Edicoes ASA - 10 Ano 2015-16 - 5 Teste

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Edições ASA | 2016 Expoente10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 
 
 
Teste de Matemática A 
2015 / 2016 
 
 
Teste N.º 5 
Matemática A 
 
 
Duração do Teste: 90 minutos 
10.º Ano de Escolaridade 
Nome do aluno: ___________________________________________ Turma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Grupo I 
 
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. 
• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está 
correta. 
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra 
correspondente à alternativa que selecionar para responder a esse item. 
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, 
o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 
• Não apresente cálculos nem justificações. 
 
 
1. Considere as proposições: 
�: “Qualquer que seja a função considerada, a dois objetos diferentes correspondem sempre 
duas imagens diferentes.” 
�:	“Todas as funções bijetivas são sobrejetivas.” 
 
Qual das seguintes proposições é falsa? 
(A) ��	 ∧ �� ⇔ ~� 
(B) �~�	 ∨ ~�� ⇔ � 
(C) �	 ⟹ ~� 
(D) ~�	 ⟹ ~� 
 
2. Considere, num referencial o.n. �
�, as retas � e �, das quais se sabe que: 
• a reta � interseta o eixo �
 no ponto de abcissa 5 e interseta o eixo �� no ponto de 
ordenada 2; 
• para um certo valor real �, a reta � é definida por �
, �� = �1,−3�+��3, ��, � ∈ ℝ. 
 
O valor de � para o qual as retas � e � são paralelas é: 
(A) 	−
�
�
 
(B) −
��
�
 
(C) 	
��
�
 
(D) −
�
�
 
 
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3. Na figura está representado, num referencial o.n. �
�, o gráfico de uma função �, de domínio 
� − 5, 5!. 
 
 
 Acerca da função �, em qual das opções seguintes as três afirmações são verdadeiras? 
 
(A) "# � ��5, 5!; "$# � ��3, 4!;		∀
�, 
� ∈ "# ,			
� ( 
� ⟹	��
�� ( ��
��. 
(B) "# � ��3, 4�; "$# � ��5, 5!; � não é par. 
(C) � tem exatamente dois zeros; 4 é máximo absoluto da função; � é par. 
(D) � não é ímpar; �3 é mínimo absoluto da função; ∃
�, 
� ∈ "#:			
� ( 
�		 ∧ 	��
�� � ��
��. 
 
4. Considere, num referencial o.n., �
�* a esfera definida por �
 � 1�� � �� � 2�� � �* � 3�� , 16. 
A interseção desta esfera com o plano 
�* é: 
(A) o ponto de coordenadas �1, 0, 3�. 
(B) o conjunto vazio. 
(C) um círculo de área 12π. 
(D) uma circunferência de perímetro 2√12	π. 
 
5. Considere a função 1 definida por 1�
� � √
 � 1. 
 Na figura está representada, num referencial o.n. �
�, parte 
do gráfico da função � de domínio �. 
 Qual dos seguintes conjuntos corresponde ao domínio da 
função 1 ∘ �? 
(A) 3– 45 ∪ �3, �∞�	 
(B) �3, �∞� 
(C) 	��1,�∞� 
(D) ��4, 3� 
 
 
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Grupo II 
 
Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando 
todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. 
Atenção: Quando para um resultado não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o 
valor exato. 
 
1. Três amigos, o António, a Beatriz e a Carolina, encontraram-se numa tarde para estudar 
Matemática e resolveram o seguinte exercício: 
“Seja V o volume do cubo representado na figura e seja [BH] uma 
diagonal espacial desse cubo. Determine 89:::: em função de V.” 
 
 
Durante a resolução do exercício, os três amigos obtiveram 
expressões diferentes: 
António: √8	<�
=
 
Beatriz: √3	<= 
Carolina: √27	<�= 
 
Apenas um deles chegou a uma expressão correta. Identifique-o, justificando a sua resposta e 
apresentando todos os cálculos necessários. 
 
2. Na figura estão representadas, num referencial o.n., �
�	 a 
circunferência de centro ? definida por 	
� � �� � 4
 � 6� � 3 
e a reta @?. Sabe-se ainda que @ é um dos pontos de 
interseção da circunferência com o eixo das ordenadas. 
 
2.1. Mostre que as coordenadas do vetor @?AAAAAB são C2, 2√3D. 
 
2.2. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, 
incluindo a fronteira. 
 
