TEMA 6 Princípios de limite e continuidade BASES MATEMATICAS

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DEFINIÇÃO
Introdução ao estudo de limite e continuidade de funções de uma variável, cálculo de limites de
funções que apresentam indeterminações, cálculo de limites laterais e análise da continuidade
de funções.
PROPÓSITO
Compreender o conceito de limite, já que grande parte do desenvolvimento teórico do Cálculo é
feita utilizando essa noção.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar intuitivamente o conceito de limite de funções
MÓDULO 2
Calcular limites de funções algébricas com indeterminações
MÓDULO 3
Calcular limites laterais
MÓDULO 4
Reconhecer a continuidade de funções
INTRODUÇÃO
Você já se perguntou por que é importante estudar os princípios de limite e continuidade?
Neste vídeo, o professor nos apresenta a importância de conhecer os princípios de limite e
continuidade para os estudos de métodos quantitativos. Vamos assistir!
MÓDULO 1
 Identificar intuitivamente o conceito de limite de funções
LIMITE DE FUNÇÕES
Agora que já conhecemos a importância dos princípios de limite e continuidade, vamos
analisar, a partir do gráfico de uma função polinomial do primeiro grau, o comportamento da
função em determinado ponto do domínio a fim de compreender, intuitivamente, o conceito de
limite de funções.
 
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CONCEITO DE LIMITE
Vamos entender melhor o conceito de limite!
Neste vídeo, o professor exemplifica o conceito de limite. Vamos assistir!
VAMOS RELEMBRAR?
Se f(x) se aproxima de um número real L à medida que x se aproxima de um número real a de
ambos os lados, então L é o limite de f(x) quando x se aproxima de a. Esse comportamento é
representado por:
lim
x → a
f ( x ) = L
OBSERVAÇÃO:
O limite de uma função polinomial pode ser determinado por meio da substituição direta.
Agora, vamos conhecer alguns exemplos!
Exemplo 1
Determine lim
x → 2
(2x2 + 3x - 1)
Como devemos proceder? Tente resolver o problema e veja a solução a seguir.
Dica: Basta substituir x = 2 na função.
Solução
lim
x → 2
(2x2 + 3x - 1) = 2(2)2 + 3(2) - 1 = 2 . 4 + 6 - 1 = 8 + 6 - 1 = 13
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Exemplo 2
Determine o limite lim
x → - 1
3x2 + 2x - 3
2x - 1
Que tal praticar mais uma vez? Tente resolver o problema e veja a solução a seguir.
Dica: A substituição ocorre no numerador e no denominador da função.
Solução
lim
x → - 1
 
3x2 + 2x - 3
2x - 1 =
3( -1 )2 + 2( - 1) - 3 
2( - 1) - 1 =
3 . 1 - 2 . 1 - 3
- 2 - 1 = 
3 - 2 - 3
- 2 - 1 =
- 2
- 3 =
2
3
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Conheça mais alguns exemplos!
Exemplo 3
Determine o limite lim
x → - 1
 
x2 + x - 3
2x - 1
2 
Solução
lim
x → 1
 
x2 + x - 3
2x - 1 2 =
- 12 + 1 - 3 
2 . - 1 - 1 2 =
1 + 1 - 3
2 - 1 2 = 
- 1
- 1 2 = ( - 1 ) 2 = 1
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Exemplo 4
Determine o limite lim
x → - 2
 s
x3 + 3x2 - 3x + 3
x3 + 4x + 2
Solução
lim
x → - 2
 s
x3 + 3x2 - 3x + 3
x3 + 4x + 2 = s
( - 2 ) 3 + 3 ( - 2 ) 2 - 3 - 2 + 6
( - 2 ) 3 + 4 - 2 + 2 = s
- 8 + 3 . 4 + 6 + 6
4 - 8 + 2 = s
- 8 + 12 + 6 + 6
4 - 8 + 2 = s
16
- 2
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
( ) ( ) ( ) ( )
√
√ √ ( )
( )
√ √ √
1. (UFU) SABENDO-SE QUE LIMX→2 X+3MX-M=43, X≠M, ENTÃO
PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) m é maior do que 4.
B) m é menor do que -4.
C) m ∈[1;4].
D) m ∈[-4;1].
2.(UEL) O VALOR DO LIMITE LIMX→2X-3X+12 É:
A) -5/2
B) -3/2
C) -2/5
D) -1
3. SE Y = F(X) É UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL, DEFINIDA POR
 
