Resolução de prova sobre o Método de Euler aplicado a problemas envolvendo curto circuito.

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Sistemas Elétricos de Potência 2
Prova P2 – Primeiro Semestre 2020 - ADNP
Prof. Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
ALUNO: JEFFERSON DA SILVA SANTOS
TURMA: S21
Simulação 1. Através de implementação computacional do método de Euler, fazer o item “k” do exercício
5 da lista de exercícios número 6, apresentando o código ou linhas de programação, e os resultados de forma
gráfica (desvio de ângulo x tempo; desvio de velocidade x tempo).
Aproveitando o mesmo programa, apresente também o gráfico de desvio de ângulo x desvio de velocidade
(retrato de fase da situação estável). Considere um tempo total de simulação (t_total) igual à 3 segundos e
passo de integração numérica (h) igual à 0,0001.
Simulação 2. Através de implementação computacional do método de Euler, fazer os itens “l” do exercício
5 da lista de exercícios número 6, apresentando o código ou linhas de programação, e os resultados de forma
gráfica (desvio de ângulo x tempo; desvio de velocidade x tempo).
Aproveitando o mesmo programa, apresente também o gráfico de desvio de ângulo x desvio de velocidade
(retrato de fase da situação instável). Considere um tempo total de simulação (t_total) igual à 3 segundos e
passo de integração numérica (h) igual à 0,0001.
Simulação 3. Através de implementação computacional (C, MATLAB, Excel, FORTRAN, etc), encontre o
tempo crítico de abertura através de tentativa e erro (alterar apenas o parâmetro “tab”, tempo de abertura)
para o exercício 5 da lista de exercícios número 6, mas agora considere um amortecimento do gerador
D=0,1.
Apresente os gráficos da trajetória do desvio de ângulo (no tempo) e desvio de velocidade (no tempo) para o
tempo crítico de abertura (para mostrar o comportamento estável).
Além disso, apresente também as trajetórias para um tempo de abertura ligeiramente superior ao tempo
crítico (para mostrar o comportamento instável).
Compare o tempo crítico obtido nesta simulação com o tempo crítico do exercício 5 (simulação 1).
Considere um tempo total de simulação de 3 segundos e h =0,0001.
Simulação 4. Repita a “simulação 3”, mas agora considere D=0,05. Compare o tempo crítico obtido nesta
simulação com o tempo crítico do exercício 5 (simulação 1) e da “simulação 3”. O quê pode-se concluir?
Simulação 5. Através de implementação computacional, encontre o tempo crítico de abertura (ou eliminação
da falta) para o exercício 6 da lista de exercícios número 6, apresentando o código ou linhas de
programação, e os resultados de forma gráfica. Apresente os gráficos da trajetória do desvio de ângulo (no
tempo) e desvio de velocidade (no tempo) para o tempo crítico de abertura (para mostrar o comportamento
estável). Além disso, apresente também as trajetórias para um tempo de abertura ligeiramente superior ao
tempo crítico (para mostrar o comportamento instável).
Considere um tempo total de simulação de 3 segundos e h =0,0001.
Segue abaixo o enunciado do exercício número 5 da lista 6.
Lista 6
5. Considere o sistema de uma máquina contra um barramento infinito, conforme figura abaixo.
Figura 1: Sistema de uma máquina x barramento infinito
Os dados das barras do sistema de transmissão (barras 1 e 2) em regime permanente são:
Tabela 1 – Dados das barras do sistema de transmissão
Barra Tipo V(p.u.) θ (rad) Pliq (pu) Qliq (pu)
1 PV 1,00 ? 1,0 ?
2 referência 1,00 0,0 ? ?
Os dados das reatâncias das linhas e do trafo estão no próprio desenho da figura 1. Já os dados dos geradores estão
tabelados a seguir:
Tabela 2 – Dados dos Geradores Síncronos
Gerador Modelo E’q(pu) δ (rad) X’d(pu) H(s)
1 Clássico ? ? 0,20 5,0
2
Barr.
Infinito
1,00 0,0 - infinito
Parte 1: Regime permanente e Pré-falta 
a) Para o sistema operando em regime permanente, calcule o ângulo da tensão elétrica da barra de
transmissão 1 (θ1).
b) A força eletromotriz do gerador (ou tensão interna) é considerada constante durante períodos transitórios,
e igual à E’q. Entretanto o ângulo de torque (ou ângulo do rotor) altera-se ao longo do tempo após a ocorrência de