 
 
 
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3. Na figura está representado, num referencial o.n. �
�*, o sólido 
[NOPQRSTUV]. 
Este sólido pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide 
quadrangular regular. 
 Sabe-se ainda que: 
• o vértice E pertence ao eixo �
; 
• o vértice F pertence ao eixo ��; 
• o vértice G pertence ao eixo �*; 
• o vértice H tem coordenadas �3, 3, 3�; 
• o volume do sólido é 42 u.v. 
 
 
3.1. Prove que as coordenadas do ponto < são IJ� ,
J
� , 8K. 
 
3.2. Escreva uma equação vetorial da reta que passa em < e que tem a direção do eixo das 
ordenadas. 
 
3.3. Escreva um sistema de equações paramétricas da reta <L. 
 
3.4. Seja @ o ponto de coordenadas ��, ��, � � 1�, com � ∈ �. 
Determine os valores de � de modo que o ponto @ pertença ao plano mediador de �EM!. 
 
3.5. Escreva uma condição que defina a superfície esférica de diâmetro [N<]. 
 
3.6. Seja <� o volume da esfera inscrita no cubo representado na figura e <� o volume da 
esfera circunscrita a esse mesmo cubo. 
 Determine 
OP
OQ
	, apresentando o valor pretendido na forma de uma fração com o 
denominador racional. 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Na figura está representado o triângulo retângulo �@8?!. 
 
 
Sabe-se que: 
• @8:::: = 4 e @?:::: = 6; 
• um ponto E se desloca sobre o lado �@8!, nunca coincidindo com o ponto @, nem com o 
ponto 8; 
• um ponto L se desloca sobre o lado �?8!, acompanhando o movimento do ponto E, de 
forma que �LE! seja sempre perpendicular a �@8!; 
• o ponto H é a projeção ortogonal de L sobre o segmento �@?!. 
 
Seja � a função que ao comprimento 
 do segmento �@E! faz corresponder a área da figura 
sombreada. 
Resolva os itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos. 
 
4.1. Mostre que a função � é definida por ��
� =
J
�

� − 6
 + 12, 
 ∈ !0, 4�. 
 
4.2. Determine o mínimo da função �. 
 
4.3. Determine os valores de 
 para os quais a área da figura sombreada é inferior a 8. 
Apresente a sua resposta na forma de um intervalo ou de uma união de intervalos de 
números reais. 
 
 
 
– FIM – 
 
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COTAÇÕES 
 Grupo I ...................................................................................................... 50 
 Cada resposta certa ................................................................ 10 
 Cada resposta errada ................................................................ 0 
 Cada questão não respondida ou anulada ................................ 0 
 
 Grupo II ................................................................................................... 150 
 
 1. ............................................................................................ 15 
 
 2. ............................................................................................. 25 
 2.1. .......................................................................... 152.2. .......................................................................... 10 
 
 
3. ............................................................................................. 70 
3.1. .......................................................................... 10 
3.2. .......................................................................... 10 
3.3. .......................................................................... 10 
3.4. .......................................................................... 15 
3.5. .......................................................................... 10 
3.6. .......................................................................... 15 
 
4. ............................................................................................. 40 
4.1. .......................................................................... 15 
4.2. .......................................................................... 10 
4.3. .......................................................................... 15 
 
 
 TOTAL ..................................................................................................... 200 
TESTE N.º 5 - Soluções 
 Edições ASA | 2016 Expoente10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 
 
 
 
Grupo I 
 
1. Opção (B) 
 
2. Opção (D) 
 
3. Opção (D) 
 
4. Opção (C) 
 
5. Opção (A) 
 
Grupo II 
 
1. A Carolina. 
 
2. 
2.2. �� − 2�� + �� + 3�� ≤ 16			 ∧ 				� ≥ 0				 ∧ 				� ≥ 	√3� − 3 − 2√3 
 
3. 
 
3.2. ��, �, �� = ��� , �� , 8� + ��0, 1, 0�, � ∈ ℝ 
 
3.3. �� = 3 + ���� = 3 + �� �� = −8� , � ∈ ℝ 
 
3.4. − √�� ; √�� 
 
3.5. �� − ���� + �� − ���� + �� − � �� = ��! 
3.6. 
√�� 
 
4. 
4.2. 6 
 
4.3. "#$�√�� , #%�√�� &