AULA TESTES DE HIPÓTESES NÃO PARAMÉTRICOS 1

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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
TESTES DE 
HIPÓTESE 
PARAMÉTRICOS
(Para proporção e 
média populacional)
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
• O teste de hipótese é uma das metodologias
estatísticas mais aplicadas em análise de dados.
• O teste de hipótese tem o mesmo objetivo do
intervalo de confiança, ou seja, fazer inferência
sobre parâmetros desconhecidos da população a
partir de dados amostrais. Assim, pode-se utilizar
uma ou outra metodologia.
Introdução
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Introdução
HIPÓTESE: É uma afirmativa a respeito de um ou mais
parâmetros de uma distribuição de probabilidade ou
situação experimental.
Por exemplo, podemos formular a hipótese que o diâmetro
médio a altura do peito de árvores de uma floresta é igual a
25 cm ou que a proporção de pessoas acometidas por uma
doença em uma região é de 0,29.
TESTE: É uma prova (método ou averiguação) de uma
afirmação (hipótese).
TESTE DE HIPÓTESE (ESTATÍSTICO): É um método
para verificar, com base em dados amostrais, a veracidade
de alguma hipótese sobre o(s) parâmetro(s).
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passos para realizar um 
Teste de Hipótese
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 1 : Definição da hipótese
Hipótese nula (Ho): É um valor suposto para o parâmetro. Em
geral é expressa como sendo: parâmetro = valor ( ). Será
aceita ou rejeitada em função da análise estatística.
Hipótese alternativa ou experimental (H1): É uma hipótese
complementar de Ho que contraria a hipótese nula. Essa
hipótese somente será aceita se a hipótese nula (Ho) for
rejeitada. Entretanto, não pode-se afirmar que ela é
verdadeira quando a hipótese nula é rejeitada.
A hipótese alternativa pode ser de três tipos, dando origem a
três tipos de testes
25
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
TIPOS DE HIPÓTESES ALTERNATIVAS
Dependendo do interesse do pesquisador, a hipótese
alternativa (H1) para o teste de hipótese pode ser do tipo
unilateral (< ou >) ou bilateral (≠)
Teste unilateral
Teste Unilateral
Teste bilateral
cmH
cmH
25 :
25 :
1
0




cmH
cmH
25 :
25 :
1
0




cmH
cmH
25 :
25 :
1
0




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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 2: Calcular a estatística do teste
A estatística de teste é um valor calculado a partir da
amostra. Ela será utilizada para tomar uma decisão sobre
Ho.
A estatística do teste depende da distribuição amostral
do estimador em análise. Por exemplo, foi visto
anteriormente que no caso da média amostral com variância
conhecida a distribuição amostral é a normal padrão.
Assim, no teste de hipótese para a média com
variância conhecida, a estatística do teste também segue a
distribuição normal padronizada Z, ou seja, a estatística de
teste é o valor (quantil) obtido por:
)n(
)X(
Zcal



Estatística 
do teste
Erro padrão
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 3: Região Crítica e valor crítico
A região crítica (ou área de rejeição) é a região onde Ho é
rejeitada. A área de rejeição é igual ao Nível de Significância
() que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é
verdadeira.
Por exemplo, se utilizarmos o Nível de Significância de 5%, a
probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a
5%, consequentemente, o Nível de Confiança (1-) é de 95%.
Com base no Nível de Significância (ou confiança) pode-se
determinar o valor crítico (quantil tabelado em função de 
usando a distribuição amostral da estatística de teste)
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Unilateral à direita:
Ho:  = 25
H1::  > 25
Unilateral à esquerda: 
Ho: :  = 25
H1: :  < 25
Bilateral:
Ho: :  = 25
H1::   25
 
