GRA0992 - Resistencia dos materiais (Apostila 4)

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROJETO DE VIGAS EPROJETO DE VIGAS E
EIXOS, DEFLEXÃO EEIXOS, DEFLEXÃO E
FLAMBAGEM EMFLAMBAGEM EM
COLUNASCOLUNAS
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Prezado(a) aluno(a), esta unidade é uma conclusão dos principais tópicos de
Resistência dos Materiais e nela veremos tópicos que culminam em diversos
assuntos que você já tem conhecimento. Aqui, a aplicação no projeto de eixos
e vigas retoma diversos conceitos básicos para que o estudante possa,
futuramente, planejar, analisar e projetar elementos estruturais solicitados
por cargas diversas. Também veremos nesta unidade os conceitos de
de�exão e �ambagem, que são de suma importância na mecânica dos
sólidos. Com o conteúdo aqui abordado, você vai adquirir conhecimento o
su�ciente para tornar-se autônomo na resolução de problemas, além de
revisar tópicos de forma mais aplicada, e assim �xá-los.
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O projeto de vigas e eixos tem como objetivo fazer vigas que resistam tanto
ao cisalhamento quanto à �exão. Neste capítulo, vamos desenvolver métodos
usados no projeto de vigas prismáticas e determinar a forma de vigas sujeitas
à tensão, bem como o projeto de eixos sujeitos aos momentos �etores e
torçores.
Vigas Prismáticas
Primeiro, vamos contextualizar e fazer algumas considerações sobre  vigas. O
conceito de viga é bastante simples e compreende elementos estruturais que
precisam suportar cargas perpendiculares ao seu eixo longitudinal
(comprimento). Quando carregadas, existem a força interna de cisalhamento
e o momento �etor que variam ao longo do eixo da viga, sendo que a tensão
axial é negligenciada em projeto de vigas, uma vez que ela é muito mais baixa
que o cisalhamento e o momento �etor. Para o projeto de vigas, utilizamos os
conceitos de cisalhamento e �exão já conhecidos, apenas se a viga for
homogênea e estiver no regime elástico linear.
Projeto de Vigas eProjeto de Vigas e
EixosEixos
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A tensão de �exão e a tensão de cisalhamento não podem exceder a tensão
admissível que são especi�cadas para a viga. Assim, vamos determinar o
módulo de resistência à �exão da viga , dado por S :
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c (eq. 4.1)
Onde Mm á x é o momento �etor máximo, σadm é a tensão admissível da viga, I é
o momento de inércia da viga e c é a distância do eixo neutro até o ponto
mais distante da seção transversal.
Conhecendo Sreq, podemos determinar as dimensões da seção transversal da
viga.
Opta-se por vigas de seção simétrica, caso a tensão de �exão admissível seja
igual para tração e compressão. Caso contrário, opta-se por uma seção
transversal assimétrica, que irá resistir aos diferentes momentos.
Desde que a viga satisfaça a equação de Sreq, considera-se adequada para a
aplicação. Busca-se sempre obter vigas com a menor área transversal
possível, desde que não haja restrições de deformações.
Devemos, então, con�rmar a escolha da viga pela análise do cisalhamento:
τadm ≥
VQ
It (eq. 4.2)
Normalmente, esse passo não apresenta grandes problemas. Exceções
incluem vigas feitas de madeira, uma vez que esta tende a dividir seus grãos
devido ao cisalhamento. Caso a viga seja curta e suporte altas cargas
concentradas, a tensão de cisalhamento pode ser crucial na escolha da viga.
Escolhendo a seção da viga : as vigas produzidas geralmente saem de um
processo metalúrgico de laminação à quente. Vigas produzidas por esse
processo são padronizadas e tabuladas pelo Instituto Americano de
Construção em Aço (AISC).
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As vigas são tabeladas e divididas de acordo com a sua seção transversal.
Encontra-se comumente vigas de abas largas, as quais são descritas pela sua
altura e peso por unidade de comprimento. Por exemplo, W 460 x 68 vai ter
uma altura próxima a 460 mm e peso de 68 kgf/m. Veja na Figura 4.1 como
essa viga de abas largas é representada.
Além da altura e do peso por unidade de comprimento, a área da seção, o
momento de inércia e outras propriedades podem ser encontradas em
tabelas de vigas.
Há ainda as vigas de aço de seções compostas produzidas por métodos de
união, que juntam duas ou mais partes para formar uma viga única.
Normalmente, são unidas por meio de parafusos ou soldas.
As vigas de madeira são normalmente retangulares, devido ao processo de
fabricação, que é facilitado. Geralmente encontram-se as vigas do tipo caixão
e as vigas compostas de lâminas coladas (madeira laminada).
