Variáveis Aleatórias Discretas

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20/03/2019
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Variáveis Aleatórias Discretas
Variável Aleatória
• Uma Variável Aleatória pode ser entendida como
uma variável quantitativa, cujo resultado depende
de fatores aleatórios.
Ou
• É uma função que confere um número real a cada 
resultado do espaço amostral de um experimento 
aleatório.
▫ Uma variável aleatória é denotada por uma letra
maiúscula, tal como X
▫ Um valor medido (ou contado) da variável aleatória é 
denotado por uma letra minúscula, tal como x=5.
Variável Aleatória
Exemplo:
▫ Peso médio de estudantes do ICTE
▫ X=70kg x=(76, 89, 54, 45, 48, 90)
▫ Numero médio de peças defeituosas de um 
lote de produção
▫ X=5 pças x=(4, 2, 6, 1)
• Formalmente, uma variável aleatória é uma função que 
associa elementos do espaço amostral ao conjunto de 
números reais.
X = número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas
Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)
0 1 2 x
• Verifique que:
▫ P(X=0) = 1/4
▫ P(X=1) = 2/4= 1/2
▫ P(X=2) = 1/4
• É possível ter mais de uma VA associada ao mesmo experimento
• Y pode ser uma VA descrevendo a distância no chão entre as duas 
moedas.
Espaço
amostral
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Variável Aleatória
variável 
aleatória
contínua
os possíveis resultados 
abrangem todo um 
intervalo de números reais
discreta
os possíveis resultados 
estão contidos em um 
conjunto finito ou 
enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
tempo de falha de ...
Variável Aleatória Discreta (VAD)
• Tem um número finito ou contável de possíveis 
resultados que podem ser listados
Exemplos:
X = Número de vendas que um vendedor faz 
em um dia 
x
1 530 2 4
Variável Aleatória
Contínuas:
corrente elétrica;
comprimento;
pressão;
temperatura.
Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas:
número de arranhões em uma superfície;
proporção de parte defeituosas em 1000 resultados;
número de bits transmitidos e recebidos com erro.
Distribuição de Probabilidade
• Exemplo: Observa-se o sexo das crianças em famílias com 3 
filhos. O espaço amostral é: 
• Usando o Principio Fundamental da contagem: nr=23
• Ω={(MMM),(MMF),(MFM),(MFF),(FFM),(FMF),(FFM),(FFF)}
• Uma variável aleatória de interesse é o sexo masculino:
X={número de crianças do sexo masculino}. Evento MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFF
X 3 2 2 2 1 1 1 0
X 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Distribuição de probabilidade
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Distribuição de Probabilidade
A distribuição de probabilidade de uma
variável aleatória X é uma descrição
das probabilidades associadas com os
valores possíveis de X.
Função de Probabilidade: f(x)
• Associada a uma variável aleatória discreta (VAD), 
temos a função de probabilidade (ou massa de 
probabilidade)
• Uma função que fornece probabilidades para os
valores na faixa de uma variável aleatória discreta
2 3 x
3/8
1/8
10
f(x)
X = número obtido no lançamento de um dado 
comum
x
f(x)
1 2 3 4 5 6
área total = 1
1/6
x
p(x)
1 2 3 4 5 6
Função de Probabilidade: f(x)
É uma função que associa a cada possível valor de 
X a sua probabilidade.
�(��) = � � = ��
Satisfazendo as propriedades:
� �� = �(� = ��) ≥ 0
�� ��
�
���
= � � = �� = 1
Função de Probabilidade: f(x)
-
-
Propriedades da 
função de 
probabilidade
Não existe prob. negativa
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Exercício 1 Exercício 1
Função de Distribuição Acumulada: F(x)
A função de distribuição acumulada (ou cumulativa) 
F(x) de uma VAD define a probabilidade do 
experimento resultar em um valor de X menor ou igual 
a x.
 

xxXPxXPxF i
xxi
),()()(
x
até x
Para uma VAD, F(x) satifaz três propriedades:



xx
i
i
xfxXPxF )()()(
1)(0  xF
Se � ≤ �, então �(�) ≤ �(�)
Função de Distribuição Acumulada: F(x)
-
-
-
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Exemplo: Se X é o número obtido no lançamento
de um dado comum




















