Texto_3_-_Efeitos_de_Segunda_Ordem_e_Instabilidade_Prof_Buchaim

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UEL-CTU Estruturas, Concreto Estrutural, Prof. Roberto Buchaim 8/2012, Revisado em 06/10/2015 Pág. 1 
 
Efeitos de Segunda Ordem e Estado Limite Último de Instabilidade 
1. Introdução 
O texto que segue mostra a determinação aproximada do momento fletor total na posição 
deformada do eixo de pilares, a qual é desconhecida de início. O pilar está sujeito à ação de uma 
força de compressão ���, aplicada com excentricidades iguais e de mesmo sentido no topo e na 
base, causando uma força normal �� = ���, constante ao longo de sua altura (desconsiderado seu 
peso próprio ou adicionado a ���), e a forças horizontais, concentradas ou distribuídas ao longo 
de sua altura, com distribuição simétrica em relação à sua seção média. Supõe-se a seção 
constante, inclusive a armadura, disposta na seção transversal com dupla simetria em relação aos 
dois eixos principais de inércia. Com isto, a deformada do pilar é simétrica em relação à seção 
média do pilar, e sua curvatura é simples. Mostra-se adiante que os pilares de pórticos, 
geralmente fletidos em curvatura dupla e, por vezes, simples, podem ser dimensionados 
equivalentemente, com as devidas alterações, recaindo-se no presente caso. Por esta razão, o pilar 
em questão é denominado pilar padrão ou coluna modelo, e sua altura �� é denominada 
comprimento equivalente. 
O fato de considerar-se a deformada do pilar para determinar o momento solicitante total, através 
da máxima excentricidade da força �� = ���, caracteriza o chamado efeito de segunda ordem. 
Assim, interfere no problema a esbeltez do pilar, com o que não basta dimensionar a seção do 
pilar, sendo necessário considerar a peça como um todo, caracterizando a análise local dos efeitos 
de segunda ordem. O mesmo acontece com pórticos esbeltos (ou pouco contraventados), 
caracterizando a análise global dos efeitos de segunda ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Pilar esbelto fletido em curvatura simples e simétrica 
 
 
2. Determinação da excentricidade de 2ª. ordem na seção central do pilar esbelto 
 
Considere-se o pilar da Figura 1, sujeito às cargas e excentricidades indicadas. Admite-se para a 
deformada do pilar uma senóide de equação: 
 
��� 
��� 
� 
	 
� = 
� 
� 

��� 2⁄ � = 
� 
� 

 
� = ���� = ���
��� �� ��������� 
�� 2⁄ 
�� 2⁄ 
� = ���� !�!�, 
 ����
�$���
��
 à !á��!� ��������� 
ℎ 
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��� = 
��
��
(�
��
� (1) 
 
A derivada segunda desta equação é também senoidal e igual à curvatura 1/����: 
 
��
���
= +�
(
��
��
��
��
(�
��
� =
1
����
 
 
 
Na seção central do pilar, � = �� 2⁄ , tem-se a máxima curvatura (mínimo raio), em módulo dada por: 
 
 
 
�
1
�
� = �
(
��
��
� 
ou 
� =
��
�
(�
�
1
�
� ≅ 0,1��
��
1
�
� 
 
 
 
 
(2) 
 
Se o momento fletor no pilar fosse constante ou triangular, o denominador de (2) seria 
respectivamente 8 ou 12. Como a distribuição do momento fletor ao longo do pilar está entre 
estas duas formas, admite-se como aproximação o valor médio 10 ≅ (�. Como se vê em (2), a 
máxima excentricidade do pilar está diretamente relacionada à curvatura máxima, ambas na seção 
central do pilar. Para obter a curvatura com rigor, é preciso traçar o diagrama momento-curvatura 
para a dada força normal, escolhendo-se previamente a geometria da seção e a armadura, bem 
como sua disposição na seção, e ainda as resistências e leis constitutivas dos materiais. Isto se faz 
para uma sequência crescente de curvaturas, a partir da curvatura nula, quando já está presente a 
força normal. A curvatura é crescente até que a seção atinja uma deformação limite em um dos 
dois materiais, o que caracteriza o fim do diagrama. Em cada ponto do diagrama, mantendo 
sempre a mesma força normal, procura-se iterativamente, para a dada curvatura, a profundidade 
da linha neutra, de modo a haver igualdade das forças normais solicitante (externa, ���) e 
resistente (interna, �/�0). Conhecida a LN, pode-se obter o momento resistente 1�0 (interno) 
correspondente à curvatura pré-fixada. Este momento deve ser comparado com o momento 
solicitante 1��,232, i.e., vindo das cargas e da excentricidade 
�. 
 
Considerando que o momento solicitante total na seção central do pilar é dado pela soma dos 
momentos de 1ª. e de 2ª. ordem, ou seja: 
 
1��,232 = 1�4 5 1�� = 1�4 5 ���
� (3) 
 
podem ocorrer as seguintes situações, para taxas de armadura (total) crescentes, 6�,2324 7
6�,232� 7 6�,2328 …, cf. a Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Comparação dos momentos solicitante e resistente para taxas de armadura crescentes 
 
: 
1��,232, 1�0 
� = 0,1��
��
1
�
� 
6�,2324
6�,232�
6�,2328
��� = ��
, 
 
; = ;<���í=���; 
: = :����=������
; 
? = ?�$���� !��
���� 
 1�4 
1�0 
; 
1��,232 
? 
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(1) A reta do momento solicitante total, 1��,232, não intersepta a curva do momento 
resistente 1�0 em nenhum ponto (caso da taxa 6�,2324). A seção e o pilar não resistem 
às solicitações dadas, pois não é possível o equilíbrio. 
(2) A reta do momento solicitante total, 1��,232, intersepta a curva do momento resistente 
no ponto E (caso da taxa 6�,2328). A seção e o pilar resistem às solicitações dadas, o 
equilíbrio é possível e estável, pois se houver um acréscimo na excentricidade 
� tem-
se 1�0 > 1��,232. Isto quer dizer que o momento resistente cresce mais rapidamente 
que o momento solicitante, ou seja, 
�ABC
��D
>
�AEB,FGF
��D
. Entretanto, a armadura está em 
excesso e por isso reduz os efeitos de 2ª. ordem (
� e 1��,232�. 
(3) A reta do momento solicitante total, 1��,232, tangencia a curva do momento resistente 
no ponto I (caso da taxa 6�,232�). A seção e o pilar resistem às solicitações dadas, a 
armadura é a mais econômica, mas o equilíbrio é possível e instável, pois se houver um 
acréscimo qualquer na excentricidade 
�, para mais ou para menos, tem-se 1��,232 >
1�0. Isto quer dizer que o momento solicitante cresce mais rapidamente que o momento 
resistente, ou seja, 
�AEB,FGF
��D
>
�ABC
��D
. Diz-se, então, que o pilar atingiu o estado limite 
último de instabilidade. Note-se que a inclinação da reta de 1��,232 é dada pela força 
normal ���, e como a excentricidade depende de �� ao quadrado, qualquer aumento em 
uma ou em ambas as grandezas, gira a reta para a esquerda, exigindo maior armadura. 
(4) Outra situação possível, não mostrada na Figura 2, decorre da interseção da reta de 
1��,232 justamente no último ponto da curva 1�0. Isto pode ocorrer em pilares 
medianamente esbeltos. Neste caso, tem-se convencionalmente ruptura material (ponto 
R), e a seção atinge uma deformação limite, no concreto (HI,J = 3,5‰ na borda mais 
comprimida, ou 2‰ na fibra distante 
8
M
ℎ da borda mais comprimida, considerando 
NIO ≤ 50 1Q�), ou o aço tracionado atinge seu alongamento limite HR,S0T = 10‰. 
(5) Por último, pode ocorrer ainda que a interseção da reta de 1��,232 e da curva 1�0 só 
seja possível na origem, quando então 
� = 1�4 = 0, e só atua a força ���. Isto 
significa que o pilar atinge o estado limite último de instabilidade na compressão pura, 
não sendo possível o equilíbrio para qualquer valor de 
�, finito ou infinitesimal, pois 
será sempre 1��,232 > 1�0. Como se vê, esta carga de instabilidade não se confunde 
com a carga de Euler da flambagem elástica, (�;: ��
�⁄ , em que a forma reta deixa de ser 
estável, e a forma curva passa a ser estável. Neste caso, tem-se um problema de 
estabilidade, mas não necessariamente um problema de estabilidade e resistência, como 
no pilar esbelto de concreto armado. A propósito, esta é a principal razão de impor-se 
no dimensionamento de pilaresde concreto armado a excentricidade construtiva ou 
falta de retilineidade ou desaprumo, evitando-se com isto a compressão pura e, ao 
mesmo tempo, levando-se em conta a esbeltez do pilar. 
 