Procedimento de Análise
Na análise de vigas, duas ferramentas que serão muito utilizadas são os
diagramas de momento e de cisalhamento, a �m de encontrar os valores
Figura 4.1 - Exemplo de uma viga de abas largas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 402).
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máximos de cisalhamento e momento. Para vigas compostas, esses
diagramas servem para identi�car pontos acumuladores de tensão que
exigem reforços.
Caso a viga seja longa, encontramos o módulo de resistência à �exão
utilizando a fórmula da �exão pela equação 4.1 e, com a mesma,
computamos a seção transversal, uma vez que a equação nos diz que
Sreq = I /c. Se vigas de per�s laminados forem usadas, vários valores de S
podem ser selecionados, a partir de tabelas. Escolhe-se a viga com a menor
área da seção transversal, uma vez que isso implica no menor peso e em uma
maior economia.
Se estamos falando de uma viga curta, com altas cargas e, principalmente,
vigas feitas de madeira , analisa-se primeiro a resistência ao cisalhamento,
para depois checar os requerimentos quanto à tensão de �exão admissível.
Para isso, utiliza-se a equação 4.2, a �m de veri�car se a tensão admissível
não foi excedida.
Caso a viga tenha uma seção retangular maciça , a fórmula é alterada, como
vemos na equação 4.3:
τadm ≥ 1, 5(VmáxA) (eq. 4.3)
Já no caso de uma viga com seção de abas largas , podemos assumir que o
cisalhamento é constante na área da seção transversal da alma da viga, que é
determinada pelo produto da altura da viga pela espessura da alma. Temos,
portanto, um cisalhamento admissível dado pela equação 4.4:
τadm ≥
Vmáx
Aalma
 (eq. 4.4)
A adequação de elementos de �xação (como parafusos e pregos) depende da
tensão de cisalhamento que os elementos podem resistir. O espaçamento
entre esses elementos é determinado pelo �uxo de cisalhamento permitido,
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que é dado na equação 4.5, que deve ser calculada em pontos da seção onde
há elementos de �xação:
qadm =
VQ
I (eq. 4.5)
Exemplo 1:
Considere a viga feita de madeira laminada, conforme a Figura 4.2. Ela está
sujeita a uma carga de 12 kN/m. É necessário que ela possua uma razão
altura/largura de 1,5. Determine, com base nisso, a menor largura.
Considerando que para a viga, a tensão de �exão admissível é σadm = 9 MPa e
a tensão de cisalhamento admissível é τadm = 0, 6 MPa, sendo seu peso
desprezível.
Figura 4.2 - Viga de madeira sob carregamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 406).
1º passo : construir diagramas de forçacortante e momento �etor, conforme
vemos na Figura 4.3.
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Figura 4.3 - Diagramas de corpo livre, força cortante e momento �etor, de
cima para baixo
Fonte: Hibbeler (2010, p. 406).
2º passo : Calcular o módulo de resistência à �exão e a largura:
Sreq =
Mmáx
σadm
=
10, 67 × 106
9
= 1, 19 × 106mm3
Sreq =
I
c = 1, 19 × 10
6 =
1
12(a)(1, 5a)
3
(0, 75a)
a3 = 3, 16 × 106mm3
a = 147 mm
3º passo : Devemos lembrar que vigas de madeira precisam ser avaliadas em
relação ao seu cisalhamento, portanto, calculamos o cisalhamento para
seções retangulares, neste caso:
τadm ≥ 1, 5(VmáxA) = (1, 5) 20.000(147)(1, 5)(147) = 0, 93 > 0, 6 MPa
Podemos ver que com a largura projetada para �exão, ocorre falha por
cisalhamento. Neste caso, devemos reprojetar a viga, de acordo com o critério
de tensão de cisalhamento admissível.
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τadm = 1, 5(VmáxA)
0, 6 = 1, 5
20.000
a(1, 5a)
a = 183 mm
Deste modo, a largura mínima para essa viga retangular de madeira laminada
é de 183 mm.
O exemplo acima evidencia bem como vigas de madeira e, nesse caso, sujeita
a uma carga distribuída ao longo de seu comprimento, pode falhar por
cisalhamento e necessitar de reprojeto, para atender às propriedades do
material.
Vigas Totalmente Solicitadas
Durante um projeto de viga, o engenheiro poderá optar por uma viga que
economize peso. Para tal, utiliza-se vigas que possuem uma seção transversal
variável, fazendo com que, em cada seção diferente, tensões de �exão
atinjam seu valor máximo permitido. Essas vigas são chamadas de não
prismáticas. A Figura 4.4 mostra dois exemplos de vigas não prismáticas.
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Figura 4.4 - Vigas não prismáticas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 411).
De forma geral, o tamanho da seção transversal de tais vigas se dá pela
fórmula. Vigas com esse design são chamadas de vigas totalmente solicitadas.
