Lista02 (2)

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Lista 2 - Física Quântica - 2023.1
Professor Fernando Semião
1. Se um estado excitado de um átomo tem um tempo de vida de 10−7s, qual é a
indeterminação na energia dos fótons emitidos por este átomo em uma transição para o
estado fundamental? Resposta: ∆E = 6, 6× 10−9eV.
2. (a) Qual é a indeterminação na energia de um estado fundamental, ou seja, um estado
que não mais se altera? Use o princípio da incerteza para justificar sua resposta. (b) Um
certo átomo tem um estado excitado com largura de linha de 6, 58 × 10−10eV. Qual é o
tempo que este átomo leva para fazer a transição para o estado fundamental? Resposta
parcial: (a) O estado fundamental é caracterizado por ser estável, ou seja, ∆t → ∞. Da
relação de incerteza energia-tempo, ∆E ∼ ~/∆t, temos, portanto, que a largura de linha
(indeterminação da energia) é nula (∆E = 0) para o estado fundamental.
3. Um corpo de massa 1µg está se movendo com uma velocidade de 1cm/s. Se a in-
certeza na velocidade do corpo é de 1%, qual é a indeterminação de sua posição (em metros)?
4. A energia de um certo estado nuclear instável é conhecida com uma indeterminação de
1eV. Qual é o tempo de vida este estado?
5. O decaimento de átomos e núcleos pode se dar entre estados excitados e não apenas de
um estado excitado a um estado fundamental. (a) Um exemplo é o decaimento radioativo
do núcleo do 28Ti. O decaimento se dá de um estado excitado superior com tempo de
vida de 1, 4ps para um estado excitado inferior com tempo de vida de 3,0ps. Qual é a
indeterminação relativa ∆E/E da energia dos raios gama de 1,3 MeV que são emitidos
neste decaimento? (b) Outro exemplo é a linha Hα da série de Balmer do hidrogênio. Neste
caso, o tempo de vida dos dois estados excitados é praticamente o mesmo 10−8s. Qual é
a incerteza na energia e frequência dos fótons que formam a linha Hα? Dica: Para os
dois items, use o fato de que incertezas se somam (são grandezas aditivas). Respostas: a)
∆E/E = 5, 3× 10−10. b) ∆E = 1, 32× 10−7eV e ∆f = 32MHz.
6. Estime a incerteza na velocidade ∆v de um próton confinado numa região unidimensional
de comprimento 1fm, ou seja, de 10−15m. Este é essencialmente o tamanho médio de um
núcleo atômico. Você deve comparar ∆v com a velocidade da luz no vácuo c = 3× 108m/s.
Resposta: ∆v = 0, 2c, o que é, portanto, um número muito grande.
7. Mostre que Ψ(x, t) = Ae(kx−ωt) não satisfaz a equação de Schrödinger.
8. Mostre que Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) satisfaz a equação de Schrödinger. Baseado neste
exercício e no anterior, note a importância da unidade imaginária i.
9. Na presença de um certo potencial independente do tempo, uma partícula de massa
m possui uma função de onda dada por ψ(x) = Ae−x2/2L2 e uma energia total igual a
~2/2mL2, onde L é uma constante positiva com dimensão de comprimento. Encontre a
energia potencial V (x) e identifique que energia potencial é essa. Resposta: V (x) = kx2/2,
com k = ~2/mL4.
10. Um certo elétron livre (V = 0) é descrito pela função de onda espacial
ψ(x) = A sin(2, 5× 1010x),
na qual A é uma constante. a) Determine a energia deste elétron. b) Determine seu
momento linear. c) Determine seu comprimento de onda de de Broglie. Dica: Use
a equação de Schrödinger independente do tempo para resolver o item a) e os demais
itens seguem de definições conhecidas. Resposta: a) 23,8eV; b) 2, 6×10−24 kg.m/s; c) 0,25nm.
11. a) Normalize a função de onda do problema 8 na região −a ≤ x ≤ a, onde a é
uma constante positiva. b) Por que esta função não pode ser normalizada na região
compreendida entre −∞ a ∞?
