Matemática Financeira - Abelardo de Lima

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Matemática
Financeira
Objetiva e Aplicada
FalsoRosto MatematicaFinanceira_9 ed.ai 1 6/27/11 8:00 PM
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Abelardo de Lima Puccini
Matemática
Financeira
Objetiva e Aplicada
�
9ª edição revista e atualizada
Rosto MatematicaFinanceira_9 ed.ai 1 6/27/11 8:00 PM
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ISBN 978-85-352-4672-8
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CIP-Brasil. Catalogação-Na-Fonte 
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ.
P972m
9.ed.
Puccini, Abelardo de Lima, 1942-
 Matemática financeira: objetiva e aplicada / Abelardo de Lima Puccini, 
Adriana Puccini. - 9.ed. - São Paulo: Elsevier, 2011.
Acompanhado do CD 
ISBN 978-85-352-4672-8 
1. Matemática financeira. I. Puccini, Adriana. II. Título.
11-1794. CDD: 650.01513 
 CDU: 51-7
31.03.11 01.04.11 025469
À minha mulher, Zelia, companheira e parceira inseparável, e ao meu filho 
Eduardo, amigo e incentivador permanente.
À minha filha Adriana, um agradecimento especial 
pela contribuição nas últimas edições do livro, com ideias inovadoras, 
o que a credencia como a minha natural sucessora na atualização do livro para 
garantir a sua permanência no mercado em posição de destaque.
SOBRE O AUTOR 
Abelardo de Lima Puccini é Engenheiro Civil pela PUC/RJ, formado em 1964, 
com curso de mestrado em Engenharia Econômica obtido na Universidade de Stan-
ford, Califórnia, em 1967.
De 1967 a 1970 foi Professor Associado do Departamento de Engenharia Industrial 
e do Rio Datacentro da PUC/RJ, em regime de tempo integral.
De 1970 a 1979 exerceu funções executivas na área financeira de empresas do 
governo (Vale do Rio Doce, Nuclebrás e BNDES).
Atuou como Diretor Financeiro da Aracruz Celulose de 1979 a 1983 e, em se-
guida, foi Superintendente Geral da Bolsa de Valores do Rio de Janeiro até o final 
de 1988, quando assumiu a função de Presidente Executivo do Grupo Supergasbras, 
onde permaneceu até 1992. De 1993 a 1997 atuou como Diretor Administrativo 
Financeiro da Casas Sendas.
No sistema Petrobras exerceu as funções de Diretor Financeiro da Petrobras Dis-
tribuidora (2001 a 2003) e de Presidente da Liquigás Distribuidora (2004 e 2006).
É professor de Matemática Financeira, Análise de Investimentos e Fundamentos 
de Finanças em programas de pós-graduação de diversas instituições de ensino, do 
governo e da área privada.
PREFÁCIO À 9a EDIÇÃO
Matéria obrigatória nas escolas de Administração, Economia e Finanças, a 
Matemática Financeira e suas aplicações no campo das finanças e na avaliação de 
investimentos encontra no livro do Professor Abelardo Puccini um rico depositório 
de conceitos teóricos e práticos.
Talvez seja uma das mais marcantes características do livro “Matemática Financeira 
Objetiva e Aplicada” a forma didática, clara e pragmática como o autor apresenta a 
matéria, utilizando convenções e simbologias internacionais de fácil compreensão. 
Os temas são desenvolvidos a partir de exemplos costumeiramente encontrados no 
mercado, dispensando o leitor de grandes conhecimentos matemáticos para a leitura 
e compreensão do conteúdo da obra.
O Professor Puccini, ao longo de sua brilhante carreira profissional, notadamente 
na área financeira, não só aproveitou o seu conhecimento prático como teve o mérito 
de manter seu livro sempre atualizado, desde a primeiríssima edição (1977), bem como 
incorporou novas tecnologias na solução de problemas. Dessa forma, o livro tornou-se 
uma referência permanente no mercado financeiro, o que justifica sua indicação como 
livro-texto em cursos universitários, bibliografia obrigatória para concursos públicos 
de instituições governamentais e fonte de consulta no sistema financeiro. 
Foi pioneiro na utilização da calculadora HP-12C para a solução de problemas 
financeiros anteriormente resolvidos somente com o auxílio de Tabelas Financeiras. 
Posteriormente incorporou a Planilha Eletrônica Excel como ferramenta de apoio 
no tratamento de problemas mais complexos.
Esta 9a edição traz, como parte integrante do livro, um CD que disponibiliza 
um Banco de Questões com 200 problemas selecionados, o que oferece ao leitor 
a oportunidade de testar seus conhecimentos por meio de provas com questões de 
múltipla escolha. O programa faz automaticamente a correção de cada questão, com 
a possibilidade de acessar a solução do autor e, no final, fornece o resultado da prova.
Particularmente interessante é o Capítulo 11, que apresenta com clareza e objeti-
vidade os Métodos de Análise de Investimentos, ferramentas amplamente usadas na 
análise da viabilidade econômica de projetos e indispensáveis à tomada de decisão 
sobre alternativas de investimento, matéria de fundamental importância para exe-
cutivos da área financeira.
O sucesso desta obra do Professor Puccini, um clássico na literatura econômica 
do país, é atestado pelos mais de 200 mil exemplares vendidos, marca rara quando se 
trata de matéria especializada, cujo público-alvo é normalmente reduzido.
Sua leitura é, a meu ver, indispensável a uma sólida formação acadêmica dos 
estudantes das áreas de Administração, Economia e Finanças, além de altamente 
recomendada aos analistas de projetos e do mercado financeiro e de capitais.
X M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O Professor Puccini, nesta edição do seu livro, atualiza e aperfeiçoa edições an-
teriores, mantendo a Matemática Financeira acessível a especialistas e a leigos. Esse 
é o legado máximo que pode alcançar um escritor.
Sergio Franklin Quintella
Vice Presidente – FGV/RJ
NOTA DO AUTOR
 À 9a EDIÇÃO
A maioria dos livros de Matemática Financeira costuma apresentar a matéria com 
uma simbologia complexa, e com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação 
específica, criando, assim, um mito de dificuldade para o seu aprendizado.
Privilegiamos em todas as edições o aspecto prático da matemática financeira, apre-
sentando os conceitos por meio de exemplos resolvidos pela calculadora HP-12C e pela 
planilha eletrônica Excel. Entendemos que a grande aceitação dessas duas ferramentas 
de trabalho pelos profissionais do mercado, justifique plenamente a permanência de 
ambas nesta edição. 
Apesar desse enfoque simples e prático, os conhecimentos adquiridos neste livro 
permitem a solução de problemas que envolvem o manuseio de qualquer fluxo de caixa, 
independente do grau de sua complexidade. Essa especificidade faz deste livro referência 
no meio acadêmico e em concursos públicos de relevantes instituições do Governo.
Nesta 9a edição a simbologia adotada ao longo do livro na apresentação dos fluxos 
de caixa, utiliza a nomenclatura da calculadora HP-12C (n, i, PV, FV e PMT), o que 
já se tornou uma marca registrada desta obra.
Em relação à estrutura do livro, os noveprimeiros capítulos são desenvolvidos na 
hipótese de moeda estável, sem inflação, de acordo com o tratamento convencional 
da matéria. Essa moeda é representada genericamente pelo símbolo $, que pode cor-
responder à moeda corrente de qualquer país com economia estável, sem inflação.
No Capítulo 10 – Fluxos de Caixa e Inflação, mostramos a aplicação da Matemática 
Financeira quando a moeda não é estável, ou seja, quando há perda de valor do dinheiro 
em função do fenômeno da inflação. 
O Capítulo 11 – Métodos de Análise de Investimentos, merece destaque, na medida 
em que apresenta uma das aplicações mais importantes da Matemática Financeira: a 
análise dos fluxos de caixa para a tomada de decisões de investimentos.
O “CD do Leitor”, cujo conteúdo está resumido em nota específica do autor, foi 
incluído a partir da 8a edição como parte integrante da obra. Seu principal objetivo foi 
o de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colocar em prática os conhecimentos 
adquiridos ao longo do livro. Para isso, desenvolvemos um Banco de Questões interati-
vo, abrangendo todo o conteúdo da obra, com 200 problemas propostos e resolvidos. 
Além disso, o CD contém o arquivo – em Excel – do Simulador da HP-12C e os 
três apêndices do livro (Apêndice A – Utilização da HP-12C, Apêndice B – Funções 
Financeiras do Excel e Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras). Os dois primeiros 
devem ser lidos por aqueles que estão tendo o primeiro contato com esses instrumentos 
XII M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
de apoio, para facilitar o aprendizado da matéria. O terceiro deve ser lido por aqueles 
que estão se preparando para concursos públicos que não permitem a utilização de 
calculadoras financeiras.
Disponibilizamos na Internet pelo site www.elsevier.com.br/puccinicompleta o 
Simulador da HP-12C, os três apêndices e artigos técnicos de Matemática Financeira, 
e oferecemos aos professores cadastrados as soluções dos problemas propostos e amplo 
material didático para o preparo das aulas.
Abelardo de Lima Puccini
NOTA DO AUTOR SOBRE 
O CONTEÚDO DO CD 
A partir da 8a edição passamos a incluir o “CD do Leitor” como parte integrante da 
obra, com a principal finalidade de oferecer ao leitor uma alternativa digital para colo-
car em prática os conhecimentos adquiridos no livro texto e, assim, desenvolvemos um 
Banco de Questões interativo com 200 problemas propostos e resolvidos, abrangendo 
todo o conteúdo da obra.
O Banco de Questões, principal aplicativo deste CD, tem uma estrutura de fácil 
uso e oferece ao leitor duas opções de provas, com respostas de múltipla escolha:
a prova customizada, onde o leitor tem a flexibilidade de criar a sua própria prova, 
definindo os capítulos do livro que nela devem ser incluídos, a quantidade de 
questões e o nível de dificuldade das mesmas (alta, média ou baixa);
a prova padronizada, com 10 questões, gerada automaticamente pelo sistema, 
composta por problemas de todos os capítulos do livro, a partir dos três níveis 
de dificuldade.
O sistema faz automaticamente a correção de cada questão e, no final, fornece o 
resultado da prova. Na solução dos problemas o leitor pode utilizar o Simulador da 
HP-12C e ter acesso à solução do autor para todos os problemas propostos.
Além do Banco de Questões o “CD do Leitor” inclui os seguintes conteúdos:
Simulador da HP-12C
O Simulador da HP-12C é um arquivo Excel que reúne as suas principais funções 
financeiras com uma apresentação esquemática para facilitar o registro dos dados, e 
que tem uma aparência semelhante à calculadora HP-12C, na medida em que apre-
senta na sua parte superior as teclas n, i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior o visor 
da calculadora. Ele é utilizado na solução dos problemas do livro, de forma simples e 
didática, como se fosse a própria calculadora HP-12C. A sua montagem está explicada, 
em detalhes, no Apêndice B – Funções Financeiras do Excel.
Apêndice A – Utilização da HP-12C
Neste Apêndice mostramos as operações básicas da calculadora e a utilização das 
suas principais funções financeiras na solução de problemas, que também são resolvidos 
por meio do Simulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que 
estão tendo o primeiro contato com a matéria.
Apêndice B – Funções Financeiras do Excel
Neste Apêndice apresentamos uma revisão das nomenclaturas e convenções adota das 
na representação de fluxos de caixa e mostramos a forma de operar das principais 
funções financeiras da planilha Excel, com todos os detalhes da montagem do Si-
mulador da HP-12C. A sua leitura é recomendada para os leitores que estão tendo o 
primeiro contato com a matéria.
XIV M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Apêndice C – Uso de Tabelas Financeiras
Neste Apêndice apresentamos o Uso das Tabelas Financeiras, método tradicional da 
matemática financeira, na solução de problemas mediante a utilização única e exclusiva 
de fatores preestabelecidos. Sua leitura é recomendada para os leitores que pretendem 
fazer concursos públicos que, normalmente, não permitem o acesso às calculadoras e/
ou planilhas eletrônicas. 
Material Adicional
Neste segmento apresentamos artigos sobre temas importantes relacionados à 
Matemática Financeira, tais como “Cálculo de Debêntures”, “Projeções Financeiras”, 
e “Ano Civil x Ano Comercial”. 
Abelardo de Lima Puccini
SIMBOLOGIA E CONVENÇÕES ADOTADAS – HP-12C
FVPV FV PV 
 PMT PMT
i i i i i i i i i i i i
0 1 2 3 4 ... n 0 1 2 3 4 ... n
 Final de período – série postecipada Início de período – série antecipada
 END BEGIN
 
em que:
 n – número de períodos de capitalização de juros;
 i – taxa de juros em cada período de capitalização;
 PV – valor presente, capital inicial aplicado, principal;
 FV – valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização;
 PMT – pagamentos periódicos de mesmo valor, que ocorrem:
 no final de cada período (END), ou
 no início de cada período (BEGIN).
Fórmulas interligando PV, PMT e FV – convenção de final de período:
FV PV[(1 i) ] PV FV 1
(1 i)
PMT PV i(1 i)
(1 i) 1
n
n
n
n
= + =
+
=
+
+ −
PPV PMT (1 i)
i(1 i)
PMT FV i
(1 i)
FV PMT (1
n
n
n
=
+ −
+
=
+ −
=
+
1
1
ii)
i
n −1
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
XVI M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Observações:
 
o uso da convenção de início de período;
de tempo dos períodos (n);
valores monetários PV, FV e PMT);
registrado com o valor igual a zero.
1.1. Introdução
Este capítulo introduz os conceitos básicos e os principais fundamentos que nor-
teiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de flu xo de 
caixa e, ainda, as convenções e simbologias adotadas nas suas representações.
O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados 
e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo da Matemática Financeira.
1.2. Fluxo de Caixa – Conceitos e Convenções Básicas
Denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) 
ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de investimentos, de 
projetos, de operações financeiras etc.
A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e 
custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e 
investimentos.
A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros, ou es que-
ma ti ca men te, como na Figura 1.1:
FIGURA 1.1 Fluxo de caixa
 
Eixo horizontal: Tempo (Períodos)
( ) Pagamento� ( ) Recebimento�
0
$
1 2 3 n
( )�
$
( )�
$
( )�
$
( )�
...
1
Conceitos Básicos 
e Simbologia
Capítulo
2 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Em que são respeitadas as seguintes convenções:
a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expres-
so em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, 2, 3, ..., 
n substituem as datas de calendário, e são estipulados em funçãoda necessidade de 
indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 representa 
a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1o período e assim por diante;
b) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;
c) os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada perío do, 
dependendo da convenção adotada. Nenhum valor pode ser colocado ao longo 
dos períodos, uma vez que eles não são contínuos. Assim, quando os perío dos 
correspondem a trimestres, não há condição de se indicar um valor ao longo do 
trimestre. Uma solução possível, nesse caso, é diminuir a unidade de tempo dos 
períodos, por exemplo, para meses;
d) saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são repre-
sentadas por setas apontadas para baixo;
e) entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são 
representadas por setas apontadas para cima.
1.3. Juros
1.3.1. Conceito
Define-se juros como sendo a remuneração do capital, a qualquer título.
Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros:
 a) remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
 b) custo do capital de terceiros;
 c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.
1.3.2. Unidade de Medida 
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma 
unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia). 
Exemplos:
12% ao ano � 12% a.a.
4% ao semestre � 4% a.s.
1% ao mês � 1% a.m.
A obtenção do valor dos juros do período, em unidades monetárias, é sempre 
feita pela aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado. Assim, por exemplo, um 
3Capí tu lo 1 – Concei tos Básicos e Simbologia
capital de $1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a. proporciona, no final de 
um ano, um valor de juros igual a:
8% � $1.000,00 � (8/100) � 1.000,00 � $80,00
1.3.3. Regimes Adotados
Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como 
juros simples e juros compostos. 
No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, 
rende juros. Nesse regime os juros de cada período, que não forem pagos no final do 
período, não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguin-
tes. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. O regime de 
juros simples é apresentado nos Capítulos 2 e 3. 
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no 
final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos 
seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. O regime de juros compostos 
é apresentado nos Capítulos 2 e 4.
É importante ressaltar que a capitalização ou não de juros só tem sentido quando os 
juros do período não são pagos, pois, em havendo o pagamento dos juros do período, 
não há porque falar na sua capitalização.
1.4. O Valor do Dinheiro no Tempo
Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a 
$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos 
períodos, devido à taxa de juros por período.
Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% 
a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de 
$1.080,00 no final de um ano. 
Para uma taxa de juros de 8% a.a., é indiferente termos $1.000,00 hoje ou 
$1.080,00 daqui a um ano. 
Um capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na 
hipótese de a taxa de juros ser considerada igual a zero.
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, 
que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.
Eis os mandamentos fundamentais da Matemática Financeira que nunca podem 
deixar de ser observados:
 a) valores de uma mesma data são grandezas que podem ser comparadas e somadas 
algebricamente;
4 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 b) valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e so-
madas algebricamente após serem movimentadas para uma mesma data, com 
a correta aplicação de uma taxa de juros.
1.5. A Matemática Financeira
A Matemática Financeira tem como objetivos principais:
 a) a realização de cálculos em fluxos de caixa, com a correta aplicação de taxas 
de juros, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo;
 b) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita nos fluxos de caixa;
 c) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.
1.6. Moeda Estável e Inflação
Nos nove prim eiros capítulos, a matéria está desenvolvida na hipótese de moeda 
estável, isto é, assume-se que a moeda utilizada no fluxo de caixa mantém o mesmo 
poder aquisitivo ao longo do tempo. Essa moeda é genericamente representada pelo 
símbolo $, e pode corresponder ao real, ao dólar americano, à coroa sueca, ao euro, 
ou à moeda de qualquer país com economia estável.
O Capítulo 10 mostra os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa, segundo 
os Modelos Prefixado e Pós-Fixado. Os conceitos de Matemática Financeira, entretanto, 
são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda 
estável “forte”, como nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda “fraca”, que 
perde seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência da inflação.
A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor do percentual da 
taxa de juros a ser adotado em cada caso. É evidente que nenhum conceito de Matemá-
tica Financeira sofre qualquer alteração pela mera variação do valor da taxa de juros.
1.7. Simbologia Adotada
A simbologia e a convenção utilizadas em todo o compêndio para os diversos 
elementos de um fluxo de caixa, tal como nas edições anteriores, são idênticas àquelas 
adotadas pela HP-12C, calculadora financeira de grande uso no mercado.
As grandezas monetárias podem ser representadas no fluxo de caixa de acordo com as 
convenções de final de período e de início de período, que são apresentadas a seguir.
1.7.1. Convenção de Final de Período – Série PMT Postecipada 
A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo 
o Diagrama Padrão, indicado a seguir:
5Capí tu lo 1 – Concei tos Básicos e Simbologia
FIGURA 1.2 Convenção de final de período – série PMT postecipada – diagrama padrão
 
Pela convenção de final de período, todos os valores monetários que ocorrem du-
rante um período são indicados no final do período correspondente, uma vez que não 
podem ser representados ao longo dos períodos, pois os mesmos não são contínuos. 
Os elementos desse Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa estão definidos a seguir.
Calculadora HP-12C
A Calculadora HP-12C adota as seguintes convenções e simbologias para definir 
os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa:
 n Número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semes-
tres, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 2, 3… 
 Assim, por exemplo, se os períodos correspondem a meses temos:
n � 0 indica a data de hoje, ou a data do início do 1o mês;
n � 1 indica a data do final do 1o mês e assim por diante.
 i Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem, e 
sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, 
trimestre, mês ou dia). Por exemplo:
i = 10% ao ano = 10% a.a. = 10/100 = 0,10
 PV Valor presente (“Present Value”), ou seja, valor do capital inicial (principal) 
aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor monetário 
colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente a n = 0.
 FV Valor futuro (“Future Value”), ou seja, valor do montante acumulado no 
final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representa, 
na escala horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas datas 
futuras, isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3…
0
i
PV
1 2 3 n
PMT
FV
n 1�
i i i i i
...
6 M a te m á t i c a F i n a n c e i r a
 PMT Valor de cada prestação da Série Uniforme (“Periodic PayMenT”) que 
ocorre no final de cada período (Série Postecipada). Representa, na es-
cala horizontal do tempo, o valor de cada uma das prestações iguais que 
ocorrem no final dos períodos 1, 2, 3… Por exemplo, num financiamento 
com prazo de 12 meses, a ser pago em 12 prestações mensais de $600,00, 
o valor de PMT é igual a $600,00.
Em relação aos elementos do Diagrama Padrão são relevantes os seguintes 
comentários:
 a) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, por exemplo, 
todos os meses têm a mesma duração de 30 dias;
 b) a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coin-
cidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de 
períodos n;
 c) os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral, apenas 
quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros 
i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a serem relacionados 
podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT. Existem, entretanto, 
alguns problemas em que os cinco elementos estão relacionados;
 d) as fórmulas deste compêndio são desenvolvidas apenas para esse Diagrama 
Padrão, com a convenção de final de período. Os problemas que se enquadram 
nessa situação têm solução imediata. Os demais problemas são enquadrados 
nesse Diagrama Padrão mediante desdobramentos e outros artifícios que não 
alteram o enunciado do problema;
 e) a Calculadora HP-12C, apresentada no Apêndice A, está preparada para resol-
ver os problemas que se enquadram nesse Diagrama Padrão, com a convenção 
de final de período. Ressaltamos os seguintes pontos relevantes:
que a função END esteja ativa (acionar as teclas g e END, e verificar que 
a palavra BEGIN não esteja indicada no visor);
-
nários. Por exemplo, n pode ser registrado em anos, fração de ano, fração 
de mês etc.; 
do número 8 na tecla correspondente a i. A calculadora, internamente, faz 
as operações com 8%, isto é, com 8/100 � 0,08;
inclusão ou exclusão da letra C é feita pelo acionamento sequencial das 
teclas STO e EEX, para que realize todos os cálculos a juros compostos, 
independente do valor de n ser um número inteiro ou fracionário;
7Capí tu lo 1 – Concei tos Básicos e Simbologia
sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, as entradas de caixa 
(re cebimentos) devem ter o sinal positivo (�), e as saídas de caixa (paga-
mentos) devem ter o sinal negativo (�);
exemplo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a seguinte relação: 
 PV � valor presente de FV � valor presente de PMT (1.1)
com o registro do número zero para o elemento monetário (PV, FV ou PMT) 
que não participa do problema.
ser revistos a qualquer tempo. Para isso basta acionar a tecla RCL e em 
seguida o elemento cujo valor se pretende revisar. Exemplo: RCL PV traz 
para o visor da HP-12C o valor contido da tecla PV.
Planilha Eletrônica Excel
A Planilha Eletrônica Excel, apresentada no Apêndice B, dispõe de funções 
financeiras básicas que têm exatamente as mesmas definições e convenções da HP-12C. 
Na sua versão em português, a Planilha Excel batiza os elementos financeiros do 
Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa (Figura 1.2) de forma diferente da HP-12C, 
conforme mostramos a seguir:
 a) número de períodos de capitalização
n;
NPER;
 b) taxa de juros por período de capitalização
i;
TAXA;
 c) valor presente ou “Present Value”
PV;
VP;
 d) valor futuro ou “Future Value”
FV;
VF;
 e) valor de cada prestação da série uniforme
PMT;
PGTO.
8 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Os parâmetros das funções financeiras básicas do Excel estão indicados a seguir:
TABELA 1.1
Função 
Financeira do 
Excel
Parâmetros da Função do Excel
VP (TAXA; NPER; PGTO; VF; TIPO)
VF (TAXA; NPER; PGTO; VP; TIPO)
PGTO (TAXA; NPER; VP; VF; TIPO)
TAXA (NPER; PGTO; VP; VF; TIPO; ESTIMATIVA)
NPER (TAXA; PGTO; VP; VF; TIPO)
A Planilha Eletrônica Excel, apresentada no Apêndice B, tem amplas condições 
de resolver os problemas que se enquadram no Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa, 
com a convenção de final de período, e são relevantes os seguintes pontos: 
 a) para que as funções financeiras da planilha Excel utilizem a convenção de final 
de período, é necessário que o parâmetro TIPO seja igual a zero. Na ausência 
dessa informação, as funções financeiras do Excel assumem essa condição, e 
as operações são realizadas segundo essa convenção;
 b) os valores do número de períodos NPER podem ser números inteiros ou fra-
cionários;
 c) os valores monetários (VP, VF e PGTO) devem ser registrados na planilha de 
acordo com a convenção de sinal também adotada pela HP-12C;
 d) as funções financeiras do Excel, tal como na HP-12C, sempre interligam os 
cinco elementos (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF). Por exemplo, a função 
financeira VP sempre calcula a seguinte relação:
(1.2)
 e) os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com 
o registro do número zero para o elemento monetário (VP, PGTO ou VF) que 
não participa do problema, tal como na HP-12C.
VP � valor presente de VF � valor presente de PGTO
9Capí tu lo 1 – Concei tos Básicos e Simbologia
1.7.2. Convenção de Início de Período – Série PMT Antecipada 
A representação dos fluxos de caixa, de acordo com essa convenção, se faz segundo 
o diagrama mostrado a seguir:
Pela convenção de início de período, todos os valores monetários que ocorrem 
durante um período são indicados no início do período correspondente, uma vez que 
não podem ser representados ao longo dos períodos, pois eles não são contínuos. 
Em relação ao diagrama da Figura 1.3, destacamos que os cinco elementos do fluxo 
de caixa (n, i, PV, FV e PMT) têm definições idênticas às do Diagrama Padrão, exceto 
com relação ao posicionamento dos valores monetários, que, agora, são colocados no 
início de cada período. 
São, portanto, válidos todos os comentários anteriores a respeito do relaciona-
mento dessas grandezas, exceto com referência aos pontos destacados a seguir:
 a) a convenção de início de período não altera as posições relativas de PV e FV 
usadas no Diagrama Padrão. Observar que nas duas convenções (início e final 
de períodos) a distância relativa entre PV e FV é sempre igual a n períodos;
 b) de acordo com essa convenção, a Série Uniforme PMT passa a ser antecipada, 
pois as prestações ocorrem no início de cada período de capitalização de juros;
 c) a HP-12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a Série Anteci-
pada, bastando, para isso, que a calculadora esteja com a função BEG ativa (acionar 
as teclas g e BEG, e verificar que a palavra BEGIN esteja indicada no visor);
 d) a Planilha Excel tem amplas condições de resolver os problemas que envolvam 
a Série Antecipada, bastando, para isso, que o parâmetro TIPO das funções 
financeiras seja fixado com valor igual a um. Na ausência dessa informação, 
as funções financeiras assumem a condição de Série Postecipada (TIPO= 0).
1.7.3. Simulador da HP-12C
No Apêndice B, foi desenvolvido um Simulador da HP-12C com as funções fi-
nanceiras básicas (NPER, TAXA, VP, PGTO e VF) da Planilha Excel, cujo arquivo 
eletrônico pode ser encontrado no “CD do Leitor”.
0
i
PV
1 2 3 n
PMT
FV
n 1�
i i i i i
...
FIGURA 1.3 Convenção de início de período – série PMT antecipada 
10 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Um ícone do simulador pode ser colocado no plano de fundo do seu micro e, ao 
acioná-lo, uma HP-12C simulada estará disponível, para realizar as operações usuais 
do mercado financeiro.
Esse Simulador da HP-12C tem as funções financeiras básicas do Excel e os seus 
respectivos parâmetros colocados de uma forma horizontal predefinida na mesma 
sequência das teclas da HP-12C, conforme mostra o esquema a seguir:
SIMULADOR DA HP-12C – CÁLCULO DE PMT
Em relação a esse simulador da HP-12C, destacamos os seguintes pontos:
 a) foi desenvolvido com as funções financeiras da Planilha Excelatendendo às 
mesmas condições do Diagrama Padrão da Figura 1.2;
 b) a representação do fluxo de caixa respeita a convenção de final do período, e, 
portanto, o simulador só considera a série postecipada;
 c) os dados a serem inseridos pelos usuários, ou seja, os valores correspondentes 
a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa são colocados na linha 
inferior da tabela e podem ser registrados em qualquer ordem de entrada;
 d) os parâmetros financeiros (PV, PMT e FV) devem ser registrados de acordo 
com a convenção de sinal;
 e) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não fizer parte do problema deve 
ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir no resultado; 
 f) a célula em destaque é sempre aquela que contém a função financeira do Excel 
e que dispara o cálculo da operação desejada. É nessa célula que aparece o valor 
da solução do problema:
PMT. É abaixo 
dela que inserimos a função PGTO do Excel para realizar o cálculo da presta-
ção postecipada, a partir dos demais parâmetros, localizados horizontalmente 
ao seu lado. O parâmetro TIPO não é informado e passa a ser assumido como 
zero, como exigido no cálculo da prestação postecipada; 
-
ponder à tecla PMT da HP-12C, apesar de o Excel utilizar a nomenclatura 
PGTO;
 g) o número de períodos de capitalização é representado por n na parte superior 
do simulador, para corresponder à tecla n da HP-12C:
n PV PMTi FV
 x x,xx xx.xxx,xx xx.xxx,xx xx.xxx,xx
11Capí tu lo 1 – Concei tos Básicos e Simbologia
 
número inteiro ou fracionário, o que facilita a tarefa de compatibilizar as uni-
dades referenciais de tempo para a taxa de juros e o número de períodos;
do Excel colocada na célula inferior correspondente, que é apresentada em 
destaque. O resultado obtido pelo simulador por essa função não é arredon-
dado para o primeiro número inteiro superior como faz a HP-12C;
 h) a taxa de juros por período de capitalização é representada por i na parte su-
perior do simulador, para corresponder à tecla i da HP-12C:
deve ser informada pelo registro do número 8. Internamente, o simulador, 
tal como a HP-12C, converte esse número para 8/100= 8%;
pela função TAXA do Excel, colocada na célula inferior correspondente, 
que é apresentada em destaque;
TAXA, que realiza o cálculo da taxa de juros tem um parâmetro 
adicional denominado ESTIMATIVA, que corresponde à estimativa inicial 
para o valor da taxa de juros, obtida por um processo interativo. No si mu-
lador, o parâmetro ESTIMATIVA é fixado automaticamente pelo método 
dos juros médios apresentado no item 8.2.6, do Capítulo 8; 
 i) o valor presente é representado por PV na parte superior do simulador, para 
corresponder à tecla PV da HP-12C:
pela função VP do Excel, colocada na célula inferior correspondente, que é 
apresentada em destaque;
 j) o valor futuro é representado por FV na parte superior do simulador, para 
corresponder à tecla FV da HP-12C:
função VF do Excel, na célula inferior correspondente, que é apresentada 
em destaque.
Esse simulador também pode ser considerado como uma representação esquemática 
da própria calculadora, na medida em que apresenta na sua parte superior as teclas n, 
i, PV, PMT e FV e na sua parte inferior o visor da HP-12C.
Pelo fato de o simulador ter essa dupla função, é utilizado constantemente como 
uma forma didática de representar os dados dos problemas, seja na solução pela HP-12C 
seja pelas funções financeiras do Excel. O uso sistemático do simulador fará com que o 
usuário, de uma maneira espontânea, associe a teoria acima explicada com a utilização 
prática da calculadora HP-12C e/ou da planilha eletrônica Excel. 
12 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Para o usuário que estiver utilizando a sua calculadora HP-12C para o acom-
panhamento dos exemplos e problemas propostos pelo livro, ou seja, utilizando o 
simulador como uma mera representação gráfica da sua calculadora, destacamos os 
seguintes comentários:
 a) a HP-12C deve estar operando com a função END para realizar os cálculos 
somente com a prestação postecipada, e com a letra C mostrada no visor para 
que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos, conforme explicado 
no Apêndice A. A inclusão ou exclusão da letra C é feita pelo acionamento 
sequencial das teclas STO e EEX.
 b) na parte inferior, são colocados os valores correspondentes a cada um dos res-
pectivos elementos do fluxo de caixa, que podem ser registrados em qualquer 
ordem de entrada;
 c) os parâmetros financeiros (PV, PMT e FV) devem ser registrados de acordo 
com a convenção de sinal;
 d) o parâmetro financeiro (PV, PMT ou FV) que não faz parte do problema deve 
ter o seu valor registrado como “zero”, para não interferir no resultado; 
 e) a célula em destaque indica que a tecla do parâmetro correspondente é a última 
a ser acionada, e que dispara o cálculo da operação desejada, e mostra a solução 
do problema. 
1.8. O Enfoque Adotado 
A Matemática Financeira pode ser estudada com ênfase nos seus aspectos teóricos 
e, nesse caso, o leitor precisa ter um bom embasamento de matemática para poder 
acompanhar o desenvolvimento da matéria, e entender as notações algébricas e 
simbologias complexas comumente adotadas.
O enfoque adotado neste livro é totalmente prático, a fim de exigir do leitor um 
conhecimento de matemática bastante reduzido. Os conceitos são ilustrados com 
problemas reais que ocorrem frequentemente no mercado. Após o entendimento dos 
exemplos numéricos é que, quando necessário, se faz o estudo teórico para a obtenção 
de fórmulas genéricas. 
A simbologia adotada também visa a simplicidade e a abrangência de sua aplicação. 
Assim, não se utiliza nenhuma nomenclatura matemática, mas sim uma simbologia 
mnemônica simples e de fácil assimilação, que é a mesma adotada pela calculadora 
HP-12C e pela planilha eletrônica Excel. 
2.1. Introdução
Este capítulo apresenta os conceitos de juros simples e compostos e, por meio de 
exemplos numéricos, mostra como se comporta o crescimento do dinheiro ao longo 
do tempo nesses dois regimes de juros. 
O regime de juros simples é apresentado em detalhe no próximo capítulo, e o regime 
de juros compostos é estudado ao longo de todo o livro, pois este é na realidade o único 
regime universalmente aceito como correto, e é nele que estão embasados todos os 
conceitos de Matemática Financeira que são utilizados na análise de fluxos de caixa.
2.2. Juros Simples – Crescimento Linear
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em 
função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período, que não forem 
pagos no final do período, não são somados ao capital para o cálculo de novos juros 
nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não ren-
dem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. É como se fossem duas contas 
independentes: uma conta para o principal, que rende juros, e uma outra conta para 
o rendimento dos juros do principal, que não rende juros. Os exemplos numéricos a 
seguir servem para fixar esse conceito.
2.2.1. Exemplos Numéricos de Juros Simples 
Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro Anos 
Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, 
pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros 
simples. Calcule o valor do saldo credor desse investidor no Banco ABC no final de 
cada um dos quatro anos da operação.
2
Juros Simples e 
Compostos – Conceitos
Capítulo
14 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A representação gráfica dos valores da Tabela 2.1 é mostrada a seguir:
Em relação à Figura 2.1, são válidos os seguintes comentários:
 a) o ponto 1 da escala representa o final do 1o ano e o início do 2o ano, o ponto 
2 representa o final do 2o ano e o início do 3o ano, e assim por diante;
 b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.160,00, $1.240,00 
e $1.320,00) representam um crescimento linear do capital inicialde $1.000,00 
(principal). Observar que cada valor é obtido pela soma de uma razão cons-
tante de $80,00 (� 8% � $1.000,00) sobre o valor anterior. Neste capítulo, é 
desenvolvida a equação genérica do crescimento do dinheiro a juros simples. 
Assim, pode-se afirmar: 
aritmética ao longo do tempo.
Solução:
A Tabela 2.1, de fácil compreensão, contém os valores solicitados.
Saldo
($)
1.400,00
1.300,00
1.200,00
1.100,00
1.000,00
0 1 2 3
Juros simples
(Linear)
Anos4
FIGURA 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
TABELA 2.1 Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a.
Ano
Saldo no 
início do 
ano
Juros do ano
Saldo no final 
do ano antes 
do pagamento
Pagamento 
do ano
Saldo no final 
do ano após o 
pagamento
1 1.000,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00
2 1.080,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.160,00 0,00 1.160,00
3 1.160,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.240,00 0,00 1.240,00
4 1.240,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00
15Capí tu lo 2 – Juros Simples e Compostos – Concei tos
É importante ressaltar que o Banco ABC sempre aplicou a taxa de 8% ao ano 
sobre o capital inicial de $1.000,00 (principal), embora os juros de cada ano ficas sem 
retidos no banco. Assim, apesar de os juros permanecerem no Banco ABC, nunca 
foram remunerados por aquela instituição durante todo o prazo da operação.
Banco ABC – Juros Simples – Dois Investimentos de Dois Anos 
Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo 
prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. 
Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar 
esse valor no próprio Banco ABC, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a 
aplicação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2a operação.
Solução: 
O quadro do problema anterior informa que o valor do saldo credor desse inves-
tidor no Banco ABC, no final de dois anos, é de $1.160,00. 
 Esse valor passa a ser o principal da 2a operação, que tem um rendimento anual 
de juros igual a 8% × $1.160,00 = $92,80. O montante acumulado no final da 2a 
operação é, portanto, igual a:
 FV � 1.160,00 � 2 � 92,80 � $1.345,60 
Observe que esse montante é $25,60 superior ao montante de $1.320,00 obtido na 
Seção anterior, em que o investimento de $1.000,00 foi feito no banco ABC pelo prazo 
de quatro anos. A razão desse incremento é porque os juros dos primeiros dois anos 
($160,00) passaram a render juros anuais de 8% × $160,00 = $12,80 nos últimos dois 
anos. Isso só aconteceu porque o saldo de $1.160,00, no final do 2o ano, passou a ser o 
principal da segunda operação. 
2.3. Juros Compostos – Crescimento Exponencial
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no 
final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos 
seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. Assim, os 
juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo 
período, e não apenas sobre o capital inicial (principal) aplicado. Os exemplos nu-
méricos a seguir servem para fixar esse conceito.
2.3.1. Exemplos Numéricos de Juros Compostos 
Banco XYZ – Juros Composto s – Um Investimento de Quatro Anos
Vamos agora considerar que o investidor do exemplo anterior tivesse aplicado 
$1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao 
ano, no regime de juros compostos. Calcule o valor do saldo credor desse investidor 
no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos da operação.
16 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A representação gráfica dos valores da Tabela 2.2 está indicada na Figura 2.2, 
juntamente com o gráfico da Figura 2.1, a juros simples, visando comparar os dois 
regimes de juros.
Em relação à Figura 2.2 são válidos os seguintes comentários:
 a) o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples;
 b) os valores dos saldos no final dos quatro anos ($1.080,00, $1.166,40, $1.259,71 
e $1.360,49) representam um crescimento exponencial do capital inicial de 
$1.000,00 (principal). Verificar que cada valor é obtido a partir do valor an-
terior pela multiplicação de uma razão constante igual a 1,08 (� 1,00 � 8%). 
No Capítulo 3, é desenvolvida a relação genérica do crescimento do dinheiro 
a juros compostos. Assim, pode-se afirmar: 
progressão geométrica ao longo do tempo.
Juros compostos
(Exponencial)
Saldo
($)
1.400,00
1.300,00
1.200,00
1.100,00
1.000,00
0 1 2 3 4 Anos
Juros simples
(Linear)
TABELA 2.2 Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.
FIGURA 2.2 Crescimento de $1.000,00 no tempo: juros simples e compostos de 8% a.a.
Ano
Saldo no 
início do 
ano
Juros do ano
Saldo no final 
do ano antes 
do pagamento
Pagamento 
do ano
Saldo no final 
do ano após o 
pagamento
1 1.000,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00
2 1.080,00 8% x 1.080,00 = 86,40 1.166,40 0,00 1.166,40
3 1.166,40 8% x 1.166,40 = 93,31 1.259,71 0,00 1.259,71
4 1.259,71 8% x 1.259,71 = 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00
Solução: 
A Tabela 2.2 contém os valores solicitados. 
17Capí tu lo 2 – Juros Simples e Compostos – Concei tos
É importante destacar que o Banco XYZ sempre aplicou a taxa de 8% ao ano sobre 
o saldo existente no início de cada período. Assim, após cada período, os juros são 
incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. A esse processo 
dá-se o nome de capitalização de juros, e o período de tempo considerado é deno-
minado período de capitalização. As capitalizações podem ocorrer anualmente, 
semestralmente, trimestralmente, mensalmente e até diariamente. 
Em resumo, pode-se concluir que:
 a) a juros simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o capital 
inicial aplicado (principal), não havendo incidência de juros sobre juros;
 b) a juros compostos, os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo 
existente no início do respectivo período, havendo incidência de juros sobre juros.
Nos exemplos apresentados, os montantes disponíveis para o investidor, no final 
do 4o ano, estão na Tabela 2.3:
TABELA 2.3
Banco Regime de juros Valor no 4o ano
XYZ Juros compostos $1.360,49
ABC Juros simples $1.320,00
Diferença – $40,49
Essa diferença de $40,49 corresponde ao rendimento de juros sobre juros propor-
cionado pelo Banco XYZ, que opera no regime de juros compostos.
Banco XYZ – Juros Compostos – Dois Investimentos de Dois Anos
Considere-se o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco XYZ, pelo 
prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compos-
tos. Ao resgatar esse investimento no final de dois anos, o investidor decide reaplicar 
esse valor no próprio Banco XYZ, por mais dois anos, nas mesmas condições da 1a 
operação. Calcule o montante acumulado no final dessa 2a operação.
Solução: 
Pela Tabela 2.2, temos que o valor do saldo credor desse investidor no Banco XYZ, 
no final de dois anos, é de $1.166,40. 
Esse valor passa a ser o principal da 2a operação, cujos saldos acumulados são os 
seguintes:
 a) no final do 1o ano da 2a operação (final do 3o ano): 
 FV � 1.166,40 � 1.166,40 � 8% � 1.166,40 � 93,31 � $1.259,71 
18 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 b) no final do 2o ano da 2a operação (final do 4o ano): 
 FV � 1.259,71 � 1.259,71 � 8% � 1.259,71 � 100,78 � $1.360,49
Observe que esse montante é exatamente igual ao montante do investimento a juros 
compostos, com o prazo de quatro anos. A razão dessa igualdade é porque, no regime de 
juros compostos, os saldos do início de cada período é que são remunerados com a taxa 
de juros do respectivo período. Ou seja, a operação de quatro anos é equivalente às duas 
operações deste exemplo numérico, desde que a 2a operação seja realizada nas mesmas 
condições da 1a. 
Banco ABC – Pagamento de Juros Periódicos – Um Investimento de Quatro Anos 
Vamos agora assumir que o Banco ABC permita que o investidor retireos $80,00 
de juros anuais no final de cada ano, ao longo dos quatro anos. No final do 4o ano, 
além dos juros anuais, o investidor retira ainda o principal de $1.000,00. Em que 
regime de juros passa a operar o Banco ABC? Simples ou compostos?
Solução:
A resposta é que o Banco ABC passa a operar a juros compostos, pois os juros de 
cada período passam a ser calculados sobre os saldos existentes no início dos respec-
tivos períodos. Senão vejamos:
 a) no final do 1o ano, os juros de $80,00 são creditados, elevando o saldo para 
$1.080,00, e imediatamente retirados pelo investidor, fazendo o saldo retornar ao 
valor de $1.000,00. Assim, não há possibilidade de os juros serem capitalizados, vol-
tando a base de cálculo para o 2o ano a ser o saldo remanescente de $1.000,00;
 b) no final dos anos seguintes, o processo se repete, garantindo que o Banco ABC 
remunerou em cada período o saldo existente à disposição do banco no início 
do respectivo período.
E o investidor, quanto terá acumulado no final dos quatro anos? 
Solução:
A resposta a essa pergunta depende da utilização que o investidor resolva dar aos 
juros recebidos no final de cada ano. Assim:
 a) se o investidor meramente guardar os juros recebidos no cofre de sua casa, o 
total acumulado no final de quatro anos será de $1.320,00. Isso corresponde 
a só retirar os juros do Banco ABC no final do 4o ano e voltar à situação em 
que o banco opera a juros simples, pelo prazo de 4 anos;
 b) se cada parcela de juros retirada do Banco ABC for aplicada pelo investidor 
no Banco XYZ, a juros compostos de 8% ao ano e pelo prazo necessário para 
completar os quatros anos, o total acumulado no final do 4o ano será de 
$1.360,49. Isso equivale a aplicar os $1.000,00 iniciais no Banco XYZ, a juros 
compostos, pelo prazo de quatro anos. A reaplicação dos juros é que produzirá 
o resultado adicional de $40,49, para fazer o montante de $1.320,00 atingir 
19Capí tu lo 2 – Juros Simples e Compostos – Concei tos
o valor de $1.360,49 no final do 4o ano. A Tabela 2.4 mostra o resultado dessas 
operações:
TABELA 2.4
Ano
Banco ABC Banco XYZ
Aplicação 
inicial
Retiradas 
anuais
Juros do 1o ano Juros do 2o ano Juros do 3o ano
Aplicação Saldos Aplicação Saldos Aplicação Saldos
0 1.000,00
1 80,00 80,00
2 80,00 86,40 80,00
3 80,00 93,31 86,40 80,00
4 1.080,00 100,78 93,31 86,40
Assim, a situação do investidor no final do 4o ano pode ser vista na Tabela 2.5: 
TABELA 2.5
Disponível Receita de reaplicações
a) No Banco ABC 1.080,00
b) No Banco XYZ
 Saldo da 1a reaplicação 100,78 20,78
 Saldo da 2a reaplicação 93,31 13,31
 Saldo da 3a reaplicação 86,40 6,40
Soma 1.360,49 40,49
As receitas de reaplicações totalizam exatamente $40,49, porque as taxas de 
reaplicações são iguais a 8% ao ano. Essas receitas serão superiores ou inferiores a 
esse valor caso as taxas de reaplicações sejam maiores ou menores que 8% ao ano, 
respec tivamente.
2.4. Análise dos Exemplos Numéricos
Com a finalidade de reforçar os conceitos de juros simples e juros compostos, 
vamos analisar os fluxos de caixa dos exemplos numéricos anteriores.
20 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 1a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro Anos.
Neste caso, o fluxo de caixa do investidor está representado na Figura 2.3:
O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.320,00 no final de quatro anos 
está fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros simples. 
Esse fluxo de caixa, se for analisado pela ótica do regime de juros compostos, 
que é a visão correta, necessariamente oferece uma taxa de juros menor do que 8% 
ao ano, porque a juros compostos de 8% ao ano o montante acumulado no final do 
4o ano é de $1.360,49 (o rendimento desse investimento, a juros compostos, é de 
7,19% ao ano).
 2a Situação: Banco XYZ – Juros Compostos – Um Investimento de Quatro 
Anos.
Neste caso, o fluxo de caixa do investidor está representado a seguir:
 