perturbação, e esse ângulo pode ser considerado como o mesmo ângulo da tensão interna. Assim, aproveitando os
dados do sistema de transmissão em regime permanente, calcule a tensão interna eficaz do gerador (E G = E’q) e o
ângulo da tensão interna ou ângulo do rotor (δG1) em condição pré-falta.
c) Reduza toda a rede elétrica em condição pré-falta ao nó interno do gerador e ao barramento infinito (faça o
desenho do diagrama unifilar contendo as impedâncias e tensões envolvidas).
d) Qual é a potência mecânica do gerador G1, desprezando-se quaisquer tipos de perdas nesse gerador.
e) Apresente a equação que descreve a potência elétrica ativa (Pepre) entregue do gerador G1 ao barramento infinito
no período pré-falta em função do ângulo da tensão interna do gerador (δG1). Em seguida, apresente a equação
diferencial que descreve o comportamento dinâmico no período pré-falta em função do ângulo da tensão interna do
gerador (δG1).
Parte 2: Sistema em Falta
f) Considerando que houve um curto-circuito trifásico (simétrico) no meio da linha 2, reduza toda a rede elétrica em
condição de falta ao nó interno do gerador e ao barramento infinito (faça o desenho do diagrama unifilar contendo as
impedâncias e tensões envolvidas).
g) Apresente a equação que descreve a potência elétrica ativa (Pefalta) entregue do gerador G1 ao barramento infinito
no período em falta como função do ângulo do rotor do gerador G1 (δG1). Em seguida, apresente a equação
diferencial que descreve o comportamento dinâmico no período em falta como função do ângulo do rotor do gerador
G1 (δG1).
Parte 3: Sistema Pós-falta (após atuação da proteção)
h) Em decorrência do curto-circuito, o sistema de proteção deve atuar o quanto antes para isolar o defeito. Assim,
considerando que após um certo tempo, os disjuntores abriram a linha em curto (linha 2), reduza toda a rede elétrica
pós-falta ao nó interno do gerador e ao barramento infinito (faça o desenho do diagrama unifilar contendo as
impedâncias e tensões envolvidas).
i) Apresente a equação que descreve a potência elétrica ativa (Pepós) entregue do gerador G1 ao barramento infinito
no período pós-falta como função do ângulo do rotor do gerador G1 (δG1). Em seguida, apresente a equação
diferencial que descreve o comportamento dinâmico no período pós-falta como função do ângulo do rotor do gerador
G1 (δG1).
j) Em uma mesma figura, desenhe as seguintes curvas: Pmec x δG1; Pepre x δG1; Pefalta x δG1; Pepós x δG1.
Parte 4: Solução das Trajetórias do sistema em falta e pós-falta
k) A partir do equacionamento desenvolvido até aqui e considerando um passo de integração h=0,0001, um tempo
total de simulação de 3 segundos e um tempo de abertura da linha 2 de 0,32 segundos, apresente os gráficos do
deslocamento angular pelo tempo ( δG1 x t(s)) e desvio de velocidade pelo tempo (ωG1 x t(s)) através do Método de
Euler. O que se pode concluir sobre a estabilidade transitória ou sincronismo desse sistema.
Sugestão: fazer este exercício utilizando programa computacional. 
l) A partir do equacionamento desenvolvido até aqui e considerando um passo de integração h=0,0001, um tempo total
de simulação de 3 segundos e um tempo de abertura da linha 2 de 0,33 segundos, apresente os gráficos do
deslocamento angular pelo tempo ( δG1 x t(s)) e desvio de velocidade pelo tempo (ωG1 x t(s)) através do Método de
Euler. O que se pode concluir sobre a estabilidade transitória ou sincronismo desse sistema.
Sugestão: fazer este exercício utilizando programa computacional. 
6. Refaça o exercício 5 até o item “j”, mas agora considere que o curto-circuito trifásico ocorre na linha 2,
porém muito próximo à barra 1 (de modo que o curto pode ser atribuído a esta barra no período em falta, e
no pós-falta a linha 2 deve ser aberta). Quais são as diferenças fundamentais em relação à questão 5?
RESOLUÇÃO
1 Simulação 1:
O valor de ângulo de carga encontrado no exercício 5, com o sistema em pré falta, foi:
δ g1=27,7711°=0,4847rad
e, como o sistema nesta ocasião está estável, a variação de velocidade ômega é igual a zero.
1.1 Código utilizado:
Este código foi composto no MATLAB R2018a 
clc; clear;
 
