Lista de Exercícios 01 - resolvida-1

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LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – VIGA BI APOIADA COM CARGA CONCENTRADA 
 
RESOLUÇÃO 
 
Calcular as reações de apoio das vigas cujos esquemas estão apresentados abaixo. Justificar os resultados, apresentando 
todos os cálculos efetuados e indicando as reações. 
 
Viga 01 
 
 RHB 
 
 
 
 
 
 RVA RVB 
 
RESOLUÇÃO 1 (MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO) 
Σ𝐹𝐻 = 0 
Como temos apenas a força RHB atuando na horizontal, 
a equação de equilíbrio para as forças que atuam nessa 
direção será (lembre-se que quando uma força na 
horizontal é aplicada da direita para a esquerda seu 
sinal será negativo): 
−𝑅𝐻𝐵 = 0 (−1) 
𝑅𝐻𝐵 = 0 
Como não temos forças atuando na horizontal, vamos 
agora equilibrar as forças que atuam na vertical: 
Σ𝐹𝑉 = 0 
+𝑅𝑉𝐴 − 8 + 𝑅𝑉𝐵 = 0 
+𝑅𝑉𝐴 + 𝑅𝑉𝐵 = 8 
Como temos duas incógnitas, precisaremos da terceira 
equação de equilíbrio: 
Σ𝑀𝐴 = 0 
Como momento é força vezes a distância, vamos 
entender quais forças temos e qual a distância destas 
forças até nosso ponto de referência, que será o ponto A: 
1ª força (da esquerda para a direita) – RVA, que está 
aplicada exatamente no ponto A, ou seja: a distância da 
força de reação RVA até o ponto A é 0. Lembre-se de 
verificar o sinal: como a força está sendo aplicada de 
baixo para cima, seu sinal é positivo. 
2ª força (da esquerda para a direita) – carga de 8 tf, que 
está aplicada a uma distância de 3 m em relação ao ponto 
A (é o nosso a). Esta força está sendo aplicada na viga de 
cima para baixo, por tanto seu sinal é negativo. 
3ª força (da esquerda para a direita) – RVB, é a força de 
reação que atua no ponto B, e que está a 5 m de distância 
do ponto A (comprimento total da viga, L). Esta força 
está sendo aplicada no apoio B de baixo para cima, logo 
seu sinal é positivo. 
Montando a equação de equilíbrio dos momentos 
atuantes na viga em relação ao ponto A teremos: 
(𝑅𝑉𝐴 ∗ 0) + (𝑃 ∗ 𝑎) − (𝑅𝑉𝐵 ∗ 𝐿) = 0 
( )0 + (8 ∗ 3) − (𝑅𝑉𝐵 ∗ 5) = 0 
0 + 24 − 5𝑅𝑉𝐵 = 0 
+24 − 5𝑅𝑉𝐵 = 0 
−5𝑅𝑉𝐵 = −24 (−1) 
5𝑅𝑉𝐵 = 24 
𝑅𝑉𝐵 =
24
5⁄ 
𝑅𝑉𝐵 = 4,8 𝑡𝑓 
Agora que temos o valor de RVB podemos encontrar o 
valor de RVA. Como temos a equação abaixo, é fácil 
encontrarmos o valor da reação vertical no ponto A: 
+𝑅𝑉𝐴 + 𝑅𝑉𝐵 = 8 
𝑅𝑉𝐴 + 4,8 = 8 
𝑅𝑉𝐴 = 8 − 4,8 
𝑅𝑉𝐴 = 3,2 𝑡𝑓 
 
RESOLUÇÃO 2 (MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE REAÇÃO) 
Outra forma bem mais simples e com menos etapas para 
encontrarmos os valores das reações verticais que 
atuam nas vigas bi apoiadas com carga concentrada é o 
uso das equações abaixo: 
𝑅𝑉𝐴 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑏
𝐿
=
(8 ∗ 2)
5
=
16
5
 
𝑅𝑉𝐴 = 3,2 𝑡𝑓 
 
𝑅𝑉𝐵 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑎
𝐿
=
(8 ∗ 3)
5
=
24
5
 
𝑅𝑉𝐵 = 4,8 𝑡𝑓 
 
 
 
 
8 tf 
2 m 3 m 
5 m 
A B 
carga P 
a b 
L 
 
Viga 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑏
𝐿
=
(4 ∗ 2)
5
=
8
5
 
𝑅𝑉𝐴 = 1,6 𝑡𝑓 
 
𝑅𝑉𝐵 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑎
𝐿
=
(4 ∗ 3)
5
=
12
5
 
𝑅𝑉𝐵 = 2,4 𝑡𝑓 
 
 
 
 
Viga 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑏
𝐿
=
(2 ∗ 3)
8
=
6
8
 
𝑅𝑉𝐴 = 0,75 𝑡𝑓 
 
𝑅𝑉𝐵 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑎
𝐿
=
(2 ∗ 5)
8
=
10
8
 
𝑅𝑉𝐵 = 1,25 𝑡𝑓 
 
 
 
 
 
Viga 04 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑏
𝐿
=
(16 ∗ 9)
12
=
144
12
 
𝑅𝑉𝐴 = 12 𝑡𝑓 
 
𝑅𝑉𝐵 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑎
𝐿
=
(16 ∗ 3)
12
=
48
12
 
𝑅𝑉𝐵 = 4 𝑡𝑓 
 
 
 
 
Viga 05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑏
𝐿
=
(28 ∗ 4)
8
=
112
8
 
𝑅𝑉𝐴 = 14 𝑘𝑁 
 
𝑅𝑉𝐵 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑎
𝐿
=
(28 ∗ 4)
8
=
112
8
 
𝑅𝑉𝐵 = 14 𝑘𝑁 
 
 
 
3 m 
5 m 
2 m 
4 tf 
A B 
2 tf 
3 m 5 m 
8 m 
A B 
3 m 
12 m 
9 m 
16 tf 
A B 
28 kN 
4 m 4 m 
8 m 
A B 
 
Viga 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑉𝐴 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑏
𝐿
=
(32 ∗ 4)
5
=
128
5
 
𝑅𝑉𝐴 = 25,6 𝑘𝑁 
 
𝑅𝑉𝐵 =
Σ(𝑃 ∗ )𝑎
𝐿
=
(32 ∗ 1)
5
=
32
5
 
𝑅𝑉𝐵 = 6,4 𝑘𝑁 
 
 
 
 
1 m 
5 m 
4 m 
32 kN 
A B