O investidor que aplicar $1.000,00 para receber $1.360,49 no final de quatro 
anos es tá fazendo um investimento a uma taxa de 8% ao ano, no regime de juros 
compostos. 
Este fluxo de caixa, analisado pela ótica do regime de juros simples, que é uma visão 
incorreta, oferece uma taxa de juros maior do que 8% ao ano, porque a juros simples 
de 8% ao ano o montante acumulado no final do 4o ano é de $1.320,00 (o rendimento 
desse investimento, a juros simples – é de 9,01% ao ano).
( ) 1.000,00� ( ) 1.320,00�
0 1 2 3 4 Anos
( ) 1.000,00� ( ) 1.360,49�
0 1 2 3 4 Anos
FIGURA 2.3 Banco ABC – Juros simples de 8% a.a. – Um investimento de quatro anos
FIGURA 2.4 Banco XYZ – Juros compostos de 8% a.a. – Um investimento de quatro anos
21Capí tu lo 2 – Juros Simples e Compostos – Concei tos
 3a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Dois Investimentos de Dois Anos.
As duas operações de dois anos realizadas no Banco ABC, no regime de juros 
simples, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor: 
O montante acumulado no final do 4o ano, pelas duas operações de dois anos, é 
maior do que o montante da operação de quatro anos. Este acréscimo ocorre porque, 
com duas operações de dois anos, o montante do final do 2o ano passa a ser o prin-
cipal da 2a operação de dois anos no Banco ABC, a juros simples. Com isso, os juros 
dos primeiros dois anos passam a render juros nos últimos dois anos da 2a operação, 
e justificam esse acréscimo de valor. 
 4a Situação: Banco ABC – Juros Simples – Quatro Investimentos de Um Ano.
Caso o investidor consiga realizar quatro operações de um ano no Banco ABC, a 
juros simples de 8% ao ano, os saldos no final de cada ano serão reaplicados no ano 
seguinte, com o nome de principal, e os juros de cada ano passarão a render juros 
nos anos seguintes, de forma idêntica ao regime de juros compostos. Nesse caso, o 
principal de $1.000,00 conseguirá produzir o mesmo montante de $1.360,49, desde 
que as taxas de juros das reaplicações sejam iguais a 8% ao ano.
 5a Situação: Banco XYZ – Juros Compostos – Dois Investimentos de Dois Anos.
As duas operações de dois anos realizadas no Banco XYZ, no regime de juros 
compostos, têm os seguintes fluxos de caixa para o investidor: 
0 1 2 3 4 Anos
( )1.000,00�
(�)1.166,40
(�)1.166,40 ( )1.360,49�
0 1 2 3 4 Anos
( )1.000,00�
( )1.160,00�
( )1.160,00� ( )1.345,60�
FIGURA 2.5 Banco ABC – Juros simples de 8% a.a. – Dois investimentos de dois anos
FIGURA 2.6 Banco XYZ – Juros compostos de 8% a.a. – Dois investimentos de dois anos
22 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Repare que o montante que acabamos de observar na Figura 2.6 é igual ao calcu-
lado na 2a situação. Isso acontece porque, a juros compostos, a operação de quatro 
anos é absolutamente equivalente às duas operações de dois anos, desde que as taxas 
de juros das operações sejam iguais. No regime de juros compostos, são os saldos de 
cada período que são remunerados pelas taxas de juros de cada período. Dessa forma, 
os juros dos dois primeiros anos são igualmente remunerados nos dois últimos anos 
da operação de quatro anos, ou nos dois anos da 2a operação, desde que as taxas de 
juros sejam idênticas.
6a Situação: Banco ABC – Pagamento Periódico de Juros.
Neste caso, com o Banco ABC pagando os juros periodicamen te, no final de cada 
ano, o fluxo de caixa do investidor é o seguinte:
 
O Banco ABC está, rigorosamente, operando com juros compostos de 8% ao ano 
nesse investimento, pois está remunerando o saldo inicial de cada período a essa taxa, 
ao longo dos quatro anos da operação.
O montante acumulado pelo investidor no final do 4o ano depende da taxa de 
juros obtida nas reaplicações dos valores recebidos no final de cada ano. Se todas as 
reaplicações forem feitas a 8% ao ano, a juros compostos, o montante acumulado no 
final do 4o ano será igual a $1.360,49.
2.5. Conclusão
Neste capítulo, apresentamos operações com juros simples e com juros compostos, 
com o objetivo de deixar bem claro que o regime de juros simples é totalmenteincor-
reto e que nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de fluxos de caixa, pois 
somente o capital inicial (principal) é que é remunerado com juros.
Na prática, entretanto, os juros simples são utilizados pelo mercado, pela facilidade 
de cálculo, e porque aumentam ficticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações 
financeiras e reduzem ficticiamente o custo efetivo dos financiamentos. Aplicar 
$1.000,00, para receber $1.440,00 no final de dois anos, representa uma aplicação 
financeira com rentabilidade de 20% ao ano, a juros compostos, ou com rentabilidade 
de 22% ao ano, a juros simples. 
0 1 2 3 4 Anos
( )1.000,00�
( )80,00�
( )1.000,00�
( )80,00� ( )80,00� ( )80,00�
FIGURA 2.7 Banco ABC – Juros compostos de 8% a.a. – Pagamento periódico de juros
23Capí tu lo 2 – Juros Simples e Compostos – Concei tos
Recomendamos a seguinte linha de ação para uma análise correta de qualquer 
operação financeira:
 a) obtenha o fluxo de caixa da operação, a partir de uma análise cuidadosa dos 
dados fornecidos. Somente nesta fase é que os juros simples podem ser utiliza-
dos, se necessário, exclusivamente com a finalidade de obtenção dos valores 
do fluxo de caixa da operação;
 b) efetue todos os cálculos e análises do fluxo de caixa exclusivamente no regime 
de juros compostos.
Em resumo, os juros simples só devem ser utilizados na obtenção dos fluxos de 
caixa das operações financeiras, quando o enunciado do problema implicar a adoção 
desse regime de juros.
Uma vez obtido o fluxo de caixa da operação financeira, ele só deve ser analisado 
e comparado com fluxos de caixa de outras operações financeiras, no regime de juros 
compostos.
A utilização do regime de juros simples na análise e comparação de fluxos de caixa 
é totalmente contraindicada e pode levar a decisões erradas, provocando prejuízos 
desnecessários.
2.6. Problemas Propostos
1. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros simples. Mostre o 
crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação 
dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no 
final do 6o trimestre, após a efetivação do último depósito.
2. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostre o 
crescimento desse capital no final de cada trimestre, a contar da data da aplicação 
dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no 
final do 6o trimestre, após a efetivação do último depósito.
3. Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre. Entretanto, os juros são pagos trimes-
tralmente, de acordo com a taxa prometida. Assim, esse investidor poderá retirar 
dessa instituição, no final de cada trimestre, a quantia de $50,00, a título de juros 
dessa aplicação financeira. Pergunta-se:
 a) Essa instituição financeira está remunerando seus depósitos a 5% ao trimestre 
no regime de juros simples ou de juros compostos?
 b) Qual será o montante acumulado por esse investidor, no final do 6o trimestre, se:
 b.1) o investidor não reaplicou os juros recebidos no final de cada trimestre?
 b.2) o investidor reaplicou os juros recebidos trimestralmente, a uma mesma taxa de 
5% ao trimestre, com todas as reaplicações vencendo no final do 6o trimestre?
3.1. Introdução
Neste capítulo, vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples e mostrar 
suas aplicações por meio de exemplos numéricos. 
O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas 
operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e serve para reduzir 
ou aumentar ficticiamente a taxa de juros compostos das operações, o que facilita 
a tarefa de colocação dos produtos para investidores e/ou tomadores de recursos 
financeiros.
Juros simples só devem ser utilizados para a obtenção do fluxo de caixa da opera-
ção financeira, quando ela for contratada nesse regime de juros. A partir dos valores 
do fluxo de caixa, deve-se utilizar o regime de juros compostos para se fazer sua cor-
reta avaliação e tomada de decisão. 
3.2. Capitalização Simples 
A rigor, o processo da capitalização só ocorre no regime de juros compostos, em 
que os juros se transformam em capital e passam a render juros.
 Entretanto, é comum o emprego da expressão “capitalização simples” para se 
referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples.
3.2.1. Dedução da Expressão Genérica
A expressão genérica do Valor Futuro (FV), no regime de juros simples, em função 
dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado na Figura 3.1, que 
obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.
3
Juros Simples – 
Fórmulas Básicas
Capítulo
26 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação 
da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o 
mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:
juros de cada período : PV � i 
juros de n períodos : n � PV � i
O valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV, 
durante n períodos, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros simples, 
é obtido pela expressão:
FV � montante � principal � juros � PV � n � PV � i 
ou seja: 
 FV � PV (1 � i � n) (3.1)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade 
referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
3.2.2. Verificação da Expressão Genérica 
A Expressão Genérica (3.1) pode ser verificada pela reprodução dos valores obtidos 
no Problema “Banco ABC – Juros Simples – Um Investimento de Quatro anos”, da 
Seção 2.2.1, do Capítulo 2, em que são utilizados os seguintes parâmetros:
 PV � $1.000,00
 n � 8% ao ano
O montante FV, no final de cada ano, está demonstrado na Tabela 3.1:
i
PV FV
i i i i i
 FIGURA 3.1 Capitalização simples: taxa de juros i – desconto “por dentro”
TABELA 3.1
Final do Valor de n Valor de FV ($) 
1o ano n � 1 FV � 1.000,00 (1 � 0,08 � 1) � 1.080,00
2o ano n � 2 FV � 1.000,00 (1 � 0,08 � 2) � 1.160,00
3o ano n � 3 FV � 1.000,00 (1 � 0,08 � 3) � 1.240,00
4o ano n � 4 FV � 1.000,00 (1 � 0,08 � 4) � 1.320,00
27Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
3.3. Desconto “Por Dentro”, ou Racional
A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de 
desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da Relação (3.1), que fornece:
 
i = FV
PV
 – 1⎛⎝
⎞
⎠ × 
1
n (3.2)
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. 
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou 
montante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja:
Desconto � FV � PV
O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, é obtido multiplicando-se o 
valor presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n, 
ou seja:
Dd � PV � i � n
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente 
conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos a seguir de-
duzir a fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis 
conhecidas.
O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação 
da expressão geral para desconto, isto é: 
 Dd � FV � PV (3.3) 
A partir da Expressão (3.1) pode-se obter a seguinte relação:
 PV � 
FV
1 � i � n (3.4)
Substituindo na Relação (3.3) o valor de PV fornecido pela Relação (3.4), temos:
Dd � � �� �
� �FV FV
1 i n
 FV 1 1
1 i n
� ( ) 
e finalmente: 
 Dd � FV � 
i � n
1 � i � n (3.5)
3.4. Exemplos Numéricos 
1. Calcule o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um princi-
pal de $10.000,00, aplicado com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros 
simples.28 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
n � 12 meses
PV � $10.000,00
i � 1% ao mês � 0,01
FV � ?
A Relação (3.1) fornece:
FV � PV (1 � i � n) � 10.000,00 � (1 � 0,01 � 12) � $11.200,00
2. Calcule o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa de juros de 1,5% 
ao mês, para produzir um montante de $10.000,00 no prazo de dois semestres, no 
regime de juros simples.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
n � 2 semestres � 12 meses
FV � $10.000,00
i � 1,5% ao mês � 0,015
PV � ?
A Relação (3.4) fornece:
PV FV
1 i n
 10.000,00
1 0,015 12
 $8.474,58�
� �
�
� �
�
3. Calcule o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma 
taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
 Solução:
Se o valor de PV � $100,00, então FV � $200,00, e os dados do problema seriam 
os seguintes:
PV � $100,00
FV � 2 � 100,00 � $200,00 
i � 2% ao mês � 0,02
n � ?
Pela Relação (3.1) temos:
FV � 200,00 � PV (1 � i � n) � 100,00 (1 � 0,02 � n)
 200,00 � 100 � 2 n 
 que fornece n � 50 meses.
4. Calcule o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um principal de 
$1.000,00 se transformar num montante de $1.250,00, num prazo de 20 meses. 
29Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
PV � $1.000,00
FV � $1.250,00 
n � 20 meses
i � ? (% ao mês) 
Pela Relação (3.2) temos:
i FV
PV
 1 1
n
 1.250,00
1.000,00 1
 1
20
 0,0125� � � �
�
� �
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ou seja, 1,25% ao mês.
5. Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação de 
desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor 
do principal é $9.750,00.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
PV � $9.750,00
FV � $10.000,00 
n � 60 dias � 2 meses 
i � ? (% ao mês) 
Pela Relação (3.2) temos:
i FV
PV
 1 1
n
 10.000,00
9.750,00 
 1 1
2
 0,01282� � � � � � �
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ou seja, 1,282% ao mês.
6. Uma instituição financeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade 
de 1,2% ao mês, a juros simples. Calcule o valor da renda de uma aplicação de 
$10.000,00 efetuada nessa instituição, por um prazo de 18 dias.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
PV � $10.000,00
n � 18 dias
i � 1,2% ao mês � 
1,2%
30 ao dia � 0,04% a.d. � 0,0004 a.d.
Renda � FV � PV � ?
Pela Relação (3.1) temos:
FV � PV (1 � i � n) � 10.000,00 � (1 � 0,0004 � 18) � $10.072,00
e, portanto, a renda é igual a (10.072,00 � 10.000,00) � $72,00.
30 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
7. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento 
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV � $1.000,00
n � 60 dias
i � 1,2% ao mês � 
1,2%
30
 ao dia � 0,04% a.d. � 0,0004
Desconto � FV � PV � ? 
A Relação (3.4) fornece:
PV � FV/(1 � i � n) � 1.000,00/(1 � 0,0004 � 60) � $976,56
e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 � 976,56) � $23,44.
8. Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques 
a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos 
dias que a conta ficar descoberta. Calcule o montante de juros cobrado no mês de 
abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são 
emitidos os seguintes cheques:
Data Valor do cheque ($)
1o de abril 2.000,00
11 de abril 1.000,00
21 de abril 1.000,00
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
i � 1,5% ao mês � 
1,5%
30
 � 0,05% ao dia � 0,0005 a.d.
a) Calculando os juros devidos por período:
o de abril a 10 de abril 
 Durante esses 10 dias o saldo devedor é de $2.000,00, e portanto:
Juros � 2.000,00 � 0,0005 � 10 � $10,00
 Durante esses 10 dias o saldo devedor é de $3.000,00, e portanto:
Juros � 3.000,00 � 0,0005 � 10 � $15,00
 Durante esses 10 dias o saldo devedor é de $4.000,00, e portanto:
Juros � 4.000,00 � 0,0005 � 10 � $20,00
31Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
Assim, o total de juros devidos no mês de abril é igual a:
Juros do mês de abril � (10,00 � 15,00 � 20,00) � $45,00
b) Utilizando o conceito de saldo médio:
O saldo devedor médio no mês de abril é obtido pela relação:
Saldo médio
2.000,00 10 3.000,00 10 4.000,00 10
30
$3.000,00�
� � � � �
�
Para o cálculo dos juros mensais, tudo se passa como se a conta corrente 
tivesse ficado com um saldo devedor de $3.000,00, durante os 30 dias do mês. 
Assim temos:
Juros do mês de abril � $3.000,00 � 1,5% � $45,00
 resultado que coincide com o obtido anteriormente.
Os resultados obtidos pelas duas formas de cálculos são sempre iguais, e a siste-
mática de cálculo comumente adotada no mercado é a do saldo médio multiplicado 
pela taxa de juros mensal.
3.5. Desconto “Por Fora”, ou Comercial 
3.5.1. Dedução da Expressão Genérica 
A expressão genérica do valor do desconto “por fora” ou comercial, no regime de 
juros simples, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir. 
 
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação 
da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fazendo com que 
os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim temos:
desconto de cada período: FV � d
desconto de n períodos: n � FV � d 
n
d
PV
n – 1...30
FV
 1
d d
d
d d d
2
FIGURA 3.2 Desconto simples: taxa de Desconto d – “por fora”
32 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Observe que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro FV 
para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por dentro”), 
ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor 
futuro FV.
Assim, o valor do desconto “por fora” (Df), ou comercial, é obtido multiplicando-se 
o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produto pelo número 
de períodos de desconto n, ou seja:
 Df � FV � d � n (3.6)
O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto “por fora” sobre o mon-
tante FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, é obtido, a 
juros simples, pela expressão:
PV � montante � descontos � FV � n � FV � d 
ou seja: 
 PV � FV (1 � d � n) (3.7)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com a 
unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
Convém ressaltar que a Expressão (3.7) para o cálculo do valor presente PV tem 
limitações práticas, pois só pode ser usada para valores de d e n tais que o produto d 
� n � 1, pois, caso contrário, podemos chegar ao absurdo de encontrar valores de 
PV � 0.
A Relação (3.7) fornece a seguinte expressão para a obtenção da taxa de desconto 
d “por fora”, ou comercial: 
 
d � 1 � PV
FV
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 � 1
n (3.8)
3.5.2. Exemplos Numéricos 
1. Um título com 119 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, a 
juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Assuma o ano 
comercial com 360 dias e calcule o valor da aplicação que proporciona um valor 
de resgate de $1.000,00.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV � $1.000,00
n � 119 dias 
d � 15% ao ano � 15%
360
 ao dia � 0,04167% a.d. � 0,0004167 a.d.
PV � ?
33Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
A Relação (3.7) fornece:
PV � FV (1 � d � n) � $1.000,00 � � �1 
15%
360
 119⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ � $950,42
2. Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento 
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV � $1.000,00
n � 60 dias 
d � 1,5% ao mês � 
1,5%
30
 ao dia � 0,05% a.d. � 0,0005 a.d. 
Desconto � FV � PV � ? 
A Relação (3.7) fornece:
PV � FV (1 � d � n) � $1.000,00 � (1 � 0,0005 � 60) � $970,00
e, portanto, o desconto “por fora” é igual a (1.000,00 � 970,00) � $30,00.
3. Calcule o valorda taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de 
desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor 
do principal igual a $9.750,00.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV � $10.000,00
PV � $9.750,00 
n � 60 dias � 2 meses 
d � ? (% ao mês) 
A Relação (3.8) fornece:
d 1 PV
FV
 1
n
 1 9.750
10.000
 1
2
 0,0125� � � � � � �⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ou seja, 1,25% ao mês.
3.6. Relação entre as Taxas de Desconto “Por Dentro” e 
“Por Fora”
As Expressões (3.4) e (3.7) permitem escrever a relação:
PV FV
1 i n
 FV(1 d n)�
� �
� � �
 
34 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
que fornece:
1 d n 1
1 i n
� � �
� �
Nessa relação, ao se explicitar a taxa i (desconto “por dentro”), ou a taxa d (des-
conto “por fora”), obtém-se, respectivamente:
 i � 
d
1 � d � n (3.9)
 d � 
i
1 � i � n (3.10)
 Nessas duas relações, as unidades referenciais de tempo das taxas i e d devem 
coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para medir o número de 
perío dos n. 
3.6.1. Exemplos Numéricos 
1. No Exemplo 5, da Seção 3.4, e no Exemplo 3, da Seção 3.5.2, foram calculadas 
as taxas de desconto “por dentro” e “por fora”, respectivamente, de um mesmo 
título com as seguintes características:
Principal aplicado � PV � $10.000,00
Valor de resgate � FV � $9.750,00 
Prazo da operação � n � 60 dias 
No Exemplo 5, a taxa mensal de desconto “por dentro” encontrada foi de 
1,282% ao mês, e no Exemplo 3 a taxa mensal de desconto “por fora” encontrada 
foi de 1,25% ao mês.
Use as Expressões (3.9) e (3.10) para verificar a relação entre essas duas taxas 
de desconto, assumindo o ano comercial com 360 dias.
Solução: 
Os dados do problema são os seguintes:
i � 1,282% ao mês � 0,01282
d � 1,25% ao mês � 0,01250 
n � 60 dias � 2 meses
A Relação (3.9) fornece:
i d
1 d n
 0,01250
1 0,01250 2
 0,01282 1,282% ao mês�
� �
�
� �
� �
A Relação (3.10) fornece:
d i
1 i n
 0,01282
1 0,01282 2
 0,0125 1,25% ao mês�
� �
�
� �
� �
confirmando, assim, a relação entre essas duas taxas de desconto.
35Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
2. Um título com 39 dias a decorrer está sendo negociado com uma rentabilidade 
de 1,20% ao mês. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule a taxa anual 
de desconto “por fora” que corresponde à essa taxa de rentabilidade. 
Solução: 
Os dados do problema são os seguintes:
i � 1,20% ao mês � (1,20% � 12) ao ano � 14,4% a.a � 0,144 a.a
n � 39 dias � (39/360) anos
d � ? (% ao ano) 
A Relação (3.10) fornece:
d i
1 i n
 0,144
1 0,144 39
360
 0, 418�
� �
�
� �
� 1
ou seja, 14,18% ao ano.
3.7. Desconto de Títulos – Exemplos
Nas operações bancárias de desconto de títulos, costuma-se utilizar o conceito de 
taxa de desconto “por fora”, que normalmente é denominada simplesmente taxa de 
desconto. Os exemplos a seguir mostram os cálculos dessas operações.
1. Uma empresa oferece os seguintes títulos para serem descontados num banco 
comercial:
Calcule o valor a ser creditado na conta dessa empresa, por essa operação de 
desconto, assumindo o mês com 30 dias, e sabendo-se que a taxa de desconto 
acertada é de 1% ao mês.
Solução:
Vamos aplicar a Relação (3.7) para cada um desses títulos, conforme indica do 
a seguir:
a) título com vencimento em 30 dias:
 PV1 � FV (1 � d � n) � $10.000,00 (1 � 0,01 � 1) � $9.900,00
Vencimento
(dias)
Valor do título
($)
30 10.000,00
60 20.000,00
90 30.000,00
Total 60.000,00
36 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) título com vencimento em 60 dias:
PV2 � FV (1 � d � n) � $20.000,00 (1 � 0,01 � 2) � $19.600,00
c) título com vencimento em 90 dias:
PV3 � FV (1 � d � n) � $30.000,00 (1 � 0,01 � 3) � $29.100,00
Assim, o valor a ser creditado na conta da empresa é igual a: 
PV � PV1 � PV2 � PV3 � $9.900,00 � $19.600,00 � $29.100,00 � $58.600,00
Nas operações de desconto de títulos, existem outros custos adicionais que não 
foram considerados no exemplo anterior, tais como a incidência de impostos e a 
exigência de saldo médio na conta corrente.
O saldo médio corresponde a uma retenção na conta corrente da empresa de um 
percentual do valor da operação, que não recebe qualquer remuneração do banco, 
por se tratar de depósito à vista. O exemplo a seguir esclarece esse conceito e permite 
avaliar o aumento do custo da operação pela inclusão do saldo médio.
2. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos com uma taxa 
de desconto de 1,2% ao mês (“por fora”), porém exige um saldo médio de 20% do 
valor da operação, como forma de reciprocidade bancária. Esse banco foi procurado 
por uma empresa para descontar $100.000,00 de títulos, todos com vencimento 
de 90 dias. Assumindo o mês com 30 dias, calcule o valor a ser creditado na conta 
da empresa e a rentabilidade mensal do banco, a juros simples, sem o saldo médio 
e com o saldo médio.
Solução:
a) sem o saldo médio:
 O valor a ser creditado na conta da empresa é obtido pela Relação (3.7), isto é:
PV � FV (1 � d � n) � $100.000,00 (1 � 0,012 � 3) � $96.400,00
 A taxa de rentabilidade do banco é obtida pela Relação (3.2), ou seja:
i FV
PV
 1 1
n
 100.000
96.400
 1 1
3
� � � � � �
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ � 0,012448
 que fornece a taxa de 1,2448% ao mês.
b) com o saldo médio:
O saldo médio de 20% sobre $100.000,00 corresponde a $20.000,00. Tudo 
se passa como se o banco, por ocasião da liberação dos recursos, fizesse uma 
retenção de $20.000,00, deixando apenas o valor de $76.400,00 à disposição 
da empresa. Esses $20.000,00 ficam parados no banco, na conta corrente da 
empresa, durante os três meses da operação. Na liquidação da operação (final 
do 3o mês), a empresa precisa desembolsar apenas $80.000,00, pois o banco já 
dispõe de $20.000,00 retidos em sua conta corrente. Essas situações são resu-
midas no fluxo de caixa da Tabela 3.2: 
37Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
O valor da rentabilidade mensal do banco, levando em consideração o saldo médio 
de 20%, é obtido pela Relação (3.2), conforme indicado a seguir:
i FV
PV
 1 1
n
 80.000
76.400
 1 1
3
� � � � � �
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ � 0,157068 
que fornece a taxa de 1,5707% ao mês.
Assim, o saldo médio de 20% elevou a rentabilidade do banco (e consequente-
mente aumentou o custo para a empresa) de 1,2448% ao mês para 1,5702% ao mês, 
no regime de juros simples.
3.8. Conclusão 
Neste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros simples 
e ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado.
Ressaltamos que, no regime de juros simples, a taxa de desconto d (“por fora”, ou 
comercial) é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de desconto. A taxa 
de juros i (taxa de desconto “por dentro”, ou racional) é mais conhecida como taxa 
de rentabilidade.
 No regime de juros compostos, a taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional) 
é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de desconto. A taxa de desconto 
d (“por fora”, ou comercial) não é praticamente utilizada pelo mercado nesse regime 
de juros. 
A HP-12C dispõe de funções especiais para realizar cálculos no regime de juros 
simples. Entretanto, os exemplos deste capítulo foram desenvolvidos sem o uso dessas 
operações especiais da calculadora, pois as fórmulas e expressões de juros simples são 
de fácil solução com as operações convencionais de qualquer calculadora.
O regime de juros simples só é utilizado na obtenção das relações envolvendo PV 
e FV individualmente, que foram desenvolvidas neste capítulo.
O restante do livro estuda apenas o regime de juros compostos, que é o sistema indicado 
para efetuar cálculos e análises de fluxos de caixa de forma conceitualmente correta. 
TABELA 3.2 Fluxo de caixa para o banco
Sem a inclusão 
do saldo médio
Saldo médio de 
20%
Com a inclusão 
do saldo médio
Início do 1o mês (�) 96.400,00 (�) 20.000,00 (�) 76.400,00
Final do 3o mês (�) 100.000,00 (�) 20.000,00 (�) 80.000,00
38 M a t e m á t i c aF i n a n c e i r a
3.9. Problemas Propostos
Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.
1. Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a 
partir da aplicação de um principal de $10.000,00, com uma taxa de juros de 1% 
ao mês, no regime de juros simples.
2. Calcule o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de juros 
de 10% ao ano, para produzir um montante de $10.000,00, num prazo de 15 
meses.
3. Um título com 123 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado a 
juros simples, com uma taxa de rentabilidade de 1,3% ao mês. Calcule o valor da 
aplicação que proporciona um valor de resgate de $1.000,00.
4. Um título com valor de resgate de $1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu 
vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto 
“por fora” de 15% ao ano. Calcule: a) o valor do principal desse título; b) 
o valor do desconto simples; c) a rentabilidade mensal desse título, até seu 
vencimento.
5. Imagine que o título do Problema 4 seja vendido com a garantia de recompra 
num prazo de três dias, e que nessa operação de três dias seja assegurada uma ren-
tabilidade de 1,2% ao mês. Calcule: a) o valor do título por ocasião da recompra 
e b) a rentabilidade mensal e a taxa de desconto anual (“por fora”) desse título 
para o seu prazo remanescente de 77 dias a decorrer até seu vencimento.
6. Um título com 92 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado a juros 
simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 12% ao ano. Calcule o valor da 
rentabilidade mensal desse título.
7. Um investidor aplicou um principal de $1.000,00 para receber um montante de 
$1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de juros simples: a) a renta-
bilidade trimestral do investidor e b) a taxa de desconto anual (“por fora”) que 
corresponde à rentabilidade do item a.
8. Um banco comercial empresta $15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, 
com uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Dessa 
forma, o valor líquido liberado pelo banco é de $14.550,00, e o cliente deve pagar 
os $15.000,00 no final do 3o mês. Além disso o banco exige um saldo médio de 
$1.500,00 ao longo de todo o prazo do empréstimo. Calcule a taxa de rentabilidade 
mensal do banco nessa operação, a juros simples.
39Capí tu lo 3 – Juros Simples – Fórmulas Básicas
9. Um investidor deseja depositar uma determinada importância num banco de 
investimentos, para ter o direito de retirar $10.000,00 no prazo de três meses e 
$10.000,00 no prazo de seis meses. Sabendo-se que esse banco remunera seus 
depósitos com uma taxa de 1,2% ao mês, juros simples, calcule o valor que deve 
ser depositado por esse investidor, para lhe garantir as retiradas desejadas e a 
rentabilidade prometida pelo banco.
10. Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com 
uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título 
tem um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título tem 
um valor de $10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Calcule o valor a ser 
creditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo desconto desses títulos. 
11. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de $10.000,00, 
com uma taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro”), juros simples, que pode 
ser liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve 
liquidar esse empréstimo com recursos obtidos, no mesmo banco, por meio de 
um novo empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês, também a juros simples. 
Decorridos alguns meses, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e 
verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de $981,60. 
Calcule: a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; 
b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo; c) o prazo 
do segundo empréstimo e d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela 
empresa, considerando os dois empréstimos em conjunto.
12. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição finan-
ceira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante 
acumulado até aquela data totaliza $10.480,00. Esse mesmo valor é então deposi-
tado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse 
período, o montante acumulado na segunda instituição é igual a $11.108,80. 
Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus 
depósitos com a mesma taxa, calcule: a) a taxa mensal de juros simples das duas 
instituições e b) o valor do depósito inicial na primeira instituição.
4.1. Introdução
O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas básicas de juros compostos e 
mostrar suas aplicações por meio de exemplos numéricos. 
Inicialmente, mostramos o problema da capitalização composta, que consiste 
no crescimento do dinheiro ao longo do tempo, no regime de juros compostos. As 
outras fórmulas de juros compostos são deduzidas a partir da expressão genérica para 
a capitalização composta.
Em seguida, estudamos o problema inverso, que consiste na diminuição das gran-
dezas futuras ao serem trazidas para o presente, mediante as operações de desconto 
composto. 
Nos dois casos, apresentamos as deduções de fórmulas genéricas e suas aplicações 
em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simulador da HP-12C, 
desenvolvido no Apêndice B. 
4.2. Capitalização e Desconto “Por Dentro”, ou Racional
No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos 
no final do período, devem ser somados ao capital e, consequentemente, também 
passam a render juros. 
A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e como ele acontece no 
regime de juros compostos costuma ser chamado de capitalização composta.
4.2.1. Dedução da Expressão Genérica para Capitalização Composta
A expressão genérica do valor futuro (FV), no regime de juros compostos, em 
função dos parâmetros n, i e PV, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama 
a seguir, que obedece à simbologia desenvolvida no Capítulo 1. 
4
Juros Compostos – 
Capitalização 
e Desconto
Capítulo
42 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 
 
No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa 
de juros i sobre o capital aplicado no início do período de capitalização. Assim, temos:
a) no 1o período de capitalização (n � 1)
 capital no início do período � PV
 juros do período � PV � i
 capital no final do período � FV � PV � PV � i � PV (1 � i)
b) no 2o período de capitalização (n � 2)
 capital no início do período � PV (1 � i) 
 juros do período � PV (1 � i) � i
 capital no final do período � FV � PV (1 � i) � PV (1 � i) � i �
 � PV (1 � i) � (1 � i)
 e portanto:
FV � PV (1 � i)2
c) no 3o período de capitalização (n � 3)
A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no final do 3º período de 
capitalização pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto:
FV � PV (1 � i)3
d) no enésimo período de capitalização
O valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal 
PV, durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, 
no regime de juros compostos, é obtido pela expressão:
 FV � PV (1 � i)n (4.1)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com 
a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
Cada movimentação de um Valor Presente (PV) por um período para o 
futuro é obtida pela sua multiplicação por (1+i). A sua movimentação por 
n períodos é obtida pela expressão (1+i)n.
n
i
PV
1 2 3 ...0
FV
n 1�
i i
i
i i i
FIGURA 4.1 Capitalização composta: taxa de juros i – desconto “por dentro”
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 43
4.2.2. Verificação da Expressão Genérica
A Expressão Genérica (4.1) pode ser verificada pela reprodução dos valores ob-
tidos no Problema “Banco XYZ– Juros Compostos – Um Investimento de Quatro 
anos”, da Seção 2.3.1, do Capítulo 2, no qual são utilizados os seguintes parâmetros:
PV � $1.000,00
n � 8% ao ano
O montante FV, no final de cada ano, está demonstrado na Tabela 4.1:
TABELA 4.1 Verificando a expressão genérica
Final do Valor de n Valor de FV ($) 
1o ano n � 1 FV � 1.000,00 (1 � 0,08)1 � 1.080,00
2o ano n � 2 FV � 1.000,00 (1 � 0,08)2 � 1.166,40
3o ano n � 3 FV � 1.000,00 (1 � 0,08)3 � 1.259,71
4o ano n � 4 FV � 1.000,00 (1 � 0,08)4 � 1.360,49
4.2.3. Desconto “Por Dentro”, ou Racional 
Pela Expressão Genérica (4.1), podemos obter a seguinte relação: 
 
PV = FV
(1+ i)n (4.2)
que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i.
Cada movimentação de um Valor Futuro (FV) por um período para o presente 
é obtida pela sua divisão por (1+i). A sua movimentação por n períodos é obtida 
pela expressão 1/(1+i)n.
O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, expresso em $, é obtido pela 
aplicação da expressão geral para desconto geral para desconto, descrita no item (3.3), 
combinada com a Relação (4.2), isto é: 
 Dd = FV − PV = FV
 [ (1+ i)n −1](1+ i)n (4.3)
4.2.4. Dado PV Achar FV 
O problema envolvendo o cálculo do valor futuro FV a partir do valor presente 
PV consiste na solução da Expressão Genérica (4.1), em que a relação (1� i)n precisa 
ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão (1� i)n pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n, com a utilização 
da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados no Simulador da HP-12C. 
44 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Utilização da Calculadora HP-12C e da Planilha Excel
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de 
problemas do tipo “Dado PV achar FV”:
n PV PMTi FV
 x x,xx xx.xxx,xx 0,00 xx.xxx,xx
Em relação a esse Simulador destacamos os seguintes pontos:
 a) na parte inferior são colocados os valores de cada um dos respectivos 
parâmetros;
 b) o parâmetro financeiro PMT, que não participa do problema, deve ter seu valor 
registrado como zero; 
 c) a célula do parâmetro FV está em destaque para indicar que esse parâmetro 
é que está sendo calculado e o resultado da operação é mostrado nessa célula 
em destaque;
 d) se a operação é realizada com a HP-12C, essa célula em destaque indica que a 
tecla correspondente ao parâmetro FV é a última a ser pressionada para acionar 
o cálculo desse parâmetro;
 e) se a operação é realizada com a Planilha Excel, essa célula em destaque corresponde 
à célula onde são inseridos o sinal de igual (�) e a função financeira FV.
Cabe ressaltar que esse Simulador, usado ao longo de todo o livro, assume que 
a HP-12C e a Planilha Excel estão preparadas para operar com o Diagrama Padrão 
desenvolvido no Capítulo 1, assumindo portanto a convenção de final de período 
(série PMT postecipada).
Outra questão que merece destaque é a convenção de sinal adotada pela HP-12C 
e pelo Excel no registro dos valores monetários PV, FV e PMT – entradas de caixa 
como sinal positivo (�) e saídas de caixa com sinal negativo (�).
Exemplo Numérico
 Calcule o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compos-
tos, com uma taxa efetiva* de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial 
(principal) de $1.000,00.
Solução:
n � 6 anos
i � 10% ao ano
PV � $1.000,00
PMT � $0,00
FV � ?
* Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. (Veja item 5.2.) 
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 45
n PV PMTi FV
 Os dados desse problema têm a seguinte apresentação:
 6 10,00 �1.000,00 0,00 1.771,56
n PV PMTi FV
 x x,xx xx.xxx,xx 0,00 xx.xxx,xx
que fornece $1.771,56 para o resultado do valor futuro (FV), no final do 6o ano.
Observe que o valor de PMT foi registrado como zero.
Observe, ainda, que na HP-12C e no Excel o valor de PV é informado com o sinal 
negativo, e que o valor de FV é obtido com o sinal positivo. Se PV for informado com 
sinal positivo, então o sinal de FV será negativo.
4.2.5. Dado FV Achar PV 
O problema envolvendo o cálculo do valor presente PV a partir do valor futuro 
FV consiste na solução da Expressão Genérica (4.2), em que a relação [1/(1 � i)n] 
precisa ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão [1/(1 � i)n] pode ser calculada, para qualquer valor de i e de n, com 
a HP-12C ou com a Planilha Excel, e os cálculos são apresentados com o Simulador 
desenvolvido nos Apêndices. 
Utilização da Calculadora HP-12C e da Planilha Excel
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de 
problemas do tipo “Dado PV achar FV”:
Em relação ao Simulador, destacamos os seguintes pontos:
 a) o parâmetro financeiro PMT, que não participa do problema, deve ter seu valor 
registrado como zero; 
 b) a célula do parâmetro PV está em destaque para indicar que esse parâmetro 
é que está sendo calculado e o resultado da operação é mostrado nessa célula 
em destaque;
 c) se a operação é realizada com a HP-12C, essa célula em destaque indica que 
a tecla correspondente ao parâmetro PV é a última a ser pressionada, para 
acionar o cálculo desse parâmetro; 
 d) se a operação é realizada com a Planilha Excel, essa célula em destaque corresponde 
à célula onde são inseridos o sinal de igual (�) e a função financeira PV.
46 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
que fornece $887,45 para o valor presente (PV). Observar que o valor de PMT 
foi registrado como zero.
b) desconto “por dentro”, em $
O valor do desconto “por dentro”, expresso em $, é obtido pela Relação 
(4.3), conforme indicado a seguir:
Dd � FV � PV � $1.000,00 � $887,45 � $112,55 
2. O montante de $1.000,00, colocado no final do 4o mês do diagrama indicado a 
seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1% ao mês, no regime 
de juros compostos. 
FIGURA 4.2
Calcule:
 a) o valor acumulado no final do 7o mês, pela capitalização do montante de 
$1.000,00 indicado no diagrama;
Meses0
$? $?( ) 1.000,00�
1 2 3 4 5 6 7
Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no 
regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para produzir 
um montante acumulado de $1.000,00 no final de 12 meses. Calcule o valor do 
desconto “por dentro”, expresso em $. 
Solução:
n � 12 meses
i � 1% ao mês
FV � $1.000,00
PMT � $0,00
PV � ?
Dd � ?
a) cálculo do valor presente
 Os dados desse problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 12 1,00 887,45 0,00 �1.000,00
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 47
Meses
(Nova escala)
0
PV ?� FV $1.000,00�
1 2 3 4
(0) (2)(1) (3)
5 6 7
 b) o valor que deve ser investido no final do 1o mês, para se obter o montante de 
$1.000,00 indicado no diagrama.
Solução:
a) montante no final do 7o mês
A solução desse problema pode ser visualizada no diagrama a seguir, que 
enquadra o problema no Diagrama Padrão desenvolvido no Capítulo 1.
FIGURA 4.3
 
Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto zero da nova escala 
de tempo, e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser ca-
pitalizado três meses para atingir o final do 7o mês. Usando o Simulador da 
HP-12C temos:
Meses
(Nova escala):
0
PV $1.000,00� FV ?�
1 2 3 4
(0) (2)(1) (3)
5 6 7
 que fornece $1.030,30 para o valor futuro (FV), no final do 7o mês.
b) montante no final do 1o mês
Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, precisa-
remos colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala 
de tempo, conforme indicado a seguir:
FIGURA 4.4
n PV PMTi FV
 3 1,00 �1.000,00 0,00 1.030,30
48 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Assim, o valor de $1.000,00 fica colocado no ponto 3 da nova escala de tempo, 
e deve ser tratado como um valor futuro FV, que precisa ser descontado três meses 
para atingir o final do 1o mês. Usando o Simulador da HP-12C temos:
nn – 12...30 1
que fornece $970,59 para o valor presente (PV).
4.3. Desconto “Por Fora”
4.3.1. Dedução da Expressão Genérica
A expressão genérica do valor do desconto “por fora”, no regime de juros com-
postos, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece 
à simbologia desenvolvida no Capítulo 1.
 
No regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela 
aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do 
período de desconto. Assim, temos:
a) no 1o período de desconto
 capital no início do período � FV
 desconto do período � FV � d 
 capital no final do período � PV � FV � FV � d � FV (1 � d) 
b) no 2o período de desconto
 capital no início do período � FV (1 � d) 
 juros do período � FV (1 � d) � d
 capital no final do período � PV � FV (1 � d) � FV (1 � d) � d �
 � FV (1 � d) � (1 � d)
n PV PMTi FV
 3 1,00 970,59 0,00 �1.000,00
FIGURA 4.5 Desconto composto: taxa de desconto d – “por fora”
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 49
 e, portanto:
PV � FV (1 � d)2
c) no 3o período de desconto
 A expressão para o valor presente PV, no final do 3o período de desconto, 
pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto:
 PV � FV (1 � d)3
d) no enésimo período de desconto 
O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto de um valor 
futuro FV, durante n períodos de desconto, com uma taxa de desconto d por 
período, no regime de juros compostos, é obtido pela expressão:
 PV � FV (1 � d)n (4.4)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto “por fora” d deve 
coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número 
de períodos n.
Observe que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor 
futuro FV para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i 
(“por dentro”), ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV 
para produzir o valor futuro FV.
O valor do desconto “por fora” (Df), expresso em $, é obtido pela aplicação 
da expressão geral para desconto, descrita no item (3.3), combinada com a 
Expressão (4.4), isto é: 
 � FV � PV � FV [1 � (1 � d)n] (4.5)
4.3.2. Exemplo Numérico
Um título com o valor de $10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é des-
contado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual 
a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, 
expresso em $. 
Solução:
FV � $10.000,00
n � 60 dias � 2 meses
d � 1,2% ao mês � 0,012 a.m.
PV � ?
Df � ?
Df
50 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
a) valor presente do título
O valor presente do título é obtido pela Relação (4.4), conforme indicado 
a seguir:
 PV � FV (1 � d)n � $10.000,00 � (1 � 0,012)2 � 
 � $10.000,00 � 0,97614 � $9.761,44
b) valor do desconto “por fora”, em $
O valor do desconto composto, “por fora”, é obtido pela Relação (4.5), 
conforme indicado a seguir:
Df � FV � PV � $10.000,00 � $9.761,44 � $238,56
4.4. Problemas Resolvidos 
1. Calcule o valor acumulado no final de 24 meses, com juros compostos de 1% ao 
mês, a partir de um investimento inicial (principal) de $2.000,00.
Solução: 
n � 24 meses
i � 1% ao mês
PMT � $0,00
PV � $2.000,00
FV � ? 
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece $2.539,47 para o valor futuro (FV), no final do 24o mês.
Observe que na HP-12C e no Excel o valor de PV é informado com o sinal 
negativo, e que o valor de FV é obtido com o sinal positivo. Se PV for informado 
com sinal positivo, então o sinal de FV será negativo.
2. Calcule o valor do investimento inicial (principal) que deve ser realizado no 
regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, para produzir 
um valor acumulado de $1.000,00 no final de dois anos. 
Solução: 
n � 2 anos � 24 meses
i � 1,25% ao mês
FV � $1.000,00
PMT � $0,00
PV � ?
n PV PMTi FV
 24 1,00 �2.000,00 0,00 2.539,47
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 51
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece $742,20 para o valor presente (PV).
3. Um investimento inicial (principal) de $1.000,00 produz um valor acumulado 
de $1.150,00, no final de 10 meses. Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse 
investimento, no regime de juros compostos.
Solução: 
n � 10 meses
FV � $1.150,00
PV � $1.000,00
PMT � $0,00
i � ? (ao mês)
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 24 1,25 742,20 0,00 �1.000,00
que fornece 1,40743% ao mês para a taxa de juros i, pois o número de períodos 
foi informado em meses.
4. Calcule o número de meses necessários para fazer um capital dobrar de valor, com 
a taxa de juros de 6,00% ao ano, no regime de juros compostos.
 Solução: 
Supondo um valor de PV � $100,00, teríamos FV � $200,00, e os dados do 
problema seriam os seguintes:
i � 6,00% ao ano
FV � $200,00
PV � $100,00
PMT � $0,00
n � ? (anos)
n PV PMTi FV
 10 1,40743 �1.000,00 0,00 1.150,00
52 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 12,00 6,00 �100,00 0,00 200,00
que fornece 12 anos para o número de períodos n. O número correto é 11,896, 
mas a HP-12C sempre arredonda o valor de n, nessa operação, para o 1o número 
inteiro superior ao valor fracionário encontrado. Assim, seriam necessários 144 
meses para o capital dobrar de valor.
5. Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 
1,00% ao mês, ou seja, 6,00% ao semestre. Entretanto, os juros são pagos anteci-
padamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada $1.000,00 de 
empréstimo, a ser liquidado no prazo de seis meses, esse banco libera um principal 
de $940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime 
de juros compostos. 
Solução: 
n � 6 meses
FV � $1.000,00
PV � $940,00
PMT � $0,00
i � ? (ao mês)
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
n PV PMTi FV
 6 1,03659 �940,00 0,00 1.000,00
que fornece 1,03659% ao mês para a taxa de juros efetiva mensal.
6. Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois anos e valor de resgate de 
$10.000,00. Calcule seu valor de emissão (principal) para que seja garantida ao 
investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos. 
Solução: 
n � 2 anos
i � 10% ao ano
FV � $10.000,00
PMT � $0,00
PV � ?
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 53
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 2 10,00 8.264,46 0,00 �10.000,00
que fornece $8.264,46 para o valor presente (PV) do título.
7. Calcule as taxas efetivas mensal e diária de um título de renda fixa que tem uma 
rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Solução:
a) taxa mensal efetiva
Em um ano, com uma taxa de 10% ao ano, $100,00 se transformam em 
$110,00. A taxa mensal procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em 
$110,00 no prazo de 12 meses. Assim temos:
n � 12 meses
FV � $110,00
PV � $100,00
PMT � $0,00
i � ? (ao mês)
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
 que fornece 0,797414% para a rentabilidade mensal desse título.
b) taxa diária efetiva
Em um ano, com uma taxa de 10% ao ano, $100,00 se transformam em 
$110,00. A taxa diária procurada é aquela que faz $100,00 se transformar em 
$110,00 no prazo de 360 dias (assumindo o ano comercial). Assim temos:
n � 360 dias
FV � $110,00
PV � $100,00
PMT � $0,00
i � ? (ao dia)
n PV PMTi FV
 12 0,797414 �100,00 0,00 110,00
54 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
 que fornece 0,0264786% para a rentabilidade diária desse título.
8. Resolva o Problema 6 utilizando as taxas mensal e diária obtidas no Problema 7.
Solução: 
 a) usando a taxa mensal de 0,797414%
 n � 2 anos � 24 meses
 i � 0,797414% ao mês
 FV � $10.000,00
 PMT � $0,00
 PV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 360 0,0264786 �100,00 0,00 110,00
n PV PMTi FV
 720 0,0264786 8.264,460,00 �10.000,00
que fornece $8.264,46 para o valor presente (PV) desse título, idêntico ao 
obtido no Problema 6.
b) usando a taxa diária de 0,0264786%
 n � 2 anos � 720 dias
 i � 0,0264786% ao dia
 FV � $10.000,00
 PMT � $0,00
 PV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 24 0,797414 8.264,46 0,00 �10.000,00
que fornece $8.264,46 para o valor presente (PV) desse título, idêntico ao 
obtido no Problema 6.
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 55
9. Um financiamento de um banco de investimentos deve ser liquidado com um 
único pagamento no final do 6o mês após a liberação dos recursos. A taxa de juros 
cobrada por esse banco é de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Por razões 
operacionais, a cobrança dessa taxa é desdobrada em duas parcelas: 
 a) uma taxa mensal de 0,8% ao mês cobrada de forma postecipada, ao longo do 
contrato;
 b) uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos. 
Calcule o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente por esse 
banco para que a taxa de 1,2% ao mês seja alcançada.
Solução: 
a) taxa postecipada de 0,8% ao mês
Inicialmente precisamos calcular o montante acumulado a partir de um 
principal de $100,00 aplicado a 0,8% ao mês pelo prazo de seis meses. Os dados 
para resolver esse problema são os seguintes:
 n � 6 meses
 i � 0,8% ao mês
 PV � $100,00
 PMT � $0,00
 FV � ?
Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
n PV PMTi FV
 6 0,8 100,00 0,00 �104,90
 que fornece o resultado de FV � $104,90.
Assim, para um principal de $100,00, a taxa postecipada de 0,8% ao mês 
provoca um pagamento de $104,90 no final do 6o mês.
b) cálculo da taxa antecipada 
Vamos fixar em $104,90 o valor do pagamento da operação, no final do 6o 
mês, para um principal de $100,00. Precisamos, agora, descontar esse montante 
com a taxa de 1,2% ao mês, desejada pelo banco. Os dados para resolver esse 
problema são os seguintes:
 n � 6 meses
 i � 1,2% ao mês
 FV � $104,90
 PMT � $0,00
 PV � ?
56 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
0 1 2
PVA
PVB
PVC
(A) (B) (C)
3 4 Meses
PV
$1.000,00 $2.000,00 $3.000,00
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
 6 1,20 97,65 0,00 �104,90
 que fornece o resultado de PV � $97,65.
 Dessa forma, para cada $100,00 financiados, o valor do pagamento no 
final do 6o mês é de $104,90, e deve haver uma retenção de $2,35 no ato da 
liberação dos recursos, fazendo com que o valor líquido do financiamento seja 
igual a $97,65. 
 O valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente é obtido 
pela relação:
% antecipada ($100, 00 $97,65)
$100,00
 $2, 35
$100
 2, 35%� � � �
10. Um banco de investimentos está oferecendo uma rentabilidade efetiva de 1% ao mês, 
no regime de juros compostos, nos seguintes papéis de renda fixa de sua carteira: 
Papel Prazo até resgate Valor de resgate ($)
A 2 meses 1.000,00
B 3 meses 2.000,00
C 4 meses 3.000,00
Calcule o valor de aquisição de cada um desses papéis para que a taxa de 1% 
ao mês seja alcançada. Calcule o valor de aplicação de um investidor que adquirir 
os três papéis.
Solução:
O fluxo de caixa desses papéis está representado na Figura 4.6:
FIGURA 4.6 
 