%Condições Iniciais:
h=0.0001;
M=0.0265;
delta_i_menos_1=0.4847;
w_i_menos_1=0;
t_abertura=0.32;
t_total=3;
i=1;
tempo=0;
 
%Valores iniciais para os vetores:
vetor_w(i)=w_i_menos_1;
vetor_delta(i)=delta_i_menos_1;
 
 
%processo iterativo
 
%Em Falta
while(tempo<t_abertura)
 
w_i=w_i_menos_1+h*((1-0.8255*sin(delta_i_menos_1))/M);
delta_i=delta_i_menos_1+h*w_i_menos_1;
 
w_i_menos_1=w_i;
delta_i_menos_1=delta_i;
 
i=i+1;
 
vetor_w(i)=w_i;
vetor_delta(i)=delta_i;
 
tempo=tempo+h;
 
end
 
%Pós abertura
while(tempo>=t_abertura && tempo<=t_total)
tempo=tempo+h;
i=i+1;
 
vetor_w(i)=w_i_menos_1;
vetor_delta(i)=delta_i_menos_1;
 
w_i=w_i_menos_1+h*((1-1.533*sin(delta_i_menos_1))/M);
delta_i=delta_i_menos_1+h*w_i_menos_1;
 
w_i_menos_1=w_i;
delta_i_menos_1=delta_i; 
end
 
%Plotagem dos Gráficos:
tempos=0:0.0001:3;
 
figure(1)
plot(tempos,vetor_delta);
xlabel('Ângul de carga (rad)')
ylabel('Tempo (s)')
 
figure(2)
plot(tempos,vetor_w);
xlabel('Variação da velocidade ângular (rad/s)')
ylabel('Tempo (s)')
figure(3)
plot(vetor_w,vetor_delta);
xlabel('Variação da velocidade ângular (rad/s)')
ylabel('Ângulo de carga (rad)')
1.2 Resultados:
Figura 1: Gráficos gerados na simulação 1
2 Simulação 2:
2.1 Código utilizado: O mesmo da simulação anterior, só que com t_abertura= 0,33s
2.2 Resultados:
Figura 2: Gráficos gerados na simulação 2
3 Simulação 3
O tempo crítico encontrado, considerando três casas decimais, foi 0,726 segundos.
3.1 Código utilizado:
Foi utilizado o mesmo código da simulação 1, mas w_i foi substituído pela seguinte expressão:
w_i=w_i_menos_1+h*((1-0.8255*sin(delta_i_menos_1)-D*w_i_menos_1)/M);
3.2 Resultados
Para t_abertura=0.726, foram obtidos os seguintes gráficos:
Figura 3: Gráficos gerados na simulação 3 para o comportamento estável
Para t_abertura=0,727 foram obtidos os seguintes gráficos:
Figura 3: Gráficos gerados na simulação 3 para o comportamento instável
4 Simulação 4
O tempo crítico encontrado, considerando três casas decimais, foi 0,485 segundos.
4.1 Resultados
Para t_abertura=0,485 foram obtidos os seguintes gráficos:
Figura 4: Gráficos gerados na simulação 4 para o comportamento estável
Para t_abertura=0,486 foram obtidos os seguintes gráficos:
Figura 5: Gráficos gerados na simulação 4 para o comportamento instável
4.2 Conclusão
Como o tempo de abertura foi menor para a situação não amortecida e foi aumentando conforme o 
amortecimento foi incrementado, podemos concluir que o aumento no amortecimento causa um aumento no 
tempo crítico para a abertura.
5 Simulação 5
Como o curto ocorreu muito próximo da barra 1, podemos considerar que não há fluxo de potência do 
gerador para o barramento infinito. Logo, no tempo de falta:
Pefalta=0 pu
w_i=w_i_menos_1+h*(1/M);
Nessa situação, o tempo crítico obtido foi de 0,17 segundos
5.1 Resultados
Para t_abertura=0,17 foram obtidos os seguintes gráficos:
Figura 6: Gráficos gerados na simulação 5 para o comportamento estável
Para t_abertura=0,171 foram obtidos os seguintes gráficos:
Figura 7: Gráficos gerados na simulação 5 para o comportamento instável
5.2 Conclusão
O curto circuito impossibilitou o fluxo de potência entre o gerador e o barramento infinito, o que tornou o
gerador menos robusto em relação a perturbação gerada pelo curto, tendo ocorrido uma considerável redução
no tempo crítico para a remoção do curto circuito se compararmos a situação descrita na questão 5 da lista 6.