Unidade 4 - Distribuições amostrais I

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Aula 8
Distribuições de Probabilidade
Parte I
ESTATÍSTICA BÁSICA
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Distribuições de Probabilidade
Distribuições de frequências formadas a partir de resultados de um experimento aleatório ou seja, de um espaço amostral.
Distribuições formadas a partir dos resultados observados de uma variável aleatória.
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1. INTRODUÇÃO
1.1 Variável aleatória
 
É aquela que possui resultados que tendem a variar de uma observação para outra, em razão de fatores relacionados ao acaso.
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Variáveis aleatórias
variável aleatória
discreta
os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável
Assume valores discretos com probabilidades determinadas.
Determinadas por contagem
contínua
os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais.
Determinadas por medição
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Vida útil (em horas) de um televisor.
Número de peças com defeito em um lote produzido.
Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101.
Na internet, o tempo (em segundos) para que uma determinada mensagem chegue ao seu destino.
o tempo que se leva para ir de carro de casa até o trabalho.
Exemplos
 
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Quando trabalhamos com uma variável comum só precisamos saber uma coisa a seu respeito: o seu valor.
Quando trabalhamos com uma variável aleatória a situação é mais complicada. Precisamos saber duas coisas:
1) seus valores possíveis
2) a probabilidade desses valores acontecerem
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EXEMPLO 1
Experimento:
Jogar um dado
Variável:
Número na face do dado.
 Valores possíveis:
1, 2, 3, 4, 5 e 6
Probabilidade desses valores acontecerem
P(1) = 1/6 P(2) = 1/6
P(3) = 1/6 P(4) = 1/6
P(5) = 1/6 P(6) = 1/6
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EXEMPLO 2
Experimento:
Contar as plantas infectadas pelo vírus do mosaico em uma fazenda
Variável:
Número de plantas infectadas pelo vírus do mosaico.
 Valores possíveis:
Quase impossível prever. A variável pode adquirir valores de 0 a n
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Como calcular a Probabilidade desses valores acontecerem?
Como identificar o espaço amostral?
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Quando conhecemos a função de probabilidade de uma variável tudo se torna mais fácil
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A função de probabilidade de uma variável é a função que nos dá a probabilidade da variável adquirir um determinado valor
A função que fornece a probabilidade de uma variável aleatória ser no máximo igual a um valor particular é chamada de função de distribuição de probabilidade.
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Conhecer a função que fornece a probabilidade de uma variável aleatória ser no máximo igual a um valor particular é possível quando conhecemos a distribuição amostral dos dados.
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2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Há sempre a probabilidade de cometermos um erro quando fazemos considerações sobre uma população a partir de dados amostrais.
Portanto deve-se combinar os métodos da estatística descritiva com os métodos de probabilidade para quantificar este erro. 
Como já explicado isto é possível através de uma distribuição de probabilidades.
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A distribuição de probabilidades permite prever qual é a probabilidade de obter um dado evento após um particular número de ocorrências. 
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A função de probabilidade , P(x), de uma variável aleatória discreta expressa a probabilidade que X tome o valor x. Assim,
2.1 Função de probabilidade
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Gráfico da função de probabilidade para o lançamento de um dado
1
2
3
4
5
6
1/6
P(x)
x
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 A distribuição de probabilidade, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.
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2.2 Tipos de distribuições
 
As distribuições de probabilidade são classificadas em:
 distribuições discretas de probabilidade
 distribuições contínuas de probabilidade
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Alguns tipos de variáveis aleatórias são utilizadas com tanta frequência que a forma como se distribuem já são previamente conhecidas e recebem nomes especiais:
 Distribuição normal;
Distribuição Binomial;
Distribuição de Bernoulli; 
Distribuição de Poisson
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Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor possível da variável aleatória, bem como sua probabilidade.
Em um levantamento, perguntou-se a uma amostra de famílias quantos filhos tinham.
3. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Sheet1
		x		P(x)
		0		0.004
		1		0.435
		2		0.355
		3		0.206
Sheet2
		
Sheet3
		
Sheet4
		
Sheet5
		
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Em uma distribuição de dados referentes a uma variável não aleatória podemos resumir as informações por meio de medidas como a média e verificar a dispersão por meio do desvio padrão e variância.
No caso de uma distribuição de probabilidade podemos fazer a mesma coisa.
Como?
 
