Bases matematica AULA 4

Prévia do material em texto

Obje�vos
DEFINIÇÃO
Utilização de funções matemáticas elementares no estudo da
variação do custo, da receita e do lucro no que diz respeito à
quantidade produzida de certa utilidade (ou serviço). Gráficos
dessas funções serão analisados, como também, com base neles,
a taxa de variação de uma variável quando comparada à outra.
PROPÓSITO
Calcular taxas de variação média entre duas grandezas e
interpretá-las. Esboçar e interpretar gráficos que representem a
variação das funções custo, receita e lucro em relação à
quantidade produzida de certa utilidade com o intuito de analisar
o comportamento de cada uma delas quanto ao seu crescimento
e decrescimento.
PREPARAÇÃO
Ao longo deste tema, você precisará de uma calculadora.
✓ Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas
✓ Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento
✓ Interpretar as funções custo, receita e lucro e analisar seus gráficos
✓ Analisar, através de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado
Fonte: shutterstock
Introdução
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir.

Assista ao vídeo Diversos usos das
variáveis.
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos
quantificá-las, utilizamos as funções matemáticas, como
aquelas que você estudou no Ensino Médio, em que,
geralmente, expressamos o valor de uma variável 𝒚 em relação
à outra, que costumamos denotar por 𝒙.
A variável 𝒚 é comumente chamada de variável dependente. A variável 𝒙 é comumente chamada de variável
independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à variável independente, muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa de
variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que 𝒚 varia para cada unidade de 𝒙.
Taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙
Vamos considerar uma variável 𝒚 dada em função de 𝒙, ou seja:
A taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙, num intervalo a ≤ 𝒙 ≤ b (para 𝒙 variando de a até b) é dada por:
1. Esta expressão indica o quanto a variável dependente 𝒚 varia para cada unidade aumentada na variável independente 𝒙.
2. É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega Δ (“delta” maiúscula) antes da sua indicação. Por exemplo, a variação
da variável 𝒙 será notada por Δ𝒙. Sendo assim, a taxa de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 poderá ser expressa por:
3. Algumas vezes, para facilitar representação, os valores a e b, das fórmulas acima são indicados por 𝒙 e 𝒙 , respectivamente. De forma semelhante,
escrevemos:
4. Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
𝒚 =  f(𝒙)
f(b) − f(a)b − a
ΔyΔx = f(b) − f(a)b − a
2 1
y2=f(b) e y1=f(a)
ΔyΔx = y2−y1x2−x1
Exemplo 1
Dada a função 𝒚 = f(𝒙), em que f(𝒙) = 3 + 2𝒙, vamos calcular, inicialmente, a taxa de variação
média de 𝒚 = f(𝒙) para 𝒙 variando de 2 a 5 (2 ≤ 𝒙 ≤ 5).
Passo a passo para a resolução
Fonte: shutterstock
Fonte: shutterstock
Clique nos botões a seguir para ver as informações.
Passo 1 Passo 2 Passo 3
Atenção
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙. É que o tipo de relação entre tais variáveis é linear, pois é descrita
por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de 𝒚 em relação a 𝒙 é uma constante. Experimente calcular as taxas médias para outros
intervalos de 𝒙 e note que o resultado será sempre o mesmo.
Exemplo 2
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função 
𝒚 = f(𝒙) = 𝒙 + 2𝒙.2
Clique nos botões a seguir para ver as informações.
Taxa média de variação de 𝒚 em
relação a 𝒙 no intervalo 0 ≤ 𝒙 ≤ 3.
Taxa média de variação de 𝒚 em
relação a 𝒙 no intervalo 0 ≤ 𝒙 ≤ 2.
Fonte: shutterstock
Atenção
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa de variação constante como a do exemplo anterior.
Exemplo 3
Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho
e, no outro, crescimento.
Considere a função:
f(𝒙) = 𝒙 — 3𝒙 + 𝒙 + 3
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
3 2
Clique nos botões a seguir para ver as informações.
Crescimento de 𝒚 em relação a 𝒙 no
intervalo 1 ≤ 𝒙 ≤ 3.
Decrescimento de 𝒚 em relação a 𝒙 no
intervalo 1 ≤ 𝒙 ≤ 2.
Exemplo 4
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média, mas
considerando também valores nega�vos para 𝒙. 
Considere a função f (𝒙) = 𝒙 — 3𝒙 — 4.2
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo —3 ≤ 𝒙 ≤ —1.
Temos 𝒙 = —3 e 𝒙 = —1. Daí:1 2
y1=f(−3)=
(−3)2−3(−3)−4=
9+9−4=14
e
y2=f(−1)=
(−1)2−3(−1)−4=
1+3−4=0
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = 0-14−1−(−3)
= -142 = - 7
Atenção
Não há, como você pode constatar, nenhuma alteração no processo, porém será preciso atentar-se apenas aos sinais.
Mão na massa
Exercício 1
Dada a função f(x)=5−3x, a sua taxa de variação no intervalo 2≤x≤7  é:
a) —3
b) 5
c) —0,6
d) —5
Resolução
Exercício 2
Dada a função f(x)=−3x2+x−4, sua taxa de variação no intervalo  −1≤x≤2  é:
a) —3
b) —2
c) —4
d) 0
Resolução
Exercício 3
Se a demanda D de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de seu preço unitário D=8.500−5p, a taxa de variação média de D para o
intervalo 500≤p≤1.000  é:
a) —8 unidades/real.
b) 2 unidades/real.
c) 5 unidades/real.
d) —5 unidades/real.
Resolução
Exercício 4
Se a quantidade ofertada S de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em função do seu preço unitário p, em reais, na forma S=2p−240, o quanto essa
quantidade varia, em média, quando o preço sobe de R$150,00 para R$180,00?
a) 240 unidades/real.
b) 20 unidades/real.
c) 2 unidades/real.
d) 12 unidades/real.
Resolução
Exercício 5
Quando uma função associa o custo C de produção de certa utilidade à sua quantidade produzida q, ela é denominada função custo total dessa utilidade.
A taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida, isto é, considerando uma variação de 0 a q unidades produzidas, é denominada custo
variável médio de produção e é dada por CVM(q) =   CT(q)−C(0)q−0 =   CT(q)−C(0)q, em que C (q) é o custo total para a produção de q unidades
dessa utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por CT (q) = 2.000 + q + 0,1q2, qual será o custo variável médio para a produção de 200 unidades? Considere q
em unidades e C em reais.
a) 20 reais/unidade.
b) 21 reais/unidade.
c) 18 reais/unidade.
d) 16 reais/unidade.
T
T
T
Resolução
Exercício 6
A população 𝒚 de uma cidade cresce 5% ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O seu tamanho, 𝒙 anos após 2010, pode ser calculado pela expressão 𝒚 =
40.000 . (1 + 0,05) .
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012 e 2019 é:
a) 1.875 hab/ano.
b) 2.125 hab/ano.
c) 2.565 hab/ano.
d) 2.955 hab/ano.
𝒙
Resolução
Teoria na prá�ca
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a velocidade média. Ela corresponde à taxa média de variação da posição
de um móvel em relação ao tempo. Considere, por exemplo, um móvel que se desloca de acordo com a equação (função horária) em que s corresponde à
sua posição, em metros, no instante t segundos.
s(t) = —t + 10t
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo (Δt), basta calcular a variação média de sua posição nesse intervalo.
Vejamos como é o movimento deste móvel:
Vamos calcular sua velocidade média entre os instantes 1 e 5 segundos. Considerando t = 1 e t = 5 segundos, temos:
s(t ) = — 1 + 10 . 1 = — 1 + 10 = 10 metros
e
s(t ) = s(5) = — 5 + 10 . 5 = — 25 + 50 = 25 metros
2

