Transferencia de calor e Massa Luiz A. Aula Condução I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO E 
ENGENHARIA MECÂNICA
CAT 174 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I
Prof. Luís Antônio Bortolaia
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Equação da Taxa de Condução de Calor (difusão de energia) Lei
de Fourier:
x
TkAqx ∆
∆
=
taxa de transferência de calor
(W)
taxa de transferência de calor
(Fluxo de calor ou fluxo térmico) 
(W/m²) 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
No limite, quando 0→∆x
dx
dTk
A
qq x"x −==
O sinal negativo indica que o calor é transferido no sentido da
diminuição da temperatura.
• dT/dx (gradiente de temperatura) é 
negativo;
• q” é positivo (na direção do eixo).
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
O fluxo térmico é uma grandeza vetorial. A forma geral da taxa de
condução de calor (lei de Fourier):






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=∇−=′′
z
Tk
y
Tj
x
Ti kT kq
rrrr
Em coordenadas cartesianas:
operador vetorial gradiente
Em coordenadas cartesianas:
zyx q kqjqiq ′′+′′+′′=′′
rrr
x
Tkqx ∂
∂
−=′′ y
Tkq y ∂
∂
−=′′
z
Tkqz ∂
∂
−=′′
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Sistemas de coordenadas
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=′′ k
z
Tj
y
Ti
x
T
 kq
rrr



 ∂
+
∂
+
∂
−=′′ kTjT1iT kq rrr
Lei de FourierCoordenadas
Cartesianas
Cilíndricas






φ∂
∂
θ
+
θ∂
∂
+
∂
∂
−=′′ kT
rsen
1jT
r
1i
r
T
 kq
rrr



 ∂
+φ∂+∂−=′′ kzjrir kq
Cilíndricas
Esféricas
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Propriedades Térmicas da Matéria
a) Condutividade térmica ( )
Representa a capacidade do material (corpo) de transferir calor.
Unidade:
k
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Condutividade
térmica de materiais
sólidos
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Condutividade 
térmica de gases 
(pressões normais)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Condutividade térmica 
de líquidos em 
condições de saturação
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
b) Difusividade térmica ( )
Mede a capacidade do material de conduzir energia térmica em
relação à sua capacidade de armazená-la.
Unidade:Unidade:
- densidade ou massa específica (kg/m³)
- calor específico (kJ/kg.K)
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
c) Capacidade calorífica volumétrica ( )
Mede a capacidade de um material de armazenar energia
térmica.
Unidade: 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR
Análise em um volume de controle diferencial em coordenadas
cartesianas:
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
A conservação da energia no volume de controle exige que:
arsge EEEE &&&& =−+
Taxa de transferência de energia que entra e sai do V.C 
Taxa de geração de energia
Taxa de acúmulo de 
energia
;dx
x
qkqq xxdxx ∂
∂
+=+ ;dyy
q
kqq yydyy ∂
∂
+=+ ;dz
z
qkqq zzdzz ∂
∂
+=+
Taxa de transferência de calor por condução: 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
dzdydxqEg && =
T∂
Taxa de geração de energia:
Taxa de acúmulo de energia:
dzdydx
t
T
cE par ∂
∂
= ρ&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
t
TVcqqqqqqq pdzzdyydxxgzyx ∂
∂
=−−−+++ +++ ρ&
t
T
cq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
p ∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ ρ&
Equação geral da condução de calor em coordenadas cartesianas:
tzzyyxx ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂
Para k constante:
t
T
k
c
k
q
z
T
y
T
x
T p
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ρ&
2
2
2
2
2
2
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Para regime estacionário ou permanente ( ):
0=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ q
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
&
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Em coordenadas cilíndricas: T = T(r, Φ, z, t)
r
Tkqr ∂
∂
−=′′
φφ ∂
∂
−=′′
T
r
kq
z
Tkq z ∂
∂
−=′′
t
T
cq
z
Tk
z
Tk
r
1
r
Tkr
r
T
r
1
p2 ∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ ρφφ &
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Em coordenadas esféricas: T = T(r, Φ, θ, t)
r
Tkqr ∂
∂
−=′′
θθ ∂
∂
−=′′
T
r
kq
∂Tk
φθφ ∂
∂
−=′′
T
senr
kq
.
t
T
cqTksen
senr
Tk
senrr
Tkr
r
T
r
p ∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂∂
+





∂
∂
∂
∂ ρ
θ
θ
θθφφθ &222
2
2
1
.
11
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Condições iniciais e de contorno:
• A equação de condução é de primeira ordem em relação ao
tempo:
condição inicial precisa ser especificada 
• A equação de condução é de segunda ordem em relação às
coordenadas espaciais: as condições de contorno devem ser
especificadas, para cada coordenada. Três tipos:
( ) 00, TxT =
especificadas, para cada coordenada. Três tipos:
- de Dirichlet ou de primeira espécie;
- de Neuman ou de segunda espécie;
- de terceira espécie que corresponde à existência de
aquecimento ou resfriamento por convecção na superfície.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
Na superfície x = 0.
1- Condição de Dirichlet (1a espécie)
Temperatura na superfície constante
Condição de contorno de primeira espécie –
temperatura prescrita.
( ) ( ) 10x Tt,0Tt,xT =≡=
( ) ( ) 2,, TtLTtxT Lx =≡=
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
2 - Condição de Neumann (2a espécie): condição de fluxo térmico na superfície
constante
"
0
0x
q
x
Tk =
∂
∂
−
=
"
L
Lx
q
x
Tk =
∂
∂
+
=
a) Fluxo térmico prescrito 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
b) Superfície adiabática ou isolada
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA I CONDUÇÃO
3 - Condição de 3a espécie (Condição de Robin) – aquecimento ou
resfriamento por convecção.
( )
011
0
=
=
−=
∂
∂
−
x
x
TTh
x
Tk
0=∂ xx