EJERCICIOS-RESUELTOS-VECTORES-2016

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DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 0 
2.12. PROBLEMAS RESUELTOS 
 
2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A⃗⃗ | = 10 m , |B⃗⃗ | = 20 m, |C⃗ | = 5 m, |D⃗⃗ | = 22 m, α = 40°, φ =
75°, θ = 35° Hallar: a) σR−D b) RC−C 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
  21,712 288,68 -90 288,68 
,3884
11,020-
Rx
Ry
tg
 resultante vector deldireccion lacalcular para ngentefuncion ta la Aplicando
m 11,861R 11,020- ,3884RyRxR
:Pitagoras de teoremael Aplicando
m 11,020- Ry m ,3884Rx
75sen5-35sen 2240sen 10Ry 2075 cos5 40 cos1053 cos22Rx
Cy-DyAyRy B-Cx-AxDxRx
RyCy-DyAy Rx B-Cx-AxDx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2222
YX






 

 
 
a) Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σR−D ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Datos 
A = 10 m 
α = 40° 
B = 20 m 
C = 5 m 
φ = 75° 
D = 22 m 
θ = 35° 
�⃗⃗� 
𝛼 
�⃗⃗� 
𝜑 
�⃗⃗� 
𝜃 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
𝑩 𝛼 
�⃗⃗� 
𝜑 
�⃗⃗� 
𝜃 
Ax Cx 
Cy 
Dx 
Ay 
Dy 
R 
Ǿ 
Ry 
Rx 
β 
�⃗⃗� 
𝜽 
β 
δ 
�⃗⃗� 
 288,33
712,2153 90
 90
90








𝑪 
�⃗⃗� 
𝜑 
 
15°° 
 
𝛽 
 
𝑪 
𝑹𝑪−𝑪 
 834,8 
)712,2115cos(020,11
)15cos(
mR
R
RR
CC
CC
CC





 
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 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 1 
2.12.2. Tres vectores de |A⃗⃗ | = 100 m, |B⃗⃗ | = 75 m y |C⃗ | = 165 m, tienen como resultante |R⃗⃗ | qué forma 315° con el 
vector B⃗⃗ , asimismo el vector B y C forman un ángulo de 250°. (Nota: los ángulos se miden en sentido contrario 
de las agujas del reloj). Hallar: a) El ángulo que forma el vector A⃗⃗ con la resultante R⃗⃗ , b) La componente del 
vector R⃗⃗ sobre el eje formado por el vector A-A. 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
   
      





 






 






 
813,29 8627,0 2sen 11,8627 2sen 3648,1sencos21 
100
7570cos16570sen165
sensencos2cos 
BCxCy
sencos 
BCxCysenAcosA 
BCxCyAyAx 
CyAyxAx 
RyRx 
2 Ec. Ry CyAy 1 Ec. Rx xAx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2
2
22
2
2
YX




A
CB
CB
 
a) El ángulo que forma el vector A⃗⃗ con la resultante R⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
b) La componente del vector R⃗⃗ sobre el eje formado por el vector A-A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Datos 
 
A = 100 u 
B = 75 u 
C = 165 u 
θ = 70° 
 
R= 
σ = 45° 
 
Ax θ 
α 
Cx 
Ay 
B 
C 
A 
Cy 
R 
σ 
Ry 
Rx 
B 
α 
A 
 θ 
C 



813,74
813,2945



     
 024,39
)813,74cos(962,148
)cos(
R componente la de Calculo
 m 962,481R
 70cos16575813,29cos10045cosR
 x AxRx
 1 Ec. De
A-A
mR
R
RR
CB
AA
AA
AA








 
R 
α 
Ǿ 
A 
σ 
R 
Ǿ 
A 
A 
RA-A 
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2.12.3. Tres vectores situados en un plano tienen de |A⃗⃗ | = 22 m, |B⃗⃗ | = 35 m y |C⃗ | = 15 m de magnitud. El primero y 
el segundo forman un ángulo de β=80º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de θ =130º.a) 
Encontrar la magnitud del vector |L⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los 
vectores. b) Encontrar la magnitud del vector dado por F⃗ = −2 ∙ A⃗⃗ + 3 ∙ R⃗⃗ (todos los ángulos se miden en 
sentido anti horario). 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Encontrar la magnitud del vector |L⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los vectores. 
 