12. a) Encontre a densidade de probabilidade de posição, corretamente normalizada, para
uma partícula de massa m cuja a função de onda é dada por Ψ(x, t) = Ae−
√
km
2~ x
2
e−i
t
2
√
k/m,
na qual A e k são constantes reais e positivas. Em outras palavras, determine a constante
multiplicativa A tal que a densidade de probabilidade de posição esteja corretamente nor-
malizada. Para resolver este item, pode ser útil saber que
∫∞
−∞ e
−bx2dx =
√
π
b
, se b > 0.
b) Com a densidade normalizada, determine a probabilidade de encontrar a partícula na
posição x = −1. É bom ressaltar que qualquer cálculo de probabilidade só faz sentido se
a distribuição de probabilidade estiver normalizada a um. c) Supondo que o cenário físico
que define este problema é a energia potencial V (x) = kx2/2, encontre a energia total da
partícula.
Resposta parcial: b)
4√
km√
π~
e−
√
km/~dx.
13. Um próton está em um poço quadrado infinito de largura L. Calcule:
a) A energia do estado fundamental se L = 0, 1nm, que é o tamanho típico de uma molécula.
b) A energia do estado fundamental se L = 10−15m, que é o tamanho típico de um núcleo.
c) Qual escala é mais energética, a nuclear ou a molecular? Resposta parcial: a) 0, 021eV.
14. Uma partícula está no estado fundamental de um poço quadrado infinito de largura L.
Encontre a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo ∆x = 0, 002L nos pontos:
a) x = L/2. b) x = 2L/3. c) x = L.
15. Repita o problema anterior considerando que a partícula se encontra no segundo estado
excitado, ou seja, n = 3. Respostas: a) 0, 004; b) 0; c) 0.
16. O comprimento de onda emitido por um laser de rubi é 694, 3nm. Assumindo que esta
radiação é emitida devido a transição de um elétron do primeiro estado excitado para o
estado fundamental em um poço infinito, determine a largura L deste poço.
17. Um elétron tem o número quântico n = 5 em um poço de potencial infinito de largura
L. a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0, 2L e x = 0, 4L
é exatamente igual a 1/5. b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron na região
∆x = 0, 01L em x = 0, 2L.
18. Uma partícula de massa igual a oito vezes a massa de um elétron realiza uma
transição do número quântico n = 2 para n = 1 em um poço de potencial infinito de largura
L = 1nm. Calcule o comprimento de onda da luz emitida nesta transição. Resposta: 8, 8µm.
19. Para o segundo estado excitado de uma partícula em uma caixa unidimensional
(n = 3), calcule: a) 〈x〉. b) 〈p〉. Respostas: a) 〈x〉 = L/2; b) 〈p〉 = 0
20. Dentro do poço infinito, a energia total é puramente cinética, ou seja, E = mv2/2 =
p2/2m. Disso, conclui-se que p2 = 2mE. Agora, tomando a média nesta expressão, ficamos
com 〈p2〉 = 2m〈E〉. Para o primeiro estado excitado de uma partícula em um poço infinito
unidimensional, calcule:
a) 〈p〉2.
b) 〈p2〉. Perceba que 〈p2〉 6= 〈p〉2.
c) 〈E〉.
d) Baseando-se nos itens anteriores confira que de fato 〈p2〉 = 2m〈E〉 é válido.
21. Consideraremos agora a superposição de funções de onda de diferentes energias no
problema da partícula no poço infinito. Em particular, considere a função de onda Ψ(x, t)
formada pela superposição do estado fundamental Ψ1(x, t) (de energia E1) e do primeiro
estado excitado Ψ2(x, t) (de energia E2):
Ψ(x, t) = aΨ1(x, t) + bΨ2(x, t),
onde a e b são números reais e constantes. Usando as funções de onda completas Ψ1(x, t) e
Ψ2(x, t) para a partícula em uma caixa, calcule a energia média para esta função de onda
Ψ(x, t). Resposta: 〈E〉 = a2E1 + b2E2.