DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE

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DISTRIBUIÇÕES DEDISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÕESDISTRIBUIÇÕES
DISCRETAS DEDISCRETAS DE
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
Autor: Me. Roberta Mendiondo
Revisor : Antonio Gomes de Mattos Neto
I N I C I A R
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introduçãoIntrodução
Nesta unidade, você estudará mais especi�camente as distribuições discretas
de probabilidade, as quais tratam de variáveis aleatórias discretas. As
distribuições de probabilidade discretas abordadas serão: de Bernoulli;
  Binomial; Geométrica e Hipergeométrica; de Poisson. As distribuições de
probabilidades discretas são aplicadas a diferentes contextos, dentre os quais
podemos citar o controle de qualidade de peças em uma produção, em que
se deseja medir o número de peças em conformidade com os padrões
estabelecidos, situação em que um engenheiro pode utilizar a distribuição
binomial, por exemplo; e caso se deseje medir a ocorrência de peças em
conformidade, em determinado período de tempo, pode-se aplicar a
distribuição de Poisson. Nesse sentido, o estudo do conteúdo desta unidade
permitirá que você tenha melhores condições de aplicar os instrumentos da
probabilidade a casos reais, tanto do cotidiano geral, quanto pro�ssional.
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Na prática, há vários experimentos que admitem somente dois tipos de
resultados, como sucesso e fracasso. Esses experimentos são chamados de
experimentos de Bernoulli.
O sucesso é o que se deseja observar, por exemplo, se o seu interesse for
observar a ocorrência de defeito em peças. Uma peça selecionada
aleatoriamente, com defeito, seria um resultado do tipo “sucesso” (o
resultado “sucesso” não está associado a algo bom, necessariamente).
Considere um problema (experimento) no qual só podem ocorrer dois tipos
de resultados, “sucesso” e “fracasso”.
Alguns exemplos seriam:
uma venda é efetuada ou não por um vendedor em loja física;
um cliente pode ser do tipo adimplente ou inadimplente;
uma peça fabricada por uma indústria pode ser perfeita ou
defeituosa;
um consumidor pode devolver ou não um produto comprado;
Distribuição deDistribuição de
BernoulliBernoulli
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um exame médico pode ter como resultado positivo ou negativo.
Associando uma variável aleatória x aos possíveis resultados de um
determinado experimento, �caremos com:
x = 1, se o resultado for “sucesso”,
x = 0, se o resultado for “fracasso”.
Assim, a função de probabilidade da Distribuição de Bernoulli será dada por:
É importante que você saiba que a média e a variância serão obtidas por:
Média = p
Variância = pq
Vamos ao exemplo:
A partir de uma pesquisa no comércio on-line, foi veri�cado que no período
de vendas de Natal, cada cliente que entra no site de determinada loja tem
60% de chance de comprar um produto qualquer. Qual a probabilidade de
sucesso e de não comprar produto algum?
Solução:
Nesse caso, temos uma probabilidade de sucesso (o cliente adquirir um
produto qualquer) de 0,6 e uma probabilidade de não comprar produto
algum de 0,4 (q = 1 - 0,6).
Agora, para �nalizarmos esse primeiro tópico, vamos à atividade.
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praticarVamos Praticar
A distribuição de Bernoulli pode ser aplicada a diversos contextos práticos, desde
que  os resultados possíveis para variável aleatória sejam de dois tipos.
Sobre a distribuição de Bernoulli é correto o que se a�rma em:
a) é uma distribuição contínua de probabilidade.
b) sua variável aleatória pode ser representada por  x = 0 (fracasso) e x = 1 (sucesso).
c) se sua variável aleatória assumir o resultado “sucesso”, certamente estará associado a algo
positivo, conforme julgamento de quem está realizando o experimento.
d) sua variável aleatória é do tipo contínua.
e) mede a quantidade de sucessos, ao longo do tempo.
A repetição de experimentos de Bernoulli independentes dá origem ao
modelo Binomial, que você estudará a seguir.
