidade do som no ar é 340 m/s e que a distância entre o goleiro e o juiz é de 
60 m, determine o valor, em segundos, de:
a) Δt1
b) Δt2
15) (Unificado-RJ/2000) Na figura temos uma “malha” formada por 16 
retângulos iguais.
 M
 P
Uma partícula deve ir do ponto P ao ponto M percorrendo a menor distância 
possível, deslocando-se somente por sobre as linhas da figura e com velocidade 
média de 2 cm/s. Como exemplo, temos a seguir, uma representação de um 
desses caminhos.
 M
 P
Se a partícula leva 16 segundos para completar o percurso, pode-se concluir 
que o perímetro de cada retângulo, em cm, mede:
(A) 32
(B) 24
(C) 16
(D) 8
(E) 4
1
90
100
120
145
No de batimentos por unidade de tempo (min –1)
2 3 4 5 6 7 8
V (km/h)
40 m 40 m
P
J G
1
90
100
120
145
No de batimentos por unidade de tempo (min –1)
2 3 4 5 6 7 8
V (km/h)
40 m 40 m
P
J G
[ ]:: Meta ::Definir aceleração e estudar os movimentos com aceleração constante através de suas equações.:: Objetivos ::• Caracterizar a aceleração de um móvel;• Resolver problemas simples através da utilização das equações do MRUV;• Construir e analisar gráficos do MRUV.
3
O Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado (MRUV)
20 :: FísiCa :: Módulo 1
A variação da velocidade com o tempo é a aceleração. Assim:
Passando primeiro o t e depois o V0 para o segundo membro da equação 
vem: V = V0 + at que é a equação da velocidade para o MRUV onde V0 e a são 
constantes.
Exemplo
Consideremos um móvel que tem velocidade inicial V0 = 10 m/s e que 
aumenta a velocidade com aceleração constante, a = 5 m/s2.
a) Escrever a equação da velocidade.
Solução:
Sabemos que a equação é do tipo V = V0 + at. Assim, com V0 = 10 m/s e a 
= 5 m/s2 temos, no SI: V = 10 + 5t .
b) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.
Solução:
Atribuimos valores para t e calculamos a velocidade para cada instante. Por 
exemplo,
t = 0 s ⇒ 10 + 5 × 0 = 10 m/s
t = 1 s ⇒ 10 + 5 × 1 = 15 m/s
t = 2 s ⇒ 10 + 5 × 2 = 20 m/s
Assim, podemos construir o gráfico:
c) Determinar a velocidade do móvel em t = 3,0 s.
Solução:
Podemos ver diretamente no gráfico (veja você!) onde t = 3,0 s ⇒ V = 25 m/s. 
Ou calculamos analiticamente, usando a equação da velocidade V = 10 + 5t onde 
t = 3,0 s ⇒ V = 10 + 5 × 3, 0 = 10 + 15 = 25 m/s .
A Equação do Deslocamento 
(Equação Horária) do MRUV
Ao estudarmos a velocidade média vimos que para qualquer tipo de movimento 
podemos calcular o caminho percorrido por ΔS = Vm 
.
 t. Para o caso do movimento 
uniformemente variado, pode-se mostrar que a velocidade média entre dois pontos 
A aceleração
No item anterior estudamos o movimento em que a velocidade era constante. 
Normalmente, quando entramos num automóvel ou num ônibus, ele se encontra 
parado e temos que, gradativamente, aumentar a velocidade para fazer a viagem. 
Ao encontrar um sinal fechado, ou quando chegamos no fim da viagem, temos que 
frear para diminuir a velocidade ou mesmo parar. É comum aumentar ou diminuir a 
velocidade durante um percurso. A aceleração mede como a velocidade varia com 
o tempo, do mesmo modo que a velocidade mede como a posição varia com o 
tempo. Quando um motorista aperta o acelerador do automóvel ao chegar em uma 
subida íngreme, mas o carro não aumenta a velocidade, não há aceleração, ela só 
existe quando a velocidade varia.
Definição de aceleração média
Aceleração média é a razão entre a variação da velocidade (ΔV) e o intervalo 
de tempo (Δt) decorrido durante a variação da velocidade. Assim:
Exemplo
Um carro que partindo do repouso (parado), atinge a velocidade de 80 km/hem 10 segundos tem aceleração:
 , isto é, o km/h por segundo. 
Isto significa que a velocidade varia de 8 km/h em cada segundo.
Unidade S.I. de Aceleração
No Sistema Internacional de Unidades a velocidade é medida em m/s e o 
tempo em segundos. Assim, a unidade S.I. De aceleração é o m/s2 pois:
Assim, uma aceleração de um metro por segundo ao quadrado, significa que 
a velocidade varia de um metro por segundo em cada segundo.
A Equação da Velocidade
O movimento uniformemente variado se caracteriza pela aceleração 
constante. Neste caso a velocidade varia uniformemente com o tempo.
Vamos considerar um móvel que sai de uma posição S0 com velocidade 
V0 quando começamos a contar o tempo (em t0 = 0) e que depois de um 
certo tempo, t, chega numa posição S, com velocidade V, mas com aceleração 
constante, conforme ilustra a figura.
a
V
t
V
t
= ∆
∆
=
−
−
V
t
 final inicial
 final inicial
a
V
t
km h
s
= ∆
∆
= =80
10
8
 (km/h)
 (s)
/
m s
s
m
s
m
s
/
= =
s
 
