U15-A40-Oscilacoes-MHS

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UNIDADE 15 
 
OSCILAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 40 ‐‐‐‐OSCILAÇÕES 
OBJETIVOS: 
- DEFINIR O CONCEITO DE OSCILAÇÃO; 
- CONHECER AS GRANDEZAS QUE DESCREVEM O MOVIMENTO. 
 
40.1 ‐‐‐‐ Introdução: 
Há, na Natureza, um tipo de movimento muito importante: o movimento periódico, 
que é aquele que se repete em intervalos de tempo iguais. Por exemplo, o movimento 
dos átomos e moléculas em uma rede que constitui um corpo sólido, o movimento dos 
planetas e satélites, para citarmos apenas dois deles, em situações muito diferentes. 
Quando uma partícula descreve um movimento periódico sempre com a mesma 
trajetória, dizemos que ela possui um movimento oscilatório ou vibratório. Um 
exemplo clássico é o de uma mola ligada a um corpo que desliza sobre uma superfície 
sem atrito. 
Por causa da presença constante do atrito, os corpos geralmente não oscilam entre 
posições limites fixas; com a perda de energia, eles eventualmente param de oscilar. 
Os movimentos dessa natureza são chamados de movimentos amortecidos. Para 
manter um movimento periódico amortecido, é necessário que apliquemos uma força 
externa ao corpo; o movimento é, então, chamado de movimento forçado 
O intervalo de tempo necessário para que o movimento se repita (ou que o movimento 
complete uma oscilação ou um ciclo) é denominado período do movimento ( ). A 
frequência do moviment ( ) é o número de oscilações ou ciclos por unidade de tempo 
que ocorrem no movimento. A frequência, portanto, é o inverso do período: 
� = �� (40.1) 
A unidade de tempo sendo o segundo internacional, a unidade de frequência é ciclo por 
segundo, também chamada de Hertz em homenagem a Heinrich Hertz (1857 ‐ 1894). 
Quando uma partícula está com movimento periódico, em geral há um ponto em que 
não há força resultante atuando sobre ela. Esse ponto é denominado posição de 
equilíbrio. A distância (linear ou angular da partícula à posição de equilíbrio é chamada 
deslocamento da partícula em relação a essa posição de equilíbrio. 
Quando uma partícula possui movimento oscilatório, a sua posição varia 
periodicamente com o tempo; da mesma forma, a sua velocidade e a sua aceleração 
são variáveis durante o movimento. Consequentemente, a força que atua sobre ela 
também varia. 
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A descrição matemática de um movimento periódico é feita em termos de senos e 
co‐senos ou de combinações dessas funções, que são chamadas de funções 
harmônicas; por isso, o movimento periódico também é conhecido como movimento 
harmônico. 
 
40‐‐‐‐2 ‐‐‐‐ O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES 
Um oscilador harmônico simples é uma partícula que se move ao longo de uma reta 
sob ação de uma força: 
��	 = −���	 
em que é o deslocamento da partícula relativo à sua posição de equilíbrio. O sinal 
negativo indica que a força está se opondo ao deslocamento e, portanto, tende a fazer 
a partícula voltar à posição em que a força é nula. Essa força é conhecida como força 
restauradora 
O exemplo clássico de um oscilador harmônico simples é o de um corpo de massa 
preso a uma mola de comprimento , movendo‐se sobre uma superfície horizontal sem 
atrito (Figura 40‐1). 
 
