AE-II-Series Temporais-ParteIII

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Análise Estatística II-Deptº V- UERJ Profª Fernanda 
 
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II.2 – Método Empírico 
 
Os modelos abordados no Método Analítico, consideram que o movimento extra-
estacional (ft) pode ser representado por uma função analítica. Estes modelos são 
adequados para a análise da evolução de algumas séries temporais 
especialmente “felizes”, pois em muitos casos, o aspecto do movimento extra-
estacional não permite considerar uma evolução linear, exponencial ou ..., isto é, 
nenhuma evolução temporal que possa ser representada por um modelo analítico 
simples definido a priori. Quando as S.T. possuem tendência (movimento extra-
estacional) com estas características, a solução é abandonar o Método Analítico e 
adotar o Método Empírico. 
 
II.2.1.Média Móvel 
 
Chama-se Média Móvel sobre p intervalos (ex: meses) sucessivos de uma função 
g do tempo, onde gt é a observação de g no tempo t (t=1,2,3,...) as médias 
sucessivas da função g sobre p intervalos (ex: meses) consecutivos referidas ao 
instante médio do período formado pelos p intervalos. Assim: 
 
( )pttttp
k
ktp ggggp
g
p
ptM ++++
=
+ ++++==

 ++ ∑ ...112 1 3211 
onde: 
p = período 
t + (p+1)/2 = ponto médio do período 
 
Este período inicia no instante (t+1) e termina no instante (t+p), isto é, 
 
( ) ( )
2
1
2
1 pttpt +++=++ 
 
Este ponto médio do período é um dos instantes de observação se p é impar, pois, 
t + (p+1)/2 é um número inteiro. 
 
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2
 
Caso em que p é impar: 
 
P = 2r + 1 p = período e t = ponto médio 
 
( ) ∑
−=
+=
r
rk
ktp gp
tM 1 
 
Ex: p=11, logo r = 5 
 
( ) ∑
−=
+=
5
5
11 11
1
k
ktgtM 
 
Se queremos calcular a média móvel de período p=11 referida ao instante t=6, 
termos: 
( ) ( )123225
5
711 11
1
11
17 gggggM
k
k ++++== ∑
−=
+ L 
Se queremos calcular a média móvel de período p=11 referida ao instante t=7, 
termos: 
( ) ( )123225
5
711 11
1
11
17 gggggM
k
k ++++== ∑
−=
+ L 
e assim por diante. 
 
Caso em que p é par: 
 
P = 2r p = período e t = ponto médio 
 
Neste caso não existe um instante médio do período (número inteiro). Logo, 
relaciona-se ao instante t a média aritmética das duas médias móveis adjacentes. 
 
( ) 

 +=

 

 ++

 −= ∑∑
+−=
+
−
−=
+
r
rk
kt
r
rk
ktppp gp
g
p
tMtMtM
1
1 11
2
1
2
1
2
1
2
1
 
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3
 
( ) 

 ++= +
−
+−=
+− ∑ rtr
rk
ktrtp gggp
tM
2
1
2
11 1
1
 
 
Isto é, a média móvel Mp(t) é a média ponderada entre os fatores que figuram no 
“colchete”, considerando os pesos: 
1/(2p) : para os valores extremos, 
1/p : Para os valores intermediários 
 
Ex: p=12, logo r = 6 
 
( ) 

 +=

 

 ++

 −= ∑∑
−=
+
−=
+
6
5
5
6
121212 12
1
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
k
kt
k
kt ggtMtMtM 
 
( ) 

 ++= +
−=
+− ∑ 65
5
612 2
1
2
1
12
1
t
k
ktt gggtM 
 
Se queremos calcular a média móvel de período p=12 referida ao instante t=7, 
termos: 
( ) ( ) ( )[ ]13322123216
5
7
5
6
712 24
1
24
1
24
17 ggggggggggM
k
k
k
k +++++++++=+= ∑∑
−=
+
−=
+ LL
 
 
e assim por diante. 
 
II.2.2.1. Propriedades da Média Móvel: 
 
1) em geral, qualquer que seja a paridade de “p”, a média móvel Mp(t) referida ao 
instante t, corresponde ao centro de gravidade dos pontos que tem entre si o 
instante t. 
 
