AV5 ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - TEORIA DAS ESTRUTURAS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURICIO DE NASSAU – 
UNINASSAU SOBRAL 
 
 
 
 
 
 
 
Antonio Azael Terceiro Pinto 
01383116 
Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AOL5 – ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
TEORIA DAS ESTRUTURAS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOBRAL-CE 
2023 
Conteúdo do exercício 
 
 
1. CONCEITO BÁSICO SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS 
 
O processo dos esforços, também conhecido como método das forças, é 
o processo mais simples quando se trata de resolução de estruturas 
hiperestáticas. Trata-se de um método matemático usado para definir os 
esforços em estruturas hiperestáticas. Esse método se fundamenta nas 
possibilidades matemáticas do método clássico, gerando resultados 
semelhantes, pois combina esforços em números iguais ao grau de 
indeterminação estática. 
Antes de apresentarmos a diferença entre os tipos de estrutura, 
precisamos primeiramente conhecer as condições de equilíbrio estático, que são 
duas. 
A primeira condição necessária para que uma estrutura esteja em 
equilíbrio é que a soma de todas as forças que atuam sobre ela seja zero, ou 
seja, essa forças devem se anular. 
Já a segunda condição necessária para que uma estrutura esteja em 
equilíbrio é que a soma dos momentos (ou torque) em relação a um ponto 
qualquer dessa estrutura também seja zero. Sendo o momento a grandeza 
calculada pelo produtor entre a força aplicada perpendicularmente em 
determinado ponto pela distância entre o ponto de aplicação da força e o eixo de 
rotação. 
 
Tipos de apoio 
Iremos agora conhecer os tipos de apoio para, com isso, saber o grau de 
restrição da estrutura. Isso será importante no momento de determinarmos o grau 
de estaticidade da estrutura. 
Apoio do 1º gênero 
Esse tipo de apoio é assim classificado quando consegue restringir apenas 
o deslocamento vertical, mas permite o deslocamento horizontal e a livre rotação 
da estrutura. É por esse motivo que recebe o nome de primeiro gênero e, 
portanto, possui apenas 1 reação de apoio na direção do deslocamento impedido, 
ou seja, na direção vertical e que chamaremos de RV. Essa situação ocorre, por 
exemplo, quando temos a estrutura apoiada sobre um rolo lubrificado que impede 
apenas o deslocamento vertical, conforme mostra o esquema abaixo. 
 
 
Apoio do 2º gênero 
Esse tipo de apoio é assim classificado quando consegue restringir as 
translações horizontais e verticais, permitindo apenas a rotação da estrutura. É 
por esse motivo que recebe o nome de segundo gênero e, com isso, possui 2 
reações de apoio na direção dos deslocamentos impedidos e que chamaremos 
de RV, RH. Essa situação ocorre, por exemplo, quando temos a estrutura apoiada 
sobre uma chapa presa completamente ao plano-suporte, conforme mostra o 
esquema abaixo. 
 
Apoio do 3º gênero 
Esse tipo de apoio também é chamado de engaste e é assim classificado 
quando consegue restringir todos os movimentos possíveis da estrutura, ou seja, 
as translações horizontais e verticais e a rotação. É por esse motivo que recebe o 
nome de terceiro gênero e, portanto, possui 3 reações de apoio na direção dos 3 
movimentos impedidos, que chamaremos de RH, RV e M. Essa situação ocorre, 
por exemplo, quando ancoramos um elemento estrutural em outro de elevada 
rigidez, conforme mostra o esquema abaixo. 
 
 
Agora que já sabemos as condições de estabilidade e quais as reações de 
apoio devem ser calculadas para cada situação, estamos prontos para classificar 
as estruturas conforme o grau de estaticidade, sabendo que existem 3 tipos: as 
estruturas hipostáticas, as isostáticas e as hiperestáticas. 
Estrutura hipostática 
As estruturas hipostáticas, simplificadamente, são aquelas em que o 
número de reações de apoio é inferior ao número de equações de equilíbrio 
disponíveis. Usualmente, as equações disponíveis são apenas 3, mas em alguns 
casos pode haver mais equações se, por exemplo, existir rótulas na estrutura. 
Para as estruturas hipostáticas, geralmente, há instabilidade. Isso porque os 
apoios são insuficientes para restringir os movimentos da estrutura. Mas pode 
ocorrer também que o próprio carregamento da estrutura consiga impedir os 
graus de liberdade que os apoios não forem capazes de impedir. Nesse caso, há 
o que chamamos de equilíbrio instável. 
Estrutura isostática 
Já as estruturas isostáticas são aquelas em que o número de reações de 
apoio é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis, ou seja, o sistema 
é determinado. No entanto, precisamos nos atentar que esse critério não é 
condição suficiente para afirmarmos o grau de estaticidade da estrutura. Também 
precisamos analisar sua estabilidade. 
Estrutura hiperestática 
Por fim, as estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de 
reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio disponíveis, ou 
seja, o sistema é indeterminado. Nessa situação, assim como nas estruturas 
isostáticas, o equilíbrio deverá estar garantido para que a estrutura seja 
classificada como hiperestática. Caso contrário, será também hipostática. 
O processo dos esforços é uma técnica usada para avaliar estruturas 
hiperestáticas, possibilitando obter as reações de apoio e traçar os seus 
diagramas de esforços solicitantes. Os processos de cálculos de estruturas 
hiperestáticas precisam respeitar sempre as condições de equilíbrio, de 
compatibilidade e dos materiais empregados. Eles são conhecidos como leis 
constitutivas de materiais. 
 
2. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
 
O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual das 
forças externas equivale ao trabalho virtual das forças internas. Neste contexto, 
a palavra virtual significa que as forças e os deslocamentos envolvidos podem 
não corresponder um ao outro, somente é necessário que as forças estejam 
estaticamente admissíveis e os deslocamentos cinematicamente admissíveis. 
 
Um deslocamento virtual é qualquer deslocamento materialmente possível 
imaginado para o sistema frente às restrições determinadas em um especificado 
instante de tempo t; feito de forma coerente ou não com a real dinâmica a ser 
seguida pelo sistema ao evoluir no tempo. 
 
O deslocamento é dito virtual justamente para se fazer distinção entre o 
deslocamento sendo definido e os possíveis deslocamentos reais do sistema - 
que ocorrem em um dado intervalo de tempo dt. No deslocamento real não há 
nada que impeça que os vínculos e as forças aplicadas também se alterem ao 
longo da evolução temporal do sistema, encontrando-se tais vínculos e forças 
contudo por definição essencialmente fixos durante o cômputo de qualquer 
deslocamento virtual. 
 
Nada impede que o deslocamento real a ser seguido pelo sistema 
encontre-se entre os possíveis deslocamentos virtuais, mas não há 
obrigatoriedade em tal relação. 
 
Como exemplo que permite a distinção entre deslocamentos real e virtual 
pode citar-se uma partícula sujeita à restrição de se mover obrigatoriamente em 
uma superfície plana, digamos no interior de duas placas de vidro paralelas. 
Qualquer deslocamento virtual considerado para a partícula tem que dar-se ao 
longo de um plano definido pelas placas em um dado instante de tempo t, 
contudo, se as placas encontrarem-se também em movimento, digamos, ao longo 
de uma direção perpendicular à sua superfície, a trajetória real da partícula no 
intervalo de tempo dt não coincidirá com nenhum caminho virtual possível. 
 
No exemplo em questão percebe-se também que a força de vínculo, 
perpendicular à superfície (força normal), tem a ela associado um trabalho virtual 
sempre nulo; muito embora o trabalho real a ela associado não necessariamente 
o seja. 
 
3. CONCEITOS BÁSICOS DO PROCESSO DE DESLOCAMENTO 
 
O Método dos Deslocamentos pode ser considerado como o método dual 
do Método das Forças. Em ambos os métodos a solução de uma estrutura 
considera os três grupos de condições básicas da Análise Estrutural: condições 
de equilíbrio, condições de compatibilidade entre deslocamentose deformações 
e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais. Entretanto, o Método 
dos Deslocamentos resolve o problema considerando os grupos de condições a 
serem atendidas pelo modelo estrutural na ordem inversa do que é feito pelo 
Método das Forças. 
 
A dualidade entre os dois métodos fica clara quando se observa a 
metodologia utilizada pelo Método dos Deslocamentos para analisar uma 
estrutura. A metodologia de cálculo do método consiste em: somar uma sér ie de 
soluções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem as condições de 
compatibilidade, mas que não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura 
original, para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio 
 
Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método das 
Forças mostrada no capítulo anterior. Cada caso básico satisfaz isoladamente 
as condições de compatibilidade (continuidade interna e compatibilidade com 
respeito aos vínculos externos da estrutura). Entretanto, os casos básicos não 
satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original pois são necessários 
forças e momentos adicionais para manter o equilíbrio. As condições de 
equilíbrio da estrutura ficam restabelecidas quando se superpõem todas as 
soluções básicas. 
 
