Mecânica dos Sólidos 2 (2)

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Mecânica dos Sólidos 2
Prof. Jorge Neto
Jorgesouzanetto@gmail.com
Programação da Disciplina
 14 datas até o final do primeiro semestre.
 Tópicos:
 Revisão de Forças;
 Flexão;
 Tensões de Cisalhamento;
 Deflexão de Vigas e eixos;
 Flambagem;
 Métodos de Energia.
Revisão de Forças internas
As forças que atuam nos corpos podem ser classificadas em: 
1 - Forças Externas: representam a ação de outros corpos sobre o corpo em questão. Causam o movimento ou 
asseguram o equilíbrio do corpo.
 2 - Forças Internas: são as forças que mantêm unidas os pontos que formam o corpo rígido.
As forças internas surgem entre todas as partículas contíguas do corpo submetido à ação de uma carga externa. 
Em uma seção transversal, as forças internas são a resultante das forças distribuídas, que são produzidas devido 
as forças externas. Estas forças se distribuem de forma complexa na seção transversal. Devem ser tais que se 
cumpram as condições de equilíbrio de qualquer das partes do corpo em questão.
Revisão de Definição de Forças 
Vamos considerar um corpo em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, ativas e reativas. Seja uma seção 
qualquer S, submetida a um conjunto de forças em equilíbrio, que separa um corpo em duas partes A e B.
Analisando o equilíbrio das partes A e B, tem-se que Forças em A ⇐ equilibram ⇒ Forças em B 
As ações exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que atuam na parte 
B. Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centroide G da seção S por 
intermédio das forças externas que atuam na parte B obtém-se as resultantes FR e MR.
Para o caso de vigas, o carregamento é coplanar e atua perperdicularmente ao seu eixo 
Consideraremos somente:
 Esforço Normal – N 
Esforço Cortante – Q 
Momento Fletor – M 
Efeitos Causados pelos Esforços Simples
Componente N – aproximar (esforço de compressão), ou afastar (esforço de tração), seções 
imediatamente próximas. Componente Q – provoca o deslizamento relativo entre seções 
paralelas devido é forças paralelas (em sentido oposto). Componente M – tende a fazer com 
que a seção gire em torno de um eixo localizado no seu próprio plano.
Convenção de Sinais
Vamos convencionar os sinais de N, Q e M da seguinte forma: 
Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal 
são denominados vigas. Vigas são classificadas de acordo com o modo como são 
apoiadas.
As funções de cisalhamento (cortante) e momento podem ser representadas em 
gráficos denominados diagramas de esforço cortante (V ou Q) e momento fletor (M). 
Direções positivas indicam que o cortante provoca uma rotação em sentido horário e 
o fletor traciona a parte de baixo da seção.
Represente graficamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor 
para a viga dada:
O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo + equilíbrio: 
Segmento esquerdo estende-se até a distância x na região BC. 
Esboçar os diagramas (observar o sentido + dos momentos!) 
Exemplo: Determine os diagramas para a viga abaixo: 
Determine os diagramas para a viga abaixo:
Definição de Centroide
O centroide C(x, y) de uma área plana é o ponto que define seu centro geométrico. Para 
determinar matematicamente a localização dos centroides usamos o método dos momentos:
As fórmulas que definem o centroide de uma área plana dependem somente de sua geometria. 
A localização do centroide independe dos eixos Ox e Oy. 
O centroide C(x, y) de uma área plana é o ponto que define seu centro geométrico.
O centro de gravidade G(xG, yG) considera uma função de peso específico γ(x, y).
O eixo x coincide com a base do retângulo Faixa diferencial dA = b dy .
Este resultado é válido para os dois outros lados do retângulo, considerando-se uma 
nova base e altura correspondente. 
O centroide de algumas áreas podem ser parcial ou completamente especificados por meio de 
condições de simetria. Se um corpo possui um eixo de simetria, centroide localiza-se sobre 
este eixo. Em alguns casos, o centroide encontra-se em um ponto que não se localiza no 
objeto. 