F(X)=-X2+3X+9 SE X≠-35 SE X=-3
LIMX→-3F(X) É IGUAL A:
A) 5
B) 9
C) -3
D) -9
4. O LIMITE LIMX→22X2+3X+26-2X É IGUAL A:
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
5. O LIMITE LIMX→23X2-2X-2-X2+2X+43 É IGUAL A:
A) 2
B) 6/4
C) 27/8
D) 1/216
6. O LIMITE LIMX→122X2+5X+3X2-5X+1 É IGUAL A:
A) 2
B) -24/5
C) 0
D) -15/2
GABARITO
1. (UFU) Sabendo-se que limx→2 x+3mx-m=43, x≠m, então podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
limx→2 2+3m2-m=43
Vamos calcular primeiro o limite da função quando x se aproxima de 2.
limx→2 x+3mx-m= 2+3m2-m
 2+3m2-m= 43
3.(2+3m)=4.(2-m)
6+9m=8-4m
9m+4m=8-6
9m+4m=8-6⇒13m=2⇒m= 2/13∈[-4;1].
2.(UEL) O valor do limite limx→2x-3x+12 é:
A alternativa "C " está correta.
 
O limite da função será calculado através da substituição direta, isto é, substituindo o x pelo
valor para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 2.
limx→2 x-3x+12=2-32+12=-14+12=-152=-1.25=-25
3. Se y = f(x) é uma função real de variável real, definida por 
 
f(x)=-x2+3x+9 se x≠-35 se x=-3
limx→-3f(x) é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
No cálculo do limite, interessa analisar o comportamento da função quando x se aproxima de -3
e não o que ocorre com a função quando x = -3. Assim temos:
limx→-3f(x)
limx→-3-x2+3x+9=-(-3)2+3(-3)+9=-9-9+9=-9
4. O limite limx→22x2+3x+26-2x é igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
O limite da função dada será calculado através da substituição direta, isto é, substituindo o x
pelo valor para o qual ele está se aproximando, nesse caso 2.
limx→22x2+3x+26-2x=2(2)2+3(2)+26-2(2)=2.4+3(2)+26-2(2)=8+6+26-4=162=42=2
5. O limite limx→23x2-2x-2-x2+2x+43 é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
O limite da função será calculado por meio da substituição direta, isto é, substituindo o x pelo
valor para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 2.
limx→23x2-2x-2-x2+2x+43=3(2)2-2(2)-2-(2)2+2(2)+43=3.42-4-2-4+4+43=12-4-2-
4+4+43=643=323=278
6. O limite limx→122x2+5x+3x2-5x+1 é igual a:
A alternativa "B " está correta.
 
O limite da função será calculado por meio da substituição direta, isto é, substituindo o x pelo
valor para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 1/2.
limx→122x2+5x+3x2-5x+1=2(12)2+5(12)+3(12)2-
5(12)+1=2.14+5(12)+3(12)-5(12)+1=12+52+314-52+1=122-54=6-54=-6.45=-245
MÓDULO 2
 Calcular limites de funções algébricas com indeterminações
LIMITE DE FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM
INDETERMINAÇÕES
Sabemos que o limite de funções pode ser calculado por meio da substituição direta.
Entretanto, há funções cujo limite nem sempre pode ser encontrado dessa forma.
 