Projeto de Eixos
Eixos de seção transversal circular são amplamente utilizados em máquinas e
demais equipamentos mecânicos. Esses elementos estão sujeitos a tensões
cíclicas, que provêm de combinações de �exão e torção que eles devem
transmitir, além de conterem concentradores de tensão como acoplamentos,
polias, engrenagens, mudanças bruscas na área da seção etc.
Carregamentos em eixos podem ser resolvidos transformando-os em
componentes estaticamente equivalentes e decompondo-os em dois planos
perpendiculares. Isso implica no fato de que diagramas de momento podem
ser desenhados para as cargas de cada plano e o resultante interno de
momento em cada seção do eixo é determinado pela adição de vetores,
como:
M =√Mx2 + Mz2 (eq. 4.6)
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Além do momento, os eixos estão sujeitos a torques internos diferentes. Faz-
se necessária também a construção do diagrama de torque. Com os
diagramas, é possível analisar as condições críticas nas seções do eixo, onde a
combinação de um momento M e um torque T cria a pior situação de tensão.
Com isso, aplica-se a fórmula de �exão usando a resultante do momento no
eixo principal de inércia.
Geralmente o elemento crítico está sujeito ao estado plano de tensões, assim
sendo:
σ =
Mc
I (eq. 4.7) e τ =
Tc
J (eq. 4.8)
Fazendo uso das equações de transformação de tensão, temos que:
τadm =√(σ2)2 + τ2 =√(Mc2I)2 +(TcJ)2 (eq. 4.9)
E uma vez que I = πc4 /2 e J = πc4 /2, �camos com:
τadm =
2
πc3√M2 + T2 (eq. 4.10)
Resolvendo para o raio do eixo, temos:
c =( 2πτadm√M2 + T2)1 / 3 (eq 4.11)
Assim sendo, conhecendo a pior condição de tensão, a partir dos diagramas
de momento �etor e torque, podemos obter o raio mínimo do eixo, para que
ele possa suportar as cargas que são impostas.
Exemplo 2
Considere o eixo suportado por mancais radiais em A e B. Devido à
transmissão de potência do e para o eixo, as correias e polias estão sujeitas a
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tensões, conforme a Figura 4.5(a). Determine o menor diâmetro para o eixo,
utilizando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, com τadm = 50 MPa
Figura 4.5 - Eixo sob carregamentos nos pontos B e C (a), diagrama de corpo
livre do eixo com as reações de suporte (b), diagrama de momento Mx (c),
diagrama de momento Mz (d) e diagrama de torque (e)
Fonte: Hibbeler (2010, p. 415).
Por inspeção, os pontos críticos no diagrama de momento �etor ocorrem em
B ou C. Também, à direita de C e no ponto B, o momento de torção é 7,5 N.m
O momento resultante deve ser calculado para os dois pontos, portanto:
MC = √(118, 75 N. m)2 + (37, 5 N. m)2 = 124, 5 N. m
MB = √(75 N. m)2 = 75 N. m
Assim, o ponto C contém os valores críticos para o projeto do eixo. Dessa
forma, aplicamos a equação do raio do eixo para o caso.
c =( 2πτadm√M2 + T2)1 / 3 =( 2π(50)(106 ) √(124, 5)2 + (7, 5)2)
1 / 3
c = 0, 0117 m
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Como o exercício pede que se encontre o menor diâmetro, multiplicamos por
2 o raio do eixo. Assim, d = 2c =23,3 mm .
praticar
Vamos Praticar
Dentro do contexto de vigas, devemos ter cuidado ao fazer as considerações sobre
as solicitações e parâmetros de análise. Essas tarefas são imprescindíveis para um
projetista e para tal, vamos exercitar alguns conceitos vistos neste capítulo da
unidade, a �m de retomar alguns dos principais conceitos.
Vejamos as seguintes a�rmações sobre o projeto de vigas. Leia-as atentamente e a
seguir responda, baseado no conhecimento adquirido neste capítulo, quais
a�rmações são verdadeiras.
I - A  falha da viga ocorre quando o cisalhamento interno ou o momento �etor na
viga é máximo.
II - Para que a viga resista, a tensão máxima de cisalhamento e a tensão de �exão
devem exceder valores de tensão admissível.
III - Deve-se primeiro veri�car a tensão de cisalhamento da viga, para auxiliar na
escolha da seção transversal.
IV - Um eixo mecânico deve resistir à torção e à �exão.
V - Para resolver o momento �etor de um eixo precisamos de dois diagramas, um
para cada plano onde a carga é decomposta.
a) I, II, III e IV.
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b) I, III e IV.
c) II, III e IV.
d) I, IV e V.
e) Nenhuma das a�rmativas são verdadeiras.
