gabarito P1 Lista PLE_2020

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UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Introdução à Química Quântica – Prof. Grazieli Simões
GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS - PLE_2020
1. Explique os motivos do surgimento da quântica.
No final do século XIX haviam fenômenos que não podiam ser explicados através da física clássica, como por exemplo: os espectros atômicos, modelo atômico, radiação do corpo negro, o efeito fotoelétrico. 
2. Calcule o comprimento de onda em nm correspondente aos valores de energia de ligação em eV nos seguintes metais: E=hc/λ
a) Lítio (2,90 eV);
b) Césio (2,14 eV);
c) Germânio (5,00 eV)
3. Qual o significado da relação de de Broglie?
Associa comprimento de onda que é uma propriedade exclusivamente de ondas e momento linear que é uma propriedade de partículas em uma única expressão.
4. Que importante característica surge na expressão da energia obtida por Bohr? 
A quantização da energia.
5. Calcule a energia e o raio para as três primeiras órbitas do átomo de hidrogênio. Calcule também a diferença de energia entre o estado de menor energia e os demais.
Considere e 
6. Determine se as seguintes funções são aceitáveis como função de onda, no intervalo indicado, justificando:
a) , [-, +] Não. Diverge.
b) Sim.
c) [0,] Sim.
7. Identifique quais das funções a seguir são autofunções do operador Nos casos apropriados, dê o autovalor correspondente.
a) 	Sim. ik 	b) Não 	c) Não	d) Não
8. Verifique se os seguintes operadores comutam para uma função f(x) qualquer:
a) 	b) 	 c) 
9. Calcule o momento para a função de onda é . -4
10. Prove que o operador é Hermitiano (linear), ou seja: (dica: consulte o Levine) A prova está no arquivo da Aula 5 (degenerescência) no google drive.
11. Considere o operador Hermitiniano associado com uma observável S. Duas autofunções ortonormais de são chamadas de ø1 e ø2. Essas autofunções têm autovalores iguais a 1 e 8 respectivamente:
 e 
Suponha o estado de um sistema descrito por tal que: 
 
Calcule o valor médio para o estado 
12. Substitua a função de onda dada pela equação de Schröedinger dependente do tempo (x,t) = (x)e−iEt/ℏ na expressão para o valor esperado da energia dx O que você pode dizer sobre o resultado encontrado? O valor médio é igual ao autovalor da energia porque esta função de onda é autofunção do operador energia no tempo. 
13. A função de onda abaixo descreve o comportamento de uma partícula em um poço de potencial de comprimento L. Normalize a função de onda abaixo: 
 feito na aula sobre partícula na caixa
a) Escreva o operador Hamiltoniano referente a esse sistema. 
b) Escreva as expressões para as funções de onda normalizadas e as energias do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Estado fundamental n=1; primeiro estado excitado n=2
c) Calcule as probabilidades de encontrar a partícula numa região infinitesimal centrada nos pontos x=0, x= L/2 e x = L, tanto no estado fundamental como no primeiro estado excitado.
Fazer módulo da função de onda ao quadrado para n=1 e n=2. Depois para cada um dos estados substituir x por 0, L/2 e L. Para n=1: 0, 2/L, 0. Para n=2: 0,0,0.
d) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na primeira metade da caixa. 50%
e) Calcule o valor médio de x (<x>) para os estados com n=1 e n=2. Feito na aula 5
f) Calcule o valor médio de p (<p>) para os estados com n=1 e n=2.
g) Mostre que as autofunções do operador obtido em a) são ortogonais entre si. Feito aula 5
14. O que diferencia o tratamento quântico da partícula livre para o caso da partícula na caixa unidimensional? As condições de contorno.
15. Esboce os gráficos de para n=1, n=2 e n=3 para a partícula na caixa. Que observações em relação aos valores de máximo e mínimo você pode fazer comparando esses gráficos? Feito na aula de partícula na caixa
16. Considere agora que as barreiras V(x) foram totalmente removidas para o caso da partícula na caixa. Temos então a situação hipotética de uma partícula livre.
a) Qual é o Hamiltoniano? Operador energia cinética
b) Que valores de energia são possíveis? A energia é quantizada? Qualquer valor é possível. Não.
17. Para o caso do oscilador harmônico, porque a energia do estado fundamental não pode ser zero? Contraria o PIH
a) Esboce o gráfico|𝚿(x)|2 em função de x para v=0. Discuta o que você observa nesse caso comparando com o modelo clássico. Paradoxalmente, a probabilidade de encontrar a partícula próximo da origem é máxima, enquanto que classicamente é mínima.
18. Explique porque os valores de podem ser negativos considerando a função de onda da partícula na superfície do anel. O sinal de – está associado ao sentido da rotação da partícula
19. Verifique se são ortogonais entre si. Sim
20. Faça uma interpretação vetorial dos valores de para Feito na aula de PSA
21. Considere a Equação de Schröedinger dependente do tempo:
 