Figura 40‐‐‐‐1: Oscilador harmônico simples 
A posição de equilíbrio é aquela em que a mola não está deformada. Quando o corpo 
se move, ele estica ou comprime a mola, causando‐lhe uma deformação igual à 
distância dele à posição de equilíbrio. Se a origem do sistema de coordenadas coincidir 
com a posição de equilíbrio, essa distância é numericamente igual ao deslocamento do 
corpo; na figura acima, o ponto é o ponto de equilíbrio e a posição é a 
deformação da mola. 
Quando a mola está deformada, ela exerce uma força sobre o corpo que é proporcional 
à deformação (no caso, à variação de seu comprimento) e tende a restaurar o 
comprimento original da mola. Essa força é decorrente da lei de Hooke, lei empírica 
descoberta por Robert Hooke (1635 – 1703) que diz que: 
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Quando um sólido é deformado, ele tende a eliminar essa deformação com uma força 
que proporcional à deformação, desde que esta não ultrapasse um limite, denominado 
limite elástico do corpo, que depende da natureza desse corpo. 
Assim, de acordo com a Lei de Hooke, se é a posição do corpo relativamente à 
posição de equilíbrio, a força restauradora da mola sobre o corpo é dada pela equação 
(40‐1): 
 � = −�� (40.2) 
onde o sinal negativo indica que a força tem sentido oposto ao deslocamento do corpo. 
Isto é, com o eixo O da Figura 40‐1, quando a força tem sentido oposto ao do 
eixo; quando , a força tem o mesmo sentido que o ele. 
O movimento do oscilador harmônico simples pode ser conhecido resolvendo a 
equação da segunda lei de Newton. Escolhendo a origem de coordenadas coincidente 
com a posição de equilíbrio, temos: 
 ���� = −�� 
Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, a 
equação acima pode ser escrita: 
 ������ + �� = 0 (40.3) 
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução nos dá a variação da 
posição do corpo com o tempo. A solução pode ser obtida facilmente com métodos 
estudados na teoria das equações diferenciais; entretanto, usaremos um método 
empírico para resolver a equação, mas que nos dá uma informação mais física sobre a 
solução. Seja a solução procurada. Podemos escrever a equação (2) da seguinte 
forma: 
�2�
��2 = −�02� �0 = � �
 
Nessa forma, podemos ver que a função ���� deve ser proporcional à sua derivada 
segunda (a constante de proporcionalidade é �02. Ora, somente as funções seno, 
co‐seno e exponencial (que pode ser colocada na forma de soma de seno e co‐seno) 
possuem essa propriedade. 
As funções sen � e cos � são, respectivamente, as partes imaginária e real do número 
complexo "#�. 
"#� = cos � + # ∙ sen � 
em que # = √−1. Como, também: 
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"−#� = cos � − # ∙ sen � 
se somarmaos essas duas exponenciais, obtemos: 
cos � = "
'( + ")'(
2 
Se subtrairmos a segunda expressão da primeira, obtemos: 
sen � = "
'( − ")'(
2 
Atividade 40.1: Mostre que as funções seno, co‐‐‐‐seno e exponencial são 
proporcionais à suas derivadas segundas. 
 
A propriedade acima ainda é verificada se multiplicarmos as funções por uma 
constante . Além disso, podemos levar em conta que as funções seno e co‐seno se 
diferem de uma constante e escrever para a solução da equação (3): 
���� = �* ∙ cos��+� + ,� (40.4) 
em que e são constantes a serem determinadas. Note que as unidades do termo 
entre parênteses deve ser radiano. Portanto, é medido em radianos e , em 
radianos por segundo. O termo entre parênteses é chamado de fase do movimento; o 
ângulo , de ângulo de fase. 
Conhecido , a velocidade e a aceleração do oscilador em função do tempo são 
obtidas facilmente por derivação: 
���� = ���� = −�+�* ∙ sen��+� + ,� 
-��� = ��.��� = −�+/�* ∙ cos��+� + ,� (40.5) 
A Figura 40‐2 mostra as variações de em função do tempo. 
 
D
es
lo
ca
m
e
n
to
 
x
t
A
 
562 
 
 
Ve
lo
c
id
ad
e 
dx
/d
t
t
ω ω ω ω A
 
 
A
ce
le
ra
çã
o
 
(d
2 x
)/(
dt
2 )
t
ωωωω
2222
 A
 
Figura 40‐‐‐‐2: Gráficos de , e para o oscilador harmônico simples 
 
Atividade 40.2: Verifique que a Eq. 40.5 é solução da Eq. 40.3 
As constantes e são arbitrárias, de modo que a função pode se ajustar a um 
grande número de movimentos harmônicos simples com a escolha adequada de 
valores para elas. Isso aliás é uma característica da equação diferencial: sua solução 
representa uma família de funções
que a satisfazem. No caso do movimento 
harmônico simples, as constantes �
 e , descrevem um grupo de movimentos com 
características comuns, mas que diferenciam uns dos outros. Assim, ao fixarmos os 
valores dessas constantes, escolhemos uma solução determinada dentre as outras 
também possíveis. 
 