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FUNÇÕES ALGÉBRICAS COM
INDETERMINAÇÕES
Vamos conhecer um pouco mais sobre funções algébricas com indeterminações!
Neste vídeo, o professor apresenta um exemplo de funções algébricas com indeterminações.
Vamos assistir!
VAMOS RELEMBRAR?
No cálculo de limites de funções com indeterminação do tipo 
0
0 , podemos recorrer aos casos
de fatoração de expressões algébricas com a finalidade de cancelar a indeterminação. Uma
vez que ela é cancelada, podemos determinar o limite da função por meio da substituição
direta.
OBSERVAÇÃO:
Antes de desenvolvermos a parte algébrica (ou usar os casos de fatoração), devemos verificar
se o cálculo do limite gera uma indeterminação do tipo 
0
0 .
Agora, vamos conhecer alguns exemplos!
Exemplo 1
Determine o limite da função lim
x → 1
3x - 3
x2 - 1
.
Solução
lim
x → 1
3x - 3
x2 - 1 =
3 ( 1 ) - 3
( 1 ) 2 - 1 =
3 - 3
1 - 1 =
0
0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dica: Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = 1.
Agora basta calcular o limite lim
x → 1
3
x + 1 .
lim
x → 1
3
x + 1
=
3
( 1 + 1 )
=
3
2
Exemplo 2
Determine o limite da função lim
x → 4
x2 - 16
x2 - 4x
Solução
limx → 4
x2 - 16
x2 - 4x =
( 4 ) 2 - 16
( 4 ) 2 - 4(4) =
16 - 16
16 - 16 =
0
0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora basta calcular o limite lim
x → 4
( x + 4 )
x .
lim
x → 4
( x + 4 )
x =
4 + 4
4 =
8
4 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo 3
Determine o limite da função lim
x → 1
x3 - 1
x - 1
.
Solução
lim
x → 1
x3 - 1
x - 1 =
( 1 ) 3 - 1
( 1 ) - 1 =
1 - 1
1 - 1=
0
0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fatoração da expressão x3 - 1
a3 - b3 = a - b a2 + ab + b2
x3 - 13 = x - 1 x2 + x . 1 + 12 = x - 1 x2 + x + 1
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Agora basta calcular o limite lim
x → 1
x2 + x + 1
lim
x → 1
x2 + x + 1 = ( 1 ) 2 + 1 + 1 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo 4
Determine o limite da função lim
x → - 5
x2 + 3x - 10
x + 5 .
Solução
lim
x → - 5
x2 + 3x - 10
x + 5 =
( - 5 ) 2 + 3( - 5) - 10
- 5 + 5 =
0
0
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
OBSERVAÇÃO:
Fatoração do trinômio: ax2 + bx + c, com a ≠ 0.
ax2 + bx + c = a x - x1 x - x2 , onde x1 e x2 são as raízes reais da equação ax2 + bx + c = 0.
Fatoração da expressão x2 + 3x - 10.
Fazendo x2 + 3x - 10 = 0, temos uma equação do 2o grau com raízes x1 = 2 e x2 = - 5.
x2 + 3x - 10 = x - 2 x - - 5 = x - 2 x + 5
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Agora basta calcular o limite lim
x → - 5
( x - 2 )
lim
x → - 5
( x - 2 ) = - 5 - 2 = - 7
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (PUC-SP) O LIMITE LIMX→2X2-4X+4X-2:
A) não existe.
B) não é nenhum número real.
C) vale 0.
( ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
D) vale 2.
2. O LIMITE LIMX→-28+X34-X2 É IGUAL A:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
3. SE F(X) É UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL DEFINIDA POR
F(X)=3X2-3X+2X-1 SE X≠1 SE X=1, ENTÃO PODEMOS AFIRMAR
QUE LIMX→1F(X) É IGUAL A:
A) 0
B) 1
C) -1
D) 3
4. O LIMITE LIMX→324X2-92X-3 É IGUAL A:
A) 0
B) 2
C) 6
D) -2
5. O LIMITE LIMX→AX4-A4X-A É IGUAL A:
A) 0
B) a3
C) 2a3
D) 4a3
6. O LIMITE LIMH→03+H2-9H É IGUAL A:
A) 0
B) -3
C) 3
D) 6
GABARITO
1. (PUC-SP) O limite limx→2x2-4x+4x-2:
A alternativa "C " está correta.
 