 
3. Determinação da curvatura aproximada 
 
A NBR 6118, item 15.8.3.3.2, dá a seguinte expressão da curvatura aproximada na seção crítica 
do pilar: 
 
�
4
V
� =
 , W
X�YZ ,W�
, com [ =
\B
]X^_B
 e NI� =
^_`
a_
 (4) 
 
Mostra-se no que segue uma expressão mais precisa da curvatura na seção crítica do pilar, 
considerando-se o ramo descendente (domínios 4 e 5) linearizado do diagrama de interação 
entre o momento e a força normal de cálculo, b
�
�[��, resultante da soma das parcelas 
resistentes das seções de concreto simples, b
�
�[��, e metálica, b��[��. Esta solução está dada no 
Model Code 1990, 1993, e no Eurocode 2, 2010. Toma-se como base para a dedução a seção 
retangular, com as seguintes restrições: aço CA-50, e relação cobrimento/altura da seção 
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cd = �d ℎ⁄ ≤ �HIJ + He�� 2HIJ⁄ . As deformações que aí aparecem são assim definidas: 
 
encurtamento último do concreto: 
 
 H�� = 3,5‰ se N�f ≤ 501Q�, e 
H�� = [2,6 5 35�
90+N�f
100
�
4
]‰ se 501Q� 7 N
�f
≤ 901Q�, 
deformação do aço no início do patamar de escoamento: 
 
H
� = N
� ;�⁄ , com N
� = N
f l�⁄ , 
 
no caso ;� = 210mQ�, N
f = 5001Q�, l� = 1,15. 
 
Assim, a mencionada faixa de força total nula na seção metálica ocorre para c′ ≤ 0,20 se N
�f
≤
50 1Q� e, p.ex., para c′ ≤ 0,10 se N
�f
= 901Q�. 
 
A expressão aproximada da curvatura é válida também para outras formas de seção – embora 
não tratadas aqui – de pilares em flexão composta normal, nos domínios 4 e 5, o que é frequente 
nos casos usuais, especialmente em pilares de edifícios. Ver a Figura 3. A solução nela 
indicada, obtida com os domínios de deformação da NBR 6118: 2004, item 17.2.2, e N
�f
≤
50 1Q�, coincide com a da teoria da plasticidade (materiais rígido-plásticos), verificada em 
Buchaim, 2005, mas apenas se cd = �d ℎ⁄ ≤ 0,20, para o aço CA-50. Se for cd = �d ℎ⁄ > 0,20, 
o losango bR�[R� apresenta-se truncado, e o momento de máximo módulo dessa função ocorre 
para uma força de tração na seção metálica, [R 7 0. A solução plástica está dada em Baker e 
Heyman, 1969, e Marti, 1999. Ver também Wight e MacGregor, 2011. 
 
Os adimensionais são definidos como segue: 
Momentos: bI =
A_
 ,oW^_B]X
D , bR =
Ap
 ,oW^_B]X
D , b� =
AB
 ,oW^_BX
D 
Forças normais: [I =
/_
 ,oW^_B]X
, [R =
/p
 ,oW^_B]X
, [� =
\B
 ,oW^_B]X
 
Taxa mecânica da armadura total: 6�,232 =
�p,FGF^qB
]X^_Br
 
Curvatura relativa: s =
4 tX
V
; cobrimento: cd =
�u
X
; Resistências de cálculo do concreto e do aço: 
0,85NI� = 0,85 ^_`a_ , Ne� =
^q`
ap 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Diagrama de interação b��[��: Curvatura aproximada no ramo descendente. Seção 
retangular, armadura dupla e simétrica, aço CA-50, cd = �d ℎ⁄ ≤ 0,20, NIO ≤ 50 1Q� 
bI bR b�, s
[I [R [� 
1 0,5 
0,125 
−6�,232 6�,232 −6�,232 
[�J = 1 + 6�,232 
��!$��N���çã� 
[�.8/y 
[�� 
sJ = 0 
������!
��� �� �����z� �
 c′ > 0,20 
bR = �6�,232 − [R��0,5 − cd� bI = 0,5[I�1 − [I� 
$��á=. �
z. z��� 6�,232�0,5 − cd� b�.8/y, se b�. , s 
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O ponto de máximo do diagrama de interação b��[�� ocorre na divisa dos domínios 3 e 4, 
correspondendo à força normal [�,8/y (também chamada [�,]{S nos textos norte-americanos e no 
MC-90), enquanto o último ponto corresponde à compressão pura, com força normal [�J = 1 +6�,232 e curvatura nula, sJ = 0. Na divisa dos domínios 3 e 4, as duas armaduras estão em 
escoamento, uma em compressão, outra em tração, para as restrições cd = �d ℎ⁄ ≤�HIJ − He�� 2HIJ⁄ e aço CA-50, e a curvatura correspondente é se, definida a seguir pela 
Equação (8). Com isto, a força normal [�,8/y pode ser determinada, pois a profundidade da linha 
neutra é conhecida. Assim, como simplificação, lineariza-se a curva b��[�� nos domínios 4 e 5, o 
que permite obter a curvatura s , dada a força normal correspondente [�, ambas indicadas na 
Figura 3. 
 
A curvatura s é aquela correspondente ao ponto I do diagrama momento – excentricidade de 
segunda ordem (ou momento – curvatura, pois esta última difere de 
� pela constante 0,1���, cf. 
mostra a Figura 2), e não deve ser confundida com a curvatura do ELU–Ruptura material (ponto 
R dessa figura, em que uma deformação limite é atingida, no concreto ou no aço). Na seção 
retangular, com duas camadas de armadura próximas às faces da seção perpendiculares ao plano 
de flexão, ao aumentar a curvatura até a ruptura material, assim que uma das camadas (ou ambas) 
atinge o início do escoamento, forma-se um ponto anguloso no diagrama momento-curvatura, o 
qual condiciona o ELU–Instabilidade, quer dizer, nesse ponto a reta do momento solicitante 
tangencia a curva do momento resistente, cf. a Figura 2. Portanto, este estado ocorre para 
deformações menores que as do ELU-Ruptura material. Além disso, os momentos resistentes dos 
pontos R e I diferem pouco entre si. 
 
Representando a curvatura no mesmo eixo do momento fletor, e observando a linearidade entre o 
momento e a força normal resistentes, e a correspondência entre o momento e a curvatura, b� =��
 × s, aquele do ELU, próximo do momento do início do escoamento (b� ≅ b�e� de pelo 
menos uma armadura (a comprimida) e a curvatura correspondente a esse momento, obtém-se por 
semelhança de triângulos, a expressão aproximada da curvatura, a qual corrige a Equação (4): 
 
�4V� = �4V�e YB}~YBYB}~YB,t/�, com [� = \B]X^_Br e NI�4 = 0,85 ^_`a_ (5) 
 [�,8/y = [I,8/y (para 6�,232 ≥ 0,20, ver a Figura 4) (6) 
 [�J = 1 + 6�,232 
 
(7) 
se = �10
8ℎ
� �e =
2He̅�1 − 2cd 
 
(8) 
 
Com estas simplificações, resulta a expressão aproximada da curvatura: 
 
s0 = �108ℎ� � = �
2He̅�1 − 2cd�
1 + 6�,232 − [�1 + 6�,232 − [�,8/y 
 [�,8/y ≤ [� ≤ [�J = 1 + 6�,232 
(9) 
 
A determinação da força normal [�,3/4 = [�,3/4 e do correspondente momento b�,3/4 = b�,3/4 +
6�,����0,5 − c′� pode ser feita mais facilmente por meio do bloco retangular de tensões, o qual 
leva, para seção retangular até quase o fim do domínio 4, a resultados coincidentes com a lei 
parábola-retângulo, mesmo para concretos de alto desempenho. Assim, na divisa 3/4 obtêm-se os 
esforços resistidos pela seção de concreto: 
 
[I,8/y = ���8/y , bI,8/y = [I,8/y2 �1 −
[I,8/y� � 
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Nestas equações, �3/4 = �3/4ℎ = �1 − c′� H��H��+H
� é a profundidade relativa da LN na divisa dos 
domínios 3 e 4, � e � são fatores do bloco retangular de tensões, o primeiro aplicado à 
profundidade da LN e o segundo à resistência do concreto. Conforme o item 17.2.2 da NBR 
6118: 2012, eles são respectivamente iguais aos já conhecidos � = 0,8, � = 1 se N�f ≤ 50 1Q�, 
mas passam a depender da resistência do concreto se 501Q� < N�f ≤ 901Q�, e valem � =0,8 − �^_`~W y � , � = 1 − �^_`~W � �. 
 