1
2
∆
∆
=
−
−
=V
t
V
a
V
t
 0
0
∆S S
V0 (t = 0) V (instante t)
O (origem) S0
0 1 2 3 4 5
V (m/s)
t (s)
20
40
10
30
∆S S
V0 (t = 0) V (instante t)
O (origem) S0
0 1 2 3 4 5
V (m/s)
t (s)
20
40
10
30
CaPítulo 3 :: 21
Gráficos da Velocidade e da 
Aceleração no MRUV
V = V0 + at
Se V aumenta ... a aceleração é positiva
V = V0 – at
Se V diminui ... a aceleração é negativa
Exemplo
A equação da velocidade em função do tempo para o movimento de uma 
partícula é dada por V = 5,0 + 2,0t (no SI). Esboçar os gráficos de V × t e a × t 
para este movimento.
Veja que para t = 0 s V = 5, 0 m/s e para t = 1,0 s (por exemplo) temos 
V = 7,0 m/s enquanto que a aceleração é igual a 2,0 m/s2 para todo t. Os 
gráficos são:
A “Área” Sob a Curva V × T
Veja que ao calcularmos a “área” sobre a curva da velocidade em função do 
tempo até o eixo dos tempos t, na verdade fazemos o produto de velocidades por 
tempos, e o resultado não é uma “área” mas sim um deslocamento, ou caminho 
percorrido, ΔS.
Exemplo
O gráfico da velocidade em função do tempo para o movimento de um móvel 
está representado na figura a seguir. Pede-se calcular o caminho percorrido pelo 
móvel entre os instantes t = 0 e t = 4,0 s.
do caminho, é igual à média das velocidades entre esses pontos. Isto é, para um 
MRUV temos:
Assim, a equação ΔS = Vm . t se torna
Como no MUV, V = V0 + at, escrevemos:
Finalmente: é a equação horária do MUV onde V0 e a são 
constantes.
Veja que este movimento é bem diferente do movimento uniforme. Aqui a 
velocidade aumenta linearmente com o tempo, mas o deslocamento aumenta bem 
mais rápido. Aumenta de forma quadrática com o tempo (com t “ao quadrado”).
Exemplo
Suponha que um móvel passe pela origem dos movimentos com velocidade 
de 6 m/s, com aceleração constante de 4 m/s2. Vamos escrever a função horária 
do movimento.
Solução:
Nesse caso V0 = 6 m/s e a = 4m/s
2. Assim sua equação horária será:
 , isto é, ΔS = 6t + 2t2
Em que posição estará o móvel no instante t = 2 s?
Temos: ΔS = 6 × 2 + 2 × 22 = 12 + 2 × 4 = 12 + 8 = 20 m
Gráfico de S × t no MRUV
O gráfico tem a forma de uma parábola
 Movimento retardado: Movimento acelerado: 
V
V
 m
 0V=
+
2
∆ =
+
⋅S
V
t
V 0
2
∆ =
+ +
⋅ =
+
S
at V
t
t atV 2V 0 0 0
2 2
2
∆ = +S V t at 0
2
2
∆ = +S t t6 4
2
2
S
t
S0
S
t
S0
0V
V
t0
a
t0
V
t0
V0
a
t0
S
t
S0
S
t
S0
0V
V
t0
a
t0
V
t0
V0
a
t0
t (s)
5,0
1,0
7,0
V (m/s)
t (s)
2,0
a (m/s2)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
A
A
A
1
3
4A 2
y
a = g
V0 = 0
S S V t
at= + − 0 0
2
2
S S V t
at= + + 0 0
2
2
S
t
S0
S
t
S0
0V
V
t0
a
t0
V
t0
V0
a
t0
S
t
S0
S
t
S0
0V
V
t0
a
t0
V
t0
V0
a
t0
S
t
S0
S
t
S0
0V
V
t0
a
t0
V
t0
V0
a
t0
S
t
S0
S
t
S0
0V
V
t0
a
t0
V
t0
V0
a
t0
t (s)
5,0
1,0
7,0
V (m/s)
t (s)
2,0
a (m/s2)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
A
A
A
1
3
4A 2
y
a = g
V0 = 0
22 :: FísiCa :: Módulo 1
Solução:
O caminho percorrido, ΔS, é a “área” sobre a curva. Para facilitar o cálculo 
vamos dividir a “área” do seguinte modo:
Logo,
A Equação de Torricelli
Podemos resolver todos os problemas numéricos de MRUV por meio das 
equações da velocidade V = V0 + at e da equação horária:
Entretanto, são muito comuns os problemas onde não é dado o tempo e, 
nesses casos, torna-se muito útil uma terceira equação, a equação de Torricelli, que 
é obtida pala eliminação do tempo nas duas equações citadas acima.
Esta equação relaciona a velocidade com o deslocamento. Tente você encontrá-
la, como exercício, pela eliminação do tempo nas outras duas equações do MUV.
Exemplo
Suponha um móvel em MRUV com velocidade inicial V0 = 6,0 m/s e 
aceleração a = 4,0 m/s2. Deseja-se calcular a velocidade do móvel ao chegar à 
posição 20 m.
∆ = + + +
∆ =
− ×
+ × + × +
S A A A A
S
 1 2 3 4
 
 
( ) ,
, ,
100 25 2 0
2
25 2 0 100 1 0
1000 1 0
2
75 50 100 50
275
 
 m
×
∆ = + + +
∆ =
,
S
S
t (s)
5,0
1,0
7,0
V (m/s)
t (s)
2,0
a (m/s2)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
A
A
A
1
3
4A 2
y
a = g
V0 = 0
t (s)
5,0
1,0
7,0
V (m/s)
t (s)
2,0
a (m/s2)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
A
A
A
1
3
4A 2
y
a = g
V0 = 0
∆ = +S V t at 0
2
2
V V a S2 2 2= + ∆ 0
Solução:
Podemos calcular o tempo gasto para chegar à posição 20 m:
E depois a velocidade do móvel neste instante de tempo:
V = V0 + at ⇒ V = 6,0 + 4,0 × 2 ⇒ V = 14 m/s.
Como não é dado o tempo, em vez dos cálculos acima podemos usar 
diretamente a equação de Torricelli:
 
Exercícios 
1) Um carro com uma velocidade de 25 m/s freia com aceleração constante e 
percorre 60 m até parar. Calcule o valor da aceleração. 
2) Um avião, partindo do repouso, tem aceleração uniforme na pista e percorre 
a distância de 800 m até levantar voo com velocidade de 100 m/s. Calcule o 
intervalo de tempo gasto nesse processo. 
3) Um carro leva 12 s para atingir a velocidade 100 km/h, partindo do repouso. 
Supondo que sua aceleração seja constante, quanto ele se desloca até atingir essa 
velocidade? 
4) O gráfico da figura representa como varia a posição (S) de um homem em 
função do tempo (t). Determine a velocidade do homem nos instantes: 
a) 5,0 s
b) 20 s
∆ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =S V t at t t t t t 0 s
2 2
2
2
20 6 0
4
2
20 6 0 2 2, ,
V V a S V V V2 2 22 6 0 2 0 4 0 20 196 196 14= + ∆ ⇒ = + × × = ⇒ = ⇒ = 0
2 m/s, , ,
V V a S V V V2 2 22 6 0 2 0 4 0 20 196 196 14= + ∆ ⇒ = + × × = ⇒ = ⇒ = 0
2 m/s, , ,
A
A
B
0
v
t1 t2 t
B
40
20
10 20 30
S(m)
t(s)
t1 t2 tempo
Posição
0
 