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 57
a) valor de aplicação do papel A, de $1.000,00 
 n � 2 meses
 i � 1,00% ao mês
 FV � $1.000,00
 PMT � $0,00
 PVA � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 2 1,00 980,30 0,00 �1.000,00
n PV PMTi FV
 3 1,00 1.941,18 0,00 �2.000,00
 que fornece o resultado de PVA � $980,30.
b) valor de aplicação do papel B, de $2.000,00 
n � 3 meses
i � 1,00% ao mês
FV � $2.000,00
PMT � $0,00
PVB � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
 que fornece o resultado de PVB � $1.941,18.
c) valor de aplicação do papel C, de $3.000,00 
 n � 4 meses
 i � 1,00% ao mês
 FV � $3.000,00
 PMT � $0,00
 PVC � ?
58 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 4 1,00 2.882,94 0,00 �3.000,00
 que fornece o resultado de PVC � $2.882,94.
d) valor de aplicação do investidor
O investidor que adquirir os três papéis terá de aplicar o equivalente à soma 
dos valores de aquisição de cada papel, isto é: 
 PV � PVA � PVB � PVC � $980,30 � $1.941,18 � $2.882,94 � $5.804,42
O valor de $5.804,42 é definido como o valor presente do fluxo de caixa 
formado por $1.000,00 no final do 2o mês, $2.000,00 no final do 3o mês e 
$3.000,00 no final do 4o mês, para a taxa de desconto de 1% ao mês.
Outra maneira de obter o valor presente desse fluxo de caixa está indicado 
a seguir:
 valor do papel C no final do 3o mês � $3.000,00
1,01
 � $2.970,30
 valor do papel B no final do 3o mês � $2.000,00
 valor dos papéis B e C no final do 3o mês � $4.970,30
 valor dos $4.970,30 no final do 2o mês � 
$4.970, 30
1,01 � $4.921,09
 valor do papel A no final do 2o mês � $1.000,00
 valor dos três papéis no final do 2o mês � $5.921,09
e finalmente o valor do investimento inicial (principal) é calculado pela relação:
 
PV $5.921,09
1 0,01
 $5.921,09
1,02010
 $5.804, 42�
�
� �
( ) 2 
Os resultados obtidos com essas duas modalidades de cálculos são idênti-
cos porque todas as operações foram realizadas no regime de juros compostos. 
Poderíamos, alternativamente, acumular os três valores para o final do 4o mês, 
encontrando o montante de $6.040,10. Esse valor, ao ser descontado para o 
ponto zero, produz o mesmo principal de $5.804,42. 
Essas mesmas operações, se realizadas no regime de juros simples, produ-
ziriam resultados diferentes, porque naquele regime apenas o principal (valor 
colocado no ponto zero) rende juros. 
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 59
11. Um certificado de depósito bancário tem um valor de resgate de $10.000,00 e 
um prazo de 90 dias a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser apli-
cado nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 10% ao ano. 
Realize os cálculos no regime de juros compostos, considerando o ano comercial 
com 360 dias. 
Solução: 
 a) obtendo a taxa diária equivalente a 10% ao ano
 Cálculo da taxa diária
 n � 360 dias
 PV � $100,00
 FV � $110,00
 PMT � $0,00
 i � ? (% ao dia) 
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 360 0,0264786 �100,00 0,00 110,00
n PV PMTi FV
 90 0,0264786 9.764,54 0,00 �10.000,00
 que fornece a taxa diária de 0,0264786%.
 Cálculo do valor de aplicação
 n � 90 dias
 i � 0,0264786% ao dia
 FV � $10.000,00
 PMT � $0,00
 PV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
 que fornece o resultado de PV � $9.764,54.
b) trabalhando com n fracionário
Nesta solução, vamos transformar os 90 dias em fração de ano e trabalhar 
com a taxa de 10% ao ano. Esta solução só é possível porque a HP-12C e a 
Planilha Excel operam com o valor de n fracionário. Certifique-se de que a 
60 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Calculadora HP-12C apresenta a letra C no visor (acione as teclas STO e 
EEX), para que ela opere a juros compostos na parte fracionária de n.
 n � 90 dias � 90/360 � 0,25 anos
 i � 10% ao ano
 FV � $10.000,00
 PMT � $0,00
 PV � ?
Os dados do problema têm a seguinte apresen tação:
n PV PMTi FV
 0,25 10,00 9.764,54 0,00 �10.000,00
 que fornece o resultado de PV � $9.764,54, idêntico ao anterior.
Caso a HP-12C opere sem a letra C no visor, o resultado encontrado será 
igual a $9.756,10, que corresponde ao principal obtido no regime de juros 
simples, ou seja:
 
� � 
PV 10.000,00
1 0,1
360
 90
 $9.756,10� �
12. Uma debênture tem um valor de resgate de $10.000,00 e um prazo de dois 
anos e três meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor a ser aplicado 
nesse papel para que sua taxa de remuneração efetiva seja de 12% ao ano. 
Realize os cálculos no regime de juros compostos, assumindo o ano comercial 
com 360 dias.
Solução:
 Coloque a letra C no visorda HP-12C, acionando as teclas STO e EEX, para 
garantir que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos, tanto para a parte 
inteira de n como para sua parte fracionária. Com a letra C no visor a HP-12C e 
a Planilha Excel operam da mesma forma, e os resultados obtidos são idênticos.
 n � 2 anos e 3 meses � 2,25 anos
 i � 12% ao ano
 FV � $10.000,00
 PMT � $0,00
 PV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 61
n PV PMTi FV
 2,25 12,00 7.749,25 0,00 �10.000,00
n PV PMTi FV
 2 12,00 7.971,94 0,00 �10.000,00
 que fornece o resultado de PV � $7.749,25.
Ao se repetirem as mesmas operações com a HP-12C, sem a letra C no 
visor, o resultado obtido é igual a $7.739,75, que corresponde ao seguinte:
n (2 anos);
n (0,25 ano).
Para confirmar essa situação, vamos inicialmente calcular o valor do papel, 
a juros compostos, com dois anos a decorrer até o vencimento. Certifique-se 
de que a letra C está indicada no visor, para que o cálculo seja realizado a juros 
compostos:
Vamos agora descontar este valor (PV � $7.971,94) por três meses, a juros 
simples de 12% ao ano:
 
PV $7.971, 94
1 0,12
12
 3
 $7.739, 75�
� �
�
resultado que coincide com o calculado sem a letra C no visor, confirmando 
o que foi enunciado.
4.5. Conclusão
Neste capítulo, desenvolvemos as principais fórmulas do regime de juros compos-
tos, bem como ilustramos suas aplicações em diversos problemas do mercado.
A Expressão Genérica (4.1), que define o crescimento do dinheiro ao longo do 
tempo como sendo a exponencial (1 � i)n, é a equação fundamental do regime de 
juros compostos. Todas as demais fórmulas desenvolvidas no livro, para esse regime 
de juros, são obtidas a partir dessa expressão genérica.
A taxa de desconto i (“por dentro”, ou racional), no regime de juros compostos, 
é usualmente denominada taxa de desconto. A taxa de desconto d (“por fora”, ou 
comercial) praticamente não é utilizada pelo mercado nesse regime de juros.
62 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
É indispensável que a HP-12C tenha a letra C indicada no visor (acionar a tecla 
STO e depois a tecla EEX) para que ela realize os cálculos a juros compostos na 
parte fracionária de n.
4.6. Problemas Propostos
Assuma em todos os problemas o ano comercial com meses de 30 dias.
1. Calcule o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% ao mês, 
no regime de juros compostos, a partir de um principal de $10.000,00.
2. Calcule o principal que deve ser investido para produzir um montante de 
$20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no regime 
de juros compostos.
3. Um investidor aplicou $10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um ano. 
Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse investidor, no regime de juros 
compostos.
4. Calcule o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal apli cado 
de $10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos.
5. Calcule o número de meses necessários para se fazer um capital triplicar de valor, 
com uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
6. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos a juros simples, 
com uma taxa de desconto “por fora” de 1,5% ao mês, e exige um saldo médio de 20% 
do valor da operação. Uma empresa descontou $100.000,00 de títulos nesse banco, 
todos com vencimento no prazo de três meses. Calcule o valor líquido colocado à 
disposição da empresa, na data da operação, e as taxas mensais de rentabilidade do 
banco, nos regimes de juros simples e compostos. 
7. Um investidor deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 1,5% 
ao mês, de forma a garantir uma retirada de $10.000,00 no final do 6o mês e 
outra de $20.000,00 no final do 12o mês, a contar da data da aplicação. Calcule 
o menor valor que deve ser investido para permitir a retirada desses valores nos 
meses indicados.
8. Uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $10.000,00 vencida há 
três meses, e ainda antecipar o pagamento de outra de $50.000,00 com cinco 
meses a decorrer até seu vencimento. Calcule o valor do pagamento a ser feito 
de imediato pela empresa para liquidar essas duas notas promissórias, levando 
em consideração uma taxa de 1,2% ao mês, juros compostos, e assumindo os 
meses com 30 dias.
9. Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2% ao mês, para 
ser liquidado no prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguais de 
$100.000,00. Esse empréstimo, entretanto, pode ser quitado com um único pa-
gamento no valor de $197.755,02. Calcule no final de que mês deve ser feito esse 
pagamento para que a taxa de 1,2% ao mês seja mantida.
Capí tu lo 4 – Juros Compostos – Capi ta l ização e Desconto 63
10. Um banco de investimento que opera com juros compostos de 1% ao mês está 
negociando um empréstimo com uma empresa que pode liquidá-lo com um úni co 
pagamento de $106.152,02, no final do 6o mês, a contar da assinatura do contrato. 
Calcule o valor que deve ser abatido do principal desse empréstimo, no ato da 
contratação, para que esse pagamento seja limitado em $90.000,00, e para que a 
taxa de 1% ao mês seja mantida.
11. Calcule o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgate de 
$10.000,00 ao final de 21 dias, com uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros 
compostos.
12. Calcule o valor de resgate de uma aplicação financeira de $10.000,00, realizada 
no regime de juros compostos, com uma taxa de 15% ao ano, pelo prazo de 18 
dias.
13. Um investidor tem uma poupança de $100.000,00 aplicada num banco que lhe 
garante uma remuneração de 0,8% ao mês para os próximos três meses, e lhe são 
oferecidas as seguintes alternativas de investimentos:
 a) aplicação de um valor máximo de $50.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês, por 
um prazo de três meses e manter o saldo na poupança.
 b) aplicação de um valor mínimo de $100.000,00, a uma taxa de 1,0% ao mês, 
por um prazo de três meses.
Defina a política de investimentos para esse investidor, para os próximos três 
meses, sabendo-se que todas as aplicações são remuneradas no regime de juros 
compostos.
14. Um banco de investimentos realiza suas operações de financiamento com uma 
taxa efetiva de juros de 12% ao ano, no regime de juros compostos. Entretanto, 
essa taxa é cobrada em duas parcelas: 
 Calcule o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente, no ato 
da liberação dos recursos, para que a taxa de 12% ao ano seja mantida, sabendo-se 
que os financiamentos são liquidados com o pagamento de uma única parcela no 
final do 6o mês, a contar da liberação dos recursos.
5.1. Introdução
Os cálculos financeiros realizados pela HP-12C e pelas funções financeiras do 
Excel estão baseados na condição de que a unidade referencial de tempo da taxa de 
juros coincide com a unidade referencial de tempo dos períodos de capitalização. 
Uma taxa de 6%, por exemplo, pode ser interpretada como sendo: a) uma taxa de 6% 
ao ano, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem a anos; b) uma 
taxa de 6% ao semestre, e nesse caso os períodos de capitalização (n) correspondem 
a semestres, e assim por diante.
Entretanto, nos problemas práticos, as taxas de juros e os períodos de capitalização 
nem sempre satisfazem essas condições. Neste capítulo, vamos mostrar como as taxas 
de juros são informadas no mercado e como adequá-las às condições padronizadas 
pela HP-12C e pelo Excel.
5.2. Taxa Efetiva
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide 
com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da 
taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao 
mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.
A taxa efetiva é a taxa utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções finan-
ceiras das planilhas eletrônicas.5
Taxas de Juros
Capítulo
66 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
5.3. Taxas Proporcionais – Juros Simples
5.3.1. Conceito
Taxas proporcionais são taxas de juros referenciadas a unidades de tempo diferentes que, 
ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo 
montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime 
de juros simples, e é esclarecido pelos exemplos numéricos e pelas fórmulas desen-
volvidas nos próximos itens.
5.3.2. Exemplo Numérico
 Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um 
principal de $100,00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de 
juros:
a) 12% ao ano
b) 6% ao semestre
c) 1% ao mês
Solução: 
Usando a expressão genérica do crescimento do dinheiro no regime de juros 
simples (Relação 3.1), e considerando o valor do principal PV � $100,00, teremos 
as seguintes expressões, para cada taxa de juros:
a) i � 12% ao ano 
 n � 4 anos
 FV � PV (1 � i � n) � 100,00 (1 � 12% � 4) � 100,00 (1 � 0,12 � 4)
 � $148,00
b) i � 6% ao semestre 
 n � 4 anos � 8 semestres
 FV � PV (1 � i � n) � 100,00 (1 � 6% � 8) � 100,00 (1 � 0,06 � 8)
 � $148,00
c) i � 1% ao mês 
 n � 4 anos � 48 meses
 FV � PV (1 � i � n) � 100,00 (1 � 1% � 48) � 100,00 (1 � 0,01 � 48)
 � $148,00
Ressaltamos que os cálculos foram realizados no regime de juros simples, e que 
nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos. 
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 67
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a $148,00, 
podemos concluir que as taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês são 
proporcionais, pois produzem o mesmo montante de $148,00 ao serem aplicadas 
sobre o mesmo principal de $100,00, pelo mesmo prazo de quatro anos, no regime 
de juros simples.
5.3.3. Fórmulas Relacionando Taxas Proporcionais
Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas proporcionais 
mensal (im) e anual (ia). Para isso, consideremos as Figuras 5.1 e 5.2 indicadas a 
seguir:
 
No regime de juros simples a Figura 5.1 fornece:
 FV � PV(1 � im � 12) (5.1)
E a Figura 5.2 fornece:
 FV � PV(1 � ia) (5.2)
Para que essas taxas sejam proporcionais, é preciso que os montantes (FV) dos 
dois esquemas (Figuras 5.1 e 5.2) sejam iguais. Assim, podemos igualar as Relações 
(5.1) e (5.2), obtendo:
(1 � ia) � (1 � im � 12)
1 Anos
PV
ia
FV
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
PV
im
FV
 FIGURA 5.1 Taxa mensal – juros simples – crescimento linear
FIGURA 5.2 Taxa anual – juros simples – crescimento linear
68 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
e finalmente:
ia � im � 12
As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas proporcionais se-
mestral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos 
o ano comercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas propor-
cionais estão a seguir indicadas:
 ia � is � 2 � it � 4 � im � 12 � id � 360 (5.3)
em que:
ia � taxa de juros anual
is � taxa de juros semestral
it � taxa de juros trimestral
im � taxa de juros mensal
id � taxa de juros diária
A utilização dessas fórmulas é esclarecida pelos problemas resolvidos na próxima 
seção.
5.3.4. Problemas Resolvidos
1. Calcule as taxas semestral e mensal que são proporcionais à taxa de 12% ao 
ano.
Solução:
 ia � 12% ao ano
Pela Relação (5.3) temos:
a) taxa semestral 
 
i 2 i i 
i
2
 12%
2
 0,12
2
 0,06s a s
a� � � � � �
 
 ou seja, 6% ao semestre;
b) taxa mensal
i 12 i i 
i
12
 12%
12
 0,12
12
 0,01m a m
a� � � � � �
 ou seja, 1% ao mês.
 Comparar esses resultados com os obtidos na Seção 5.3.2.
2. Calcule as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 24% ao ano.
Solução:
ia � 24% ao ano 
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 69
Pela Relação (5.3) temos:
a) taxa semestral 
i 2 i i 
i
2
 24%
2
 0,24
2
 0,12s a s
a� � � � � �
 
 ou seja, 12% ao semestre;
b) taxa mensal
 
i 12 i i 
i
12
 24%
12
 0,24
12
 0,02m a m
a� � � � � �
 ou seja, 2% ao mês;
c) taxa diária
 
i 360 i i 
i
360
 24%
360
 0,24
360
 0,000667d a d
a� � � � � �
 ou seja, 0,0667% ao dia.
3. Calcule a taxa mensal proporcional à taxa de 7,5% ao semestre.
Solução:
is � 7,5% ao semestre
Pela Relação (5.3) temos:
i 12 i 2 i 
i
6
 7,5%
6
 0,075
6
 0,0125m s m
s� � � � � � �
 
ou seja, 1,25% ao mês.
4. Calcule a taxa diária proporcional à taxa de 1,5% ao mês.
Solução:
im � 1,5% ao mês
Pela Relação (5.3) temos:
i 12 i 360 i 
i
30
 1,5%
30
 0,015
30
 0,0005m d d
m� � � � � � �
 
ou seja, 0,05% ao dia.
5.4. Taxas Equivalentes – Juros Compostos
5.4.1. Conceito
Taxas equivalentes são taxas de juros referenciadas a unidades de tempo diferentes que 
ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo 
montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
70 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de 
juros compostos, e é esclarecido pelos exemplos numéricos e fórmulas desenvolvidas 
a seguir.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende ex-
clusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em 
juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.
5.4.2. Exemplo Numérico
 Calcule os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal 
de $100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:
 a) 12,6825% ao ano
 b) 6,1520% ao semestre
 c) 1,00% ao mês
Solução:
Usando a expressão genérica do crescimento do dinheiro, no regime de juros 
compostos (Relação 4.1), e considerando o valor do principal PV � $100,00, 
teremos as seguintes expressões, para cada taxa de juros:
a) taxa anual
 i � 12,6825% ao ano 
 n � 4 anos
 FV � PV (1 � i)n � 100,00 (1 � 0,126825)4 � $100,00 � 1,6122 � $161,22
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme 
indicado a seguir: 
n PV PMTi FV
 4 12,6825 �100,00 0,00 161,22
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $161,22 obtido 
para FV, que coincide com o calculado anteriormente;
b) taxa semestral
 i � 6,1520% ao semestre 
 n � 4 anos � 8 semestres
 FV � PV (1 � i)n � 100,00 (1 � 0,06152)8 � $100,00 � 1,6122 � $161,22
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme 
se segue: 
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 71
Meses
PV
im
FV
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
n PV PMTi FV
 8 6,1520 �100,00 0,00 161,22
n PV PMTi FV
 48 1,00 �100,00 0,00 161,22
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $161,22 obtido 
para FV, que coincide com o calculado anteriormente;
c) taxa mensal
 i � 1% ao mês 
 n � 4 anos � 48 meses
 FV � PV (1 � i)n � 100,00 (1 � 0,01)48 � $100,00 � 1,6122 � $161,22
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, como 
indicado a seguir: 
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $161,22 obtido 
para FV, que coincide com o calculado anteriormente.
Observe que os cálculos foram realizados no regime de juros compostos, e 
que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos. 
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a $161,22, 
podemos concluir que as taxas de 12,6825% ao ano, 6,1520% ao semestre e 1% 
ao mês são taxas equivalentes, pois produzem o mesmo montante de $161,22 
ao serem aplicadas sobre o mesmo principal de $100,00, pelo mesmo prazo de 
quatro anos, no regime de juros compostos.
5.4.3. Fórmulas Relacionando Taxas Equivalentes
Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas equivalentes 
mensal (im) e anual (ia). Para isso, consideremos os esquemas indicados a seguir: 
FIGURA 5.3 Taxa mensal – juros compostos – crescimento exponencial
72 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 
FIGURA 5.4 Taxa anual –juros compostos – crescimento exponencial
No regime de juros compostos, o esquema da Figura 5.3 fornece:
 FV � PV (1 � im)
12 (5.4)
E a Figura 5.4 fornece:
 FV � PV (1 � ia) (5.5)
Para que essas taxas sejam equivalentes, é preciso que os montantes (FV) dos dois 
esquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as Relações (5.4) e (5.5), obtendo:
 (1 � ia) � (1 � im)
12 
As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentes semes-
tral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o ano 
comercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas equivalentes 
estão a seguir indicadas:
 (1 � ia) � (1 � is)
2 � (1 � it)
4 � (1 � im)
12 � (1 � id)
360 (5.6)
em que:
ia � taxa de juros anual
is � taxa de juros semestral
it � taxa de juros trimestral
im � taxa de juros mensal
id � taxa de juros diária
A utilização dessas fórmulas é esclarecida pelos problemas resolvidos na próxima 
seção, com o auxílio da HP-12C e do Excel. 
5.4.4. Problemas Resolvidos
1. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao mês.
Solução:
im � 1% ao mês
Pela Relação (5.6) temos:
0 1 Anos
PV
ia
FV
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 73
a) taxa anual 
 (1 � ia) � (1 � im)
12 � (1 � 1%)12 � (1 � 0,01)12 � (1,01)12 � 1,126825
 e então:
ia � 1,126825 � 1 � 0,126825
 ou seja, 12,6825% ao ano.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme 
indicado a seguir: 
 
n PV PMTi FV
 12 1,00 �100,00 0,00 112,6825
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $112,6825 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
12,6825% ao ano;
b) taxa semestral 
(1 � is)
2 � (1 � im)
12 (1 � is) � (1 � im)
6 
 e então:
 is � (1 � im)
6 � 1 � (1,01)6 � 1 � 1,061520 � 1 � 0,061520
 ou seja, 6,1520% ao semestre.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, como 
se segue: 
n PV PMTi FV
 6 1,00 �100,00 0,00 106,1520
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $106,1520 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
6,1520% ao semestre.
 Compare esses resultados com os obtidos na Seção 5.4.2.
2. Calcule as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% ao 
trimestre.
74 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Solução:
it � 3% ao trimestre
Pela Relação (5.6) temos:
a) taxa anual
(1 � ia) � (1 � it)
4 � (1 � 3%)4 � (1 � 0,03)4 � (1,03)4 
 e então:
 ia � (1,03)
4 � 1 � 1,125509 � 1 � 0,125509
 ou seja, 12,5509% ao ano.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme 
indicado a seguir: 
n PV PMTi FV
 4 3,00 �100,00 0,00 112,5509
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $112,5509 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
12,5509% ao ano;
b) taxa semestral
(1 � is)
2 � (1 � it)
4 (1 � is) � (1 � it)
2 � (1 � 3%)2
 e então: 
 is � (1 � 0,03)
2 � 1 � (1,03)2 � 1 � 1,060900 � 1 � 0,060900
 ou seja, 6,09% ao semestre.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme 
indicado a seguir:
n PV PMTi FV
 2 3,00 �100,00 0,00 106,0900
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $106,0900 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
6,09% ao semestre.
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 75
3. Calcule a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano.
Solução:
ia � 10% ao ano
Pela Relação (5.6) temos:
(1 � im)
12 � (1 � ia) � (1 � 10%) � (1 � 0,10) � 1,10
e então:
im � (1,10)
1/12 � 1 � 1,007974 � 1 � 0,007974
ou seja, 0,7974% ao mês.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores 
indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 12 0,7974 �100,00 0,00 110,00
n PV PMTi FV
 30 0,0496 �100,00 0,00 101,50
A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,7974% obtido para a 
taxa i, que coincide com o calculado anteriormente.
4. Calcule a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês.
Solução:
 im � 1,5% ao mês
Pela Relação (5.6) temos:
 (1 � id)
360 � (1 � im)
12 �> (1 � id)
30 � (1 � im) � (1 � 1,5%) � 1,015
e então:
 id � (1,015)
1/30 � 1 � 1,000496 � 1 � 0, 000496 
ou seja, 0,0496% ao dia.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores 
indicados a seguir: 
A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,0496% obtido para a 
taxa i, que coincide com o calculado anteriormente.
76 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
5.5. Taxa Nominal
5.5.1. Conceito
Taxa nominal é uma taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal 
é sempre referenciada ao ano, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, 
trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma 
taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de 
juros compostos. 
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa 
de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é 
sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Nos exemplos anteriores, as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados 
das taxas nominais são as seguintes:
 
12% a.a.
12 meses
 1% ao mês�
 
24% a.a. 
2 semestres
 12% ao semestre�
 
10% a.a. 
4 trimestres
 2, 50% ao trimestre�
 
18% a.a.
360 dias
 0,050% ao dia�
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cál-
culos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efetivas 
correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre, 2,50% ao trimestre e 0,050% 
ao dia.
A taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime 
de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre 
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 77
maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita 
no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto 
maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.
5.5.2. Fórmulas
Vamos, inicialmente, assumir o ano comercial com 360 dias e as seguintes sim-
bologias e denominações:
iN � taxa de juros nominal anual (em % a.a.)
is � taxa semestral efetiva implícita (em % a.s.)
it � taxa trimestral efetiva implícita (em % a.t.)
im � taxa mensal efetiva implícita (em % a.m.)
id � taxa diária efetiva implícita (em % a.d.)
As taxas efetivas, que estão implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas em 
função do número de períodos de capitalização da taxa nominal, pelas expressões 
relacionadas na Tabela 5.1:
TABELA 5.1 Taxas efetivas
Período de 
capitalização de iN
 Número de períodos de 
capitalizações no ano
Taxa efetiva implícita
Diária 360 i
i
360d
N �
Mensal 12 i
i
12m
N �
Trimestral 4 i
i
4t
N �
Semestral 2 i
i
2s
N �
5.5.3. Problemas Resolvidos
1. Calcule as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 9% 
ao ano, com os seguintes períodos de capitalização: a) mensal; b) trimestral e c) 
semestral.
Solução: 
iN � 9% ao ano
a) capitalização mensal – taxa efetiva mensal:
78 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 i 
9%
12
 0,75% ao mêsm � �
 Pela Relação (5.6) temos:
 (1 � ia) � (1 � im)
12 � (1 � 0,75%)12 � (1,0075)12
ia � (1,0075)
12 � 1 � 1,093807 � 1 � 0,093807 
 ou seja, 9,3807% ao ano.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos 
valores indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 12 0,75 �100,00 0,00 109,3807
n PV PMTi FV
 4 2,25 �100,00 0,00 109,3083
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,3807 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
9,3807% ao ano;
b) capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral:i 
i
4
 9%
4
 2,25% ao trimestret
N� � �
 Pela Relação (5.6) temos:
(1 � ia) � (1 � it)
4 � (1 � 2,25%)4 � (1,0225)4
ia � (1,0225)
4 � 1 � 1,093083 � 1 � 0,093083 
 ou seja, 9,3083% ao ano.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos 
valores indicados a seguir: 
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,3083 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
9,3083% ao ano;
c) capitalização semestral – taxa efetiva semestral:
 
i 9%
2
 4,5% ao semestres� �
 Pela Relação (5.6) temos:
 (1 � ia) � (1 � is)
2 � (1 � 4,5%)2 � (1,045)2
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 79
 ia � (1,045)
2 � 1 � 1,092025 � 1 � 0,092025
 ou seja, 9,2025% ao ano.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, conforme 
os valores indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 2 4,5 �100,00 0,00 109,2025
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $109,2025 obtido 
para FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 
9,2025% ao ano.
Se repetirmos esse mesmo problema para as taxas nominais de 12% a.a., 
24% a.a. e 36% a.a., obteremos os resultados indicados na Tabela 5.2, com 
apenas duas casas decimais.
TABELA 5.2 Taxas efetivas anuais
Taxa nominal 
anual (%)
Taxas efetivas anuais equivalentes (em %) 
quando o período de capitalização for
anual semestral trimestral mensal
9,0 9,00 9,20 9,31 9,38
12,0 12,00 12,36 12,55 12,68
24,0 24,00 25,44 26,25 26,82
36,0 36,00 39,24 41,16 42,58
 
Ao analisarmos os valores da Tabela 5.2 podemos tirar as seguintes conclusões:
 a) a taxa efetiva anual é sempre maior do que a taxa nominal anual correspon-
dente;
 b) a diferença entre essas duas taxas aumenta quando:
2. Calcule a taxa efetiva trimestral que é equivalente a uma taxa nominal de 15% 
ao ano, capitalizados mensalmente.
Solução: 
Taxa nominal:
iN � 15% ao ano
capitalização mensal – taxa efetiva mensal:
80 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
i 15%
12
 1,25% ao mê sm � �
Pela Relação (5.6) temos:
(1 � it)
4 � (1 � im)
12 (1 � it) � (1 � im)
3
(1 � it) � (1 � 1,25%)
3 � (1,0125)3
it � (1,0125)
3 � 1 � 1,037971 � 1 � 0,037971 
ou seja, 3,7971% ao trimestre.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores 
indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 3 1,25 �100,00 0,00 103,7971
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $103,7971 obtido para 
FV, que em relação ao valor principal de $100,00 indica uma taxa de 3,7971% 
ao trimestre.
3. Calcule a taxa efetiva mensal que é equivalente a uma taxa nominal de 10% ao 
ano capitalizados trimestralmente.
Solução: 
Taxa nominal:
iN � 10% ao ano
capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral:
i 10%
4
 2,5% ao trimestret � �
Pela Relação (5.6) temos:
(1 � im)
12 � (1 � it)
4 (1 � im)
3� (1 � it) 
(1 � im) � (1 � 2,5%)
1/3 � (1,025)1/3
im � (1,025)
1/3 � 1 � 1,008265 � 1 � 0,008265 
ou seja, 0,8265% ao mês.
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores 
indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 3 0,8265 �100,00 0,00 102,50
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 81
 A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 0,8265 obtido para a 
taxa i, que coincide com o calculado anteriormente.
4. Calcule o montante acumulado no final de dois anos, ao se aplicar $1.000,00 à 
taxa de 9% ao ano, capitalizados mensalmente.
Solução: 
Taxa nominal:
iN � 9% ao ano
capitalização mensal – taxa efetiva mensal:
i 9%
12
 0,75% ao mê sm� �
Podemos resolver esse problema de duas maneiras, conforme mostrado a seguir:
 a) transformando o ano em meses:
 PV � $1.000,00
 n � 2 anos � 24 meses 
 im � 0,75% ao mês
O valor de FV pode ser assim obtido:
 FV � PV (1 � im)
24 � 1.000,00 (1 � 0,75%)24 � 1.000,00 (1,0075)24 � 
 � 1.000,00 � 1,196414 � $1.196,41 
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos 
valores indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 24 0,75 �1.000,00 0,00 1.196,41
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.196,41 obtido 
para FV, que coincide com o calculado anteriormente.
 b) transformando a taxa mensal na taxa anual equivalente:
 Pela Relação (5.6) temos:
(1 � ia) � (1 � im)
12 (1 � ia) � (1 � 0,75%)
12 
ia � (1,0075)
12 � 1 � 1,093807 � 1 � 0,093807
 ou seja, 9,3807% ao ano. Temos então os seguintes dados: 
 PV � $1.000,00
82 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 n � 2 anos 
 ia � 9,3807% ao ano
 O valor de FV pode ser assim obtido:
FV � PV (1 � ia)
2 � 1.000,00 (1 � 9,3807%)2 � 1.000,00 (1,093807)2 � 
 � 1.000,00 � 1,196414 � $1.196,41 
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos 
valores indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 2 9,3807 �1.000,00 0,00 1.196,41
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.196,41 obtido 
para FV, que coincide com o calculado anteriormente.
5. Calcule o montante do problema anterior se a capitalização for trimestral.
Solução: 
Taxa nominal:
iN � 9% ao ano
capitalização trimestral – taxa efetiva trimestral:
im � 
9%
4
 � 2,25% ao trimestre
Transformando o ano em trimestres teremos:
PV � $1.000,00
n � 2 anos � 8 trimestres 
im � 2,25% ao trimestre
O valor de FV pode ser assim obtido:
 FV � PV (1 � it)
8 � 1.000,00 (1 � 2,25%)8 � 1.000,00 (1,0225)8 � 
 � 1.000,00 � 1,194831 � $1.194,83 
Podemos obter esse mesmo valor com a HP-12C, ou com o Excel, pelos valores 
indicados a seguir: 
n PV PMTi FV
 8 2,25 �1.000,00 0,00 1.194,83
A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de $1.194,83 obtido para 
FV, que coincide com o calculado anteriormente.
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 83
5.5.4. Tabela Price
A tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada principalmente 
para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. Sua grande ca-
racterística consiste em ter a taxa nominal como elemento de entrada para obtenção 
dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com a taxa efetiva decorrente da taxa 
nominal, em função do número de períodos de capitalização. Assim, por exem plo, uma 
tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, tem as seguintes características:
 a) a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capitalizados 
mensalmente;
 b) os períodos dessa tabela correspondem a meses;
 c) a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês.
Assim, uma tabela Price de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponde 
a uma tabela de 1% ao mês, que representa, em termos equivalentes, uma taxa efetiva 
de 12,68% ao ano. 
5.6. Taxas Proporcionais Versus Taxas Equivalentes
5.6.1. Comparação de Taxas Anuais 
As taxas de juros proporcionais e equivalentes são obtidas, respectivamente, nos 
regimes de juros simples e compostos.
A Tabela 5.3, a seguir, apresenta uma comparação de diversas taxas anuais, pro-
porcio nais e equivalentes a determinadas taxas mensais. 
TABELA 5.3
 
Taxas efetivas 
mensais
Taxas anuais proporcionais (*) 
(juros simples)
Taxas anuais equivalentes 
(juros compostos)
1,00% 12,00% 12,68%
3,00% 36,00% 42,58%
5,00% 60,00% 79,59%
7,00% 84,00% 125,22%
10,00% 120,00% 213,84%
12,00% 144,00% 289,60%
15,00% 180,00% 435,03%
20,00% 240,00% 791,61%
(*) Correspondem às taxas nominais.
Observe que a diferença entre as taxas anuais aumenta significativamente quando 
as taxas mensais atingem valores mais elevados.
84 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
5.6.2. Exemplo Numérico
 Uma instituição financeira remunera suas aplicações com juros simples de 1,50% 
a.m., em todas as operações com prazos de até 45 dias. Considere três aplicações 
financeiras com os seguintes prazos: a) 15 dias; b) 30 dias e c) 45 dias.
Determine qual das três aplicações tem a maior taxa efetiva mensal, no regime 
de juros compostos.
Solução: 
a) operação com prazo de 15 dias
 Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00:
 id � 
1,5%
30
 � 0,050% ao dia � 0,0005 a.d.
 n � 15 diasValor de aplicação � PV � $100,00
 Valor de resgate � FV � $100,00 (1 � 0,0005 � 15) � $100,75
 PV � $100,00
 FV � $100,75
 n � 15 dias
 Obtenção da taxa diária:
FV � 100,75 � PV (1 � id)
15 � 100,00 (1 � id)
15
 e então:
(1 i ) 100,75
100,00
 1,0075d
15� � �
que fornece:
id � (1,0075)
1/15 � 1 � 0,00049826 � 0,049826% ao dia
Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxílio da Relação 
(5.6):
(1 � im) � (1 � id)
30 � (1,00049826)30 � 1,015056
 e então:
im � 1,015056 � 1 � 0,015056 � 1,51% ao mês
Podemos obter esse mesmo valor para a taxa mensal efetiva com a HP-12C, 
ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir: 
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 85
 PV � $100,00
 FV � $100,75
 n � 15 dias � 15/30 � 0,5 mês
A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 1,5056 obtido para 
a taxa i, que coincide com o calculado anteriormente. Observe que a taxa 
ob tida já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foi fornecido em 
fração de mês;
b) operação com prazo de 30 dias
n PV PMTi FV
 0,5 1,5056 �100,00 0,00 100,75
 Nas operações com prazo de 30 dias a taxa de 1,50% ao mês, a juros simples, 
é idêntica à taxa mensal efetiva, a juros compostos;
c) operação com prazo de 45 dias
 Obtenção do valor de resgate de uma aplicação de $100,00:
 id � 
1,5%
30
 � 0,050% ao dia 
 n � 45 dias
 Valor de aplicação � PV � $100,00
 Valor de resgate � FV � 100,00 (1 � 0,0005 � 45) � $102,25
 PV � $100,00
 FV � $102,25
 n � 45 dias
 Obtenção da taxa diária:
FV � 102,25 � PV (1 � id)
45 � 100,00 (1 � id)
45
 e então:
(1 i ) 102,25
100,00
 1,0225d
45� � �
 que fornece:
id � (1,0225)
1/45 � 1 � 0,00049458 � 0,049458% ao dia
 Obtenção da taxa efetiva mensal equivalente, com o auxílio da Relação (5.6):
(1 � im) � (1 � id)
30 � (1,00049458)30 � 1,014944
86 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 e então:
im � 1,014944 � 1 � 0,014944 � 1,49% ao mês 
Podemos obter esse mesmo valor para a taxa mensal efetiva com a HP-12C, 
ou com o Excel, pelos valores indicados a seguir: 
 PV � $100,00
 FV � $102,25
 n � 45 dias � 45/30 � 1,5 meses
A célula em destaque (abaixo de i) mostra o valor de 1,4944 obtido para a 
taxa i, que coincide com o calculado anteriormente. Observe que a taxa obtida 
já é a taxa mensal efetiva, pois o prazo da operação foi fornecido em meses.
A análise dos resultados desse exemplo numérico permite as seguintes conclusões, 
n PV PMTi FV
 1,5 1,4944 �100,00 0,00 102,25
quando a taxa de juros simples for mensal:
 a) para prazos de aplicação inferiores a 30 dias, a taxa efetiva mensal é sempre 
maior que a taxa mensal de juros simples, e é tanto maior quanto menor for o 
prazo da aplicação;
 b) para prazos de aplicação iguais a 30 dias, a taxa efetiva mensal é igual à taxa 
mensal de juros simples;
 c) para prazos de aplicação superiores a 30 dias, a taxa efetiva mensal é sempre 
menor que a taxa mensal de juros simples, e é tanto menor quanto maior for 
o prazo da aplicação.
5.7. Outras Denominações
5.7.1. Taxa Bruta e Taxa Líquida
Costuma-se denominar taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros 
obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em 
conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira.
Por outro lado, denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a taxa de juros 
obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já levando em 
conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira. 
Assim, a taxa bruta é sempre maior do que a taxa líquida.
Capí tu lo 5 – Taxas de Juros 87
5.7.2. Taxa Real e Taxa Nominal
Essas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da inflação. 
Costuma-se denominar taxa real a taxa de juros obtida após se eliminar o efeito da 
inflação, e taxa nominal a taxa de juros que inclui a inflação. Assim, a taxa nominal 
é sempre maior do que a taxa real.
A influência da inflação na análise dos fluxos de caixa será tratada no Capítulo 
10; porém, podemos antecipar que todos os conceitos da Matemática Financeira 
são aplicados, indistintamente, nos fluxos de caixa com valores expressos em moeda 
“fraca” (que perde o poder aquisitivo no tempo, com a inflação) ou em moeda “for te” 
(que mantém o mesmo poder aquisitivo no tempo).
5.8. Conclusão
Neste capítulo, foram apresentadas diversas formas de informar e calcular taxas 
de juros. Destacamos os seguintes pontos: 
taxa efetiva é a taxa utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos, pelas 
calculadoras financeiras e pelas funções financeiras das planilhas eletrônicas;
taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que depen-
de do número de períodos de capitalização. Essa taxa efetiva é a que deve ser 
utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos;
taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do 
dinheiro, no regime de juros simples;
taxas equivalentes são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do 
dinheiro, no regime de juros compostos;
taxa bruta e taxa líquida estão ligadas à questão do imposto de renda;
taxa real e taxa nominal estão ligadas ao fenômeno da inflação.
5.9. Problemas Propostos
Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.
1. Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre. 
2. Calcule as taxas trimestral e anual proporcionais à taxa de 0,9% ao mês.
3. Calcule as taxas mensal e trimestral equivalentes à taxa de 9,0% ao ano.
4. Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 6% ao semestre.
5. Calcule as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa de 1,05% ao mês.
6. Calcule as taxas efetivas anuais equivalentes às taxas de 2,0% ao trimestre e 4% 
ao semestre.
7. Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano, 
capitalizados trimestralmente.
88 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
8. Calcule as taxas efetivas trimestral e anual equivalentes à taxa nominal de 11,4% 
ao ano, capitalizados mensalmente.
9. Calcule o montante acumulado no final de dois anos ao se aplicar um principal 
de $1.000,00 à taxa de 10,20% ao ano, capitalizados mensalmente.
10. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa de 1,20% ao 
mês, no regime de juros simples. Calcule os valores de resgate e as taxas efetivas 
mensais de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes hipóteses para o prazo da 
operação: a) 10 dias e b) 60 dias.
11. Uma instituição financeira remunera suas aplicações com uma taxa efetiva de 
1,20% ao mês, no regime de juros compostos. Calcule os valores de resgate e as 
taxas mensais, a juros simples, de uma aplicação de $10.000,00, nas seguintes 
hipóteses para o prazo da operação: a) 10 dias e b) 60 dias.
6.1. Introdução
O objetivo deste capítulo é desenvolver as fórmulas usadas nas soluções de 
problemas envolvendo uma série uniforme de valores monetários (pagamentos ou 
recebimentos), no regime de juros compostos, e mostrar suas aplicações por meio de 
exemplos numéricos. 
Essa modalidade de prestações (pagamentos ou recebimentos) é usualmente co-
nhecida como Modelo Price, no qual todas as prestações têm um mesmo valor, que 
genericamente representamos por PMT. 
O fato de as prestações terem um mesmo valor e serem equidistantes permite a 
obtenção de fórmulas simplificadas para a capitalização e o desconto dessas parcelas, 
mediante a utilização da expressão para a soma de termos de uma progressão geomé-
trica, conforme mostrado no decorrer do capítulo. 
6.2. Dado PMT Achar FV
6.2.1. Dedução da Expressão
Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.1 Um fluxo de caixa
0
i i i i i
1 2 3 n
PMT
FV ?�
...
6
Série Uniforme – 
Prestações Iguais
Capítulo
90 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O problema do tipo ‘‘Dado PMT achar FV’’ consiste em determinar o montante 
acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações iguais de 
uma sérieuniforme, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. 
O valor dessas prestações é genericamente representado por PMT ("Periodic Payment").
Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do 
Capítulo 1, obedecendo à convenção de final de período, sendo portanto uma série 
postecipada.
O montante FV, no final do período de ordem n, acumulado por essas prestações, 
corresponde à soma dos montantes individualmente calculados para cada prestação 
até esse mesmo período. Assim temos:
a prestação capitaliza juros durante (n � 1) períodos, 
 e seu valor futuro no final do período n é igual a ………. PMT (1 � i)n�1
a prestação capitaliza juros durante (n � 2) períodos, 
 e seu valor futuro no final do período n é igual a ………. PMT (1 � i)n�2
 e seu valor futuro no final do período n é igual a ………. PMT (1 � i)
 valor no final do período n é igual a …………………… PMT 
Assim, o montante FV é obtido pela soma dessas parcelas, isto é:
 FV � PMT [(1 � i)n�1 � (1 � i)n�2 � … � (1 � i) � 1] (6.1)
Os termos entre colchetes correspondem à soma dos termos de uma progressão 
geométrica, cuja fórmula pode ser obtida multiplicando-se ambos os lados da Expressão 
(6.1) por (1 � i). Assim temos:
 FV (1 � i) � PMT [(1 � i)n � (1 � i)n�1 � … � (1 � i)2 � (1� i)] (6.2)
Subtraindo-se da Expressão (6.2) a Expressão (6.1):
 FV � i � PMT [(1 � i)n � 1]
e portanto:
 FV � 
PMT[(1 � i)n � 1]
i (6.3)
O problema do tipo “Dado PMT achar FV” envolve a obtenção do valor futuro 
FV, a partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme, e consiste na 
solução da Relação Genérica (6.3). 
A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12C 
ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o Simulador da HP-12C.
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 91
6.2.2. Utilização da HP-12C e do Excel
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de 
problemas do tipo “Dado PMT achar FV”: 
n PV PMTi FV
 x x,xx 0,00 xx.xxx,xx xx.xxx,xx
Esse Simulador assume que a HP-12C e o Excel estão preparados para operar de 
acordo com o Diagrama Padrão desenvolvido no Capítulo 1, assumindo, portanto, a 
convenção de final de período (série PMT postecipada).
O registro dos valores monetários PV, FV e PMT deve obedecer à convenção de 
sinal, na qual as entradas de caixa têm sinal positivo (�) e as saídas de caixa têm 
sinal negativo (�).
6.2.3. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor do montante FV do fluxo de caixa que segue, com uma taxa de 
10% ao ano, no regime de juros compostos.
FIGURA 6.2
Solução: 
n � 5 anos
i � 10% ao ano
PMT � $1.000,00
PV � $0,00
FV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
0
i i i i i
1 2 3 4 5 Anos
PMT $1.000,00�
FV ?�
92 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0 1 2 3 4 Anos
i i i i
PMT $ 5.000,00�
que fornece $6.105,10 para o valor futuro no final do 5 o ano, imediatamente após 
a efetivação do último depósito.
2. Um investidor efetua os quatro depósitos anuais de $5.000,00 indicados no fluxo 
de caixa a seguir. 
FIGURA 6.3
Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de 8% ao 
ano, no regime de juros compostos, calcule o valor acumulado por esse investidor 
no final do quarto ano, nas seguintes situações:
a) imediatamente após a realização do quarto depósito;
b) imediatamente antes da realização do quarto depósito.
Solução: 
a) saldo imediatamente após o 4o depósito
 n � 4 anos
 i � 8% ao ano
 PMT � $5.000,00
 PV � $0,00
 FV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 5 10,00 0,00 �1.000,00 6.105,10
n PV PMTi FV
 4 8,00 0,00 �5.000,00 22.530,56
 que fornece $22.530,56 para o saldo após o 4o depósito;
b) saldo imediatamente antes do 4o depósito
O saldo acumulado, imediatamente antes da realização do 4o depósito, é obtido 
subtraindo-se, do saldo calculado no item a, o valor do último depósito, isto é: 
 $22.530,56 � $5.000,00 � $17.530,56
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 93
0
i i i i i
1 2 3 n
PMT ?�
FV
...
6.3. Dado FV Achar PMT
6.3.1. Dedução da Expressão
Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.4
A Relação (6.3) fornece:
 FV 
PMT [(1 i) 1]
i
n
�
� �
 Assim, o cálculo de PMT a partir de FV é obtido pela relação inversa, isto é:
 PMT � FV
i
(1 � i)n � 1
 (6.4)
O problema do tipo “Dado FV achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT de 
cada prestação, a partir do valor futuro FV, e consiste na solução da Relação Genérica 
(6.4).
A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12C 
ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o simulador.
6.3.2. Utilização da HP-12C e do Excel
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de 
problemas do tipo “Dado FV achar PMT”:
n PV PMTi FV
 x x,xx 0,00 xx.xxx,xx xx.xxx,xx
O registro dos valores monetários PV, FV e PMT deve ser feito obedecendo à 
convenção de sinal, na qual as entradas de caixa têm sinal positivo (�) e as saídas 
de caixa têm sinal negativo (�). 
94 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0 1 2 3 4
i i i i
PMT ? �
FV $10.000,00 �
Trimestres
0 1 2 3 4 5 6 Meses
i iii i i
PMT ?�
FV $5.000,00�
6.3.3. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor dos quatro depósitos trimestrais do fluxo de caixa que se segue, 
capazes de produzir o montante de $10.000,00 no final do 4o trimestre, com uma 
taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos.
FIGURA 6.5
Solução: 
n � 4 trimestres
i � 3% ao trimestre
FV � $10.000,00
PV � $0,00
PMT � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 4 3,00 0,00 2.390,27 �10.000,00
que fornece o resultado de PMT � $2.390,27.
2. Calcule o valor de seis depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de produzir 
um montante de $5.000,00 no final do 6o mês, imediatamente após a realização 
do 6o depósito, sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa de 
12% ao ano, capitalizados mensalmente.
FIGURA 6.6
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 95
... n
i
0
i i i i
1 2 3
PMT
PV ?�
Solução: 
n � 6 meses
i � 12%
12
 � 1% ao mês
FV � $5.000,00
PV � $0,00
PMT � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 6 1,00 0,00 812,74 �5.000,00
que fornece o resultado de PMT � $812,74. 
6.4. Dado PMT Achar PV
6.4.1. Dedução da Expressão
Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.7
O problema do tipo “Dado PMT achar PV” consiste em determinar o valor presente 
PV (principal), a partir do desconto das n prestações iguais de uma série uniforme, 
com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O valor de cada 
prestação é genericamente representado por PMT.
Observe que a série uniforme PMT está de acordo com o Diagrama Padrão do 
Capítulo 1, obedecendo à convenção de final de período, sendo portanto uma série 
postecipada. 
96 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n
i
(1)
0
i i i i
1 2
(2)
3
PMT
FV ?�
PV � ?
...
Esse problema pode ser resolvido em duas etapas, conforme indicado no esquema 
a seguir.
FIGURA 6.8
Inicialmente, vamos calcular o montante acumulado FV por essas n prestações 
PMT, no final de n períodos de capitalização da taxa de juros i, com o auxílio da 
Relação (6.3). Isto é:
 