Como se vê em (9), a expressão apresentada é inteiramente diferente da (4), pois a curvatura 
aproximada depende da força normal e da taxa mecânica total, a qual é desconhecida de início. 
Deve, em princípio, ser obtida iterativamente de modo a haver coincidência entre os momentos 
solicitante e resistente, a menos de uma tolerância, p.ex., �b��,232 − b�0� < 0,001. A Figura 4 
mostra as curvas de interação entre o momento fletor e a força normal, úteis no dimensionamento 
de seção retangular com armaduras simétricas, posicionadas nas duas faces perpendiculares ao 
plano de flexão. 
 
Nos casos mais simples, com o da seção retangular da Figura 4, é possível determinar a taxa 
mecânica sem necessidadede iteração. Conforme se vê na Figura 3, a equação do momento 
resistente da seção metálica, no primeiro quadrante, é bR = �6�,232 − [R��0,5 − cd�. Na divisa 
dos domínios 3 e 4, tem-se [R8/y = 0, bR,8/y = 6�,232�0,5 − cd� e bI,8/y e [I,8/y conhecidos por 
meio da LN dessa divisa, dada acima, donde o momento resistente total nessa divisa b�,8/y =bI,8/y + 6�,232�0,5 − cd�. Para [� > [�,8/y = [I,8/y (em que apenas a armadura comprimida 
escoa até o fim do domínio 5, nas condições da Figura 3), resulta o momento resistente 
linearizado igual a: 
 
b� = b�,8/y� 4Z�B,FGF~YB4Z�B,FGF~Y_,t/�� = [bI,8/y + 6�,232�0,5 − cd�]� 4Z�B,FGF~YB4Z�B,FGF~Y_,t/�� (10) 
 
Este momento resistente (com b� = b�0� igualado ao momento solicitante total b��,232, dado pela 
Equação (11), fornece uma equação do segundo grau na taxa mecânica. 
 
Para facilitar a solução numérica, transforma-se a Equação (3) em adimensional, dividindo-a por 0,85NI�=ℎ�: 
 
b��,232 = b�4 + b�� = b�4 + 10~y[����ℎ ��s 
(11) 
 
Nesta expressão, o quociente 
S�
X é a esbeltez do pilar. Se este valor for nulo, o pilar reduz-se à 
seção transversal, e não há momento de segunda ordem. Na realidade, o efeito de 2ª. ordem local 
em pilares isolados, destacados de um pórtico ou em balanço, é desprezado para um valor do 
índice de esbeltez suficientemente pequeno, indicado na NBR 6118, item 15.8.2, por �4. 
 
 
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O cálculo da taxa mecânica total, no caso da seção retangular aqui considerada, pode ser feito 
diretamente pela Equação (12), dada a seguir. Igualando (10) e (11), resulta: 
 6�,232� + =�6�,232 + �� = 0 
 
6�,232 =
−=� + �=�� − 4��
2 
 
Os coeficientes desta equação são dados por: 
 
=s =
b�,3/4 − 10−4[� ��
ℎ�
2 s
 − b�1 + �1 − [���0,5 − c′�
�0,5 − c′� 
 
�s =
[b�,3/4 − 10−4[� ��
ℎ�
2 s
]�1 − [�� − �1 − [�,3/4�b�1
�0,5 − c′� 
 
 
 
(12) 
 
Ver o Exemplo 1. 
 
Conhecido o índice de esbeltez do pilar, dado por: 
 
 � = S�0 (13) 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
M
o
m
e
n
to
 R
e
la
ti
v
o
: 
µµ µµ
d
=
M
d
/ 
(b
h
^
2
 0
,8
5
fc
d
) 
Força Normal Relativa: ννννd=Nd / (bh0,85fcd)
Figura 4: Diagrama de Interação Momento - Força Normal. Seção 
Retangular, Armadura Dupla e Simétrica. Bloco retangular de tensões.Aço 
CA-50, 
d'/h = 0,10. Taxa Mecânica Total: 
wd,tot = (2As fyd) / (bh0,85fcd), 
0,85fcd=0,85fck/γγγγc , fck ≤ 50 MPa
wd,tot=2
wd,tot=1.8
wd,tot=1,6
wd,tot=1,4
wd,tot=1,2
wd,tot=1
wd,tot=0.8
wd,tot=0.6
wd,tot=0.4
wd,tot=0.2
wd=0
�R⬚
�R⬚
ℎ⬚
=⬚
�d 
�d 
1� �� 
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este é comparado com o índice de esbeltez limite �4. Em (13), � = � �� é o raio de giração e � é 
área da seção, tomando-se para o momento de inércia : da seção o eixo principal de inércia 
perpendicular ao plano de flexão. Para seção retangular, sendo 
�
� = ]X
t
4��]X� = X
D
4�, resulta � = X√4�, 
donde � = √12 S�X ≅ 3,46 S�X . Nesta expressão, ℎ é o lado da seção perpendicular ao plano de 
flexão. Analogamente para a seção circular, obtém-se � = 4 S�∅ , onde ∅ é o diâmetro da seção. 
 
Para os pilares em balanço engastados na base, �� é o dobro da sua altura. Se houver rotação no 
engaste (p. ex., fundação em sapata direta, ou bloco só com uma estaca ou tubulão), é necessário 
considerar o conjunto pilar-fundação, incluindo o solo, representado por meio de molas. Nestas 
condições, i.e., por causa da rotação na conexão com a fundação, �� é maior do que o dobro da 
altura em balanço. 
 
O índice de esbeltez limite �4 é dado, cf. o item mencionado da NBR 6118, por: 
 
�4 = 25+12,5
1ℎ
�= ≥ 35 
(14) 
 
com os limites 35 ≤ �4 ≤ 90. Abaixo de 35 o pilar é considerado não esbelto (efeitos de 2ª. 
ordem desprezíveis), acima de 90 os métodos aproximados não se aplicam, sendo necessário um 
cálculo não linear mais rigoroso. 
 
O coeficiente �] tem diferentes definições, conforme os casos seguintes: 
 
(a) Pilares biapoiados sem cargas transversais 
 
É o caso dos pilares de pórticos, quando se analisa um lance, após a análise global com ou sem 
efeitos de 2ª. ordem: 
 
1 ≥ �] = 0,6 + 0,4 1	1� ≥ 0,40 (15) 
 
Em (15), 1� é o momento de maior módulo na extremidade do pilar (no topo ou na base), 
tomando-se o sinal positivo do quociente 
A�
A� se ambos os momentos dos extremos do lance 
tracionarem a mesma face do pilar (pilar em curvatura simples, simétrica ou não), e negativo em 
caso contrário (pilar em curvatura dupla, formando um S, antimétrico ou não). Ver os exemplos 
da Figura 5. 
 