V1
V2
4,0
2,0 4,0 6,0 t(s)
V (m/s)
– 3,0
12108,0
 
t(s)
20
40
4,0 8,0 12
V (m/s)
carro 3
carro 2
carro 1
0
 
2,0
– 2,0
– 1,0
1,0
t(s) 
V (m/s)
5,0
CaPítulo 3 :: 23
5) O movimento de dois carros são descritos pelo gráfico da figura a seguir. Com 
respeito às velocidades dos dois móveis podemos afirmar corretamente que: 
(A) são as mesmas em todos os instantes.
(B) são as mesmas no instante t1 .
(C) são as mesmas no instante t2 .
(D) são sempre diferentes e V1>V2 .
(E) são sempre diferentes e V1<V2 .
6) Um movimento uniformemente variado é descrito pela função: 
s = 12 + 10t – t2. Determine a velocidade média no intervalo entre os instantes 
1,0 s e 4,0 s. 
7) Um automóvel com velocidade 90 km/h é freado uniformemente com 
aceleração 2,5 m/s2 até parar. Determine o espaço percorrido pelo automóvel 
durante a freada.
8) A tabela dá os valores da velocidade instantânea de um móvel em função do 
tempo.
 
t (s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
V (m/s) 7,0 10 13 16 19
Determine: 
a) o tipo de movimento.
b) a velocidade inicial.
c) a aceleração.
9) A equação horária de um movimento uniformemente variado é 
s = 5t2 + 20t + 8. A posição e o tempo estão expressosno SI. Determine: 
a) a aceleração
b) a velocidade inicial
c) a posição inicial
d) a equação para a velocidade. 
10) A equação horária de um movimento uniformemente variado é 
s = 2t2 – 24t + 40. A posição e o tempo estão expressos no SI. 
a) Entre quais instantes o movimento é retardado? 
b) Entre quais instantes o movimento é acelerado? 
11) A equação horária de um movimento uniformemente variado é 
s = 5t2 – 35t + 50. A posição e o tempo estão expressos no SI. 
a) Em que instante o móvel passa pela origem das posições? 
b) Em que instante o móvel inverte o sentido do movimento?
12) O um vagão do metrô RJ acelera a partir do repouso a 1,2 m/s2 na estação 
Cinelândia para percorrer a primeira metade da distância até a estação Carioca e 
depois desacelera a –1,2 m/s2 na segunda metade da distância de 1,1 km entre 
as estações. Determine: 
a) o tempo de viagem entre as estações.
b) a velocidade máxima do metrô entre as estações.
 
13) Duas localidades A e B estão separadas pela distância de 180 km. 
Simultaneamente, passam por essa localidade os móveis P e Q. P passa por A 
e dirigi-se a B; Q passa por B e dirigi-se a A. Seus movimentos são uniformes. P 
tem velocidade 90 km/h e Q tem velocidade 60 km/h. Determine o instante e a 
posição do encontro dos móveis. 
A
A
B
0
v
t1 t2 t
B
40
20
10 20 30
S(m)
t(s)
t1 t2 tempo
Posição
0
 
V1
V2
4,0
2,0 4,0 6,0 t(s)
V (m/s)
– 3,0
12108,0
 
t(s)
20
40
4,0 8,0 12
V (m/s)
carro 3
carro 2
carro 1
0
 
2,0
– 2,0
– 1,0
1,0
t(s) 
V (m/s)
5,0
24 :: FísiCa :: Módulo 1
14) A velocidade média de um móvel durante a metade de um percurso é 30 
km/h e esse mesmo móvel tem velocidade média de 10 km/h na metade 
restante desse mesmo percurso. Determine a velocidade média do móvel no 
percurso total. 
15) Você dirige seu automóvel por 8,3 km em uma rodovia reta com velocidade 
igual a 70 km/h. Ao final desse trecho pára por falta de combustível. Você então 
caminha 1,9 km durante 27 min, até encontrar um posto de gasolina. Qual a 
sua velocidade média desde o instante que o carro começou a se mover até você 
chegar ao posto de gasolina?
16) Podemos afirmar que dois móveis que aumentam a velocidade de 20 m/s 
para 60 m/s têm a mesma aceleração?
17) Rubinho Barrichelo aumenta a velocidade de seu carro de 72 km/h para 144 
km/h em 40 segundos. Calcule a aceleração do carro em m/s2.
18) A tabela a seguir, dá valores da velocidade instantânea de um móvel em 
função do tempo:
t(s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
V(m/s) 7,0 10 13 16 19
a) Determine a aceleração escalar.
b) Determine a velocidade inicial (no instante t = 0 s).
19) (UFPE/2001) Um motorista está viajando em uma estrada com velocidade 
constante de 20 m/s. Um cavalo entra na estrada a 50 m adiante e pára. Qual 
a aceleração constante mínima que fará o carro parar imediatamente antes de 
atingir o cavalo? 
(A) 3,0 m/s2 
(B) 4,0 m/s2 
(C) 5,0 m/s2 
(D) 2,0 m/s2
(E) 6,0 m/s2
20) (Cederj/2005) Uma partícula move-se ao longo do eixo OX, sempre no 
sentido positivo, em movimento retilíneo e uniformemente acelerado (MRUV). Ela 
passa pela origem no instante t = 0. No instante t = 2,0 s ela se encontra a 6,0 m 
da origem e no instante t = 4,0 s, a 20,0 m dessa mesma origem.
Calcule:
a) a aceleração da partícula.
b) a sua velocidade no instante inicial.
(Dica: escreva a equação horária da partícula (MRUV) para as duas posições 
dadas no enunciado)
21) (Cederj/2003) Numa rodovia em que a velocidade máxima é de 60 km/h, 
um automóvel movimenta-se à velocidade constante de 108 km/h. Ao perceber 
um radar eletrônico a 125 m de distância, o motorista tenta reduzir a velocidade, 
imprimindo ao automóvel uma aceleração constante de módulo igual a 2,0 m/s2. 
É possível afirmar (corretamente) que o motorista “escapou” da multa ao passar 
pelo radar eletrônico? Apresente uma justificativa numérica para sua resposta.
22) (Cederj/2004) Considere dois carros A e B, que se movimentam ao longo de 
uma estrada retilínea e que no instante t = 0 s estão emparelhados nessa estrada. 
O gráfico desenhado abaixo mostra como variam os módulos das velocidades dos 
carros com o tempo para 0 ≤ t ≤ t2 . Note que nessa figura está marcado o 
instante t1 , que corresponde à única interseção dos gráficos.
A respeito dos movimentos dos carros é correto afirmar que:
(A) no instante t0 os módulos das velocidades dos carros são iguais, mas eles 
se movem em sentidos opostos.
(B) no instante t1 os carros voltam a ficar emparelhados na estrada.
(C) no instante t1 os módulos das velocidades dos carros são iguais, mas 
ambos possuem uma aceleração nula.
(D) embora no instante t1 os módulos das velocidades dos carros sejam 
iguais, a distância percorrida pelo carro A, no intervalo (0, t1) é maior do que a 
percorrida pelo carro B, nesse mesmo intervalo.
(E) os carros estão em movimento não uniforme, os módulos de suas 
acelerações decrescem desde o instante inicial até o instante t1 e crescem a partir 
de t1 .
A
A
B
0
v
t1 t2 t
B
40
20
10 20 30
S(m)
t(s)
t1 t2 tempo
Posição
0
 