FV PMT [(1 i) 1]
i
n
�
� �
 
Devemos agora transformar esse valor futuro FV no valor presente PV (principal), 
usando a Relação (4.1). Assim:
FV � PV (1 � i)n
Ao substituir o valor de FV na 1a relação obtemos: 
 PV(1 i) PMT 
[(1 i) 1]
i
n
n
� �
� �
 
e finalmente: 
 
PV � PMT (1 � i)
n � 1
i(1 � i)n
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
 (6.5)
O problema do tipo “Dado PMT achar PV” envolve a obtenção do valor presente 
PV, a partir do valor de cada prestação PMT de uma série uniforme, e consiste na 
solução da Relação Genérica (6.5).
A expressão pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a utilização da HP-12Cou do Excel, e os cálculos são apresentados com o simulador. 
6.4.2. Utilização da HP-12C e do Excel
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de 
problemas do tipo “Dado PMT achar PV”:
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 97
Os valores registrados devem obedecer à convenção de final de período e à con-
venção de sinal explicadas no Capítulo 1.
6.4.3. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efeti-
va de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 
prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.000,00.
Solução: 
n � 12 meses
i � 1% ao mês
PMT � $1.000,00
FV � $0,00
PV � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
n PV PMTi FV
 12 1,00 11.255,08 �1.000,00 0,00
n PV PMTi FV
 x x,xx xx.xxx,xx xx.xxx,xx 0,00
que fornece o resultado de PV � $11.255,08.
2. Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual 
de $10.000,00 no final de cada um dos próximos oito anos, sabendo-se que esse 
investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de 
juros compostos.
Solução: 
n � 8 anos
i � 10% ao ano
PMT � $10.000,00
FV � $0,00
PV � ?
98 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n
ii i i i
PMT ?�PV
0 1 2 3 ...
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
n PV PMTi FV
 8 10,00 53.349,26 �10.000,00 0,00
que fornece o resultado de PV � $53.349,26.
6.5. Dado PV Achar PMT
6.5.1. Dedução da Expressão
Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
FIGURA 6.9
A Relação (6.5) fornece:
 
PV PMT (1 i) 1
i(1 i)
n
n
�
� �
�
 
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Assim, o cálculo de PMT a partir de PV é obtido pela relação inversa, isto é:
 
PMT � PV i (1 � i)
n
(1 � i)n � 1
 
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ (6.6)
O problema do tipo “Dado PV achar PMT” envolve a obtenção do valor PMT 
de cada prestação, a partir do valor presente PV, e consiste na solução da Relação 
Ge nérica (6.6).
 A expressão entre colchetes pode ser calculada para os parâmetros i e n, com a 
utilização da HP-12C ou do Excel, e os cálculos são apresentados com o simulador.
6.5.2. Utilização da HP-12C e do Excel
O Simulador da HP-12C toma o seguinte aspecto quando aplicado na solução de 
problemas do tipo “Dado PV achar PMT”:
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 99
n PV PMTi FV
 x x,xx xx.xxx,xx xx.xxx,xx 0,00
Os valores registrados devem obedecer à convenção de final de período e à con-
venção de sinal explicadas no Capítulo 1. 
6.5.3. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa 
efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor do 
principal é $1.000,00 e que o prazo da operação é de quatro anos.
Solução: 
n � 4 anos
i � 8% ao ano
PV � $1.000,00
FV � $0,00
PMT � ? 
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 4 8,00 �1.000,00 301,92 0,00
que fornece o resultado de PMT � $301,92.
2. Utilizando os dados do problema anterior, realizar as seguintes operações:
 a) calcule as parcelas de amortizações e juros de cada uma das prestações 
anuais; 
 b) calcule o saldo devedor (principal remanescente) do financiamento, imedia-
tamente após o pagamento da 2a prestação;
 c) verifique que as amortizações crescem exponencialmente na mesma taxa do 
financiamento.
Solução: 
 a) cálculo das amortizações e juros
 As amortizações e os juros de cada prestação são obtidos na Tabela 6.1:
100 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A Tabela 6.1 obedece ao regime de juros compostos e foi elaborada de 
acordo com os seguintes critérios: 
no início do respectivo ano; 
anual menos o valor dos juros anuais correspondentes. 
Observe que no final do 4o ano o saldo devedor do financiamento se 
anula mediante o pagamento da última prestação, o que confirma que a 
taxa de juros de 8% ao ano está correta, pois ao longo de todo o prazo do 
contrato houve a remuneração de 8% ao ano sobre o saldo do principal 
aplicado em cada ano;
b) saldo devedor (principal remanescente) após o pagamento da 2a prestação
Uma forma de se resolver esse problema consiste em calcular a soma das 
amortizações que faltam ser pagas, isto é: 
 Saldo no final do 2o ano � amortização do 3o ano � amortização do
4o ano � $258,85 � $279,56 � $538,41
O mesmo resultado pode ser obtido descontando-se o valor das prestações 
que faltam ser pagas, isto é, calculando-se o valor presente (no final do 2o ano) 
das últimas duas prestações. Isso pode ser alcançado pelas operações indicadas 
a seguir:
 
n PV PMTi FV
 2 8,00 538,40 �301,92 0,00
TABELA 6.1 Amortização e juros de cada prestação
Anos
Saldo no 
início do 
ano
Juros 
do 
ano
Saldo no 
final do 
ano após 
paga-
mento
Pagamentos no final do ano
Saldo no 
final do 
ano após 
pagamento
Total Juros
 Amorti-
zação
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08
2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,41
3 538,41 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56
4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 101
$80,00
$221,92
$62,25
$258,85
$43,07
$279,56
$22,36
$239,67
0 8% 8% 8% 8%1 2 3 4
Anos
PMT $301,92�
Amortizações
Juros
c) amortizações crescem exponencialmente a 8% ao ano
 Amortização do 1o ano � $221,92
 Amortização do 2o ano � $221,92 � 1,08 � $239,67
 Amortização do 3o ano � $239,67 � 1,08 � $258,85
 Amortização do 4o ano � $258,85 � 1,08 � $279,56
Fica assim demonstrado que as amortizações do Modelo Price crescem expo-
nencialmente (em progressão geométrica) com a mesma taxa do financia mento.
Dessa forma, podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price 
pode ser obtida a partir da 1a amortização pela relação:
 An � A1 (1 � i)
n�1 (6.7)
Essa relação é equivalente à Expressão (4.1), que interliga PV e FV, exceto 
que o valor presente PV está colocado no ponto zero da escala de tempo e 
tem, portanto, n capitalizações para atingir o valor futuro no final do período 
de ordem n.
A 1a amortização (A1), que está colocada no final do 1
o período, necessita 
de (n � 1) capitalizações para atingir a amortização de ordem n (An).
A Figura 6.10 apresenta, de forma esquemática, os valores das amortizações 
e juros anuais desse financiamento:
FIGURA 6.10 Modelo Price – amortizações exponenciais
3. Uma loja de eletrodomésticos financia seus produtos em seis prestações mensais, 
iguais e sucessivas, e obtém nessas operações uma remuneração efetiva de 1,5% 
ao mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor dessas prestações para um 
financiamento com um principal de $3.000,00.
102 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Solução: 
n � 6 meses
i � 1,5% ao mês
PV � $3.000,00
FV � $0,00
PMT � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
n PV PMTi FV
 6 1,50 �3.000,00 526,58 0,00
n PV PMTi FV
 8 3 �20.000,00 2.849,13 0,00
que fornece o resultado de PMT � $526,58. 
6.6. Problemas Resolvidos
6.6.1. Problemas Envolvendo PV e PMT
1. Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num prazo de dois 
anos, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. 
Calcule o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor à vista é 
de $20.000,00.
Solução: 
n � 2 anos � 8 trimestres 
i � 3% ao trimestre
PV � $20.000,00
FV � $0,00
PMT � ? 
Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
que fornece o resultado de PMT � $2.849,13.
2. A compra de automóveis está sendo financiada em 12 prestações mensais de 
$91,68 para cada $1.000,00 de principal. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada 
nesse financiamento, no regime de juros compostos.
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 103
Solução: 
n � 12 meses
PV � $1.000,00
FV � $0,00
PMT � $91,68
i � ? (% ao mês)
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação: 
n PV PMTi FV
 12 1,50 �1.000,00 91,680,00
n PV PMTi FV
 4 1,27196 �10.000,00 2.580,00 0,00
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,50% ao mês.
3. O preço à vista de um equipamento é igual a $11.400,00. Uma loja o está anunciando 
por $1.400,00 de entrada e mais quatro prestações trimestrais de $2.580,00. Calcule 
a taxa efetiva trimestral de juros cobrada na parte financiada.
Solução: 
n � 4 trimestres
PV � $11.400,00 � $1.400,00 � $10.000,00
FV � $0,00
PMT � $2.580,00
i � ? (% ao trimestre)
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,27196% ao trimestre.
4. Uma dívida deve ser liquidada em três prestações trimestrais iguais de $1.000,00. 
Calcule o valor do principal dessa dívida sabendo-se que o custo efetivo desse 
financiamento é de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
Solução: 
 O fluxo de caixa dessa dívida pode ser visualizado nas Figuras 6.11 e 6.12:
104 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses
PV ? �
$1.000,00 $1.000,00 $1.000,00
0 1 2 3
Trimestres
PV ?=
$1.000,00 $1.000,00 $1.000,00
FIGURA 6.11
FIGURA 6.12
a) transformando os trimestres em meses: 
Nesse caso, vamos usar a taxa de 1% ao mês e descontar individualmente 
cada parcela de $1.000,00. Em seguida, devemos somar os valores assim obtidos, 
conforme indicado a seguir. 
 Podemos realizar essas operações, como se segue:
n PV PMTi FV
 3 1,00 970,59 0,00 �1.000,00
 6 1,00 942,05 0,00 �1.000,00
 9 1,00 914,34 0,00 �1.000,00
 Soma $2.826,98
 que fornece o valor do principal como sendo igual a $2.826,98;
b) transformando a taxa mensal na taxa trimestral equivalente:
A taxa trimestral equivalente à taxa de 1% ao mês pode ser obtida com as 
operações indicadas a seguir:
 
n PV PMTi FV
 3 1,00 �100,00 0,00 103,03010
 que fornece a taxa de 3,03010% ao trimestre.
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 105
n PV PMTi FV
 5 1,00 �1.000,00 206,04 0,00
 Os dados do problema passaram, então, a ser os seguintes: 
 n � 3 trimestres
 i � 3,03010% ao trimestre
 PMT � $1.000,00
 FV � $0,00
 PV � ? 
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 3 3.030,10 2.826,98 �1.000,00 0,00
 que fornece resultado idêntico ao alcançado anteriormente.
5. Um financiamento de $1.000,00 de principal deve ser amortizado em cinco prestações 
mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% ao mês, 
no regime de juros compostos, e admitindo-se meses com 30 dias, calcule o valor da 
prestação mensal desse financiamento, nas seguintes hipóteses:
 a) pagamento da 1a prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos 
(série postecipada);
 b) pagamento da 1a prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série 
antecipada).
Solução: 
a) série postecipada 
 n � 5 meses
 i � 1% ao mês
 PV � $1.000,00
 FV � $0,00
 PMT � ?
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
que fornece o resultado de $206,04 para o valor da prestação mensal postecipada.
106 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
3 4 Meses
PMT ?�
PV $1.000,00�
�1 0 1 2
4 5 Meses
PMT ?�
PV� $990,10
0 1 2 3
b) série antecipada
Inicialmente, o principal de $1.000,00 deve ser “puxado” um mês para 
trás, com a taxa de juros do financiamento (1% ao mês), o que é alcançado 
pela operação:
PV 1.000,00
1,01
 $990,10� �
As Figuras 6.13 e 6.14 esclarecem essa movimentação do principal que 
permite seu enquadramento nas condições exigidas pelo Diagrama Padrão:
FIGURA 6.13 Série antecipada
FIGURA 6.14 Série postecipada – principal descontado
Com esse novo posicionamento do principal, podemos realizar o cálculo 
da prestação, como se segue:
n PV PMTi FV
 5 1,00 �990,10 204,00 0,00
 que fornece o resultado de $204,00 para o valor da prestação mensal postecipada.
6. Uma empresa anuncia que seus financiamentos são concedidos com uma taxa de 
juros de “1,5% ao mês”. Para simplicidade operacional, as prestações são calculadas 
pela sistemática indicada a seguir:
 a) cálculo dos juros do financiamento:
� Taxa de juros (% ao mês) � Prazo � Valor financiado 
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 107
 b) cálculo do valor da prestação:
Prestação Valor financiado Juros
Prazo
�
�
 Assuma os meses com 30 dias e calcule as taxas efetivas de juros mensais desses 
financiamentos, para o prazo de quatro meses, nas seguintes hipóteses:
 a) pagamento da 1a prestação ocorrendo um mês após a liberação dos recursos 
(série postecipada);
 b) pagamento da 1a prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos (série 
antecipada).
Solução: 
Vamos inicialmente calcular o valor da prestação mensal para o financiamento 
de $1.000,00 no prazo de quatro meses:
 Juros � 0,015 a.m. � 4 meses � $1.000,00 � $60,00
 Prestação 
($1.000, 00 $60,00)
4
 $265,00� � �
a) série postecipada
 n � 4 meses
 PV � $1.000,00
 PMT � $265,00
 FV � $0,00
 i � ? (% ao mês)
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 4 2,3722 �1.000,00 265,00 0,00
 que fornece a taxa efetiva de 2,3722% ao mês para a série postecipada.
b) série antecipada 
Como a 1a prestação de $265,00 é paga no ato da liberação dos $1.000,00, 
podemos considerar um principal líquido conforme indicado a seguir:
 PV � $1.000,00 � $265,00 � $735,00
Esse principal líquido de $735,00 deve ser liquidado com três prestações 
postecipadas de $265,00. Assim, os dados do problema passam a ser:
 n � 3 meses
 PV � $735,00
 PMT � $265,00
 FV � $0,00
 i � ? (% ao mês)
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
108 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 que fornece a taxa efetiva de 4,0286% ao mês para a série antecipada.
7. Uma loja de eletrodomésticos oferece seu Plano de Natal, no qual as vendas de 
dezembro podem ser financiadas com o 1o pagamento só ocorrendo em abril. A 
taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de 
juros compostos, e os cálculos são feitos considerando-se que os meses têm 30 dias.
Um cliente realizou, em 15 de dezembro, compras no valor de $1.000,00 e 
deseja pagá-las em quatro prestações mensais, iguais e sucessivas. Calcule o valor 
dessas prestações mensais, nas seguintes hipóteses:
 a) pagamento da 1a prestação ocorrendo em janeiro;
 b) pagamento da 1a prestação só em abril, aproveitando a oferta do Plano de 
Natal.
Solução: 
a) primeira prestação em janeiro
 Nesse caso os dados do problema são os seguintes: 
 n � 4 meses
 i � 1,5% ao mês
 PV � $1.000,00
 FV � $0,00
 PMT � ? 
 Esses dados têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 3 4,0286 �735,00 265,00 0,00
 que fornece a prestação mensal de $259,44 para ser paga a partir de janeiro;
b) primeira prestação em abril
Inicialmente, devemos capitalizar o principal de $1.000,00 durante três 
meses para obter o saldo do financiamento no mês de março. Isso é alcançado 
com os seguintes dados:
 4 1,50 �1.000,00 259,44 0,00
n PV PMTi FV
 3 1,50 �1.000,00 0,00 1.045,68
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 109
Agora devemos calcular as quatro prestações mensais para esse novo valor 
de principal, conforme indicado a seguir:
n PV PMTi FV
 4 1,50 �1.045,68 271,30 0,00
n PV PMTi FV
 4 10,00 0,00 �1.000,00 4.641,00
 que fornece a prestação mensal de $271,30 para ser paga a partir de abril.
6.6.2. Problemas Envolvendo FV e PMT
1. Um investidor deposita anualmente a quantia de $1.000,00, no final de dezembro 
de cada ano, num banco que remunera seus depósitos com a taxa efetiva de 10% ao 
ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule o saldo credor desse investidor 
imediatamente antes da efetivação de seu quarto depósito anual.
Solução: 
Inicialmente, devemos calcular o saldo credor após o 4o depósito anual, com 
os seguintes dados:
n � 4 anos
i � 10% ao ano
PMT � $1.000,00
PV � $0,00
FV � ?
 Os dados têm a seguinte apresentação:
que fornece o resultado de FV � $4.641,00.
Para obter o saldo credor antes do 4o depósito basta subtrair o valor do depó-sito, isto é:
 $4.641,00 � $1.000,00 � $3.641,00
2. Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5% ao mês, no 
regime de juros compostos, e realiza seus cálculos considerando os meses com 
30 dias. Um investidor efetua nessa instituição seis depósitos mensais e iguais a 
$800,00, ocorrendo o 1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final 
do mês de junho. Calcule os valores dos saldos acumulados nas seguintes datas 
do mesmo ano:
110 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses
Jan. Jun. Set.
FV ?2 �
FV ?1 �
PMT $ 800,00�
 a) final de junho, após o depósito do mês;
 b) final de setembro.
Solução: 
 A Figura 6.15 ilustra o problema:
FIGURA 6.15
a) saldo no final de junho
 De acordo com a Figura 6.15 os dados do problema são os seguintes:
 n � 6 meses
 i � 1,5% ao mês
 PMT � $800,00
 PV � $0,00
 FV1 � ?
 Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 3 1,5 �4.983,64 0,00 5.211,28
n PV PMTi FV
 6 1,5 0,00 �800,00 4.983,64
 que fornece o resultado de FV � $4.983,64;
b) saldo no final de setembro
Agora precisamos capitalizar o saldo de junho por mais três meses, para obter o 
saldo no final de setembro, conforme mostrado no Simulador da HP-12C a seguir:
 que fornece o resultado de FV � $5.211,28 para o saldo no final de setembro. 
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 111
3. Uma caderneta de poupança oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 1% ao 
mês, no regime de juros compostos. Calcule o valor do depósito mensal necessário 
para acumular um montante de $10.000,00 no final de um ano, imediatamente 
após o 12o depósito mensal.
Solução: 
 Os dados do problema são os seguintes:
n � 1 ano � 12 meses
i � 1% ao mês
FV � $10.000,00
PV � $0,00
PMT � ?
 Com os dados do problema, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 12 1,00 0,00 788,49 �10.000,00
n PV PMTi FV
 6 1,00 4.710,23 0,00 �5.000,00
que fornece $788,49 para o valor dos depósitos mensais. 
4. Um banco comercial remunera seus depósitos na base de 1% ao mês, no regime de 
juros compostos, considerando os meses com 30 dias nos cálculos de suas operações. 
Um investidor efetua, nesse banco, seis depósitos mensais e iguais, ocorrendo o 
1o depósito no final do mês de janeiro e o último no final do mês de junho. 
Calcule o valor do depósito mensal necessário para produzir saldo de $5.000,00 
no final de dezembro.
Solução: 
a) saldo no final de junho
Devemos inicialmente achar o valor presente do saldo de $5.000,00, no 
final de junho, pois este é o mês onde ocorreu o último depósito. Assim temos:
 n � 6 meses
 i � 1% ao mês
 FV � $5.000,00
 PMT � $0,00
 PV � ?
 Podemos realizar essa operação com o Simulador da HP-12C, conforme indicado:
que fornece $4.710,23 para o valor do saldo no final de junho, que será usado 
no cálculo do valor do depósito mensal.
112 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valor do depósito mensal
 Agora os dados do problema passam a ser os indicados a seguir:
 n � 6 meses
 i � 1% ao mês
 FV � $4.710,23
 PV � $0,00
 PMT � ?
 Com esses dados, o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 6 1,00 0,00 765,64 �4.710,23
n PV PMTi FV
 4 3,26182 0,00 �5.000,00 21.000,00
que fornece $765,64 para o valor do depósito mensal.
 5. Um investidor efetuou quatro depósitos consecutivos de $5.000,00 numa caderneta 
de poupança, no final de cada trimestre. Calcule a rentabilidade efetiva trimestral 
dessa caderneta de poupança sabendo-se que o saldo acumulado por esse investidor, 
imediatamente após a efetivação do último depósito trimestral, é de $21.000,00.
Solução: 
n � 4 trimestres
FV � $21.000,00
PMT � $5.000,00
PV � $0,00
i � ? (% ao trimestre)
 Para os dados do problema o Simulador da HP-12C tem a seguinte apresentação:
que fornece a taxa efetiva de juros de 3,26182% ao trimestre.
6.6.3. Problemas Envolvendo PV, PMT e FV
Nesta seção, vamos resolver alguns problemas envolvendo os cinco elementos do 
Diagrama Padrão, isto é, problemas que incluem os parâmetros básicos i e n e ainda 
os três parâmetros monetários PV, FV e PMT.
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 113
1. Um título de renda mensal foi emitido com os seguintes parâmetros:
prazo = 12 meses
valor de emissão = $10.000,00
valor de resgate = $10.000,00
juros mensais = 1% ao mês
valor do cupom mensal = $100,00
 Obtenha:
 a) o fluxo de caixa do investidor que adquirir esse título e conservá -lo até seu 
vencimento;
 b) o valor presente dos 12 cupons de $100,00;
 c) o valor presente dos $10.000,00 que serão recebidos pelo investidor no final 
do 12o mês;
 d) a soma dos valores presentes dos itens b e c.
Solução: 
a) o fluxo de caixa do investidor está indicado a seguir:
10 11 12 Meses
PMT � (�) $100,00 
PV � (�)?
FV � (�)$10.000,00 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n PV PMTi FV
 12 1,00 1.125,51 �100,00 0,00
 que fornece PVcupons � $1.125,51;
FIGURA 6.16
b) valor presente dos 12 cupons de $100,00:
114 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
c) valor presente do resgate de $10.000,00 no 12o mês:
n PV PMTi FV
 12 1,00 8.874,49 0 �10.000,00
n PV PMTi FV
 12 1,00 10.000,00 �100,00 �10.000,00
n PV PMTi FV
 12 1,50 9.454,62 �100,00 �10.000,00
 que fornece PV � $8.874,49;
d) soma dos valores presentes dos itens b e c:
 PVtítulo � $1.125,51 � $8.874,49 � $10.000,00
Podemos obter o valor presente do título com uma única operação na 
HP-12C/Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Isso pode 
ser alcançado com os dados indicados a seguir:
 que fornece $10.000,00 para o valor presente do título.
 2. Calcule o valor de venda, na data de emissão, do título do Problema 1, caso se 
queira proporcionar uma rentabilidade de 1,5% ao mês para o investidor que 
conservar o papel até a data de seu resgate.
Solução: 
Podemos obter o valor presente do título com uma única operação na HP-12C/
Excel, pois os cinco parâmetros estão sempre em operação. Isso pode ser alcançado 
com os dados indicados a seguir:
que fornece $9.454,62 para o valor presente do título.
 3. Calcule a rentabilidade do investidor que adquirir o título do Problema 1 com 
5% de deságio sobre o valor de emissão de $10.000,00.
Solução: 
Com o deságio de $500,00 (5% sobre os $10.000,00), os dados desse problema 
são os seguintes: 
n � prazo � 12 meses
PV � valor de venda � $9.500,00
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 115
10 Meses
PMT � (�) $1.067,18 
PV � (�)?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
FV � valor de resgate � $10.000,00
PMT � valor do cupom mensal � $100,00
i � ? (% ao mês)
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
n PV PMTi FV
 12 1,4572 �9.500,00 100,00 10.000,00
n PV PMTi FV
 10 1,20 �10.000,00 1.067,18 0,00
que fornece a taxa efetiva de juros de 1,4572% ao mês.
4. Um financiamento com o valor do principal de $10.000,00 deve ser liquidado em 
10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de juros efetiva de 1,2% 
ao mês. Calcule:
 a) o valor da prestação mensal;
 b) o valor do saldo devedor (principal remanescente) desse financiamento ime-
diatamente após o pagamento da 4a prestação.
Solução: 
a) valor da prestação mensal
Os dados do problema têm a seguinte apresentação:
 que fornece $1.067,18 para o valor da prestação;
b) saldo devedor (principal remanescente) após a 4a prestação:
O saldo devedor após o pagamento da 4a prestação pode ser obtido de três 
maneiras distintas, desenvolvidas a seguir: 
 Calculando-se o valor presente das seis prestações que faltam ser pagas:
 O fluxo de caixa dessa solução está indicado a seguir:
FIGURA 6.17
116 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O valor presente das seis prestações que faltam ser pagas é obtido conforme 
indicado a seguir:
10 Meses
PMT � (�)$1.067,18
PV � (�)$10.000,00 
FV � (�)? 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n PV PMTi FV
 6 1,20 �6.142,53 �1.067,18 0,00
 que fornece o valor de $6.142,53para o saldo da dívida no final do 4o mês.
Capitalizando-se o valor do principal ($10.000,00) até o final do 4o mês 
e subtraindo-se desse montante o valor das quatro prestações pagas, também 
capitalizadas para o final do 4o mês: 
 O fluxo de caixa dessa solução está na Figura 6.18:
FIGURA 6.18
O valor do principal capitalizado para o final do 4o mês é obtido conforme 
indicado a seguir:
n PV PMTi FV
 4 1,20 �10.000,00 0,00 10.488,71
n PV PMTi FV
 4 1,20 0,00 1.067,18 �4.346,17
O valor acumulado pelas quatro prestações pagas, no final do 4o mês, é 
obtido conforme indicado a seguir:
 e portanto o saldo da dívida, no final do 4o mês, é igual a:
 Saldo devedor � $10.488,71 � $4.346,17 � $6.142,54
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 117
Podemos obter esse mesmo valor para o saldo devedor com uma única ope-
ração na HP-12C/Excel, fazendo os cinco elementos entrarem em operação, 
conforme indicado a seguir:
n PV PMTi FV
 4 1,20 �10.000,00 1.067,18 6.142,54 
que fornece $6.142,54 para o valor do saldo da dívida, após o pagamento da 4a 
prestação. Observar que PV foi registrado com valor (�) e PMT com sinal (�).
Calculando-se a soma das amortizações das seis prestações que faltam ser 
pagas:
O valor de cada uma dessas amortizações pode ser obtido conforme mostrado 
no Exemplo 2 da Seção 6.5.3. Assim:
TABELA 6.2
Amortização
5a prestação $993,47
6a prestação $1.005,39
7a prestação $1.017,46
8a prestação $1.029,67
9a prestação $1.042,02
10a prestação $1.054,53
Soma das amortizações $6.142,54
 que fornece o resultado de $6.142,54, idêntico aos obtidos anteriormente.
5. Calcule o valor da taxa mensal de arrendamento para uma operação de leasing, 
com os seguintes parâmetros:
a) valor da operação � $100.000,00
b) prazo � 12 meses
c) taxa efetiva de juros � 1,4% ao mês
d) valor residual garantido (VRG) � 20%
e) prestações são mensais e pagas no final de cada mês
118 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Solução: 
Os dados do problema são os seguintes:
PV � $100.000,00
VRG � FV � 20% de $100.000,00 � $20.000,00
n � 12 meses
i � 1,4% ao mês
Taxa mensal de arrendamento � PMT � ? 
 O fluxo de caixa dessa operação de leasing está indicado a seguir:
FIGURA 6.19
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
PMT � (�)? 
PV � (�)$100.000,00 FV � (�)$20.000,00 
n PV PMTi FV
 12 1,40 �100.000,00 7.568,79 20.000,00
n PV PMTi FV
 12 1,40 16.926,79 0,00 �20.000,00
 12 1,40 83.073,22 �7.568,79 0,00
 Soma 100.000,01
 Podemos obter a taxa de arrendamento mensal (PMT) com uma única ope-
ração na HP-12C/Excel, fazendo os cinco elementos do problema entrarem em 
operação, conforme indicado a seguir:
que fornece $7.568,79 para o valor da taxa de arrendamento mensal.
Vamos agora verificar o resultado obtido calculando o valor presente do fluxo 
de caixa, com a taxa de juros de 1,4% ao mês, conforme indicado a seguir: 
que fornece $100.000,01 para o valor da operação. A pequena diferença de $0,01 
para o valor original da operação deve-se ao arredondamento das parcelas.
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 119
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
PV = (–)$10.000,00
(+)$100,00
FV = (+)$10.000,00
PMT = 
6.6.4. Problemas Envolvendo Prestações Perpétuas
Nesta seção, vamos desenvolver a fórmula para o cálculo das prestações PMT 
quando o número de períodos n tende para o infinito, isto é, para o cálculo de pres-
tações perpétuas, ou perpetuidades.
Vamos nos basear no Problema 1 da Seção 6.6.3, que apresenta o seguinte fluxo 
de caixa:
FIGURA 6.20
É importante lembrar que esse título obedece ao conceito fundamental do regime 
composto. Senão vejamos:
 a) no 1o mês, o principal (PV) de $10.000,00 rende juros de $100,00 obtidos pela 
aplicação da taxa de 1% sobre os $10.000,00 (saldo do principal no início do 
mês), elevando o saldo aplicado para $10.100,00 no final do 1o mês;
 b) no final do 1o mês, o investidor recebe os $100,00 de juros do 1o mês, e o saldo 
aplicado para o 2o mês volta a ser $10.000,00;
 c) no 2o mês, o processo se repete, e o saldo aplicado para o 3o mês continua a ser 
$10.000,00;
 d) essa sistemática é mantida em todos os meses até o mês de vencimento do 
papel, em que o investidor recebe os $10.000,00 originariamente aplicados.
Quanto maior o número de meses (n), menor a importância do valor de resgate 
do principal aplicado colocado no último mês do fluxo de caixa, e portanto menor 
seu valor presente. Se o valor de n tender para o infinito, então o valor presente dessa 
parcela futura de $10.000,00 tenderá a zero.
Assim, quando n tende para o infinito, o principal PV passa a ser equivalente a 
uma série perpétua de prestações PMT � PV � i, e são válidas as relações:
 
PV PMT 
1
i
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟�
 (6.8)
 PMT � PV � i (6.9)
120 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
1. Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual 
de $1.000,00, de forma perpétua, sabendo-se que esse investimento é remunerado 
com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Solução: 
A partir da Relação (6.8) podemos escrever:
 
PV $1.000,00
10%
 $1.000,00
0,1
� � � $10.000,00
2. Calcule o valor da prestação mensal perpétua que remunera um investimento de 
$100.000,00 com a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos.
Solução: 
A partir da Relação (6.9) podemos escrever:
 PMT � $100.000,00 � 1,2% � $100.000,00 � 0,012 � $1.200,00
3. As ações preferenciais de uma determinada empresa pagam um dividendo anual 
de $5,00/ação. Calcule o valor da ação preferencial dessa empresa sabendo-se que 
a taxa de desconto utilizada no mercado é de 8% ao ano. 
Solução: 
Assumindo que essas ações preferenciais pagam regularmente esses dividendos 
anuais, e como as ações preferenciais não têm data de resgate, podemos considerar 
os dividendos pagos por essa ação como sendo uma perpetuidade. Dessa forma, o 
valor dessa ação preferencial é obtido pela Relação (6.8), isto é:
 PV 
$5,00
8%
 $5,00
0,08
� � � $62,50 
6.7. Conclusão
Neste capítulo, desenvolvemos as fórmulas que permitem transformar prestações 
uniformes de valor igual a PMT em seu valor presente PV e em seu valor futuro FV 
correspondente. 
Desenvolvemos também as fórmulas que realizam as operações inversas, permitindo 
transformar o valor presente PV e o valor futuro FV em suas respectivas prestações 
de valor igual a PMT. 
Todas as simplificações proporcionadas pela série uniforme PMT são baseadas 
na fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica, e só são alcançadas 
porque as prestações uniformes são consideradas equidistantes no tempo. Assim, se 
as prestações são mensais, as fórmulas que envolvem o cálculo com PMT assumem 
que todos os meses têm 30 dias. 
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 121
Essa situação não ocorre, normalmente, nas operações de crediário, em que as 
prestações costumam ter vencimento numa mesma data de calendário. Entretanto, é 
praxe do mercado realizar os cálculos considerando os meses com 30 dias, e cobrando 
as prestações em datas fixas de calendário. 
Nas soluções dos problemas, os fluxos de caixa foram enquadrados no Diagrama 
Padrão para permitir o uso da solução com a HP-12C/Excel.
6.8. Problemas Propostos
Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.
1. Um empréstimo, cujo principal é de $20.000,00, foi realizado a juros compostos, 
e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e 
sucessivas. Calcule o valor dessas prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada 
é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1a prestação ocorre 30 dias 
após a liberação dos recursos.
 2. Um principal de $10.000,00 deve ser liquidado em quatro prestações semestrais, 
iguais e sucessivas. Calcule o valor dessas prestações para uma taxa de 1,5% ao 
mês, a juros compostos.
 3. Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, 
cujo valor à vista é de $10.000,00.Para diminuir o valor das prestações, ele pre-
tende dar uma entrada de $3.000,00 por ocasião da compra. Calcule o valor das 
24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se 
que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados 
mensalmente, e que a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 
 4. Um equipamento cujo valor à vista é de $25.000,00 está sendo financiado a juros 
compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Cal-
cule o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o valor das 
12 prestações mensais, iguais e sucessivas, seja limitado a $1.700,00. Assuma que 
a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
 5. Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiado em 24 
prestações de $1.500,00 com uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros 
compostos. No final de um ano, esse cliente procurou a mesma agência para ven-
der esse automóvel, e a agência lhe ofereceu $18.000,00, para pagamento à vista. 
Calcule a parcela que deve ser paga ao cliente para que a agência adquira esse 
veículo assumindo o restante do financiamento, com a mesma taxa de 1% ao mês.
 6. Um equipamento tem o valor de $25.000,00 à vista, e pode ser financiado num 
prazo de seis meses, com um multiplicador de $172,50 para cada $1.000,00 de 
principal. Calcule o valor da prestação mensal do financiamento desse equipa-
mento e sua taxa mensal de juros, no regime de juros compostos, assumindo que 
a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
122 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 7. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado com 
10 prestações mensais, sucessivas e iguais a $1.075,00. Calcule a taxa interna de 
retorno desse financiamento, no regime de juros compostos, assumindo que a 1a 
prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.
 8. Um financiamento, com o principal de $10.000,00, deve ser liquidado em 10 pres-
tações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de 
juros compostos. Assuma os meses com 30 dias e calcule o valor dessas prestações 
nas seguintes hipóteses:
 a) a 1a prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos;
 b) a 1a prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos, a título de en -
trada;
 c) a 1a prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos.
9. Um financiamento de $10.000,00 deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 
prestações mensais de $900,00. Calcule a taxa efetiva mensal desse financiamento, 
no regime de juros compostos, nas seguintes hipóteses:
 a) a 1a prestação ocorre 30 dias após a liberação do principal;
 b) a 1a prestação ocorre na mesma data da liberação do principal.
10. Uma loja de eletrodomésticos realiza financiamentos de $1.000,00, para serem pagos 
em prestações mensais iguais, calculadas a “1% ao mês”, pelo seguinte plano: 
� 1% � Prazo (meses) � $1.000,00;
Prestação ($1.000, 00 Juros)
Prazo (Meses)
�
�
Calcule as taxas efetivas mensais desses financiamentos, a juros compostos, 
para o prazo de seis meses, nas seguintes hipóteses:
 a) pagamento da 1a prestação 30 dias após a liberação dos recursos;
 b) pagamento da 1a prestação no ato da liberação dos recursos, a título de entrada.
11. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, no regime 
de juros compostos, e deve ser amortizado no prazo de 10 anos, com os dois primeiros 
anos de carência. Calcule o valor das oito prestações anuais, iguais e sucessivas, que 
deverão ser pagas a partir do final do 3o ano, nas seguintes hipóteses: 
 a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada 
ano; 
 b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos e sim 
capitalizados.
12. Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $2.000,00 numa instituição finan-
ceira e verificou que o saldo a sua disposição, imediatamente após a efetivação de 
seu último depósito, era de $21.000,00. Calcule a taxa de remuneração mensal 
desses depósitos no regime de juros compostos.
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 123
13. Uma empresa tomou um empréstimo de $100.000,00 que deve ser liquidado em 25 
prestações trimestrais iguais e sucessivas, com juros compostos de 3% ao trimestre, 
capitalizados trimestralmente. Logo após o pagamento da 8a prestação, essa empresa 
manifestou sua intenção de aumentar o prazo desse empréstimo, de forma a liquidá-
-lo em 30 prestações trimestrais adicionais, iguais e sucessivas. Calcule o valor dessa 
nova prestação trimestral, para que a taxa de 3% ao trimestre seja mantida.
14. Um investidor resolveu efetuar seis depósitos trimestrais sucessivos de $5.000,00 
numa caderneta de poupança que oferece uma remuneração de 12% ao ano 
capitalizados trimestralmente. O primeiro depósito é efetuado no ato da decisão 
do investidor, e os cinco depósitos restantes no final de cada um dos próximos 
trimestres. Calcule os saldos acumulados por esse investidor nessa caderneta de 
poupança, nas seguintes ocasiões:
 a) imediatamente após seu último depósito;
 b) no final do 2o trimestre após a efetivação do último depósito.
15. Uma caderneta de poupança que remunera seus depósitos a juros compostos, com 
uma taxa de 15% ao ano, capitalizados trimestralmente, recebeu de um cliente 
seis depósitos trimestrais consecutivos, todos de mesmo valor. Calcule o valor 
desses depósitos trimestrais para que esse cliente possa retirar dessa caderneta de 
poupança a quantia de $20.000,00 no final do 4o trimestre após a efetivação de 
seu último depósito.
16. Num determinado ano civil um empresário efetua quatro depósitos mensais, iguais 
e sucessivos, num banco que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma 
taxa de 1,2% ao mês. No final de dezembro desse exercício o total acumulado por 
esse empresário, por esses depósitos, é de $100.000,00. Assuma os meses com 30 
dias e calcule o valor desses depósitos mensais nas seguintes hipóteses:
 a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro;
 b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril.
17. Assuma que no Problema 16 os depósitos sejam efetuados em meses alternados. 
Assim, se o primeiro depósito ocorrer no final de janeiro, os outros três depósitos 
ocorrerão no final de março, maio e julho, respectivamente. Assuma ainda que a ta xa 
de juros e o montante acumulado no final do ano são iguais ao do Problema 16.
 Calcule o valor desses depósitos mensais alternados nas seguintes hipóteses:
 a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro;
 b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril.
18. Um financiamento, cujo valor do principal é de $100.000,00, deve ser liquidado 
mediante o pagamento de 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, a partir de 30 
dias da liberação dos recursos. Sabendo-se que a taxa efetiva desse financiamento, 
a juros compostos, é de 1% ao mês, calcule:
124 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 a) o valor das prestações mensais;
 b) o valor dos juros e da amortização, contidos na 1a prestação; 
 c) o valor da amortização do principal contida na 20a prestação;
 d) o valor do saldo devedor (principal remanescente) imediatamente após o 
pagamento da 12a prestação.
19. Um banco de investimentos realiza suas operações de financiamento com uma 
taxa efetiva de juros de 15% ao ano, no regime de juros compostos. Entretanto, 
essa taxa é cobrada em duas parcelas: 
 a) uma parcela de 10% ao ano cobrada de forma postecipada, ao longo do contrato;
 b) uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos. 
Calcule o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente, no ato da 
liberação dos recursos, para que a taxa de 15% ao ano seja mantida nos seguintes 
esquemas de amortização do financiamento:
 a) liquidação do financiamento em uma única parcela, no final do 12o mês da 
liberação dos recursos; 
 b)liquidação do financiamento em quatro parcelas trimestrais de mesmo valor, 
ocorrendo a 1a parcela 90 dias após a liberação dos recursos.
20. Uma loja de eletrodomésticos financia suas vendas em quatro vezes “sem juros”, me-
diante pagamentos mensais, iguais e sucessivos, a partir do 30o dia da data da venda.
Calcule o valor do percentual de acréscimo que essa loja deve aplicar em seus 
preços à vista para que possa obter uma remuneração efetiva de 1,4% ao mês em 
seus financiamentos.
21. Uma instituição financeira que opera no regime de juros compostos, com uma taxa 
efetiva de 1% ao mês, oferece a seus clientes os seguintes planos de financia mento:
 a) plano mensal: 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo o pagamento 
da 1a prestação 30 dias após a data da operação;
 b) plano trimestral: quatro prestações trimestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo o 
pagamento da 1a prestação 90 dias após a data da operação.
Um cliente dessa instituição financeira deseja tomar um financiamento de 
$100.000,00, para ser pago parte pelo plano mensal e parte pelo plano trimestral.
Calcule as parcelas que devem ser financiadas em cada plano para que a pres-
tação do plano trimestral seja o dobro do valor da prestação do plano mensal.
22. Uma debênture foi emitida com um valor de $10.000,00 e com um valor de 
resgate de $10.000,00 no final de cinco anos. Os juros desse título são pagos 
Capí tu lo 6 – Sér ie Uni forme – Pres tações Iguais 125
anualmente com uma taxa efetiva de 8% ao ano, e portanto os cupons anuais 
de juros têm o valor de $800,00. Calcule a rentabilidade de um investidor que 
adquirir esse título na data de sua emissão com um deságio de 5% e que o conservar 
até seu vencimento.
23. Calcule o valor da taxa mensal de arrendamento para uma operação de leasing, 
com os seguintes parâmetros:
 a) valor da operação = $10.000,00
 b) prazo = 36 meses
 c) taxa efetiva de juros = 1,5% ao mês
 d) valor residual garantido (VRG) = 25%
 e) prestações mensais pagas no final de cada mês
24. Um autor de livro didático tem um contrato de edição, em caráter perpétuo, com 
uma editora que paga direitos autorais anualmente, na base de 10% do preço de 
capa de cada livro vendido. O volume de vendas dessa obra é de 3.000 exemplares 
por ano e seu preço de capa é de $50,00. Calcule o valor presente desse contrato, 
assumindo uma taxa de desconto de 10% ao ano.
7.1. Introdução
O objetivo primeiro deste capítulo é expandir e consolidar o conceito de valor 
presente de fluxos de caixa no regime de juros compostos, introduzido em capítulos 
anteriores.
O segundo e principal objetivo é apresentar, por exemplos numéricos seleciona-
dos, os conceitos de valor presente líquido e taxa interna de retorno de um fluxo de 
caixa. 
7.2. Valor Presente e Taxa de Desconto
7.2.1. Conceitos 
Valor presente, taxa de desconto e equivalência de fluxos de caixa são conceitos abso-
lutamente interligados. 
Denomina-se valor presente de um fluxo de caixa o valor monetário (PV) do 
ponto zero da escala de tempo, que é equivalente à soma de suas parcelas futuras, 
descontadas para o ponto zero, com uma determinada taxa de juros.
A taxa de juros utilizada para descontar as parcelas futuras do fluxo de caixa é 
denominada taxa de desconto.
Os exemplos desenvolvidos neste capítulo servem para consolidar esses conceitos.
A equivalência de fluxos de caixa está ligada à taxa de juros, pois pagar à vista uma 
determinada compra equivale a pagá-la a prazo, em parcelas futuras, desde que se 
aceite uma taxa de juros no caso do parcelamento. O conceito de equivalência é 
apresentado, em detalhes, no Capítulo 8, e é extremamente importante para o pro-
cesso de tomada de decisões.
7
Valor Presente Líquido 
e Taxa Interna 
de Retorno
Capítulo
128 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
7.2.2. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com 
uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos.
FIGURA 7.1
 1a Solução: decompondo o fluxo de caixa
O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir:
FIGURA 7.2 Fluxo (1)
FIGURA 7.3 Fluxo (2)
Podemos, então, calcular os valores presentes desses dois fluxos de caixa, con-
forme indicado a seguir: 
a) valor presente do fluxo (1) � PV1:
 
