Transferencia de Calor Condução AMM

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Transferência de Calor
Prof.: André Marcelino de Morais, DSc
Unidade II - INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO
2.1 A equação da taxa de condução
2.2 As propriedades térmicas da matéria
2.3 A equação da difusão do calor
2.4 Condições de contorno e inicial
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Um dos objetivos principais da análise da condução
de calor é determinar o campo de temperaturas em
um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em
seu interior. Assim, pode-se determinar o fluxo de
calor por condução em qualquer ponto do meio ou
em sua superfície utilizando-se a lei de Fourier
acumuladageradasaida.entr
EEEE  =+−
( ) ( ) dxdydz
t
T
cdxdydzqqqqqqq pdzzdyydxxzyx


=+++−++ +++ 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
qqqq p
z
z
y
y
x
xzyx


=+










++


++


+−++ 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
p
zyx


=+


−


−


− 
( ) ( ) ( ) dxdydz
t
T
cdxdydzqdzq
z
dyq
y
dxq
x
pzyx


=+


−


−


− 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções
zyx q e q ,qAs taxas podem ser determinadas utilizando-se a Lei de
Fourier:
dxdy
z
T
kqdxdz
y
T
kqdydz
x
T
kq zyx


−=


−=


−=
Assim,
dxdydz
t
T
cdxdydzqdzdxdy
z
T
k
z
dydxdz
y
T
k
y
dxdydz
x
T
k
x
p


=+







−


−







−


−







−


− 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdxdydz
z
T
k
z
dxdydz
y
T
k
y
dxdydz
x
T
k
x
p


=+









+









+










Dividindo-se todos os termos pelo volume infinitesimal dx.dy.dz,
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p


=+









+









+










Equação da Difusão 
do calor
Substituindo as taxas 
Simplificações da equação de calor
t
T
k
c
k
q
z
T
y
T
x
T p
2
2
2
2
2
2


=+


+


+

 
p
c.
k

 =Sabendo que a difusividade térmica é
t
T1
k
q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2



=+


+


+

 
Simplificações da equação de calor
( )0=


t
T
0q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
=+









+









+










•Regime Permanente
Simplificações da equação de calor
0
dx
dT
k
dx
d
=




 ( ) 0"q
dx
d
X =−
constante"q X =
•Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem 
geração interna de calor
ou seja
Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente,
sem geração interna de energia, o fluxo de calor é constante.
Simplificações da equação de calor
◼
11
https://www.msn.com/pt-br/noticias/ciencia/centro-da-terra-est%c3%a1-esfriando-mais-
r%c3%a1pido-quais-podem-ser-as-consequ%c3%aancias/ar-AATpxjT?li=AAggXC1
INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO COORDENADAS ESFÉRICAS
Condições de Contorno e Condição Inicial
A solução das equações que governam um problema
depende ainda das condições físicas que existem nas
fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando
a situação for dependente do tempo, também das
condições que existem em um certo instante inicial
(condição inicial).
•Como a equação da condução de calor é uma
equação de segunda ordem nas coordenadas
espaciais, são necessárias 2 condições de contorno
para cada coordenada espacial que descreve o
sistema
•Como a equação é de primeira ordem no tempo,
basta apenas uma condição inicial
Situação para um sistema unidimensional, especificando a
condição de contorno na superfície em x = 0, com a transferência
de calor ocorrendo no sentido positivo do eixo x.
sTtT =),0(
•Temperatura da Superfície Prescrita (constante) (condição de
Dirichlet) Caso: superfície em contato com um líquido em
ebulição ou sólido em fusão
•Fluxo de Calor Prescrito na Superfície (constante) (condição de
Neumann) Caso: Aquecedor elétrico junto à superfície)
)0("
0
x
x
q
x
T
k =


−
=
"
0
S
x
q
x
T
k =


−
=
a)Fluxo de Calor Diferente de Zero
b)Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática)
0
0
=


=xx
T
( ) tTTh
x
T
k
x
,0
0
−=


− 
=
c) Condição Convectiva na Superfície
Special Forms of The Differential Energy 
Equation
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p