 
 
 
 
b) Encontrar la magnitud del vector dado por F⃗ = −2 ∙ A⃗⃗ + 3 ∙ R⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Datos 
A = 22 m 
B = 35 m 
C = 15 m 
𝛽 = 80° 
θ = 30° 
 
 
 



22,149
224,299030
Cy L entre angulo del Calculo




           
         
 m 91,80
776,60cos222901,3032222901,303
cos23223
cosenos de teoremael Aplicando
22
222



F
F
ARARF 
�⃗⃗� 
 θ 
�⃗⃗� 
 
�⃗⃗� 
 
 𝛽 
 
Bx 
θ 
Cx 
By 
C 
B 
Cy 
A 
β 




776,60
90224,29180
180
180




       
       
 29,224 776,60 1,787 
087,15
26,968
 
Dx
Dy
) tan(
 vector deldireccion la de Calculo
m 901,30R 26,968087,15 RyRx
 vector del modulo del Calculo
 m 26,968 Ry m 087,15Rx
30518035Ry 30cos1580cos3522Rx
 Ry By Rx Cx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2222
YX





 

R
R
R
sensen
CyBxA

 R 
Ǿ 
�⃗⃗� 
 
β φ 
θ 
�⃗⃗� 
 
Ǿ 
α 
α 
mL
L
RL
 80,61
901,302
2
 L vector del modulo del Calculo





β 
δ 
𝟑 ∙ �⃗⃗� 
 
−𝟐 ∙ �⃗⃗� 
 
𝜶 
 ∅ 
𝟑 ∙ �⃗⃗� 
 
−𝟐 ∙ �⃗⃗� 
 
�⃗⃗� 
 ∅ 
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2.12.4. Cuatro vectores de |A⃗⃗ | = 50 u, |B⃗⃗ | = 75 u, |C⃗ | = 90 u y D⃗⃗ tienen como resultante |R⃗⃗ | = 50 u y se encuentra 
en el tercer cuadrante formando un ángulo de 25° con la vertical , α = 40°, φ = 35°, θ = 75°. Hallar: a) El 
ángulo que forma el vector D⃗⃗ con la resultante R⃗⃗ b) El modulo y dirección del vector R1⃗⃗ ⃗⃗ = 3 ∙ D⃗⃗ +C⃗ 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) El ángulo que forma el vector D⃗⃗ con la resultante R⃗⃗ 
 
 
 
 
 
b) El modulo del vector R1⃗⃗ ⃗⃗ = 3 ∙ D⃗⃗ +C⃗ y el ángulo que forma el vector R1 con el vector C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Datos 
A = 50 u 
B = 75 u 
C = 90 u 
α = 40° 
𝜑 = 35° 
θ = 70° 
 
R= 50 u 
σ = 65° 
 
Dx 
θ 
Cx 
Dy 
B 
C 
D 
Cy 
R 
σ 
Ry 
Rx 
B 
α 
�⃗⃗� 
 
 θ 
�⃗⃗� 
 



948,139
948,7465



           
         
   
 
   
 
   










 745,2 254,6770
254,67 
96,994
917,153052,35sen
 sen 
 
R
D3sensen 
R
sen
D3
sen
senos los de teoremael Aplicando
 994,96
052,35cos90917,513290917,513
cos323
cosenos de teoremael Aplicando
11
11
1
22
1
222
1
CRCR
uR
R
CDCDR






�⃗⃗� 
 
 𝜑 
 
By 
Bx 
α 
 𝜑 
 
β 
�⃗⃗� 
 
A Ay 
Ax β 
R 
β Ǿ 
D 
σ 




052,35
948,7470180
180
180




               
       
 948,74 -3,718 
483,13
50,136
 
Dx
Dy
) tan(
 vector deldireccion la de Calculo
917,51D 50,136483,13 DyDxD
 vector del modulo del Calculo
u 50,136 Dy u 483,13Dx
6550709040503575Dy 65cos5070cos9040cos5035cos75Dx
Ry CyAyDy Rx CxxBx
 Ry CyAyDy Rx CxxBx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2222
YX








 