PV1 � ?
ia � 8% a.a.
$1.000,00
0 1 2 3 4 Anos
$1.000,00 $1.000,00
PV ?� i 8% a.a.a �
$1.000,00
0 1 2 3 4 Anos
$1.000,00 $1.000,00
$3.000,00
PV2 � ?
ia � 8% a.a. 
0 1 2 3 4 Anos
$3.000,00
n PV PMTi FV
 3 8,00 2.577,10 �1.000,00 0,00
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 129
b) valor presente do fluxo (2) � PV2:
n PV PMTi FV
 4 8,00 2.205,09 0,00 �3.000,00
n PV PMTi FV
 1 8,00 925,93 0,00 �1.000,00
 2 8,00 857,34 0,00 �1.000,00
 3 8,00 793,83 0,00 �1.000,00
 4 8,00 2.205,09 0,00 �3.000,00
 Soma 4.782,19
O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes desses dois 
fluxos, isto é:
 PV � PV1 � PV2 � $2.577,10 � $2.205,09 � $4.782,19
2a Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa
O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado 
com as operações indicadas a seguir:
que fornece o valor presente de $4.782,19, igual, é claro, ao obtido anteriormente.
Esse valor de $4.782,19 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa 
que foi fornecido, com a taxa de desconto de 8% ao ano utilizada para efetuar 
o desconto de todas as suas parcelas.
Da ótica do financiador, podemos afirmar que o investidor que aceitar uma 
remuneração de 8% ao ano sobre seu capital concorda em fazer um investimen-
to de $4.782,19 para receber três parcelas de $1.000,00 no final dos próximos 
três anos e mais uma parcela de $3.000,00 no final do 4o ano.
Da ótica do financiado, podemos afirmar que o tomador de um empréstimo 
de $4.782,19 para ser pago em três parcelas anuais de $1.000,00 e mais uma 
parcela de $3.000,00 no final do 4o ano concorda em remunerar o capital 
do financiador com a taxa de juros de 8% ao ano, que é o custo efetivo do 
financiamento.
130 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
2. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com 
uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
FIGURA 7.4
1a Solução: decompondo o fluxo de caixa
O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir:
FIGURA 7.5 Fluxo (1)
FIGURA 7.6 Fluxo (2)
 Podemos, então, calcular os valores presentes desses dois fluxos de caixa, 
conforme indicado a seguir:
a) valor presente do fluxo (1) � PV1:
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses
im � 1% a.m. PV � ?
$10,00/mês $10,00/mês
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses
im� 1% a.m. PV1 � ?
$10,00/mês
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses
PV ?2 � $10,00/mês
im � 1% a.m. 
n PV PMTi FV
 4 1,00 39,020 �10,00 0,00
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 131
b) valor presente do fluxo (2) � PV2:
 Cálculo do valor futuro de três parcelas de $10,00, no final do 8o mês:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses
im � 1% a.m.
PV � ? 
$10,00/mês
( )$10,00�
n PV PMTi FV
 3 1,00 0,00 �10,00 30,301
n PV PMTi FV
 8 1,00 27,982 0,00 �30,301
 Cálculo do valor presente de uma parcela de $30,301 no final do 8o mês:
O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes desses dois 
fluxos, isto é:
 PV � PV1 � PV2 � $39,020 � $27,982 � $67,002 � $67,00
2a Solução: somando e subtraindo $10,00 no final do 5o mês
Podemos somar e subtrair $10,00 no final do 5o mês, o que não altera o 
fluxo de caixa, pois a soma líquida é igual a zero. Dessa forma, o fluxo de caixa 
passa a ter a seguinte apresentação:
FIGURA 7.7 Fluxo (3)
Agora, podemos descontar as oito parcelas mensais de $10,00 e subtrair o 
desconto de uma parcela de $10,00 no final do 5o mês. Essas operações estão 
indicadas a seguir: 
132 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
que fornece o valor de $67,00, idêntico ao anterior.
 3a Solução: descontando individualmentecada parcela do fluxo de caixa
O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realiza-
do com as operações indicadas a seguir:
n PV PMTi FV
 1 1,00 9,901 0,00 �10,00
 2 1,00 9,803 0,00 �10,00
 3 1,00 9,706 0,00 �10,00
 4 1,00 9,610 0,00 �10,00
 6 1,00 9,420 0,00 �10,00
 7 1,00 9,327 0,00 �10,00
 8 1,00 9,235 0,00 �10,00
 Soma 67,002
 8 1,00 76,517 �10,00 0,00
 5 1,00 �9,515 0,00 10,00
 Soma 67,002
que fornece o valor presente de $67,00, igual, é claro, aos obtidos anteriormente.
O valor de $67,00 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa que 
foi fornecido, com a taxa de desconto de 1% ao mês utilizada para efetuar o 
desconto de todas as suas parcelas.
3. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com 
uma taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 133
FIGURA 7.8
 
 1a Solução: decompondo o fluxo de caixa
 O fluxo de caixa pode ser desdobrado nos fluxos de caixa indicados a seguir:
FIGURA 7.9 Fluxo (1)
FIGURA 7.10 Fluxo (2)
 
Podemos, então, calcular os valores presentes desses dois fluxos de caixa, 
conforme indicado a seguir:
 a) valor presente do fluxo (1) � PV1:
Meses
im � 1% a.m. PV � ?
$200,00/mês
$100,00/mês
1 2 3 4 5 60
Meses
$100,00/mês
1 2 3 4 5 60
im � 1% a.m. 
PV2 � ?
Meses
$100,00/mês
1 2 3 4 5 60
im � 1% a.m. 
PV1 � ?
n PV PMTi FV
 6 1,00 579,55 �100,00 0,00
134 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valor presente do fluxo (2) � PV2:
n PV PMTi FV
 1 1,00 198,02 0,00 �200,00
 2 1,00 196,06 0,00 �200,00
 3 1,00 194,12 0,00 �200,00
 4 1,00 96,10 0,00 �100,00
 5 1,00 95,15 0,00 �100,00
 6 1,00 94,20 0,00 �100,00
 Soma 873,65
n PV PMTi FV
 3 1,00 294,10 �100,00 0,00
O valor presente procurado é igual à soma dos valores presentes desses dois 
fluxos de caixa, isto é:
PV � PV1 � PV2 � $579,55 � $294,10 � $873,65
 2a Solução: descontando individualmente cada parcela do fluxo de caixa
O desconto individual de cada parcela do fluxo de caixa pode ser realizado 
com as operações indicadas a seguir:
 que fornece o valor presente de $873,65, idêntico ao obtido anteriormente.
Esse valor de $873,65 é equivalente às parcelas futuras do fluxo de caixa for-
necido, com a taxa de desconto de 1% ao mês utilizada para efetuar o desconto 
de todas as suas parcelas.
4. Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado na Tabela 7.1 com uma taxa 
de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 135
Solução: 
O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquer simplifica-
ção algébrica. Assim, a única maneira de se obter seu valor presente é mediante o 
desconto individual de cada uma de suas parcelas, o que pode ser alcançado com as 
operações a seguir indicadas.
n PV PMTi FV
 1 10,00 2.136,36 0,00 �2.350,00
 2 10,00 1.148,76 0,00 �1.390,00
 3 10,00 2.516,90 0,00 �3.350,00
 4 10,00 2.919,88 0,00 �4.275,00
 5 10,00 3.321,93 0,00 �5.350,00
 Soma 12.043,83
O valor presente do fluxo de caixa é, portanto, igual a $12.043,83, que é equivalente 
às parcelas futuras do fluxo de caixa, com a taxa de desconto de 10% ao ano.
7.2.3. Comentários
Os três primeiros exemplos numéricos do item anterior serviram para mostrar diversas 
maneiras de se determinar o valor presente de cada um dos respectivos fluxos de caixa. 
TABELA 7.1
Ano Valor ($)
0 –
1 2.350,00
2 1.390,00
3 3.350,00
4 4.275,00
5 5.350,00
Soma 16.715,00
136 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
As simplificações foram alcançadas porque esses fluxos de caixa apresentam uma 
certa uniformidade que permite seus desdobramentos em outros fluxos, nos quais 
foi possível a utilização de operações envolvendo o parâmetro PMT para realizar o 
desconto das parcelas futuras.
Nesses três exemplos, a última solução sempre foi pelo desconto individual de 
cada uma das parcelas dos respectivos fluxos de caixa.
O quarto exemplo apresentou um fluxo de caixa totalmente heterogêneo que não 
permite nenhuma simplificação algébrica, e a única forma de se obter o seu valor 
presente é pelo desconto individual de suas parcelas futuras.
O valor presente de qualquer fluxo de caixa pode ser sempre obtido pelo des-
conto individual de suas parcelas futuras, que devem ser, posteriormente, somadas 
algebricamente. 
No Capítulo 9, mostramos a função especial NPV da HP-12C e a função VPL do 
Excel para efetuar o cálculo do valor presente de qualquer fluxo de caixa, mediante 
o desconto individual de suas parcelas. 
7.3. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno
7.3.1. Conceitos
Nesta seção, vamos desenvolver os conceitos de valor presente líquido e de taxa 
interna de retorno de um fluxo de caixa.
O valor presente líquido (VPL) ou “Net Present Value” (NPV) está diretamente 
ligado ao valor presente do fluxo de caixa, explicado na Seção 7.2.
O valor presente líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas 
parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de desconto), so-
mado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero. 
No caso de investimentos a grandeza colocada no ponto zero corresponde ao valor 
desembolsado para a realização do investimento e tem sinal negativo, uma vez que 
representa uma saída de caixa.
A taxa interna de retorno (TIR) ou “Internal Rate of Return” (IRR) de um fluxo 
de caixa é a taxa de desconto que faz seu valor presente líquido ser igual a zero. 
O valor presente líquido é igual a zero quando as grandezas futuras, ao serem 
descontadas com uma determinada taxa, produzem um valor presente para o fluxo 
de caixa que é igual ao investimento inicial (desembolso) colocado no ponto zero 
da escala de tempo.
No Capítulo 9, mostramos as funções especiais NPV e IRR da HP-12C e as funções 
VPL e TIR do Excel para a obtenção do valor presente líquido e da taxa interna de re-
torno de fluxos de caixa que não apresentam qualquer uniformidade nas suas parcelas.
Os exemplos desenvolvidos a seguir servem para consolidar esses conceitos.
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 137
7.3.2. Exemplos Numéricos
1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa indicado a seguir, com uma 
taxa de desconto de 8% a.a. 
FIGURA 7.11 
Solução: 
Inicialmente, vamos desdobrar o fluxo de caixa do investimento nos dois fluxos 
indicados a seguir:
FIGURA 7.12 Fluxo (1)
FIGURA 7.13 Fluxo (2)
O fluxo (1) corresponde a um investimento inicial de $100,00, tem sinal negativo 
porque corresponde a uma saída de caixa, e não deve ser descontado com a taxa 
de desconto, pois já é uma grandeza que está colocada no ponto zero da escala 
de tempo.
O fluxo (2) corresponde à parcela futura de $121,00, que representa uma 
entrada de caixa no final do 2o ano e, portanto, tem sinal positivo. Essa parcela 
futura é que precisa ser descontada com a taxa de desconto de 8% a.a., para se 
obter seu valor presente. 
Essa operação de desconto está a seguir indicada:
(�)$100,00
0 1 2 Anos
(�)$121,00
ia � 8% a.a. 
( )$100,00�
0 1 2 Anos
ia � 8% a.a. 
PV ? ( )$121,00
0 1 2 Anos
i 8% a.a.a
138 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 Com relação a essa operação de desconto, cabe ressaltar os seguintes pontos:
 a) a HP-12C e o Excel exigem que as parcelas tenham sinais trocados, e optamos 
por colocar FV � (�) $121,00;
 b) o que importa é que, com a taxa de desconto de 8% a.a., o valor presente da 
parcela de (�) $121,00 do final do 2o ano é igual (�) $103,74;
 c) a parcela de $103,74, no ponto zero, é equivalente, a 8% a.a., à grandeza futura 
de $121,00, no final do 2o ano; 
 d) tanto faz receber $103,74, no ponto zero, como receber $121,00 no final do 
2o ano, com a taxa de juros de 8% a.a.;
 e) quem investir $103,74 para receber $121,00, no final de dois anos, está fazendo 
um investimento com uma taxa de 8% a.a. Como o investimento inicial foi 
de apenas $100,00, podemosafirmar que esse investimento de $100,00 será 
remunerado com uma taxa superior a 8% a.a.
O valor presente líquido do fluxo de caixa, com a taxa de 8% a.a., é igual à 
soma algébrica desse valor presente de (�)103,74 com a parcela de (�)$100,00 
colocada no ponto zero (investimento inicial). Assim temos:
 VPL (8%) � (�) $100,00 � (�) $103,74 � $3,74
Como o valor presente líquido é positivo, para a taxa de 8% a.a., podemos 
afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno 
superior a 8% a.a.
Vamos, agora, comentar o que significa o VPL de um investimento ser 
positivo, para uma determinada taxa de desconto. No exemplo em análise, 
vamos explicar o significado do VPL (8%) � (�) $3,74 para o investimento 
de $100,00. Para isso, vamos realizar as seguintes operações:
 a) capitalização de $100,00 a 8% ao ano, por 2 anos:
n PV PMTi FV
 2 8,00 103,74 0,00 �121,00
n PV PMTi FV
 2 8,00 �100,00 0,00 116,64
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 139
Assim, podemos montar os seguintes fluxos de caixa:
FIGURA 7.14 Investimento original
FIGURA 7.15 Fluxo (3): $100,00 a 8% a.a.
FIGURA 7.16 Fluxo (4): excedente a 8% a.a.
O investimento original de $100,00 garante um recebimento de $121,00 
no final do 2o ano, que pode ser desdobrado nas parcelas de $116,64 do Fluxo 
(3) e $4,36 do Fluxo (4). A parcela de $116,64 do Fluxo (3) descontada a 8% 
ao ano produz um valor presente de $100,00, e a parcela de $4,36 do Fluxo (4) 
descontada a 8% ao ano produz um valor presente de $3,74.
 b) subtrair dos $ 121,00 a receber no 2o ano, o valor de $116,64, encontrando 
um saldo positivo de $4,36 no 2o ano, cujo valor presente, a 8% ao ano, pode 
ser obtido como segue:
n PV PMTi FV
 2 8,00 �3,74 0,00 �4,36
0 1 2 anos
( )$100,00� ( )$121,00�
0 1 2 anos
( )$100,00� ( )$116,64�
0 1 2 anos
( )$3,74� ( )$4,36�
140 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Assim, o VPL positivo de $3,74 do investimento original da Figura 7.14, 
para a taxa de desconto de 8% ao ano, significa:
 a) que o investimentto de $100,00 está sendo remunerado com a taxa de 8% ao 
ano, conforme mostrado no Fluxo (3) da Figura 7.15;
 b) que o investimento de $100,00 gerou um excedente de recebimento de $4,36 
no final do 2º ano, cujo valor presente é igual a $3,74, conforme mostrado no 
Fluxo (4) da Figura 7.16.
O VPL positivo de $3,74 para a taxa de desconto de 8% ao ano significa 
que o investimento de $100,00, para receber $121,00 no final do 2o ano, está 
sendo remunerado a 8% ao ano e, além dessa remuneração, está gerando um 
aumento de riqueza de $3,74, expresso em moeda do ponto zero. Assim, esse 
investimento, para uma taxa de 8% ao ano, está agregando para esse investidor 
um valor econômico de $3,74, expresso em termos de valor presente.
2. Consideremos o mesmo fluxo de caixa do problema anterior e vamos realizar as 
seguintes operações:
 a) cálculo do valor presente líquido para a taxa de desconto de 12% a.a.;
 b) cálculo da taxa interna de retorno do investimento em termos anuais; 
 c) elaboração de um gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto.
Solução: 
a) valor presente líquido para 12% a.a.
Devemos, inicialmente, descontar a parcela futura de $121,00, conforme 
se segue: 
n PV PMTi FV
 2 12,00 96,46 0,00 �121,00
 Então, o valor presente líquido para a taxa de 12% a.a. é obtido pela relação:
VPL (12%) � (�) $100,00 � (�) $96,46 � (�) $3,54
Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 12% a.a, podemos 
afirmar que o investimento inicial de $100,00 tem uma taxa interna de retorno 
inferior a 12% a.a;
b) taxa interna de retorno
Os valores presentes líquidos para as taxas de 8% a.a. e 12% a.a. obtidos 
anteriormente estão indicados a seguir:
VPL (8%) � (�) $3,74
VPL (12%) � (�) $3,54
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 141
n PV PMTi FV
 2 10,00 100,00 0,00 �121,00
Como a taxa interna de retorno é a taxa de desconto que anula o valor 
presente líquido, podemos concluir, com os resultados anteriores, que ela está 
compreendida entre 8% a.a. e 12% a.a. 
Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de desconto 
compreendida entre esses dois valores, por exemplo 10% ao ano. Essa operação 
de desconto está indicada a seguir:
 Então, o valor presente líquido para a taxa de 10% a.a. é obtido pela relação:
 VPL (10%) � (�) $100,00 � (�) $100,00 � $0,00
 o que garante que a taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano.
Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e FV, a taxa interna de retorno 
pode ser obtida diretamente pela seguinte operação indicada:
n PV PMTi FV
 2 10,00 �100,00 0,00 121,00
Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno de uma for-
ma genérica, usando a equação algébrica do valor presente líquido, que tem a 
seguinte apresentação para o fluxo de caixa do problema: 
 
VPL (i%) � (�)100,00 � 121,00 � 1
(1 � i)2 (7.1)
 Vamos fazer a seguinte mudança de variável:
 x � 
1
1 � i (7.2)
 Assim a Equação (7.1) passa a ter a seguinte apresentação:
 VPL (i%) � (�)100,00 � 121,00 x2 (7.3)
Como a taxa interna de retorno (TIR) é aquela que anula o valor presente 
líquido (VPL), podemos escrever:
 VPL (TIR %) � (�)100,00 � 121,00 x2 � 0 (7.4)
142 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A Relação (7.4) corresponde a uma equação do 2o grau com duas raízes, que 
podem ser calculadas pela fórmula do trinômio do 2o grau, com os seguintes 
coeficientes:
 a � (�) 121,00
 b � 0,00
 c � (�)100,00
 As duas raízes são obtidas conforme indicado:
2 � b2 � 4ac � (�) 4 � 121,00 � (�)100,00 � 22 � 11,002 � 10,002
 Então temos:
 � 2 � 11,00 � 10,00 � 220,00
x ( )220, 00
2 121,00
 ( )110, 00
121,00
x ( )220, 00
2 121,00
 ( )110, 00
121,00
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 O valor da taxa i é obtido a partir da Relação (7.2), que fornece:
i 1
x
 1� �⎛
⎝
⎞
⎠
⎟ ⎟
 e, portanto, temos os seguintes valores para as duas raízes:
i 1
x
 1 ( )121,00
110,00
 1 1,1 1 ( )0,10 ( )10%
i 1
x
 1 ( )121,00
110,00
 1 1,1 1 ( )2,10 ( )210%
1
1
2
2
� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � �
⎛
⎝
⎟
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎟
⎞
⎠
⎟
 
Em relação às duas raízes cabe comentar:
 1. a primeira raiz, no valor de 10% ao ano, é positiva e coincide com a apre-
sentada anteriormente, com o Simulador da HP-12C;
 2. a segunda raiz, no valor de (�) 210%, é negativa e não tem qualquer sentido 
econômico.
 c) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto 
Esse gráfico é, normalmente, desenvolvido apenas para valores de taxas de 
desconto maiores que zero, pois os valores negativos das taxas de desconto não 
têm o menor sentido econômico.
Se a taxa de desconto for nula, o valor presente líquido será igual à soma 
algébrica dos valores do fluxo de caixa, pois nenhuma parcela futura sofre qual-
quer desconto de valor ao ser trazida para o ponto zero. Assim temos:
 VPL (0%) � (�) 100,00 � 121,00 � $21,00
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 143
O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está 
indicado a seguir: 
FIGURA 7.17 Valor Presente Líquido (VPL) 
3. Um equipamento cujo valor à vista é $1.000,00 está sendo financiado por uma insti-
tuição financeira mediante o pagamento de quatro prestações mensais de $260,00. A 
1a prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos do financiamento.
0
5
10
15
20
25
�5
�10
2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%
No limite
 (�)$100,00�
Taxa (a.a.)
TIR 10% a.a.�
VPL ($)
Se a taxa de desconto tende para o infinito todas as parcelas futuras se 
anulam quando descontadas para o valor presente. Nesse caso, o valor presen-
te líquido é igual ao valor da parcela colocada no ponto zero (investimento 
inicial), que não sofre qualquer desconto. Assim temos:
 VPL (�%) � (�) 100,00 
Podemos resumir todos os valores calculados, até o momento, na Tabela 7.2:
TABELA 7.2
Taxa de desconto
(a.a.)Valor presente líquido
VPL ($)
0% (�) 21,00
8% (�) 3,74
10% 0,00
12% (�) 3,54
�% (�) 100,00
144 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Calcule:
 a) o fluxo de caixa da instituição financeira;
 b) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de 
desconto;
 c) a taxa interna de retorno, ou seja, a taxa efetiva mensal de rentabilidade da 
instituição financeira.
Solução: 
a) fluxo de caixa da instituição financeira
O fluxo de caixa da instituição financeira está indicado na Tabela 7.3:
n PV PMTi FV
 4 1,00 1.014,51 �260,00 0,00
TABELA 7.3
Mês Valor ($)
0 (�) 1.000,00
1 (�) 260,00
2 (�) 260,00
3 (�) 260,00
4 (�) 260,00
Soma (+) 40,00
Esse fluxo de caixa da instituição financeira é usualmente conhecido como 
fluxo de caixa de um investimento, porque corresponde a um desembolso inicial 
e recebimentos futuros.
b) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto
 Os dois valores limites do gráfico são assim obtidos:
 VPL (0%) � (�)1.000,00 � 4 � 260,00 � $40,00
�%: 
VPL (�%) � (�) $1.000,00
Vamos agora calcular o valor presente líquido para a taxa de desconto de 
1% ao mês, como se segue:
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 145
 Então, o valor presente líquido para a taxa de 1% a.m. é obtido pela relação:
VPL (1%) � (�) $1.000,00 � (�) $1.014,51 � (�) $14,51
Como o valor presente líquido é positivo para a taxa de 1% a.m., podemos 
garantir que o investimento inicial de $1.000,00 tem uma taxa interna de 
retorno superior a 1% a.m.
Vamos, então, calcular o valor presente líquido para uma taxa de desconto 
superior a 1% a.m.; por exemplo 2% ao mês, como se segue:
n PV PMTi FV
 4 2,00 990,01 �260,00 0,00
 Então, o valor presente líquido para a taxa de 2% a.m. é obtido pela relação:
 VPL (2%) � (�) $1.000,00 � (�) $990,01 � (�) $9,99
Como o valor presente líquido é negativo para a taxa de 2% a.m., podemos 
garantir que o investimento inicial de $1.000,00 tem uma taxa interna de 
retorno inferior a 2% a.m.
Os valores presentes líquidos para as taxas de 1% a.m. e 2% a.m. obtidos 
anteriormente estão indicados a seguir:
 VPL (1%) � (�) $14,51
 VPL (2%) � (�) $9,99
Pela análise desses resultados podemos concluir que a taxa interna de re-
torno está compreendida entre 1% ao mês e 2% ao mês. 
Os valores do gráfico do valor presente líquido, calculados até o momento, 
estão resumidos na Tabela 7.4:
TABELA 7.4
O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está 
indicado a seguir: 
Taxa de desconto (a.m.) Valor presente líquido VPL ($)
0% (�) 40,00
1% (�) 14,51
2% (�) 9,99
�% (�) 1000,00
146 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
FIGURA 7.18 Valor Presente Líquido (VPL) – Investimento
 
c) taxa interna de retorno
Como o fluxo de caixa envolve apenas PV e PMT, a taxa interna de retorno 
pode ser obtida diretamente pela seguinte operação:
No limite
 ( )$1.000,00�
Taxa (a.m.)
TIR 1,5875% a.m.�
�
VPL ($)
0
10
20
30
40
50
�10
�20
�30
0,5% 1,0% 1,5% 2,5%2,0%
n PV PMTi FV
 4 1,5875 �1.000,00 260,00 0,00
n PV PMTi FV
 4 1,5875 1.000,00 �260,00 0,00
 que fornece a taxa de 1,5875% ao mês.
Vamos, agora, confirmar que essa taxa de juros é a taxa interna de retorno 
do fluxo de caixa da instituição financeira. Para isso, vamos calcular o valor 
presente líquido para a taxa de desconto de 1,5875% ao mês.
 A operação de desconto está indicada a seguir:
Então, o valor presente líquido para a taxa de 1,5875% ao mês é obtido 
pela relação:
VPL (1,5875%) � (�) $1.000,00 � (�) $1.000,00 � $0,00
 o que garante que a taxa interna de retorno é igual a 1,5875% ao mês.
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 147
Observe que esse valor de 1,5875% ao mês está indicado no gráfico do item 
b como sendo o ponto em que a curva do valor presente líquido corta o eixo 
dos x, que corresponde aos valores da taxa de desconto.
4. Vamos considerar os mesmos dados do Problema 3 e analisar a situação do com-
prador do equipamento que tomou o financiamento da instituição financeira. 
Assim, precisamos determinar:
 a) o fluxo de caixa do tomador do financiamento;
 b) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de 
desconto;
 c) a taxa interna de retorno, ou seja, o custo efetivo mensal do financiamento.
Solução: 
a) fluxo de caixa do tomador do financiamento
Os fluxos de caixa do tomador do financiamento e o da instituição financeira 
são absolutamente opostos.
A instituição financeira desembolsa $1.000,00 no início da operação, por 
ocasião da liberação dos recursos, e recebe quatro prestações mensais de $260,00. 
O tomador do financiamento recebe $1.000,00 no início da operação e paga 
quatro prestações mensais de $260,00.
O fluxo de caixa do tomador do financiamento está indicado na Tabela 7.5:
TABELA 7.5
Mês Valor ($)
0 (�) 1.000,00
1 (�) 260,00
2 (�) 260,00
3 (�) 260,00
4 (�) 260,00
Soma (�) 40,00
Esse fluxo de caixa do tomador do financiamento é usualmente conhecido 
como fluxo de caixa de um financiamento, porque corresponde a um recebimento 
inicial seguido de pagamentos futuros.
b) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto
Os valores do gráfico do valor presente líquido podem ser obtidos a partir 
dos resultados do Problema 3, bastando apenas inverter os sinais, conforme 
indicado na Tabela 7.6:
148 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está 
indicado a seguir: 
FIGURA 7.19 Valor Presente Líquido (VPL) – Financiamento
No limite
 ( )$1.000,00�
Taxa (a.m.)
TIR 1,5875% a.m.�
�
VPL ($)
0
10
20
30
�10
�20
�30
�40
�50
0,5% 1,0% 2,0% 2,5%1,5%
Observe que o gráfico do fluxo de caixa do financiamento (comprador do 
equipamento) é simétrico ao gráfico do fluxo de caixa do investimento (insti-
tuição financeira). Isso ocorre porque os dois fluxos de caixa têm todas as suas 
parcelas iguais, porém com os sinais trocados.
c) taxa interna de retorno 
A taxa interna de retorno, que corresponde ao custo efetivo do financiamento, é 
igual à rentabilidade efetiva da instituição financeira, ou seja, 1,5875% ao mês.
Assim, tanto a curva do VPL do investimento como a curva do VPL do 
financiamento cortam o eixo do x no valor de 1,5875% ao mês, que é a taxa 
interna de retorno desses dois fluxos de caixa.
TABELA 7.6
Taxa de desconto (a.m.) Valor presente líquido VPL ($)
0% (�) 40,00
1% (�) 14,51
2% (�) 9,99
�% (�) 1.000,00
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 149
Determine:
 a) o gráfico do valor presente líquido desse investimento, em função da taxa de 
desconto;
 b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual de 
rentabilidade desse investimento.
Solução: 
a) gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto
O fluxo de caixa é totalmente heterogêneo, não permitindo qualquer sim-
plificação algébrica. Assim, a única maneira de se obter seu valor presente é 
mediante o desconto individual de cada uma de suas parcelas. 
O fluxo de caixa do 1o ao 5o ano é idêntico ao do Exemplo 4 da Seção 
7.2.2, e seu valor presente foi calculado para a taxa de desconto de 10% ao ano, 
produzindo o resultado de (�) $12.043,83. Assim, o valor presente líquido 
para essa taxa de 10% a.a. é igual a:
 VPL (10%) � (�) $11.500,00 � (�) $12.043,83 � (�) $543,83
O VPL positivo de $543,83 para a taxa de desconto de 10% a.a. significa que 
o fluxo de caixa desse projeto está remunerando o investimento de $11.500,00 
com a taxa de 10% a.a., e ainda está gerando um aumento de riqueza de $543,83, 
expresso em moeda do ponto zero. Assim, o investimento nesse projeto está 
sendo remunerado a 10% a.a. e agregando um valor econômico de $543,83, 
expresso em termos de valor presente.
5. O estudo de viabilidade econômica de um projeto resulta no fluxo de caixa indi-
cado na Tabela 7.7:
TABELA 7.7
Ano Valor ($)0 (�) 11.500,00
1 (�) 2.350,00
2 (�) 1.390,00
3 (�) 3.350,00
4 (�) 4.275,00
5 (�) 5.350,00
Soma (�) 5.215,00
150 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Sendo positivo o valor presente líquido, para a taxa de 10% a.a., podemos 
garantir que o investimento inicial de $11.500,00 tem uma taxa interna de 
retorno superior a 10% a.a.
Vamos agora calcular o valor presente das parcelas futuras, com a taxa de 
desconto de 12% a.a., pelo desconto individual dessas parcelas, conforme 
indicado a seguir:
 Assim, o valor presente líquido para essa taxa de 12% a.a. é igual a:
 VPL (12%) � (�)$11.500,00 � (�)$11.343,35 � (�) $156,65
A Tabela 7.8 resume os resultados já obtidos para o valor presente líquido 
do fluxo de caixa do investimento, e os valores extremos para as taxas de 
descontos de 0% e �%.
O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está 
indicado a seguir:
TABELA 7.8
Taxa de desconto (a.a.) Valor presente líquido ($)
0% (�) 5.215,00
10% (�) 543,83
12% (�) 156,65
�% (�) 11.500,00
 1 12,00 2.098,21 0,00 �2.350,00
 2 12,00 1.108,10 0,00 �1.390,00
 3 12,00 2.384,46 0,00 �3.350,00
 4 12,00 2.716,84 0,00 �4.275,00
 5 12,00 3.035,74 0,00 �5.350,00
 Soma 11.343,35
n PV PMTi FV
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 151
FIGURA 7.20 Valor Presente Líquido (VPL) – Investimento
2% 4% 6% 8% 10% 14%
Taxa (a.a.)
TIR 11,54% a.a.�
VPL ($)
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
�1.000 12% No limite
 ( )$11.500,00��
b) taxa interna de retorno 
Pelos resultados obtidos até o momento, podemos garantir que a taxa interna de 
retorno está compreendida entre 10% a.a. e 12% a.a., pois o valor presente líquido 
é positivo para a taxa de 10% a.a. e negativo para a taxa de 12% a.a.
O valor da taxa interna de retorno pode ser obtido pelo processo das ten-
tativas, no intervalo de 10% a.a. a 12% a.a., e também pode ser aproximado 
por interpolação linear.
O valor exato da taxa interna de retorno, que é igual a 11,54% a.a., pode 
ser obtido pela função especial IRR da HP-12C e da função TIR do Excel, 
como é mostrado no Capítulo 9.
Vamos a seguir analisar o conceito de taxa interna de retorno usando a 
equação algébrica do valor presente líquido, que tem a seguinte apresentação 
para o fluxo de caixa do problema: 
 VPL (TIR%) � (�)$11.500,00 � $2.350,00 x � $1.390,00 x2 �
� $3.350,00 x3 � $4.275,00 x4 � $5.350,00 x5 � 0,00
 em que temos:
 
x 1
1 i
�
�
A equação do valor presente líquido, nesse caso, é um polinômio do 5o grau 
e, portanto, tem cinco raízes. Entretanto só estamos interessados nas raízes reais 
e positivas, pois são as únicas que têm significado econômico.
152 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
A regra de sinal de Descartes garante que os polinômios cujos coeficientes só 
apresentam uma única variação de sinal têm apenas uma raiz real positiva.
Essa é exatamente a situação do fluxo de caixa do investimento em análise, 
que apresenta uma única variação de sinal, do 1o para o 2o coeficiente. Portanto, 
sua única raiz real positiva é igual a 11,54% a.a. As outras quatro raízes devem 
ter valores reais negativos e/ou imaginários.
7.3.3. Comentários
Os três primeiros exemplos numéricos do item anterior envolvem apenas os parâ-
metros PV e FV ou PV e PMT e serviram para mostrar os conceitos de valor presente 
líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa.
Os cálculos dos valores presentes líquidos e das taxas internas de retorno foram 
apresentados com o Simulador da HP-12C.
O quarto exemplo apresentou um fluxo de caixa totalmente heterogêneo, e a forma 
de se obter o seu valor presente líquido foi pelo desconto individual das suas parcelas 
futuras, com o auxílio do Simulador da HP-12C.
O Simulador só permite apresentar a obtenção da taxa interna de retorno desse 
último exemplo, pelo processo de tentativas e/ou interpolação linear.
No Capítulo 9 mostraremos as funções especiais NPV e IRR da HP-12C e as fun-
ções VPL e TIR da planilha Excel para efetuar, respectivamente, o cálculo do valor 
presente líquido e da taxa interna de retorno de qualquer fluxo de caixa.
7.4. Conclusão
Neste capítulo apresentamos os conceitos de valor presente líquido e de taxa 
interna de retorno de fluxos de caixa.
Quando os fluxos de caixa apresentarem parcelas futuras sem qualquer lei de 
formação, recomendamos que essas duas grandezas sejam calculadas com as funções 
especiais NPV e IRR da HP-12C e com as funções VPL e TIR do Excel, conforme é 
mostrado no Capítulo 9.
 A equação algébrica do valor presente líquido de um fluxo de caixa com parcelas 
futuras até o período de ordem n é um polinômio de grau n.
A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que anula 
seu valor presente líquido, e, portanto, é uma das raízes desse polinômio de grau n 
que tem n raízes. 
Se os coeficientes desse polinômio de grau n só apresentam uma única variação de 
sinal, como ocorre na grande maioria dos casos, então, a regra de sinal de Descartes garante 
que esse polinômio só tem uma raiz real positiva, que é a única raiz que tem significado 
econômico. As demais raízes são valores reais negativos e/ou imaginários.
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 153
7.5. Problemas Propostos
1. Calcule os valores presentes dos fluxos de caixa indicados a seguir, para uma taxa 
de desconto de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
FLUXO (A)
FLUXO (B)
FLUXO (C)
FLUXO (D)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Meses
 im � 1,00% a.m.
$1.000,00/mês
$2.000,00/mês
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Meses
$50,00 $50,00 $50,00 $50,00 $50,00
im � 1,00% a.m.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Meses
im � 1,00% a.m.
$100,00/mês $100,00/mês
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Meses
im � 1,00% a.m.
$1.000,00/mês
$2.000,00/mês
154 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
FLUXO (E)
2. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a 
seguir: 
Trimestre Valor ($)
0 (�) 4.000,00
1 (�) 500,00
2 (�) 500,00
3 (�) 500,00
4 (�) 500,00
5 (�) 500,00
6 (�) 500,00
7 (�) 500,00
8 (�) 1.000,00
Total líquido (�) 500,00
Determine:
 a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de 
desconto, no intervalo de 0,00% a 3,00% ao trimestre, com incrementos de 
0,50%;
 b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva trimestral 
de rentabilidade desse investimento.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Meses
$50,00/mês
$100,00
im � 1,00% a.m.
Capí tu lo 7 – Valor Presente L íquido e Taxa In terna de Retorno 155
3. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a 
seguir: 
Semestre Valor ($)
0 (�) 4.500,00
1 (�) 800,00
2 (�) 800,00
3 (�) 800,00
4 –
5 (�) 800,00
6 (�) 800,00
7 (�) 800,00
8 (�) 800,00
Total líquido (�) 1.100,00
Determine:
 a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de 
desconto, no intervalo de 0,00% a 6,00% ao semestre, com incrementos de 
1,00%;
 b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva semestral 
de rentabilidade desse investimento.
4. Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a 
seguir: 
Ano Valor ($)
0 (�) 14.000,00
1 (�) 5.250,00
2 (�) 4.350,00
3 (�) 3.000,00
4 (�) 2.850,00
Total líquido (�) 1.450,00
156 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Determine:
 a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de 
desconto, no intervalo de 0,00% a 16,00% ao ano, com incrementos de 2,00%;
 b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva anual de 
rentabilidade desse investimento.
5. A tabela a seguir mostra os valores presentes líquidos do fluxo de caixa de um inves-
timento, calculados para diversas taxas de desconto, no regime de juros compostos:
Taxa de desconto (a.m.) Valor presente líquido ($)
0,0% (�) 255,00
0,5% (�) 127,18
0,8% (�) 51,71
1,0% (�) 0,00
1,2% (�) 47,54
1,5% (�)120,94
2,0% (�) 241,38
 Pela análise dos dados desse quadro, responda:
 a) Qual a taxa interna de retorno desse investimento?
 b) Você desaplicaria seus recursos que estão rendendo 1,5% ao mês para realizar 
esse investimento? 
8
Equivalência 
de Fluxos 
de Caixa
Capítulo
8.1. Conceito de Equivalência
Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se 
seus valores presentes (PV), calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais. A 
equivalência de fluxos de caixa é sempre analisada no regime de juros compostos.
A equivalência de fluxos de caixa depende, necessa riamente, da taxa de juros 
usada para descontar os fluxos, a fim de se obter seus va lores presentes. Assim, se dois 
ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, essa equi-
valência deixará de existir se a taxa de juros for alterada.
Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada taxa 
de juros, então, seus valores futuros (FV) após n períodos, obtidos com essa mesma 
taxa de juros, são necessariamente iguais. Dessa forma, a equivalência de fluxos de 
caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no ponto zero da escala de tempo. 
Ela pode ser verificada no final de qualquer período n, desde que o período escolhido 
seja o mesmo para todos os fluxos de caixa.
8.2. Planos Equivalentes de Financiamento
Vamos considerar, nesta seção, um financiamento com os seguintes parâmetros:
 Principal � $1.000,00
 Taxa de juros � 8% ao ano
 Prazo � 4 anos
A seguir, vamos desenvolver e analisar quatro planos equivalentes para amortizar 
esse financiamento dentro dos parâmetros anteriormente definidos.
158 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
8.2.1. Plano A – Pagamento no Final
Nesse plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de uma única 
parcela no final do 4o ano, havendo capitalização de juros no final de cada ano.
A Tabela 8.1 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos 
quatro anos da operação.
Por esse quadro de amortização do Plano A, o financiamento de $1.000,00 é liqui-
dado com um único pagamento de $1.360,49, realizado no final do 4o ano, sendo 
$1.000,00 de amortização do principal e $360,49 de juros acumulados ao longo dos 
quatro anos.
Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado, tais 
como operações de capital de giro e de desconto de títulos, e aplicações em títulos 
de renda fixa.
8.2.2. Plano B – Pagamento Periódico de Juros
Nesse plano, o financiamento é liquidado da seguinte forma:
 a) no final de cada ano, são pagos os juros do respectivo ano;
 b) no final do 4o ano, além dos juros anuais, é efetuado o pagamento integral do 
principal. 
TABELA 8.1 Plano A – Pagamento no final (principal = $1.000,00, 
taxa de juros = 8% ao ano, prazo = 4 anos)
Anos
Saldo no 
início do 
ano
Juros 
do 
ano
Saldo no 
final do 
ano após 
paga-
mento
Pagamentos no final do ano
Saldo no 
final do 
ano após 
pagamento
Total Juros
 Amorti-
zação
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00
2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40
3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71
4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00
Soma dos pagamentos 1.360,49 360,49 1.000,00
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 159
A Tabela 8.2 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos 
quatro anos da operação.
n PV PMTi FV
 4 8,00 �1.000,00 301,92 0,00
TABELA 8.2 Plano B – Pagamento periódico de juros (principal � $1.000,00, 
taxa de juros � 8% ao ano, prazo � 4 anos)
Anos
Saldo no 
início do 
ano
Juros 
do 
ano
Saldo no 
final do 
ano após 
paga-
mento
Pagamentos no final do ano
Saldo no 
final do 
ano após 
pagamento
Total Juros
 Amorti-
zação
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
4 1.000,00 80,00 1.080,00 1.080,00 80,00 1.000,00 0,00
Soma dos pagamentos 1.320,00 320,00 1.000,00
Por esse quadro de amortização do Plano B, o financiamento de $1.000,00 é 
liquidado com quatro pagamentos anuais de $80,00, correspondentes aos juros de 
cada ano, e mais um pagamento de $1.000,00 no final do 4o ano, para amortizar 
integralmente o principal do financiamento.
Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado, tais como 
operações de leasing e aplicações em títulos de renda periódica (anual, mensal etc.).
8.2.3. Plano C – Prestações Iguais – Modelo Price
Nesse plano, o financiamento é liquidado pelo pagamento de quatro prestações 
anuais de $301,92, cujo valor presente pode ser obtido conforme indicado:
160 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
As prestações de cada ano são subdivididas em duas parcelas:
 a) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano;
 b) amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da prestação e o 
valor dos juros do ano.
A Tabela 8.3 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos 
quatro anos da operação.
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price, e é bastante utilizada 
em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao consumidor.
Pelo quadro de amortização do Plano C, verificamos que a 1a prestação contém 
$80,00 de juros, correspondentes a 8% do saldo do início do ano ($1.000,00). A amor-
tização da 1a prestação ($221,92) é obtida pela diferença entre o valor da prestação 
($301,92) e o valor dos juros do 1o ano ($80,00).
O saldo remanescente do principal para o 2o ano é assim obtido:
$1.000,00 � $221,92 � $778,08
Os juros do 2o ano ($62,25) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o 
saldo do principal no início do 2o ano ($778,08).
Assim, os juros de cada ano vão diminuindo de valor ao longo do tempo, e as 
amortizações, inversamente, vão aumentando de valor de forma exponencial, con-
forme mostrado no Exemplo 2 da Seção 6.5.3 do Capítulo 6.
TABELA 8.3 Plano C – Prestações iguais – Modelo Price (principal � $1.000,00, 
taxa de juros � 8% ao ano, prazo � 4 anos)
Anos
Saldo no 
início do 
ano
Juros 
do 
ano
Saldo no 
final do 
ano após 
paga-
mento
Pagamentos no final do ano
Saldo no 
final do 
ano após 
pagamento
Total Juros
 Amorti-
zação
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08
2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40
3 538,40 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56
4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00
Soma dos pagamentos 1.207,68 207,68 1.000,00
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 161
Ressaltamos que no Modelo Price as amortizações são obtidas a partir dos valores 
das prestações e dos juros, conforme indicado a seguir:
 Amortizaçãop � Prestação � Juros (8.1)
8.2.4. Plano D – Sistema de Amortizações Constantes (SAC)
Neste plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de quatro pres-
tações linearmente decrescentes, subdivididas em duas parcelas:
 a) amortização do principal, obtida pela divisão entre o valor do principal do 
financiamento e o prazo da operação; 
 b) juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano.
A Tabela 8.4 mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos 
quatro anos da operação.
Essa modalidade de pagamento é bastante utilizada nas operações de financiamen-
tos imobiliários e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral.
No quadro de amortização do Plano D, devemos, inicialmente, calcular o valor 
da amortização anual ($250,00) dividindo o valor do principal do financiamento 
($1.000,00) pelo prazo da operação (quatro anos).
TABELA 8.4 Plano D – Sistema de amortizações constantes (principal � $1.000,00, taxa 
de juros � 8% ao ano, prazo � 4 anos)
Anos
Saldo no 
início do 
ano
Juros 
do 
ano
Saldo no 
final do 
ano após 
paga-
mento
Pagamentos no final do ano
Saldo no 
final do 
ano após 
pagamentoTotal Juros
 Amorti-
zação
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00
2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00
3 500,00 40,00 540,00 290,00 40,00 250,00 250,00
4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00
Soma dos pagamentos 1.200,00 200,00 1.000,00
162 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Os juros do 1o ano ($80,00) correspondem a 8% do saldo do início do 1o ano 
($1.000,00), e o valor da prestação ($330,00) corresponde à soma da amortização 
com os juros de cada ano.
O saldo remanescente do principal para o 2o ano é assim obtido:
 $1.000,00 � $250,00 � $750,00
Os juros do 2o ano ($60,00) são obtidos pela aplicação da taxa de 8% a.a. sobre o 
saldo do principal no início do 2o ano ($750,00).
Dessa forma, o quadro de amortização do Plano D indica que o financiamento 
de $1.000,00 é liquidado mediante o pagamento de quatro amortizações anuais de 
$250,00 e mais quatro parcelas anuais de juros ($80,00, $60,00, $40,00 e $20,00).
Assim, as prestações e os juros de cada ano vão diminuindo linearmente de valor ao 
longo do tempo, e as amortizações permanecem com o mesmo valor de $250,00. 
Ressaltamos que no sistema de amortizações constantes as prestações são obtidas a 
partir dos valores das amortizações e dos juros, conforme indicado a seguir:
 PrestaçãoSAC � Amortização � Juros (8.2)
8.2.5. Comentários sobre os Quatro Planos Equivalentes
O financiamento de um principal de $1.000,00 pode ser amortizado no prazo de 
quatro anos, com uma taxa de 8% ao ano, pelos seguintes planos equivalentes de 
pagamentos:
TABELA 8.5 Quatro planos equivalentes de pagamentos a 8% a.a.
Anos Plano A Plano B Plano C Plano D
0
1 80,00 301,92 330,00
2 80,00 301,92 310,00
3 80,00 301,92 290,00
4 1.360,49 1.080,00 301,92 270,00
Soma 1.360,49 1.320,00 1.207,68 1.200,00
Esses quatro planos de pagamentos são absolutamente equivalentes a 8% ao ano, 
pois eles têm o mesmo valor presente de $1.000,00 se descontados a essa mesma taxa, 
conforme pode ser verificado a seguir:
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 163
n PV PMTi FV
 4 8,00 �1.000,00 0,00 �1.360,49
n PV PMTi FV
 4 8,00 264,97 �80,00 0,00
 4 8,00 735,03 0,00 �1.000,00
 Soma 1.000,00
n PV PMTi FV
 4 8,00 1.000,00 �301,92 0,00
a) valor presente do Plano A a 8% ao ano:
n PV PMTi FV
 4 8,00 198,46 0,00 �270,00
 3 8,00 230,21 0,00 �290,00
 2 8,00 265,77 0,00 �310,00
 1 8,00 305,56 0,00 �330,00
 Soma 1.000,00
b) valor presente do Plano B a 8% ao ano:
c) valor presente do Plano C a 8% ao ano:
d) valor presente do Plano D a 8% ao ano:
Cabe, ainda, observar nos quadros de amortização desses planos que:
o ano liquidou integralmente o saldo remanescente 
do principal e os juros devidos de cada plano.
164 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
É erro grosseiro analisar planos de financiamento pelo valor total pago em cada 
plano, conforme vamos demonstrar a seguir. Os totais das prestações de cada um 
desses quatro planos estão indicados na Tabela 8.6:
O Plano D, aparentemente, é o melhor plano para quem tomar esse financiamento, 
pois representa o plano com o menor valor a ser pago. Segundo esse mesmo raciocínio, 
o Plano A seria o pior de todos, pois apresenta o maior valor a ser pago.
O erro básico é que no Plano A o principal financiado só foi devolvido ao finan-
ciador no final do 4o ano, e, portanto, tem de ser remunerado durante os quatro anos, 
juntamente com os juros que são capitalizados.
Já no Plano D, o principal é amortizado ao longo do prazo da operação, e, portanto, 
apenas o principal remanescente (saldo) é que deve ser remunerado, produzindo 
consequentemente um menor valor de juros a ser pago pelo “aluguel” do principal 
que ficou à disposição do financiado.
Os planos são equivalentes a 8% ao ano, pois apresentam o mesmo valor presente 
de $1.000,00 com essa taxa de desconto, e não são equivalentes com qualquer outra 
taxa de desconto.
 Somar as prestações de cada plano corresponde a calcular seus valores presentes 
com a taxa de desconto de 0% ao ano, e, por isso, são diferentes os valores obtidos 
para o total de pagamentos de cada plano.
Outra forma de analisar a situação é usar o cálculo das reaplicações, com taxa de 
8% ao ano, dos valores que ficaram disponíveis em cada plano, antes do final do 4o 
ano. As possibilidades de reaplicações em cada plano estão definidas a seguir:
do 4o ano;
4o ano;
$290,00), até o final do 4o ano.
As diferenças entre os totais pagos nos quatro planos são compensadas pelas re-
ceitas de reaplicações, a 8% ao ano, das parcelas recebidas antes do final do 4o ano, 
conforme mostrado na Tabela 8.7, cabendo ao leitor a verificação desses valores. 
TABELA 8.6
Plano Total pago ($)
A 1.360,49
B 1.320,00
C 1.207,68
D 1.200,00
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 165
n PV PMTi FV
O Plano de Pagamento Periódico de Juros é idêntico ao mostrado na Seção 2.3.1 para 
o Banco ABC, onde as receitas de reaplicações foram devidamente demonstradas.
O valor de $1.360,49 corresponde ao valor futuro de cada um dos quatro planos, 
no final do 4o ano, que pode ser obtido com a taxa de 8% ao ano, conforme indicado 
a seguir:
a) valor futuro do Plano A, no final do 4o ano, a 8% ao ano:
n PV PMTi FV
 4 8,00 0,00 �80,00 360,49
 Pagamento do principal no final do 4o ano 1.000,00
 Soma 1.360,49 
n PV PMTi FV
 4 8,00 1.000,00 0,00 �1.360,49 
b) valor futuro do Plano B, no final do 4o ano, a 8% ao ano:
c) valor futuro do Plano C, no final do 4o ano, a 8% ao ano:
 4 8,00 0,00 �301,92 1.360,49 
TABELA 8.7
Plano Total pago ($)
Receitas de 
reaplicações a 8% 
ao ano 
Montante 
acumulado no final 
do 4o ano
A 1.360,49 0,00 1.360,49
B 1.320,00 40,49 1.360,49
C 1.207,68 152,81 1.360,49
D 1.200,00 160,49 1.360,49
166 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
d) valor futuro do Plano D, no final do 4o ano, a 8% ao ano:
n PV PMTi FV
 3 8,00 �330,00 0,00 415,71
 2 8,00 �310,00 0,00 361,58
 1 8,00 �290,00 0,00 313,20
 Pagamento da prestação do final do 4o ano 270,00
 Soma 1.360,49
A equivalência dos quatro planos de pagamentos pode ser verificada, com a taxa 
de 8% ao ano, no final de qualquer período, desde que seja o mesmo para todos os 
planos, e assim podemos afirmar:
 a) os quatro planos de pagamentos são equivalentes, com a taxa de 8% ao ano, 
porque têm o mesmo valor presente (PV � $1.000,00), quando seus valores 
são descontados com essa mesma taxa;
 b) os quatro planos de pagamentos são equivalentes, com a taxa de 8% ao ano, 
porque têm o mesmo valor futuro (FV � $1.360,49) no final do 4o ano, quando 
seus valores são capitalizados para essa mesma data, com a taxa de 8% ao ano. 
Com referência ao Plano C (prestações iguais – Modelo Price) e ao Plano D (sistema 
de amortizações constantes), são válidos os seguintes comentários adicionais:
 a) no Plano D, todas as amortizações têm o mesmo valor, que é obtido pela divisão 
do principal do financiamento pelo prazo da operação, e por essa razão o plano 
é conhecido como sistema de amortizações constantes;
 b) no Plano C – Modelo Price –, as prestações são iguais e as amortizações crescem 
exponencialmente com a mesma taxa de juros do financiamento. Assim, todas 
as amortizações são equivalentes, na taxa de juros do contrato, pois têm o mesmo 
valor presente ao ser descontadas com essa mesma taxa. Podemos, então, dizer 
que o Modelo Price é um sistema de amortizações equivalentes.
8.2.6. Juros Médios – Um Processo Aproximado 
Os quatro planos equivalentes apresentados têm a mesma taxa efetiva de juros, 
que é igual a 8% ao ano.
Vamos assumir que, no caso do Plano C (prestações iguais – Modelo Price), a taxa 
de juros não fosse conhecida. Assim, os valores conhecidos seriam:
 Principal � $1.000,00
 Prazo � 4 anos
 Prestação � $301,92
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 167
Uma das maneiras de se achar um valor aproximado para a taxa de juros é pelo 
processo dos juros médios, cujo procedimentoé o seguinte:
 a) cálculo do prazo médio do financiamento, pela expressão:
prazo médio 
prazo 1
2
�
�
 No caso do Plano C (Modelo Price), temos:
 
prazo médio 4 anos 1
2
 2,5 anos� � �
 b) cálculo da porcentagem total de juros em relação ao principal, com o auxílio 
da expressão:
% de juros 
soma dos juros
principal
�
 