Exemplo:
Determine o centroide da figura abaixo (dimensões em cm):
 Os momentos de inércia Ix e Iy são grandezas positivas: 
Momentos de Inércia: 
O produto de inércia Ixy podem assumir valores positivos e negativos:
Algumas considerações: Os momentos de inércia variam de acordo com o eixo 
considerado. A unidade dos momentos de inércia é (comprimento)4 . Unidades usuais: 
mm4 , cm4 , m4; 
Exercício de revisão Diagrama momento fletor e cortante
• Discutiremos as tensões que surgem em elementos de eixo reto submetidos à flexão;
Ache o diagrama do momento fletor e cortante da 
viga. 
Exercício de revisão Diagrama momento fletor e cortante
• Discutiremos as tensões que surgem em elementos de eixo reto submetidos à flexão;
Ache o diagrama do momento fletor e cortante da viga. 
Flexão Pura 
• Discutiremos as tensões que surgem em elementos de eixo reto submetidos à flexão;
• Discussão ficará limitada a elementos com área da seção transversal simétrica com 
relação a um eixo; 
• O momento fletor é aplicado perpendicularmente a um eixo de simetria.
Revisão Flexão Pura 
As peças longas, quando submetidas à flexão, apresentam tensões normais elevadas. Por 
exemplo, para se quebrar um lápis, com as mãos, é mais eficiente tracioná-lo, comprimi-lo, 
torcê-lo, cisalhá-lo ou flexioná-lo? Neste caso, jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, 
torcê-lo ou cisalhá-lo;
Um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões de ruptura no 
material.
Tipos de flexão (de acordo com os esforços atuantes):
 
• Pura (somente momento fletor) 
• Simples (momento fletor e cortante) 
• Composta (momento fletor e esforço normal)
• Normal ou reta: Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da 
seção. 
• Oblíqua: Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do 
momento. 
 Flexão reta:
Flexão oblíqua:
 O momento flexiona a barra As retas longitudinais tornam-se curvas As retas 
transversais permanecem retas, mas sofrem rotação.
A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por 
flexão. Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de 
compressão do outro lado.
O momento (positivo) faz o material na parte inferior esticar-se e na parte superior comprimir-
se Entre as duas regiões há a superfície neutra, onde as fibras não sofrem alteração de 
comprimento.
Com base nessas observações fazemos as hipóteses:
• O eixo longitudinal não sofre alteração de comprimento (eixo neutro – EN) 
• As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao EN 
• Qualquer deformação no plano da seção transversal será desprezada
Determinação da deformação longitudinal:
• ε varia de zero no eixo neutro até seu máximo nas extremidades 
• A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo 
• O eixo neutro passa pelo centroide da área da seção transversal.
Restrição: A seção transversal é simétrica.
Distribuição de deformações:
Distribuição de tensões:
Eixo neutro
Fórmula da flexão
Seção retangular
Seção composta simétrica
Exercício Flexão Pura:
Respostas
Concentrações de tensão
A fórmula para uma barra com um plano de simetria e uma seção transversal uniforme, e 
vimos na Seção 4.5 que ela seria precisa em todo o comprimento da barra somente se os momentos 
fletores M e M’ fossem aplicados usando-se placas rígidas e planas. Sob outras condições de 
aplicação das cargas, existirão concentrações de tensão junto dos pontos em que as cargas serão 
aplicadas.
Tensões maiores também ocorrerão se a seção transversal da barra sofrer uma variação brusca. 
Foram estudados dois casos de interesse particular: o caso de uma barra chata com uma mudançabrusca na largura e o caso de uma barra chata com ranhuras. Como a distribuição de tensões nas 
seções transversais críticas depende somente da geometria dos elementos, podem ser 
determinados coeficientes de concentração de tensão para várias relações dos parâmetros 
envolvidos e podem ser registrados conforme mostram a seguir. O valor da tensão máxima na seção 
transversal crítica pode então ser expresso como:
em que K é o coeficiente de concentração de tensão, e c e I se referem à seção crítica, isto é, à seção de largura d em 
ambos os casos considerados aqui. A figura mostra claramente a importância do uso de adoçamentos e ranhuras de 
raio r, o maior possível na prática. 