D
u
D
sensensensen
ByADx
ByADx


γ 
δ 
3.�⃗⃗� 
 
�⃗⃗� 
 
R1⃗⃗ ⃗⃗ 
R1 
C 
β 
γ 
D 
θ δ 
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2.12.5. Dado los siguientes vectores en el espacio B⃗⃗ = (5,4,3) y F⃗ = (2,3, −4) : a) realizar los gráficos, b) hallar los 
vectores unitarios B̂ y F̂ c) Hallar los cosenos directores de los vectores B⃗⃗ y F⃗ 
 
a) realizar los gráficos 
B⃗⃗ = (5,4,3) F⃗ = (2,3, −4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) hallar los vectores unitarios B̂ y F̂ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Hallar los cosenos directores de los vectores B⃗⃗ y F⃗ 
B⃗⃗ = (5,4,3) F⃗ = (2,3, −4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bx= 5 
By= 4 
Bz= 3 
�⃗� 
𝛼 
𝜃 
𝛽 
Fx= 2 
Fy= 3 
Fz=- 4 
𝐹 
∅ 
𝛿 
𝜑 
     
     
kji
kji
u
BzByBx
ˆ4243,0ˆ5657,0ˆ7071,0b
 
071,7
ˆ3ˆ4ˆ5
B
B
b
b unitario vector del Calculo
071,7B
345B
B
B de modulo del Calculo
222
222















     
     
kji
kji
u
FzFyFxF
ˆ743,0ˆ557,0ˆ371,0f̂
 
385,5
ˆ4ˆ3ˆ2
F
F
f̂
f̂ unitario vector del Calculo
385,5F
432F
F de modulo del Calculo
222
222












 
 
  


89,64 4243,0
071,7
3
B
cos
55,55 5657,0
071,7
4
B
cos
0,45 7071,0
071,7
5
B
cos






Bz
By
Bx
 
 
  




01,42 743,0
385,5
4
F
cos
15,56 557,0
385,5
3
F
cos
22,68 371,0
385,5
2
F
cos






Fz
Fy
Fx
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2.12.6. Dado los vectores A⃗⃗ = (2,5, −3) y C⃗ = (−3,4,4), a) Graficar los vectores b) Hallar el ángulo que forman los 
vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma escalar , c) Hallar el ángulo que forman los vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma vectorial 
 
a) Grafico de los vectores A⃗⃗ y C⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hallar el ángulo que forman los vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma escalar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Hallar el ángulo que forman los vectores A⃗⃗ y C⃗ en forma vectorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 
∅ 
𝐶 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
           
           
       
   
   








1,87 0,0507 
4031,61644,6
2
CA
CA
cos cosCACA
 2CA 43-453-2 4,4,32,5,-3CA
4031,6 443C
1644,6A 352A
2
222222
222222
 















u
uCCzCyCx
uAzAyAx
       
 
     
   
   











1,87 0,9987 
4031,61644,6
4208,39
CA
CxA
 CACxA
 4208,39CxA
23132CxA
ˆ23ˆ1ˆ32CxA
ˆ)5()3()4(2ˆ)3()3()4(2)3()4()4()5(
443
352
ˆˆ
CxA
2
222
 








sensen
u
kji
kji
kji
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 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 6 
2.12.7. Si la superficie de un terreno tiene forma de un paralelogramo y está definido por dos vectores A(5,-3,3) km y 
B( 6,3,-2) km. a) Graficar la forma del terreno, b) Hallar el área del terreno en forma vectorial, c) Hallar los 
ángulos internos del terreno. 
 
a) Graficar la forma del terreno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hallar el área del terreno en forma vectorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Hallar los ángulos internos del terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
           
           
   
   













06,109 
2
94,702360
2
2360
36022
 angulo del 
94,70 9452,0 
557,67
382,43
AB
AB
 ABAB
7B 236B
557,6A 335A
222222
222222






Calculo
x
sensenx
kmBzByBx
kmAzAyAx





�⃗� 
∅ 
𝐴 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
∅ 
𝛼 
𝛼 
       
 
     
2
2
222
 382,43
 382,43AxB
33283AxB
ˆ33ˆ28ˆ3AxB
ˆ)3()5()3(6ˆ)2()5()3(6)2()3()3()3(
335
 236
ˆˆ 
AxB
kmArea
km
kji
kji
kji