V1
V2
4,0
2,0 4,0 6,0 t(s)
V (m/s)
– 3,0
12108,0
 
t(s)
20
40
4,0 8,0 12
V (m/s)
carro 3
carro 2
carro 1
0
 
2,0
– 2,0
– 1,0
1,0
t(s) 
V (m/s)
5,0
[ ]:: Meta ::Utilizar as equações do MUV em situações do cotidiano.:: Objetivos ::• Resolver problemas de um corpo lançado verticalmente no vácuo (queda livre).
4
O Movimento de Queda Livre
26 :: FísiCa :: Módulo 1
. O deslocamento se torna 
. A velocidade V = V0 + at será dada por V = V0 – gt
. E a equação de Torricelli será 
Exemplo
Imagine que uma pedra é lançada para cima, na vertical, com velocidade de 
30 m/s. Vamos calcular (vamos usar g = 10m/s2 para facilitar os cálculos):
a) a posição da pedra após decorridos 2 s.
Solução:
Temos que:
b) a velocidade da pedra também em t = 2 s.
Solução:
Temos que: 
V = V0 – gt ⇒ V = 30 – 10 × 2 = 30 – 20 = 10 ⇒ V = 10 m/s 
c) a altura máxima que a pedra atinge.
Solução:
Veja que ao atingir a altura máxima, a pedra para de subir. Sua velocidade 
se torna momentaneamente nula, mas continua com aceleração, pois 
imediatamente após atingir a altura máxima a pedra continua seu movimento, 
agora aumentando a velocidade, na descida.
Logo temos que com V = 0 e y = ymáximo 
Isto é, 02 = 302 – 2 × 10 . ym ⇒ 02 = 302 – 2 × 10 . ym 
Onde:
Exercícios 
1) Um corpo cai livremente a partir do repouso. Determine: 
a) sua aceleração. 
b) a distância que ele cai em 3,0 s. 
c) sua velocidade após ter caído 70 m. 
d) o intervalo de tempo necessário para atingir a velocidade de 25 m/s. 
Introdução
Um exemplo de movimento retilíneo uniformemente variado é o movimento 
de queda livre. Na realidade quando um corpo cai de grandes alturas seu 
movimento é prejudicado pela resistência do ar. Este não permite que a velocidade 
aumente indefinidamente. Ao falarmos de queda livre, estamos supondo uma 
queda de pequena altura, ou estamos simplesmente desprezando a resistência 
do ar. Nesse caso, todos os corpos caem com a mesma aceleração, chamada de 
aceleração da gravidade.
Próximo ao nível do mar e próximo do equador terrestre, a aceleração da 
gravidade (que chamaremos de g) vale 9,81 m/s2. Essa é a chamada aceleração 
normal da gravidade. Nos exercícios, é comum utilizarmos o valor aproximado de 
10 m/s2, para facilitar as contas.
Vamos estudar três casos bastantes comuns:
i) Um corpo é abandonado a partir do repouso
Vamos imaginar uma pedra que é abandonada a partir do repouso. Como o 
movimento é vertical, vamos orientar nosso sistema de referência para baixo e 
chamar as sucessivas posições simplesmente de y. Veja com atenção os sistemas 
de referência desenhados ao lado de cada caso.
Com V0 = 0 e a = g teremos:
. O deslocamento se torna
. A velocidade V = V0 + at será dada por V = gt
. E podemos também utilizar a equação de Torricelli
 que no caso se torna V2 = 2gy
ii) Um corpo é lançado verticalmentepara baixo
Nesse caso temos uma velocidade inicial V0 ≠ 0:
Com V0 ≠ 0 e a = g teremos:
. O deslocamento se torna 
. A velocidade V = V0 + at será dada por V = V0 + gt
. E a equação de Torricelli se torna 
iii) Um corpo é lançado verticalmente para cima
Nesse caso temos que tomar um pouco mais de cuidado pois o movimento 
é retardado. Após o lançamento, com uma certa velocidade V0, o corpo diminui a 
velocidade. A velocidade está orientada para cima e a aceleração da gravidade é 
sempre “para baixo”. Nesses casos a aceleração será negativa. Assim:
Com V0 ≠ 0 e a = – g teremos:
t (s)
5,0
1,0
7,0
V (m/s)
t (s)
2,0
a (m/s2)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
50
100
1,0 2,0 3,0 4,0
V (m/s)
t (s)
A
A
A
1
3
4A 2
y
a = g
V0 = 0
∆ = +S V t at 0
2
2
y
gt=
2
2
V V a S2 2= + ∆ 0
2
y V t
gt= + 0
2
2
V V gy2 2= + 0
2
y V t
gt= − 0
2
2
V V gy2 2= − 0
2
y V t
gt
y y= − ⇒ = × −
×
= − = ⇒ = 0 
 