limx→2x2-4x+4x-2=00
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = 2.
Fatoração da expressão x2-4x+4=(x-2)(x-2).
limx→2x2-4x+4x-2=x-2x-2x-2=x-2=2-2=0
2. O limite limx→-28+x34-x2 é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
limx→-28+x34-x2=00
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = -2.
Fatoração da expressão 8+x3.
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
8+x3=23+x3=(2+x)(22-2x+x2)=(2+x)(4-2x+x2)
limx→-28+x34-x2=(2+x)(4-2x+x2)(2-x)(2+x)
=(4-2x+x2)(2-x)=4-2(-2)+(-2)22-(-2)=4+4+42+2=124=3
3. Se f(x) é uma função real de variável real definida por f(x)=3x2-3x+2x-
1 se x≠1 se x=1, então podemos afirmar que limx→1f(x) é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
No cálculo do limite de f(x), interessa analisar o comportamento da função quando x se
aproxima de 1 e não o que ocorre com a função quando x = 1:
limx→1x2-3x+2x-1=00
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = 1.
Fatoração da expressão x2-3x+2=(x-1)(x-2).
limx→1x2-3x+2x-1=x-1x-2x-1=x-2=1-2=-1
4. O limite limx→324x2-92x-3 é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
limx→324x2-92x-3=00
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = 3/2.
limx→324x2-92x-3=(2x-3)(2x+3)2x-3=2x+3=2(32)+3=3+3=6
5. O limite limx→ax4-a4x-a é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
limx→ax4-a4x-a=00
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para x = a.
limx→ax4-a4x-a=(x2-a2)(x2+a2)x-a=(x-a)(x+a)(x2+a2)x-a=(a+a)(a2+a2)=2a.2a2=4a3
6. O limite limh→03+h2-9h é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
limh→03+h2-9h=00
Note que tanto o numerador como o denominador se anulam para h = 0.
Observação:
(3+h)2=(3)2+2.3.h+(h)2=9+6h+h2
limh→03+h2-9h=9+6h+h2-9h=6h+h2h=6+h=6+0=6
MÓDULO 3
 Calcular limites laterais
LIMITES LATERAIS
Agora identificaremos o conceito de limites laterais e como calculá-los em uma função. Além
disso, vamos analisar a existência do limite a partir dos resultados dos limites laterais. 
Considere a função f(x) = x + 2.
Verificamos, no módulo 1, o limite dessa função quando x→3 (x se aproxima de 3).
Analisamos o comportamento da função quando x se aproxima de 3 pela direita com
valores maiores que 3, e pela esquerda com valores menores que 3.
Nas duas situações, vimos que os valores de f(x) se aproximam de 5.
Concluímos que o limite da função existe, pois os valores encontrados à direita e à
esquerda de 3 são iguais a 5.
lim
x → 3
(x + 2) = 3 + 2 = 5
A partir desse comportamento, definimos limites laterais.
Limite lateral à esquerda 
O limite de uma função f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda, é L e escrevemos:
lim
x → a -
f ( x ) = L
Usamos x → a - para indicar que os valores de x são menores que a.
Limite lateral à direita 
O limite de uma função f(x), quando x se aproxima de a pela direita, é L e escrevemos:
lim
x → a+
f ( x ) = L
Usamos x → a+ para indicar que os valores de x são menores que a.
Por exemplo, com relação ao limite lim
x → 3
x + 2 = 5, temos:
• O limite da f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5 e indicamos por:
lim
x → 3n
+ ( x + 2 ) = 3 + 2 = 5
O limite da f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5 e indicamos por:
lim
x → 3n
- ( x + 2 ) = 3 + 2 = 5
OBSERVAÇÕES:
(i) Sendo x→a, o limite de uma função existe quando os limites laterais são iguais.
(ii) Sendo x→a, o limite da função não existe quando os limites laterais são diferentes.
LIMITES LATERAIS - EXEMPLO 1
Vamos conhecer um exemplo de limites laterais!
( )
Neste vídeo, o professor soluciona um problema com limites laterais. Vamos assistir!
Agora, vamos conhecer outros exemplos!
Exemplo 2
Determine, caso exista, o limite lim
x → 2
f ( x ) .
f ( x ) =
3x + 1 se x > 2
- 2x + 4 se x ≤ 2
Solução
Vamos verificar o valor da f(x) próximo de 2, e não em x = 2.
Para x < 2 , f(x) = -2x + 4, temos:
lim
x → 2 -
f ( x ) = lim
x → 2 -
( - 2x + 4 ) = - 2 ( 2 ) + 4 = 0
{
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Para x > 2, f(x) = 3x + 1, temos:
lim
x → 2+
f ( x ) = lim
x → 2+
(3x + 1) = 3(2) + 1 = 7
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Veja que os limites laterais existem, mas são diferentes. Logo, o limite lim
x → 2
f ( x ) não
existe.
Exemplo 3
Determine, caso exista, o limite de f(x) quando x tende para 2.
f(x) =
x - 2 se x < 0
x2 + 1 se 0 ≤ x ≤ 2
x + 4 se x > 2
Solução
Vamos verificar o valor da f(x) próximo de 2.
Para x > 2 , f(x) = x + 4, temos:
lim
x → 2+
f ( x ) = lim
x → 2+
( x + 4 ) = 2 + 4 = 6
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Para x < 2, f(x) = x2 + 1, temos:
lim
x → 2 -
f ( x ) = lim
x → 2 -
x2 + 1 = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Note que os limites laterais são diferentes. O limite da função não existe no ponto 2.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DADA A F(X)={X2-3X+2 SE X≤38-2X SE X>3, MARQUE A
ALTERNATIVA QUE INDICA O LIMITE LIMX→3FX.
{
( )
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
2. SEJA F(X)={X-1 SE X≤23X-7 SE X>2, MARQUE A ALTERNATIVA
QUE INDICA O LIMITE LIMX→2+FX.
A) 0
B) 1
C) 2
D) -1
3. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=5X-3 SE X≤-24X+K SE X>-2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
 