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 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 7 
2.12.8. Dado los vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ mostrados en la figura en donde |A⃗⃗ | = 30 m y |B⃗⃗ | = 50 m. Hallar : a) El producto 
escalar A⃗⃗ oB⃗⃗ , b) Hallar el ángulo que forman A⃗⃗ y B⃗⃗ en forma vectorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) El producto escalar A⃗⃗ xB⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hallar el ángulo que forman A⃗⃗ y B⃗⃗ en forma vectorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
m 6 
m 
3 
m 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
Y 
X 
Z 
           
  kjik,j,i-,b
k,j,i-,bk,j,i-,
kji
F
F
mFFzFyFxF
FHNFNFH
 736,28 368,14 38,314 B 57470 28740 7663050ˆBB
 57470 28740 76630 ˆ 57470 28740 76630 
10,440
 63 8
f̂
440,10 638
)6,3,8( )0,3,0()6,0,8( 
obtiene se grafico Del
222222











�⃗⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�̂� 
           
 
   
   
2
222222
57,1231AB
 )82,26(736,28)41,13()368,14(038,314)(AB
 82,26 41,13 0 736,28 368,14 38,314AB
escalar producto del Calculo
 82,26 41,13 0 A 8940 4470 0 30ˆAA
 8940 4470 0 ˆ 8940 4470 0 
6,708
 63 0
ˆ
708,6 630
)6,3,0( )6,0,8()0,3,8( 
obtiene se grafico Del
m
kjikji
kjik,j,ia
k,j,iak,j,i
kji
S
S
s
mSSzSySxS
SNCSCSN
























�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�̂� 
   
   




 81,34 0,8210 
3050
57,1231
A
A
cos cos  






B
B
ABAB
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 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 8 
2.12.9. Dado los vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ mostrados en la figura en donde |A⃗⃗ | = 10 m y |B⃗⃗ | = 20 m. Hallar :a)Hallar el 
producto vectorial A⃗⃗ xB⃗⃗ , b) Hallar la componente del vector A⃗⃗ sobre eje formado por el vector B-B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Hallar el producto vectorial A⃗⃗ xB⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hallar la componente del vector A⃗⃗ sobre eje formado por el vector B-B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
m 8 
m 
2 
m 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
Y 
X 
Z 
           
  kjikj,i-,b
kj,i-,bkj,i-,
kji
F
F
mFFzFyFxF
FHNFNFH
 0 428,7 18,57 B 0 37140 9285020ˆBB
 0 37140 92850 ˆ 0 37140 92850 
385,5
 02 5
f̂
385,5 025
)0,2,5( )8,2,0()8,0,5( 
obtiene se grafico Del
222222











           
  kjik,j,ia
k,j,iak,j,i
kji
S
S
s
mSSzSySxS
SNCSCSN
 702,9 425,2 0 A 97020 24250 0 10ˆAA
 97020 24250 0 ˆ 97020 24250 0 
8,246
 82 0
ˆ
246,8 820
)8,2,0( )8,0,5()0,2,5( 
obtiene se grafico Del
222222











�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�̂� 
   
 
   
   
   
mA
AA
kjikji
B
B
ABAB
BB
BB
901,0
83,84cos10cos
83,84 
 0,0901 
1020
 702,9 425,2 0 0 428,7 18,57
cos
A
A
cos cos










 


 






�⃗⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�̂� 
       
 kji
kji
kji
ˆ032,45ˆ166,180ˆ066,73BxA
ˆ)425,2()57,18()4,7(0ˆ),7029()57,18()0(0),7029()428,7()0()4,2(
0428,757,18
 ,7029425,20
ˆˆ 
BxA








DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 9 
2.12.10. La suma de de 2 vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ es 5i + j + 3k, su producto vectorial A⃗⃗ xB⃗⃗ = -10i – j + 17k y su producto escalar 
A⃗⃗ ∙ B⃗⃗ = 6 u. ¿Hallar los vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ ?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         
              
           
           
   
     
     
 
         
     
 
     
 
   
   
   
     
   
   
 k) 0,0543,351244,0(By k) 946,2351,2244,5(A
2Solucion 
 k) 661,2220,2101,4(By k) 339,0220,3899,0(A
1Solucion 
0,054 946,23 946,2 
5
1
244,5
5
3
 