Exemplo 40.1: Um oscilador harmônico simples é composto por uma mola de 
constante � = 27,0 2/
 e massa 
 = 3,0 �5. A mola é esticada de 0,20 
 e o sistema é 
solto a partir do repouso. Determine a equação de movimento do oscilador. 
Solução: Para determinar a equação de movimento, temos que determinar e . 
Precisamos então de um sistema de duas equações com essas grandezas como 
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incógnitas. Esse sistema pode ser obtido com as condições estabelecidas nos dados do 
problema. Como, em , m e m/s (o oscilador parte do repouso), 
temos, da expressão de : 
 0,20 = �* ∙ cos 6�/7,+8,+ � + ,9 
ou, deixando de escrever as unidades, temos, no instante : 
0,20 = �* ∙ cos�3� + ,� 
Como conhecemos a velocidade inicial, podemos usar a expressão da velocidade do 
oscilador em função do tempo para obter a segunda equação: 
���� = −�+�* ∙ sen��+� + ,� 
Levando os valores da velocidade para e de nessa expressão, obtemos: 
0 = −3,0�*∙sen�3,0 ∙ 0 + ,� 
Então, resolvendo o sistema: 
0,20 = �* ∙ cos , 
0 = −3,0�* ∙ sen�,� 
Da segunda equação, vemos que radianos pois não pode ser nulo. Da 
primeira, então, com o valor , obtemos que m. Assim, a equação de 
movimento do oscilador é: 
���� = 0,20 ∙ cos�3,0�� 
 
Vejamos agora quais são os significados físicos de . Começando com , seja 
a equação de movimento do oscilador e aumentemos o tempo de um fator . 
Temos: 
� 6� + 2:�+9 = �* ∙ cos;�+<� + 
2: �+= > + ,? 
� 6� + 2:�+9 = �* ∙ cos��+� + 2: + ,� 
� 6� + 2:�+9 = �* ∙ cos��+� + ,� 
Portanto, a posição do oscilador volta a ser a mesma depois de um intervalo de tempo 
. Portanto, o período do movimento ( ) é: 
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 @ = /ABC =
/A
� DE
= 2:�*F (40.6) 
Note que o período de oscilação cresce com a massa (ou a inércia) da partícula e 
decresce com a constante da mola. Isto é, quando maior a inércia, mais lentamente o 
oscilador de move; quando maior a constante de mola (a restauração da deformação), 
mais rápido o oscilador se move. 
A frequência ( ) do movimento do oscilador é o número de oscilações completas por 
unidade de tempo, realizadas por ele. A frequência ( ) é dada , em função do período, 
por: 
 � = �� = BC/A = �/A � F* (40.7) 
Então: 
 �+ = 2:� = /A� (40.8) 
A constante tem significado físico simples. Como ela é função co‐senoidal do tempo, 
e como a função co‐seno só tem valores entre ‐1 e +1, os valores do deslocamento 
estão sempre compreendidos entre e . Assim, o deslocamento máximo em 
relação à posição de equilíbrio é , que é denominado amplitude do movimento. 
O significado físico da constante pode ser entendido fazendo na equação do 
movimento. Temos, então: 
 �+ = �* ∙ cos , 
isto é, no instante inicial do estudo do movimento, a posição inicial do oscilador difere 
da posição de afastamento máximo da posição de equilíbrio de um fator . Então, 
é o termo que estabelece qual é a posição inicial do oscilador em termos de . 
Notemos que, para , 
 ���� = �* ∙ cos G�+� + A/H = �* ∙ sen G�+� + A/H 
de modo que, em , o deslocamento é zero. 
A Figura 40‐3 mostra gráficos do deslocamento de dois osciladores harmônicos simples 
para vários valores diferentes de e . Na parte (a), temos dois osciladores com a 
mesma amplitude e período, mas com diferença de fase de : 4= ; na parte (b), os 
osciladores possuem o mesmo ângulo de fase e período, mas a amplitude de um é o 
dobro da do outro; na parte (c), os osciladores possuem a mesma amplitude e a 
mesma fase, mas diferem em períodos de um fator 2. 
 