O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE EXISTA LIMX→-2FX É IGUAL A:
A) 0
B) 6
C) -5
D) -13
4. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=1-COSX SE X≤0X2+4 SE X>0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
 
O LIMITE LIMX→0-FX É IGUAL A:
A) 0
B) 2
C) 6
D) -2
5. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=1+X3 SE X<-11-X22 SE -1≤X≤1X-13 SE X>-1
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
 
O LIMITE LIMX→-1-F(X) É IGUAL A:
A) 0
B) 1
C) -1
D) 2
6. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=2+AX-X2 SE X≥2X2-4X-2 SE X<2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
 
O VALOR DA CONSTANTE A PARA QUE EXISTA LIMX→2F(X) É:
A) a = 0
B) a = 1
C) a = 3
D) a = 4
GABARITO
1. Dada a f(x)={x2-3x+2 se x≤38-2x se x>3, marque a alternativa que indica o
limite limx→3fx.
A alternativa "C " está correta.
 
Verificando os limites laterais da função dada:
Para x > 3 , f(x) = 8 - 2x, temos:
limx→3f(x)=limx→3(8-2x)=8-2(3)=2
Para x < 3, f(x) = x2 - 3x + 2, temos:
limx→3-f(x)=limx→3-x2-3x+2=32-3(3)+2=2
Como os limites laterais são iguais, o limite da função existe.
limx→3-f(x)=2
2. Seja f(x)={x-1 se x≤23x-7 se x>2, marque a alternativa que indica o limite
limx→2+fx.
A alternativa "D " está correta.
 