a) Demonstre que esta equação pode ser escrita na forma: 
Tratamento para transformar ESDT em ESIT
b) Obtenha uma expressão para f(t). Feito em aula.
22. Defina átomos hidrogenóides e dê 3 exemplos. 
Todo sistema quântico de apenas 1 elétron. Ex: H, He+, Li+2
23. Por que para o caso do hidrogênio não podemos considerar o raio fixo como para a partícula na esfera? Porque existe um potencial de atração elétron-núcleo que está associado ao raio ou à distância do elétron em relação ao núcleo.
24. Procurando uma solução assintótica para a função radial, obtemos uma função similar a função de onda para a partícula livre. Qual o significado físico desde fato?
O elétron não está mais ligado ao núcleo. Temos um íon.
25. Defina orbital atômico. 
Função de onda de um elétron em um átomo hidrogenóide
26. Por que se atribui a simetria esférica para a superfície de contorno associada ao orbital 1s?
Porque não há dependência angular na função de onda 1s
27. Como você explica o “formato dos orbitais” comumente visto nos livros? São superfícies de contorno onde a probabilidade de encontrar o elétron a uma certa distância do núcleo em uma dada região do espaço é maior.
28. Calcule o raio mais provável onde se encontrará o elétron descrito pelo orbital 1s de um átomo hidrogenóide. Raio de Bohr
29. Defina spin e explique por que esse número quântico passou a ser considerado? É uma propriedade intrínseca dos elétrons e a necessidade de considerá-lo foi verificada experimentalmente.
30. Compare o modelo atômico de Bohr e as suas considerações sobre o átomo de hidrogênio com o modelo de Schröedinger. No modelo de Bohr, a quantização do momento é imposta. No modelo de Schröedinger ela surge naturalmente da solução da equação.
31. Verifique se a transição 1s22s2 1s2 2s12p1 é permitida. Use as regras de seleção para justificar sua resposta. 
32. Explique por que não é possível resolver a equação de Schroedinger de forma exata para o átomo de He. 
33. Quais métodos foram utilizados como aproximados para a solução no caso do Hélio? Resumidamente, explique o que cada método considera para a resolução do problema.
34. O método variacional leva em consideração o efeito de blindagem. Explique seu significado.
35. Defina o princípio de Pauli e o princípio da exclusão de Pauli.
36. Defina funções anti-simétricas.
37. Calcule E1 e a energia de uma partícula na caixa cujo potencial dentro da caixa é igual a -kx.
38. Verifique a validade do método variacional sabendo que uma partícula na caixa de comprimento L é descrita por uma função de onda aproximada igual a no seu estado fundamental.
39. Escreva a função de onda aproximada a partir do determinante de Slater para o átomo de Li.
40. Calcule os termos espectroscópicos e os estados da configuração d1. Enuncie as regras de Hund e a partir delas liste os estados em ordem crescente de energia. 
41. O que você entende pela aproximação de Born-Oppenheimer?
42. Explique como as curvas de energia potencial são construídas.
43. Esboce um diagrama de orbitais moleculares para o Li2 (inclua orbitais 1s e 2s). Escreva a configuração eletrônica para esta molécula. 
44. Faça o desenho da interação entre pz, px,y.Indique os orbitais moleculares sigma e pi, ligantes e anti-ligantes. 
45. Esboce o diagrama de orbitais moleculares para as moléculas de O2 e O2+, considerando apenas os orbitais p. Discuta a diferença no comprimento da ligação dessas duas espécies a partir dos diagramas. 
x
1