Exercicios - Natalia Alencar

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Universidade Estadual De Santa Cruz - UESC
Analise I - CET 1114
Prof ª Nestor Felipe Castaneda Centurion
Aluna: Natália Alencar
Álgebra I - Lista II
Exerćıcio 1. Se a ̸= 0 e b ̸= 0 em R, prove que (ab)−1 = a−1b−1 e conclua que (a
b
)−1 = b
a
.
Resolução: Temos que existe x ∈ R tal que (ab)−1 = x , assim, multiplicando a igualdade por
ab teremos
(ab)−1.(ab) = x.(ab)
1 = (xa).b
1.b−1 = (xa).(b.b−1)
b−1 = xa
b−1.a−1 = x.(aa−1)
b−1.a−1 = x
Portanto, (ab)−1 = a−1b−1 e com isso temos
(a
b
)−1
= (ab−1)−1 = a−1.(b−1)−1 = ba−1 =
(
b
a
)
□
Exerćıcio 2. Para todo x ̸= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
Resolução: Temos que (1 + x)2n > [(1 + x)n]2 e, pela desigualdade de Bernoulli,
(1 + x)2n ≥ (1 + nx)2
≥ 1 + 2nx+ (nx)2
≥ 1 + 2nx
□
Exerćıcio 3. Dados a, b ∈ R+ com a2 < 2 < b2, tome x, y ∈ R+ tais que x < 1, x < (2−a
2)
2a+1
e
y < (b
2−2)
2b
. Prove que (a + x)2 < 2 < (b − y)2 e b − y > 0. Em seguida, considere o conjunto
limitado X = a ∈ R+; a2 < 2 e conclua que o número real c = SupX cumpre c2 = 2.
Resolução: Considerando os conjuntos X = {a ∈ R+; a2 < 2} e Y = {b ∈ R+; 2 < b2}. X
não possui elemento máximo. Seja x ∈ X então x2 < 2 e 0 < 2 − x2, vale que 2x + 1 > 0, dáı
0 < 2−x
2
2x+1
, podemos tomar um racional x < 1 tal que
x <
(2− a2)
2a+ 1
⇒ x+ 2ax+ a2 < 2
1
como x < 1, podemos garantir que (a+ x) < 2. Analogamente, o conjunto Y não possui elemento
ḿınimo.
y <
(b2 − 2)
2b
⇒ 2 < b2 − 2by = (b− 2y)b ⇒ 2 < (b− y)2
como b > 2, temos que 0 < b − 2y < b − y. Então existe c = supX que não pertence a X ou
a Y, ou seja, se c ∈ X, então existe x ∈ R+ tal que a2 < c2 < (a + x)2, mas X não possui
elemento máximo, logo c não seria o supremo de X. De modo análogo, se c ∈ Y , então existiria
y ∈ R+ tal que (b− y)2 < c2 < b2, um absurdo, pois Y não possui ḿınimo. Com isso, temos que
c = supX = infY e, portanto, c2 = 2.
□
2