6 se1
6 5 se
6
5
5 4 se
6
4
4 3 se
6
3
3 2 se
6
2
2 1 se
6
1
1 se0
)(
x
x
x
x
x
x
x
xF
x
F(x)
1 2 3 4 5 6
Função de Distribuição Acumulada: F(x)
Em um processo de fabricação de semicondutores, duas
pastilhas de um lote são testadas. Cada pastilha é classificada
como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma
pastilha passar no teste seja 0,8 e que as pastilhas sejam
independentes.
a) Qual é a probabilidade de que as 2 pastilhas passem no
teste?
b) Qual é a probabilidade de que a primeira pastilha passar e a
segunda falhar?
c) Mostre que se trata de uma função de probabilidade. Sl12 Ex18
d) Determine as funções de distribuição acumulada, para x =
0, 1, 2.
Exercício 2
Parâmetros de Posição e de Dispersão de uma V.A 
A média ou valor esperado de uma variável aleatória discreta X:
    
x
xfxXE
A média é uma medida de centro ou meio da 
distribuição de probabilidade.
A caracterização de uma V.A é feita por meio da 
média da variância e do desvio padrão
Variância e Desvio-Padrão
A variância de X, denotada por ��(sigma) ou V(�), é:
          
xx
xfxxfxXEXV 22
222 )( s
A variância é uma medida de dispersão ou variabilidade na 
distribuição que indicam a regularidade de um conjunto de 
dados em função da média aritmética
22 )]([)()( XEXEXVar  Onde: � �� =���. �(�)
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Variância e Desvio-Padrão
O desvio-padrão de X, denotada por σ	(sigma), é:
2ss 
É mais representativo do que a variância, quando 
comparamos dispersões.
Vantagem: é expresso na mesma unidade de 
medida da variável.
Exercício 3
Suponha que a variável x abaixo represente o número de
falhas/dia de um determinado equipamento.
X 0 1 2 3 4 5
p(x) 0,7 0,2 0,05 0,03 0,01 0,01
a) Verifique se x é uma função de probabilidade; Sl12 Ex22
b) Qual a probabilidade de se obter: no máximo 1 defeito; exatamente 2
defeitos;
c) Representar graficamente função de probabilidade;
d) Determinar a média e o desvio padrão;
e) Montar a função de distribuição acumulada;
f) Representar graficamente a função acumulada;
Exercício Proposto
O número de mensagens enviadas por hora, por meio de 
uma rede de computadores, tem a seguinte distribuição:
X 10 11 12 13 14 15
p(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07
Determine a média e o desvio-padrão do número de 
mensagens enviadas por hora
μ xf (x) * , * , * , * , * , * , ,        10 0 08 11 0 15 12 0 30 13 0 20 14 0 20 15 0 07 12 5
   σ xf (x) μ * , * , * , * , * , * , , ,         2 2 2 2 2 2 2 2 210 0 08 11 0 15 12 0 30 13 0 20 14 0 20 15 0 07 12 5 1 85
σ σ , ,  2 1 85 1 36
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Principais Distribuições de 
Probabilidade Discretas
Uniforme
Binomial
Geométrica
Binomial Negativa (Pascal)
Hipergeométrica
Poisson
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Distribuição Discreta Uniforme
Uma variável aleatória X tem uma distribuição
discreta uniforme se cada um dos k valores em sua
faixa, isto é, ��, ��, … , �� , tiver igual probabilidade.
Assim, a função probabilidade é dada por:
kpara x ,x ...xP(x) k
para outros valores de x


 