 No caso do Plano C (Modelo Price), temos:
 
% de juros $207,68
$1.000,00
 0,2077� �
 c) cálculo dos juros médios, com o auxílio da expressão:
juros médios 
% total de juros
prazo médio
�
 No caso do Plano C (Modelo Price), temos:
 
juros médios 20,77
2,5 anos
 8,31% ao ano.� �
Vamos, agora, aplicar esse processo dos juros médios no Plano D (sistema de 
amortizações constantes – SAC), como indicado a seguir:
 
% total de juros $200,00
$1.000,00
 0,20� �
juros médios 20%
2,5 anos
 8,00% ao ano� �
 Com relação à taxa de juros obtida pelo processo de juros médios, para esses 
dois planos (Modelo Price e SAC), temos a comentar:
 a) nos financiamentos que são liquidados pelo sistema de amortizações constantes, a 
taxa de juros fornecida por esse processo de juros médios é sempre exata; 
168 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valor futuro, no final do 12o mês
O valor futuro do fluxo de caixa (A), no final do 12o mês, a 1% ao mês, 
pode ser obtido pelas seguintes operações: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
$1.000,00 $2.000,00 $3.000,00
n PV PMTi FV
 9 1,00 2.743,02 0,00 �3.000,00
 6 1,00 1.884,09 0,00 �2.000,00
 3 1,00 970,59 0,00 �1.000,00
 Soma 5.597,70
 b) nos financiamentos que são liquidados pelo Modelo Price – prestações iguais 
–, a taxa de juros fornecida pelo processo de juros médios é sempre superior 
à taxa exata do financiamento.
8.3. Exemplos Numéricos
As soluções dos exemplos desenvolvidos nesta seção são apresentadas com o 
Simulador da HP-12C.
 1. Em relação ao fluxo de caixa indicado a seguir, realize os seguintes cálculos com 
a taxa de 1% ao mês, no regime de juros compostos: 
 a) cálculo do valor presente;
 b) cálculo do montante acumulado, no final do 12o mês;
 c) cálculo do montante acumulado no final do 12o mês a partir do valor presente 
obtido no item a.
FIGURA 8.1 Fluxo de caixa (A)
 
a) valor presente
O valor presente do fluxo de caixa (A), a 1% ao mês, pode ser obtido pelas 
operações indicadas a seguir:
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 169
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
$6.307,63
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
$5.597,70
Assim, o fluxo de caixa (A) equivale aos fluxos de caixa (B) e (C), indi-
cados a seguir.
FIGURA 8.2 Fluxo de caixa (B)
 
 
 
FIGURA 8.3 Fluxo de caixa (C)
n PV PMTi FV
 9 1,00 �1.000,00 0,00 1.093,69
 6 1,00 �2.000,00 0,00 2.123,04
 3 1,00 �3.000,00 0,00 3.090,90
 Soma 6.307,63
c) valor futuro a partir do valor presente
Como o fluxo de caixa (A) é equivalente aos fluxos de caixa (B) e (C), 
com a taxa de juros de 1% ao mês, então, necessariamente, esses dois últimos 
fluxos de caixa têm de ser equivalentes entre si. Isso pode ser comprovado pela 
operação indicada a seguir:
n PV PMTi FV
 12 1,00 �5.597,70 0,00 6.307,63 
170 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valor presente do fluxo C, a 6% ao ano: 
n PV PMTi FV
 6 6,00 100.000,00 �20.336,26 0,00
n PV PMTi FV
 4 6,00 100.000,00 �28.859,15 0,00
 2. Verifique se os fluxos de caixa indicados na Tabela 8.8 são equivalentes a uma 
taxa de 6% ao ano: 
Solução: 
Para que esses quatro fluxos de caixa sejam equivalentes a 6% ao ano, é neces-
sário que qualquer uma das duas condições a seguir sejam satisfeitas: 
 a) seus valores presentes, a 6% ao ano, sejam iguais a $100.000,00;
 b) seus valores futuros, no final do 6o ano, a 6% ao ano, sejam iguais a $141.851,91.
As operações para calcular os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C) e 
(D) estão indicadas a seguir:
a) valor presente do fluxo B, a 6% ao ano:
TABELA 8.8 Fluxos de caixa equivalentes a 6% ao ano
Anos Fluxo A ($) Fluxo B ($) Fluxo C ($) Fluxo D ($)
0 100.000,00
1 20.336,26 28.859,15
2 20.336,26 28.859,15
3 20.336,26 28.859,15
4 20.336,26 28.859,15
5 20.336,26
6 20.336,26 141.851,91
Soma 100.000,00 122.017,56 115.436,60 141.851,91
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 171
c) valor presente do fluxo D, a 6% ao ano:
n PV PMTi FV
 6 6 100.000,00 0,00 �141.851,91
Como os valores presentes dos fluxos de caixa (B), (C) e (D), a 6% ao ano, são 
iguais a $100.000,00, podemos afirmar que esses fluxos de caixa são equivalentes 
ao fluxo de caixa (A), cujo valor presente também é igual a $100.000,00.
Como os valores presentes de todos os fluxos de caixa são iguais a $100.000,00, 
podemos garantir que seus valores futuros, no final do 6o ano, a 6% ao ano, são 
iguais a $141.851,91, que é o valor futuro do fluxo de caixa (D).
3. Calcule o valor de Z para que os dois fluxos de caixa indicados na Tabela 8.9 sejam 
equivalentes, com a taxa de juros de 10% ao ano.
n PV PMTi FV
 4 10,00 0,00 �1.000,00 4.641,00
Solução: 
Podemos solucionar esse problema calculando o valor futuro dos dois fluxos, 
no final do 4o ano, conforme mostrado a seguir.
a) valor futuro do fluxo A, no final do 4o ano, a 10% ao ano:
TABELA 8.9
Ano Fluxo A ($) Fluxo B ($)
0
1 1.000,00
2 1.000,00 Z
3 1.000,00
4 1.000,00
Soma 4.000,00 Z
172 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
b) valor futuro do fluxo B, no final do 4o ano, a 10% ao ano, para Z � $1,00:
 Como os dois valores futuros devem ser iguais, podemos escrever:
 Z � 1,21 � $4.641,00
 que fornece Z � $3.835,54.
4. Calcule a taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos, que faz com que os 
dois fluxos de caixa indicados na Tabela 8.10 sejam equivalentes.
n PV PMTi FV
 2 10,00 �1,00 0,00 1,21
Solução:
Esse problema só pode ser resolvido por tentativas. Devemos arbitrar um valor 
inicial para a taxa de juros e calcular os valores presentes dos fluxos de caixa (A) e 
(B). Se esses valores forem iguais, então a taxa foi encontrada; se forem diferentes, 
devemos prosseguir nas tentativas. 
Essas tentativas são feitas, e os resultados estão colocados num gráfico do valor 
presente em função da taxa de desconto anual.
1a tentativa: taxa � 0% ao ano
Com essa taxa de juros, os valores presentes dos fluxos de caixa correspondem 
meramente à soma algébrica de seus valores, isto é:
 PVA (0%) � $12.000,00
 PVB (0%) � $13.282,01
2a tentativa: taxa � 8% ao ano
 Os valores presentes dos dois fluxos estão calculados a seguir:
TABELA 8.10
Ano Fluxo A ($) Fluxo B ($)
0
1 3.000,00 1.000,00
2 3.000,00 1.000,00
3 3.000,00 1.000,00
4 3.000,00 10.282,01
Soma 12.000,00 13.282,01
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 173
n PV PMTi FV
 4 8,00 9.936,38 �3.000,00 0,00 
n PV PMTi FV
 3 8,00 2.577,10 �1.000,00 0,00
 4 8,00 7.557,58 0,00 �10.282,01
 Soma 10.134,68 
 e, portanto:
PVA (8%) � $9.936,38
PVB (8%) � $10.134,68
3a tentativa: taxa � 12% ao ano
 Os valores presentes dos dois fluxos estão calculados a seguir: 
n PV PMTi FV
 4 12,00 9.112,05 �3.000,00 0,00 
n PV PMTi FV
 3 12,00 2.401,83 �1.000,00 0,00
 4 12,00 6.534,40 0,00 �10.282,01
 Soma 8.936,23 
 e, portanto:
 PVA (12%) � $9.112,05
 PVB (12%) � $8.936,23
174 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 3 10,00 2.486,85 �1.000,00 0,00
 4 10,00 7.022,75 0,00 �10.282,01
 Soma 9.509,60 
n PV PMTi FV
 4 10,00 9.509,60 �3.000,00 0,00 
A Tabela 8.11 mostra os valores presentes desses dois fluxos de caixa, para as 
taxas de desconto utilizadas nas tentativas:
e, portanto:
 PVA (10%) � $9.509,60
 PVB (10%) � $9.509,60
Como os dois valores presentes encontrados, a 10% ao ano, são iguais a 
$9.509,60, podemos afirmar que a taxa de 10% ao ano é a taxa que faz os dois 
fluxos de caixa serem equivalentes.
A análise dos valores do quadro anterior permite afirmar que a taxa de juros 
procurada está compreendida entre 8% a.a. e 12% a.a. Vamos, então, fazer mais 
uma tentativa, com a taxade 10% ao ano.
4a tentativa: taxa � 10% ao ano
 Os valores presentes dos dois fluxos estão calculados a seguir:
TABELA 8.11 Valores presentes dos fluxos de caixa
Fluxo de caixa Taxa de desconto anual
0% 8% 12%
(A) $12.000,00 $9.936,38 $9.112,05
(B) $13.282,01 $10.134,68 $8.936,23
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 175
Mostramos na Figura 8.4 o gráfico dos valores presentes dos dois fluxos de caixa 
em função da taxa de desconto:
FIGURA 8.4
Pelo gráfico, podemos verificar que a taxa que proporciona a equivalência 
entre os dois fluxos é aquela correspondente à intersecção das duas curvas de seus 
valores presentes, pois nesse ponto os valores presentes dos dois fluxos são iguais 
a $9.509,60.
5. Um banco de investimentos realiza suas operações financeiras a juros compostos, 
com uma taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês. Os financiamentos são realizados 
com um prazo de um ano e podem ser liquidados pelos seguintes planos de paga-
mentos:
 a) em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a prestação 30 dias 
após a liberação dos recursos;
 b) em quatro prestações trimestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a prestação 
90 dias após a liberação dos recursos.
Calcule o valor das prestações desses dois planos para um financiamento 
com principal de $10.000,00, de tal forma que os mesmos sejam equivalentes 
à taxa de 1,4% ao mês, no regime de juros compostos.
Solução:
a) prestação mensal
 O valor da prestação mensal pode ser assim obtido: 
2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16%
VPL($)
Fluxo A
Fluxo B
Taxa
(a.a.)
PV PV $9.509,60A B� �
9.000
10.000
11.000
12.000
13.000
14.000
n PV PMTi FV
 12 1,40 �10.000,00 911,10 0,00 
 que fornece $911,10 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.
176 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
PV � $10.000,00 
PMT � ? 
it � 4,25907% a.t.
0 1 2 3 4 Trimestres
n PV PMTi FV
 4 4,25907 �10.000,00 2.771,74 0,00 
n PV PMTi FV
 3 1,40 �100,00 0,00 104,25907 
0 1
x ?� x ?� x ?� x ?�
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
PV � $10.000,00 im � 1,40% a.m.
b) prestação trimestral
O valor da prestação trimestral pode ser obtido com o auxílio da taxa trimestral 
equivalente a 1,4 % ao mês, que é calculada da forma indicada a seguir: 
 que fornece a taxa equivalente de 4,25907% ao trimestre.
 Esquematicamente, temos:
FIGURA 8.5
 
A partir da taxa trimestral equivalente, podemos obter o valor da prestação 
trimestral, com a seguinte operação:
que fornece $2.771,74 para o valor de cada uma das quatro prestações 
trimestrais.
Outra forma de obter a prestação trimestral é mediante o esquema indicado 
a seguir: 
FIGURA 8.6
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 177
n PV PMTi FV
 12 1,40 0,8463394 0,00 �1.00
 9 1,40 0,8823856 0,00 �1.00
 6 1,40 0,9199670 0,00 �1.00
 3 1,40 0,9591491 0,00 �1.00
 Soma 3,6078411
n PV PMTi FV
 3 1,40 0,00 �911,10 2.771,74
em que mudamos a escala do tempo para meses e podemos, assim, usar a taxa 
de juros de 1,4% ao mês.
Vamos, agora, assumir que cada prestação trimestral tem um valor unitário 
($1,00).
 Então, podemos escrever:
10.000,00 � x (3,60785) 
que fornece x � $2.771,74. Obtemos, assim, o mesmo valor para as pres-
tações trimestrais que aquele alcançado com a utilização da taxa trimestral 
equivalente.
Finalmente, podemos obter a prestação trimestral pela capitalização, com 
a taxa de 1,4% ao mês, de três prestações mensais de $911,10, que foi obtida 
no item a, com a seguinte operação:
que fornece a mesma prestação trimestral de $2.771,74.
6. Um banco de desenvolvimento realiza seus financiamentos de acordo com os 
seguintes parâmetros:
 i) prazo de 10 anos, com o início da amortização do principal ocorrendo no final 
do 3o ano;
 ii) amortização do principal pelo modelo Price ou pelo sistema de amortizações 
constantes;
 iii) taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
178 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 8 10,00 �100.000,00 18.744,40 0,00 
n PV PMTi FV
 2 10,00 �100.000,00 0,00 121.000,00
n PV PMTi FV
 8 10,00 �121.000,00 22.680,73 0,00
Obtenha os fluxos de caixa de uma empresa que tomou um financiamento 
de $100.000,00 nessa instituição de fomento, nas seguintes hipóteses:
 a) juros pagos durante os dois anos de carência e amortização pelo modelo Price 
a partir do 3o ano;
 b) juros capitalizados durante os dois anos de carência e amortização pelo modelo 
Price a partir do 3o ano;
 c) juros pagos durante os dois anos de carência e amortização pelo sistema de 
amortizações constantes a partir do 3o ano;
 d) juros capitalizados durante os dois anos de carência e amortização pelo sistema 
de amortizações constantes a partir do 3o ano.
Solução:
a) modelo Price com juros pagos na carência
 Os juros pagos nos dois anos da carência são iguais a:
 Juros � $100.000,00 � 10% � $10.000,00
 O valor da prestação anual é calculado conforme indicado a seguir:
 que fornece $18.744,40 para o valor da prestação anual.
b) modelo Price com juros capitalizados na carência
O saldo do financiamento, acumulado no final do 2o ano, é obtido pela 
seguinte operação:
 O valor da prestação anual é então calculado pela operação:
 que fornece $22.680,73 para o valor da prestação anual.
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 179
Os fluxos de caixa correspondentes aos itens a e b estão representados na 
Tabela 8.12:
 c) sistema de amortizações constantes com juros pagos na carência
 Os juros pagos nos dois anos da carência são iguais a: 
 Juros � $100.000,00 � 10% � $10.000,00
 O valor de cada uma das oito amortizações anuais é obtido como se segue:
Amortização anual $100.000,00
8
 $12.500,00� �
 O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.13:
TABELA 8.12 Prestações iguais – Modelo Price – fluxo de caixa 
Ano
Juros no período de carência
Pagos Capitalizados
0
1 10.000,00
2 10.000,00
3 18.744,40 22.680,73
4 18.744,40 22.680,73
5 18.744,40 22.680,73
6 18.744,40 22.680,73
7 18.744,40 22.680,73
8 18.744,40 22.680,73
9 18.744,40 22.680,73
10 18.744,40 22.680,73
180 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 2 10,00 �100.000,00 0,00 121.000,00
 Ano Amortização Juros Total
 0
 1 10.000,00 10.000,00
 2 10.000,00 10.000,00
 3 12.500,00 10.000,00 22.500,00
 4 12.500,00 8.750,00 21.250,00
 5 12.500,00 7.500,00 20.000,00
 6 12.500,00 6.250,00 18.750,00
 7 12.500,00 5.000,00 17.500,00
 8 12.500,00 3.750,00 16.250,00
 9 12.500,00 2.500,00 15.000,00
 10 12.500,00 1.250,00 13.750,00
Observe que na Tabela 8.13 os juros anuais decrescem de valor numa razão 
constante igual a:
Decréscimo anual de juros � 10% � 12.500,00 � $1.250,00
d) sistema de amortizações constantes com juros capitalizados na carência
O saldo do financiamento, acumulado no final do 2o ano, está calculado 
a seguir: 
 O valor de cada uma das oito amortizações anuais é obtido como se segue:
 Amortização anual 
$121.000,00
8
 $15.125,00� �
 Os juros a serem pagos no final do 3o ano correspondem a:
 Juros do 3o ano � 10% � 121.000,00 � $12.100,00
TABELA 8.13 Sistema de Amortizações Constantes – SAC – fluxo de caixa – juros pagos 
na carência
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 181
 Os juros anuais decrescem de valor numa razão constante igual a:
 Decréscimo anual dos juros � 10% � 15.125,00 � $1.512,50
 O fluxo de caixa desse financiamento está indicado na Tabela 8.14:
 Ano Amortização Juros Total
 0
 1
 2
 3 15.125,00 12.100,00 27.225,00
 4 15.125,00 10.587,50 25.712,50
 5 15.125,00 9.075,00 24.200,00
 6 15.125,00 7.562,50 22.687,50
 7 15.125,00 6.050,00 21.175,00
 8 15.125,00 4.537,50 19.662,50
 9 15.125,00 3.025,00 18.150,00
 10 15.125,00 1.512,50 16.637,50
7. Um empresário deseja vender um imóvel pelo preço de $120.000,00 à vista, porém 
está disposto a financiar 50% desse valor no prazo de um ano, com juros compostos 
de 1,5% ao mês, mediante um dos seguintes planos de pagamentos:
 a) doze prestações mensais;
 b) dozeprestações mensais de $4.000,00 e mais duas parcelas intermediárias de 
mesmo valor, no final de cada semestre;
 c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais.
Sabendo-se que a 1a prestação ocorre 30 dias após a venda do apartamento e 
considerando os meses com 30 dias, obtenha os fluxos de caixa desses três planos 
de financiamento para que sejam equivalentes, na taxa de 1,5% ao mês.
Solução:
Valor da parcela financiada � 50% � $120.000,00 � $60.000,00
TABELA 8.14 Sistema de Amortizações Constantes: Fluxo de caixa – juros capitalizados na carência
182 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
n PV PMTi FV
n PV PMTi FV
 12 1,50 �60.000,00 5.500,80 0,00
 6 1,50 0,00 �1.500,80 9.349,31
 12 1,50 8.363,87 0,00 �10.000,00
 6 1,50 9.145,42 0,00 �10.000,00
 Soma 17.509,29 
a) doze prestações mensais 
 O valor da prestação mensal pode ser calculado com a seguinte operação:
 que fornece $5.500,80 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.
b) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais
Podemos assumir que cada prestação mensal de $5.500,80 é subdividida 
em duas parcelas, a saber:
a parcela de $4.000,00, que continua sendo paga mensalmente;
a parcela de $1.500,80 ($5.500,80 � $4.000,00), que deve ser transferida, 
de forma equivalente, para pagamento no final do semestre.
Assim, o valor de cada intermediária semestral é obtido com a seguinte 
operação:
que fornece $9.349,31 para o valor de cada uma das duas intermediárias se-
mestrais.
c) duas intermediárias semestrais de $10.000,00 e mais 12 prestações mensais
Podemos inicialmente calcular o valor presente das duas intermediárias 
semestrais, como se segue:
Assim, o valor presente que deve ser amortizado pelas 12 prestações mensais 
corresponde a:
 $60.000,00 � $17.509,29 = $42.490,71
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 183
n PV PMTi FV
 12 1,50 �42.490,71 3.895,55 0,00
n PV PMTi FV
 10 1,50 27.666,55 �3.000,00 0,00
 O valor da prestação mensal é assim obtido:
 que fornece $3.895,55 para o valor de cada uma das 12 prestações mensais.
Podemos, então, resumir os três planos equivalentes de pagamentos para a 
parcela financiada de $60.000,00:
 i) doze prestações mensais de $5.500,80;
 ii) doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas intermediárias semestrais de 
$9.349,31;
 iii) doze prestações mensais de $3.895,55 e mais duas intermediárias semestrais de 
$10.000,00.
8. Um empresário levantou um financiamento de $50.000,00, com uma taxa efeti-
va de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Esse financiamento deve ser 
liquidado mediante o pagamento de 10 prestações mensais de $3.000,00, e mais 
duas parcelas intermediárias de mesmo valor, uma ocorrendo no final do 3o mês 
e a outra no final do 7o mês, a contar da data da liberação dos recursos.
Assumindo que os meses têm 30 dias e que a 1a prestação ocorre 30 dias após 
a liberação dos recursos, calcule o valor dessas duas parcelas intermediárias, para 
que o custo do financiamento seja mantido em 1,5% ao mês.
Solução:
Inicialmente, devemos determinar o valor presente (principal) das 10 presta-
ções mensais, com a seguinte operação:
que fornece $27.666,55 para o valor do principal das 10 prestações mensais.
Assim, o principal que deve ser amortizado pelas duas parcelas intermediá rias 
é igual a:
Principal das intermediárias � $50.000,00 � $27.666,55 � $22.333,55
Vamos agora determinar o valor presente de duas parcelas unitárias 
(FV � $1,00) colocadas no final do 3o mês e no final do 7o mês, com as opera-
ções indicadas a seguir:
184 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0 1
x ?� x ?�
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
$3.000,00 $3.000,00
PV � $10.000,00 im � 1,20% a.m.
n PV PMTi FV
 7 1,50 0,9010268 0,00 �1,00
 3 1,50 0,9563170 0,00 �1,00
 Soma 1,8573438 
n PV PMTi FV
 12 1,20 2.599,89 0,00 �3.000,00
 6 1,20 2.792,79 0,00 �3.000,00
 Soma 5.392,68 
Se chamarmos de x o valor de cada uma dessas duas parcelas intermediárias, 
podemos escrever:
 $22.333,45 � x (1,8573438)
que fornece x � $12.024,40, para ser pago no final do 3o mês e no final do 7o mês.
9. Considere o fluxo de caixa indicado na Figura 8.7 e calcule o valor da prestação mensal 
x, que ocorre do 1o ao 5o mês e do 7o ao 11o mês, para que a rentabilidade efetiva 
da operação seja de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos.
FIGURA 8.7
 