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 3.1 Construção de uma distribuição de probabilidades
Número de computadores por família
 em uma pequena cidade
Da tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partir desta, determinar a média, variância e desvio padrão.
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Gerando a distribuição de probabilidades
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 3.2 As distribuições amostrais discretas mais empregadas são:
 Distribuição Binomial
 Distribuição de Poisson
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3.3 Distribuição Binomial
 
É uma distribuição de probabilidade em que os resultados da variável aleatória podem ser agrupados em dois eventos mutuamente exclusivos: sucesso ou fracasso.
 
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O número de tentativas é fixo (n).
As n tentativas são independentes e repetidas em condições idênticas.
Para cada tentativa há dois resultados possíveis, S = sucesso ou F = fracasso.
3.3.1 Características:
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A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p 
 A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, sendo p + q = 1
O problema central está em determinar a probabilidade de x sucessos em n tentativas, sendo x = número de sucessos. 
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Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?
(a) 2 		(b) 7 	(c) 4 	(d) 5
2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?
(a) 3.265 	(b) 3.174 	(c) 3.285 	(d) 3.327
Tente adivinhar as respostas
e = 2.718281828459045
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3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991?
(a) 2.320 	(b) 2.350 	(c) 2.360 	(d) 2.240
4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?
(a) 2.946 	(b) 8.972 	(c) 9.943 	(d) 7.341 
5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?
(a) 60.000 	(b) 80.000 	(c) 75.000 	(d) 83.000
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Resultados do teste
Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x.
Por que esse foi um experimento binomial?
Quais são os valores de n, p e q?
Quais são os valores possíveis de x?
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1) Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões.
Determine n, p, q e x.
n = 8
p = 1/3 
q = 2/3
x = 5
3.3.2 Exemplos de experimentos binomiais
Prob. de acerto
Prob. de errar
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2) Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% das vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine a probabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis. Determine n, p, q e x.
n = 7
p = 0,80
q = 0,20
x = 6
Prob. de ser 
bem-sucedida
Prob. de ser 
mal-sucedida
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4) Considere que em uma grande loja de departamentos, em 60% dos dias algum cliente rouba alguma peça. 
Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória 
X = número de dias com roubos na loja
considerando o período de observação de três dias. (Suponha independência.)
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x
0
1
1
1
2
2
2
3
Possibilidades
BBB
BBR
BRB
RBB
BRR
RBR
RRB
RRR
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
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		x		p(x)		
		0		0,064
		1		0,288
		2		0,432 
		3		0,216
	Total		 1
Distribuição de probabilidade de X:
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Número de caras em 10 lançamentos de uma moeda;
Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens (supondo amostragem aleatória e com reposição);
Número de eleitoresfavoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).
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3.3.3 A função de probabilidade da distribuição binomial 
Se X é uma variável que tem uma distribuição binomial, com parâmetros n e p, onde p é a probabilidade de sucesso no ensaio, a sua função de probabilidade é dada por:
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Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão composta de 4 alternativas
Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE
Exemplo
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Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado:
P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E)
 P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) = 0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75)
 = (0,25)3(0,75)2 = 0,00879
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Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de três questões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações.
 AAAEE	 AAEAE AAEEA AEEAA AEAEA
EEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.
Prob. de acertar uma questão
Prob. de errar uma questão
num. de questões certas
num. de questões erradas
P(x = 3) = 10 (0,25)3(0,75)2 = 10(0,00879) = 0,0879
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Como encontrar o número de combinações possíveis?
Combinação de n valores, escolhendo-se x 
Há dez maneiras possíveis
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EXERCÍCIOS
1) Considere-se a experiência aleatória de lançar dez vezes uma moeda equilibrada e seja X uma variável aleatória que representa o número de caras em 10 lançamentos. Assumindo que os lançamentos são independentes e que sucesso = cara e fracasso = coroa. Qual a probabilidade de nos dez lançamentos ocorrerem 10 caras?
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2) O Departamento de Estatística do Trabalho de um município estimou que 20 % da força de trabalho está desempregada. Uma amostra de 14 trabalhadores é obtida deste município. Calcule as seguintes probabilidades:
Três estão desempregados na amostra. (Nota: n = 14 e p = 0,2)
b) No mínimo um dos trabalhadores da amostra estão desempregados.
c) No máximo dois dos trabalhadores estão desempregados.
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