661,2 339,03 339,0 
5
1
899,0
5
3
 
3,351 351,21 351,2 
5
17
 244,5
5
1
 
220,2 220,31 220,3 
5
17
 899,0
5
1
 
 244,0 244,5 5 244,5 
101,4 899,0 5 899,0 
352
165354215215
0165215 35
225169154528934 85 525125
 22513154517 85 525125 
(25)* 10
5
1
5
3
5
1
5
3
3
5
17
 
5
1
5
17
 
5
1
5 
1035 
1031 5 
10
 
5
17
 
5
1
 
5
1
5
3
 
 175 153 1013 
 175 153 1013
 17 5 1 1 53 1013 
17 1 10 
 17 10 
3 1 5 
3 1 5 
3 5 
2
2
222
222
22
2
222



















































jiji
jiji
BzBzAzAz
BzBzAzAz
ByByAyAy
ByByAyAy
BxBxAx
BxBxAx
Ax
AxAx
AxAxAxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AzAzAyAyAxAx
AzAzAyAyAxAx
BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA
AyAxAzAx
AyAxAzAxAzAy
AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy
AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy
AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy
kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAy
BzByBx
AzAyAx
BxA
AzBzAyByAxBx
BzAzByAyBxAx
kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA








DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 10 
2.12.11. Se tiene dos vectores A⃗⃗ y B⃗⃗ cuya suma es S⃗ = A⃗⃗ + B⃗⃗ = −4î − 6ĵ + 2k̂ paralelos entre si y cuyo producto 
escalar es -22. Hallar dichos vectores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
         
              
           
           
   
     
     
         
     
 
 
     
 
   
   
     
     
     
     
 k) 4,9542,862908,1(By k) 954,2862,8908,5(A
2Solucion 
 k) 393,1821,7241,5(By k) 607,0821,1241,1(A
1Solucion 
4,954 954,222 954,2 908,55,050 
393,1 607,02 2 607,0 214,15,050 
2,862 ,8628 6 6 862,8 908,55,151 
821,7 821,1 6 6 821,1 214,15,151 
 908,1 5,9084 4 908,5 
241,5 241,14 4 241,1 
32
22341414
022143
022143
 22,25025,294 
22,50 ,50 25,15,164
22264 
2226 4 
22 
 5,1 ,50 
 0 5,1 02 03 
 04 6 042 062
 0 4 6 0 42 062 
0 0 0 
 00 0 
2 6 4 
2 6 4 
26 4 
2
2
2
222
222
222



























jiji
jiji
BzAzBzAzAx,Az
BzAzBzAzAx,Az
ByAyByAyAx,Ay
ByAyByAyAx,Ay
BxAxBxAx
BxAxBxAx
Ax
AxAx
AxAx
AxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AzAzAyAyAxAx
AzAzAyAyAxAx
BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA
AyAxAzAx
AyAxAzAxAzAy
AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy
AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy
AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy
kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAy
BzByBx
AzAyAx
BxA
AzBzAyByAxBx
BzAzByAyBxAx
kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA








DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 11 
2.12.12. Hallar el vector unitario de un vector de módulo 20 que sea perpendiculara (2, –4, 0) y forme un ángulo de 30° 
con (0, 0, 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
             
 
     
   
   
   
   
     
     
     
   
 
 
 
 k) 544,18350,3,7006(A
1Solucion 
 350,3 700,65,05,0
 2 Ec. De
700,6 
896,44 
120,5625,1 
400880,343 25,0 
400544,18 5,0 
400 
1 Ec. laen 2 Ec.y 3 Ec. la doReemplazan
3 Ec. 544,18 
20
22cos
20420
4
0,0,4,,
4 ,0,0,,
 cos cos
22 anguloun formen (0,0,4) vector elcon vector el que paraCondicion 
2 Ec. 5,0 042 00 ,4,2,, 0
0 ,4,2 vector elcon vector del laridadperpenticu deCondicion 
1 Ec. 400 20 
 buscado vector al Llamamos
2
2
22
222
222
222222




















ji
AyAxAy
Ax
Ax
Ax
AxAx
AxAx
AzAyAx
Az
Az
AzAz
AzAyAx
AzAyAx
CA
CA
CACA
CA
AxAyAyAxAzAyAxBA
BA
AzAyAxAzAyAxA
kAzjAyiAxA























DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 12 
2.12.13. Hallar el volumen y superficie en forma vectorial de una prisma de base un hexágono de lado a y altura 4.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 4.a 
Y 
X 
Z 
a 
60° 
60° 60° 
 a a 
 
 
                    
   
    392,10 6012 433
:1 Ec laen el doReemplazan
4
00cos00cos4 0000
 
040
00
0cos
 
 volumen del Calculo
1 Ec 3 
2
6
prisma la de volumen del Calculo
)0 ; 4 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de volumen del Calculo a)
333
1
1
3
1
1
1
1
1
1
asenasena
sena
aasenaaaasena
a
a
senaa
HBxA
aCaBsenaaA
TTT
TT













 











�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� 
Y 
X 
Z 
a 
 4.a 
θ 
�⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� 
Y 
Z 
 4.a 
a 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
X 
Z 
a θ 
 
                
     
 
              
     
   
   22
22
2121
2
1
2
2
2222
2
2
2
2
1
2222
1
2
1
1
1
196,2 6046 
46 666
2
626 
: totalArea del Calculo
 00
00cos0cos i000
00
 0cos 
 
4 004
0040040000 400
 040 
 00 
 
 volumen del Calculo
)0 ; 4 ; 0( ) ; 0 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de lsuperficia area del Calculo b)
aAsenaA
senaaAAAA
A
AA
senaAsenaA
kaajsenaaasenaA
a
senaa
BxAA
aAaA
kjiakajaiaaA
a
a
HxCA
aHaCaBsenaaA
TT
T




































DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 13 
2.12.14. Una prisma de base un pentágono de lado b y altura 5 u tiene un volumen de 2000 u³ Hallar: a) El lado del 
pentágono en forma vectorial b) La superficie externa de dicho pentágono en forma vectoria . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                    
   
       uausenbsenah
senah
aasenaaahsena
h
a
senaa
HBxA
hCaBsenaaA
T
TT
971,12 249,15b 2000728506,055,2 5,25,2
:1 Ec laen el doReemplazan
00cos00cos 0000
 
00
00
0cos
 
 volumen del Calculo
1 Ec 5,2 
2
5
prisma la de volumen del Calculo
)0 ; ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de altura la de Calculo a)
22
1
1
2
1
1
1
1
1
1












 











�⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� 
Y 
Z 
 5 
a 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
X 
Z 
a θ 
 
                
     
 
              
     
   
         ²24,1124 72971,12971,1255 
5 555
2
525 
: totalArea del Calculo
 00
00cos0cos i000
00
 0cos 
 
 00
00000000 00
 00 
 00 
 
 volumen del Calculo
)0 ; ; 0( ) ; 0 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de lsuperficia area del Calculo b)
2
2
2121
2
1
2
2
2222
2
2
2
1
222
1
1
1
1
uAsenA
senaahAAAA
A
AA
senaAsenaA
kaajsenaaasenaA
a
senaa
BxAA
ahAahA
kjiahkhjaiahA
h
a
HxCA
hHaCaBsenaaA
TT
T



































Y 
X Z 
b 
 5 u 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗⃗� 
Y 
X 
Z 
b 
 h=5 
θ 
b5,0
b 
72° 
54° 54° 
 a a 
36° 
 a 
  ba
a
b
sen 

 8506,0
5,0
36
DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S. 
 
 TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 14 
2.12.15. Cuatro vectores A⃗⃗ , B⃗⃗ , C⃗ y D⃗⃗ definen una prisma en el espacio, el vector de menor longitud es el vector que 
define la prisma, A(5,5,3), B(-2,2,2), C(2,5,-2), D(-3,4,-1): Hallar el volumen de la prisma y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                
3 52
3437314472 13431
 
321
434
137
 
 prisma la de volumen del Calculo
)3 ; 2 ; 1( )2 ; 2 ; 2()1 ; 4 ; 3( 
)4 ; 3 ; 4( )2 ; 2 ; 2()2 ; 5 ; 2( 
)1 ; 3 ; 7( )2 ; 2 ; 2()3 ; 5 ; 5( 
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de volumen del Calculo a)
u
HNxL
HHBDHDHB
NNBCNCNB
LLBALALB














𝐴 
�⃗� 
𝐶 
�⃗⃗� �⃗⃗�
 
�⃗⃗� 
�⃗⃗⃗