Verificando o limite lateral à direta:
Para x > 2, consideramos a função f(x) = 3x - 7.
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor
para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 2.
limx→2+fx=limx→2+3x-7=32-7=-1
3. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=5x-3 se x≤-24x+k se x>-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
O valor da constante k para que exista limx→-2fx é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
Verificando os limites laterais:
Para x > -2, f(x) = 4x + k, temos:
limx→-2+f(x)=limx→-2+(4x+k)=4(-2)+k=-8+k
Para x < -2, f(x) = 5x - 3, temos:
limx→-2-f(x)=limx→-2- (5x-3)=5(-2)-3=-10-3=-13
A função existe quando os limites laterais existem e são iguais, então basta igualar os
resultados para encontrar o valor de k.
-8 + k = -13 => k = -13 + 8 => k = -5
4. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=1-cosx se x≤0x2+4 se x>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
O limite limx→0-fx é igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
Verificando o limite lateral à esquerda.
Para x < 0, consideramos a função f(x) = 1-cosx.
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor
para o qual ele está se aproximando; nesse caso, 0.
limx→0-f(x)=limx→0-(1-cosx)=1-cos0=1-1=0
5. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=1+x3 se x<-11-x22 se -1≤x≤1x-13 se x>-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
O limite limx→-1-f(x) é igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
Verificando o limite lateral à esquerda.
Para x < -1, consideramos a função f(x)=(1+x)3. Temos:
O limite da função será calculado pela substituição direta, isto é, substituindo o x pelo valor
para o qual ele está se aproximando; nesse caso, -1.
limx→-1-f(x)=limx→-1-1+x3=1+(-1)3=1-13=0
6. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=2+ax-x2 se x≥2x2-4x-2 se x<2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
O valor da constante a para que exista limx→2f(x) é:
A alternativa "C " está correta.
 