4. CONCEITOS BÁSICOS DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
O Método dos Elementos Finitos é uma análise matemática que consiste 
na fragmentação de um meio contínuo em pequenos elementos, sem que haja 
alteração das propriedades do meio original. Esses elementos são descritos por 
equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos, para que sejam 
obtidos os resultados desejados. Somente com o advento dos computadores a 
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a_normal
sua viabilização tornou-se possível, facilitando a resolução das enormes 
equações algébricas. O MEF pode ser utilizado em diversas áreas das ciências 
exatas e biológicas e, devido à sua grande aplicabilidade e eficiência, existem 
trabalhos com esta metodologia nas diversas especialidades, quando se deseja 
analisar cargas, tensões ou deslocamentos. Com o contínuo uso desse método 
em pesquisas, com suas vantagens em relação a outros disponíveis, torna-se de 
suma importância o conhecimento da técnica, para que sua utilização possa 
proporcionar benefícios científicos. Para que os trabalhos sejam mais precisos 
em sua interpretação, torna-se primordial que o profissional da engenharia civil 
conheça os conceitos básicos deste método 
 
A idéia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir, 
inicialmente, o domínio do problema, em subdomínios de dimensões finitas tais 
que, o conjunto de todos os subdomínios seja igual ao domínio original. Em 
seguida, sobre cada subdomínio, isoladamente, adota-se um comportamento 
aproximado, local, para as incógnitas do problema (ALVES, 2007). 
 
Devido à complexidade do comportamento material, da geometria, das 
cargas ou das condições de fronteira, há muitos problemas de Engenharia para 
os quais não são conhecidas soluções analíticas. Em tais situações recorre-se a 
métodos numéricos que permitem a obtenção de soluções aproximadas 
(RIBEIRO, 2004). 
 
Um dos métodos mais utilizados é o Método dos Elementos Finitos. Tal 
método implica uma divisão do domínio que se pretende analisar em 
subdomínios, designados por elementos, que se ligam entre si em pontos 
chamados nós. Assim, as soluções são formuladas para cada elemento e a 
seguir são combinadas para obter a solução para o domínio completo (ALVES, 
2007). 
 
Existem um grande número de problemas na Engenharia onde o Método 
dos Elementos Finitos podem ser aplicados, entre as quais se destacam a 
Mecânica dos Solos, a Mecânica Estrutural a Mecânica das Rochas, a 
Condução de Calor, a Engenharia Nuclear e a Hidrodinâmica (AZEVEDO, 2003). 
 
5. FUNDAMENTOS DO PROCESSO CROSS 
 
O Processo de Cross, ou Método da Distribuição de Momentos (White et 
al. 1976), é um método relativamente simples para o cálculo de momentos 
fletores em vigas contínuas, pórticos planos, grelhas e até em pórticos espaciais. 
Este processo é baseado no Método dos Deslocamentos e só se aplica para 
estruturas sem deslocabilidades externas (do tipo translação), isto é, ele só se 
aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades 
do tipo rotação. Apesar desta limitação, o método criado por Hardy Cross na 
década de 1930 (“Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End 
Moments,” Transactions, ASCE, Paper no. 1793, vol. 96, 1936) ainda é utilizado 
hoje para o cálculo de estruturas. 
 
O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande pois possibilitou 
a solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que 
estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns. O concreto 
armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas, com alto grau de 
hiperestaticidade. A aplicação prática do Processo de Cross diminuiu bastante 
pois atualmente se faz uso de programas de computador para a análise de 
estruturas, que geralmente utilizam o Método dos Deslocamentos (embora 
alguns programas utilizem o Processo de Cross como procedimento de análise 
de vigas contínuas). Apesar do uso do Método da Distribuição de Momentos ter 
caído nas últimas décadas, a sua apresentação neste livro tem um objetivo 
acadêmico, pois ele tem um apelo intuitivo muito forte e, por isso, serve para 
uma melhor compreensão do comportamento à flexão de estruturas reticuladas. 
 
Deve-se observar que o Processo de Cross também pode ser aplicado a 
estruturas com deslocabilidades externas, isto é, com translações nodais. Isso é 
feito aplicando-se a metodologia do Método dos Deslocamentos considerando 
como incógnitas apenas as deslocabilidades externas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ALVES, L. M., Métodos dos Elementos Finitos, Curitiba, 2007, Apostila organizada 
como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de Método 
dos Elementos Finitos do Programa de Pós-Graduação da Universidade Federal do 
Paraná. 
AZEVEDO, A. F. M., Método dos Elementos Finitos, Porto – Portugal, 1ª Edição – Abril 
2003, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 
RIBEIRO, F. L. B., Introdução ao método dos elementos finitos, Rio de Janeiro, 2004, 
Notas de Aula do Professor Fernando L B Ribeiro da Universidade Federal do Rio de 
Janeiro. 
SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural – Vol. 1. 6. ed. Rio de Janeiro: 
Globo, 1981. 
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