Solução:
 Inicialmente, devemos calcular o valor presente das duas parcelas de 
$3.000,00, com as operações a seguir indicadas:
 Assim, o valor do principal a ser amortizado pelas 10 parcelas mensais de 
valor igual a x corresponde a:
 PVX = $10.000,00 � $5.392,68 = $4.607,32
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 185
0 1
x ?�
x ?�
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses
PV � $4.607,32
im � 1,20% a.m.
n PV PMTi FV
 11 1,20 0,87703 0,00 �1,00
 10 1,20 0,88755 0,00 �1,00
 9 1,20 0,89820 0,00 �1,00
 8 1,20 0,90898 0,00 �1,00
 7 1,20 0,91989 0,00 �1,00
 5 1,20 0,94210 0,00 �1,00
 4 1,20 0,95341 0,00 �1,00
 3 1,20 0,96485 0,00 �1,00
 2 1,20 0,97643 0,00 �1,00
 1 1,20 0,98814 0,00 �1,00
 Soma 9,31658 
Vamos, agora, obter o valor presente de 10 parcelas unitárias (x = $1,00), 
colocadas no final dos 11 primeiros meses, exceto no final do 6o mês. Isso é 
alcançado pelas operações a seguir indicadas:
Se chamarmos de x o valor de cada uma dessas 10 parcelas individuais, pode-
mos escrever:
 $4.607,32 � x (9,31658)
que fornece x � $494,53 para o valor das prestações mensais.
Uma solução particular para esse problema poderia ser alcançada somando e 
subtraindo a mesma grandeza x no final do 6o mês, conforme mostrado no esquema 
da Figura 8.8:
FIGURA 8.8
Agora, devemos calcular o valor presente das 11 parcelas unitárias, que ocorrem do 1o 
mês ao 11o mês, e desse valor devemos subtrair o valor presente da parcela unitária 
colocada no 6o mês. Isso é alcançado pelas operações indicadas a seguir:
186 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0 1
im � 1% a.m.
x ?� x ?�
2 3 4 5 6 7 8 9 Meses
FV � $10.000,00 
n PV PMTi FV
 11 1,20 10,24751 �1,00 0,00
 6 1,20 �0,93093 0,00 1,00
 Soma 9,31658 
n PV PMTi FV
 9 1,00 �1,00 0,00 1,09369
 8 1,00 �1,00 0,00 1,08286
 7 1,00 �1,00 0,00 1,07214
 6 1,00 �1,00 0,00 1,06152
 5 1,00 �1,00 0,00 1,05101
 3 1,00 �1,00 0,00 1,03030
 2 1,00 �1,00 0,00 1,02010
 1 1,00 �1,00 0,00 1,01000
 Soma 8,42162
que fornece o mesmo resultado obtido anteriormente, pelo desconto individual 
de cada uma das 10 parcelas.
10. Considere o fluxo de caixa indicado na Figura 8.9 e calcule o valor do depósito mensal 
x, para que o montante acumulado no final do 9o mês seja igual a $10.000,00, 
assumindo que a taxa de remuneração dos depósitos é de 1% ao mês, no regime 
de juros compostos.
FIGURA 8.9
Solução: 
Devemos, inicialmente, capitalizar oito depósitos unitários (x � $1,00) para o final 
do 9o mês, com a taxa de juros de 1% ao mês, com as operações a seguir indicadas:
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 187
PV � $10.000,00 
$2.700,00 $2.700,00 $2.700,00
3x
2x
x
$2.700,00
ia � 8% a.a.
0 1 2 3 4 Anos
n PV PMTi FV
 4 8,00 8.942,74 �2.700,00 0,00 
 Se chamarmos de x o valor de cada um desses oito depósitos, podemos escrever:
$10.000,00 � x (8,42162)
que fornece x � $1.187,42 para o valor dos depósitos mensais.
11. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado num prazo de 
quatro anos. A 1a prestação tem um valor de $2.700,00, e seu pagamento deve ocorrer 
no final do 1o ano. As outras três prestações anuais devem ter um crescimento linear 
em relação à 1a prestação, fazendo com que as quatro prestações formem uma progra-
mação aritmética crescente. Calcule o valor das prestações anuais sabendo-se que a 
taxa efetiva de juros desse financiamento é de 8% ao ano.
FIGURA 8.10
Solução:
Inicialmente, devemos calcular o valor presente das quatro parcelas anuais de 
$2.700,00, com a seguinte operação: 
que fornece ovalor presente de $8.942,74.
Assim, o valor presente que deve corresponder às parcelas x, 2x e 3x deve ser 
igual a:
PVX � $10.000,00 � $8.942,74 � $1.057,26
Vamos, agora, assumir que x � $1,00 e descontar as parcelas de $1,00 no final 
do 2o ano, $2,00 no final do 3o ano e $3,00 no final do 4o ano, com as operações 
a seguir indicadas:
188 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 2 8,00 0,85734 0,00 �1,00
 3 8,00 1,58766 0,00 �2,00
 4 8,00 2,20509 0,00 �3,00
 Soma 4,65009
Podemos então escrever a equação do valor presente para as parcelas linear-
mente crescentes:
PVX � $1.057,26 � x (4,65009) 
que fornece x � $227,36, e portanto temos:
 Prestação do 1o ano � $2.700,00
 Prestação do 2o ano � $2.700,00 � $227,36 � 1 � $2.927,36
 Prestação do 3o ano � $2.700,00 � $227,36 � 2 � $3.154,72
 Prestação do 4o ano � $2.700,00 � $227,36 � 3 � $3.382,08
8.4. Conclusão
O conceito de equivalência de fluxo de caixa utilizado na tomada de decisão de 
investimentos foi desenvolvido ao longo do capítulo com exemplos de planos de fi-
nanciamento, especialmente o Modelo Price e SAC, comumente usados no mercado 
financeiro.
Fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se seus valores 
presentes, calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais. 
Assim, a equivalência representa o ponto de indiferença entre dois fluxos de caixa. 
Tanto faz realizar o investimento A ou investimento B se seus valores presentes forem 
iguais. 
A questão focal é que essa equivalência, e, portanto, a igualdade de valores pre-
sentes, depende necessariamente da taxa de juros usada para descontar os fluxos de 
caixa, a fim de obter seus valores presentes.
 Assim, se dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa 
de juros, essa equivalência deixará de existir se a taxa de juros for alterada.
Lembramos, finalmente, que a equivalência deve ser analisada no regime de juros 
compostos e que pode ser verificada no final de qualquer período n, desde que o período 
escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa envolvidos.
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 189
8.5. Problemas Propostos
Assuma em todos os problemas o ano comercial com 360 dias.
1. Verifique se os fluxos de caixa A e B, indicados na tabela a seguir, são equivalentes 
a uma taxa de 1,0% ao mês, no regime de juros compostos.
 Mês Fluxo A ($) Fluxo B ($) 
 0 – –
 1 – –
 2 208,10 250,00
 3 208,10 –
 4 208,10 250,00
 5 208,10 200,00
 6 208,10 344,34
 Soma 1.040,50 1.044,34
2. Calcule o valor da parcela x que faz com que os dois fluxos de caixa indicados na 
tabela a seguir sejam equivalentes, a uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros 
compostos. 
 Mês Fluxo A ($) Fluxo B ($) 
 0 – –
 1 500,00 –
 2 500,00 400,00
 3 500,00 x
 4 500,00 600,00
 5 500,00 600,00
 6 500,00 900,00
 Soma 3.000,00 2.500,00 � x 
190 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
3. Um Plano de Pagamentos para um financiamento de $1.000,00, num prazo de 
cinco anos, com a taxa de juros de 10 % ao ano, obedece os seguintes critérios:
 a) os juros de cada ano são calculados sobre o saldo devedor do início do ano, 
imediatamente após o pagamento da prestação do ano anterior;
 b) a prestação de cada um dos cinco anos é obtida pela divisão do saldo devedor 
no final do respectivo ano (imediatamente antes do pagamento da prestação 
que está sendo calculada) pelo número de prestações que ainda faltam ser pagas 
(inclusive a prestação em questão);
 Em relação a esse Plano de Pagamentos:
 a) calcule as cinco prestações anuais e verifique se elas são crescentes numa pro-
gressão geométrica com uma razão igual 1,10 (1 + taxa de juros).
 b) obtenha o valor das cinco amortizações anuais.
4. Uma instituição financeira está elaborando os cálculos de seus financiamentos e de-
seja que a taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, seja mantida em 
todas as suas operações. Assuma que os meses têm 30 dias e que o financia mento de 
um principal de $10.000,00 deve ser amortizado no prazo de 10 meses, e calcule:
 a) o valor das prestações mensais, iguais e sucessivas (modelo Price, série 
postecipada);
 b) o valor das prestações mensais segundo o sistema de amortizações constantes.
5. Um empréstimo de $100.000,00 é realizado com uma taxa de 10% ao ano, no 
regime de juros compostos, e deve ser amortizado pelo sistema de amortizações 
constantes, no prazo de 10 anos com os dois primeiros anos de carência. Obtenha 
o fluxo de caixa desse empréstimo nas seguintes hipóteses: 
 a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada 
ano; 
 b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos, e sim 
capitalizados.
6. Uma instituição financeira oferece a seus clientes os seguintes planos equivalentes 
de financiamento:
 a) plano mensal sem carência: 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, com o 
pagamento da 1a prestação ocorrendo 30 dias após a liberação dos recursos;
 b) plano mensal com carência: nove prestações mensais, iguais e sucessivas, com o 
pagamento da 1a prestação ocorrendo 120 dias após a liberação dos recursos;
 c) plano semestral: duas prestações semestrais, de mesmo valor, cujos pagamentos 
ocorrem no final do 6o mês e do 12o mês, a contar da liberação dos recursos.
Sabendo-se que essa instituição financeira opera com uma taxa efetiva de 1% 
ao mês, a juros compostos, calcule os valores das prestações desses três planos para 
um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00.
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 191
7. Uma instituição financeira realiza seus empréstimos a juros compostos, com uma 
taxa efetiva de 1,4% ao mês, e as operações podem ser liquidadas com duas mo-
dalidades de pagamentos:
 a) em 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a prestação 30 dias 
após a liberação dos recursos;
 b) em quatro parcelas semestrais, iguais e sucessivas, ocorrendo a 1a parcela 180 
dias após a liberação dos recursos.
Calcule o valor das prestações mensais e das parcelas semestrais para um finan-
ciamento cujo principal é de $50.000,00, de tal forma que as duas modalidades 
de pagamentos sejam equivalentes na taxa oferecida pela instituição financeira. 
Assuma os meses com 30 dias.
8. Um terreno com um valor à vista de $50.000,00 está sendo financiado num pra zo 
de dois anos, mediante o pagamento de 24 prestações mensais e, adicionalmente, 
mais duas parcelas anuais de mesmo valor. Esses pagamentos têm as seguintes 
características:
 a) as prestações mensais são sucessivas e iguais a $1.500,00, ocorrendo a 1a pres-
tação 30 dias após a venda do terreno;
 b) as duas parcelas anuais, de mesmo valor, devem ser pagas no final do 12o mês 
e do 24o mês, a contar da venda do terreno.
Assuma os meses com 30 dias e calcule o valor das parcelas anuais para 
que a taxa efetiva do financiamento seja de 1,5% ao mês, no regime de juros 
compostos.
9. Um banco de investimentos está elaborando os programas para os cálculos de seus 
financiamentos e deseja que a taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos, 
seja mantida em todas as operações. Considere que os financiamentos devem ser 
amortizados no prazo de dois anos e que a 1a prestação tem vencimento 30 dias 
após a liberação dos recursos. Assuma um financiamento com um principal de 
$10.000,00 e determine:
a) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas;
 b) para quanto será reduzido o valor da prestação mensal se no final de cada tri-
mestre for paga uma parcela intermediária de $1.000,00, adicionalmente ao 
valor da prestação mensal correspondente; 
 c) o valor da parcela intermediária trimestral, se a prestação mensal for fixada em 
$300,00.
10. Um banco de investimentos financia apenas 80% do valor à vista de qualquer 
equipamento e cobra juros compostos efetivos de 1% ao mês. Um empresário 
deseja comprar um equipamento no valor de $25.000,00 e, portanto, pode se 
192 M a t e m á t i c a F i na n c e i r a
habilitar num financiamento de $20.000,00, para ser amortizado no prazo de um 
ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e determine:
 a) o valor das 12 prestações mensais, sabendo-se que a 1a prestação ocorre 30 dias 
após a liberação dos recursos;
 b) para que valor deve ser reduzida essa prestação mensal se o banco aceitar o 
pagamento de duas parcelas intermediárias de $5.000,00, sendo a 1a parcela 
no final do 3o mês e a 2a parcela no final do 9o mês, a contar da liberação dos 
recursos. Observe que nesses dois meses serão efetuados os pagamentos da 
prestação mensal e também da parcela intermediária de $5.000,00;
 c) repita os cálculos do item b na hipótese de as parcelas intermediárias de $5.000,00 
já incluírem as respectivas prestações mensais do 3o mês e do 9o mês.
11. Um financiamento cujo principal é igual a $100.000,00 deve ser liquidado mediante o 
pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, e de mais duas parcelas 
intermediárias semestrais, adicionais aos pagamentos das prestações mensais. 
Assuma os meses com 30 dias e obtenha o fluxo de caixa desse financiamento, 
sabendo-se que:
a) a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,4% ao mês;
 b) a 1a prestação mensal ocorre 30 dias após a liberação do principal;
 c) as parcelas intermediárias semestrais, que ocorrem no final do 6o mês e do 12o 
mês, a contar da liberação dos recursos, têm um valor igual a duas vezes o valor 
da prestação mensal.
12. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado me diante 
o pagamento de oito prestações mensais, iguais e sucessivas, e de mais uma parcela 
intermediária adicional, a ser paga no final do 3o mês a contar da liberação dos 
recursos. Obtenha o fluxo de caixa desse financiamento, sabendo-se que: 
 a) a taxa efetiva de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de 
juros compostos;
 b) a 1a prestação mensal ocorre 30 dias após a liberação dos recursos;
 c) a parcela intermediária é três vezes maior do que o valor da prestação mensal.
13. Um financiamento cujo principal é igual a $100.000,00 deve ser liquidado 
median te o pagamento de nove prestações mensais, ocorrendo a 1a prestação 30 
dias após a liberação do principal. As três primeiras prestações mensais são iguais 
a $10.000,00, e as três prestações mensais seguintes são iguais a $12.000,00. As 
últimas três prestações devem ter valores iguais. Calcule o valor dessas últimas três 
prestações mensais, sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financia mento é 
de 1,3% ao mês, no regime de juros compostos. 
Capí tu lo 8 – Equivalência de F luxos de Caixa 193
14. Um financiamento cujo principal é igual a $10.000,00 deve ser liquidado median te 
o pagamento de duas parcelas, uma no final do 1o mês e outra no final do 4o mês, 
a contar da liberação dos recursos. Calcule o valor desses pagamentos sabendo-se 
que a segunda parcela é quatro vezes maior do que a primeira, e que a taxa efetiva 
de juros desse financiamento é de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos.
15. Um financiamento cujo principal é igual a $30.000,00 deve ser liquidado num 
prazo de quatro anos. A 1a prestação tem um valor de $10.000,00, e seu paga-
mento deve ocorrer no final do 1o ano. As outras três prestações anuais devem ser 
linearmente decrescentes em relação à 1a prestação, fazendo com que as quatro 
prestações formem uma progressão aritmética decrescente. Calcule o valor das 
prestações anuais sabendo-se que a taxa efetiva de juros desse financiamento é 
de 8% ao ano.
9.1. Introdução
O objetivo deste capítulo é mostrar a metodologia que deve ser usada no trata-
mento de fluxos de caixa não homogêneos, isto é, de fluxos de caixa cujos valores são 
dis tintos entre si e que não apresentam nenhuma lei de formação que permita uma 
simplificação do cálculo do valor presente líquido pelo uso da função PMT apresentada 
no Simulador da HP-12C.
A solução para esse tipo de problema se dá com o desconto individual de cada 
parcela que compõe o fluxo de caixa.
No Capítulo 7, a solução desse problema foi apresentada com o auxílio do Simula-
dor da HP-12C, que foi utilizado para descontar individualmente cada parcela futura 
(FV) e obter seu correspondente valor presente (PV). O valor presente do fluxo de 
caixa, por definição, é igual à soma dos valores presentes de suas parcelas futuras.
Neste capítulo, vamos mostrar, por exemplos, o uso das funções especiais NPV 
(net present value) e IRR (internal rate of return) da HP-12C e das funções VPL (valor 
presente líquido) e TIR (taxa interna de retorno) da Planilha Excel, que servem 
para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno 
de fluxos de caixa não homogêneos.
Mostraremos, ainda, o uso das funções especiais XVPL e XTIR da Planilha Excel, 
que servem para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna 
de retorno de fluxos de caixa não homogêneos, que são registrados na Planilha Excel 
mediante informação da data e respectivo valor de cada uma de suas parcelas.
A leitura prévia dos Apêndices A e B, onde estão apresentadas as operações 
básicas da HP-12C e do Excel, é recomendável para o pleno entendimento deste 
capítulo. 
9
Fluxos de Caixa 
Não Homogêneos
Capítulo
196 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
0
i i i i i
1 2 3 n
CF1
CF2
CFnCF0
...
VPL (i%)
VPL (TIR%) 
9.2. Expressão Genérica do Valor Presente Líquido
A Figura 9.1 mostra um fluxo de caixa genérico, ao longo dos n períodos da escala 
de tempo:
FIGURA 9.1 Um fluxo de caixa genérico
em que:
 CF0 – parcela do fluxo de caixa no ponto 0 (Cash Flow no ponto 0)
 CF1 – parcela do fluxo de caixa no ponto 1 (Cash Flow no ponto 1) 
 CF2 – parcela do fluxo de caixa no ponto 2 (Cash Flow no ponto 2)
 .....
 CFn – parcela do fluxo de caixa no ponto n (Cash Flow no ponto n)
Vamos sempre chamar de CF0 a parcela do fluxo de caixa colocada no ponto zero 
da escala de tempo. Essa parcela normalmente corresponde ao investimento inicial 
e, nesse caso, tem sinal negativo (�), por representar um desembolso, ou seja, uma 
saída de caixa.
Vamos sempre chamar genericamente de CFj qualquer parcela do fluxo de caixa 
que ocorrer a partir do final do 1o período até o final do último período (n).
O valor presente líquido desse fluxo de caixa, para uma determinada taxa de des-
conto i, tem a seguinte expressão genérica:
 � CF0 � CF1 x � CF2 x
2 � . . . � CFn x
n (9.1)
que corresponde a um polinômio de grau n, em que temos:
 x 
1
1 i
�
�
O valor presente líquido de qualquer fluxo de caixa, para qualquer taxa de desconto 
i, é obtido pela função NPV da HP-12C e pela função VPL do Excel, bastando que 
ele previamente seja registrado pelos seus coeficientes CF0 e CFj.
A taxa interna de retorno do fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz com que 
o valor presente líquido seja igual a zero. Essa condição, colocada na Equação (9.1), 
fornece:
 � CF0 � CF1 x � CF2 x
2 � . . . � CFn x
n � 0 (9.2)
Assim, a taxa interna de retorno do fluxo de caixa corresponde a uma das n raízes 
da Equação (9.2) de grau n. As únicas raízes que têm sentido econômico são as que 
correspondem a valores reais positivos.
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 197
A regra de sinal de Descartes garante que os polinômios com apenas uma variação 
de sinal em seus coeficientes têm apenas uma raiz real positiva. 
A taxa interna de retorno de qualquer fluxo de caixa é obtida pela função IRR da 
HP-12C e pela função TIR do Excel, bastando que ele previamente seja registrado 
pelos seus coeficientes CF0 e CFj.
9.3. Utilização da Calculadora HP-12C
9.3.1. Funções Financeiras NPV e IRR
As funções financeiras NPV e IRR da HP-12C servem para calcular o valor 
presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido pre-
viamente registrados na calculadora por meio das seguintes funções: 
CF0 : para registrar o fluxo de caixa do ponto zero
CFj : para registrar o fluxo de caixa de umponto genérico j ( j = 1,2, ..., n)
 Nj : para registrar o número de parcelas individuais CFj de mesmo valor e repe-
tidas sequencialmente
As funções financeiras NPV e IRR exigem que os fluxos de caixa sejam informa-
dos de forma sequencial, sendo indispensável o registro de todas as parcelas do fluxo, 
inclusive as que tiverem valor igual a zero.
Recomendamos a leitura do Apêndice A, que apresenta, em detalhes, todas as 
funções financeiras dessa calculadora.
9.3.2. Exemplos Numéricos
1. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir, que é o mesmo do Problema 5 da 
Seção 7.3.2 do Capítulo 7.
TABELA 9.1
Ano Valor ($)
0 (�) 11.500,00
1 (�) 2.350,00
2 (�) 1.390,00
3 (�) 3.350,00
4 (�) 4.275,00
5 (�) 5.350,00
Soma (�) 5.215,00
198 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Calcule:
 a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
10,00% ao ano e 12,00% ao ano;
 b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.
Solução: 
Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes 
operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 11500 CHS g CF0 (parcela do ano 0 � (�)$11.500,00)
 2350 g CFj (parcela do ano 1 � $2.350,00)
 1390 g CFj (parcela do ano 2 � $1.390,00)
 3350 g CFj (parcela do ano 3 � $3.350,00)
 4275 g CFj (parcela do ano 4 � $4.275,00)
 5350 g CFj (parcela do ano 5 � $5.350,00)
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor 
presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, con-
forme indicado a seguir:
a) cálculo do valor presente líquido
 0 i (taxa de desconto de 0,00% a.a.)
 f NPV (NPV � $5.215,00 � soma das parcelas)
 10 i (taxa de desconto de 10,00% a.a.)
 f NPV (NPV � (�) $543,84)
 12 i (taxa de desconto de 12,00% a.a.)
 f NPV (NPV � (�) $156,65)
O fluxo de caixa continua registrado na HP-12C, sem qualquer alteração, 
e podemos calcular sua taxa interna de retorno com a função IRR, conforme 
indicado a seguir:
b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano
 f IRR (IRR � 11,537% ao ano)
 Compare os resultados aqui obtidos com aqueles apresentados no Problema 5 
da Seção 7.3.2 do Capítulo 7, com o auxílio do Simulador da HP-12C.
Ressaltamos os seguintes pontos:
os coeficientes da equação do valor presente líquido. Essa inversão ocorreu 
na passagem do coeficiente CF0 (� $11.500,00) para o coeficiente CF1 (� 
$2.350,00). Temos, então, uma única raiz real positiva, que corresponde a 
11,537% ao ano;
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 199
as parcelas do fluxo de caixa. Esse cálculo serve para verificar se os valores do 
fluxo de caixa estão registrados corretamente na calculadora. 
-
mente nas memórias 0, 1, 2, etc. e podem ser revistos a qualquer tempo com a 
ajuda da tecla RCL. Para isso basta acionar a tecla RCL e em seguida o número 
da memória que contém o valor a ser revisto. Exemplo: RCL 0 traz para o visor 
da HP-12C o conteúdo da memória 0 ( (-) $11.500,00)). RCL 4 traz para o 
visor o conteúdo da memória 4 ($4.275,00).
2. Considere o fluxo de caixa indicado na Tabela 9.2:
 Calcule:
 a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
0,50% ao mês e 1,00% ao mês;
 b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao mês. 
Solução: 
Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes 
operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 30000 CHS g CF0 (parcela do mês 0 � (�)$30.000,00)
 0 g CFj (parcela do mês 1 � $0,00)
 10350 g CFj (parcela do mês 2 � $10.350,00)
 0 g CFj (parcela do mês 3 � $0,00)
 10350 g CFj (parcela do mês 4 � $10.350,00)
 0 g CFj (parcela do mês 5 � $0,00)
 10350 g CFj (parcela do mês 6 � $10.350,00)
TABELA 9.2
Mês Valor ($)
0 (�) 30.000,00
1 0,00
2 (�) 10.350,00
3 0,00
4 (�) 10.350,00
5 0,00
6 (�) 10.350,00
Soma (�) 1.050,00
200 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do valor 
presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, 
conforme indicado a seguir:
a) cálculo do valor presente líquido
 0 i (taxa de desconto de 0,00%)
 f NPV (NPV � $1.050,00 � soma das parcelas)
 0,50 i (taxa de desconto de 0,50% a.m.)
 f NPV (NPV � (�) $437,70)
 1,00 i (taxa de desconto de 1,00% a.m.)
 f NPV (NPV � (�) $157,62)
A taxa interna de retorno pode ser calculada com a função IRR, con-
forme indicado a seguir:
b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao mês
 f IRR (IRR � 0,866% ao mês)
 Ressaltamos os seguintes pontos:
-
gura a existência de apenas uma raiz real positiva, que corresponde a 0,866% 
ao mês;
de suas parcelas. Assim, os valores que são iguais a zero também devem ser re-
gistrados, para que seja mantida a sequência da entrada dos dados. 
3. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir:
TABELA 9.3
Ano Valor ($)
0 (�) 40.000,00
1 (�) 3.500,00
2 (�) 7.500,00
3 (�) 7.500,00
4 (�) 7.500,00
5 (�) 15.000,00
6 (�) 15.000,00
Soma (�) 16.000,00
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 201
Calcule inicialmente:
 a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
8,00% ao ano e 9,00% ao ano;
 b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. 
 Altere o valor do investimento inicial de (�) $40.000,00 para
 (�) $38.000,00 e calcule: 
 c) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
9,00% ao ano e 10,00% ao ano;
 d) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano. 
Solução: 
Inicialmente, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as seguintes operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 40000 CHS g CF0 (parcela do ano 0 � (�)$40.000,00)
 3500 g CFj (parcela do ano 1 � $3.500,00)
 7500 g CFj (parcela do ano 2 � $7.500,00)
 3 g Nj (repetir $7.500,00 três vezes)
 15000 g CFj (parcela do ano 5 � $15.000,00)
 2 g Nj (repetir $15.000,00 duas vezes)
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C podemos fazer o cálculo do valor 
presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, 
conforme indicado a seguir:
a) cálculo do valor presente líquido
 0 i (taxa de desconto de 0,00%)
 f NPV (NPV � $16.000,00 � soma das parcelas)
 8 i (taxa de desconto de 8,00% a.a.)
 f NPV (NPV � (�) $798,54)
 9 i (taxa de desconto de 9,00% a.a.)
 f NPV (NPV � (�) $678,84)
b) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano
 f IRR (IRR � 8,534% ao ano)
O valor do investimento inicial (CF0) é guardado na memória 0 (zero) e pode ser 
alterado para $38.000,00 com as seguintes operações:
38000 CHS STO 0 ((�)$38.000,00 registrado na memória 0)
Podemos, agora, realizar os cálculos do valor presente líquido e da taxa interna de 
retorno, conforme indicado a seguir:
c) cálculo do valor presente líquido
 0 i (taxa de desconto de 0,00%)
 f NPV (NPV � $18.000,00 � soma das parcelas)
202 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 4 2,873734 �100.000,00 0,00 112.000,00 
 9 i (taxa de desconto de 9,00% a.a.)
 f NPV (NPV � (�) $1.321,16)
 10 i (taxa de desconto de 10,00% a.a.)
 f NPV (NPV � (�) $81,14)
 d) cálculo da taxa interna de retorno, em % ao ano
 f IRR (IRR � 9,941% ao ano)
Ressaltamos os seguintes pontos :
mesmo valor, o que facilita a entrada dos valores do fluxo de caixa na calcu-
ladora;
fluxo de caixa, pois deixa de existir a relação direta entre o número da memória 
e o número do período. O Apêndice A mostra como rever os valores do fluxo 
de caixa com tecla RCL nesse caso.
parcelas do fluxo de caixa, e serve portanto para verificar se o fluxo de caixa 
foi corretamente introduzido na calculadora.
4. Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de $100.000,00, e paga 
cupons trimestrais de juros com uma taxa efetiva de 12% ao ano, no regime de 
juroscompostos. Considerando o ano com quatro trimestres de 90 dias, calcule:
 a) o valor dos cupons que será pago no final de cada um dos quatro trimestres; 
 b) o percentual de deságio no preço de emissão de $100.000,00, para que os inves-
tidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, no caso de realizarem 
a compra na data da emissão e conservarem o título até seu vencimento, no 
final de um ano; 
 c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem esse 
título, na data de emissão, com um deságio de 1,5% e o conservarem até seu 
vencimento, no final de um ano.
Solução:
a) valor dos cupons trimestrais de juros
Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao 
ano, com as operações indicadas a seguir:
 que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre.
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 203
n PV PMTi FV
 4 3,102598 �100.000,00 0,00 113.000,00 
 Assim, o valor dos cupons trimestrais de juros é igual a:
 $100.000,00 � 2,873734% � $2.873,73
O fluxo de caixa desse título por ocasião de sua emissão é, portanto, o que 
se segue:
 que fornece a taxa de 3,102598% ao trimestre.
O registro do fluxo de caixa na HP-12C é feito com as seguintes operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 0 g CF0 (parcela do trimestre 0 � $0,00)
 2873,73 g CFj (parcela do trimestre 1 � $2.873,73)
 3 g Nj (repetir $2.873,73 três vezes)
 102873,73 g CFj (parcela do trimestre 4 � $102.873,73)
Observe que o valor de CF0 foi colocado como sendo igual a zero para que 
o valor presente líquido do fluxo de caixa (NPV) represente o preço de venda 
do título para a taxa de desconto desejada.
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do 
valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 3,102598% 
ao trimestre, conforme indicado a seguir:
b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano
Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 13% ao 
ano, com as operações indicadas a seguir:
TABELA 9.4
Trimestre Valor ($)
0 (�) 100.000,00
1 (�) 2.873,73
2 (�) 2.873,73
3 (�) 2.873,73
4 (�) 102.873,73
Soma $11.494,92
204 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 4 3,279976 �100.000,00 0,00 113.779,629 
 3,102598 i (taxa de desconto de 3,102598% a.t.)
 f NPV (NPV � $99.151,36)
Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano, que é equivalente a 3,102598% 
ao trimestre, é necessário que o preço de venda seja igual a $99.151,36, e, 
portanto, o percentual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é 
obtido pela relação a seguir:
% de deságio $100.000,00 $99.151,36
$100.000,00
 0,849%� � � 
c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5%
Com o deságio de 1,5% o preço de venda do título é obtido pela relação:
 Preço de venda � $100.000,00 � $100.000,00 � 1,5% � $98.500,00
Como o fluxo de caixa do título já está registrado na HP-12C, temos apenas de 
introduzir o valor de $98.500,00 para o preço de venda, conforme indicado a seguir:
 98500 CHS STO 0 ((�)$98.500,00 registrado na memória 0)
Podemos, agora, realizar o cálculo da taxa interna de retorno, conforme 
indicado a seguir:
 f IRR (IRR � 3,279976% ao trimestre)
A taxa efetiva anual equivalente a 3,279976% ao trimestre é obtida como 
se segue:
 que fornece a rentabilidade efetiva de 13,779629% ao ano.
5. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de 
março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem 
ser efetuados a partir do 30o dia da data da venda. Cada prestação vence 30 dias 
após a prestação anterior. 
Determine:
 a) o fluxo de caixa do financiador;
 b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, considerando o 
ano com 365 dias;
 c) a taxa de juros mensal, que é equivalente à taxa diária do item b, considerando 
o mês com 30 dias;
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 205
 d) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, por meio do desconto 
individual de cada prestação, usando o Simulador da HP-12C e a taxa diária 
obtida no item b; 
 e) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função PMT 
do Simulador da HP-12C, e a taxa mensal obtida no item c. Verifique que esse 
resultado é idêntico ao obtido no item d; 
 f) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV 
da HP-12C, com a taxa mensal obtida no item c. Verifique que esse resultado 
é idêntico aos obtidos nos itens d e e; 
 g) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função i 
do Simulador da HP-12C;
 h) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função 
IRR da HP-12C. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item g;
 i) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV 
da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b. Verifique que esse resultado 
é idêntico aos obtidos nos itens d, e e f; 
 j) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao dia, usando a função 
IRR da HP-12C;
 l) a taxa interna de retorno, em % ao mês, que é equivalente à taxa diária obti-
da no item j, assumindo o mês com 30 dias. Verifique que o resultado obtido 
coincide com a taxa mensal obtida nos itens g e h;
 m) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida 
no item j, assumindo o ano com 365 dias.
Solução:
a) fluxo de caixa do financiador
 O fluxo de caixa do financiador está indicado na Tabela 9.5:
TABELA 9.5
Datas Dia Mês Valor ($)
1o de março 0 0 (�) 20.600,00
31 de março 30 1 (�) 7.000,00
30 de abril 60 2 (�) 7.000,00
30 de maio 90 3 (�) 7.000,00
Soma (�) 400,00
206 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 365 0,02361312 �100,00 0,00 109,00 
n PV PMTi FV
 30 0,02361312 �100,00 0,00 100,7108244 
n PV PMTi FV
 30 0,02361312 6.950,59 0,00 �7.000,00
 60 0,02361312 6.901,54 0,00 �7.000,00
 90 0,02361312 6.852,82 0,00 �7.000,00
 Soma 20.704,95 
Observe que, como as prestações ocorrem a cada 30 dias, podemos tam-
bém realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e usar a taxa 
mensal equivalente à taxa fornecida. Dessa forma, enquadramos o problema 
nas condições adotadas pelas funções NPV e IRR da HP-12C.
Com a taxa mensal, podemos, ainda, considerar as três prestações de 
$7.000,00 como um parâmetro PMT no Simulador da HP-12C;
b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., assumindo o ano com 365 dias
Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia;
c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b
Para calcularmos essa taxa mensal, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,7108244% ao mês;
 d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto individual das 
parcelas com taxa diária do item b
Os dados para o desconto individual das prestações mensais de $7.000,00, 
usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão indicados a seguir:
 que fornece o valor presente de $20.704,95;
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 207
n PV PMTi FV
 3 0,7108244 20.704,95 �7.000,00 0,00
n PV PMTi FV
 3 0,96776693 �20.600,00 7.000,00 0,00
 e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função 
PMT e taxa mensal do item c
Nesse caso, os dados, com a taxa de juros de 0,7108244% ao mês, estão 
indicados a seguir:
 que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico ao obtido no item d;
 f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função 
NPV e taxa mensal do item c
Devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as se-
guintes operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 0 g CF0 (parcela do mês 0 � $0,00)
 7000 g CFj (parcela do mês 1 � $7.000,00)
 3 g Nj (repetir $7.000,00 três vezes)
Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer ocálculo do va-
lor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 0,7108244% 
ao mês, conforme indicado a seguir:
 0,7108244 i (taxa de desconto de 0,7108244% a.m.)
 f NPV (NPV � $20.704,95)
que fornece o valor presente de $20.704,95, idêntico aos obtidos nos itens d e e;
 g) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i do Simulador da 
HP-12C.
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês;
208 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C
Devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C com as se-
guintes operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 20600 CHS g CF0 (parcela do mês 0 � (�) $20.600,00)
 7000 g CFj (parcela do mês 1 � $7.000,00)
 3 g Nj (repetir $7.000,00 três vezes)
 Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo da 
taxa interna de retorno, em % ao mês, com o auxílio da função IRR, conforme 
indicado a seguir:
 f IRR (IRR � 0,96776693% ao mês)
que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica à 
obtida no item g.
 i) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV da HP-12C, 
com a taxa diária obtida no item b 
Para usarmos a função NPV com os períodos medidos em dias precisamos 
de um artifício simples, que consiste em colocar zeros entre as parcelas do fluxo 
de caixa, conforme indicado a seguir. 
Dessa forma, devemos, inicialmente, registrar o fluxo de caixa na HP-12C 
com as seguintes operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 0 g CF0 (parcela do dia 0 � $0,00)
 0 g CFj (parcela do dia 1 � $0,00)
 29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 30 � $7.000,00)
 0 g CFj (parcela do dia 31 � $0,00)
 29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 60 � $7.000,00)
 0 g CFj (parcela do dia 61 � $0,00)
 29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 90 � $7.000,00)
Com o fluxo de caixa registrado com esse artifício, podemos fazer o cálcu-
lo do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 
0,02361312% ao dia, conforme indicado a seguir:
 0,02361312 i (taxa de desconto de 0,02361312% a.d.)
 f NPV (NPV � $20.704,95)
que fornece o valor presente de $20.704,94, idêntico aos valores obtidos nos 
itens d, e e f;
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 209
n PV PMTi FV
 30 0,032108956 �100,00 0,00 100,96776693
n PV PMTi FV
 365 0,032108956 �100,00 0,00 112,4320528
 j) taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C
Com o fluxo de caixa já registrado com os períodos medidos em dias, pre-
cisamos introduzir o valor da parcela inicial de (�) $20.600,00 e acionar a 
função IRR, conforme indicado a seguir:
 20600 CHS STO 0 ((�) $20.600,00 para CF0 na memória 0)
 f IRR (IRR � 0,032108956% ao dia)
 que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia.
l) taxa interna de retorno, em % ao mês, equivalente à taxa diária do item j
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idêntica às 
obtidas nos itens g e h;
 m) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item 
j, assumindo o ano com 365 dias
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano, assumindo o 
ano com 365 dias.
6. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de 
março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem 
ser efetuados no dia 1o de cada mês subsequente à venda. 
Determine:
a) o fluxo de caixa do financiador;
 b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano 
com 365 dias;
 c) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pelo desconto in-
dividual de cada prestação, usando o Simulador da HP-12C, e a taxa diária 
ob tida no item b; 
210 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 365 0,02361312 �100,00 0,00 109,00
 d) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função NPV 
da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b. Verifique que esse resultado 
é idêntico ao obtido no item c;
 e) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao dia, usando a função 
IRR da HP-12C;
 f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida 
no item e, assumindo o ano com 365 dias.
Solução:
a) fluxo de caixa do financiador
O fluxo de caixa do financiador está indicado no quadro a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia;
Observe que, como as prestações não ocorrem a cada 30 dias, não podemos 
realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e consequentemente 
as prestações não podem ser consideradas um parâmetro PMT no Simulador 
da HP-12C.
Da mesma forma, para podermos usar as funções NPV e IRR da HP-12C, 
precisamos realizar os cálculos com os períodos, necessariamente, medidos em 
dias, e com a taxa de juros diária equivalente à taxa anual. Isso significa que 
temos necessariamente de usar o artifício de preencher com zeros os intervalos 
entre as parcelas do fluxo de caixa, como mostrado anteriormente;
 b) taxa de juros diária equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 
365 dias
Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
TABELA 9.6
Datas Dia Valor ($)
1o de março 0 (�) 20.600,00
1o de abril 31 (�) 7.000,00
1o de maio 61 (�) 7.000,00
1o de junho 92 (�) 7.000,00
Soma (�) 400,00
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 211
n PV PMTi FV
 31 0,02361312 6.948,95 0,00 �7.000,00
 61 0,02361312 6.899,91 0,00 �7.000,00
 92 0,02361312 6.849,59 0,00 �7.000,00
 Soma 20.698,45
 c) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto individual das 
parcelas com taxa diária do item b
Os dados para o desconto individual das prestações mensais de $7.000,00, 
usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão indicados a seguir:
 que fornece o valor presente de $20.698,45;
O desconto individual das parcelas com o Simulador da HP-12C também pode ser 
realizado usando o n como fração de ano (365 dias) e a taxa anual de 9%, conforme 
mostrado nos Problemas 11 e 12 da Seção 4.4 do Capítulo 4. 
O leitor poderá realizar essas operações e verificar que os resultados são idênticos 
aos obtidos acima, com a taxa diária equivalente a 9% ao ano e com o número de 
dias para cada parcela.
 d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, através da função NPV 
da HP-12C, com a taxa diária obtida no item b 
Para utilizarmos a taxa diária devemos, inicialmente, registrar o fluxo de 
caixa na HP-12C com as seguintes operações:
 f REG (limpeza dos registros)
 0 g CF0 (parcela do dia 0 � $0,00)
 0 g CFj (parcela do dia 1 � $0,00)
 30 g Nj (repetir $0,00 30 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 31 � $7.000,00)
 0 g CFj (parcela do dia 32 � $0,00)
 29 g Nj (repetir $0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 61 � $7.000,00)
 0 g CFj (parcela do dia 62 � $0,00)
 30 g Nj (repetir $0,00 30 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 92 � $7.000,00)
Com o fluxo de caixa assim registrado, podemos fazer o cálculo do valor 
presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 0,02361312% 
ao dia, conforme indicado a seguir:
212 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 365 0,031410279 �100,00 0,00 112,145788
 0,02361312 i (taxa de desconto de 0,02361312% a.d.)
 f NPV (NPV � $20.698,45)
 que fornece o valor presente de $20.698,45, idêntico ao valor obtido no item c;
 e) taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C
Com o fluxo de caixa já registrado na HP-12C, precisamos, inicialmente, 
introduzir o valor da parcela inicial de (�)$20.600,00, antes de acionar a 
função IRR, conforme indicado a seguir:
 20600 CHS STO 0 ((�)$20.600,00 para CF0 na memória 0)
 f IRR (IRR � 0,031410279% ao dia)
 que fornece a taxa interna de retorno de 0,031410279% ao dia;
 f) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item 
e, assumindo o ano com 365 dias
Para calcularmos essa taxa anual, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 12,145788% ao ano.
7. Um título é emitido no dia 1o de janeiro, pelo prazo de um ano, com um valor 
de $10.000,00 e paga juros semestralmente, nos dias 1o de julho do mesmo ano 
e 1o de janeiro do ano seguinte, de acordo com os dias efetivos de cada semestre. 
A taxa efetiva de remuneração desse título é de 8% ao ano, no regime de juros 
compostos, considerando o ano com 360 dias.
Calcule:
 a) a taxa diária que é equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias;
 b) o valor dos juros do cupom semestral, a ser pago no final do 1o semestre, usando 
a taxa diária do item a; 
 c) o valor dos juros do cupom semestral, a ser pago no final do 2o semestre, usando 
a taxa diária do item a; 
 d) a rentabilidade efetiva, em % ao dia, dos investidores que comprarem esse 
título, na data da emissão, com um deságio de 2% e o conservarem até seu 
vencimento, no final de um ano, usando a função IRR da HP-12C;
 e) a taxa efetiva anual que é equivalente à taxa diária obtida no item d, assumindo 
o ano com 360 dias;
 f) a taxa diária que é equivalente a 9% ao ano, assumindo o ano com 360 dias;
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 213
n PV PMTi FV
 360 0,02138035 �100,00 0,00 108,00
n PV PMTi FV
 181 0,02138035 �10.000,00 0,00 10.394,53
n PV PMTi FV
 184 0,02138035 �10.000,00 0,00 10.401,20
 g) o valor presente desse título para a taxa diária obtida no item f, usando a função 
NPV da HP-12C;
 h) o percentual de deságio no preço de emissão de $10.000,00 para os investidores 
que comprarem esse título, na data de emissão, pelo preço obtido no item g e 
o conservarem até seu vencimento. 
Solução:
a) taxa diária equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias
Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02138035% ao dia;
 b) valor dos juros a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa diária do item a
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece o valor de $394,53 para o cupom do 1o semestre;
 c) valor dos juros a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa diária do item a
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece o valor de $401,20 para o cupom do 2o semestre;
 d) taxa interna de retorno, em % ao dia, deságio de 2%, usando a função IRR da 
HP-12C
Os investidores que comprarem esse título, na data da emissão, com um desá gio 
de 2%, e o conservarem até seu vencimento terão o seguinte fluxo de caixa:
214 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 360 0,027025437 �100,00 0,00 110,216721
Para utilizarmos a taxa diária, devemos registrar o fluxo de caixa na HP-12C 
com as seguintes operações (observar que Nj não pode ultrapassar o valor 99):
 f REG (limpeza dos registros)
 9800 CHS g CF0 (parcela do dia 0 � (�) $9.800,00)
 0 g CFj (parcela do dia 1 � $0,00)
 90 g Nj (repetir $0,00 90 vezes)
 90 g Nj (repetir $0,00 90 vezes)
 394,53 g CFj (parcela do dia 181 � $394,53)
 0 g CFj (parcela do dia 182 � $0,00)
 90 g Nj (repetir $0,00 90 vezes)
 93 g Nj (repetir $0,00 93 vezes)
 10401,20 g CFj (parcela do dia 365 � $10.401,20)
Com o fluxo de caixa assim registrado, podemos fazer o cálculo da taxa 
interna de retorno, em % ao dia, com o auxílio da função IRR, conforme 
indicado a seguir:
 f IRR (IRR � 0,027025437% ao dia)
 que fornece a taxa interna de retorno de 0,027025437% ao dia;
 e) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no item 
d, assumindo o ano com 360 dias
Para calcularmos essa taxa anual, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 10,216721% ao ano;
TABELA 9.7
Datas Dias no semestre Dia Valor ($)
1o de janeiro 0 (�) 9.800,00
1o de julho 181 181 (�) 394,53
1o de janeiro 184 365 (�) 10.401,20
Soma (�) 995,73
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 215
n PV PMTi FV
 360 0,02394111 �100,00 0,00 109,00
 f) taxa diária equivalente a 9% ao ano, assumindo o ano com 360 dias
Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02394111% ao dia;
 g) valor presente para a taxa diária obtida no item f, usando a função NPV da 
HP-12C
Com o fluxo de caixa já registrado na HP-12C precisamos, inicialmente, 
colocar zero no valor da parcela inicial (CF0), antes de acionar a função NPV, 
conforme indicado a seguir:
 0 STO 0 ($0,00 para CF0 na memória 0)
 0,02394111 i (0,02394111% ao dia para a taxa de desconto)
 f NPV (NPV � $9.908,77)
 que fornece o valor presente de $9.908,77;
h) percentual de deságio para o preço de venda obtido no item g
O percentual de deságio sobre o preço de emissão de $10.000,00 é calculado 
pela relação:
% de deságio $10.000,00 $9.908,77
$10.000,00
 0,9123%� � �
9.4. Utilização da Planilha Excel
9.4.1. Funções Financeiras VPL e TIR
As funções financeiras VPL e TIR, do Excel, servem para calcular, respectivamente, 
o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham 
sido informados previamente, de uma forma sequencial, nas células da planilha.
Todos os valores do fluxo de caixa devem ser informados, inclusive os que tiverem 
valor igual a zero, pois cada célula corresponde, necessariamente, a um período de 
capitalização de juros.
A fórmula da função financeira VPL tem a seguinte expressão:
� VPL (taxa; valor 1; valor 2; ...)
216 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
em que os parâmetros correspondem a:
 Taxa – taxa de desconto em %, cuja unidade referencial de tempo deve coincidir 
com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de 
períodos
 Valor 1 – valor da parcela do fluxo de caixa colocada no final do 1o período, ou 
seja, na 1a célula após o investimento inicial
 Valor 2 – valor da parcela do fluxo de caixa colocada no final do 2o período, ou 
seja, na 2a célula após o investimento inicial
A fórmula da função financeira TIR tem a seguinte expressão:
� TIR (valores; estimativa)
em que os parâmetros correspondem a:
 Valores – valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa, incluindo o 
investimento inicial, que devem ser informados de forma sequencial, 
nas células da planilha
 Estimativa – valor estimado da taxa interna de retorno em %, que pode ser 
omitido ou fornecido sempre com o valor igual a zero
9.4.2. Funções Financeiras XVPL e XTIR
As funções financeiras XVPL e XTIR do Excel, servem para calcular o valor 
presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa que tenham sido 
previamente registrados na planilha, juntamente com as datas de calendário de 
cada parcela. 
Essas funções calculam o tempo efetivo, em dias, entre as parcelas do fluxo de caixa, 
e sempre transformam a taxa anual de juros em sua taxa diária equivalente.
A fórmula da função financeira XVPL tem a seguinte expressão:
� XVPL (Taxa; Valores; Datas)
em que os parâmetros correspondem a:
Taxa – taxa de desconto em % ao ano, com 365 dias
 Valores – valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa que devem 
ser informadas cronologicamente, desde o investimento inicial (ponto 
zero) até a última parcela
 Datas – datas de calendário em que ocorrem, cronologicamente, as parcelas 
individuais do fluxo de caixa
A função XVPL calcula o valor presente líquido do fluxo de caixa pelas seguintes 
operações:
 a) transforma a taxa de desconto anual em sua taxa equivalente diária, conside-
rando o ano com 365 dias;
 b) desconta individualmente cada parcela com essa taxa diária, considerando os 
dias decorridos desde o ponto zero;
 c) efetua a soma de todos os valoresdescontados.
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 217
 A fórmula da função financeira XTIR tem a seguinte expressão:
� XTIR (Valores; Datas; Estimativa)
em que os parâmetros correspondem a:
 Valores – valores de todas as parcelas individuais do fluxo de caixa que devem 
ser informadas cronologicamente, desde o investimento inicial (ponto 
zero) até a última parcela
 Datas – datas de calendário em que ocorrem, cronologicamente, as parcelas 
individuais do fluxo de caixa
 Estimativa – valor estimado da taxa interna de retorno em %, que pode ser 
omitido ou fornecido sempre com o valor igual a zero
O valor da taxa interna de retorno calculado pela função XTIR é sempre fornecido 
em termos anuais, considerando o ano com 365 dias. 
Nos exemplos a seguir, sempre que possível, utilizaremos as funções VPL e XVPL 
para calcular o valor presente líquido, e as funções TIR e XTIR para calcular a taxa 
interna de retorno. No final, compararemos os resultados obtidos pelas respectivas 
funções.
9.4.3. Exemplos Numéricos 
Os dados dos problemas desta seção são idênticos aos da Seção 9.3.2, a fim de 
permitir uma comparação nas soluções apresentadas pela HP-12C e pelo Excel.
1. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir:
Calcule:
 a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
10,00% ao ano e 12,00% ao ano;
 b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.
Solução:
Entrada do fluxo de caixa
TABELA 9.8
Ano Valor ($)
0 (�) 11.500,00
1 (�) 2.350,00
2 (�) 1.390,00
3 (�) 3.350,00
4 (�) 4.275,00
5 (�) 5.350,00
Soma (�) 5.215,00
218 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O registro do fluxo de caixa pode ser feito em qualquer parte da planilha. O 
importante é registrar todas as parcelas do fluxo de caixa numa ordem sequencial, 
digitando, inclusive, as parcelas com valores iguais a zero. 
Na chamada das funções VPL e TIR seus parâmetros são informados pelas 
células que contêm seus respectivos valores. As células são identificadas de forma 
matricial, conforme mostrado no Apêndice B.
O fluxo de caixa, devidamente registrado na Planilha Excel, está indicado a 
seguir:
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
com o sinal negativo;
o ao 5o ano, estão colocadas nas 
células C4 a C8, todas com o sinal positivo;
calculada com a função SOMA ou do Excel, e está colocada na célula 
C9. Esse valor deve corresponder ao valor presente líquido do fluxo de caixa 
obtido com a função VPL e com a taxa de desconto de 0%.
Valor presente líquido do fluxo de caixa – Função VPL
Devemos, inicialmente, registrar os valores das taxas de desconto de 0%, 10% 
e 12% ao ano, que estão colocadas nas células B12, B13 e B14, respectivamente, 
conforme mostrado na Planilha Excel a seguir.
Devemos agora, inserir as fórmulas da função VPL nas células C12, C13 e C14, 
indicando em seus parâmetros as localizações da taxa de desconto e dos valores 
do fluxo de caixa.
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 219
A título de exemplo, na célula C13 devemos digitar o sinal de igual (�) e no 
menu principal escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhi-
da a função financeira VPL cujos parâmetros devem ser localizados na Planilha 
Excel. O Apêndice B mostra detalhadamente todos os passos a serem seguidos, 
até a obtenção do resultado dessa função VPL.
Após a localização dos parâmetros da função VPL, a Planilha Excel tem a 
seguinte apresentação:
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
 célula C13 : � VPL (B13; C4:C8) � C3 
 em que os parâmetros correspondem a:
 B13 – célula que contém a taxa de desconto de 10,00% ao ano
 C4:C8 – intervalo entre as células C4 e C8, que contém os valores 
 das parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 5o ano
VPL é somado ao conteúdo da célula C3, que corresponde ao investimento 
inicial (parcela do ponto zero), a fim de se obter o valor presente líquido 
de cada fluxo de caixa.
220 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocada na 
célula C13 é igual a $543,84, e está indicado na planilha a seguir: 
 Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:
12% ao ano estão colocados nas células C12 e C14, e correspondem res-
pectivamente a (�) $5.215,00 e (�) $156,65. Observar que o valor obtido 
com a taxa de desconto de 0% coincide com a soma algébrica de todas as 
parcelas do fluxo de caixa;
 célula C12: � VPL (B12; C4:C8) � C3 
 célula C14: � VPL (B14; C4:C8) � C3 
 em que os parâmetros são semelhantes àqueles colocados na célula C13.
Taxa interna de retorno do fluxo de caixa – Função TIR
Devemos inserir a fórmula da função TIR na célula C16, indicando em seus 
parâmetros as localizações dos valores do fluxo de caixa.
Para isso, devemos digitar na célula C16 o sinal de igual (�), e no menu 
principal escolher Inserir Função. Na janela das funções, deve ser escolhida 
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 221
a função financeira TIR cujos parâmetros devem ser localizados na Planilha 
Excel. O Apêndice B mostra detalhadamente todos os passos a serem seguidos 
até a obtenção do resultado dessa função TIR.
 Após a localização dos parâmetros da função TIR a Planilha Excel tem a 
seguinte apresentação:
 Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
na célula C16, está indicada a seguir:
 célula C16: � TIR (C3:C8) 
em que o parâmetro C3:C8 corresponde ao intervalo entre as células C3 e 
C8 que contêm os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem 
sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 5o ano;
estimado para a taxa interna de retorno, não foi incluído, pois sua omissão 
não altera o resultado final. Quando a estimativa inicial não é fornecida a 
função TIR assume que o seu valor é zero.
O valor da taxa interna de retorno, obtido pela execução da função TIR 
colocada na célula C16, é igual a 11,537% ao ano, e está indicado nessa própria 
célula, na planilha a seguir: 
222 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 
Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 1 da Seção 9.3.2, 
resolvido com a HP-12C.
 2. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir:
TABELA 9.9
Mês Valor ($)
0 (�) 30.000,00
1 0,00
2 (�) 10.350,00
3 0,00
4 (�) 10.350,00
5 0,00
6 (�) 10.350,00
Soma (�) 1.050,00
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 223
 Calcule:
 a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 
0,00%, 0,50% e 1,00% ao mês;
 b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao mês; 
 c) o gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto.
 Solução: 
Este problema é bastante semelhante ao Problema 1 e, portanto, não serão 
repetidos aqui todos os passos usados anteriormente.
O fluxo de caixa, registrado na Planilha Excel, e os resultados obtidos pelas 
funções financeiras VPL e TIR estão indicados a seguir:
 
 Em relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
células B13, B14 e B15, respectivamente;
com o sinal negativo;
o ao 6o mês estão colocadas nas 
células C4 a C9, e as parcelas iguais a zero também foram registradas, para 
manter a ordem sequencial do fluxo de caixa;
-
conto de 0,00%, 0,50% e 1,00% ao mês, estão colocados nas células C13 
a C15, e correspondem respectivamente a (�) $1.050,00, (�) $437,70 e 
224 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Taxa (a.m.)
TIR 0,866% a.m.�
VPL($)
0
300
600
900
1.200
�300
�600
0,2% 0,4% 0,6% 0,8%
$ 437,50
1,0%
(�) $157,62. Observar que o valor obtido com a taxa de desconto de 0,00% 
coincide com a soma algébrica de todas as parcelas do fluxo de caixa.
As fórmulas da função VPL colocadas nas células C13, C14 e C15 estão 
indicadas a seguir:
 célula C13: � VPL (B13; C4:C9) � C3 
 célula C14: � VPL (B14; C4:C9) � C3 
 célula C15: � VPL (B15; C4:C9) � C3 
em que os parâmetroscorrespondem a:
 B13, B14 e B15 – células que contêm as taxas de desconto de 0%, 0,50% e 
1,00% ao mês, respectivamente;
 C4:C9 – intervalo entre as células C4 e C9, que contém os valores das parcelas 
futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 6o mês.
Observe que os valores presentes das seis parcelas futuras, obtidos pela 
função VPL são somados ao conteúdo da célula C3 que corresponde ao in-
vestimento inicial (parcela do ponto zero), a fim de se obter o valor presente 
líquido de cada fluxo de caixa;
está colocada na célula C17, e a fórmula dessa função está indicada a seguir:
 célula C17: � TIR (C3:C9) 
em que o parâmetro C3:C9 corresponde ao intervalo entre as células C3 e 
C9, que contém os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem 
sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 6o mês. O parâ-
metro Estimativa não foi fornecido e a função TIR assume que ele é nulo.
Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 2 da Seção 9.3.2, 
resolvido com a HP-12C.
O gráfico do valor presente líquido em função da taxa de desconto está 
indicado a seguir:
FIGURA 9.2 Valor Presente Líquido (VPL)
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 225
3. Considere o fluxo de caixa indicado a seguir:
Calcule:
 a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
8,00% e 9,00% ao ano;
 b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.
 Altere o valor do investimento inicial de (�) $40.000,00 para (�) $38.000,00 
e determine: 
 c) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0,00%, 
9,00% e 10,00% ao ano;
 d) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.
Solução: 
Este problema é bastante semelhante aos dois problemas anteriores; assim, 
mostraremos apenas os resultados das funções VPL e TIR utilizadas para a obten-
ção dos valores solicitados.
O fluxo de caixa inicial, registrado na Planilha Excel, e os resultados obtidos 
pelas funções financeiras VPL e TIR estão indicados a seguir:
TABELA 9.10
Ano Valor ($)
0 (�) 40.000,00
1 (�) 3.500,00
2 (�) 7.500,00
3 (�) 7.500,00
4 (�) 7.500,00
5 (�) 15.000,00
6 (�) 15.000,00
Soma (�) 16.000,00
226 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
VPL
TIR
 Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:
células B13, B14 e B15, respectivamente;
com o sinal negativo;
o ao 6o ano, estão colocadas nas 
células C4 a C9, todas com sinal positivo;
-
conto de 0,00%, 8,00% e 9,00% ao ano, estão colocados nas células C13 a 
C15, e correspondem respectivamente a (�) $16.000,00, (�) $798,54 e (�) 
$678,84. Observar que o valor obtido com a taxa de desconto de 0% coincide 
com a soma algébrica de todas as parcelas do fluxo de caixa;
-
cadas a seguir:
 célula C13: � VPL (B13; C4:C9) � C3 
 célula C14: � VPL (B14; C4:C9) � C3 
 célula C15: � VPL (B15; C4:C9) � C3 
 em que os parâmetros correspondem a:
 B13, B14 e B15 – células que contêm as taxas de descontos de 0%, 8,00% e 
9,00% ao ano, respectivamente;
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 227
 C4:C9 – intervalo entre as células C4 e C9, que contém os valores das 
parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 6o ano.
Observe que os valores presentes das seis parcelas futuras, obtidos pela 
função VPL são somados ao conteúdo da célula C3, que corresponde ao in-
vestimento inicial (parcela do ponto zero), a fim de se obter o valor presente 
líquido de cada fluxo de caixa;
está colocada na célula C17, e a fórmula dessa função está indicada a seguir:
 célula C17: � TIR (C3:C9) 
em que o parâmetro C3:C9 corresponde ao intervalo entre as células C3 e 
C9, que contém os valores de todas as parcelas do fluxo de caixa, na ordem 
sequencial, desde o investimento inicial até a parcela do 6o ano. O parâmetro 
Estimativa não foi informado e a função TIR que o seu valor é nulo.
Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 3 da Seção 9.3.2, 
resolvido com a HP-12C.
Para resolver a segunda parte do problema, devemos alterar o valor do in-
vestimento inicial, que está colocado na célula C3, para $38.000,00 e repetir 
as operações executadas anteriormente. 
O novo fluxo de caixa do investimento e os valores das funções VPL e TIR 
estão indicados a seguir:
228 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:
na célula C3, com o sinal negativo;
seus valores inalterados;
inalteradas. Apenas os resultados obtidos por essas fórmulas é que são alterados, 
em função da mudança do valor do investimento inicial;
e C15, para as taxas de desconto de 0,00%, 9,00% e 10,00% ao ano, es tão 
colocados nas respectivas células e correspondem respectivamente a (�) 
$18.000,00, (�) $1.321,16 e (�) $81,14;
o valor de 9,941% ao ano apresentado nessa própria célula.
Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 3 da Seção 9.3.2, 
resolvido com a HP-12C.
4. Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de $100.000,00, e 
paga cupons trimestrais de juros, com uma taxa efetiva de 12% ao ano, no regi-
me de juros compostos. Assumindo o ano com quatro trimestres de 90 dias, 
calcule:
 a) o valor dos cupons que será pago no final de cada um dos quatro trimestres; 
 b) o percentual de deságio no preço de emissão de $100.000,00, para que os 
investidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, no caso de 
realizarem a compra na data da emissão e conservarem o título até seu venci-
mento, no final de um ano; 
 c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem esse 
título, na data de emissão, com um deságio de 1,5% e o conservarem até seu 
vencimento, no final de um ano.
Solução:
 a) valor dos cupons trimestrais de juros
Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 12% ao 
ano, com as operações indicadas a seguir:
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 229
n PV PMTi FV
 4 3,102598 �100.000,00 0,00 113.000,00
n PV PMTi FV
 4 2,873734 �100.000,00 0,00 112.000,00
 que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre.
 Assim, o valor dos cupons trimestrais de juros é igual a:
$100.000,00 � 2,873734% � $2.873,73
O fluxo de caixa desse título por ocasião de sua emissão é, portanto, o que 
se segue:
 que fornece a taxa i de 3,102598% ao trimestre.
Devemos agora registrar o fluxo de caixa na Planilha Excel e descontar 
suas parcelas futuras com a taxa de 3,102598% ao trimestre, com o auxílio da 
função VPL, conforme indicado a seguir:
b) percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano
Precisamos calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 13% ao 
ano, com a operação indicada a seguir:
TABELA 9.11
Trimestre Valor ($)
0 (�) 100.000,00
1 (�) 2.873,73
2 (�) 2.873,73
3 (�) 2.873,73
4 (�) 102.873,73
Soma $11.494,92
230 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
VPL
VPL
 Com relação aos valores dessa planilha destacamos os seguintes pontos:
célula C11: � VPL (B11; C4:C7) 
 em que os parâmetros correspondem a:
 B11 – célula que contém a taxa de desconto de 3,102598% ao trimestre;
 C4:C7 – intervalo entre as células C4 e C7, que contém os valores das 
parcelas futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 4o trimestre.
O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula colocada na 
célula C11 é igual a $99.151,36 e está indicado na planilha a seguir: 
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 231
TIR
n PV PMTi FV
 4 3,279976 �100.000,00 0,00 113.779,629
% de deságio $100.000,00 $99.151,36
$100.000,00
 0,849%� � �
Assim, para se obter a taxa de 13% ao ano, equivalente a 3,102598% ao 
trimestre, é preciso que o preço de venda seja igual a $99.151,36, e portanto 
o percentual de deságio sobre o preço de emissão de $100.000,00 é obtido 
pela relação a seguir:
 c) rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5%
 Com o deságio de 1,5% o preço de venda do título é obtido pela relação:
 Preço de venda � $100.000,00 �$100.000,00 � 1,5% � $98.500,00
Como o fluxode caixa do título já está registrado na Planilha Excel, te-
mos apenas de introduzir o valor de $98.500,00 na célula C3 para o preço de 
venda, e executar a fórmula da função TIR, colocada na célula C10, conforme 
indicado na planilha que se segue:
 que fornece a taxa de 3,279976% ao trimestre.
A taxa efetiva anual, que é equivalente a 3,279976% ao trimestre, é obtida, 
como se segue: 
 que fornece a rentabilidade efetiva de 13,779629% ao ano.
232 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Os resultados aqui obtidos são idênticos aos do Problema 4 da Seção 9.3.2, 
resolvido com a HP-12C.
5. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de 
março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem 
ser efetuados a partir do 30o dia da data da venda. Cada prestação vence 30 dias 
após a prestação anterior. 
Determine:
 a) o fluxo de caixa do financiador;
 b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano 
com 365 dias;
 c) a taxa de juros mensal, que é equivalente à taxa diária do item b, assumindo 
o mês com 30 dias;
 d) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 pela função PMT do 
Simulador da HP-12C e da taxa mensal obtida no item c;
 e) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função VPL 
da Planilha Excel, com a taxa mensal obtida no item c. Verifique que esse 
resultado é idêntico ao obtido no item d;
 f) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL 
da Planilha Excel, com a taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias). Verifique 
que esse resultado é idêntico aos obtidos nos itens d e e; 
 g) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função i 
do Simulador da HP-12C;
 h) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando a função 
TIR da Planilha Excel. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no 
item g;
 i) a taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida 
nos itens g e h, assumindo o mês com 30 dias; 
 j) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida 
no item i, assumindo o ano com 365 dias;
 l) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao ano, usando a função 
XTIR da Planilha Excel. Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no 
item j.
Solução:
 a) fluxo de caixa do financiador
 O fluxo de caixa do financiador está indicado no quadro a seguir:
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 233
n PV PMTi FV
 365 0,02361312 �100,00 0,00 109,00
Observe que, como as prestações ocorrem a cada 30 dias, podemos também 
realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e usar a taxa mensal 
equivalente à taxa fornecida.
Dessa forma, podemos usar as funções VPL e TIR com os períodos 
(célu las) em meses e com a taxa mensal. Além disso, as três parcelas de 
$7.000,00 podem ser consideradas como um parâmetro PMT no Simulador 
da HP-12C.
A utilização das funções VPL e TIR com a taxa diária e com os períodos 
(células) em dias implica, necessariamente, a criação de células entre as par-
celas do fluxo de caixa para serem preenchidas com zeros, tal como realizado 
com a HP-12C. 
No Excel, temos o recurso das funções XVPL e XTIR, que evita esse artifício, 
como mostraremos a seguir;
b) taxa de juros diária equivalente a 9% a.a., assumindo o ano com 365 dias
Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia;
 c) taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b
Para calcularmos essa taxa mensal, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
TABELA 9.12
Datas Dia Mês Valor ($)
1o de março 0 0 (�) 20.600,00
31 de março 30 1 (�) 7.000,00
30 de abril 60 2 (�) 7.000,00
30 de maio 90 3 (�) 7.000,00
Soma (�) 400,00
234 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 30 0,02361312 �100,00 0,00 100,7108244
n PV PMTi FV
 3 0,7108244 20.704,95 �7.000,00 0,00 
 que fornece a taxa de 0,7108244% ao mês;
 d) valor presente das prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função 
PMT e taxa mensal do item c
Nesse caso, os dados, com a taxa de juros de 0,7108244% ao mês, estão 
indicados a seguir: 
 que fornece o valor presente de $20.704,95;
 e) valor presente das três prestações mensais de $7.000,00 – desconto com função 
VPL do Excel e com taxa mensal do item c
Devemos, inicialmente, registrar as três prestações de $7.000,00 na Planilha 
Excel e executar a função VPL, conforme indicado a seguir:
 Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
célula E11: � VPL (D11; E4:E6) 
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 235
 em que os parâmetros correspondem a:
 D11 – célula que contém a taxa de desconto de 0,7108244% ao mês
 E4:E6 – intervalo entre as células E4 e E6, que contém os valores das parcelas 
futuras do fluxo de caixa, do 1o ao 3o mês
O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função VPL, 
colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtido no item d;
 f) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL da 
Planilha Excel e com taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias)
Com o fluxo de caixa já registrado na Planilha Excel, basta introduzir a 
taxa de desconto na célula D11 e a fórmula da função XVPL na célula E11, 
como segue:
 Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
célula E11: � XVPL (D11; E3:E6; B3:B6) 
 em que os parâmetros correspondem a:
 D11 – célula que contém a taxa de desconto de 9,00% ao ano
 E3:E6 – intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das 
parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 3o mês
 B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes 
às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 3o mês
O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função XVPL, 
colocada na célula E11, é igual a $20.704,95, idêntico ao obtidos nos itens d e e;
236 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 3 0,96776693 �20.600,00 7.000,00 0,00 
 g) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i do Simulador da 
HP-12C/Excel
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês;
 h) taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função TIR do Excel
Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, basta introduzir a fórmula da 
função TIR na célula E10, como indicado a seguir:
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função 
TIR, colocada na célula E10, tem a seguinte apresentação:
célula E10: � TIR (E3:E6) 
 em que os parâmetros correspondem a:
 E3:E6 – intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores de todas as 
parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela 
do 3o mês
A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função TIR, 
colocada na célula E10, é igual a 0,967766693% ao mês, idêntica à obtida no 
item g;
 i) taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal obtida 
no item h
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 237
n PV PMTi FV
 30 0,032108956 �100,00 0,00 100,96776693
n PV PMTi FV
 365 0,032108956 �100,00 0,00 112,4320528
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece a taxa interna de retorno de 0,032108956% ao dia;
 j) taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no 
item i, assumindo o ano com 365 dias
Devemos entrar com os dados indicados a seguir: 
que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano, assumindo o 
ano com 365 dias;
 l) taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel
Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, basta introduzir a fórmula da 
função XTIR na célula E9, como segue:
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos quea fórmula da função 
XTIR, colocada na célula E9, tem a seguinte apresentação: 
 célula E9: � XTIR (E3:E6; B3:B6) 
238 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 em que os parâmetros correspondem a:
 E3:E6 – intervalo entre as células E3 e E6, que contém os valores das 
parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 3o mês
 B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes 
às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 3o mês
A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, 
colocada na célula E9, é igual a 12,430525% ao ano, praticamente idêntica à 
obtida no item j. O parâmetro Estimativa não foi fornecido e a função XTIR 
assume que o seu valor é nulo.
Os resultados aqui obtidos são idênticos àqueles do Problema 5 da Seção 
9.3.2, resolvido com a HP-12C.
6. Um veículo, com o valor à vista de $20.600,00, é vendido a prazo, no dia 1o de 
março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a $7.000,00, que devem 
ser efetuados no dia 1o de cada mês subseqüente à da venda. 
Determine:
 a) o fluxo de caixa do financiador;
 b) o valor presente das três prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL do 
Excel, com a taxa de 9% ao ano, considerando o ano com 365 dias. Verifique 
que esse resultado é idêntico ao obtido no Problema 6 da Seção 9.3.2, resolvido 
com a HP-12C; 
 c) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao ano, usando a função XTIR 
do Excel, e considerando o ano com 365 dias. Verifique que esse resultado é idên-
tico ao que foi obtido no Problema 6 da Seção 9.3.2, resolvido com a HP-12C.
 Solução:
 a) fluxo de caixa do financiador
 O fluxo de caixa do financiador está indicado no quadro a seguir:
TABELA 9.13
Datas Dia Valor ($)
1o de março 0 (�) 20.600,00
1o de abril 31 (�) 7.000,00
1o de maio 61 (�) 7.000,00
1o de junho 92 (�) 7.000,00
Soma (�) 400,00
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 239
Observe que, como as prestações não ocorrem a cada 30 dias, não podemos 
realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e consequentemente 
as prestações não podem ser consideradas um parâmetro PMT no simulador 
da HP-12C.
Da mesma forma, para podermos usar as funções VPL e TIR precisamos 
realizar os cálculos com os períodos (células) necessariamente medidos em dias 
e com a taxa de juros diária equivalente à taxa anual. 
Isso significa que teríamos de criar novas células entre as parcelas do fluxo 
de caixa e preenchê-las com zeros, o que é totalmente desnecessário, na medida 
em que a Planilha Excel dispõe das funções XVPL e XTIR. 
No Problema 6 da Seção 9.3.2 realizamos os cálculos também com a taxa 
diária, pois a HP-12C dispõe da função Nj, que facilita a colocação de zeros 
entre os valores das parcelas do fluxo de caixa, transformando a unidade dos 
períodos para dias;
 b) valor presente das prestações mensais de $7.000,00, pela função XVPL do 
Excel e com taxa de desconto de 9% ao ano (365 dias).
Os registros das três prestações de $7.000,00, da taxa de desconto de 9% 
ao ano e da fórmula da função XVPL estão indicados a seguir:
 Com relação aos valores dessa planilha, destacamos os seguintes pontos:
seguir:
célula D11: � XVPL (C11; D3:D6; B3:B6) 
 em que os parâmetros correspondem a:
240 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 C11 – célula que contém a taxa de desconto de 9,00% ao ano
 D3:D6 – intervalo entre as células D3 e D6, que contém os valores das 
parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 3o mês
 B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes 
às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até 
a parcela do 3o mês
O valor presente líquido obtido pela execução da fórmula da função 
XVPL, colocada na célula D11, é igual a $20.698,45.
Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 6 da Seção 9.3.2, com 
os cálculos feitos com a HP-12C, utilizando a taxa de 0,02361312% ao dia, 
que é equivalente à taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 365 dias;
 c) taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR da Planilha Excel
Com o fluxo de caixa já registrado no Excel, precisamos introduzir o in-
vestimento inicial na célula D3 e a fórmula da função XTIR na célula D10, 
como segue:
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função 
XTIR, colocada na célula D10, tem a seguinte apresentação: 
 célula D10: � XTIR (D3:D6; B3:B6) 
 em que os parâmetros correspondem a:
 D3:D6 – intervalo entre as células D3 e D6, que contém os valores das par-
celas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a parcela 
do 3o mês
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 241
n PV PMTi FV 
 360 0,02138035 �100,00 0,00 108,00 
 B3:B6 – intervalo entre as células B3 e B6, que contém as datas referentes 
às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 3o mês
A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, 
colocada na célula D10, é igual a 12,145788% ao ano. O parâmetro Estimativa 
não foi fornecido e a função XTIR assume que o seu valor é nulo.
Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 6 da Seção 9.3.2, com os 
cálculos feitos com a HP-12C, que obteve, inicialmente, a taxa 0,031410279% 
ao dia, para em seguida calcular sua taxa anual equivalente, considerando o 
ano com 365 dias.
7. Um título é emitido no dia 1o de janeiro, pelo prazo de um ano, com um valor 
de $10.000,00 e paga juros semestralmente, nos dias 1o de julho do mesmo ano 
e 1o de janeiro do ano seguinte, de acordo com os dias efetivos de cada semestre. 
A taxa efetiva de remuneração desse título é de 8% ao ano, no regime de juros 
compostos, considerando o ano com 360 dias.
Calcule:
 a) a taxa diária que é equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias;
 b) o valor do cupom semestral, a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa 
diária do item a; 
 c) o valor do cupom semestral, a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa 
diária do item a; 
 d) a rentabilidade efetiva, em % ao ano (com 365 dias), dos investidores que com-
prarem esse título, na data da emissão, com um deságio de 2% e o conservarem 
até o seu vencimento, no final de um ano, usando a função XTIR do Excel;
 e) a taxa anual para 360 dias que é equivalente à taxa anual obtida no item d, 
assumindo o ano com 365 dias;
 f) o valor presente desse título para a taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 
360 dias, usando a função XVPL do Excel;
 g) o percentual de deságio no preço de emissão de $10.000,00 para os investidores 
que comprarem esse título, na data de emissão, pelo preço obtido no item g e 
que o conservarem até seu vencimento. 
Solução:
 a) taxa diária equivalente a 8% ao ano, assumindo o ano com 360 dias
Para calcularmos essa taxa diária, devemos entrar com os dados, conforme 
indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02138035% ao dia;
242 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
 181 0,02138035 �10.000,00 0,00 10.394,53 
n PV PMTi FV
 184 0,02138035 �10.000,00 0,00 10.401,20 
 b) valor dos juros a ser pago no final do 1o semestre, usando a taxa diária do item a 
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece o valor de $394,53 para o cupom do 1o semestre;
 c) valor dos juros a ser pago no final do 2o semestre, usando a taxa diária do item a
Devemos entrar com os dados indicados a seguir:
 que fornece o valor de $401,20 para o cupom do 2o semestre;
 d) taxa interna de retorno, em % ao ano (365 dias), com deságio de 2%, usando 
a função XTIR do Excel
Os investidores que comprarem esse título, na data da emissão, com um deságio 
de 2%, e o conservarem até seu vencimento, terão o seguinte fluxo de caixa:
TABELA 9.14
Datas
Dia no 
semestre
Mês Valor ($)
1o de janeiro 0 (�) 9.800,00
1o de julho 181 181 (�) 394,53
1o de janeiro 184 365 (�) 10.401,20
Soma (�) 995,73 
O registro desse fluxo de caixa, bem como a colocaçãoda fórmula da função 
XVPL na célula D9, está indicado na planilha que segue:
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 243
Com relação aos valores dessa planilha, destacamos que a fórmula da função 
XTIR, colocada na célula D9, tem a seguinte apresentação: 
célula D9: � XTIR (D3:D5; B3:B5) 
 em que os parâmetros correspondem a:
 D3:D5 – intervalo entre as células D3 e D5, que contém os valores das 
parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 2o semestre
 B3:B5 – intervalo entre as células B3 e B5, que contém as datas referentes 
às parcelas do fluxo de caixa, desde o investimento inicial até a 
parcela do 2o semestre
A taxa interna de retorno obtida pela execução da fórmula da função XTIR, 
colocada na célula D9, é igual a 10,365734% ao ano, assumindo o ano com 
365 dias. O parâmetro Estimativa não foi fornecido e a função XTIR assume 
que o seu valor é nulo.
Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 7 da Seção 9.3.2, com os 
cálculos feitos com a HP-12C, que obteve, inicialmente, a taxa 0,027025437% 
ao dia, para em seguida calcular a sua taxa anual equivalente, considerando 
o ano com 365 dias;
 e) taxa interna de retorno, em % ao ano, considerando o ano com 360 dias, que 
é equivalente à taxa anual obtida no item d, com o ano de 365 dias
Para calcularmos essa taxa anual, devemos, inicialmente, calcular a taxa 
diária equivalente à taxa anual obtida no item d com 365 dias. Para isso, preci-
samos entrar com os dados, conforme indicado a seguir:
244 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
n PV PMTi FV
n PV PMTi FV
 365 0,027025437 �100,00 0,00 110,365734 
n PV PMTi FV
 360 0,027025437 �100,00 0,00 110,216721
n PV PMTi FV
 360 0,02394111 �100,00 0,00 109,00
 365 0,02394111 �100,00 0,00 109,130540
 que fornece a taxa de 0,027025437% ao dia;
Agora, vamos calcular a taxa anual, com 360 dias, que é equivalente à 
taxa diária obtida anteriormente. Para isso, precisamos entrar com os dados, 
conforme indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 10,216721% ao ano;
 f) valor presente do título para a taxa de 9% ao ano, assumindo o ano com 360 
dias, usando a função XVPL do Excel
Como a função opera com a taxa anual, considerando o ano com 365 dias, 
precisamos converter a taxa de 9% ao ano (360 dias) em sua taxa equivalente 
anual para o ano com 365 dias. Para isso, precisamos entrar com os dados, 
conforme indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 0,02394111% ao dia.
Agora, vamos calcular a taxa anual, com 365 dias, que é equivalente à taxa 
diária obtida anteriormente. Para isso, precisamos entrar com os dados, con-
forme indicado a seguir:
 que fornece a taxa de 9,130540% ao ano.
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 245
Uma vez obtida a taxa anual para 365 dias, estamos em condições de usar 
a função XVPL. Para isso, precisamos colocar zero no valor do investimento 
inicial, na célula D3, a taxa de desconto na célula C10 e a fórmula da função 
XVPL na célula D10, conforme indicado na planilha a seguir:
 que fornece o valor de $9.908,77 para o preço de venda do título.
Esse valor é idêntico ao encontrado no Problema 7 da Seção 9.3.2, com os 
cálculos feitos com a HP-12C, que obteve, inicialmente, a taxa 0,02394111% 
ao dia, equivalente à taxa de 9% ao ano, com 360 dias, para em seguida des-
contar o fluxo de caixa com essa taxa diária;
 g) percentual de deságio para o preço de venda obtido no item f
O percentual de deságio sobre o preço de emissão de $10.000,00 é calculado 
pela relação:
 % de deságio 
$10.000,00 $9.908,77
$10.000,00
 0,9123%� � �
9.5. Conclusão
Neste capítulo, mostramos a metodologia que deve ser usada no tratamento de 
fluxos de caixa não homogêneos, seja para calcular seu valor presente líquido para 
uma determinada taxa de desconto, seja para calcular a sua taxa interna de retorno. 
A taxa interna de retorno (TIR) de qualquer fluxo de caixa é a taxa de desconto que 
faz com que seu valor presente líquido (VPL) seja igual a zero, e, portanto, corresponde 
a uma das n raízes da equação de grau n que representa o valor presente líquido. 
As únicas raízes que têm sentido econômico são as que correspondem a valores 
reais positivos, e a regra de sinal de Descartes garante que os polinômios com apenas 
uma variação de sinal em seus coeficientes têm apenas uma raiz real positiva, que é 
obtida pela HP-12C e pelo Excel.
246 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Inicialmente, mostramos exemplos numéricos com o uso das funções NPV e IRR 
da HP-12C e das funções VPL e TIR do Excel, que servem para calcular, respecti-
vamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de fluxos de caixa não 
homogêneos. Esses fluxos de caixa devem ser registrados de forma sequencial, e todas 
as suas parcelas devem ser informadas, inclusive as que tiverem valores iguais a zero. 
No caso do Excel, cada célula corresponde a um período de capitalização de juros.
Em seguida, apresentamos as funções financeiras XVPL e XTIR do Excel, usadas 
para calcular, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de 
fluxos de caixa não homogêneos, que são registrados no Excel mediante a informação 
da data e do respectivo valor de cada uma de suas parcelas. 
O leitor que não encontrar as funções XVPL e XTIR na relação das Funções Fi-
nanceiras do Excel não deve ficar preocupado, pois elas podem ser facilmente incluídas 
nessa relação, mediante as operações explicadas no Apêndice B.
Essas duas funções operam com a taxa anual, considerando o ano com 365 dias, e 
descontam individualmente, com a taxa diária equivalente, cada parcela do fluxo de 
caixa levando em consideração os dias efetivos até o ponto zero da escala de tempo.
A operação com qualquer outra taxa pode ser feita mediante a utilização do concei-
to de taxas equivalentes, no regime de juros compostos desenvolvido no Capítulo 5.
Recomendamos a leitura do Apêndice B, que apresenta, em detalhe, todas as 
funções financeiras dessa panilha desenvolvidas neste livro. 
9.6. Problemas Propostos
1. Calcule o valor presente líquido do fluxo de caixa que se segue, para as taxas de 
desconto de 8% a.a., 10% a.a. e 12% a.a.
Ano Valor ($)
0 0,00
1 (�) 2.350,00
2 (�) 2.690,00
3 (�) 3.200,00
4 (�) 3.500,00
5 (�) 3.690,00
6 (�) 4.250,00
Soma (�) 19.680,00
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 247
2. Assuma que no Problema 1 seja colocado um investimento inicial de $13.500,00. 
O fluxo de caixa passa a ser o que se segue:
Ano Valor ($)
0 (�) 13.500,00
1 (�) 2.350,00
2 (�) 2.690,00
3 (�) 3.200,00
4 (�) 3.500,00
5 (�) 3.690,00
6 (�) 4.250,00
Soma (�) 6.180,00
 