Cisalhamento Transversal
Um carregamento transversal aplicado a uma viga resultará em tensões normais e de cisalhamento 
em qualquer seção transversal dessa viga. As tensões normais são provocadas pelo momento 
fletor M naquela seção e as tensões de cisalhamento, pela força cortante V. Como o critério 
dominante no projeto de uma viga quanto à resistência é o valor máximo da tensão normal na 
viga, nossa análise esteve limitada à determinação das tensões normais. No entanto, as tensões de 
cisalhamento podem ser importantes, particularmente no projeto de barras de paredes finas e vigas 
curtas e grossas, e sua análise será o assunto desta seção.
A Fig. acima expressa graficamente que as forças elementares normais e de cisalhamento aplicadas em determinada 
seção transversal de uma viga prismática com um plano vertical de simetria são equivalentes ao momento fletor M e à 
força cortante V. Seis equações podem ser escritas para expressar esse fato. Três delas envolvem somente as forças 
normais sx dA. Para a determinação dessas equações foi imposto que a soma das forças normais fosse zero e que as 
somas de seus momentos em relação aos eixos y e z fossem iguais a zero e M, respectivamente. Outras três equações 
envolvendo forças de cisalhamento txy dA e txz dA podem agora ser escritas. Uma delas expressa que a soma dos 
momentos das forças de cisalhamento em relação ao eixo x é zero e pode ser desconsiderada em vista da simetria da 
viga com relação ao plano xy.
As outras duas envolvem as componentes y e z das forças elementares e são:
Primeira dessas equações mostra que devem existir tensões de cisalhamento verticais em uma seção transversal 
de uma viga sob carregamento transversal.
A segunda equação indica que a tensão de cisalhamento horizontal média em qualquer seção é zero. No entanto, 
isso não significa que a tensão de cisalhamento txz seja zero em todos os pontos.
Força cortante na face horizontal de um elemento de viga
Considere uma viga prismática AB com um plano vertical de simetria que suporta várias forças concentradas e 
distribuídas. A uma distância x da extremidade A separamos da viga um elemento CDDC de comprimento x que 
se estende por sua largura desde a sua superfície superior até um plano horizontal localizado a uma distância y1 
da linha neutra. 
A força cortante horizontal por unidade de comprimento, que será representada pela letra q.
Lembramos que Q é o momento estático em relação à linha neutra da parte da seção transversal localizada acima 
ou abaixo do ponto no qual q está sendo calculado, e I é o momento de inércia da seção transversal inteira em 
relação ao eixo que passa pelo centroide. Por uma razão que se tornará aparente mais adiante, a força cortante 
horizontal por unidade de comprimento q é também chamada de fluxo de cisalhamento.
A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de cisalhamento na seção transversal.
τ= tensão de cisalhamento no elemento 
V= força de cisalhamento interna resultante
I = momento de inércia da área da seção transversal inteira
t= largura da área da seção transversal do elemento
Q = , onde A' é a porção superior (ou inferior) da área da seção transversal do elemento, 
definido pela seção onde t é medida e y' é a distância até o centroide de A', medida em relação ao eixo 
neutro.
Distribuição de tensão de cisalhamento em vigas retangulares
Distribuição de tensão de cisalhamento em vigas retangulares
Distribuição de tensão de cisalhamento em vigas retangulares
Viga de abas largas
Distribuição de tensão de cisalhamento em vigas de abas largas
Exemplo
A viga é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento vertical interna resultante V 
= 3 kN. (a) Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P e (b) calcule a tensão de 
cisalhamento máxima na viga.
Exemplo:
Uma viga é feita de três pranchas, com seção transversal de 20 100 mm, pregadas umas às outras. Sabendo que o 
espaçamento entre os pregos é de 25 mm e que a força cortante vertical na viga é V 500 N, determine a força 
cortante em cada prego.
Deflexão de vigas e eixos
OBJETIVO deste tema: Linha elástica
Muitas vezes é preciso limitar o grau de deflexão que um a viga ou eixo pode sofrer quando 
submetido a uma carga; portanto nesta aula discutiremos vários métodos para determinar a 
deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos. Os métodos analíticos incluem o 
método da integração, a utilização de funções de descontinuidade e o método da superposição. 
Além desses será apresentada uma técnica parcialmente gráfica denominada método dos 
momentos de áreas. Por fim, analisaremos métodos para determinar as reações dos apoios em 
vigas ou eixos estaticamente indeterminados. 