(b) Pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: �] = 1 
 
(c) Pilares em balanço engastados na base, com momentos no engaste igual a 1� e no meio 
do pilar igual a 1�, ambos de 1ª. ordem: 
 
1 ≥ �] = 0,8 + 0,2 1�1� ≥ 0,85 (16) 
 
(d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo a que 
o pilar deve resistir, 14�,T0� = ����0,015 + 0,03ℎ�, com ℎ em metros: 
 �] = 1 
 
Neste caso, para efeito de dimensionamento, aplica-se 14�,T0� nas duas extremidades, 
tracionando a mesma face do pilar se biarticulado, ou no topo se em balanço. Se o pilar for 
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esbelto, há efeitos de 2ª. ordem ativados justamente por este momento mínimo e pela força axial ��� = ��. Com isto, estabelece-se um patamar de resistência do pilar esbelto na 
flexocompressão, evitando-se a determinação da carga de instabilidade na compressão pura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Exemplos de cálculo do coeficiente �] 
 
 
4. Dimensionamento de pilar esbelto através da curvatura aproximada 
 
4.1 Exemplo 1 
 
Seja um pilar como o da Figura 1, biapoiado, sujeito ao seguinte carregamento: ��� = 728,6 
kN, �� = 33,66 f�. A seção tem dimensões =/ℎ/�′ = 300/200/20 !!, e a altura do 
pilar é �� = 4 !. As resistências dos materiais são NIO = 30 1Q�, 0,85NI� = 0,85 8 4,y =18,21 1Q�, Ne� = 435 1Q�. Considerar no dimensionamento a falta de retilineidade do 
eixo do pilar. 
 
Solução: 
 
(a) A falta de retilineidade do eixo do pilar é considerada pelo ângulo 
 
�4 = 1100��� =
1
100√4 =
1
200 ��� 
 
Este valor deve ser comparado com os extremos estabelecidos na NBR 6118, item 
11.3.3.4.2, �4,T0� = 48 , �4,T{� = 4� . Logo, �4 = �4,T{� = 4� . Considerando a 
forma triangular do eixo do pilar, com excentricidade máxima na seção central, 
obtém-se a excentricidade da força axial, igual a 
 
{ = �4 ��2 =
1
200 ×
4
2 = 0,01 ! 
 
� 
��� 
��� 
� 
	 
� = 
� 
�� 
� 
1� = 1�, 
�] = 1 
 $���� $���ã� 
curv. simples e simétrica 
� = −
�/2 
1� = −1�/2, 
�] = 0,4 
 $���� 
! 
 ����. ��$�� 
	 
� 
1� 1� 
� 
� 
	 
1� 
� 
� 
	 
1� 
1� = 
� = 0, 
�] = 0,6 
 $���� 
! 
 ����. ��!$�
� 
 
1� = 1�/2, 
�] = 0,8 
 $���� 
! 
����. ��!$�
� 
� = 
�/2 
1� 
� 
� 
	 
1� 
1� = −1�, 
�] = 0,4 
$���� 
! 
 ����. ��$�� e antimétrica 
� = −
� 
1� 
1� 
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(b) Cálculo do momento de 1ª. ordem na seção central do pilar 
 
1�4 = �� ��4 + ���
{ = 33,66
4
4 + 728,6 × 0,01 = 40,95 f�! 
 
Adimensionalmente resultam: 
 
b�4 = y ,¦W×4 §8 ×� D×4o,�4 = 0,187, �rX = �y ,¦WM�o,¨�/0,20 = 0,281 
 
(c) Cálculo da taxa mecânica, dados: 
(d) 
Força normal relativa [� = M�o,¨×4 t8 ×� ×4o,�4 = 0,667, 
Esbeltez do pilar 
S�
X = y ,� = 20, 
Índice de esbeltez � = 3,46 × 20 = 69,3, 
Esbeltez limite �4 = �WZ4�,W
�r©ª« = �WZ4�,W× ,�o44 = 28,5 ≥ 35, donde �4 = 35. 
 
Da Equação (12), obtém-se diretamente a taxa mecânica, sem iteração. Com cd = � � = 0,1,se = �×�, M4~�× ,4 = 5,175, �3/4 = �3/4X = �1 − cd� ¬_}¬_}Z¬qB = 0,9 3,53,5+2,07 = 0,5655, [�,3/4 =
���3/4 = 0,8 × 1 × 0,5655 = 0,452, b�,3/4 = 0,4522 �1 − 0,4521 � = 0,124, 
�
 = 10−4[� ­�
ℎ®
2
s
 = 10−4 × 0,667 × 400 × 5,175 = 0,1381 
obtêm-se: 
=s = b�,3/4 − �
 − b�1 + �1 − [���0,5 − c
′�
�0,5 − c′� =
0,124 − 0,1381 − 0,187 + 0,333 × 0,4
0,4
= −0,1698 
�s = [b�,3/4 − �
]�1 − [�� − �1 − [�,3/4�b�1�0,5 − c′�
= [0,124 − 0,1381] × 0,333 − �1 − 0,452� × 0,1870,4 = −0,2679 
 
6�,232 =
−=� + �=�� − 4��
2 =
0,1698 + 1,0490
2 = 0,609 
6�,232 = 0,609 = ��p×y8W8 ×� ×4o,�4 ou �R = 765!!� ≅ 4∅16 em cada face maior. 
 
O momento total relativo, cf. a Equação (10), resulta igual a, com 
4Z�B,FGF~YB
4Z�B,FGF~Y_,t/� = 4,¨ ¦~ ,¨¨M4,¨ ¦~ ,yW� =0,8142: 
 
b� = °bI,8/y + 6�,232�0,5 − cd�± ­ 4Z�B,FGF~YB4Z�B,FGF~Y_,t/�® = [0,124 + 0,609 ×0,4] × 0,8142 = 0,299 
 
E de (11): 
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b��,232 = b�4 + 5,175 × 10~y[� �S�X �
� ­ 4Z�B,FGF~YB4Z�B,FGF−[�,3/4® = 0,187 + 5,175 × 10~y × 0,667 × 20� ×0,8142 = 0,187 + 0,1121 = 0,299 
O momento total é, portanto: 1��,232 = 0,299 × 300 × 200� × 18,21 × 10~¨ = 65,34 f�!. 
Note-se que para os dois momentos, o total e o de 1ª. ordem, respectivamente iguais a b��,232 = 0,299 e b�4 = 0,187, obtém-se a parcela correspondente ao momento de 2ª. ordem, b�� = 0,112, valor que é igual a ≅ 0,6b�4. Ou seja, o momento de 2ª. ordem é 60% do momento 
de 1ª. ordem. Isto significa que o efeito de 2ª. ordem, no caso, não pode ser desprezado, sob pena 
de reduzir o coeficiente de segurança l̂ abaixo de 1. 
 
No exemplo, a excentricidade total da força axial vale 
� = ℎ ³EB,FGFYB = 200 × ,�¦¦ ,¨¨M = 89,7 !!, e 
a curvatura máxima vale s = �4 tXV � = 5,175 4Z�B,FGF~44Z�B,FGF´µ_,t/� = 5,175 × 0,8142 = 4,213, donde 
o raio mínimo � = 4 t× ,�y,�48 = 47,5 !. Note-se, por fim, que a força normal [� = 0,667 está no 
intervalo �0,452; 1,609�. Além disso, o método da curvatura aproximada se aplica, pois � =69,3 < 90. 
 
Confere-se o resultado através do programa de Marino et al, 2001, com �� = −728,6 f�, e 1��,232 = 1� = 65,34 f�!. Do diagrama de interação vê-se que o pilar está com segurança 
adequada, e a taxa geométrica da armadura é 2,67% < 4%. Este último valor é o limite da taxa 
geométrica se houver emenda por transpasse. 
 