 m
2 2
2
30 2
10 2
2
60 20 40 40
V V gv2 2= − 0
2
y ym m= = = ⇒ =
30
20
900
20
45 45
2
 m
a = g
y
V0
0
V
a = g
0
y
R 1
V 2
R 2
C
C
1
2
V 1
Tangente à curva
R
V
V
V
V
V
Trajetória
a = g
y
V0
0
V
a = g
0
y
R 1
V 2
R 2
C
C
1
2
V 1
Tangente à curva
R
V
V
V
V
V
Trajetória
∆ = +S V t at 0
2
2
V V a S2 2= + ∆ 0
2
∆ = +S V t at 0
2
2
V V a S2 2= + ∆ 0
2
CaPítulo 4 :: 27
e) o intervalo de tempo necessário para o corpo cair 3,0 x 102 m.
2) Uma pedra, deixada cair de uma ponte, atinge a água em 5,0 s. Calcule: 
a) a velocidade com que a pedra atinge a água.
b) a altura da ponte. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2.
3) Uma pedra é atirada verticalmente para cima e atinge uma altura de 20 m. 
Determine a velocidade com que ela foi lançada. Despreze a resistência do ar e 
considere g = 10 m/s2. 
4) Uma pedra é atirada verticalmente para cima, com uma velocidade de 20 m/s. 
Ela é apanhada em seu caminho de volta, em um ponto 5,0 m acima de onde ela 
foi lançada. Determine: 
a) A velocidade da pedra quando ela foi apanhada. 
b) A duração de todo o percurso. Despreze a resistência do ar e considere 
g = 10 m/s2.
5) Uma bola é arremessada verticalmente para cima e retorna ao ponto de partida 
em 4,0 s. Determine a velocidade inicial. Despreze a resistência do ar e considere 
g = 10 m/s2.
6) Um míssil é disparado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 
5,0 x 102 m/s. Calcule: 
a) A altura máxima alcançada.
b) O tempo gasto para atingir a altura máxima.
c) A velocidade instantânea ao final de 60 s.
d) Quando ele estará a uma altura de 10 km. Despreze a resistência do ar e 
considere g = 10 m/s2.
7) Deixa-se cair um saco de lastro de um balão que está a 3,0 x 102 m acima do 
chão, subindo com uma velocidade de 13 m/s. Para o saco de lastro, determine: 
a) A máxima altura alcançada.
b) Sua posição e velocidade 5,0 s após ter sido solto.
c) O intervalo de tempo gasto para atingir o chão. Despreze resistência do ar 
e considere g = 10 m/s2.
8) Verificou-se que uma pedra leva 3,0 s para cair do alto de um edifício de 15 
andares até o chão. Despreze a resistência do ar, suponha que a pedra parta do 
repouso e que g = 10 m/s2. Determine a altura do edifício. 
9) Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre uma certa distância 
nos primeiros 2,0 s de queda. Logo, a distância percorrida nos primeiros 6,0 s 
de queda será: 
(A) dupla
(B) tripla
(C) seis vezes maior
(D) nove vezes maior 
(E) doze vezes maior
10) Um corpo cai livremente de uma altura de 200 m. Dividindo esta altura em 
duas partes que possam ser percorridas em tempos iguais, teremos:
(A) 100 m e 100 m
(B) 50 m e 150 m
(C) 75 m e 125 m
(D) 40 m e 160 m
(E) 20 m e 180 m
11) Lançou-se um corpo verticalmente para cima, no vácuo, com velocidade inicial 
igual a 30 m/s, num lugar onde g = 10 m/s2. A altura máxima atingida pelo 
corpo e o tempo decorrido para atingi-la valem, respectivamente: 
(A) 45 m e 3,0 s 
(B) 80 m 4,0 s
(C) 90 m e 3,0 s 
(D) 90 m e 6,0 s 
(E) 90 m e 5,0 s
12) Um corpo é lançado verticalmente para cima, no vácuo, com velocidade inicial 
igual a 40 m/s. Decorridos 7,0 s do lançamento, podemos afirmar que:
(A) a velocidade mudou de sentido e a aceleração também.
(B) a aceleração mudou de sentido e a velocidade não.
(C) o movimento é ascendente e a velocidade é 30 m/s.
28 :: FísiCa :: Módulo 1
(D) o movimento é descendente e a velocidade é 30 m/s.
(E) a velocidade e a aceleração são constantes. 
13) De um mesmo ponto situado acima do solo lançam-se simultaneamente, 
segundo uma mesma vertical, dois corpos (A e B). O corpo A para cima e o corpo 
B para baixo. Ambos com a mesma velocidade inicial. Desprezando a resistência 
do ar, podemos concluir que:
(A) A chega ao solo antes de B e com velocidade maior.
(B) A chega ao solo depois de B e com velocidade maior.
(C) A e B chegam ao solo simultaneamente e com a mesma velocidade.
(D) A chega ao solo depois de B e com a mesma velocidade.
(E) A chega ao solo antes de B e com a mesma velocidade.
14) Um pedra é lançada da superfície da Terra, verticalmente para cima com 
velocidade inicial de 9,4 m/s. Ao atingir a sua altura máxima, os módulos da 
velocidade e da aceleração da pedra serão, respectivamente, iguais a:
(A) 9,4 m/s e 9,8 m/s2 
(B) 0,0 e 0,0 
(C) 9,4 m/s e 0,0 
(D) 4,7 m/s e 9,8 m/s2 
(E) 0,0 m/s e 9,8 m/s2
15) Deixa-se cair uma pedra em um poço e ouve-se o choque da pedra contra 
o fundo 9,0 s depois. Desprezando-se a resistência do ar, considerando-se a 
velocidade do som igual a 320 m/s e g = 10 m/s2, podemos concluir que a 
profundidade do poço é:
(A) 80 m
(B) 160 m
(C) 320 m
(D) 40 m
(E) 20 m
16) Um martelo cai de uma construção e atinge o solo com velocidade de 24 
m/s. Considere nula velocidade inicial do martelo e g = 10 m/s2. Determine: 
a) De que altura o martelo caiu.
b) Quanto tempo levou para o martelo cair.
17) (Cederj/2006) Uma pedra é lançada, de uma altura de 15 m do solo, 
verticalmente para cima, e atinge uma altura máxima de 20 m acima do solo. 
Considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s2.
a) Calcule com que velocidade a pedra foi lançada.
b) Calcule o tempo decorrido desde o instante em que atinge a altura máxima 
até o instante em que atinge o solo.
18) Para a mesma pedra do exercício anterior, calcule o tempo para a pedra 
chegar ao chão.
[ ]
:: Meta ::
Introduzir o princípio da decomposição de movimentos de Galileu Galilei na análise do movi-
mento dos projéteis.
:: Objetivos ::
• Reconhecer as trajetórias nos diversos tipos de lançamento de projéteis;
• Calcular a velocidade em um instante qualquer do movimento;
• Calcular o alcance;
• Resolver problemas simples de lançamento de projéteis.
5
Lançamento de Projéteis
30 :: FísiCa :: Módulo 1
Onde o alcance é:
Na direção horizontal x = V0t, assim, o alcance é dado 
por A = V0tq onde tq é o tempo gasto na queda podendo 
ser calculado por (movimento vertical). Utilize 
essas equações para mostrar que o alcance, no caso, é 
dado por .
Exemplo
Uma pedra é lançada horizontalmente do alto de um edifício, com uma 
velocidade inicial de 5 m/s. Desprezando a resistência do ar e supondo g = 
10m/s2, calcule:
a) a posição da pedra 2 segundos após o lançamento;
b) a velocidade da pedra nesse instante.
Solução:
a) A posição é dada pelas coordenadas horizontal x, e vertical y.
b) Para calcular a velocidade precisamos calcular suas componentes Vx e Vy.
Exemplo
Um avião de salvamento, voando horizontalmente a 720 m de altitude com 
velocidade constante de 50 m/s, deixa cair um pacote com medicamentos e 
víveres para um grupo de pessoas no solo. A que distância, medida na horizontal, 
x V t
m
= = × =
=
×
=
 o
2
 m
y=
gt
2
 