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Em engenharia, de�exão é o grau de deslocamento de um elemento
estrutural sob um carregamento, seja em ângulo ou em distância. A de�exão
deve ser limitada, para prover estabilidade e evitar a propagação de trincas.
Neste capítulo abordaremos métodos para computar de�exão em pontos
especí�cos ao longo da viga ou a forma de de�exão de uma viga toda.
Discutiremos o método de integração, que baseia-se na integração de
equações diferenciais da linha elástica, o método da superposição e o método
das áreas.
A linha elástica representa a linha de de�exão de um eixo ou viga. A linha
elástica obrigatoriamente passa pelo centroide da seção transversal da viga. É
relativamente fácil obter sua forma, porém alguns conceitos de estática
precisam estar em mente, como, por exemplo, um suporte que resiste à
força, tal como um pino, restringe deslocamento, eum suporte que resiste à
momento, como um engaste, restringe rotação ou inclinação.
Para determinar sua forma, usa-se o diagrama de momento. Momentos
positivos tornam-na côncava para cima e momentos negativos tornam-na
De�exão de Vigas eDe�exão de Vigas e
EixosEixos
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côncava para baixo. O raio de curvatura (ρ), que é o raio de curvatura em um
ponto especí�co sobre a linha elástica, é dado por:
1
ρ =
M
EI (eq. 4.12)
Figura 4.6 -  Exemplo de linha elástica e a convenção de sinais adotadas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 423)
M é o momento interno no ponto onde quer se saber o raio, E o módulo
elástico do material e I o momento de inércia em torno do eixo neutro. O
deslocamento é representado por v .
Inclinação e Deslocamento por
Integração
As seguintes equações diferenciais são válidas no cálculo de deslocamento da
linha elástica em uma viga.
EI
d2v
dx2
= M(x)
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(eq. 4.13)
d
dx(EId2vdx2) = V(x)
(eq. 4.14)
d2
dx2(EId2vdx2) = − w(x)
(eq. 4.15)
Essas equações nos dizem que uma função do momento M(x) , vista em 4.13,
pode ser integrada para obter a equação da inclinação da linha elástica (4.14)
e uma segunda integração nos retorna à equação da de�exão (4.15).
Para resolver um problema de linha elástica pelo método de integração,
seguimos o seguinte roteiro:
cálculo das reações;
determinação das funções de momento �etor para cada parte;
cálculo da linha elástica, deslocamento e inclinação
cálculo das constantes de integração;
�nalização das equações;
cálculo de inclinação e deslocamento no ponto solicitado.
Exemplo 3
Determine a de�exão máxima no eixo circular maciço. O eixo é feito de um
aço com E = 200 GPa e I = 4,91 x 106 mm4 (em metros, I = 4,91 x 10 − 6 m4).
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Figura 4.7 - Eixo carregado
Fonte: Hibbeler (2015, p. 597).
Inicialmente, encontramos as reações e traçamos um esboço da linha elástica,
conforme vemos na Figura 4.8.
Figura 4.8 - Diagramas de corpo livre do eixo todo e de uma seção do eixo
Fonte: Hibbeler (2014, p. 1159).
Com base no diagrama de corpo livre do segmento, encontramos as funções
de momento. Devido a sua simetria, vamos analisar apenas as coordenadas x.
∑MO = 0
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M(x) − 4x − 6 = 0
M(x) = (4x + 6) kN. m
Com a função do momento, podemos encontrar as equações de inclinação e
a linha elástica, integrando-a duas vezes:
EI
d2v
dx2
= M(x) = 4x + 6
EI
dv
dx = 2x
2 + 6x + C1
EIv =
2
3
x3 + 3x2 + C1x + C2
Devido à simetria, 
dv
dx = 0 no ponto x=1,5 m. Assim, temos:
EI(0) = 2(1, 5)2 + 6(1, 5) + C1
C1 = − 13, 5 kN. m
2
Além disso, em x=0, v=0. Assim:
EI(0) =
2
3(0)
3 + 3(0)2 + C1(0) + C2
C2 = 0
Substituindo os valores das constantes de integração, teremos:
v =
1
EI(23x3 + 3x2 − 13, 5x)
Como sabemos que a de�exão máxima ocorre em x = 1,5 m , onde a
inclinação da linha elástica é nula , vamos ter que:
vmáx =
1
(200 × 109)(4, 91 × 10 − 6)(
2
3
(1, 5)3 + 3(1, 5)2 − 13, 5(1, 5)) × 103
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vmáx = − 0, 001146 m = 11, 5 mm ↓
O método da superposição pode ser usado para resolver deslocamentos ou
rotações em vigas ou carregamentos mais complicados; a viga estudada deve
ser dividida em partes, as quais são casos mais simples e são disponibilizados
em tabelas.