 
 
 
4.2 Exemplo 2 
 
Seja o pilar em balanço da Figura 6, engastado na base e livre no topo. Conhecida a área da 
armadura total, �R,232 = 2 × 2∅25, aço CA-50 e a resistência do concreto NIO = 30 1Q�, pede-se 
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obter a máxima força horizontal aplicada no topo a que o pilar resiste, sabendo-se que a força 
axial vale ��� = 1371,5 f�. Dados adicionais: � ℎ⁄ = 0,9, seção quadrada de lados = = ℎ =400 !!. Usar o método da curvatura aproximada, cf. Equação (9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Pilar esbelto em balanço 
 
Solução: 
 
(a) Cálculo dos adimensionais 
 
Com �R,232 = 4 × 500 = 2000 !!�, 0,85NI� = 0,85 8 4,y = 18,21 1Q�, Ne� = W 4,4W =434,78 1Q�, obtém-se: 
 
Taxa mecânica da armadura total: 6�,232 = �p,FGF^qB]X� ,oW^_B� = � ×y8y,Moy D×4o,�4 = 0,30 
Força normal relativa: [� = \B]X� ,oW^_B� = 48M4,W×4 
t
y D×4o,�4 = 0,471 
Intervalo da força normal relativa: 
 
 [�,8/y = 0,452 ≤ [� = 0,471 ≤ [�J = 1 + 6�,232 = 1,30, e o método se aplica. 
 
(a) Curvatura aproximada, cf. (9): 
 
s0 = �108ℎ� � = ­
2He̅�1 − 2cd®
1 + 6�,232 − [�1 + 6�,232 − [�,8/y = 5,175
1 + 0,30 − 0,471
1 + 0,30 − 0,452 = 5,059 
(b) Índice de esbeltez do pilar, de (13), correspondente ao comprimento equivalente do pilar �� = 2� = 8 !: 
 
� = 3,46 ��ℎ = 3,46
8
0,4 = 69,3 > �4T0� = 35 
 
O pilar é esbelto (como se comprova no item (f)), embora não se conheça o valor de �4, pois este 
depende da excentricidade relativa de 1ª. ordem 
�r
X , a qual depende do momento de 1ª. ordem, que 
ainda é incógnito. 
 
(c) Cálculo do momento resistente total: conforme a Figura 4, com a força normal relativa 
[� = 0,471 e os parâmetros 6�,232 = 0,30, �uX = 1 − �X = 0,10, aço CA-50, resulta b��,232 = 0,23. Alternativamente, usando a Equação (10), obtém-se um valor apenas 4% 
maior: 
b� = [0,124 + 0,30 × 0,4]�1 + 0,30 − 0,4711 + 0,30 − 0,452� = 0,2385 
 
��� 
��� 
� = 4,00 ! 
= = ℎ = 0,40 ! 
� = 0,36 ! �4 
232 = 
4 + 
� 
�
��$��!� �� $���� 
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(d) Cálculo do momento resistente de 1ª. ordem, de (11): 
 
b��,232 = b�4 + b�� = b�4 + 10~y[�����ℎ ��s 
 
0,2385 = b�4 + 10~y × 0,471 × � 80,4�� × 5,059 = b�4 + 0,0953 
 b�4 = 0,2385 − 0,0953 = 0,143 
 1�4 = b�4=ℎ��0,85N��� = 0,143 × 4008 × 18,21 × 10~¨ = 167 f�! 
 
(e) Cálculo da máxima força horizontal ��� 
 
Considera-se o desaprumo do pilar, através do ângulo estabelecido no item 11.3.3.4.1 da NBR 
6118: 2012 em caso de pilar isolado em balanço, a saber: 
 
�4 = 4� ���, 
 
{ = �4 ��2 = �4� =
1
200 × 4 = 0,02 ! 
 
Momento de 1ª. ordem na seção da base do pilar: 1�4 = ���� + ���
{ 167 = ��� × 4 + 1371,5 × 0,02 
��� = �167 − 27,4�/4 = 35 f� 
Este é o valor da máxima força horizontal a que o pilar esbelto resiste com a devida segurança. 
(f) Verificações adicionais 
A excentricidade de 1ª. ordem, sendo igual a 
4 = ABr¶EB = 4¨M48M4,W = 0,122 !, fornece a 
excentricidade relativa 
�r
X = ,4�� ,y = 0,304, com a qual é possível calcular o índice de esbeltez 
limite �4 de (14). Neste índice influi o coeficiente �], de (16). Como a distribuição dos momentos 
de 1ª. ordem é linear ao longo do pilar, de 0 no topo a 1�4 na base, tem-se, com 1� =1�4, 1� = 0,51�4: 
1 ≥ �] = 0,8 + 0,2 1�1� = 0,8 + 0,2 × 0,5 = 0,9 ≥ 0,85 
�4 = 25 + 12,5
1ℎ�= =
25 + 12,5 × 0,304
0,9 = 32 → �4T0� = 35 
 � = 69,3 > �4T0� = 35 
 
E o pilar é, de fato, esbelto, o que já se percebe dos cálculos anteriores, pois o momento de 2ª. 
ordem é 
ABD
ABr = 0,0953 ,4y8 = 0,67, ou 67% × 1�4. 
 
Se a esbeltez do pilar gerar momento de 2ª. ordem maior ou igual a 10% do de 1ª. ordem, i.e., se 1�� ≥ 0,11�4, este acréscimo não pode ser desprezado. Esta é a tolerância, inclusive na análise 
global de 2ª. ordem (“critério dos 10%"), para o erro nos cálculos dos efeitos de 2ª. ordem. 
 
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A excentricidade total da força axial é 
232 = 
4 + 
� = 0,122 + ABD¶EB = 0,122 + 444,448M4,W =0,203 ! ≅ 200 !!, onde o momento de 2ª. ordem é igual a: 
 1�� = b��=ℎ��0,85N��� = 0,0953 × 4008 × 18,21 × 10~¨ = 111,1 f�! 
 
O momento total é igual a 1��,232 = 0,2385 × 4008 × 18,21 × 10~¨ = 278 f�!, ou 1��,232 =1371,5 × 0,203 = 278 f�!. Usando o mesmo programa de Marino et al, 2001, vê-se no 
diagrama de interação que o momento solicitante é praticamente igual ao momento resistente. 
 
 
 
 
 
 
5. Pilar-padrão com rigidez s aproximada 
 
No item 15.8.3.3.3 da NBR 6118 é dado um segundo método para a determinação do momento 
total de cálculo, 1��,232, aplicável a pilares esbeltos com índice de esbeltez � ≤ 90, de seção 
retangular e armaduras com dupla simetria, ambas constantes ao longo da altura do pilar. 
Também é constante a força normal de compressão ��� = ���. A deformada do pilar é, como no 
método da curvatura aproximada, admitida senoidal. Ver França, 1991, e Oliveira, 2004. Para 
exemplos, ver Kimura, Santos e França, 2006. 
 
A base do método, descrito no item 15.3.1 da NBR 6118, consiste em determinar no diagrama 
momento-curvatura uma rigidez à flexão secante, considerando para a deformabilidade da seção 
(e do pilar) as resistências do concreto 0,85 × 1,3 × ^_`a_ = ^_`4,�M e do aço Ne�. A rigidez secante 
corresponde ao momento resistido pela seção no ELU, 1/� , dividido por 1,1. Nesse diagrama, a 
força normal do ELU também é dividida por 1,1. Ligando o ponto correspondente a A¹B4,4 à origem 
do diagrama momento-curvatura assim calculadoobtém-se, pela inclinação da reta, a rigidez 
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secante, que é considerada, a favor da segurança, constante ao longo do pilar. O valor 
adimensional dessa rigidez é dado por: 
 s = �;:�R�I/��Iℎ�NI�� (17) 
 
onde �I é a área e ℎ é a altura da seção considerada e NI� = ^_`a_ . 
 
O valor adimensional aproximado da rigidez à flexão secante no caso de seções retangulares tem 
a seguinte expressão: 
 
 �Y = 32 �1 + 5 A¹B,FGFX\EB � , ��! [ = \EB]X^_B (18) 
 
Note-se que em �Y a resistência do concreto NI� é cancelada. Entretanto, se for o caso de usar a 
rigidez secante dimensional �;:�R�I, deve-se obtê-la de (17), i.e., deve-se usar NI� e não 0,85NI�, 
que é 15% menor que NI�. Este processo pode ser estendido a classes de concretos de resistência 
até NIO = 90 1Q�, cf. Fortes e França, 2013. 
 