 Em relação a esse fluxo de caixa, calcule:
 a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 10% a.a., 11% a.a. e 
12% a.a.;
 b) a taxa interna de retorno, em % ao ano.
3. Considere o seguinte fluxo de caixa:
Mês Valor ($)
0 (�) 25.000,00
1 (�) 0,00
2 (�) 3.000,00
3 (�) 0,00
4 (�) 4.000,00
5 (�) 4.500,00
6 (�) 15.000,00
Soma (�) 1.500,00
248 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 Em relação a esse fluxo de caixa, calcule:
 a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. 
e 2,00% a.m.; 
b) a taxa interna de retorno, em % ao mês.
4. Considere o seguinte fluxo de caixa:
Mês Valor ($)
0 (�) 55.000,00
1 (�) 5.000,00
2 (�) 5.000,00
3 (�) 6.000,00
4 (�) 6.000,00
5 (�) 6.000,00
6 (�) 10.000,00
7 (�) 10.000,00
8 (�) 10.000,00
Soma (�) 3.000,00
 Em relação a esse fluxo de caixa, calcule:
 a) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. 
e 2,00% a.m.; 
 b) a taxa interna de retorno, em % ao mês.
 Assuma que o investimento inicial de $55.000,00 seja alterado para $53.000,00 
e calcule:
 c) o valor presente líquido para as taxas de desconto de 1,00% a.m., 1,50% a.m. 
e 2,00% a.m.; 
 d) a taxa interna de retorno, em % ao mês.
5. Um título com o valor de $100.000,00 é emitido com o prazo de quatro anos, pa-
gando juros no final de cadasemestre, com a taxa de 5% a.s. No último semestre, 
além dos juros semestrais é pago o valor de emissão de $100.000,00. O fluxo de 
caixa desse título é, portanto, o que se segue:
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 249
Semestre Valor ($)
0 (�) 100.000,00
1 (�) 5.000,00
2 (�) 5.000,00
3 (�) 5.000,00
4 (�) 5.000,00
5 (�) 5.000,00
6 (�) 5.000,00
7 (�) 5.000,00
8 (�) 105.000,00
Soma (�) 40.000,00
No momento do lançamento do título, é necessário fazer um deságio no preço 
para atender às condições do mercado. Calcule:
 a) o valor do percentual de deságio do preço de emissão necessário para garantir 
uma rentabilidade de 5,5% a.s. ao investidor que adquirir esse título na data 
de emissão e o conservar até seu resgate, no final do 4o ano;
 b) a taxa interna de retorno do investidor que adquirir esse título com 5% de 
deságio e o conservar até seu resgate, no final do 4o ano.
6. Um veículo com o valor à vista de $19.500,00 é adquirido no dia 31 de março com 
um financiamento para ser liquidado em quatro prestações mensais de $5.000,00, 
que vencem a cada 30 dias corridos, a contar da data de aquisição do veículo. 
Assim, o fluxo de caixa do financiador é o que se segue:
Datas Dia Mês Valor ($)
31 de março 0 0 (�) 19.500,00
30 de abril 30 1 (�) 5.000,00
30 de maio 60 2 (�) 5.000,00
29 de junho 90 3 (�) 5.000,00
29 de julho 120 4 (�) 5.000,00
Total líquido (�) 500,00
Calcule:
 a) a taxa diária que é equivalente à taxa de 12% a.a., considerando o ano com 
365 dias;
250 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 b) a taxa mensal que é equivalente à taxa diária obtida no item a;
 c) a taxa anual que é equivalente à taxa diária obtida no item a, assumindo o 
ano com 360 dias;
 d) o valor presente das quatro parcelas mensais de $5.000,00, usando as taxas de 
desconto e os métodos indicados a seguir:
 d.1) desconto individual de cada parcela com o simulador da HP-12C, usando 
a taxa diária obtida no item a;
 d.2) desconto de um PMT � $5.000,00, com o simulador da HP-12C, usando 
a taxa mensal obtida no item b;
 d.3) desconto das quatro parcelas de $5.000,00 com o uso da função NPV da 
HP-12C e da função VPL do Excel, usando a taxa mensal obtida no item b;
 d.4) desconto das quatro parcelas de $5.000,00 com o uso da função XVPL 
do Excel, usando a taxa de 12% ao ano;
 d.5) Verifique que os resultados obtidos nos quatro itens anteriores são iguais;
 e) a taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C e a 
função TIR do Excel;
 f) a taxa interna de retorno, em % ao dia, que é equivalente à taxa mensal 
obtida no item e;
 g) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa diária obtida 
no item f, assumindo o ano com 365 dias; 
 h) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. 
Verifique que o resultado obtido é idêntico ao do item g.
7. Um financiamento de $58.000,00, realizado no dia 1o de março, deve ser liqui dado 
em seis prestações mensais e iguais a $10.000,00, sendo que todas as prestações 
têm vencimento no início de cada mês. Assim, o fluxo de caixa do financiador é 
o que segue:
Datas Dia Valor ($)
1o de março 0 (�) 58.000,00
1o de abril 31 (�) 10.000,00
1o de maio 61 (�) 10.000,00
1o de junho 92 (�) 10.000,00
1o de julho 122 (�) 10.000,00
1o de agosto 153 (�) 10.000,00
1o de setembro 184 (�) 10.000,00
Total líquido (�) 2.000,00
Capí tu lo 9 – F luxos de Caixa Não Homogêneos 251
Calcule:
 a) a taxa diária que é equivalente à taxa de 10% a.a., assumindo o ano com 360 dias;
 b) a taxa anual que é equivalente à taxa diária obtida no item a, assumindo o ano 
com 365 dias;
 c) o valor presente das seis parcelas mensais de $10.000,00, usando as taxas de 
desconto e os métodos indicados a seguir:
 c.1) desconto individual de cada parcela com o Simulador da HP-12C, usando 
a taxa diária obtida no item a;
 c.2) desconto das seis parcelas de $10.000,00 com o uso da função XVPL do 
Excel, usando a taxa anual obtida no item b;
 c.3) Verifique que os resultados dos dois itens anteriores são iguais.
 d) a taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C;
 e) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no 
item d, assumindo o ano com 360 dias; 
 f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no 
item d, assumindo o ano com 365 dias; 
 g) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. 
Compare esse resultado com o obtido no item f.
8. Um título que paga juros trimestralmente é emitido no dia 1o de janeiro, com um 
valor de $10.000,00, prazo de um ano e taxa de 10% a.a., para o ano comercial 
com 360 dias.
Os juros trimestrais são calculados sobre os dias efetivamente decorridos em 
cada trimestre, e pagos nos dias 1o de abril, 1o de julho, 1o de outubro e 1o de 
janeiro do ano seguinte. Considere o 1o trimestre com 90 dias, o 2o com 91 dias, 
o 3o e o 4o com 92 dias.
Calcule:
a) a taxa diária equivalente a 10% ao ano, assumindo o ano com 360 dias;
b) o valor de cada cupom trimestral com o uso do Simulador da HP-12C, usando 
a taxa diária obtida no item a;
c) a taxa interna de retorno, em % ao dia, usando a função IRR da HP-12C, 
para um investidor que adquirir esse título na data de sua emissão, com um 
deságio de 5%, e o conservar até seu resgate, no final de um ano;
d) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no 
item c, assumindo o ano com 360 dias; 
e) a taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida no 
item c, assumindo o ano com 365 dias; 
f) a taxa interna de retorno, em % ao ano, usando a função XTIR do Excel. 
Verifique que esse resultado é idêntico ao obtido no item e;
g) o valor do percentual de deságio necessário para garantir uma rentabilidade de 12% 
ao ano, com 365 dias, ao investidor que adquirir esse título na data da emissão e 
o conservar até o resgate, no final de um ano. Use a função XVPL do Excel.
10
Fluxos de Caixa 
e Inflação
Capítulo
10.1. Introdução
Nos capítulos anteriores, a moeda representada pelo símbolo $ foi considerada 
como estável ao longo do tempo. Essa hipótese, porém, é meramente teórica, 
pois mesmo em países com moedas fortes, existe o fenômeno da inflação, ainda 
que com taxas percentuais reduzidas. Neste capítulo, nossa moeda teórica, com 
o símbolo $, deixa de ser estável e passa a perder seu poder aquisitivo por conta 
da inflação.
Os conceitos de Matemática Financeira desenvolvidos ao longo dos capítulos 
anteriores continuam a ter validade, pois sua aplicação independe da existência da 
inflação.
Em conjunturas inflacionárias, são muito usadas as expressões “a preços cons-
tantes” e “a preços correntes”. A primeira expressão corresponde a preços de uma 
única data, normalmente da data inicial do fluxo de caixa, enquanto a segunda 
corresponde a preços das respectivas datas em que ocorrem os valores do fluxo de 
caixa. Na omissão dessa informação, os valores na moeda $ sempre correspondem 
a preços correntes.
A conversão de preços constantes para preços correntes é feita por índices ou 
indexadores, que refletem a perda do poder aquisitivo da moeda provocada pela 
 inflação.
Neste capítulo, a inflação da moeda será medida por um índice teórico, cujas 
variações percentuais anuais para um período de cinco anos constam das Tabelas 
10.1 e 10.2. 
254 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
No tratamento de fluxos de caixa, a inflação pode ser levada em consideração por 
meio dos modelos pós-fixado e prefixado, cujas características e metodologias de cálculo 
serão apresentadas ao longo do presente capítulo.
10.2. Índice para Inflação 
Por uma questão didática, optamos por medir a inflação da moeda $ por um ín-
dice teórico, cujos valores e variações percentuais constam da Tabela 10.1, que foi 
construída com as seguintes suposições:
O valor inicial desse índice tem como referência o final de dezembro de de-
terminado ano, e seuvalor, nessa data, é igual a $100,00.
As variações percentuais desse índice para um período de cinco anos foram 
assumidas com o mesmo valor anual de 12%, sendo que no 1o ano a periodi-
cidade foi considerada mensal.
Os valores anuais desse índice e suas variações anuais para um período de cinco 
anos constam da Tabela 10.1 a seguir.
Os valores desse índice teórico fornecidos na Tabela 10.1 nos permitem concluir 
que as cinco variações anuais de 12% ao ano produzem um valor de 176,234168 para 
o índice no final do 5o ano, o que equivale a uma inflação acumulada de 76,234168% 
nesse período de cinco anos.
TABELA 10.1 Valores Anuais do Índice Teórico de Inflação
Ano
Variação anual 
do índice (%)
Valor do índice no 
final do ano ($)
0 100,000000
1 12,00 112,000000
2 12,00 125,440000
3 12,00 140,492800
4 12,00 157,351936
5 12,00 176,234168
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 255
TABELA 10.2 Valores Mensais do Índice Teórico de Inflação no primeiro ano
Mês
Variação do índice
 Valor do índice no 
final do mês ($)
Mensal (%) Acumulado (%)
Dezembro 100,000000
Janeiro 0,948879 0,948879 100,948879
Fevereiro 0,948879 1,906762 101,906762
Março 0,948879 2,873734 102,873734
Abril 0,948879 3,849882 103,849882
Maio 0,948879 4,835292 104,835292
Junho 0,948879 5,830052 105,830052
Julho 0,948879 6,834252 106,834252
Agosto 0,948879 7,847980 107,847980
Setembro 0,948879 8,871327 108,871327
Outubro 0,948879 9,904385 109,904385
Novembro 0,948879 10,947245 110,947245
Dezembro 0,948879 12,000000 112,000000
Para os exemplos numéricos que envolvam períodos inferiores a um ano, adota-
mos uma distribuição mensal uniforme para as varições percentuais do índice teórico 
durante os 12 meses do 1o ano, conforme indicado na Tabela 10.2:
Os valores do índice fornecidos na Tabela 10.2 permitem concluir que:
 a) o valor do índice no final de março é igual a 102,873734, indicando uma taxa 
de inflação de 2,873734% para o 1o trimestre;
 b) o valor do índice no final de junho é igual a 105,830052, indicando uma taxa 
de inflação de 5,830052% para o 1o semestre;
 c) o valor do índice no final de dezembro é igual a 112,000000, indicando uma taxa de 
inflação de 12,00% para o 1o ano, que coincide com essa inflação anual da Tabela 10.1.
256 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Nos exemplos desenvolvidos neste capítulo, usaremos o índice teórico das Tabelas 10.1 
e 10.2 para inflacionar e deflacionar os valores dos fluxos de caixa expressos na moeda $. 
A utilização de qualquer outro índice para medir a inflação deve obedecer aos mesmos 
procedimentos adotados neste capítulo com índice teórico de inflação dessas duas tabelas.
10.3. Taxas de Inflação, de Juros Real e de Juros Nominal
Na análise de fluxos de caixa, levando em consideração a inflação, serão utilizadas 
as seguintes taxas:
Taxa de Inflação (“ti”): é a taxa que mede a variação do índice teórico defi-
nido na Seção 10.2. Será representada de forma genérica pelo símbolo “ti”. 
Taxa de Juros Real (“i”): é a taxa de juros utilizada nos fluxos de caixa 
expressos em moeda a preços constantes, sem inflação, normalmente refe-
renciados à data inicial do fluxo de caixa. É a taxa “i” utilizada nos capítulos 
anteriores que foram desenvolvidos com a moeda forte $, sem inflação. 
Manteremos o símbolo “i” para a sua representação.
Taxa de Juros Nominal (“tn”) é a taxa de juros utilizada nos fluxos de caixa 
expressos em $ a preços correntes das respectivas datas em que ocorrem, e que 
incorporam a inflação da moeda. Essa taxa de juros nominal é uma taxa de 
juros que incorpora a taxa de juros real e a taxa de inflação, e será representada 
pelo símbolo “tn”. Costuma-se dizer que a taxa de juros real é a taxa de juros 
nominal descontada a inflação. Não confundir essa taxa de juros nominal 
com a taxa nominal definida na seção 5.5 do Capítulo 5 – Taxas de Juros.
10.4. Modelo Pós-Fixado
10.4.1. Conceitos Básicos e Metodologia de Cálculo
O modelo pós-fixado é normalmente utilizado em operações financeiras de longo 
prazo. Podemos citar como exemplos, o financiamento de imóveis, todas as opera-
ções financeiras com moeda estrangeira, CDBs com remuneração atrelada ao CDI e 
empréstimos indexados ao IGPM. 
As principais características do modelo são:
a posteriori, ao longo do prazo da operação contratada, 
à medida que os valores do índice contratado se tornem conhecidos.
apenas o índice que será utilizado na atualização dos valores;
estável, a preços constantes e com uma taxa de juros real (i), sem inflação.
No modelo pós-fixado os cálculos são realizados com os fluxos de caixa expressos na moe-
da $, a preços constantes da data inicial, mediante a adoção dos seguintes procedimentos:
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 257
os valores do fluxo de caixa devem ser expressos em $ a preços constantes da 
data inicial, sem considerar a inflação; 
todos os cálculos, na moeda $ a preços constantes, devem ser realizados com 
a taxa de juros real (i), sem inflação; 
os valores expressos em $ a preços constantes devem ser, posteriormente, con-
vertidos para $ a preços correntes das datas futuras, utilizando o índice teórico 
da Seção 10.2, escolhido para medir a inflação.
Observe que a taxa interna de juros nominal (tn), que inclui a inflação, só pode ser 
calculada após o término da operação, quando os valores do fluxo de caixa a preços 
correntes se tornarem conhecidos. Isso porque no modelo pós-fixado a taxa de inflação 
fica em aberto, e só é conhecida ao longo do prazo da operação.
Outra forma de atuar no modelo pós-fixado é mediante a conversão dos valores 
dos fluxos de caixa para quantidades do índice que mede a inflação, e realizar todos os 
cáculos, com a taxa de juros real, nessa moeda estável expressa pelo índice adotado. 
No final, as quantidades de índice devem ser transformadas para $, a preços correntes, 
utilizando-se os valores do índice nas datas futuras.
Os resultados obtidos por essas duas sistemáticas de cálculos são idênticos, e op-
tamos por apresentar apenas a modalidade baseada em $ constantes, e depois fazer 
as suas correções para obter os valores correntes (inflacionados).
10.4.2. Exemplo Numérico – Financiamento com Prazo de Um Ano
Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com 
uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de um ano, com 
o pagamento de uma única parcela, que deve ser corrigida pelos seguintes valores do 
índice que constam da Tabela 10.1:
na data da liquidação da operação = 112,00
Em relação a esse financiamento, calcule:
 a) o valor dos juros cobrados no final do ano, em $ a preços constantes e correntes;
 b) o valor da parcela cobrada a título de inflação, em $ a preços correntes, e em 
% ao ano;
 c) o valor do pagamento, em $, a preços correntes, para sua liquidação no final 
de um ano;
 d) sua taxa de juros nominal (tn), incluindo a taxa de inflação.
Solução:
Vamos realizar os cálculos em $, a preços constantes, e usar o índice da Seção 10.2 
como indexador para obter os valores em $, a preços correntes.
258 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 a) Juros cobrados no final do ano
 O valor do principal liberado, em $, foi fornecido como sendo igual a 
$1.000.000,00. Assim, os juros anuais calculados com a taxa de juros real de 
10% ao ano, são obtidos pela relação:
juros do ano � $1.000.000,00 � 10% � $100.000,00 
 Esses juros estão expressos em $ a preços constantes, com o valor da moeda 
$ correspondente à data inicial do contrato, na qual o índice tem o valor de 
100,00.
 Na ocasião do pagamento dos juros, o índice tem valor igual a 112,00, e os 
juros, expressos em $, a preços correntes, são assim obtidos:
juros do ano $100.000,00 
$112,00
100,00
� $112.000,00��
 Nesse caso, costuma-se dizer que os juros, no valor de $112.000,00, são “juros 
corrigidos” à medi da que incorporam $12.000,00 a título de inflação;
 b) Parcela de inflação, em $ a preçoscorrentes
 Essa parcela corresponde à correção do principal, usando os valores do índice 
das duas datas. Assim temos: 
 principal corrigido � $1.000.000,00 � $112,00
100,00
� $1.120.000,00 
 valor da inflação � $1.120.000,00 – $1.000.000,00 � $120.000,00
 Em termos percentuais a taxa da inflação (ti) é calculada pela relação:
taxa de inflação � �ti 
$120.000,00
$1.000.000,00
 � 12% 
 
ao ano
 que corresponde à variação percentual ocorrida entre os dois valores do índice 
(de 100,00 para 112,00);
 c) Valor do pagamento, em $ a preços correntes, para a liquidação do financia-
mento no final de um ano
 A preços constantes, em moeda do início do contrato, esse valor é assim obtido:
 Principal � $1.000.000,00
 Juros reais � $100.000,00
 Montante � $1.100.000,00
 A preços correntes, em moeda da data da liquidação do contrato, o montante 
no final de um ano é assim obtido:
 montante = $1.100.000,00 � $112,00
100,00
 � $1.232.000,00
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 259
TABELA 10.3
Parcelas Valor em $
a) principal liberado 1.000.000,00
b) parcela de inflação do principal, com a taxa de 12% a.a. 120.000,00
c) principal corrigido para o final do ano (A) � (B) 1.120.000,00
d) juros reais de 10% a.a. corrigidos pela taxa de inflação de 12% a.a. 112.000,00
e) montante a ser pago no final do ano (C) � (D) 1.232.000,00
 que pode ser desdobrado conforme indicado na Tabela 10.3 a seguir:
 d) Taxa de juros nominal 
 Essa taxa de juros é obtida pela relação:
taxa nominal � tn $1.232.000,00
$1.000.000
�
,,00
 1 0,232 23,20% ao ano� � �
Vamos, agora, analisar o valor da taxa de juros nominal (tn) e identificar sua com-
posição a partir das seguintes parcelas:
Os juros corrigidos do final do ano, no valor de $112.000,00, também pode-
riam ter sido calculados com a aplicação da taxa de juros real de 10% a.a. sobre 
o principal corrigido para o final do ano ($1.120.000,00) pelo índice de inflação 
de 12%. 
Os juros do ano calculados com a taxa de 10% a.a. sobre o saldo devedor no início 
do ano, antes da aplicação da taxa de inflação anual, são iguais a $100.000,00. Nesse 
caso, o montante a ser pago no final do ano seria igual a:
montante � $1.120.000,00 � $100.000,00 � $1.220.000,00
Os valores obtidos nesses dois processos de cálculo de juros estão resumidos na 
Tabela 10.4, a seguir:
260 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Quando os juros são calculados sobre o saldo devedor do início do ano, a taxa total 
de 22,00% ao ano é constituída das seguintes parcelas:
a) taxa de juros real do período � 10,00% a.a.
b) taxa de inflação do período � 12,00% a.a.
 taxa total do período: (a) � (b) � 22,00% a.a.
ou seja, a taxa total é igual à soma da taxa de juros real com a taxa de inflação.
Quando os juros são calculados sobre o saldo devedor do final do período, ou seja, 
incluindo a inflação do período, precisamos acrescentar os juros (10,00% a.a.) sobre 
a taxa de inflação do período (12,00% a.a.), isto é:
10,00% a.a. � 12,00% a.a. � 1,20% a.a.
Assim, a taxa total do período, que corresponde à taxa de juros nominal (tn), no 
valor de 23,20% a.a., tem a seguinte composição:
a) taxa de juros real do período � 10,00% a.a.
b) taxa de inflação do período � 12,00% a.a.
c) produto das taxas: (a) � (b) � 1,20% a.a. 
 taxa total do período: (a) � (b) � (c) � 23,20% a.a.
ou seja, a taxa de juros nominal (tn) é igual à soma da taxa de juros real (i) com a 
taxa de inflação (ti), acrescida do produto entre essas duas taxas. 
10.4.3. Expressão Genérica Relacionando às Taxas
A simbologia adotada para representar as taxas anuais de juros e de inflação, bem 
como suas respectivas taxas equivalentes, está indicada a seguir:
i – taxa de juros real expressa em %, podendo ser representada por:
 ia – para a taxa de juros expressa em % ao ano
 is – para a taxa de juros expressa em % ao semestre
TABELA 10.4
Parcelas 
Juros sobre saldo devedor do
Início do ano Final do ano
a) principal liberado – em $ 1.000.000,00 1.120.000,00
b) montante no final do ano – em $ 1.220.000,00 1.232.000,00
c) incremento: (b)/(a) 22,00% a.a. 23,20% a.a.
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 261
 it – para a taxa de juros expressa em % ao trimestre 
 im – para a taxa de juros expressa em % ao mês
ti – taxa de inflação, expressa em %, podendo ser representada por: 
 tia – para a taxa de inflação expressa em % ao ano
 tis – para a taxa de inflação expressa em % ao semestre
 tit – para a taxa de inflação expressa em % ao trimestre
 tim – para a taxa de inflação expressa em % ao mês
tn – taxa de juros nominal, expressa em %, podendo ser representada por:
 tna – para a taxa de juros nominal expressa em % ao ano
 tns– para a taxa de juros nominal expressa em % ao semestre
 tnt – para a taxa de juros nominal expressa em % ao trimestre
 tnm – para a taxa de juros nominal expressa em % ao mês
Vamos agora deduzir a expressão genérica para obter a taxa de juros nominal (tn) 
a partir da taxa de juros real (i) e da taxa de inflação (ti), utilizando os dados do 
exemplo da Seção 10.4.2. 
Inicialmente, vamos considerar as taxas expressas em termos anuais. O principal 
corrigido para o final do ano tem a seguinte expressão:
Principal corrigido � 1.000.000,00(1�tia) 
Os juros anuais corrigidos, expressos em $ a preços correntes, são obtidos pela 
relação:
Juros corrigidos � 1.000.000,00 (1�tia) (ia)
O montante a ser pago no final do ano, expressos em $ a preços correntes é, por-
tanto, obtido pela relação que segue: 
Montante � 1.000.000,00 [(1�tia) + (1�tia) (ia)]
que fornece:
Montante � 1.000.000,00 [(1�ia) (1�tia)] (10.1)
Esse mesmo montante pode ser obtido diretamente pela aplicação da taxa nominal, 
através da expressão:
Montante � 1.000.000,00 (1�tna) (10.2)
Igualando as relações (10.1) e (10.2) obtemos a relação desejada:
(1 � tna) � (1 � ia) � (1 � tia) (10.3)
Aplicando essa fórmula nos valores do exemplo da Seção 10.4.3:
ia � 10,00% ao ano
tia � 12,00% ao ano
que fornece:
262 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
(1 � tna) � (1 � 10,00%) � (1 � 12,00%) � 1,232 
e, portanto:
tna � 1,232 � 1 � 0,232 � 23,20% ao ano 
resultado que coincide com o valor obtido anteriormente. 
10.4.4. Relação entre Taxas de Diversas Periodicidades
Vamos, agora, demonstrar que se a taxa de juros nominal anual (tna) obedece à 
Relação (10.3), então a taxa de juros nominal mensal (tnm) deve obedecer à relação 
que se segue: 
(1 � tnm) � (1 � im) � (1 � tim) (10.4)
em que essas taxas mensais são equivalentes às suas respectivas taxas anuais da 
Relação (10.4).
As taxas mensais equivalentes são obtidas pelas relações que se seguem:
(1 � tnm)
12 � (1 � taa)
(1 � im)
12 � (1 � ia)
(1 � tim)
12 � (1 � tia)
Ao substituirmos essas fórmulas na Relação (10.3) obtemos:
(1 � tnm)
12 � (1 � im)
12 � (1 � tim)
12 
que é igual à relação (10.4), quando eliminamos o ex poen te 12. 
As taxas anuais do exemplo da Seção 10.4.2, com suas respectivas taxas mensais 
equivalentes, estão indicadas na Tabela 10.5:
TABELA 10.5
Parcelas Taxa anual Taxa equivalente mensal
taxa de juros real 10,00% 0,7974140%
taxa de inflação 12,00% 0,9488793%
taxa de juros nominal 23,20% 1,7538598%
Vamos agora aplicar a relação (10.4) para as taxas mensais equivalentes, conforme 
se segue:
 (1 � tnm) � (1 � 0,007974140) (1 � 0,009488793) � 1,017538598
que fornece tam � 1,17538598% ao mês, como esperado.
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 263
A relação (10.4) também pode ser expressa para as taxas trimestrais e semestrais, 
equivalentes às suas respectivas taxas anuais, e as expressões obtidas são as que se 
seguem: 
(1 � tnt) � (1 � it) � (1 � tit) (10.5)
(1 � tns) � (1 � is) � (1 � tis) (10.6)
A Tabela 10.6 mostra um resumo das taxas equivalentes do exemplo numérico da 
Seção 10.4.3, interligadas pelas Relações (10.3) a (10.6), que acabamos de deduzir.
TABELA 10.6 Taxas equivalentes e taxas nominais – em %
Período
Taxa de 
inflação 
(ti)
Taxa de 
juros real 
(i)Soma das 
taxas 
(ti) � (i) 
Produto 
das taxas 
(ti) � (i)
Taxa de juros 
nominal 
(ti) � (i) � (ti)
(i)
Anual 12,000000 10,000000 22,000000 1,200000 23,200000
Semestral 5,830052 4,880885 10,710937 0,284558 10,995495
Trimestral 2,873734 2,411369 5,285103 0,069296 5,354400
Mensal 0,948879 0,797414 1,746293 0,007566 1,753860
10.4.5. Exemplos Numéricos
1. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com 
uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado no prazo de cinco anos, 
pelo sistema de amortizações constantes (SAC). As grandezas futuras devem ser 
corrigidas pelo índice da Tabela 10.1, que tem o valor igual a 100,00 na data da 
liberação dos recursos.
 Em relação a esse financiamento:
 a) determine seu fluxo de caixa em $, a preços constantes e a preços correntes; 
 b) calcule sua taxa interna de juros nominal, em % ao ano;
 c) decomponha sua taxa interna de juros nominal, calculada no item b, nas taxas 
de juros real e de inflação.
Solução: 
a) Fluxo de caixa em $, a preços constantes e a preços correntes 
 A partir do principal de $1.000.000,00 e da taxa de juros real de 10% ao 
ano, montamos a Tabela 10.7 com os valores das amortizações e juros para os 
cinco anos do financiamento, em $ a preços constantes.
264 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
TABELA 10.7 Valores em $ a preços constantes
Ano
Saldo no 
final do ano
 Amortização 
do ano
 Juros do 
ano
 Prestação do 
ano
0 1.000.000,00 
1 800.000,00 200.000,00 100.000,00 300.000,00
2 600.000,00 200.000,00 80.000,00 280.000,00
3 400.000,00 200.000,00 60.000,00 260.000,00
4 200.000,00 200.000,00 40.000,00 240.000,00
5 0,00 200.000,00 20.000,00 220.000,00
Soma – 1.000.000,00 300.000,00 1.300.000,00
 A Tabela 10.8 apresenta o fluxo de caixa do financiamento na moeda $, a 
preços constantes e a preços correntes, que foram obtidos com os valores anuais 
do índice da Tabela 10.1.
TABELA 10.8 Fluxos de caixa em $ constantes e $ correntes
Ano
Valores em $ 
constantes
Valor do índice 
no final do ano
Valores em $ 
correntes
0 �1.000.000,00 100,000000 �1.000.000,00
1 300.000,00 112,000000 336.000,00
2 280.000,00 125,440000 351.232,00
3 260.000,00 140,492800 365.281,28
4 240.000,00 157,351936 377.644,65
5 220.000,00 176,234168 387.715,17
Soma 300.000,00 – 817.873,10
Taxa Interna 10,00% a.a. – 23,20% a.a.
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 265
 b) Taxa interna de juros nominal, em % ao ano 
 As taxas internas dos fluxos de caixas da Tabela 10.8, obtidas com a HP-
-12C ou com o Excel são as seguintes:
� 10,00% a.a. (taxa interna real)
� 23,20% a.a. (taxa interna nominal) 
 Observe, ainda, que o desconto do fluxo de caixa em $ constantes com a 
taxa de juros real de 10,00% a.a. fornece um valor presente de $1.000.000,00, 
que é idêntico ao valor presente do fluxo de caixa em $ correntes com a taxa 
de juros nominal de 23,20% a.a;
 c) decomposição da taxa de juros nominal nas taxas de juros real e de inflação
 Considerando que a taxa de inflação de 12,00% ao ano é a mesma nos cinco 
anos, a Tabela 10.9 relaciona essa taxa com as taxas de juros real e nominal.
TABELA 10.9
Parcelas % ao ano
taxa de inflação 12,00
taxa de juros real 10,00
soma das duas taxas 22,00
produto das duas taxas 1,20
taxa de juros nominal 23,20
2. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com 
uma taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado com o pagamento 
de uma única parcela no final de três meses. A inflação será medida pelo 
índice da Tabela 10.2, que tem o valor igual a 100,00 na data da liberação 
dos recursos.
 Em relação a esse financiamento:
 a) determine seu fluxo de caixa em $ a preços constantes e a preços correntes; 
 b) calcule suas taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês;
 c) determine as taxas trimestrais e as taxas anuais que são equivalentes às taxas 
internas obtidas no item b; 
 d) verifique as relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal 
para as periodicidades mensal, trimestral e anual. 
266 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
Solução:
 a) Fluxo de caixa em $, a preços constantes e a preços correntes 
 A taxa de juros trimestral equivalente à taxa de juros real de 10,00% ao 
ano é obtida pela relação:
it � (1 � 0,10)
1/4 � 1 � 0,02411369 � 2,411369% a.t.
 Dessa forma, o valor dos juros, em $ a preços constantes, a serem pagos no 
final do 3o mês é igual a: 
� 1.000.000,00 � 2,411369% � $24.113,69
e o montante a ser liquidado no final do 3o mês, em $ a preços constantes, 
é igual a $1.024.113,69, sendo $1.000.000,00 de amortização do principal e 
$24.113,69 de juros.
 A Tabela 10.10 traz os fluxos de caixa do financiamento, em $ a preços constantes 
e a preços correntes, que foram obtidos com os valores do índice da Tabela 10.2.
TABELA 10.10 Fluxos de caixa em $ a preços constantes e correntes
Mês
 Valores em $ 
a preços constantes
Valor do índice 
no final do mês ($)
 Valores em $ 
a preços correntes
Dezembro 1.000.000,00 100,000000 1.000.000,00
Janeiro 0,00 100,948879 0,00
Fevereiro 0,00 101,906762 0,00
Março 1.024.113,69 102,873734 1.053.544,00
Soma 24.113,69 – 53.544,00
Taxa interna 0,797414% a.m. – 1,753860% a.m.
 b) Taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês
 As taxas internas de retorno para os dois fluxos de caixa, obtidas com a 
HP-12C ou com o Excel, são as seguintes:
 c) Taxas trimestrais e taxas anuais equivalentes às taxas internas do item b
 As taxas equivalentes são obtidas pelas relações a seguir:
 it � (1 � 0,00797414)
3 � 1 � 0,02411369 � 2,411369% a.t.
 ia � (1 � 0,00797414)
12 � 1 � 0,10000000 � 10,00% a.a.
Capí tu lo 10 – F luxos de Caixa e Inf lação 267
 tnt � (1 � 0,01753860)
3 � 1 � 0,05354400 � 5,3544% a.t.
 tna � (1 � 0,01753860)
12 � 1 � 0,23200000 � 23,20% a.a.
 e estão resumidas na Tabela 10.11:
TABELA 10.11 Taxas equivalentes
Parcelas
Taxa mensal 
(% a.m.) 
Trimestral 
(% a.t.)
 Anual 
(% a.a.) 
Taxa de juros real 0,797414 2,411369 10,00
Taxa de juros nominal 1,753860 5,354400 23,20
 c) Relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal, para as 
periodicidades mensal, trimestral e anual 
 As taxas de inflação mensal, trimestral e anual, obtidas pelos valores mensais 
do índice da Tabela 10.2, correspondem, respectivamente, a 0,948879% a.m., 
2,873734% a.t. e 12,00% a.a. 
 Vamos confirmar as relações (10.3), (10.4) e (10.5) para as taxas anuais, 
mensais e trimestrais, respectivamente, que foram obtidas para o financiamento:
 tna � (1 � 0,10) (1 � 0,12) � 1 � 0,2320 � 23,20% a.a.
 tnm � (1 � 0,00797414) (1 � 0,00948879) � 1 � 0,0175386 � 1,753860% a.m.
 tnt � (1 � 0,02411369) (1 � 0,02873734) � 1 � 0,0535440 � 5,354400% a.t.
 Os valores dessas taxas estão resumidos na Tabela 10.12:
TABELA 10.12 Taxas equivalentes e taxas nominais – em %
Período
Taxa de 
inflação 
(ti)
 Taxa de juros real 
(i)
 Taxa de juros 
nominal 
(ti) � (i) � (ti)(i)
Anual 12,00 10,00 23,20
Trimestral 2,873734 2,411369 5,354400
Mensal 0,948879 0,797414 1,753860
3. Um financiamento de $1.000.000,00 foi realizado no final de dezembro, com uma 
taxa de juros real de 10% ao ano, para ser liquidado com seis prestações mensais 
e iguais do Modelo Price. A inflação será medida pelo índice da Tabela 10.2, que 
tem o valor igual a 100,00 na data da liberação dos recursos.
 Em relação a esse financiamento:
268 M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a
 a) determine seu fluxo de caixa em $ a preços constantes e a preços correntes;
 b) calcule suas taxas internas de juros (real e nominal), em % ao mês;
 c) determine as taxas anuais que são equivalentes às taxas internas obtidas no 
item b;
 d) verifique as relações entre as taxas de inflação, de juros real e de juros nominal, 
para as periodicidades mensal e anual.
Solução: 
 a) Fluxo de caixa em $ a preços constantes e a preços