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A distribuição de probabilidade binomial é resultado de um experimento
binomial (de Bernoulli), e trata problemas em que os resultados pertencem a
duas categorias relevantes, tais como: conforme / não conforme ou sucesso /
fracasso.
Um experimento binomial deve satisfazer às seguintes condições:
1. Há apenas dois resultados possíveis para cada tentativa, que podem
ser classi�cados como sucesso (S) ou fracasso (F).
2. O experimento tem um número �xo de tentativas, em que cada
tentativa é independente das outras.
3. A probabilidade de um sucesso é a mesma para cada tentativa.
4. A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso.
Função de Probabilidade Binomial
Levando em consideração um experimento binomial, a probabilidade de
exatamente x sucessos em n tentativas é dada por:
DistribuiçãoDistribuição
BinomialBinomial
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Onde:
 representa o número de tentativas;
 representa a probabilidade de sucesso em uma única tentativa;
 representa a probabilidade  de fracasso em uma única tentativa;
 representa a variável aleatória que corresponde à contagem do número de
sucessos em n tentativas:   .              
Vamos ao exemplo, para melhor compreensão do conceito abordado.
Exemplo:
Numa fábrica, a probabilidade de o processo produtivo gerar uma peça
defeituosa é de 3%. Qual a probabilidade de que, num lote de 100 peças, haja
5 peças defeituosas? 
 
Solução pela aplicação da fórmula:
É dado no enunciado que p=0,03, que corresponde à probabilidade de
ocorrer “sucesso”, de�nido, nesse caso, por mais estranho que possa parecer,
como “fabricar uma peça defeituosa” – pois a pergunta que queremos
responder é sobre “peças defeituosas”. Logo:
Como são lotes de  peças, temos .
Por �m, como estamos interessados na probabilidade correspondente a   5
peças defeituosas, queremos saber .
Substituindo os valores na fórmula da binomial, temos:
p(x) =
n!
(n − x)!x!
pxqn−x
n
p
q
x
x = 1,2,3, . . . , n
q = 1 − p = 1 − 0,03 = 0,97
n = 100
p(x = 5)
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Portanto, há uma probabilidade de, aproximadamente, 10% de que existam 5
peças defeituosas em um lote de 100 peças. 
 
Solução do exemplo utilizando o Excel
A forma usual de calcular essa probabilidade, atualmente, no mundo do
trabalho é por meio de pacotes estatísticos, ou mesmo, de uma planilha Excel.
Usando o Excel, você utilizaria a função estatística DISTR.BINOM. Veja na
�gura 3.1 os argumentos que você deve colocar na função, eles aparecem na
tela. 
p(x) =
n!
(n − x)!x!
pxqn−x
p(x = 5) =
100
(5!95!)
⋅0,0350,97100−5
p(x = 5) =
100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97 ⋅ 96 ⋅ 95
(5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 95!)
⋅0,0350,9795
p(x = 5) = 75.287.520 ⋅ 0,0000000243 ⋅ 0,05538
p(x = 5) = 0,1013
Figura 3.1 - Função para distribuição binomial no Excel 
Fonte: Elaborada pela autora.
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núm_s = número de sucessos =x
tentativas = número de tentativas =n
probabilidade_s = probabilidade de sucesso em uma única tentativa =p
cumulativo = para a funçãoprobabilidade de massa usar 0 ou falso (calcula a
probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos)
Na Figura 3.2 está a função DISTR.BINOM já com argumentos para resolução
do exemplo 3.1.
Veja que, como não poderia deixar de ser, os resultados são os mesmos
encontrados pela fórmula da distribuição binomial desenvolvida no exemplo
3.1, ou seja, 10% de probabilidade de se escolher 5 peças, ao acaso, e elas
serem defeituosas, no lote de 100 peças.
praticar
V P ti
Figura 3.2 - Função para distribuição binomial no Excel, com os argumentos 
Fonte: Elaborada pela autora.