=+









+









+










q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
cp +









+









+









=



Se k é constante
Se não há geração de energia 
(eq. campo Fourier) 
Se há geração de energia, porém 
sem variação no tempo
(eq. Poisson)
Se o reg. é permanente e 
sem geração de energia 
(eq. Laplace)
Coord. retangulares:
Coord. cilíndricas:
Coord. esféricas:
Unidade III - CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL 
EM REGIME PERMANENTE
3.1 Perfil de temperatura em parede plana e sistemas 
radiais
3.2 Circuitos térmicos, coeficiente global de 
transferência de calor
3.3 Condução com geração de energia térmica
3.4 Transferência de calor em superfícies expandidas
Condução Unidimensional em Regime Permanente
Seja uma parede plana separando dois fluidos em 
temperaturas diferentes 
Considere a condução unidimensional de calor através 
da parede, em regime permanente, sem geração 
interna. A temperatura é função somente de uma 
coordenada espacial (no caso x) e o calor é transferido 
unicamente nesta direção
A determinação da distribuição de temperaturas no 
interior da parede é feita através da solução da equação 
de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é 
dada por
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p


=+









+









+










0
dx
dT
k
dx
d
=





0
dx
Td
k
2
2
= 0
2
2
=
dx
Td
1C
dx
dT
=
21 CxCT +=
Integrando-se 2 vezes em x,
Integrando-se 2 vezes em x,
Para se determinar as constantes de integração C1 e C2,
aplicam-se as condições de contorno:
( ) 1,0 STT =
( ) 2,STLT =
L
TT
C
1,S2,S
1
−
= 1,S2 TC =
( ) 1,
1,2,
S
SS
Tx
L
TT
xT +




 −
=
Na condução unidimensional em regime permanente
numa parede plana sem geração de calor e com
condutividade térmica constante, a temperatura é uma
função linear de x.
A taxa de calor por condução no interior da parede é
dada pela lei de Fourier
dx
dT
kAq x −=
Derivando-se a equação encontrada para o perfil de
temperaturas na direção x,
( )2,S1,Sx TT
L
kA
q −=
O fluxo de calor é dado por ( )2,S1,Sx"x TT
L
k
A
q
q −==
Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a
taxa e o fluxo de calor são constantes.
Resistência Térmica
Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à
passagem de corrente em um circuito, uma resistência térmica se
opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência como sendo a
razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de
transferência, a resistência térmica assume a forma
q
T
Rt

=
Lembrando que:
Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana
kA
L
R cond,t =
hA
1
R conv,t =
Ah
1
R
r
rad,t = ( )( )22SSr TTTTh  ++=
Parede Composta em Série-Paralelo
RESISTÊNCIA TÉRMICA DE CONTATO
Existe principalmente devido aos efeitos de rugosidade 
das superfícies. Pontos de contatos se intercalam com 
falhas que são, na maioria dos casos, preenchidas com 
ar.
A B
q’’x
TB
TA
T
A B
q’’x
x
y
q’’ contato
q’’ falha
Para uma área de interface unitária, a resistência térmica 
de contato é definida por:
)/.(
""
' 2, WKm
q
T
q
TT
R
xx
BA
ct

=
−
=
Esta resistência pode ser reduzida através de:
•aumento na pressão de contato;
•redução da rugosidade das superfícies em contato;
•preenchimento das falhas com um fluido de elevada
condutividade térmica, como por exemplo, óleo de
silicone, glicerina ou graxa de silicone (graxa térmica:
kGS  50 kar);
•preenchimento das falhas com metais
macios (índio, chumbo, estanhoe prata),
na forma de películas ou folhas finas.
Interface R”tc x10
4 (m2.K/W)
Chip de silício/alumínio esmerilhado com ar (27 – 500 kN/m2) 0,3 – 0,6
Alumínio/alumínio com folha de índio (~ 100 kN/m2) ~ 0,7
Aço inoxidável/aço inoxidável com folha de índio (~ 100
kN/m2)
~ 0,04
Alumínio/alumínio com revestimento metálico (Pb) 0,01 – 0,1
Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 100 kN/m2) ~ 0,07
Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 3500
kN/m2)
~ 0,04
Chip de silício/alumínio, com de epóxi 0,2 – 0,9
Latão/latão com 15m de solda à base de estanho 0,025 – 0,14
Tabela – Resistência Térmica de Contato Sólido/Sólido
Condução Unidimensional em Regime Permanente –
Sistemas Radiais – Cilindro
Considere a condução de calor unidimensional, em regime
permanente, em um cilindro oco, cuja superfície interna se
encontra exposta a um fluido quente e a externa a um fluido
frio.
A equação que governa a transferência de calor no
interior do cilindro é
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
p2 