Exemplos de áreas de rejeição por tipo 
de teste
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 4. Regra de Decisão
Se o valor da estatística do teste cair na região (ou área) de
aceitação, aceita-se Ho. Ao aceitar a hipótese nula (Ho), dizemos
que não houve evidência amostral, estatisticamente significante,
no sentido de permitir a rejeição de Ho.
Caso contrário, se o valor da estatística do teste cair na região
crítica (área ou região de rejeição), não aceita-se Ho. Ao não
aceitar a hipótese nula (Ho) existe uma forte evidência estatística
de sua falsidade.
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 5: Conclusão
Aceitar Ho, implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada!
Não aceitar Ho implica que temos evidências estatísticas para
rejeitá-la com um risco (ou erro, ou nível de significância)
conhecido (). Neste caso, afirma-se que o teste de hipótese é
estatisticamente significante.
OBS: Ao conduzir um teste de hipótese pode-se cometer o erro
do tipo I (rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira) e o
erro do tipo II (aceitar a hipótese nula quando ela é falsa). Na
prática, em geral, fixa-se o erro do tipo I (0,01  α  0,10).
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
REVISÃO: Cinco passos para realizar 
um teste de hipótese
Passo 1 – Formular as hipóteses nula (Ho) e alternativa (H1). OBS:
Dependendo de H1, o teste poderá ser unilateral ou bilateral.
Passo 2 – Escolher e calcular a estatística de teste apropriada. OBS: Depende
da distribuição amostral dos estimadores envolvidos.
Passo 3 – Determinar a área de rejeição (valor crítico tabelado) em função do
nível de significância (ou confiança). OBS: Depende da distribuição amostral
dos estimadores envolvidos.
Passo 4 - Tomar a decisão sobre Ho (comparando o valor observado da
estatística de teste com o valor crítico tabelado).
Passo 5 – Conclusões.
OBS: Ao conduzir um teste de hipótese pode-se cometer o erro do tipo I (rejeitar
a hipótese nula quando ela é verdadeira) e o erro do tipo II (aceitar a hipótese
nula quando ela é falsa). Na prática, fixa-se o erro do tipo I (0,01  α 0,10).
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Testes de hipótese paramétricos e não 
paramétricos
Existem duas classes de testes de hipóteses: Paramétricos e não
paramétricos.
Para realizar testes de hipótese paramétricos é necessário que sejam
cumpridos, pelo menos, três pressupostos, ou requisitos. São eles: os
dados são independentes, quantitativos contínuos e originários de
populações com distribuição, aproximadamente, normal.
Os testes não paramétricos, quando comparados com os testes
paramétricos, requerem menos pressupostos do que os testes
paramétricos. Não há necessidade que as distribuições das populações
sejam normais e os dados podem ser qualitativos (ordinais e nominais).
Os testes não paramétricos são menos poderosos que os teste
paramétricos equivalentes.
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
TESTES DE 
HIPÓTESE 
PARAMÉTRICOS 
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
TESTE DE HIPÓTESE 
PARA A PROPORÇÃO 
POPULACIONAL 
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Suponha que X seja uma variável aleatória binomial (Sucesso ou fracasso)
com proporção populacional de sucesso p desconhecida, ou seja, X ~ B(n, p).
Retira-se uma amostra aleatória de tamanho n e calcula-se a estimativa
pontual da proporção amostral .
O interesse é testar:
Em que é um valor para a proporção populacional de sucessos atribuído
pelo pesquisador.
Sabe-se que para n grande e p tendendo a 0.5 (ou np > 5), a distribuição
amostral da proporção amostral é uma normal padrão, ou seja,
0001
00
:
:
ppouppouppH
ppH


p̂
0p
)1,0(~
)1(
ˆ
Z
n
pp
pp


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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Se H0 é verdadeira, então
Decisão: Rejeita-se H0 se
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
zcrít-zcrít
2

2

1 
aceitação
de H0
rejeição
de H0
rejeição
de H0
𝒛 > 𝒛𝜶/𝟐 para o teste bilateral.
𝒛 > 𝒛𝜶 parao teste unilateral.
Em que 𝒁𝜶 e 𝒁𝜶/𝟐 são valores tabelados (quantil) da distribuição
normal padrão, dado o nível de significância .
)1,0(~
)1(
ˆ
00
0 Z
n
pp
pp