 
5 2 10
10 2
2
20
2
V V V m s
V gt V
V
 x o x
 y y
 
 m/s
 m/s
= ⇒ =
= = ⇒ =
= + =
5
10 2 20
5 20 20 62 2
/
,

xt = 0
V
y
V
V
t = 2s
V = V
y
x 0
0
V
0
0x
V
V0y
x
y
h máx
Alcance A
posição (x,y) qualquerP
Aqui Vy = 0
α
V
V
V
x
y
v0
v0
v0
v0
vy
vy
vy
y
x
solo
Introdução
O primeiro cientista a estudar com detalhes o movimento dos projéteis foi 
Galileu Galilei, sua grande contribuição foi ter demonstrado que esses tipos de 
movimento podem ser decompostos em dois movimentos distintos, um horizontal 
e outro vertical, o que permite seu estudo com grande facilidade.
Lançamento Horizontal
Quando um corpo é lançado horizontalmente, no vácuo, seu movimento 
é composto de um movimento horizontal uniforme e de um movimento 
descendente, naturalmente acelerado, descrevendo uma trajetória parabólica. 
Podemos simplesmente usar as equações do movimento uniforme na horizontal 
e as equações do movimento uniformemente acelerado (com aceleração da 
gravidade g) para o movimento vertical, como estudamos na “queda livre”.
Vamos trabalhar com dois eixos, x e y, como na figura a seguir.
A velocidade em cada ponto é tangente à trajetória sendo que a componente 
horizontal, V0, permanece constante enquanto a componente vertical Vy aumenta 
de acordo com a aceleração g, conforme ilustrado na figura a seguir.
Na horizontal temos um movimento uniforme onde a velocidade é Vx = V0 = 
constante e a coordenada x é dada por x = V0t. 
Na vertical temos um movimento de queda livre, assim a velocidade varia de 
acordo com Vy = gt e a coordenada y é dada por .
O Alcance
Quando um corpo é lançado horizontalmente a partir de uma altura h do solo 
uma equação bastante útil é a do alcance, que nos dá a coordenada x de onde o 
corpo cairá.
C
V
V0
x
y
Trajetória parabólica
V
V
V
Vy
y
y
0
0
V
0V
= 0
Movimento uniformemente variado
Movimento uniforme
h
V0
y
xalcance A
C
V
V0
x
y
Trajetória parabólica
V
V
V
Vy
y
y
0
0
V
0V
= 0
Movimento uniformemente variado
Movimento uniforme
h
V0
y
xalcance A
C
V
V0
x
y
Trajetória parabólica
V
V
V
Vy
y
y
0
0
V
0V
= 0
Movimento uniformemente variado
Movimento uniforme
h
V0
y
xalcance A
y
gt=
2
2
A V
h
g
= o
2
y
gt=
2
2
A V
h
g
= o
2
CaPítulo 5 :: 31
o pacote deve ser abandonado do avião para alcançar as pessoas? (O alcance). 
Desprezar a resistência do ar.
Solução:
A distância horizontal que o pacote irá percorrer é dada por x = A = V0t (MU) 
onde o tempo é igual ao tempo que o pacote leva para cair. Calculemos então o 
tempo de queda. 
Na direção vertical temos “queda livre” (MUV) com aceleração g. Assim:
Logo, para esse tempo, o pacote andará na horizontal uma distância de: A = 
V0t = 50 × 12 ⇒ A = 600 m.
E o pacote deve ser abandonado a 600 m antes do grupo de pessoas, na 
direção horizontal.
Obs.: Poderíamos também ter utilizado a equação do alcance. Verifique você 
esta possibilidade!
Atividade 1
Pense você: visto da Terra a trajetória do pacote é uma linha parabólica. Qual 
é o tipo de trajetória obervada por alguém dentro do avião?
Lançamento Oblíquo
No caso do lançamento oblíquo temos que considerar que, desde o início 
do lançamento, a velocidade tem componente vertical e horizontal. A trajetória 
também é parabólica como, por exemplo, podemos observar numa bola chutada 
por um goleiro ao bater o “tiro de meta”. Vejamos a figura a seguir onde a bola é 
lançada com velocidade inicial V0 fazendo um ângulo α com a horizontal
 
