Atividade - Unidade III (Avaliativa) Carlos Eduardo - Altos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ – UFPI 
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E À DISTÂNCIA - CEAD 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE BACHARELADO EM 
SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
Carlos Eduardo Muniz de Sampaio 1 
 
 
Aluno(a): Carlos Eduardo Muniz de Sampaio 
Polo: Altos 
Disciplina: Lógica para Computação 
Professor: Dr. Antonio Helson Mineiro Soares 
 
Atividade III (Avaliativa) 
 
1. Determine o valor lógico de cada uma das fbfs a seguir com a interpretação de 
que o conjunto universo é o conjunto dos inteiros, p(x) significa que “x é ímpar”, q(x) 
que “x < 0” e g(x) que “x > 9”. 
 
a) (ᴟx)p(x) 
 
Significa “todos os números são impares”, o valor lógico dessa preposição é falso. 
 
b) (∀x)[q(x) → p(x)] 
 
Significa “para todos os números x, se x é menor que zero, então x é impar”. 
Verdade, já que não há nenhum número impar que seja par. Valor lógico dessa 
preposição é verdadeiro. 
 
c) (ᴟx)[q(x) ∧g(x)] 
 
Significa “todos os números são maiores que zero e menores que nove”. Como não 
há nenhum número que satisfaça essa condição, o valor lógico dessa preposição é 
falso. 
 
d) (∀x)[q(x) ∨g(x)] 
 
Significa “para todo número x, x é menor que zero ou maior que nove”. Verdade, já 
que todo número pode ser menor que zero e maior que nove. 
 
 
2. Qual o valor lógico de cada uma das fbfs a seguir com a interpretação em que o 
conjunto universo seja o conjunto dos inteiros? 
a) (∀x)(ᴟy)(x + y = x) 
 
Verdadeiro. 
Para todo número x, existe um número y, tal que x+y=y 
Para qualquer número x, basta escolher y=0 e teremos x+y=x 
 
b) (ᴟy)(∀x)(x + y = x) 
 
Valor lógico falso. 
Existe um número y, tal que, para todo número x, x+y=x 
 
 
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Carlos Eduardo Muniz de Sampaio 2 
 
 
c) (∀x)(ᴟy)(x + y = 0) 
 
Valor lógico verdadeiro. 
Para todo número x, existe um número y, tal que x+y=x 
Para qualquer número x, basta escolher y= -x e teremos x+y=x-x=0 
 
 
d) (ᴟy) (∀x) (x + y = 0) 
 
Valor lógico falso. 
Existe um número y, tal que para todo número x, x+y=0 
Preposição falsa. 
Exemplo se y=1 teremos x+y=x-1≠0 para qualquer x 
 
e) (∀x)(∀y)(x < y ∨y < x) 
 
Valor lógico verdade. 
Para todo número x e todo número y, x é menor que y ou y é menor que x 
Essa é uma definição de ordem total em um conjunto. 
 
f) (∀x)[x < 0 → (ᴟy)(y > 0 ∧x + y = 0)] 
 
Preposição verdadeira. 
Para todo número x, se x é menor que zero, então existe um número y maior que 
zero, tal que x+y=0 
 
g) (ᴟx)(ᴟy)( x² = y) 
 
Preposição verdadeira. 
Existe um número x e um número y, tal que x²=y 
 
h) (∀x)( x² > 0) 
 
Valor lógico verdadeiro 
Para todo número x, x² é maior é maior que zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Carlos Eduardo Muniz de Sampaio 3 
 
3. Decida se é possível chegar a alguma conclusão a partir das hipóteses dadas a 
seguir e, caso positivo, qual é esta conclusão., 
“Todas as flores são vermelhas ou roxas. Amores-perfeitos são flores. Amores-
perfeitos não são roxos”. 
 
Conclusão lógica amores-perfeitos são vermelhos. 
• Todas as flores são vermelhas ou roxas 
• Amores-perfeitos são flores 
• Amores-perfeitos não são roxos 
• Amores-perfeitos são vermelhos 
 
4. Justifique cada passo na sequência de demonstração a seguir, para a fbf (ᴟx)[p(x) 
→ q(x)] → [(x)p(x) → (ᴟx)q(x)]. 
 
1 (ᴟx)[p(x) → q(x)] premissa 
 
2 p(a) → q(a) premissa 
3 (∀x)p(x) premissa 
 
4 p(a) generalização universal. A premissa 3 afirma que p é verdadeiro para todos os 
valores de x. p(a) é verdade. 
 
5 q(a) modus ponens aplica a premissa 2 e 4. Se p é verdadeiro, q também é 
verdadeiro. 
 
6 (ᴟx)q(x) generalização existencial a partir da premissa 5, já que a variável não 
aparece em x. Existe um valor em x, tal que q(x) é verdadeiro. a=x conclui que 
(ᴟx)q(x) é verdade. 
 
 
5. Justifique cada passo na sequência de demonstração a seguir, para a fbf 
(ᴟx)p(x)∧(∀x)(p(x)→q(x))→(ᴟx)q(x) 
 
1 (ᴟx)p(x) premissa 
 
2 (∀x)(p(x) → q(x)) premissa 
 
3 p(a) escolha arbitrária de um elemento a, tal que p(a) seja verdadeiro devido a 
premissa 1. Existe ao menos um elemento x. P(x) é verdadeiro. 
 
4 p(a) → q(a) 
5 q(a) 
6 (ᴟx)q(x) 
 
 
 
 
 
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Carlos Eduardo Muniz de Sampaio 4 
 
 
6. Considere a seguinte fbf (∀x)[(ᴟy)p(x,y)∧(ᴟy)q(x,y)] → (∀x)(ᴟy)[p(x,y)∧q(x,y) 
 
a. Encontre uma interpretação que mostre que essa fbf não é válida. 
Fbf não é válida. 
Interpretação: 
• Domínio {1,2} 
• P(x,y) é verdadeiro se e somente se x é igual a y 
• Q(x,y) é verdadeiro se e somente se x é diferente de y 
Temos: 
• P(1,1) é verdade 
• Q(1,2) é verdade 
• Q(2,1) é verdade 
 
(∀x)[(ᴟy)p(x,y)∧(ᴟy)q(x,y)] é verdade, pois todo x existe pelo menos um y que faz 
p(x,y) e pelo menos um y que faz q(x,y) 
 
(∀x)(ᴟy)[p(x,y)∧q(x,y) é falso porque não existe nenhum y que satisfaz 
simultaneamente p(x,y) e q(x,y). Formula não válida de forma geral. 
 
b. Encontre o erro na seguinte sequência de demonstração para essa fbf : 
1 (∀x)[(ᴟy)p(x,y) ∧(ᴟy)q(x,y)] – hipótese 
2 (∀x)[p(x,a) ∧q(x,a)] -1, pe 
3 (∀x)(ᴟy)[p(x,y) ∧q(x,y)] -2, ge 
 
A sequência de demonstração é inválida, pois a inferência na linha 2 não é correta. 
Hipótese 1 – concluímos que para cada x, há ao menos um y que satisfaz p(x,y) e 
pelo menos um y que satisfaz q(x,y). 
Não podemos interferir que os y são os mesmos para cada x, não podemos concluir 
que existe um y que satisfaça simultaneamente p(x,y) e q(x,y) para cada x. 
• Na linha 2 a sequência não é válida. Já que é assumido que existe um único y 
para cada x que satisfaz simultaneamente p(x,y) para cada x. 
• A influencia na linha 3 não pode ser feita a partir da linha 2. 
 
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