A equação diferencial EId4v /dx4 = − w(x) satisfaz os dois requisitos necessários
para a aplicação do princípio da superposição: a carga w(x) está relacionada
linearmente com a de�exão v(x) e w(x) não altera de forma signi�cativa a
geometria original da viga.
Veja o exemplo a seguir para melhor compreensão.
Exemplo 4
Determine o deslocamento em C e a inclinação do suporte A na viga vista na
Figura 4.9. Considere EI constante.
Figura 4.9 - Viga com carregamentos divididos em partes mais simples
Fonte: Hibbeler (2010, p. 453).
Como a �gura anterior nos mostra, a viga é dividida em dois segmentos mais
simples de se resolver. Esses são tabelados, podendo ser encontrados em
apêndices de livros de Resistência dos Materiais. A �gura a seguir traz os
segmentos necessários para a resolução no nosso problema.
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Figura 4.10 - Inclinações e deslocamentos de vigas simplesmente apoiadas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 586).
Com base nesses dados tabelados, podemos então calcular a inclinação e o
deslocamento para a viga nos pontos A e C, respectivamente.
θA = (θA)1 +(θA)1 =
3wL3
128EI +
PL2
16EI =
3(2)(8)3
128EI +
8(8)2
16EI =
56 kN. m2
EI ↻
vc = (vc)1 +(vc)2 =
5wL4
768EI +
PL3
48EI =
53, 33
EI +
85, 33
EI =
139 kN. m3
EI ↓
Só podemos aplicar esse método em vigas com pequenos deslocamentos,
dentro do regime elástico.
Método das Áreas do Momento
O método da área do momento é uma abordagem alternativa para descobrir
os deslocamentos de uma viga ou eixo. É baseado em dois teoremas que
estão relacionados à área do diagrama de momento.
1º teorema : o ângulo, em radianos, entre as tangentes de quaisquer dois
pontos na linha elástica é igual à área abaixo da curva M/EI entre esses dois
pontos.
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2º teorema : A distância vertical entre a tangente de um ponto na linha
elástica e a tangente estendida de outro ponto é igual ao momento da área
abaixo do diagrama M/EI entre esses dois pontos. Esse momento é calculado
sobre o ponto onde a distância vertical deve ser determinada.
O procedimento de análise deve ser feito, seguindo a ordem:
Determinar as reações e desenhar o diagrama M/EI da viga.
Desenhar uma versão exagerada da linha elástica, indicando
deslocamentos e inclinações desconhecidas.
Aplicar o 1º teorema para encontrar o ângulo entre as tangentes na
linha e o 2º teorema para determinar a distância vertical.
Um valor de θB /A positivo representa uma rotação anti-horária da
tangente em B, em relação à tangente em A, e um valor positivo de
τB /A indica que B �ca acima da tangente estendida de A na curva
elástica.
praticar
Vamos Praticar
A resolução de um problema nem sempre considera apenas números. Muitas vezes
a solução analítica considera apenas variáveis e é então utilizada diversas vezes,
alterando-se as incógnitas. A �m de exempli�car isso, considere a viga mostrada em
(a). Com o diagrama M/EI em (b) e a linha elástica em (c).
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a) θB = 
PL2
2EI
b) θB = 
PL
EI
c) θB = − 
M
2EI
d) θB = − 
PL2
2EI
e) θB = 0
Vigas e Eixos Estaticamente
Indeterminados
Figura 4.11 - Viga em parede �xa com uma carga P (a), o diagrama M/EI para
a situação (b) e a linha elástica (c)
Fonte: Hibbeler (2010, p. 444).
Determine sua inclinação pelo método da área.
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Vigas e eixos estaticamente indeterminados possuem mais reações
desconhecidas do que equações de equilíbrio. Para resolvê-los, devem-se
identi�car as reações redundantes. Os métodos de integração ou método dos
teoremasde área do momento podem ser utilizados para resolver as
incógnitas redundantes. Também se utiliza o método da superposição para
determinar quais reações são redundantes.
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Neste capítulo estudaremos a �ambagem, que é um evento ativado por
cargas axiais compressivas em colunas , que são elementos estruturais
longos e esbeltos. Quando as colunas estão sendo comprimidas por essa
força axial, elas podem sofrer uma de�exão lateral , que é denominada
�ambagem . Essa de�exão lateral pode ocasionar, em muitos casos, uma
falha repentina na estrutura, sendo então de grande importância sua
consideração durante o projeto de colunas.
Carga Crítica
Denomina-se carga crítica (Pcr) a carga axial máxima que uma coluna pode
suportar, na iminência de sofrer �ambagem.
Flambagem deFlambagem de
ColunasColunas
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Figura 4.12 - Exemplo de coluna longa e esbelta sofrendo �ambagem
Fonte: Hibbeler (2010, p. 477).