A deflexão de uma estrutura é causada por seu carregamento interno como a força normal, força 
cortante, ou momento fletor. Muitas vezes é interessante fazer um esboço da forma defletida da 
estrutura quando ela está carregada a fim de conferir parcialmente os resultados. Esse diagrama de 
deflexão representa a curva elástica ou lugar geométrico dos pontos que define a posição deslocada 
do centroide da seção transversal a o longo dos membros.
Normalmente é necessário, para facilitar a análise, que o diagrama de momento para a viga ou 
estrutura seja traçado primeiro. Para isto, relembramos que : Um momento positivo tende a 
flexionar uma viga ou membro horizontal côncavo para cima: Um momento negativo tende a 
flexionar a viga ou membro côncavo para baixo:
Na figura ao lado podemos observar algumas curvas de deflexão para duas situações:
Convenção de sinais. Ao aplicar a equação anterior, é importante usar o sinal 
apropriado para M como estabelecido pela convenção de sinais que foi usada na 
derivação dessa equação.
Também, tendo em vista que o ângulo de inclinação será muito pequeno, o seu valor em 
radianos pode ser determinado diretamente:
Deflexões por integração da equação do momento fletor – Método de integrações 
sucessivas 
Apêndice 
Flambagem 
Neste capítulo, nosso interesse estará voltado para a estabilidade da estrutura, isto é, para sua 
capacidade de suportar determinado carregamento sem sofrer uma mudança abrupta em sua 
configuração. Nossa discussão estará relacionada principalmente com colunas, isto é, com a 
análise e o projeto de elementos prismáticos verticais suportando forças axiais. Primeiro, 
consideraremos a estabilidade de um modelo simplificado de coluna, consistindo em duas 
barras rígidas conectadas por um pino e uma mola e suportando uma carga P. Você observará 
que, se seu equilíbrio for perturbado, esse sistema voltará à sua posição de equilíbrio inicial 
desde que P não exceda um certo valor Pcr, chamado de carga crítica. No entanto, se P < Pcr, 
o sistema se afastará de sua posição original e se estabilizará em uma nova posição de 
equilíbrio. No primeiro caso, dizemos que o sistema é estável, e no segundo caso, dizemos que 
ele é instável.
Fórmula de Euler para colunas biarticuladas
Retornando à coluna AB considerada na seção anterior (Fig. 10.1), propomos determinar o valor 
crítico da força P, isto é, o valor Pcr da força para o quala posição mostrada na Fig. 10.1 deixa de ser 
estável. Se P > Pcr, o menor desalinhamento ou perturbação fará a coluna flambar, isto é, a coluna 
assumirá outra configuração de equilíbrio como esta mostrada na Fig. 10.2.
A relação Lr é chamada de índice de esbeltez da coluna. Em vista das observações do 
parágrafo anterior, está claro que o valor mínimo do raio de giração r deverá ser usado no 
cálculo do índice de esbeltez e da tensão crítica em uma coluna. A Equação (10.13) mostra que 
a tensão crítica é proporcional ao módulo de elasticidade do material e inversamente 
proporcional ao quadrado do índice de esbeltez da coluna. 
O gráfico descrito em função de Lr é mostrado na Fig. 10.9 para o aço estrutural, considerando 
E 200 GPa e ϬE 250 MPa. Devemos ter em mente que não foi usado coeficiente de segurança 
no gráfico de scr. Notamos também que, se o valor obtido para scr, da Equação (10.13) ou da 
curva da Fig. 10.9, é maior do que a tensão de escoamento , esse valor não tem utilidade para 
nós, pois a coluna escoará em compressão e deixará de ser elástica antes que a flambagem 
ocorra
Extensão da fórmula de Euler para colunas com outras condições de 
extremidade
A fórmula de Euler anterior foi deduzida na seção anterior para uma coluna articulada em 
ambas as extremidades. Agora a força crítica Pcr será determinada para colunas com diferentes 
condições de extremidade.
No caso de uma coluna com uma extremidade livre A suportando uma força P e uma extremidade 
engastada B (Fig. 10.10a), observamos que a coluna se comportará como a metade superior de uma 
coluna biarticulada (Fig. 10.10b). A força crítica para a coluna da Fig. 10.10a é então a mesma da 
coluna biarticulada da Fig. 10.10b e pode ser obtida por meio da fórmula de Euler (10.11) usando 
um comprimento de coluna igual a duas vezes o comprimento L real da coluna dada.