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p
Vamos Praticar
Considere que em uma fábrica, a probabilidade de o processo produtivo gerar uma
peça defeituosa é de 2%. A probabilidade de que, num lote de 100 peças, haja 3
peças defeituosas é, aproximadamente, de:
a) 10%
b) 16,02%.
c) 6%.
d) 18,23%.
e) 15,05%.
É muito importante que você saiba adequar o contexto e objetivo do
problema que estiver tratando à distribuição adequada. Até aqui você
estudou sobre distribuição binomial, a qual permite calcular a probabilidade
de um número especí�co de sucessos (sucesso é o que queremos observar)
em um dado número de tentativas, e nessas situações é que deve aplicar a
distribuição binomial.
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reflitaRe�ita
Vários aplicativos são capazes de
realizar cálculos envolvidos na
construção de distribuições de
probabilidade, como fatoriais,
combinações e outros, e até mesmo
possuem funções próprias, nas quais
inserimos os dados (argumentos) da
distribuição e temos como retorno as
probabilidades que desejamos, mas
ainda não é tarefa dos aplicativos
perceber um problema do mundo
real, organizá-lo matematicamente e
decidir qual ferramenta da matemática
ou da estatística e probabilidade será
adequada para tratar tal problema
real.   Se você inserir dados de forma
equivocada na função de distribuição
de um aplicativo qualquer, terá um
resultado condizente com seu erro, ou
seja, errado! Se você inserir os
argumentos da função de distribuição
corretamente, no Excel, por exemplo,
mas tiver escolhido uma distribuição
inadequada para o seu problema real,
da mesma forma obterá um resultado
errado, e esses não são erros nas
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contas, nos cálculos… Se a tecnologia
pode nos auxiliar muito nos cálculos
de probabilidades, quais seriam as
competências mais importantes que
você deveria desenvolver com relação
a esse conteúdo?   Uma delas não é
fazer contas…
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Neste tópico você estudará duas distribuições discretas de probabilidade, a
Geométrica e a Hipergeométrica; as quais são aplicadas a contextos distintos
e essa adequação do tipo de problema a que cada distribuição esteja
associada é uma questão fundamental neste estudo.
Distribuição Geométrica
Várias tarefas, ou ações cotidianas são repetidas até que aquilo que
desejamos ocorra (sucesso). Por exemplo, você pode ter de enviar uma
mensagem diversas vezes até que o receptor efetivamente a receba - sucesso.
Um problema como esse pode ser representado por uma distribuição
geométrica.  
A distribuição de probabilidade geométrica de uma variável aleatória x deve
satisfazer às seguintes condições:
1. A tentativa deve ser repetida até que um sucesso ocorra;
DistribuiçõesDistribuições
Geométricas eGeométricas e
HipergeométricasHipergeométricas
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2. Cada tentativa repetida é independente uma da outra;
3. A probabilidade de sucesso p é a mesma para cada tentativa;
4. A variável aleatória x representa o número de tentativas até ocorrer o
primeiro sucesso.
Assim, a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra considerando a
tentativa número x é:
, onde .  
Vamos ao exemplo: Considere que o resultado “sucesso” em um experimento
  ocorra na quarta tentativa, ou seja, a sequência de resultados foi FFFS
(fracasso, fracasso, fracasso, sucesso), então a probabilidade desse evento
ocorrer será:
Solução:
  →    
Quando você tiver interesse na probabilidade de um sucesso ocorrer em
determinada tentativa x, a distribuição de probabilidades adequada será a
distribuição discreta geométrica.
Distribuição Hipergeométrica
Como em uma distribuição binomial, na distribuição hipergeométrica em
cada tentativa a variável pode assumir os valores: sucesso e fracasso; porém,
o experimento é realizado sem reposição, de forma distinta dos experimentos
binomiais, nos quais qualquer amostragem deve ser feita com reposição,
porque cada tentativa deve ser independente das outras.
Pense em uma população composta por   N elementos, dos quais uma
quantidade r de elementos possui a característica A, e a quantidade N-r de
elementos possui a característica B. Uma amostra de n elementos é escolhida
p(x) = pq(x−1) q = 1 − p
p(x) = pq(x−1) p(4) = pq(4−1)
p(4) = pq3
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ao acaso, sem reposição. Para calcular a probabilidade de que essa amostra
  contenha k elementos com a característica A, utilizando o princípio
multiplicativo, você pode aplicar a equação:
Em que .