h
gt
t
h
g
= ⇒ = = = =
2
2
2 2 720
10
144 12
 
 s

xt = 0
V
y
V
V
t = 2s
V = V
y
x 0
0
V
0
0x
V
V0y
x
y
h máx
Alcance A
posição (x, y) qualquerP
Aqui Vy = 0
α
V
V
V
x
y
v0
v0
v0
v0
vy
vy
vy
y
x
solo
Da mesma forma que no lançamento horizontal vamos descrever o 
movimento da bola decompondo-o em um movimento horizontal, onde não há 
aceleração (nosso velho conhecido MU) e num movimento vertical, um MUV com 
aceleração – g, que também já conhecemos. Vamos então escrever as equações 
correspondentes aos dois movimentos.
As velocidades iniciais agora são V0x = V0 cos α (em x) e V0y = V0 sen α (em 
y). Assim as equações da velocidade se tornam: Vx = V0 cos α que é constante no 
MU e Vy = V0 sen α – gt (o movimento é MUV retardado pois V0y é “para cima” 
e g é “para baixo”).
Para as coordenadas x e y temos: x = V0 cos αt como no MU, 
e como no MUV retardado.
No movimento vertical, em y, onde temos MUV, podemos também usar a 
equação de Torricelli. Do seguinte modo: com V → Vy ; 
V0 → V0 sen α ; a → – g e ΔS → y .
Escrevemos, então:
O Tempo de Subida 
e o Tempo de Descida
Temos que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, pois tanto as 
distâncias como as acelerações são as mesmas. O tempo total do lançamento é a 
soma dos dois. Temos:
Tempo de Subida (para atingir a altura máxima)
Temos que Vy = V0sen α – gt. Na altura máxima t = tsubida e Vy = 0 logo:
O Tempo Total (para subir e descer)
Temos:
Altura Máxima
Na altura máxima aplicamos Torricelli com Vymáx = 0 e ymáx = hmáx
Exemplo
Um projétil é lançado do solo para cima, segundo um ângulo de 60º com a 
horizontal, com velocidade de 400 m/s. Calcule o que se pede: 
Dados: aceleração da gravidade g = 10 m/s2, sen 60º = e cos 60º = 0,5
y V sen t
gt= − o α
2
2
V V sen gy y
2
 o= −( )α
2 2
V V a S2 2= + ∆ 0
2
t
V sen
g subida
 o=
α
t
V sen
g total
 o= 2
α
Logo V V sen gy V sen gh
Assim
a, ( ) ( )
,
m x 
 h
 y
2
 o 
 ma
= − − ⇒ = −0 2 0 22 2α α
xx
 o=
( )V sen
g
α 2
2
3
2
v0
v0
v0
v0
vy
vy
vy
y
x
solo
32 :: FísiCa :: Módulo 1
a) O tempo para o corpo atingir a altura máxima.
b) A altura máxima.
c) O tempo para voltar ao solo.
d) O alcance.
e) A velocidade no instante t = 8 s.
f) A posição do corpo também em t = 8 s.
Solução:
a) O tempo para o corpo atingir a altura máxima:
b) A altura máxima:
c) O tempo para voltar ao solo é igual ao dobro do tempo de subida:
ttotal = 2tsubida = 69,2 s 
d) O alcance:
A = V0 cos α ttotal = 400 × 0,5 × 69,2 = 13.840 m
e) A velocidade em t = 8 s. Para calcularmos a velocidade temos que calcular 
Vx e Vy.
Para calcular V usaremos Pitágoras:
f) A posição em t = 8 s. Temos que calcular x e y em t = 8 s.
Exercícios 
1) Uma esfera rola com velocidade constante de 10 m/s sobre uma mesa 
horizontal. Ao abandonar a mesa, ela fica exclusivamente sob ação da gravidade 
(g = 10 m/s2), atingindo o solo em um ponto situado a 5,0 m da borda da mesa. 
Determine: 
a) O tempo de queda.
b) A altura da mesa.
c) A velocidade da esfera ao atingir ao solo. 
Resp. a) 0,50 s; b) 1,25 m; c) 11,2 m/s.
2) Um avião voa horizontalmente a 2,0 x 103 m de altura com velocidade de 2,5 
x 102 m/s no instante em que abandona um objeto. Determine: 
a) O tempo de queda do objeto.
b) A distância que o objeto percorre na horizontal até atingir o solo.
c) A velocidade do objeto ao tocar o solo. Considere desprezível a resistência 
do ar e g = 10 m/s2. 
Resp. a) 20 s; b) 5,0 x 103 m; c) 3,2 x 102 m/s. 
3) Um corpo é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial 100 m/s, 
numa direção que forma com a horizontal um ângulo θ tal que senθ = 0,80 e 
cosθ = 0,60. Adotando g = 10 m/s2, determine: 
a) Os valores das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante 
de lançamento.
b) A altura máxima atingida pelo corpo.
c) O alcance máximo. 
Resp. a) v0x = 60 m/s e v0y = 80 m/s; b) 320 m; c) 960 m.
4) Um projétil lançado obliquamente a partir do solo descreve uma trajetória 
parabólica tocando o solo novamente num ponto situado 10 m do ponto 
de lançamento. Sendo 10 m/s o menor valor da velocidade durante o 
trajeto, determine a duração do movimento. Despreze a ação do ar e adote 
g = 10 m/s2. 
Resp. 1,0 s
t
V sen
g subida
 o
 
 s= =




=
×
=
α
400
3
2
10
400 3
2 10
34 6,
h
V sen
g max
 o
 
 m=












×
=
( )α 2
2
2
400
3
2
2 10
6000
V V
V V sen gt
 x o
 y o
 m/s
 
= = × =
= − = × − ×
cos ,α
α
400 0 5 200
400
3
2
10 88 266= m/s
V V V V2 2 2200 266 333= + = + ⇒ = x
2
 y
2 m/s
x V t
Y V sen t
gt
= = × × =
= − = × ×
 o
 o
 m
 
cos,α
α
400 0 5 8 1600
2
400
3
2
2
88
10 8
2
2451
2
−
×
=
 
 m
xt = 0
V
y
V
V
t = 2s
V = V
y
x 0
0
V
0
0x
V
V0y
x
y
h máx
Alcance A
posição (x, y) qualquerP
Aqui Vy = 0
α
V
V
V
x
y
v0
v0
v0
v0
vy
vy
vy
y
x
solo
CaPítulo 5 :: 33
5) De um ponto situado a 125 m acima do solo, lança-se um corpo, 
horizontalmente, com velocidade inicial igual a 20 m/s. Determine: 
a) O módulo da velocidade do corpo 3,0 s após o lançamento. 
b) A posição do corpo neste instante.
c) O tempo gasto pelo corpo para atingir o solo.
d) O alcance.
6) Lança-se um projétil com velocidade inicial de 50 m/s, formando um ângulo α 
acima da horizontal (sen = 0,60 e cosα = 0,80). Considerando g = 10 m/s2 e 
desprezando a resistência do ar, pede-se: 
a) O módulo da velocidade do projétil 2,0 s após o lançamento.
b) A posição do projétil no mesmo instante.
c) O tempo gasto para atingir a altura máxima.
d) A altura máxima. 
e) O alcance. 
7) Um projétil é lançado de um ponto situado a 35 m do chão plano e horizontal, 
com velocidade inicial de 50 m/s, formando um ângulo α acima da horizontal 
(senα = 0,60 e cosα = 0,80). Considere g = 10 m/s2 e despreze a resistência 
do ar. Determine: 
a) o tempo gasto para o projétil atingir o solo.
b) o alcance. 
8) Lança-se um projétil com velocidade inicial de 100 m/s, formando um ângulo 
de 30º acima da horizontal. Considere g = 10 m/s2 e despreze a resistência do 
ar. Depois de quanto tempo ele passará por um ponto da sua trajetória situado a 
80 m (distância vertical) acima do ponto de lançamento?
9) Um objeto é lançado de um avião. A partir desse instante são registrados os 
seguintes dados: 
tempo (s) 0 1 2 3
distância horizontal (m) 0 30 60 90 
distância vertical (m) 0 5 20 45
O objeto atinge o solo 20 s após ser lançado. Considere g = 10 m/s2 e 
despreze a resistência do ar. Determine:
a) As equações horárias dos movimentos horizontal e vertical.
b) A equação da trajetória.
 
