Aula_9_TD0923

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 2:
ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Prof. Dr. John Kenedy de Araújo
AULA 9:
Objetivo:
 Empuxo
 Estabilidade
Plano de Aula
Princípio de Arquimedes
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Condição de flutuação de um corpo
• Condição para que haja flutuação: � !
• No caso da igualdade o corpo estará emequilíbrio em qualquer
posição. Para umcorpo totalmente submerso:
∀"#$%#� ∀&'()#"*&#
�+),-&#∀"#$%# �"#$%#∀&'()#"*&#
�+),-&# �"#$%#
logo
então
Flutuação - nomenclatura
Estabilidade
Suponha-se umcorpo em equilíbrio. Aplique-se uma força pequena nesse
corpo. É evidente que, se ele estava emequilíbrio, a aplicação dessa força
isolada fará com que se desloque emrelação à posição inicial. Retirando
essa força, aplicada durante umintervalo de tempo muito pequeno, podem
acontecer três coisas:
a) O corpo retorna à posição de equilíbrio inicial: equilíbrio estável;
b) O corpo, mesmo retirando a força, afasta-se cada vez mais da posição
inicial: equilíbrio instável;
c) O corpo permanece na nova posição, semretornar, mas semse afastar
mais da posição inicial: equilíbrio indiferente.
Equilíbrio vertical
1. Corpo totalmente submerso emequilíbrio
O volume deslocado será sempre o mesmo. Qualquer que
seja o deslocamento, sempre existirá o equilíbrio, de forma
que é umcaso de equilíbrio indiferente.
Equilíbrio vertical
2. Corpo parcialmente submerso emequilíbrio
Nesse caso, ao deslocar o corpo para baixo, o volume de carena
e o empuxo aumentam, ficando numa situação emque E>G. Ao
retirar a força que causou o deslocamento, o flutuador sobe até
que haja uma diminuição no volume de carena para que
novamente E=G. Se o corpo for deslocado para cima, o volume
de carena diminuirá, de forma que E<G. Ao retirar a força
aplicada, o corpo desce até que E=Gnovamente, e isso acontece
na posição inicial. Caso de equilíbrio estável.
Equilíbrio à rotação
1. Corpo totalmente submerso emequilíbrio
Equilíbrio à rotação
Observações
a) Num corpo totalmente submerso emequilíbrio, para que haja
estabilidade à rotação, o CGdeverá estar abaixo do CC;
b) Num corpo homogêneo emequilíbrio totalmente submerso num
fluido homogêneo, o CGdo corpo coincide como CG do volume
de carena; logo, coincide como centro de carena.
Equilíbrio à rotação
Influência da posição do metacentro, M
a) Se o ponto M estiver acima do CG, o conjugado será contrário à
rotação e o equilíbrio será estável;
b) Se o ponto M estiver abaixo do CG, o conjugado será a favor da
rotação e o equilíbrio será instável;
c) Se o ponto M estiver emCG, o equilíbrio será indiferente.
2. Corpo parcialmente submerso emequilíbrio
Equilíbrio à rotação
a) Nota-se que o volume de carena, alterou-se de 123 para 425,
fazendo comque CC se desloque para CC'. No entanto, E = E', já
que o volume, apesar de mudar de forma, é o mesmo.
2. Cálculo da distância de M até CG,r
Equilíbrio à rotação
b) O momento de E' emrelação ao ponto CCdeverá ser igual ao
momento dos elementos de volume de 425 emrelação ao mesmo
ponto. Entretanto, nota-se que 402 é simétrico ao 302, de forma
que o momento emrelação a CCserá nulo.
Equilíbrio à rotação
O momento do volume 305 é:
. � �/ � 0 1 · �3
Equilíbrio à rotação
mas �3 � ��∀� � 1. 456. ��
. � �. / � 0 1 · � 1. 456. �� � �456 0 17��
Equilíbrio à rotação
mas 0 17�� É o momento de inércia da área de seção de
flutuação emrelação ao eixo y, Iy.
Equilíbrio à rotação
�. / � �4568�
note-se que � � �∀ e 456 � /� 9 : ;<�6
Equilíbrio à rotação
�∀. / � � /� 9 : ;<�6 8�
� 9 : � 8�∀;<�6
Equilíbrio à rotação
� 9 : � 8�∀para θθθθ pequeno:
lembrando que: ! � �∀→ ∀� !�
Equilíbrio à rotação
� � �8�! � :
Exemplo 1
Um cilindro de ferro fundido, de 30 cm de diâmetro e 30 cmde
altura, é imerso emágua do mar (γγγγ = 10300 N/m3). Determine:
a) O empuxo que a água exerce no cilindro;
b) O empuxo se o cilindro fosse de madeira (γγγγ = 7500 N/m3);
c) No caso b, qual seria a altura submersa do cilindro?
Exemplo 1
a) O ferro estará totalmente submerso
� � �>)∀� �>) ?@
7
4 · ℎ
� � 10300 ?. 0,3
7
4 · 0,3
� � 218 F
Exemplo 1
b) A madeira ficará imersa na posição emque o peso seja igual ao
empuxo
� � ! � �G*&'-$*∀� �G*&'-$* ?@
7
4 · ℎ
� � 7500 ?. 0,3
7
4 · 0,3 � � 159 F
Exemplo 1
c) A madeira flutuando
� � �+),-&#∀� �+),-&# ?@
7
4 · ℎ(,J
ℎ(,J � 4��+),-&#?@7 �
4 · 159
10300 · ? · 0,37
ℎ(,J � 0,218 � � 21,8 ;�
Exemplo 2
Um objeto de madeira é mostrado na figura. O seu peso é 2,5 N e o
centro de gravidade está a 5 cmabaixo da superfície superior. O
equilíbrio é estável emrelação ao eixo y?
Exemplo 2
Para haver flutuação: � � ! → �+),-&#∀(,J
∀(,J� !�+),-&#então:
Exemplo 2
mas
�!
��
ℎK ℎ(,Jℎ7
:
∀(,J� 2,510000 � 2,5 · 10LM �N
∀(,J� 2 · �O$-âQR,)# · S
Exemplo 2
�!
��
ℎK ℎ(,Jℎ7
:
∀(,J� 2 · Tℎ(,J2 S � ℎ(,J7 S
ℎ(,J � ∀(,JS �
2,5 · 10LM
0,10 ℎ(,J � 0,05 �
Exemplo 2
�!
��
ℎK ℎ(,Jℎ7
:
ℎ7 � 23 ℎ(,J �
2
3 · 0,05
ℎ7 � 0,033 �
Cálculo de h2: altura do centro de carena
Exemplo 2
�!
��
ℎK ℎ(,Jℎ7
:
: � ℎK � ℎ7 � 0,05 � 0,033
: � 0,017 �
Cálculo de l:
Exemplo 2
�!
��
ℎK ℎ(,Jℎ7
:
8� � Tℎ
N
12
U ℎ
T
8� � 0,25 · 0,10
N
12 � 2,083 · 10LV �M
Exemplo 2
�!
��
ℎK ℎ(,Jℎ7
:
Cálculo der: � � �8�! � :
� � 10
M · 2,083 · 10LV
2,5 � 0,017
� � 0,0663 � � 6,63 ;� Estável, r > 0