O momento solicitante total, incluindo o efeito de 2ª. ordem, 1��,232, a ser igualado ao momento 
resistente total, 1/�,232, resulta da seguinte expressão: 
 
 1��,232 = �=1��1− �2120s[
 (19) 
 
Nesta equação, �] está definido nos itens 3(a) a 3(d), e 1�� é o momento de maior módulo nas 
extremidades do pilar biapoiado (i.e., no lance considerado do pilar pertencente a um pórtico) 
decorrente da análise global de 2ª. ordem. Se no pórtico analisado globalmente resultar efeitos de 
2ª. ordem desprezíveis, 1�� (agora de 1ª. ordem) é do mesmo modo o momento de maior módulo 
dentre os dois momentos em suas extremidades. Para um pilar em balanço, 1�� é o momento de 
1ª. ordem no engaste. Ou ainda, se ocorrer que �]1�� seja menor que o momento resistente 
mínimo 14�,T0� = ����0,015 + 0,03ℎ�, com ℎ em metros, considera-se no pilar biarticulado 14�,T0� atuando nas duas extremidades e tracionando a mesma face do pilar. No caso do pilar em 
balanço este momento mínimo atua no topo. Em outras palavras, 14�,T0� toma o lugar do 
momento �]1�� e é constante ao longo do pilar. Nestes casos, tem-se o coeficiente �] = 1, cf. 
(15) e (16). 
 
Inserindo �Y de (18) em (19), resulta uma equação do segundo grau em 1��,232, já igualado 
a 1/�,232, dada por: 
 
 �1��,232� + 	1��,232 + � = 0 
 
� = 5ℎ, 	 = �ℎ� − S�D8� � ��� − 5ℎ�]1��, � = −ℎ�����]1�� 
 
1��,232 = −	 + √	� − 4��2� 
(20) 
 
Em termos adimensionais, dividindo (20) por [=ℎ��0,85NI��]�, esta mesma expressão resulta 
igual a: 
 
 b��,232� + =b��,232 + � = 0 
 
(21) 
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= = 44¨ º320 − �S�X �
�» [�� − �]b��, � = − YEBW �]b�� 
 
b��,232 = −= + √=� − 4�2 
 
Os adimensionais, com �0,85NI�� = 0,85 ^_`a_ , são definidos como nos itens 3 e 4 pelas 
expressões: 
 
Momento solicitante total: b��,232 = AEB,FGF]XD� ,oW^_B� 
Momento resistente mínimo de 1ª. ordem: b4�,T0� = ArB,¼C½]XD� ,oW^_B� 
Força normal: [�� = \EB]X� ,oW^_B� 
Taxa mecânica da armadura total: 6�,232 = �p,FGF^qB]X� ,oW^_B� 
Note-se que 14�,T0� toma o lugar de �]1�� nestas equações se 14�,T0� > �]1��. Com estes 
adimensionais calcular da armadura necessária. Além disso, o cálculo da armadura, da seção 
retangular com duas camadas como mostrada na Figura 4, pode, a favor da segurança, também 
ser feito usando a (12), nela substituindo b�4 por b��,232 e ao mesmo tempo anulando a esbeltez, 
i.e., �� ℎ = 0⁄ . 
 
6. Dimensionamento de pilar esbelto através da rigidez aproximada 
 
6.1 Exemplo 1: 
Considere-se o pilar de seção retangular da Figura 7, sujeito à flexão composta normal, com 
momentos nas extremidades 1�� = 750 f�! 
 1�� = −225 f�!, advindos de uma análise 
global de um pórtico com efeito de 2ª. ordem. Sendo �� = 3642,9 f�, NIO =
40 1Q�, �0,85NI�� = 0,85 y 4,y = 24,29 1Q�, �ç� �� − 50, �d ℎ⁄ = 0,10, pede-se: 
(a) Comparar �]1�� com 14�,T0� e decidir qual dos dois momentos deve ser considerado 
no pilar equivalente (i.e., no pilar-padrão fletido em curvatura simples e simétrica, com a 
parcela do momento constante, ainda sem efeito local de 2ª. ordem). 
(b) Mostrar que os efeitos locais de 2ª. ordem não podem ser desprezados. 
(c) Usando o método da rigidez secante aproximada, obter o momento total com efeito de 2ª. 
ordem e decidir qual é o momento dimensionante, se 1��,232 ou 1��. 
(d) Dimensionar a armadura para o arranjo de barras adotado na Figura 7. 
(e) Obter a taxa da armadura pelo método da curvatura aproximada e comparar ambas as 
taxas dos métodos aproximados com aquela obtida do gráfico no Anexo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 7: Pilar real fletido em curvatura dupla, transformado no pilar padrão 
Solução: 
(a) Comparação de �]1�� com 14�,T0� 
Da Equação (15), obtém-se: �] = 0,6 − 0,4 × ��WMW = 0,48 ≥ 0,4 e, portanto, �]1�� = 0,48 ×750 = 360 f�!. Por outro lado, o momento resistente mínimo vale 14�,T0� = ���0,015 +0,03ℎ� = 3642,9 × �0,015 + 0,03 × 0,5� = 109,3 f�!. Logo, no pilar padrão usa-se �]1�� =360 f�!, superior a 14�,T0�, em ambas as extremidades, tracionando cada qual a mesma face 
do pilar. 
(b) O índice de esbeltez limite, com a excentricidade relativa de 1ª. ordem igual a 
�r
X =�AB� \B�⁄
X = MW /8¨y�,¦ ,W = ,� ¨ ,W = 0,412 , decorre de (14): 
�4 = 25 + 12,5 ×
4ℎ�] =
25 + 12,5 × 0,412
0,48 = 62,8 < � = 3,46
12,5
0,5 = 86,6 
Logo, o pilar é esbelto e o método se aplica, pois � < 90. 
 
(c) Cálculo de 1��,232 
 
Com os adimensionais [� = \B]X� ,oW^_B� = 8¨y�,¦×4 
´t
¨ ×W ×�y,�¦ = 0,50, S�X = 4�,W ,W = 25 e �]b�� =8¨ ×4 §
¨ ×W D×�y,�¦ = 0,099, resultam de (21): 
 
 
= = 11600 ¾320 − ­
��ℎ ®
�¿ [� − �]b�� = 11600 �320 − 25�� × 0,5 − 0,099 = −0,1943 
 
� = − [�5 �]b�� = −
0,5
5 × 0,099 = −0,0099 
 
�� = 12,5! 
1�� 
1�� 
��� = �� = 3642,9f� �]1�� ≥ 14�,T0� 
$���� $���ã�, 
����. ��!$�
� 
$���� �
��, 
����. ��$�� 
ℎ = 500 !! 
= = 600 !! 
�]1�� ≥ 14�,T0� 
=���� 
���� 
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b��,232 = −= + √=� − 4�2 =
0,1943 + �0,1943� + 4 × 0,0099
2 = 0,236 
 1��,232 = 0,236 × �=ℎ�NI�4� = 860,5 f�! 
 
 
Para conferir, usa-se a (20): 
 �1��,232� + 	1��,232 + � = 0 
 
� = 5ℎ = 2,5 ! 
 
	 = Àℎ� − ���320Á �� − 5ℎ�]1�� = À0,5� −
12,5�
320 Á 3642,9 − 2,5 × 360 = −1768 f�!� 
 
� = −ℎ����]1�� = −0,5� × 3642,9 × 360 = −327861 f��!8 
 
1��,232 = −	 + √	� − 4��2� =
1768 + �1768� + 4 × 2,5 × 327861
2 × 2,5 = 860 f�! 
 
Logo, os resultados são coincidentes. 
 
Como 1��,232 = 860,5 f�! > 1�� = 750 f�!, o momento dimensionante é 1��,232. 
 
(d) Cálculo da armadura 
 
Da Figura 4, com os adimensionais [� = 0,50, b��,232 = 0,236 e cd = �uX = 0,10, resulta, por 
interpolação entre as taxas 0,2 e 0,4, a taxa mecânica total igual a 0,3. Portanto, a armadura 
decorre de: 
 
6�,232 = �R,232Ne�=ℎ�0,85NI�� =
2�R × 435600 × 500 × 24,29 = 0,3 
 
Ou �R/N��
 !���� = 2514 !!�, ou 5∅25 = 2500 !!�/N��
 !����. Ver a Figura 7. 
Adicionalmente, deve-se ter pelo menos mais uma barra por face menor, que se admite igual a 
1∅25/N��
 !
��� (ou outra área de aço dependente da verificação do pilar na segunda direção 
principal, o que não é feito aqui). A taxa geométrica total é ÂR,232 =
4�×W 
¨ ×W 
= 0,02 �� 2%. Ver o 
diagrama de interação seguinte, do programa de Marino et al, 2001. 
 