=+









+









+















 =

=

 0
z
TT
( )0q =
( )0
t
T =


Se forem adotadas as hipóteses de
•Condução unidimensional
•Sem geração interna
•Regime permanente
a equação pode ser reduzida a 0
dr
dT
kr
dr
d
r
1
=





0
dr
dT
kr
dr
d
=





0
dr
dT
r
dr
d
r
k
=





0
dr
dT
r
dr
d
=





Integrando-se uma vez em r,
1C
dr
dT
r =
r
C
dr
dT 1=
( ) 21 ln CrCrT +=
( ) 21 ln CrCrT +=
( ) 1s1 TrrT == ( ) 2s2 TrrT ==
Aplicando-se as condições de contorno
podem-se obter as constantes de integração C1 e C2
( )21
2s1s
1
r/rln
TT
C
−
=
( ) 221
2s1s
2s2 rln
r/rln
TT
TC
−
−=
( ) 2s221
2s1s T
r
r
ln
r/rln
TT
T +




−
=
A taxa de transferência de calor é dada por
dr
dT
rL2k
dr
dT
kAq r −=−=
Deve ser ressaltado que a área a ser usada é aquela
perpendicular à direção da transferência de calor, ou
seja, a área lateral do cilindro.
Como ( )21
21
/ln
1
rr
TT
rdr
dT ss −=
( )12
2s1s
r
r/rln
TT
Lk2q
−
=
O fluxo de calor é dado por
dr
dT
k"q r −=
( )12
2s1s
r
r/rln
TT
r
k
"q
−
=
A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer
posição radial (não depende do raio r), o que não
acontece com o fluxo de calor, que é função da
coordenada radial r.
A resistência térmica à condução para sistemas radiais é
dada por
r
2s1s
cond
q
TT
R
−
= ( )
Lk2
r/rln
R 12cond

=
PAREDE CILÍNDRICA COMPOSTA 
A taxa de transferência de calor através da parede é dada por:
cond
ss
x
R
TT
q
)( 21 −=
Lk
rr
Rcond
2
)/ln( 12=
, 
Considere a condução de calor
unidimensional, em regime permanente,
através de uma parede composta cilíndrica.
A taxa de calor é constante através do cilindro. 
Assim, desprezando-se os efeitos radiativos,
2conv
14s
3cond
4s3s
2cond
3s2s
1cond
2s1s
1conv
1s1
tot
41
r
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
q 
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
onde
( ) ( ) ( )
44C
34
B
23
A
12
11
ttot
Lhr2
1
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lhr2
1
RR

+

+

+

+

==
AR
U
tot
1
=Definindo
TUATTUAqr =−=  )( 41
Então
U = coeficiente global de transferência de calor
(W/m2.K)
T = diferença global de temperatura (K)
A = área de troca de calor (m2)
Espessura Crítica de Isolamento
Considere uma camada de isolamento térmico,
que pode ser instalado ao redor de um cilindro. A
superfície interna do isolamento se encontra à
temperatura TS1 e o ambiente externo à T.
hrk
rr
TTL
q Sr
2
12
1
1)/ln(
)(2
+
−
= 