Calculando os limites laterais:
Para x > 2, f(x) = 2 + ax -x2, temos:
limx→2+fx=limx→2+2+ax-x2=2+a2-22=2+2a-4=2a-2
Para x < 2, f(x)=x2-4x-2 temos:
limx→2-f(x)=limx→2-x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2=2+2=4
A função existe quando os limites laterais existem e são iguais. Vamos igualar os resultados
para encontrarmos o valor de k.
2a - 2 = 4 => 2a = 6 => a = 3
MÓDULO 4
 Reconhecer a continuidade de funções
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Quando falamos que uma função f(x) é contínua num determinado ponto do domínio, por
exemplo x = a, queremos dizer que o gráfico dessa função não apresenta quebras, ou buracos.
Ou seja, não ocorre nenhuma interrupção no gráfico da função f(x) no ponto a.
Uma função f(x) é contínua num determinado ponto, x = a, do domínio se as seguintes
condições são satisfeitas:
i) A função é definida no ponto a, ou seja, f(a) existe;
ii) O limite lim
x → a
f(x) existe;
iii) lim
x → a
f(x) = f(a).
Uma função não é contínua (ou descontínua) no ponto x = a quando não existe f(a), se
não existe lim
x → a
 f(x), ou se lim
x → a
 f(x) ≠ f(a).
OBSERVAÇÃO:
As funções elementares são funções contínuas.
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES - EXEMPLO 1
Vamos entender um pouco mais sobre a continuidade de funções!
Neste vídeo, o professor soluciona um problema com continuidade de funções. Vamos assistir!
Conheça mais alguns exemplos!
Exemplo 2
Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 2.
f ( x ) =
3x + 1 se x > 2
- 2x + 4 se x ≤ 2
Solução
Verificar se a função f é definida no ponto x = 2.
f ( x ) = - 2x + 4 
f ( 2 ) = - 2 ( 2 ) + 4
f ( 2 ) = 0
Verificar se o limite lim
x → 2
f ( x ) existe.
Cálculo dos limites laterais.
Para x < 2 , f(x) = -2x + 4, temos:
lim
x → 2+
f ( x ) = lim
x → 2+
f ( - 2x + 4 ) = - 2(2) + 4 = 0
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Para x > 2, f(x) = 3x + 1, temos:
lim
x → 2 -
f ( x ) = lim
x → 2 -
f ( 3x + 1 ) = 3(2) + 1 = 7
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Veja que os limites laterais são diferentes. Logo, o limite lim
x → 2
f ( x ) não existe e a função
não é contínua em x = 2.
Exemplo 3
{
Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 1.
f(x) =
2x2 - 3x + 2 se x < 1
2 se x = 1
2 - x2 se x > 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução
Verificar se a função f é definida no ponto x = 1.
f(1) = 2
Verificar se o limite lim
x → 1
f ( x ) existe.
Cálculo dos limites laterais.
Para x < 1, f(x) = 2x2-3x+2, temos:
lim
x → 1 -
f ( x ) = lim
x → 1 -
= (2x2 - 3x + 2) = 2(1)2 - 3(1) + 2 = 1
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Para x > 1, f(x) = 2-x2, temos:
lim
x → 1+
f ( x ) = lim
x → 1+
= (2 - x2) = 2 - (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e são iguais a 1, concluímos que o limite da função existe.
lim
x → 1
f ( x ) = 1
Veja que lim
x → 1
f ( x ) ≠ f ( 1 ) . Logo, a função não é contínua em x = 1.
Exemplo 4
Analise se a função f(x) é contínua no ponto x = 1.
f(x) =
x2 - 1
x - 1 se x ≠ 1
1 se x = 1
Solução
Verificar se a função f é definida no ponto x = 1.
f(1) = 1
Verificar se o limite lim
x → 1
f ( x ) existe.
{
{
lim
x → 1
f ( x ) = lim
x → 1
x2 - 1
x - 1
=
(x - 1)(x + 1)
x - 1
= x + 1 = 1 + 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
lim
x → 1
f ( x ) = 2
Veja que lim
x → 1
f ( x ) ≠ f ( 1 ) . Logo, a função não é descontínua em x = 1.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (PUC-SP) SOBRE A FUNÇÃO
F(X)=1X-3 SE X≤3 SE X>3
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
, PODE-SE AFIRMAR QUE:
A) É definida e contínua para todo x real.
B) É definida e contínua somente para x > 3.
C) É definida para todo x real e descontínua somente para x = 3.
D) É definida e contínua somente para x ≤ 3.
2. (UF. UBERLÂNCIA-MG) A FUNÇÃO F(X)=X2-1X3-1 NÃO ESTÁ DEFINIDA
PARA X = 1. PARA QUE A FUNÇÃO F(X) SEJA CONTÍNUA NO PONTO X =
1, DEVEMOS COMPLETÁ-LA COM F(1) IGUAL A:
A) 0
B) 1/3
C) -2
D) 2/3
3. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=X2-5X+6X-2K SE X≠2 SE X=2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
 
O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE A FUNÇÃO SEJA CONTÍNUA EM
X = 2 É IGUAL A:
A) k = 0
B) k = 1
C) k = 2
D) k = -1
4. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=XEX2KX2 SE X≥1 SE X<1 
 
O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE A FUNÇÃO SEJA CONTÍNUA EM
X = 1 É IGUAL A:
A) 0
B) 1
C) e
D) -e
5. (UF-PA) AS ABSCISSAS DOS PONTOS DE DESCONTINUIDADE DA
FUNÇÃO Y=X-3X2-4X+3 FORMAM O CONJUNTO:
A) {1}
B) {3}
C) {1,3}
D) {0,1,3}
6. SEJA F(X) UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR 
 
F(X)=X2-K2KX+20 SE X<4 SE X≥4
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
 