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(e) Taxa da armadura pelo método da curvatura aproximada e comparação de ambas as taxas 
dos métodos aproximados com aquela obtida do gráfico no Anexo 1 
Taxa mecânica de (12), com S�X = 25, cd = � � = 0,1, se = �×�, M4~�× ,4 = 5,175, [�,3/4 =
0,452, b�,3/4 = 0,124, b�1 = �=b�� = 0,099 
 10~y[� �S�X �� se = 0,1617 : 
=s =
b�,3/4 + 10−4[� ��
ℎ�
2 s
 − b�1 + �1 − [���0,5 − c′�
(0,5− c′)
= 0,124 − 0,1617 − 0,099 + 0,5 × 0,40,4 = 0,1583 
�s =
gb�,3/4 − 10−4[� ��
ℎ�
2 s
k(1 − [�) − (1 − [�,3/4)b�1
(0,5 − c′)
= g0,124 − 0,1617k × 0,5 − (1 − 0,452) × 0,0990,4 = −0,1828 
 
6�,232 =
−=� + �=�� − 4��
2 =
−0,1583 + 1,0490
2 = 0,356 
Para usar os Diagramas de Interação Momento de primeira ordem – Força normal reduzidos, do 
Anexo 1, cf. Buchaim, 1979, dada a esbeltez 
S�
X = 25, é preciso considerar a definição dos 
adimensionais que envolvem a resistência do concreto, a qual no diagrama é NI�, ao invés de NI�4. 
Com isto, no diagrama a força normal e o momento de 1ª. ordem passam a ser �� = 0,85[� =0,425, !4,� = 0,85b�4 = 0,084. Com estes novos adimensionais lê-se no quadrante 
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correspondente a 
S�
X = 25 a taxa mecânica total 62 = 0,29, a qual deve ser dividida por 0,85 para 
comparação com a anterior, donde 6�,232 = �F ,oW = 0,34 7 0,356. Logo, sendo o valor 6�,232 =0,34 decorrente do diagrama mais preciso, pode-se confirmar que o método da curvatura 
aproximada fica do lado da segurança. Diferença um pouco maior resulta do método da rigidez 
aproximada que forneceu um valor 12% inferior, 6�,232 = 0,3 7 0,34, a qual pode ser atribuída à 
deformabilidade menor do concreto na determinação da rigidez aproximada (resistência NIO/1,27), face à considerada nos diagramas do Anexo 1, a saber, 0,85NIO/lI = NIO/1,65. Em caso de 
análise não-linear pelo método geral, o Model Code, 1990, item 6.6.2.3, recomenda considerar 
para a deformabilidade do concreto em compressão a resistência e o módulo de elasticidade do 
concreto respectivamente iguais a NIO/1,2 e ;I� = ;I0 1,2⁄ , e para o dimensionamento é indicada 
a lei parábola-retângulo com resistência 0,85NIO/1,5. Já o Euro Code 2, 2010, no item 5.8.6, 
estabelece NI� = NIO/1,5, reduzindo apenas o módulo de elasticidade ao valor ;I� = ;IT 1,2⁄ na 
lei constitutiva do concreto (lei de Grasser). Com esta medida, “a análise fornece diretamente um 
valor de cálculo da ação última”, cf. EC2: 2010, item 5.8.6 (3). Em contraposição, pela 
recomendação do MC90, usam-se duas leis constitutivas do concreto, uma para a deformabilidade 
da estrutura, outra para o dimensionamento no ELU. 
 
Ainda dentro do método da curvatura aproximada, como confirmação e possivelmente para 
melhor entendimento, pode-se fazer a seguinte verificação: dimensiona-se a armadura pelo 
momento solicitante total, mas com esbeltez nula (dimensionamento da seção). A curvatura 
obtida com a taxa 6�,232 = 0,356, usando a (9), vem a ser igual a: 
s = ­ 2He̅�1 − 2cd®
1 + 6�,232 − [�
1 + 6�,232 − [�,8/y = 5,175
1,356 − 0,5
1,356 − 0,452 = 4,90 
Com este valor obtém-se de (11) o momento solicitante total: 
 
b��,232 = b�4 + 10~y[�(��ℎ )�s = 0,099 + 10~y × 0,5 × 625 × 4,90= 0,252 
 
 
Assim, trocando b�4 = �]b�� = 0,099 e S�X = 25 por b��,232 = 0,252 e S�X = 0, resultam: 
=� =
bI,8/y − 10~y[� ­��ℎ ®
� se − b�4 + (1 − [�)(0,5 − cd)
(0,5 − cd) =
0,124 − 0 − 0,252 + 0,5 × 0,4
0,4
= 0,180 
�� =
gbI,8/y − 10~y[� ­��ℎ ®
� sek(1 − [�) − (1 − [I,8/y)b�4
(0,5 − cd)
= g0,124 − 0k × 0,5 − (1 − 0,452) × 0,2520,4 = −0,190 
 
6�,232 =
−=� + �=�� − 4��
2 =
−0,220 + 0,8495
2 = 0,355 
 
Este valor é praticamente coincidente com o anterior, igual a 0,356. 
Para finalizar, observa-se que no dimensionamento não foi considerada a falta de retilineidade 
do eixo do pilar, o que é dispensado no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118: 2004 nas estruturas 
reticuladas (pórticos) se o momento mínimo ÃÄÅ,ÆÇÈ for atendido. Cabe aqui uma observação 
em favor da inclusão da falta de retilineidade no dimensionamento seja qual for a esbeltez do 
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pilar. De fato, há dificuldade de considerá-la nos casos de pilares fletidos em curvaturas dupla e 
simples assimétricas, pois através dos processos simplificados não se conhece a seção em que se 
dá o momento solicitante máximo, salvo se este ocorrer em uma de suas extremidades. No 
entanto, esta excentricidade no dimensionamento deve ser considerada não no pilar real e sim no 
pilar padrão, a ele equivalente por resultar no mesmo momento total e, portanto, na mesma 
armadura. Além disso, deixa de haver descontinuidade na ultrapassagem do índice de esbeltez a 
partir do qual é obrigatória a consideração da fluência nos efeitos de segunda ordem, � ≥ 90, 
quando então não há como desconsiderar a falta de retilineidade. Ver o item 15.8.4 da NBR 6118: 
2012. 
 
Sugere-se refazer o exemplo incluindo a excentricidade por falta de retilineidade. No exemplo 
tem-se �4 = 1 (100�12,5)⁄ = 1/354 ≥ �4T0� = 1/300���, donde 
{ =0,5 × 12,5 300 = 0,02083!⁄ , e o momento no centro do pilar padrão 3642,9 × 0,02083 =
75,9f�!. Este momento se soma a �]1�� = 360 f�!. Logo, o momento total de primeira 
ordem vale 1�4 = 435,9f�!. 
 
6. Pré-dimensionamento de pilares 
 
O pré-dimensionamento de pilares de edifícios e de galpões industriais pode ser feito com base 
nas equações anteriores. Como no resto da estrutura, esta tarefa exige decisões do projetista no 
que se refere a: 
(a) forma da seção (retangular, circular, etc.), à relação entre lados da seção 
retangular, = ℎ⁄ , ou entre os diâmetros interno e externo de seção anelar, ∅0 ∅�⁄ , etc., à 
disposição da armadura na seção transversal; 
(b) resistências do concreto e da armadura; 
(c) a esbeltez de um lance, e a consideração de contraventamento do pórtico; 
(d) o estabelecimento da taxa geométrica de armadura, e portanto, da taxa mecânica 
total, como uma estimativa inicial; 
 
Neste estágio anterior à análise estrutural final, o que se tem de início são a carga vertical nos 
pilares, transmitidas pelas vigas (processadas como contínuas) e a altura do lance. Para completar 
a geometria da estrutura (pórtico), é preciso estabelecer as seções transversais dos pilares. 
 
