Vetores: Grandezas Escalares e Vetoriais

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Vetores
→ São segmentos de reta orientados, responsáveis pela caracterização das
grandezas definidas como vetoriais. É importante salientar que a palavra
vetor assume significados diferentes dependendo do contexto em que é
aplicada.
→ Tudo aquilo que pode ser medido é considerado como sendo uma
grandeza. As grandezas são classificadas em dois grupos: escalares e
vetoriais.
→ Escalares: Tipo de grandeza que é definida apenas a partir da informação
do seu valor numérico (módulo), seguido de uma unidade de medida. Massa,
temperatura e energia são exemplos de grandezas escalares;
→ Vetoriais: Tipo de grandeza que possui, além do valor numérico (módulo),
direção e sentido. Força, velocidade e aceleração são exemplos de
grandezas vetoriais.
→ Os vetores representam as grandezas vetoriais e indicam seu
módulo, direção e sentido.
→ O módulo é o valor numérico do vetor seguido da unidade de medida que
define a grandeza vetorial. A direção é a reta onde o vetor está localizado, e
as direções possíveis são: diagonal, horizontal e vertical. O sentido trata-se
de para onde o vetor atua de acordo com sua direção, assim, os sentidos
podem ser para a direita, para a esquerda, para cima, para baixo, para o
leste, para o norte, etc.
→ O vetor representa uma força que atua na horizontal, para a direita e que
possui módulo igual a 50 N.
→ O vetor possui o mesmo módulo do vetor anterior (valor numérico), porém
sua direção é diagonal, com sentido para cima e para esquerda.
Operações vetoriais
→ As operações vetoriais não são realizadas da mesma forma que as
operações algébricas. Os módulos de dois vetores serão somados ou
subtraídos somente se suas direções forem iguais.
→ O módulo do vetor C será a soma dos módulos dos vetores A e B, pois
eles possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Caso os sentidos fossem
opostos, os módulos dos vetores deveriam ser subtraídos, e o vetor
resultante teria o mesmo sentido do maior vetor da operação, que nesse caso
é o vetor A.
→ Se as direções forem diferentes, deve-se aplicar as regras do polígono e
paralelogramo, que determinarão as características do vetor resultante. A
decomposição vetorial é uma operação realizada com vetores para definir
suas componentes horizontal e vertical.
Multiplicação
→ Dado o vetor v = (a,b), o produto do número real k por v é dado pela
expressão:
→ k·v = k·(a,b) = (k·a, k·b)
→ Em outras palavras, para multiplicar um número real por um vetor, deve-se
multiplicar o número real por cada uma de suas coordenadas.
→ Geometricamente, a multiplicação de um vetor por um número real
aumenta o tamanho do vetor linearmente:
→ O vetor u possui coordenadas (2,2), e o vetor u·k possui coordenadas
(4,4). Resolvendo a equação (4,4) = k(2,2), pode-se concluir que k = 2.
Adições
→ Dados dois vetores u = (a,b) e v = (c,d), a soma entre eles será obtida por
meio da expressão:
→ u + v = (a + c, b + d)
→ Em outras palavras, basta somar as coordenadas correspondentes de
cada vetor. Essa operação é expansível para soma de 3 ou mais vetores com
3 ou mais dimensões.
→ Geometricamente, partindo do ponto final do vetor u, desenha-se um vetor
v' paralelo ao vetor v. Partindo do vetor v, desenha-se um vetor u' paralelo ao
vetor u. Esses quatro vetores formam um paralelogramo.
→ O vetor u + v é a seguinte diagonal desse paralelogramo:
Subtração
→ Para subtrair vetores, considere subtração como soma entre um vetor e o
oposto de outro. Por exemplo, para subtrair o vetor v do vetor u, escreve-se: u
– v = u + (-v).
→ O vetor -v é o vetor v, porém, com os sinais das coordenadas invertidos.
→ Dados os vetores u, v e w e os números reais k e l,
● i) (u + v) + w = u + (v + w)
● ii) u + v = v + u
● iii) existe um vetor 0 = (0,0) tal que v + 0 = v
● iv) Existe um vetor -v tal que v + (-v) = 0
● v) k(u + v) = ku + kv
● vi) (k + l)v = kv + lv
● vii) kl(v) = k(lv)
● viii) 1v = v
Norma de um vetor
→ A norma de um vetor é o equivalente ao módulo de um número real, ou
seja, a distância entre um vetor e o ponto (0,0) ou, dependendo do
referencial, o comprimento do vetor.
→ A norma do vetor v = (a,b) é denotada por ||v|| e pode ser calculada por
meio da expressão:
→ ||v|| = √(a2 + b2)
Produto interno
→Produto interno é comparável ao produto entre vetores. Note que o produto
já citado anteriormente é o produto entre um vetor e um número real. Agora, o
“produto” em questão é entre dois vetores. Contudo, não se deve dizer
“produto entre dois vetores”, mas, sim, “produto interno entre dois vetores”. O
produto interno entre os vetores v = (a,b) e u = (c,d) é denotado por <v,u> e
pode ser calculado da seguinte maneira:
● <v,u> = a·c + b·d
● Também é costume utilizar a seguinte notação:
● <v,u> = <(a,b),(c,d)>
● Observe que, utilizando a norma do vetor v = (a,b), podemos relacionar
norma e produto interno.
● ||v|| = √(a2 + b2) = √(a·a + b·b) = √(<v,v>)
Decomposição vetorial
→A decomposição vetorial é uma das operações realizadas com vetores e
pode ser definida como a determinação dos componentes de um vetor
escritos sobre os eixos x e y do plano cartesiano. A figura abaixo traz uma
força, grandeza vetorial, com seus componentes:
→ Os vetores FXe FY são os chamados componentes do vetor F projetados
nos eixos x e y do plano cartesiano. A decomposição vetorial consiste na
determinação de seus valores. Para isso, podemos reorganizar os vetores da
figura acima apenas mudando a posição do vetor FYde forma que um
triângulo retângulo seja formado.
→ Partindo das definições de seno e cosseno e tendo o ângulo θ formado
entre o vetor F e a componente do eixo X, temos:
→ Podemos escrever que o vetor F é a soma vetorial dos vetores FXe FY.
Sendo assim, temos:
Exemplo
→ Imagine uma força F de módulo 100N que faz um ângulo de 30° com o
eixo X. Determine as componentes FXe FY do vetor F.
Fx = F. cosθ
● Fx = 100 .cos30°
● Fx = 100. √3/2
● Fx = 50 √3 N
● FY = F. senθ
● FY = 100 . sen30°
● FY = 100 . 0,5
● FY = 50N
→ Repare que a soma algébrica dos valores dos componentes FXe FYnão
corresponde ao valor da força F. Não podemos confundir operações
algébricas com operações vetoriais. Somando vetorialmente os valores dos
componentes, obteremos o valor de F. Veja:
Regra do paralelogramo
● 1.º Junte as origens dos vetores.
● 2.º Trace uma linha paralela a cada um dos vetores, formando
um paralelogramo.
● 3.º Some a diagonal do paralelogramo.
● Importa referir que nesta regra podemos somar apenas 2
vetores de cada vez.
Regra da poligonal
● 1.º Junte os vetores, um pela origem, outro pela extremidade (ponta).
Faça assim sucessivamente, conforme o número de vetores que
precisa somar.
● 2.º Trace uma linha perpendicular entre a origem do 1.º vetor e a
extremidade do último vetor.
● 3.º Some a linha perpendicular.
● Importa referir que nesta regra podemos somar vários vetores por vez.