c) A altura do avião no instante do lançamento.
d) A distância horizontal percorrida pelo objeto até atingir o solo.
10) Do alto de um edifício deixa-se cair uma esfera de chumbo. Simultaneamente, 
atira-se uma esfera de cortiça com velocidade horizontal e igual a 10 m/s. 
Considere desprezível a resistência do ar. A esfera de chumbo atingirá o solo antes, 
ao mesmo tempo ou depois da esfera de cortiça? 
11) Um jogador de futebol chuta uma bola A que permanece no ar um certo 
intervalo de tempo. Um outro jogador chuta uma bola B que permanece no ar 
durante o mesmo intervalo de tempo, mas percorre uma distância horizontal maior. 
a) As alturas máximas atingidas pelas bolas são iguais ou diferentes? 
b) As velocidades iniciais das bolas são iguais ou diferentes? 
c) As inclinações iniciais são iguais ou diferentes? 
12) Um avião voa horizontalmente com velocidade de 80 m/s à altura de 180m 
acima de uma planície horizontal. Um projétil é atirado com destino ao avião, de 
uma arma junto ao solo, no instante quando o avião e a arma se situam na mesma 
vertical. Admita g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Qual deve ser o 
ângulo de tiro, admitindo que o projétil seja lançado com velocidade de 160 m/s? 
34 :: FísiCa :: Módulo 1
(D) IV 
(E) V
18) (UFV/2001) Duas bolas encontram-se a uma mesma altura H em relação ao 
chão. No mesmo instante em que a bola 1 é solta com velocidade inicial nula, a 
bola 2 é lançada horizontalmente. Desconsiderando a resistência do ar, podemos 
afirmar que:
(A) as duas bolas só chegam juntas ao chão caso a massa da bola 2 seja 
maior que a massa da bola 1.
(B) a bola 1 chega primeiro ao chão já que sua trajetória linear é mais curta 
que a trajetória parabólica da bola 2.
(C) a bola 2 chega primeiro ao chão já que, como possui uma velocidade 
inicial diferente de zero, gasta menos tempo do que a bola 1 para percorrer a 
distância vertical H.
(D) as duas bolas chegam juntas ao chão já que, nas duas situações, além da 
altura H ser a mesma, são iguais as componentes verticais das velocidades iniciais, 
bem como as acelerações. 
(E) as duas bolas só chegam juntas ao chão caso a bola 2 seja mais pesada 
que a bola 1.
19) (UFPE/2002) Numa partida de futebol, uma falta é cobrada de modo que 
a bola é lançada segundo um ângulo de 30º com o gramado. A bola alcança uma 
altura máxima de 5,0 m. Qual é o módulo da velocidade inicial da bola em km/h? 
Despreze a resistência do ar. 
(A) 36 km/h
(B) 18 km/h
(C) 72 km/h
(D) 80 km/h
(E) 54 km/h
20) (UFPE/2002) Um projétil é lançado do solo, segundo um ângulo de 15º com 
a horizontal. Ele atinge um alvo no solo que se encontra a uma distância igual ao 
alcance máximo que o projétil teria se fosse lançado com uma velocidade inicial de 
15 m/s e ângulo de lançamento de 45º. Qual foi a velocidade de lançamento do 
projétil, em m/s? Despreze a resistência do ar.
(A) 21,2 m/s
(B) 40 m/s
(C) 36,4 m/s
(D) 12 m/s
(E) 26,3 m/s
21) Um corpo é lançado verticalmente para cima. Com respeito à aceleração (a) 
e à velocidade (V) do corpo ao atingir o ponto mais alto da trajetória podemos 
afirmar corretamente que:
(A) V < 0 e a = 0
(B) V > 0 e a > 0
(C) V = 0 e a = 0
(D) V ≠ 0 e a = 0
(E) V = 0 e a ≠ 0
13) Uma bola é lançada horizontalmente com velocidade inicial igual a 2,0 m/s. 
A bola leva 2,0 s para atingir o solo que é horizontal. Despreze a resistência do 
ar e considere g = 10 m/s2. A bola atinge o solo a que distância da vertical de 
lançamento? 
14) Um projétil é atirado horizontalmente do alto de uma torre de 125 m de 
altura, com velocidade inicial de 80 m/s. Suponha g = 10 m/s2 e calcule:
a) O tempo de queda.
b) A velocidade do projétil ao atingir o solo.
15) Um corpo é lançado, a partir do solo, para cima, segundo um ângulo de 30º 
com a horizontal, com velocidade de 300 m/s. Suponha g = 10 m/s2 e calcule:
a) A altura máxima atingida pelo corpo.
b) O alcance.
16) (UFF/2004) Recentemente o PAM (Programa Alimentar Mundial) efetuou 
lançamentos aéreos de 87 t de alimentos (sem uso de paraquedas) na localidade 
de Luvemba, em Angola. Os produtos foram ensacados e amarrados sobre placas 
de madeira para resistirem ao impacto da queda. www.angola.org
A figura ilustra o instante em que um desses pacotes é abandonado do avião. 
Para um observador em repouso na Terra, o diagrama que melhor representa a 
trajetória do pacote depois de abandonado, é:
(A) I 
(B) II 
(C) III 
(D) IV 
(E) V
17) Com respeito à mesma situação da questão anterior, como estará melhor 
representada a trajetória do pacote visto por um observador dentro do avião?
(A) I 
(B) II 
(C) III 
R
F2
1F
Ângulo qualquer
F
F1
2
R
Forças perpendiculares
R1
F
F2
R = F1 + F2
Forças paralelas
F
R
1 2F
R = F2
_ F1
Acelerado (força agindo) = constante (força nula)
V0 = 0 VVV
V
v
Força feita por você
Força de atrito Força de atrito
Chão
I II III IV V
[ ]
:: Meta ::
Introduzir os conceitos de ângulo central, de velocidade angular e de período e frequência dos 
movimentos periódicos.
:: Objetivos ::
• Identificar e distinguir as grandezas envolvidas no estudo dos movimentos circulares;
• Conhecer e identificar as relações entre as grandezas angulares e as grandezas lineares 
correspondentes;
• Resolver problemas simples de movimento circular uniforme.
6
Movimento Circular Uniforme
36 :: FísiCa :: Módulo 1
Definido dessa forma, o ângulo é medido em radianos. Assim, 1 radiano 
é o ângulo central que subentende um arco igual ao raio. Isso 
corresponde a um ângulo de aproximadamente 57º.
Veja que o radiano é obtido pala razão entre dois comprimentos, por isso é 
uma grandeza adimensional (não tem dimensão).
Exemplo
Observe na figura a seguir, que quando θ corresponder a uma volta completa, 
isto é, quando θ = 360º, teremos um arco de comprimento 2πR (o perímetro da 
circunferência). Assim:
 , isto é, uma volta corresponde o ângulo 
de 2π radianos.
Da mesma forma o ângulo de 90º subentende um arco de do perímetro 
(2πR) do círculo. Assim:
Atividade