E a estatística de teste é dada por:
n
pp
pp
z
)1(
ˆ
00
0



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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
EXEMPLO
Sabe-se que a maioria das pessoas (47%) pertence ao
grupo sanguíneo O (doador universal). Uma amostra
aleatória de 200 alunos da UFLA mostrou que 98 alunos
dessa amostra pertenciam ao grupo sanguíneo O.
Podemos concluir, com 90% de confiança, que a proporção
de alunos da UFLA no grupo sanguíneo O é diferente da
proporção mundial?
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 1 : Definição da Hipótese
Ho: p = 0,47
H1: p ≠ 0,47
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 1 : Definição da Hipótese
Ho: p = 0,47
H1: p ≠ 0,47
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
Sabe-se que n = 200, 𝑝 =
98
200
= 0,49 𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝0 = 0,47.
𝑍 =
 𝑝 − 𝑝0
𝑝0(1 − 𝑝0)
𝑛
=
0,49 − 0,47
(0,47 × 0,53)/200
= 0,57
Isso significa que a proporção amostral está a 0,57 devios-padrão da 
proporção populacional que é 0,47.
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
0,05 0,05
0
0,90
Passo 3: Determinar a área de rejeição e o respectivo valor
tabelado do quantil da distribuição normal
Assim, o valor crítico (z tabelado) é igual a 1,64 ou 1,64.
64,164,1
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 4: Tomada de decisão (comparar o valor observado e
valor tabelado)
- Como |z| < |Ztab| , ou seja, |0,57| < |-1,64|, aceita-se Ho.
ou
- Como valor observado da estatística de teste está contido
dentro da área de aceitação, aceita-se Ho.
Passo 5: Conclusão
-Podemos concluir, com 90% de confiança, que a proporção
de alunos da UFLA no grupo sanguíneo O não é diferente da
proporção mundial
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
TESTE DE HIPÓTESE 
PARA A MÉDIA 
POPULACIONAL COM 
VARIÂNCIA 
DESCONHECIDA 
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Suponha que X é uma variável aleatória com distribuição
normal com média  e variância desconhecidas e
queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo
valor especificado 0. O teste de hipótese pode ser formulado
como segue:
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n
observações e calcula-se a estatística de teste
em que é a média amostral e S é o desvio padrão amostral
2
 0001
0
)( :
 :




ououH
Ho
nS
X
t oo
/


X
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
A hipótese Ho é rejeitada se o valor observado da estatística 
de teste cair na área de rejeição, ou seja,
𝒕𝟎 > 𝒕𝜶
𝟐
para teste bilateral.
𝒕𝟎 > 𝒕𝜶 para teste unilateral.
Em que 𝑡𝛼 e 𝑡𝛼/2 são valores tabelados (quantil) da
distribuição t de Student, em função do nível de significância
 e n-1 graus de liberdade.
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
EXEMPLO
No inverno de uma cidade do hemisfério norte, a
temperatura nos 10 dias que antecedem o ano novo
apresenta, historicamente, média de 7 0C. Um
meteorologista acredita que a temperatura média pode
estar aumentado. Para verificar sua hipótese, ele mediu
as temperaturas (em 0C) nos 10 dias que antecederam o
último ano novo. Os resultados foram:
8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10
Os dados trazem evidência de aumento de temperatura 
com 95% de confiança? 
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
EXEMPLO
No inverno de uma cidade do hemisfério norte, a
temperatura nos 10 dias que antecedem o ano novo
apresenta, historicamente, média de 7 0C. Um
meteorologista acredita que a temperatura média pode
estar aumentado. Para verificar sua hipótese, ele mediu
as temperaturas (em 0C) nos 10 dias que antecederam o
último ano novo. Os resultados foram:
8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10
Os dados trazem evidência de aumento de temperatura 
com 95% de confiança? 
Passo 1 : Definição da Hipótese
Ho:  = 7 
H1:  > 7
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
Da amostra pode-se obter = 8 0C e o desvio-padrão da
amostra como sendo S = 2,11 0C .
Usando a estatística do teste t-Student.
Isso significa que a média da amostra retirada
aleatoriamente da produção está a 1,5 desvios-padrão da
média alegada em Ho que é 7.
X
5,1
667,0
1
1011,2
78





nS
X
t ocal

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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
O valor tabelado de t
depende do nível de
significância (5%) e dos
graus de liberdade, que
dependem do tamanho da
amostra: gl = n – 1 = 9.
t tabelado = 𝒕𝒕𝒂𝒃 = 1,833
Passo 3: Região Crítica
Te
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
Passo 4: Regra de Decisão
O valor calculado de t está dentro da região de
aceitação de Ho e, portanto, aceita-se a hipótese nula.
Passo 5: Conclusão
Como aceitamos Ho, a conclusão é que e não houve um
aumento estatisticamente significante, ao nível de 5%, na
temperatura.
Observe que apesar de 8 graus ser maior que 7 graus, a
diferença não foi estatisticamente significativa para
concluir que a temperatura aumentou no último ano.
Te
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te
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‹nº›TESTE DE HIPÓTESE
“É muito melhor perceber
uma deficiência em si
mesmo do que dezenas no
outro, pois a sua deficiência
você pode mudar.”
Dalai Lama