 
 
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2) Resulta da definição de Média Móvel, Mp(t), que se a concavidade da função 
g(t) for de sinal constante no período (t-p/2, t+p/2), então: 
2.1) a Média Móvel é superior a função g(t) se a concavidade da curva 
representativa de g(t) está voltada para a direção do eixo das ordenadas, 
2.2) a Média Móvel é inferior a função g(t) se a concavidade da curva 
representativa de g(t) está voltada para a direção inversa do eixo das 
ordenadas, 
2.3) a Média Móvel é igual a função g(t) se é linear no tempo. 
 
3) As funções g(t) e h(t) tem a mesma Média Móvel sobre p intervalos, se a 
diferença entre estas funções é uma função periódica de período p intervalos, cuja 
média calculada sobre p intervalos consecutivos é nula. 
 
 
yt 
t 
t-2 t-1 t+1 t t+2 
Mp(t) 
g(t) 
CG 
g(t) 
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Exemplo: 
 
Calcular a média móvel de período p = 4 e p=5 
 
t Yt 
1 323 
2 294 
3 305 
4 354 
5 304 
6 296 
7 326 
8 396 
9 325 
10 310 
11 362 
12 435 
13 342 
14 376 
15 399 
16 499 
17 364 
18 410 
19 456 
 
 
 
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II.2.2. Hipóteses Relativas aos Componentes de Uma S.T. 
 
As hipóteses formuladas na análise de S.T. por Métodos Empíricos são as 
seguintes: 
 
1) O mov. Extra-estacional (ft) é uma função qualquer do tempo, 
2) O mov. Estacional (St) é rigorosamente periódico, de período m, 
3) O mov. Residual (Zt) apresenta pequenas amplitudes e média nula em m 
intervalos, 
4) Os três componentes podem se associar segundo os esquemas: 
• Aditivo: Yt = ft + Sj + Zt . Sendo a soma de m coeficientes Sj nula. 
• Multiplicativo: Yt = ft (1+ Sj) (1 + Zt). Sendo a soma de m coeficientes Sj nula. 
• Misto: Yt = ft (1+ aj) + bj + Zt. Sendo a soma de m coeficientes aj nula, assim 
como dos m coeficientes bj também nula. 
 
Devido as hipóteses precedentes, relativas aos movimentos Estacional e Residual, 
os três esquemas conduzem (alguns aproximadamente) a: 
 
∑∑
=
+
=
+ =
m
k
kt
m
k
kt fm
y
m 11
11 
 
As funções yt e ft tem a mesma média móvel sobre m intervalos consecutivos. 
Este resultado se deduz imediatamente de: 
 
01
01
1
1
=
=
∑
∑
=
+
=
+
m
k
kt
m
k
kt
Z
m
S
m
 
 
para o modelo aditivo. No caso do modelo multiplicativo, é necessário além disto 
supor que, sobre m intervalos consecutivos o mov extra-estacional não varia 
muito, assim: 
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01.1
01.1
11
11
==
=≅
∑∑
∑∑
=
+
=
++
=
+
=
++
m
k
kt
m
k
ktkt
m
k
kt
m
k
ktkt
Z
m
fZf
m
S
m
fSf
m
 
 
II.2.3. Estimação do Mov. Extra-estacional por meio da Média Móvel 
 
Supondo que o mov. Extra-estacional apresenta uma curvatura suave sobre m 
intervalos consecutivos, e que as médias móveis sobre o período m das funções ft 
e yt são tais que: 
 
∑∑
=
+
=
+ =
m
k
kt
m
k
kt ym
f
m 11
11
 
 
pode identificar então, a média móvel de período m de yt ao valor da funçõ f 
relativa ao instante médio do período m, isto é, ft+m/2. 
 
Portanto, nos três modelos considerados e mediante as seguintes hipóteses: 
ƒ Periodicidade do mov. Estacional igual a m intervalos, 
ƒ Amplitudes suaves do movimento residual e média nula em m intervalos 
consecutivos, 
ƒ Curvatura suave do mov. Extra-estacional sobre m intervalos consecutivos, 
A média móvel de yt em m intervalos consecutivos é uma estimativa do mov. 
Extra-estacional; (ft) relativa a metade do período. 
 
Esta estimativa apresenta os seguintes inconvenientes: 
• Se dispomos de T=m.n observações (n = número de anos da S.T. e m = 
número de intervalos de observação em um ano) não se pode calcular mais 
que T-m médias móveis, se m é par, ou seja perde-se um ano de 
observações, 
• A média móvel é muito mais inerte (menos variável) que o mov. Extra-
estacional e pode ocultar algumas variações.