Assista ao vídeo Teoria na Prática:
Carro em Movimento
1 2
1
2
2
2
As expressões acima correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 1 e 5 segundos. Sendo assim, sua velocidade média nesse
intervalo de tempo será dada por:
Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 = 
 25 m − 9 m5 s − 1 s =
16 m4 s= 4 m/s
Portanto, concluímos que, do instante t = 1s ao instante t = 5s, esse móvel percorreu um trecho de 16 metros em 4 segundos, isto é, sua velocidade média
foi de 4 m/s. Isso não significa que sua velocidade permaneceu constante durante esse tempo. Observe, a seguir, que, se considerarmos o intervalo de tempo
de 1 a 4 segundos, sua velocidade média será diferente da que já calculamos.
Vamos considerar t = 1 e t = 4 segundos. Já vimos que s(1) = 9m. No instante t = 4s, a posição do móvel é dada por s(t ) = s(4) = - 4 + 10 .4 = - 16 + 40
= 24 metros.
Portanto, sua velocidade média nesse novo intervalo de tempo será dada pela expressão a seguir, pois é maior do que no intervalo considerado
anteriormente.
Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 =
 24 m − 9 m4 s − 1 s =
15 m3 s = 5 
O que acontece com esse móvel quando consideramos sua velocidade média entre os instantes t = 6s e t 9s? Vamos ao cálculo.
Temos:
s(t ) = s(6) = — 6 + 10 . 6 = — 36 + 60 = 24 metros
s(t ) = s(9) = — 9 + 10 . 9 = — 81 + 90 = 9 metros
Essas expressões correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 6 e 9 segundos. Observe que são as mesmas posições que esse
móvel ocupou nos instantes 4 e 1 segundos.
Sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por:
Δs Δt=s(t2)−s(t1)t2−t1 = 
9 m − 24 m9 s − 6 s =
−15 m3 s = −5 m⁄s
Temos uma velocidade média negativa, que ocorre quando o móvel se desloca no sentido contrário da trajetória definida anteriormente. Note que, entre os
instantes 1 e 4 segundos e entre 6 e 9 segundos, a distância percorrida é a mesma e em um mesmo intervalo de tempo (3 segundos). No entanto, no
primeiro caso, o móvel sai da posição 9 metros e chega à posição 24 metros, percorrendo a distância de 15 metros, e, no segundo caso, sai da posição 24
metros e chega à posição 9 metros, isto é, percorre a mesma distância, mas no sentido contrário.
1 2
1 2 2 2
2
1 2
1 2
2
2
Verificando o Aprendizado
Atenção!
Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que responda corretamente a uma das questões a
seguir.
O conteúdo ainda não acabou.
Clique aqui e retorne para saber como desbloquear.