A carga crítica não é a maior carga que uma coluna pode suportar, pois
mesmo depois de �ambada ela poderá aguentar cargas maiores que Pcr ,
porém, como consequência apresentará uma grande de�exão. Em geral, não
se toleram grandes de�exões em projetos de estruturas, sendo assim, Pcr
passa a ser a carga limite para a coluna.
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saibamais
Saiba mais
O artigo Análise da fase de montagem de lajes
treliçadas traz uma avaliação de lajes
treliçadas, comumente utilizadas no Brasil.
Entre os principais mecanismos de falha que
são observados, um é a �ambagem. A leitura
recomendada aborda diversos tópicos da
resistência dos materiais e os traz para a
realidade da engenharia civil, mostrando
ensaios e cálculos utilizados no dia a dia de
tais avaliações.
ACESSAR
Coluna Ideal com Apoio de Pinos
Será considerada como coluna ideal a coluna que apresenta as
características a seguir:
é perfeitamente reta, antes da aplicação da carga;
é feita de material homogêneo;
a carga é aplicada no centroide da seção transversal;
o material se comporta de uma maneira linear elástica, obedecendo
à Lei de Hooke;
a �ambagem é sofrida em um único plano.
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf
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Figura 4.13 - Exemplo de coluna ideal com apoio de pinos
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479)
Na �gura anterior, é apresentada uma coluna apoiada sobre pinos. Se
aumentarmos a carga axial P , antes de a coluna falhar por escoamento ou
ruptura, ela se encontrará na iminência de se tornar instável e sofrer
�ambagem ao se atingir a carga Pcr. Nesse momento, quando se aplica uma
força F na lateral da coluna, a viga irá de�etir e permanecerá de�etida mesmo
removendo a força F . Qualquer redução na carga axial P em relação a Pcr fará
com que a coluna volte à posição inicial. Qualquer aumento na carga axial P
em relação a Pcr provocará aumento da de�exão lateral da coluna.
Para se calcular a carga crítica Pcr de uma coluna, leva-se em conta a sua
rigidez à �exão, dada pela relação abaixo, entre o momento interno da coluna
com sua forma de�etida:
EI
d2v
dx2
= M (eq. 4.16)
O momento interno M é determinado pelo método das seções, com o auxílio
do diagrama de corpo livre:
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Figura 4.14 - Diagrama de corpo livre da coluna
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479).
Sendo assim, igualando a zero a equação e reorganizando os termos:
d2v
dx2
+(PEI)v = 0 (eq. 4.17)
A equação acima é uma equação diferencial linear homogênea de segunda
ordem, com coe�cientes C1 e C2 constantes. A solução geral é dada por:
v = C1sen(√PEIx) + C2cos(√PEIx) (eq. 4.18)
Aplicando as condições de contorno na extremidade da coluna para se
descobrir C1 e C2:
Em x=0 temos v=0, logo: C2 = 0 ;
Em x=L considera-se v=0, logo:
C1sen(√PEIx) = 0 (eq. 4.19)
Essa igualdade é satisfeita se:
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P =
n2π2EI
L2
 (eq. 4.20)
O menor valor de P é obtido com n=1 e essa carga crítica é conhecida como
carga de Euler e será a fórmula utilizada para a �ambagem de uma coluna
apoiada por pinos:
Pcr =
π2EI
L2
 (eq. 4.21)
Onde:
● Pcr 🡪 carga crítica da coluna, dada em N;
● E 🡪 módulo de elasticidade do material, dado em Pa(N /m²);
● I 🡪 momento de inércia de área da seção transversal, dado em m4;
● L 🡪 comprimento da coluna, presa por pinos, dado em m.
O n , tratado como 1 na equação 4.21, representa o número de ondas na
forma de�etida da coluna:
Figura 4.15 - De�exão da coluna com n=1 e n=2
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479).
Importante observar que a carga crítica (Pcr) da coluna depende somente das
suas dimensões, ou seja, do momento de inércia da área da seção transversal
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(I) e de seu comprimento (L). O módulo de elasticidade do material (E)
também é aplicado, porém, dentro de uma mesma categoria de materiais, aço
por exemplo, quando se trata de �ambagem elástica, não há vantagem em se
usar um aço de alta resistência em relação a um aço de baixa resistência.
Pode-se melhorar a resistência da coluna aumentando-se o momento de
inércia da seção.
Outro ponto importante é o fato de que uma coluna sempre sofrerá
�ambagem em torno do eixo principal correspondente ao menor momento
de inércia (I), ou seja, o eixo menos resistente. Por exemplo, na imagem a
seguir, a coluna retangular sofrerá �ambagem em torno do eixo a-a . Na
prática, busca-se sempre deixar os momentos de inércia em relação aos eixos
principais (Ixe Iy) o mais próximo possível um do outro.
Figura 4.16 - Exemplo de coluna retangular sofrendo �ambagem
Fonte: Hibbeler (2010, p. 481).