2
2
12
2
22
1
2 1)/ln(
11
)(2
0






+






−−−
==

hrk
rr
hrkr
TTL
dr
dq
S
r

h
k
rrc == 2
Assim,
0
11
2
22
=−
hrkr
rc = raio crítico de isolamento. Para valores de r
menores que rc a taxa de transferência de calor
aumenta com o aumento da espessura de
isolamento; para valores de r maiores que rc a
taxa de transferência de calor diminui com o
aumento da espessura de isolamento.
Figura – Comportamento das Resistências Térmicas com r2
Exemplo – Raio crítico
No Laboratório de Transferência de Calor da PUC
Minas é feita uma experiência para determinar o
coeficiente convectivo associado ao escoamento de ar
sobre um cilindro exposto ao ar ambiente. O cilindro é
feito de um material metálico e possui diâmetro externo
de 2 in e comprimento de 0,78 m. Ele é revestido
externamente por lã de vidro (k = 0,06 W/m.K) com 1 in
de espessura. A superfície interna do cilindro é
aquecida pela passagem de uma corrente elétrica (V =
30 V e i = 2,4 A). São medidas as temperaturas ambiente
e da superfície interna do revestimento.
a) Para uma temperatura ambiente de 20oC e uma temperatura
interna do revestimento de 480oC, calcule o coeficiente
convectivo externo;
b) Calcule o raio crítico de isolamento. A espessura do
revestimento é superior ou inferior à espessura crítica de
isolamento? Determine, qualitativamente, o que aconteceria
com a temperatura interna do revestimento se a espessura do
isolamento fosse tal que o raio externo do revestimento fosse
igual ao raio crítico de isolamento.
c) Desenhe o circuito térmico do problema.
a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na
figura a seguir, desprezando-se os efeitos de radiação
A energia gerada por efeito Joule é transferida por condução
através do cilindro e do isolante e perdida para o ambiente.
Assim, pode-se dizer que
W72A4,2.V30ViRiq 2 ====
A taxa de transferência de calor é dada por
conv2cond
2S
RR
TT
q
+
−
= 
onde a resistência à condução no isolante é dada por
( )
2
33
2cond
Lk2
r/rln
R

=
onde r2 e r3 representam, respectivamente, o raio interno e o
raio externo do isolante térmico. O raio externo pode ser
obtido somando-se o raio interno à espessura do isolamento
m0508,0m0254,0m
2
0508,0
t
2
d
trr 223 =+=+=+=
É importante ressaltar que as unidades foram convertidas do 
sistema britânico (in) para unidades do Sistema Internacional 
(m). Assim,
( )
m/W357,2
K.m/W06,0.m78,0.2
m0254,0/m0508,0ln
R 2cond =

=
O objetivo é determinar o coeficiente convectivo h. Para isso,
deve-se determinar a resistência à convecção externa.
Como
conv2cond
2S
RR
TT
q
+
−
= 
q
TT
RR 2Sconv2cond
−=+
ou
2
2
cond
S
conv R
q
TT
R −
−
= 
WKWK
W
CC
Rconv /032,4/357,2
72
20480
=−
−
=

Mas
Lr2.h
1
hA
1
R
3
conv

==
m78,0.m0508,0.2.h
1
W/K032,4

=
K.m/W996,0h 2=
Assim,
b) O raio crítico é dado por
h
k
rc =
K.m/W996,0
K.m/W06,0
r
2c
= m060,0rc =
Para a espessura de isolante utilizada, o raio externo (rext=0,051
m) é menor que o raio crítico. Como a taxa de calor perdida
para o ambiente aumenta até ser atingido o raio crítico, se o raio
externo fosse igual ao raio crítico, a temperatura do isolamento
seria menor.
m0508,0m0254,0m
2
0508,0
t
2
d
trr 223 =+=+=+=
Aletas
(Superfícies estendidas)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS (ALETAS)
Aleta é um elemento sólido que transfere energia por
condução dentro de suas fronteiras e por convecção
(e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As
aletas são utilizadas para aumentar a taxa de
transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido
adjacente.
Exemplos de dispositivos aletados
Exemplos de dispositivos aletados
Tipos de Aletas
plana, de seção transversal 
uniforme
plana, de seção transversal 
não uniforme
anular piniforme (pino)
Balanço de Energia para uma Aleta
Considere a transferência de calor unidimensional, em
regime permanente, sem geração interna de calor, em
um elemento de volume de uma aleta que se encontra
exposta a um ambiente cuja temperatura é T.
Neste caso, vale:
Calor transferido por 
condução para dentro 
do elemento em x por 
unidade de tempo
Calor transferido por 
condução para fora do 
elemento em (x +dx) 
por unidade de tempo,
Calor transferidopor 
convecção da superfície 
entre x e (x + dx) 
por unidade de tempo
=
+
dx
dT
kAq cx −=
dx
x
q
qq xdxx