1 2
1
0
Onde k é o numero de ocorrência de x
Distribuição Discreta Uniforme
Deste modo, a média, a variância e o desvio padrão 
são:
� = � � =
�
�
ΣxMédia
�� =
1
�
Σ��−
Σx �
�
 Variância
� = ��Desvio
Padrão
Exercício 5
Suponha que a VA x seja definida como numero de 
pontos marcados na face superior de um dado 
não viciado.
a) Montar a distribuição de probabilidade;
b) Representar graficamente essa distribuição;
c) Calcular a media e o desvio padrão;
d) Montar a distribuição acumulada F(x);
e) Representar graficamente F(x).
Distribuição Binomial
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Distribuição Binomial
Características:
É a MAIS IMPORTANTE de todas as
distribuições de VA discreta. Apropriada as
situações onde se tem sucesso ou fracasso.
Distribuição Binomial
Condições de Aplicação:
• O experimento é repetido para um número fixo 
de tentativas. Cada tentativa é independente
das outras.
• Há apenas dois resultados possíveis de interesse 
para cada tentativa. Os resultados podem ser 
classificados como sucesso (s) ou fracasso (f); 
• A probabilidade de um sucessoP(s) é a mesma 
para cada tentativa
• A variável aleatória X conta o número de 
tentativas bem-sucedidas.
Distribuição Binomial
Símbolo Descrição
n Número de vezes que uma tentativa é 
repetida
p = P(s) Probabilidade de sucesso em uma única 
tentativa
q = P(f) Probabilidade de fracasso em uma única
tentativa
(q = 1 – p)
X A variável aleatória representa a contagem
do número de sucessos em n tentativas: 
x = 0, 1, 2, 3, … , n.
Distribuição Binomial
Seja a variável aleatória X, o número de tentativas 
que resultam em sucesso, com parâmetros 0 < � <
1 e n=0,1, 2, ...., função de probabilidade é:
�(� = ��) =
�
�
�� � ����
=
�!
�! � − � !
�� � (� − �)���
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Exemplo
Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de 
chance de sucesso em pacientes com problemas 
degenerativos no joelho. A cirurgia é realizada em 
três pacientes. Encontre a probabilidade da 
cirurgia ser bem-sucedida em exatamente dois 
pacientes.
Exercício 6
Em seu percurso matinal diário, um determinado 
sinal de trânsito demorado está verde 20% das vezes 
em que você se aproxima dele. Suponha que cada 
manhã represente uma tentativa independente.
a) Em cinco manhãs, qual é a probabilidade de que o 
sinal esteja verde exatamente um dia?
b) Em 20 manhãs, qual é a probabilidade de que o 
sinal esteja verde em mais de 4 dias?
Distribuição Binomial
• Se X for uma variável aleatória binomial com 
parâmetros p, q e n, a média e a variância são:
� = � � = ��
�� = ��� = ��(� − �)
Teorema de Chebyshev – Regra Prática
A variável X tem � dados com média �� e desvio-padrão ��.
• �� ± 1	X	��. Em uma distribuição simétrica com forma de sino, a 
porcentagem dos dados contidos no intervalo de um desvio padrão ao 
redor da média é de 68%. 
• �� ± 2	X	��. Em uma distribuição simétrica com forma de sino, a 
porcentagem dos dados contidos no intervalo de dois desvios padrão 
ao redor da média é de 95%. 
• �� ± 3	X	��. Para todas as distribuições, a porcentagem de dados 
contidos no intervalo de três desvios padrão ao redor da média será 
próximo de 99,9%.
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Exercício 8
Em Pitsburgo, Pensilvânia, cerca de 56% dos dias em 
um ano são nublados obtendo uma distribuição 
simétrica em forma de sino. Encontre a média, 
variância e desvio padrão para o número de dias 
nublados durante o mês de junho. Interprete os 
resultados de acordo com o Teorema de Chebyshev.
Distribuição Geométrica
Uma distribuição de probabilidade discreta satisfaz as 
seguintes condições:
• Tentativas independentes são repetidas até que 
um sucesso ocorra
• A probabilidade de sucesso p é constante para cada 
tentativa
• A variável aleatória X o número de tentativas até 
que o primeiro sucesso ocorra
• A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na 
tentativa x, com x=1,2,..., sendo � = 1 − �, é:
�(� = ��) = � � �
���
Exemplo
Por experiência, você sabe que a probabilidade de que 
você faça uma venda em um telefonema qualquer é de 
0,23. Encontre a probabilidade de que sua primeira 
venda em um dia qualquer ocorra na quarta ou quinta 
ligação.
Distribuição Geométrica
Se X for uma variável aleatória geométrica com 
parâmetro p, a média e a variância são:
� = � � =
�
�
�� = � � =
� − �
��
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Exercício 9
Suponha que cada uma das suas chamadas para uma 
estação popular de rádio tenha uma probabilidade de 
0,02 de se completar; ou seja, de não obter um sinal de 
ocupado. Considere que suas chamadas sejam 
independentes.
a) Qual é a probabilidade de que sua primeira 
chamada a se completar seja sua décima tentativa?
b) Qual é a probabilidade de se necessitar mais de 
cinco chamadas para que a ligação se complete?
c) Qual é o número médio necessário de chamadas 
para que a ligação se complete?
Distribuição Binomial Negativa (Pascal)
• A probabilidade de sucesso p e de falha q (1-p) 
permanecem constante em todas as repetições
• As repetições são independentes, ou seja, o 
resultado de uma repetição não é influenciado por 
outros resultados
• O experimento é repetido até que se obtenha r
sucesso
• A variável aleatória X representa o número de 
repetições até que r sucessos ocorram.
Distribuição Binomial Negativa
Seja a variável aleatória X, o número de 
tentativas até que r sucessos ocorram, com 
parâmetros 0 < � < 1 e n=1, 2, ...., função de 
probabilidade é:
�(� = ��) =
� − �
� − �
(� − �)���� ��
em que � = �, � + 1, � + 2,…
Distribuição Binomial Negativa
Se X for uma variável aleatória binomial negativa
com parâmetro p, a média e a variância são:
� = � � =
�
�
�� = � � =
� � − �
��
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Exercício 10
Um site da internet contém três servidores idênticos. 
Somente um deles é usado para operar o site, os outros 
dois são sobressalentes que podem ser ativados no caso 
do sistema principal falhar. A probabilidade de uma 
falha no computador principal é de 0,0005.
(a) Supondo que cada solicitação represente uma 
tentativa independente, qual será o número médio de 
solicitações até a falha de todos os três servidores?
(b) Qual é a probabilidade de todos os três servidores 
falharem em até cinco solicitações?
Distribuição Hipergeométrica
• Considere o problema básico de inspeção por 
amostragem, em que observamos uma retirada de n 
itens de um lote com N itens, sendo r defeituosos. 
Avaliamos o número X de itens defeituosos na 
amostra. A variável aleatória X aparenta ser 
binomial, mas só é realmente binomial se:
• A seleção da amostra é aleatória (para garantir a 
mesma probabilidade p de sair item defeituoso em 
todos os ensaios);
• Com reposição (para garantir independência 
entre ensaios).
Distribuição Hipergeométrica
A segunda condição não costuma ser satisfeita na 
prática. Se a amostragem for aleatória, mas sem 
reposição, a distribuição de X é conhecida como 
hipergeométrica de parâmetros N, n e r.
Distribuição Hipergeométrica
r: objetos classificados como sucessos
N: total de objetos do lote
n: quantidade de objetos selecionados para amostra
X: número de sucessos na amostra
�(� = ��) =
�
�
�
� − �
� − �
�
�
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Distribuição Hipergeométrica
Se X for uma variável aleatória hipergeométrica
� = � � = ��
�� = � � = �� � − �
�− �
�− �
� =
�
�
sendo
Fator de correção para
população finita
Se a amostragem 
fosse com reposição, 
então X seguiria uma 
distribuição 
binomial.
Exercício 11
Uma batelada de peças contém 100 peças de um 
fornecedor local de tubos e 200 peças de um fornecedor 
de tubos de um estado vizinho. Quatro peças são 
selecionadas ao acaso.
(a) Qual será a probabilidade de que elas sejam todas 
provenientes do fornecedor local?
(b) Qual é a probabilidade de duas ou mais peças na 
amostra serem provenientes do fornecedor local?
(c) Qual é a probabilidade de no mínimo uma peça na 
amostra ser proveniente do fornecedor local?
(d) Calcule e interprete E(X) e VAR(X).
Simeon Denis Poisson (1781-1840)
lim( )
n
Binomial Poisson