O momento de inércia da área da seção transversal da coluna também pode
ser escrito como:
I = Ar2 (eq. 4.22)
Onde:
A 🡪 Área da seção transversal da coluna, dada em m²;
r 🡪  Raio de giração da área da seção transversal em m;
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Substituindo a relação na fórmula da carga crítica e reorganizando os termos,
obtém-se a fórmula para a tensão crítica de �ambagem da coluna apoiada
sobre pinos:
σcr =
π2E
(L / r ) 2
 (eq. 4.23)
Onde:
σcr 🡪 tensão crítica média na coluna, na iminência da �ambagem – é
uma tensão elástica, logo é igual ou inferior à tensão de escoamento
do material, dada em Pa(N /m²);
E 🡪 módulo de elasticidade do material, dado em Pa(N /m²);
L 🡪 comprimento da coluna, presa por pinos, dado em m;
r 🡪 menor raio de giração da área da seção da coluna, ou seja,
utilizando o menor momento de inércia (I), dado por:
r = √I /A (eq. 4.24)
A relação L/r é conhecida como índice de esbeltez da coluna e é muito
utilizada na classi�cação das colunas em longas, intermediárias ou curtas.
Exemplo 4:
Considere um tubo redondo de aço ASTM A36 (σe = 250 MPa), com diâmetro
externo de 152,4 mm, diâmetro interno de 139,8 mm e comprimento 7,31 m
sendo utilizado como coluna, presa por pinos nas extremidades. Determine a
carga crítica, ou seja, a carga axial máxima que a coluna suportará sem sofrer
�ambagem. Utilize como módulo de elasticidade do aço E = 207.000 MPa.
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Figura 4.17 - Exemplo de coluna de tubo redondo
Fonte: Hibbeler (2010, p. 482).
Solução:
Como é uma coluna apoiada sobre pinos, podemos aplicar a fórmula da carga
de Euler vista:
Pcr =
π2EI
L2
Inicialmente calcula-se o momento de inércia da área da seção transversal da
coluna, neste caso, para um tubo redondo:
I = 
π(D4 − d4)
64
=
π(152, 44 − 139, 84)
64
= 7.729.615, 2 mm4 
Utilizando então a fórmula da carga de Euler, descobre-se a carga crítica para
a coluna:
Pcr =
π2EI
L2
=
π2 × 207000 × 7729615, 2
73102
= 295, 5 kN
Pode-se descobrir também a tensão crítica para a coluna e comprovar que,
conforme teoria, esta é menor que a tensão de escoamento do material
(σe = 250 MPa):
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σcr =
π2E
(L /r)2
=
π2E
(L /√I /A)2
=
π2207000
[7310/(√ 7729615 , 2π76 , 22 −π69 , 92)]2
= 102, 2 MPa
Colunas com Vários Tipos de Apoio
A fórmula da carga crítica mostrada anteriormente considerava a coluna
apoiada por pinos, com as extremidades livres para girar. O procedimento de
se obter a fórmula da carga crítica para uma coluna apoiada sobre diferentes
tipos de apoio é o mesmo utilizado para a coluna apoiada sobre pinos.
Frequentemente encontramos aplicações onde as colunas podem estar
engastadas em uma extremidade e pinadas em outra, ou então com uma
extremidade livre, por exemplo.
O que muda quando se trata de outros tipos de apoio é o comprimento da
coluna (L) a ser considerado. Anteriormente o L considerado correspondia ao
comprimento da coluna, ou também à distância na coluna sem os apoios, ou
seja, à distância entre os pontos de momento nulo. Dependendo do tipo de
apoio da coluna teremos um tipo diferente de distância L entre os pontos de
momento nulo. Essa distância entre os pontos de momento nulo é chamada
de comprimento efetivo (Le) da coluna. Para uma coluna presa por pinos
Le = L.
Na aplicação das fórmulas da carga crítica (Pcr) para cada tipo de apoio, ao
invés de se trabalhar com o comprimento efetivo (Le), utiliza-se de um
coe�ciente adimensional K   denominado fator de comprimento efetivo. A
relação de K com Le é dada por Le = KL.
O fator de comprimento efetivo (K) é tabelado e depende de cada tipo de
apoio da coluna. Na sequência são mostrados casos com alguns fatores K
comumente utilizados:
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As fórmulas da carga crítica (Pcr) e da tensão crítica (σcr) para todos os casos
são apresentadas abaixo, onde o fator K deve ser utilizado conforme o caso
analisado:
Pcr =
π2EI
(KL)2
 (eq. 4.25) σcr =
π2E
(KL / r ) 2 (eq. 4.26)
Nessas novas fórmulas, o índice de esbeltez da coluna passa a ser
representado pelo termo (KL/r) .