Os pares formam a distribuição hipergeométrica de probabilidades.
Notação: .
Observação: Se você de�nir a variável aleatória X como sendo o número de
elementos na amostra que possui a característica A, então .
Exemplo: Considere um problema de controle de qualidade, e suponha que
para um lote de cem peças, dez sejam defeituosas. Qual a probabilidade de
não se obter peças defeituosas escolhendo, aleatoriamente, cinco peças sem
reposição?
Solução:
Nesse caso, ;   ;    e como queremos probabilidade de NÃO se
obter peças defeituosas, temos que calcular  p(0).
Portanto, a probabilidade de não se obter peças defeituosas, nesse contexto,
é de aproximadamente, 58,38%.
 
=Pk
( ) ( )
R
k
N − r
n − k
( )N
n
max(0,n − N + r) ≤ k ≤ min(r,n)
(k,p(k))
X ∼ hip(N, r,n)
P(X = k) = p(k)
N = 100 r = 10 n = 5
p(0) = = = 0,583752
Cr , k ⋅ CN − r ,  n − k 
CN, n
( ) ( )
10
0
100 − 10
5 − 10
( )100
0
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praticarVamos Praticar
Um jogador de futebol 7 acerta um chute a gol em cerca de 75% das vezes. Nesse
caso, a probabilidade de que o primeiro chute a gol que ele acerte só ocorra na
terceira tentativa é aproximadamente de:
a) 4,7%
b) 47%
c) 1,17%
d) 25%
e) 75%
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A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de
uma variável aleatória x que atende as seguintes condições:
1. O experimento é o de contar o número de vezes, x , que um evento
acontece em um dado intervalo contínuo. O intervalo pode ser de
tempo, área, volume ou outro intervalo contínuo.
2. A probabilidade de um evento acontecer é a mesma para intervalos
de mesmo tamanho.
3. O número de ocorrências em um intervalo é independente do
número de ocorrências em outros intervalos não sobrepostos.
4. A probabilidade de haver exatamente x  ocorrências em um intervalo
é dada por:
 = um número irracional aproximadamente igual a 2,72
Distribuição deDistribuição de
PoissonPoisson
p(x) = ⋅λ
x e−λ
x!
e
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= número   de ocorrências médio, em cada intervalo unitário de referência
(taxa média de ocorrência) (LARSON; FARBER, 2015).
Importante!
A distribuição de Poisson �ca completamente determinada pela sua taxa de
variação .
Na Distribuição de Poisson a esperança (média ou valor esperado) e a
variância são iguais à taxa de variação , ou seja, , o que implica
em desvio-padrão igual à raiz quadrada da taxa de variação (já que 
). Por exemplo, considere que em um banco a �la seja
composta por 4 pessoas, em média, a cada hora. Isso signi�ca que,
considerando que esse fenômeno seja descrito pela Distribuição de Poisson, a
variável aleatória   quantidade de pessoas na �la do banco por hora e 
λ
λ
λ E(x) = V ar(x) = λ
λ
V ar(x) = λ,DP(x) = √λ
x =
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, ou seja, média e variância são iguais a 4 e o desvio-padrão é
igual a 2.
Exemplo: Em uma avenida, ocorrem em média 3 acidentes por mês. Qual
será a probabilidade de que quatro acidentes ocorram em algum mês, nessa
avenida?
Solução:
Veja que a variável discreta (x=número de acidentes) é apresentada ao longo
de um intervalo contínuo, um mês. O problema nos dá uma taxa de variação
média desse número de acidentes por mês, que é λ=3 acidentes/mês.
Aplicando a fórmula para o cálculo da probabilidade p(x=4), temos:
     →   
Portanto, a probabilidade de que quatro acidentes ocorram em algum mês,
nessa avenida, é de 16,77%, aproximadamente.