+=+
dx
dx
dT
kA
dx
d
dx
dT
kAq ccdxx 





−+−=+
dx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kAq ccdxx 





−−=+
A taxa de calor por convecção transmitida do 
elemento infinitesimal para o fluido é dada por
( )−= TThdAdq sconv
Substituindo-se as equações de taxa na equação do
balanço de energia,
( )−+





−−=− TThdAdx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kA
dx
dT
kA sccc
( ) 0TTdA
k
h
dx
dx
dT
A
dx
d
sc =−−






Como a área da seção reta Ac pode variar com x,
( ) 0TT
dx
dA
k
h
dx
Td
A
dx
dA
dx
dT s
2
2
c
c =−−+ 
( ) 0
11
2
2
=−







−







+ TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
Forma geral da equação da energia, em condições
unidimensionais, em uma aleta.
Aletas com área da seção transversal constante
Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme, a equação anterior 
pode ser simplificada.
P
dx
dA
PxA
0
dx
dA
 constanteA
s
s
c
c
==
==
( ) 0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
=−− 
( ) 0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
=−− 
Definindo-se a variável  (Excesso de Temperatura) como a diferença entre a
temperatura da superfície em uma posição x e a temperatura do fluido de
resfriamento,
−= T)x(T)x(
dx
dT
dx
d
=

2
2
2
2
dx
Td
dx
d
=

0
kA
hP
dx
d
c
2
2
=−

Definindo-se
c
2
kA
hP
m =
0m
dx
d 2
2
2
=−

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com
coeficientes constantes, cuja solução geral tem a forma
0m
dx
d 2
2
2
=−

Solução
mx
2
mx
1 eCeC)x(
−+=
Para resolver esta equação, é necessário ainda definir as 
condições de contorno apropriadas. Uma condição pode ser 
especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0)
( ) bT0xT == ( ) bb TT0x =−== ou
A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta 
(x = L). Podem ser especificadas quatro condições, cada uma 
correspondendo a uma situação física e levando a uma solução 
diferente.
a) Transferência convectiva de calor na ponta da aleta
)T)L(T(hA
dx
dT
kA c
Lx
c 
=
−=− )L(h
dx
d
k
Lx
=

−
=
Aplicando-se estas condições de contorno, chega-se a
   
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(
b +
−+−
=


A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei
de Fourier
0x
c
0x
cf
dx
d
kA
dx
dT
kAq
==

−=−=
Derivando-se a expressão encontrada para  (x),
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
hPkA.q cbf
+
+
=
Para simplificar a solução, define-se cb hPkAM =
Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por






+
+
=
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
Mqf
c
2
kA
hP
m =
b) Ponta da aleta adiabática
0
dx
dT
Lx
=
=
0=
=Lxdx
d
Neste caso,
 
)mLcosh(
)xL(mcosh)x(
b
−
=


)mL(tghMq .f =
c) Temperatura da ponta da aleta fixa e igual a TL
( ) LTLxT ==
ou ( ) LLx ==
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b
−+
=







