Distribuição Binomial e Bernoulli

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Distribuição Binomial
Esta importante distribuição é aplicada em casos de experimentos repetidos, onde existem dois possíveis resultados: cara ou coroa, sucesso ou fracasso, item defeituoso ou item não defeituoso, e muitos outros possíveis pares. A probabilidade de cada resultado pode ser calculada utilizando a regra da multiplicação, talvez com o uso do diagrama de árvore, porém é muito mais simples e eficiente utilizar uma equação generalizada.
Assim, uma variável aleatória poderá ter sua distribuição de probabilidade modelada de forma binomial caso atenda os seguintes pressupostos:
Pressupostos
· o resultado é completamente determinado por chance (aleatório);
· existem somente dois possíveis resultados, experimento Bernoulli;
· todas as tentativas possuem a mesma probabilidade para um resultado em particular. Ou seja, as tentativas ou realizações do experimento são independentes;
· isso implica que, existe uma probabilidade pp de sucesso constante em cada tentativa
· o número de tentativas, nn, é um valor fixo, um número inteiro e positivo;
O que é distribuição binomial?
A distribuição binomial é a distribuição de probabilidade e estatística discreta do número de sucessos decorrentes de uma determinada sequência de tentativas, que seguem à seguintes características:
· Espaço amostral finito;
· Apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) para cada tentativa;
· Todos os elementos devem possuir possibilidades iguais de ocorrência;
· Eventos devem ser independentes uns dos outros.
Quando utilizar a distribuição binomial?
A distribuição Binominal pode ser usada ao iniciar um projeto Seis Sigma, por exemplo, o Greenou Black Beltdeve verificar qual é o tipo de dado (contínuo ou discreto) que está lidando na saída do processo. Isto vai determinar quais as ferramentas que serão utilizadas no desenvolvimento do projeto.
Cabe a este profissional definir qual das inúmeras distribuições estatísticas é a que melhor representa o processo que está sendo estudado. As distribuições estatísticas podem ser divididas em dois grandes grupos:
· Distribuição Discreta (Atributos);
· Distribuição Contínua (Variável).
As distribuições discretas por sua vez, devem ser utilizadas para modelar situações em que a saída de interesse só pode assumir valores inteiros (discretos) como, número de caras ou coroas, 0 ou 1 para falha ou sucesso, ou 0,1,2,3,... como o número de ocorrências de um determinado evento de interesse por exemplo.
A distribuição discreta pode ainda ser dividida em duas famílias:
· Distribuição Binomial;
· Distribuição Poisson.
Neste post iremos abordar a distribuição binomial. Esta deve ser utilizada para modelar situações onde para uma determinada saída de interesse a probabilidade de ocorrências de um sucesso ‘p’ e de um fracasso ‘q’ é sempre constante.
A distribuição binomial funciona bem quando os tamanhos dos lotes são grandes ou em produções contínuas, por exemplo.
Como calcular a distribuição binomial?
Para calcular a probabilidade de ter k sucessos em um evento que segue a distribuição binomial, podemos usar a seguinte equação:
Onde a probabilidade de sucesso é dado por ‘P’, e a do fracasso é dado por ‘Q’, satisfazendo a relação Q=1-P. ‘x’ é o número de sucessos numa amostra, ‘n’ corresponde ao número total de ensaios.
Vale lembrar que é a combinação de n valores tomados de k a k.
Variável Aleatória Generalizada
Seja XX o número de sucessos em nn tentativas independentes.
Exemplos
Dado um experimento aleatório ee, de acordo com a v.a.d. XX:
· Seja XX o número de caras em nn tentativas independentes.
· Seja XX o número de itens defeituosos em nn itens produzidos independentes.
· Seja XX o número de amostras contaminada em nn amostras independentes.
· Seja XX o número de questões corretas em nn questões respondidas independentes.
· …
Note que a palavra sucessos e tentativas podem ser alteradas conforme o experimento aleatório ee e, questão.
O modelo é dado pela seguinte função massa de probabilidade (PMF):
pX(x)=P(X=x)=(nx)px(1−p)n−xpX(x)=P(X=x)=(nx)px(1−p)n−x
onde,
(nx)=n!x!(n−x)!(nx)=n!x!(n−x)!
para x=0,1,…,nx=0,1,…,n:
Exemplo de uma Distribuição Binominal
Suponhamos que em uma linha de produção sejam fabricadas lâmpadas incandescentes. E elas são embaladas de forma que cada embalagem contenha 10 unidades de lâmpadas.
Um Green Belt sabe que a probabilidade de uma lâmpada sair de sua linha de produção com defeito é de 5%. E ele deseja calcular a probabilidade de uma mesma embalagem conter 3 unidades de lâmpadas com defeito.
Para ajudarmos a este profissional, você, como entendedor de probabilidade e estatística que é, irá aplicar a seguinte equação da distribuição binomial:
Com os dados apresentados podemos identificar que:
k = 3
n = 10
P = 0,05
Q = 1 - P = 0,95
É muito importante observar que utilizamos em ‘P’ a probabilidade de sucesso, e isso não deve ser confundido com a probabilidade da lâmpada não ser defeituosa. Mas sim a probabilidade de ocorrer o evento em que estamos focados. Ou seja, é a probabilidade de ocorrer um defeito.
Aplicando esses valores e conceitos na equação apresentada, temos:
pôde então chegar à conclusão de que a probabilidade de existir uma caixa com 3 lâmpadas defeituosas é de 1,05%
Distribuição de Bernoulli
Na área de teoria das probabilidades e estatística, a distribuição de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suíço Jakob Bernoulli, é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e o valor 0 com a probabilidade de falha p = 1 – q
Agora vamos começar a estudar alguns modelos de distribuição de probabilidades de v.a. discretas.
Primeiro o modelo de Bernoulli, é o mais basicão, mas você precisa entender bem a essência da parada.
Bom, vamo lá!
Geralmente, num experimento aleatório, a gente se interessa apenas por um resultado específico, que chamaremos de SUCESSO. Por exemplo:
· Na hora de chutar a questão da prova, a gente só quer saber se vai acertar ou não
· Na hora de tomar uma cerveja, a gente se preocupa se ela vai tá gelada ou não.
· Na hora de escolher o professor da faculdade, a gente procura saber se ele é mamata ou não.
Sacou ? Sucesso seria claro, acertar o chute, cerveja gelada e professor mamata.
Nesses experimento então teremos 2 possíveis resultados:
· SUCESSO ou S, representado por 1
· FRACASSO ou F, representado por 0
Exemplo: Tendo uma questão objetiva de 5 opções, qual seria a probabilidade de eu acertar e a de eu errar a questão chutando?
Peguei leve ein! Haha
Nossa v.a. seria:
X = acertar a questão
Tendo como sucesso acertar a questão, temos:
P(Sucesso) = P(X=1) = 1/5
P(Sucesso) = P(X=0) = 4/5
Sempre que a v.a. permitir apenas sucesso ou fracasso, seguirá o modelo de Bernoulli.
E diremos que:
P(Sucesso) = P
P(Fracasso) = 1 – P
Ou seja:
P(x=1)=p e P(X=0)=1 –p
Podemos determinar também com isso a E(X) e Var (X) :
E(X)=0 * (1 – p) + 1 * p = p E(X)=p
Var(X)=0^2 * (1 – p) + 1^2 *p - p^2= p(1 – p) Var(X)= p(1 – p)