Os comprimentos de flambagem correspondentes às várias condições de extremidade 
consideradas nessa seção são mostrados na Fig. 10.18.
Carregamento excêntrico e fórmula da secante
Nesta seção será abordado o problema de flambagem de coluna de uma maneira diferente, 
observando que a força P aplicada a uma coluna nunca é perfeitamente centrada. Chamando de e a 
excentricidade da força, isto é, a distância entre a linha de ação de P e o eixo da coluna (Fig. 
10.19a), substituímos a força excêntrica dada por uma força centrada P e um momento MA Pe= 
(Fig. 10.19b).
Está claro que, não importa o tamanho da força P e a excentricidade e, o momento MA resultante 
sempre provocará alguma flexão na coluna (Fig. 10.20). À medida que aumenta a força excêntrica, 
tanto o momento MA quanto a força axial P também aumentam, e ambos farão a coluna flexionar 
ainda mais. Visto dessa maneira, o problema de flambagem não é uma questão de determinar por 
quanto tempo a coluna pode permanecer reta e estável sob uma força cada vez maior, mas sim 
quanto se pode permitir que a coluna flexione sob uma força cada vez maior, sem que a tensão 
admissível seja ultrapassada e sem que a deflexão ymáx se torne excessiva.
ou
ou
Métodos de Energia 
Neste método, mostraremos como aplicar métodos de energia para resolver problemas que envolvam 
deflexão. O capítulo começa com uma discussão de trabalho e energia de deformação, seguida pelo 
desenvolvimento do princípio da conservação de energia. Usando esse princípio, determinaremos a 
tensão e a deflexão de um elemento estrutural quando submetido a impacto. Em seguida, serão 
desenvolvidos o método do trabalho virtual e o teorema de Castigliano, e esses métodos serão usados 
para determinar o deslocamento e a inclinação em pontos sobre elementos estruturais e mecânicos.
Energia de deformação
Considere uma barra BC de comprimento L e seção transversal uniforme de área A, que está presa 
em B a um suporte fixo e que em C está submetida a uma força axial P que cresce lentamente, 
conforme figura abaixo. Conforme observamos na Seção 2.2, desenhando o gráfico da intensidade 
P da força em função da deformação x da barra, obtemos uma curva característica da barra BC.
Vamos agora considerar o trabalho dU feito pela força P à medida que a barra se alonga de um 
pequeno valor dx. Esse trabalho elementar é igual ao produto da intensidade P da força pelo 
pequeno alongamento dx. Escrevemos:
e observamos que a expressão obtida é igual ao elemento de área de largura dx localizado sob o 
diagrama força-deformação, conforme figura abaixo. O trabalho total U feito pela força enquanto a 
barra sofre uma deformação x1 é portanto:
e é igual à área sob o diagrama força-deformação entre x 0 e x x1.
O trabalho feito pela força P enquanto ela é aplicada lentamente à barra deve resultar no 
aumento de algum tipo de energia associada à deformação da barra. Essa energia é conhecida 
como energia de deformação da barra. Temos, por definição,
Lembramos que o trabalho e a energia devem ser expressos em unidades obtidas multiplicando-se 
unidades de comprimento por unidades de força. Assim, se for usado o sistema de unidades SI, o 
trabalho e a energia serão expressos em N m; essa unidade é chamada de joule (J). 
No caso de uma deformação linear e elástica, a parte do diagrama força deformação envolvida 
pode ser representada por uma linha reta cuja equação é P= kx . Substituindo P na Equação (11.2), 
temos
O conceito de energia de deformação é particularmente útil na determinação dos efeitos de forças 
de impacto sobre estruturas ou componentes de máquinas. Considere, por exemplo, um corpo de 
massa m movendo-se com uma velocidade v0 que se choca com a extremidade B de uma barra 
AB (Fig. 1a). Des prezando-se a inércia dos elementos da barra e considerando que não há 
dissipação de energia durante o impacto, concluímos que a energia de deformação máxima Um 
adquirida pela barra, conforme figura abaixo, é igual à energia cinética original T=1 /2 mv² do 
corpo em movimento. Determinamos então o valor Pm da força estática que teria produzido a 
mesma energia de deformação na barra, e obtemos o valor σm da maior tensão que ocorre na barra 
dividindo Pm pela área da seção transversal da barra.
