Unidade 6 - Estimação I

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Aula 11
Estimação
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INTRODUÇÃO
As inferências fazem parte do dia a dia de todas as pessoas ...
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(parâmetros: números
reais desconhecidos)
Em termos estatísticos
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2. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS ESTATÍSTICOS
É um processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos
Parâmetro: grandeza da população
Estatística ou estimativa: grandeza da amostra
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 3. TIPOS DE ESTIMATIVAS
Estimativa pontual: aponta para um único valor. A estatística amostral origina uma única estatística do parâmetro que se quer estimar e assim, afirma o valor mais provável do parâmetro populacional.
São os testes de hipóteses
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Estimativa intervalar: delimita um espaço ou faixa de valores onde o parâmetro populacional deve estar contido, ou seja, a partir da estatística amostral é construído um intervalo de valores possíveis no qual se admite, sob certa probabilidade, esteja contido o parâmetro populacional. Consiste em se estabelecer um intervalo de confiança para o parâmetro
São os intervalos de confiança.
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Intervalo de confiança: intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população
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Em termos técnicos, a forma mais adequada de se estimar um valor é a intervalar, porque os estimadores ou estatísticas amostrais raramente coincidem com os valores populacionais e portanto, é mais correto delimitar um intervalo que contenha o parâmetro.
Na prática a estimativa pontual é a mais usada.
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4. ESTIMADOR
 Um estimador de um intervalo de confiança para um parâmetro da população  é uma regra baseada na informação da amostra para determinar um intervalo que é provável incluir o parâmetro.
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5. ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS
 
 Seja o parâmetro  dizemos que:
 P (x1 <  < x2 )= 1 - 
Em que:
 (x1 <  < x2 ) é o intervalo com 100 * (1 - ) % de confiança para o parâmetro 
 os extremos x1 e x2 são os limites inferior e superior de confiança 
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 a probabilidade conhecida 1 -  é chamada nível de confiança. Normalmente usa-se, 0,99 (99%), 0,95(95%) ou 0,90 (90%).
 é o nível de significância ou probabilidade de erro na estimação.
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Observações:
 
 A escolha do nível de confiança depende da precisão com que se deseja estimar o parâmetro. Quanto maior o nível de confiança, maior a amplitude do intervalo
A interpretação correta de um intervalo de confiança é:
 O intervalo observado [ t1 , t2 ] contém o verdadeiro valor do parâmetro com 100 * (1 - ) % de confiabilidade. 
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 6. CÁLCULO DOS PRINCIPAIS INTERVALOS DE CONFIANÇA
O ponto de partida para o cálculo do intervalo de confiança de um parâmetro é conhecer o tipo de distribuição amostral do estimador.
Assim:
 Média: distribuição amostral NORMAL
 Variância: distribuição amostral QUI-QUADRADO
 Proporção: distribuição amostral BINOMIAL
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Distribuição de
1 - 
0
 / 2
 / 2
-z
z
1 -  é a confiança de que um intervalo em torno da média estimada, deve conter o valor do parâmetro 
6.1. Intervalo de confiança para a média
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O intervalo de confiança para a média pode ser calculado de três formas distintas, conforme as seguintes situações:
 Intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional () é conhecido;
 Intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional () é desconhecido mas a amostra é composta por mais de 30 observações (n>30);
 Intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional () é desconhecido e a amostra é composta por menos ou 30 observações (n≤30);
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 6.1 – Intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional () é conhecido
Pode-se escrever :
P (-z0 < z < z0 ) = 1 - 
Como: 
P (-z0 < < z0 ) = 1 - 
Então: 
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P (-z0 * < < z0 * ) = 1 - 
P ( - z0 * < < + z0 * ) = 1 - 
P ( - z0 * < < + z0 * ) = 1 - 
Intervalo de confiança para a média quando  é conhecido
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Exemplo: Considere uma amostra de cem elementos extraída de uma população normal, com desvio populacional igual a 2,0, que forneceu média amostral 36,5. Construa um intervalo de 95% de confiança para a média desta população
0
0,025
0,025
- z/2= -1,96
z/2 = 1,96
0,95
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P ( 36,5 - 1,96 (2/10) <  < 36,5 + 1,96 (2/10) ) = 0,95
P ( 36,108 <  < 36,892 ) = 0,95
I[36,108 ; 36,892 ]
Pode-se afirmar com uma confiabilidade de 95% que o intervalo I[36,108 ; 36,892 ] contém o verdadeiro parâmetro populacional 
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6.2 – Intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional () é desconhecido e n > 30.
Quando  é desconhecido deve-se estimar o desvio-padrão a partir dos dados da amostra:
Se n > 30, s =  considera-se distribuição normal e usa-se z
Intervalo de confiança para a média nessa situação:
P ( - z0 * < µ < + z0 * ) = 1 - 
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Valores de Zα/2 da tabela da distribuição Normal Padronizada 
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6.3 – Intervalo de confiança para a média quando o desvio populacional () é desconhecido e n ≤ 30
Quando n < 30 é necessária uma correção que consiste em usar a distribuição “t de Student “ em vez da distribuição normal padronizada. 
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Distribuição t de Student
Dada uma amostra aleatória de n observações, com média e desvio-padrão s, de uma população normalmente distribuída com média , a variável t segue uma distribuição t-Student com v = n-1 graus de liberdade e é dada por
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 Tem caudas mais densas do que a distribuição normal;
 Os valores extremos são mais prováveis de ocorrer na distribuição t do que na normal padronizada.
 Para cada possível valor dos graus de liberdade há uma diferente distribuição t;
 As distribuições com menores graus de liberdade são mais dispersas. Assim, conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição t aproxima-se da distribuição normal padrão;
 Conforme o tamanho da amostra aumenta, s torna-se uma estimativa mais confiável de ; se n é muito grande, o erro de estimação é desprezável e conhecer s é quase equivalente a conhecer .
Características da Distribuição t de Student
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Distribuição t-Student x Normal Padronizada
0
Normal
t-Student
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A fórmula do intervalo de confiança para a média é dada por:
Como o cálculo de t adota a fórmula:
Ou seja, adota a distribuição t e não a z.
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Exemplo: A cronometragem de certa operação ofereceu os seguintes valores para n=6 determinações: 4; 5; 5; 6; 8 e 8 (em minutos). Supondo a cronometragem uma variável com distribuição ~ normal calcule intervalo com 99% de confiança para a média populacional.
Média amostral = 6
Desvio padrão amostral: 0,6831
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0
0,005
0,005
- t5g.l= - 4,0321
t5g.l = 4,0321
0,99
P ( 3,2 < < 8,8 ) = 0,99
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Resumo da estimação do intervalo de confiança para média da população - 
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