 −
=
)(
)/()cosh(
mLsenh
mL
Mq bLf

d) Aleta muito longa
Neste caso, quando 0ouTT ,L LL →→→ 
mx
b
e
)x( −=


Mqf =
Uma aproximação para se determinar o comprimento da aleta
muito longa, é considerar L≥L∞ =2,65/m.
m2= h.P/k.Aseção
Exercício alta (muito longa)
A temperatura na base de uma aleta de cobre é igual a 60C. Considere que a
aleta possua uma área de seção quadrada de 4cm X 4cm. Sabe-se que a
temperatura ambiente é igual a 25 C e o coeficiente convectivo h=10
W/m2.C. Considere a aleta muito longa.
Determine a variação da temperatura ao longo da aleta e a taxa de
transferência de calor entre a aleta e o meio. Faça um gráfico de T em
função de X.
b) Considere que na mesma área de seção quadrada não exista a aleta. Qual
a taxa de transferência de calor nessa situação?
c) Encontre a razão entre as taxas de transferência de calor com e sem a
aleta.
d) Determine a efetividade e a eficiência da aleta.
e) Suponha agora que o comprimento L da aleta seja igual a 1 m. Calcule a
taxa de transferência de calor considerando que em L a aleta esteja trocando
calor por convecção. Determine a efetividade e a eficiência.
f) Considere o comprimento da aleta igual a L=1m. Qual a taxa de
transferência de calor se na extremidade não haja troca de calor por
convecção? Determine a efetividade e a eficiência da aleta.
A figura apresenta a distribuição de temperatura em uma aleta
retangular, utilizando-se a condição de contorno de aleta muito
longa. Observa-se que, a partir de uma dada posição, a temperatura
da aleta não se altera. Isto acontece porque a aleta já alcançou a
temperatura ambiente. A partir deste ponto, como não há diferença
entre as temperaturas da aleta e ambiente, não há mais troca de calor
por convecção. Percebe-se, portanto, que não haveria necessidade de
se utilizar um comprimento maior que Lmax.
A Tabela abaixo apresenta as equações de uma forma resumida.
Desempenho da Aleta
As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência
de calor de uma superfície devido ao aumento da área. No
entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na
superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o
desempenho da aleta.
A Efetividade de uma aleta é definida como sendo a razão entre a
taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de transferência
de calor que existiria sem a sua presença. A utilização de aletas
somente se justifica se f  2.
bc
f
f
hA
q
ε

=
onde Ac é a área da seção reta da 
aleta
A Eficiência de uma aleta é definida como a razão entre a taxa
de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de
transferência de calor que existiria pela aleta. Esta taxa máxima
é obtida quando toda a aleta se encontra à temperatura da base.
bs
f
max
f
f
hA
q
q
q
η

== onde As = área superficial da aleta
Nas expressões anteriores, a taxa de calor qf é calculada de
acordo com a condição de contorno utilizada para a ponta da
aleta.
Em geral, não são encontrados sistemas com uma única aleta.
São colocadas diversas aletas em uma superfície, com o
objetivo de se retirar uma quantidade maior de calor. A taxa
total de calor perdida pelo conjunto superfície + aletas é dada
pela soma das taxas de calor individuais. Considerando-se que
todas as aletas do conjunto são iguais e que a presença de uma
aleta não interfere na taxa de calor dissipada por outra aleta, a
taxa total de calor é dada por
bbft hANqq +=
onde
N = número total de aletas
qf = taxa de calor perdida por uma aleta
Ab = área da superfície exposta – área da base das aletas
A eficiência da aleta f caracteriza o desempenho de uma única
aleta. A eficiência global da superfície o caracteriza o
desempenho de um conjunto de aletas e da superfície da base
sobre a qual este conjunto está montado. Ela é definida como a
razão entre a taxa de calor perdida pelo conjunto e a taxa
máxima de calor que poderia ser perdida pelo conjunto,
bt
t
max
t
o
hA
q
q
q
η

==
onde
At = área total exposta
sbt NAAA +=
A eficiência do conjunto pode ser dada também em função da
eficiência de uma única aleta. Se f é a eficiência de uma aleta, a
taxa total de calor pode ser dada por
bbbsft hAhAN q +=
ou
  ( ) bf
t
s
tbstsft
A
NA
hANAAANhq  





−−=−+= 11)( 
Assim,
)1(
A
NA
1 f
t
s
o −−=
Exemplo 9 – Aletas
Uma aleta retangular de alumínio, com 4 mm de espessura, 10 mm de 
largura e 12 cm de comprimento, está acoplada a uma chapa plana cuja 
temperatura superficial é 85oC. O sistema é exposto ao ar ambiente a 
15oC. O coeficiente convectivo associado é 17W/m2.K. 
a) Determine a taxa de calor dissipada pela aleta se a sua ponta for 
mantida a uma temperatura fixa de 20oC e a temperatura na posição 
x = 5 cm.
b) Faça um gráfico da variação da temperatura da aleta ao longo do 
comprimento;
c) Determine a efetividade e a eficiência da aleta.d) Refaça o problema acima, porém considerando a aleta muito longa.
e) Determine o comprimento da aleta para que a mesma possa ser 
considerada infinita. 
f) “Sempre é para entregar” (agora)
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