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δδδδΙΙΙΙΙΙΙΙ = 45º
A
t
δδδδΙΙΙΙ = 0º
T
ΙΙΙΙ
x
ΙΙΙΙΙΙΙΙ
 
δδδδΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ = 0º
A
t
δδδδΙΙΙΙ = 0º
T
ΙΙΙΙ
x
ΙΙΙΙΙΙΙΙ
 
A
t
δδδδΙΙΙΙ = 0º
Tt
ΙΙΙΙ
x
δδδδIV = 0ºIV
T
 
Figura 40‐‐‐‐3: Gráficos de , para dois osciladores harmônicos simples 
 
Para descrever completamente o movimento do oscilador, precisamos conhecer os 
valores das constantes e . Como essas grandezas são constantes, basta 
conhecermos seus valores em um dado instante, que eles serão os mesmos para todo 
o movimento. Sua determinação é feita com os valores de do deslocamento e da 
velocidade do oscilador em um dado instante . Assim, podemos escrever, de (4) e 
(5), com , que: 
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ou: 
 (40.9) 
Elevando ao quadrado as duas equações e somando‐as membro a membro, obtemos 
: 
 (40.10) 
Dividindo agora (11) por (10), obtemos: 
 (40.11) 
Essa equação define também o quadrante em que está. Por exemplo, se e 
, e . Então, estará no quarto quadrante ( ). 
 
Exemplo 40.2: Aplica‐se uma força de N à extremidade de uma mola horizontal, 
que fica esticada de cm. Prende‐se, então, um corpo de massa de g à 
extremidade da mola e este é puxado até ficar à distância de cm da posição de 
equilíbrio. Libera-se o corpo, que passa a ter um movimento harmônico simples. 
Responda: 
 (a) Qual a constante da mola? 
 (b) Qual a força exercida pela mola sobre o corpo, no instante em que ele é solto para 
se mover? 
 (c) Qual o período de oscilação do sistema? 
 (d) Qual a amplitude do movimento? 
 (e) Qual a equação de movimento do oscilador? 
Solução: 
 (a) Como a força restauradora da mola é , a constante da mola é: 
 
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 (b) A força é , onde o sinal negativo indica que a força tem o sentido oposto 
ao do deslocamento. Neste caso, o deslocamento cm; então: 
 
 (c) O período de oscilação é: 
 
 (d) A amplitude do movimento corresponde à posição em que o corpo foi solto, pois 
ele não pode ultrapassar esta posição. Então: cm. 
(e) A equação de movimento é: 
 
em que e devem ser calculados. Então: 
 
Para determinar , lembramos que, quando o corpo foi solto, a sua velocidade era 
nula. Então, da equação da velocidade em função do tempo: 
 
vem, com em : 
 
Então, a equação de movimento é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
Atividade 40.1: 
Temos que: 
 
Atividade 40.2: 
Levando as expressões da velocidade e da posição em 40.2 vem: 
 
que verifica a equação. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
E40.1 Um bloco de massa m = 4, 0 kg é dependurado na extremidade livre de uma 
mola vertical e estica essa mola de 16.0 cm. Qual é a constante da mola e qual a 
frequência de vibração do sistema? 
 
E40.2 Uma partícula possui movimento harmônico simples. No instante t = 0 seu 
deslocamento é 0,37 cm e sua velocidade é nula. Se a frequência do movimento é 
0,25 Hertz, ache: 
 
(a) o período do movimento; 
(b) a frequência angular; 
(c) a amplitude do movimento; 
(d) o ângulo de fase do movimento.