 
O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE A FUNÇÃO SEJA CONTÍNUA EM
X = 4 É IGUAL A:
A) k = 0
B) k = 1
C) k = 2
D) k = -2
GABARITO1. (PUC-SP) Sobre a função
f(x)=1x-3 se x≤3 se x>3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, pode-se afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
A função é definida em x = 3, pois f(3) = 1.
Verificando os limites laterais da função dada:
Para x > 3, f(x)=x-3, temos:
limx→3+fx=limx→3+x-3=3-3=0
Para x < 3, f(x) = 1, temos:
limx→3-fx=limx→3-1=1
Como os limites laterais são diferentes, o limite da função não existe.
A função é descontínua em x = 3.
2. (UF. Uberlância-MG) A função f(x)=x2-1x3-1 não está definida para x = 1. Para que a
função f(x) seja contínua no ponto x = 1, devemos completá-la com f(1) igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Para f(x) ser contínua em x = 1 temos que fazer
limx→1fx=f1
fx=x2-1x3-1=(x-1)(x+1)(x-1)(x2+x+1)=x+1x2+x+1
limx→1=x+1x2+x+1=1+112+1+1=23
f(1)=23
3. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=x2-5x+6x-2k se x≠2 se x=2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
O valor da constante k para que a função seja contínua em x = 2 é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Para f(x) ser contínua em x = 2 temos que fazer
limx→2fx=f2
f(x)=x2-5x+6x-2=(x-2)(x-3)x-2=x-3
limx→2fx=limx→2x-3=2-3=-1
f(2)=a 
limx→2fx=f2⇒a=-1
4. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=xex2kx2 se x≥1 se x<1 
 
O valor da constante k para que a função seja contínua em x = 1 é igual a:
A alternativa "C " está correta.
 
Para f(x) ser contínua em x = 1 temos que fazer
limx→1fx=f1
Cálculo dos limites laterais:
Para x > 1, fx=xex2, temos:
limx→1+fx=limx→1+xex2=1.e12=e
Para x < 1, fx=kx2, temos:
limx→1-fx=limx→1-kx2=k12=k
limx→1-fx=limx→1+f(x)⇒k=e
5. (UF-PA) As abscissas dos pontos de descontinuidade da função y=x-3x2-4x+3 formam
o conjunto:
A alternativa "C " está correta.
 
Fatorando a função, temos:
f(x)=x-3x2-4x+3=x-3(x-1)(x-3)
Logo, as abscissas dos pontos de descontinuidade formam o conjunto {1,3}.
6. Seja f(x) uma função definida por 
 
f(x)=x2-k2kx+20 se x<4 se x≥4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
O valor da constante k para que a função seja contínua em x = 4 é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Para f(x) ser contínua em x = 4 o limite limx→4fx=f4.
Calculando os limites laterais:
Para x > 4 , f(x) = kx + 20, temos:
limx→4-fx=limx→4+(kx+2)=kx+20=4k+20
Para x < 4, f(x) = x2 - k2 temos:
limx→4-fx=limx→4-42-k2=16-k2
Fazendo limx→4+fx=limx→4-fx, temos:
4k+20=16-k2
k2+4k+20-16=0
k2+4k+4=0
Resolvendo a equação do 2o grau encontramos k = -2.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos, inicialmente, o conceito intuitivo de limite, por meio da análise do
comportamento de uma função, e o cálculo de limites de funções algébricas, utilizando a
substituição direta. Em seguida, verificamos como calcular limites de funções envolvendo
indeterminações. Por fim, abordamos os limites laterais e analisamos a continuidade de
algumas funções.
 
Imagem: Shutterstock.com
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
FLEMMING, D. M. Cálculo A: Funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2006.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
HOFFMANN, L. D. Cálculo - um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 11.
ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
LARSON, R. Cálculo aplicado: curso rápido. Tradução: Noveritis do Brasil. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo: volume I. Tradução: Helena Maria Ávila de Castro. São Paulo: Cengage
Learning, 2016.
WAITS, B. K.; FOLEY, Q. D.; DEMANA, F. Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
EXPLORE+
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Assista ao vídeo À espera da meia-noite, de Laura Leticia Ramos Rifo, Patrícia Roman e
Antonio Carlos de Andrade Campello Junior.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
CONTEUDISTA
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