Outros exemplos
Dado um experimento aleatório, são exemplos de variável aleatória discreta 
 número de sucessos por unidade de medida:
 número de partículas contaminadas por litro (intervalo capacidade).
 número de chamadas em um call center no intervalo de tempo.
 número de falhas no intervalo de superfície.
 número de bolhas (falhas) em superfície.
Dessa forma, quando o seu interesse for medir a probabilidade de ocorrência
de uma variável discreta, ao longo de um intervalo contínuo, a
distribuição de probabilidades adequada é a de Poisson, observando no
contexto se este atende aos requisitos para sua aplicação.
E(x) = V ar(x) = λ = 4
p(x) = ⋅λ
x e−λ
x! p(4) = = = = 0,1677 = 16,77
⋅34e−3
4!
81⋅0,04969
4⋅3⋅2⋅1
4,02489
24
x =
x =
x =
x =
x =
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praticarVamos Praticar
O porteiro de um prédio comercial estimou que a média da quantidade de pessoas
que entram no elevador num período de uma hora é igual a 100. A partir da análise
desse contexto, obedecendo à distribuição de probabilidades de Poisson, o desvio-
padrão da distribuição é igual a:
a) 7 pessoas/hora.
b) 9 pessoas/hora.
c) 10 pessoas/hora.
d) 100 pessoas/hora.
e) 6 pessoas/hora.
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indicações
Material
Complementar
FILME
O que fazemos com todo esse big data?
Ano: 2014
Comentário: Um conjunto de dados faz você se sentir
mais confortável? Mais bem sucedido? Então sua
interpretação provavelmente está errada. Em uma
palestra surpreendentemente emocionante, Susan
Etlinger explica por que, à medida que recebemos mais
e mais dados, precisamos aprofundar nossas
habilidades de pensamento crítico. Porque é difícil ir
além de contar as coisas para realmente entendê-las.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a
seguir.
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T R A I L E R
LIVRO
Estatística para cursos de Engenharia e
Informática
Pedro Alberto Barbetta, Marcelo Menezes Reis e
Antonio Cezar Bornia
Editora: Atlas
ISBN: 9788522459940
Comentário: Leia o capítulo 5, que trata de variáveis
aleatórias e distribuições de probabilidade,
especialmente, o tópico 5.2 que aborda as distribuições
discretas de probabilidade (Disponível na Minha
Biblioteca).
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, você estudou distribuições de probabilidades discretas, sendo
elas a distribuição de Bernoulli, Binomial, Geométrica, Hipergeométrica e de
Poisson. Neste momento do curso é importante que você tenha estudado de
forma completa todas essas distribuições e atente para alguns aspectos do
seu aprendizado, como por exemplo, a importância de identi�car a diferença
entre a distribuição binomial e hipergeométrica, que reside na exigência de
eventos independentes (experimentos com reposição) para que a distribuição
seja Binomial, o que não ocorre na Hipergeométrica; entender a de�nição da
distribuição Poisson e como utilizar a distribuição Poisson e sua aplicação a
problemas em que a variável é discreta, mas observada ao longo de um
intervalo contínuo.
Ao �nal do seu estudo, tenha como um de seus objetivos reconhecer qual
distribuição utilizar em cada contexto, e assim poderá aplicar esse
conhecimento a diferentes problemas.
Bons estudos!
referências
Referências
Bibliográ�cas
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LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2015.
MONTGOMERY, D. C. Estatística aplicada e probabilidade para
engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
NASCIMENTO, W. F. et al. Efeitos da temperatura sobre a soja e milho no
Estado de Mato Grosso do Sul. Investig. Agrar., San Lorenzo, v. 20, n. 1, p. 30-
37, jun. 2018.   Disponível em: http://scielo.iics.una.py/scielo.php?
script=sci_arttext&pid=S2305-06832018000100030&lng=en&nrm=iso. Acesso
em: 26 jan. 2020.  
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
http://scielo.iics.una.py/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2305-06832018000100030&lng=en&nrm=iso