Mostra-se, a seguir, o pré-dimensionamento das seções de pilares retangulares em flexão 
composta normal. Isto quer dizer que são determinadas as dimensões = ℎ⁄ da seção, cabendo ao 
dimensionamento final o cálculo da armadura, cuja quantia não deve fugir muito do valor previsto 
inicialmente, através da taxa geométrica ou mecânica. Para este objetivo, usa-se o método da 
curvatura aproximada, pressupondo seções nos domínios 4 e 5 e introduzindo várias 
simplificações, como se mostra a seguir. As equações (10) e (11), dadas anteriormente, são: 
 
b� = gbI,8/y + 6�,232(0,5 − cd)k( 1 + 6�,232 − [�1 + 6�,232 − [I,8/y) 
(10a) 
 
b��,232 = b�4 + b�� = b�4 + 10~y[�(��ℎ )�s (11b) 
 
A aplicação destas equações adimensionais pressupõe conhecidos os seguintes dados: 
 
(a) A força normal �� = [�=ℎ(0,85NI�), notando-se que as dimensões =, ℎ são as 
incógnitas do problema, que resultam da determinação de [�; 
(b) O comprimento equivalente ��, referente no pórtico a um lance do pilar; 
(c) A seção retangular tem armadura simétrica posicionada nas faces perpendiculares 
ao plano de flexão. 
 
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Os demais dados são estimados com base no comportamento usual da família de estrutura em 
questão, no caso, pórticos planos. Assim, são escolhidas as seguintes grandezas: 
 
(a) Taxa geométrica da armadura total, geralmente entre 1% 
 3%. Escolhe-se, p.ex., 
ÂR,232 = 0,02. 
(b) Nas extremidades do lance, já considerado como pilar padrão, supõe-se atuante o 
momento resistente mínimo, 1/4�,T0� = ��(0,015 + 0,03ℎ), donde a excentricidade de 
1ª. ordem da força normal, 
4 = 0,015 + 0,03ℎ, com ℎ em !. A excentricidade relativa 
4 ℎ⁄ , depende, pois, da altura da seção (lado paralelo ao plano de flexão), e vale: 
 
�r
X = 0,03 + , 4WX (22) 
 
Se for escolhido o valor mínimo da dimensão da seção do pilar exigido pela NBR 6118, ℎ =
0,20 !, obtém-se �rX = 0,03 + , 4W ,� = 0,105. A esta excentricidade relativa de 1ª. ordem, 
acrescenta-sea de 2ª. ordem, que é estimada em cerca 30% � 50% maior, donde a excentricidade 
total: 
 
�FGF
X = (1,3 � 1,5) × �0,03 + , 4W ,� � ≅ 0,13 � 0,15 (23) 
 
Esta é a faixa usual da excentricidade relativa total em pilares de edifícios. Considerando NIO P50 1Q� e aço CA-50, pode-se calcular a taxa mecânica total, e com ela os esforços resistentes na 
divisa 3/4, i.e., b�,8/y = bI,8/y + 6�,232(0,5 − cd) e [�,8/y = [I,8/y. 
 
O exemplo a seguir mostra a sequência de cálculo para obter as dimensões da seção do pilar. 
Dados: �� = 2076,2 f�, �� = 3!, �d = 0,10ℎ, NIO = 20 1Q�, 0,85NI� = 12,14 1Q�, �ç� �� −
50, ÂR,232 = 0,02, �FGFX = 0,15. 
(a) Taxa mecânica: 6�,232 = ÂR,232 ( ,oW^_B)^qB = 0,02
y8W
4�,4y = 0,72 
(b) Momento relativo total: b� = b��,232 = �FGFX [� = 0,15[� 
(c) Divisa 3/4: [�,8/y = [I,8/y = 0,45, bI,8/y = 0,12, donde o momento resistente 
total dessa divisa, b�,8/y = bI,8/y + 6�,232(0,5 − cd)=0,12+0,72× 0,4 = 0,41 
(d) Da Equação (10a) obtém-se a força normal relativa, com b� = 0,15[� 
 
b� = b�,8/y 1 + 6�,232 − [�1 + 6�,232 − [�,8/y = 0,41 ­
1 + 0,72 − [�
1 + 0,72 − 0,45® = 0,15[� 
 
ou, [� = 1,17. 
(e) Com a força normal relativa, obtém-se a área da seção transversal: 
�� = [�=ℎ(0,85NI�, ou 
 
=ℎ = 2076,2 × 10
8
1,17 × 12,14 = 146138 !!� 
 
(f) Escolhe-se ℎ = 250 !!, donde = = 4y¨48o�W = 585 ≅ 600 !!. 
(g) A equação (11a) serve para controlar o efeito de 2ª. ordem, pois b�� =
10~y[�(S�X)�s pode agora ser calculado com maior precisão. Sendo 
 
s = se 1 + 6�,232 − [�1 + 6�,232 − [�,8/y = ­
2 × 2,07
1 − 2 × 0,1® × ­
1,72 − 1,17
1,72 − 0,45® = 5,175 × 0,43 = 2,24 
 
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e pondo �� ℎ⁄ = 8 ,�W = 12, resultam b�� = 10~y × 1,17 × 12� × 2,24 = 0,0377 e �DX = ³BDYB =0,032. Adicionando este valor à excentricidade de 1ª. ordem, obtém-se: �FGFX = 0,105 + 0,032 ≅0,14 P 0,15. 
 
Se fosse escolhido para a altura da seção o valor mínimo, ℎ = 200 !!, resultaria = = 730 ≅
750 !!, e o pilar seria mais esbelto, pois �� ℎ⁄ = 8 ,� = 15. A excentricidade relativa total, com ³BD
YB =
 , W¦
4,4M = 0,05, passaria a ser �FGFX = 0,105 + 0,05 = 0,155, valor pouco superior ao adotado. 
Isto quer dizer que, adotada esta altura menor da seção, tem-se, em contrapartida, uma taxa 
ligeiramente superior à prevista. 
 
Com as dimensões assim estabelecidas para todos os pilares do pórtico, pode-se proceder à análise 
da estrutura, e dar sequência ao dimensionamento final. 
 
 
 
7. Bibliografia 
 
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concreto – Procedimento: NBR 6118: 2004. Rio de Janeiro, RJ, 2004. 
 
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1969. 
 
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Departamento de Estruturas. Londrina, 2005, revisado em 2010. Pr. 
 
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Norma portuguesa NP EN 1992-1-1. 2010. 
 
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FRANÇA, R. L. S. Contribuição ao estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de 
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São Paulo. 
 
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conceitos da seção 15. Em Prática Recomendada IBRACON. Comentários Técnicos e Exemplos 
de Aplicação da NB-1. NBR 6118: 2003 Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Março 
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Solicitações Normais em Concreto Armado. Oblíqua 1.0: Flexão Composta Oblíqua (qualquer 
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WIGHT, J. K., MACGREGOR, J. G. Reinforced Concrete: mechanics and design. 6th ed. New 
Jersey: Prentice Hall, 2011. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 1: 
DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO 
MOMENTO DE 1ª. ORDEM – FORÇA NORMAL – ESBELTEZ 
(PILAR PADRÃO, NIO P 50 1Q�, �� − 50, � ℎ⁄ = 0,9) 
 
 
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Figura A1(a): Diagrama de interação ÉÄÅ − ÊÅ − ËÌ Í⁄ . Seção retangular, armadura dupla 
e simétrica, aço CA-50, Îd = Åd Í⁄ = Ï, ÄÏ, ËÌ Í = Ð, Ñ Ò ÓÏ⁄ 
Fonte: Buchaim, 1979 
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Figura A2(b): Diagrama de interação ÉÄÅ − ÊÅ − ËÌ Í⁄ . Seção retangular, armadura dupla 
e simétrica, aço CA-50, Îd = Åd Í⁄ = Ï, ÄÏ, ËÌ Í = ÓÑ Ò ÔÏ⁄ 
Fonte: Buchaim, 1979