Figura 4.18 - Casos de colunas com diferentes tipos de apoio e seus
respectivos fatores K
Fonte: Hibbeler (2010, p. 484).
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reflita
Re�ita
A �ambagem é um problema visto em
diversas situações, inclusive em
materiais de pavimentação,
especialmente o concreto, uma vez
que o asfalto tende a ser mais �exível.
A radiação solar é absorvida por esse
material, que causa uma tendência de
expansão. Caso a tensão seja o
su�ciente, pode acontecer um
empilhamento do material asfáltico e
sua subsequente trinca. Também se
observa o efeito da �ambagem em
trilhos de ferrovias. Com base nisso,
re�ita a respeito de que propriedades
um material para trilhos deve possuir,
para que não falhe por �ambagem
dessa natureza.
praticar
Vamos Praticar
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Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor
incididunt ut labore et dolore magna aliqua, assinale a alternativa correta :
a) A carga crítica de uma coluna depende das suas dimensões, ou seja, do
momento de inércia da área da seção transversal e de seu comprimento,
bem como depende da tensão de escoamento do material utilizado.
b) Ao se projetar uma coluna de aço, analisando-se a �ambagem, é mais
vantajoso se utilizar um aço mais resistente, de custo mais elevado e fazer a
área da seção transversal da coluna pequena, do que se utilizar um aço
menos resistente, mais barato, que deixará a coluna com uma grande área
de seção transversal.
c) Visando melhorar a resistência de uma coluna à �ambagem, pode-se
aumentar o momento de inércia da seção transversal da viga e aproximar o
máximo possível os momentos de inércia de área em relação aos eixos
principais.
d) Quando se calcula a carga crítica de uma viga apoiada com diferentes tipos
de apoio em suas extremidades, utiliza-se o fator K, dado em metros, que
serve como um fator de segurança de projeto prevenindo falhas por
�ambagem.
e) A fórmula da tensão crítica da coluna para a �ambagem depende do
módulo de elasticidade do material utilizado (E), do comprimento da coluna
(L), do raio de giração (r) que utiliza o maior momento de inércia de área da
seção transversal em relação aos eixos principais (Ixou Iy). A tensão crítica é
igual ou inferior à tensão de escoamento do material.
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
Resistência dos Materiais
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
Capítulos: 11, 12 e 13
Comentário: Para um maior entendimento de alguns
conceitos, recomenda-se a leitura dos capítulos 11,12 e
13 do livro mencionado, especialmente na parte de
de�exão de vigas, onde o equacionamento pode ser um
pouco mais complexo, trazendo abordagens mais
analíticas, como o conceito de superposição e o método
das áreas.
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WEB
VIGA engastada ou apoiada?
Ano: 2018
Comentário: Neste vídeo, uma comparação entre os
tipos de víncula (engaste ou apoio) para vigas de
concreto armado é feita. Aqui, o comentarista fala
sobre as principais diferenças que o projetista deve
considerar, com apoio de um kit mola para visualização
dos esforços e como os vínculos reagem. Interessante
vídeo dentro do contexto de projeto de vigas e eixos.
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https://www.youtube.com/watch?v=YFh22UQhnNE
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conclusão
Conclusão
Prezado(a) aluno(a), inicialmente, esta unidade parece muito condensada,
com muito conteúdo novo, porém, vale lembrar que muito do conteúdo aqui
abordado é a aplicação de conhecimentos prévios da mecânica dos sólidos e
da estática. Esse conteúdo serve como base para o projeto de vigas e eixos,
que é um dos principais componentes da resistência dos materiais e, em vista
de sua importância, esperamos que os tópicos aqui trazidos sirvam para que
esses conhecimentos possam ser aplicados por você, de forma autônoma.
Além do conteúdo supracitado, a falha por �ambagem, importante
mecanismo em colunas, foi aqui explicitado. Assim sendo, a abordagem
analítica da resolução de problemas torna-se fundamental em problemas de
projeto e é essa mentalidade que esperamos que você absorva e utilize no
seu dia a dia como futuro projetista de estruturas e elementos estruturais.
referências
Referências
Bibliográ�cas
GERE, James B. Mechanics of Materials : brief edition. Stamford: Cengage
Learning, 2012.
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HIBBELER, Russell. Resistência dos Materiais . 7. ed. São Paulo: Pearson,
2009.
HIBBELER, Russell. Mechanics of Materials . Hoboken, NJ: Pearson, 2015.
SARTORTI, A. L.; FONTES, A. C.; PINHEIRO; L. M. Análise da fase de montagem
de lajes treliçadas. In: Revista Ibracon de Estruturas e Materiais , v. 6, n. 4,
agosto 2013. p. 623-660. Disponível em:
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf . Acesso em: 18 fev. 2020.
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf
16/04/2023, 22:04 Ead.br
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