Distribuição de Poisson
Sendo n o numero de vezes que uma tentativa é repetida 
• A distribuição de Poisson é adequada para descrever
situações onde existe uma probabilidade de
ocorrência em um campo ou intervalo contínuo,
geralmente tempo ou área.
• Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de
defeitos por metro quadrado, no de clientes
atendidos por hora.
• Nota-se que a variável aleatória é discreta (número
de ocorrência), no entanto a unidade de medida é
contínua (tempo, área).
Distribuição de Poisson
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• A distribuição de Poissson fica completamente
caracterizada por um único parâmetro  (lambda) que
representa a taxa média de ocorrência por unidade
de medida.
• A equação para calcular a probabilidade de x ocorrências
é dada por:
• Para a soma das Probabilidades :
Distribuição de Poisson
�(� = ��) =
��� � ��
�!
												� = �,�, �,…
λ xe .λ
f ( x )
x !

 
0
Distribuição de Poisson
� = � � =  s² = � � = 
• A Média (esperança) e a variância da distribuição
de Poisson são:
OBS: A média e a variância de uma variável aleatória de Poison
sãoiguais. Por exemplo uma contagem de partículas segue a
distribuição de Poisson com média 25 e variância de 25 e o desvio
padrão seria 5. Assim a informação da variabilidade seria muito
facilmente obtida. Contrariamente, se a variância do dados de
contagem for muito maior que a media dos mesmo dados, então a
Distribuição de Poisson não será um bom modelo para
distribuição de variável aleatória.
O número de defeitos de pintura segue uma
distribuição de Poisson com λ = 2.
Então, a probabilidade que uma peça apresente
mais de 4 defeitos de pintura virá dada por:
24
0
2
1 ( 4) 1 1 0,945 0,055 5,5%
!
x
x
e
P X
x


       
Exemplo Exercício 12
Contaminação é um problema na fabricação de discos 
ópticos de armazenagem. O número de partículas de 
contaminação que ocorrem em um disco óptico tem 
uma distribuição de Poisson, e o número médio de 
partículas por cm2 de superfície do disco é 0,1. A área 
do disco sob estudo é igual a 100 cm2. Encontre: 
(a) A probabilidade de 12 partículas de contaminação 
ocorrerem na área de um disco sob estudo.
(b) A probabilidade de nenhuma partícula de 
contaminação ocorrer na área do disco sob estudo.
(c) A probabilidade de 12 ou menos partículas 
ocorrerem na área do disco (trabalho).