Densidade de energia de deformação
Conforme notamos o diagrama força-deformação para uma barra BC depende do comprimento L e 
da área A da seção transversal da barra. A energia de deformação U definida pela Equação anterior, 
portanto, dependerá também das dimensões da barra. Para eliminar de nossa discussão o efeito do 
tamanho e dirigir nossa atenção às propriedades do material, será considerada a energia por 
unidade de volume. Dividindo a energia de deformação U pelo volume V= AL da barra (Fig. 
11.1) e usando a Equação anterior, temos:
Lembrando que P/A representa a tensão normal Ϭx na barra e x/L a deformação específica normal 
ϵx, escrevemos:
Em que e1 representa o valor da deformação específica correspondente ao alongamento x1. A 
energia de deformação por unidade de volume, UV, é conhecida como densidade de energia de 
deformação e será representada pela letra u. Temos, portanto,
A densidade de energia de deformação u é expressa em unidades obtidas dividindo-se as unidades de 
energia por unidades de volume. Assim, a densidade de energia de deformação em unidade do sistema 
métrico SI será expressa em :
Notamos que a densidade de energia de deformação u é igual à área sob a curva da tensão em 
função da deformação específica, medida desde ϵx =0 até ϵx =1. Se o material é descarregado, a 
tensão retorna a zero, mas há uma deformação permanente representada pela deformação 
específica ϵp, e somente a parte da energia de deformação por unidade de volume 
correspondente à área triangular é recuperada. O restante da energia gasta na deformação do 
material é dissipada na forma de calor.
O valor da densidade de energia de deformação obtida fazendo ϵ1= ϵR na Equação (11.4), em que ϵR 
é a deformação específica naruptura, é conhecido como módulo de tenacidade do material. Ele é 
igual à área total sob o diagrama tensão-deformação específica e representa a energia por unidade de 
volume necessária para fazer o material entrar em ruptura. Está claro que a tenacidade do material 
está relacionada com sua ductilidade, bem como a seu limite de resistência , e que a capacidade de 
uma estrutura para resistir a uma força de impacto depende da tenacidade do material utilizado
O valor ue da densidade de energia de deformação obtido fazendo-se σ1= σE na Equação (11.7), 
em que σE é a tensão de escoamento, é chamado de módulo de resiliência do material. Temos:
O módulo de resiliência é igual à área sob a parte reta OE do diagrama tensão-deformação 
específica e representa a energia por unidade de volume que o material pode absorver sem 
escoar. A capacidade de uma estrutura para resistir a uma força de impacto sem se deformar 
permanentemente depende claramente da resiliência do material utilizado. Como o módulo de 
tenacidade e o módulo de resiliência representam valores característicos da densidade de 
energia de deformação do material considerado, eles são ambos expressos em J/m³ ou seus 
múltiplos em unidades SI.
Energia de deformação elástica para tensões normais
Como a barra considerada na seção anterior estava submetida a tensões σx uniformemente 
distribuídas, a densidade de energia de deformação era constante em toda sua extensão e podia ser 
definida pela relação entre a energia de deformação U e o seu volume V, ou seja, U/V. Em um 
elemento estrutural ou peça de uma máquina com uma distribuição de tensão não uniforme, a 
densidade de energia de deformação u pode ser definida considerando-se a energia de deformação 
de um pequeno elemento de material de volume ΔV e escrevendo 
O valor da energia de deformação U de um corpo submetido a tensões normais uniaxiais:
A expressão obtida é válida somente para deformações elásticas e é conhecida como energia de 
deformação elástica do corpo.
Energia de Deformação para Carregamento Axial.
Lembramos que, quando uma barra é submetida a um carregamento axial centrado, as tensões 
normais σx podem ser consideradas uniformemente distribuídas em uma seção transversal. 
No caso de uma barra de seção transversal uniforme sujeita em suas extremidades a forças iguais e 
opostas de intensidade P, a Equação resulta em:
Energia de Deformação na Flexão. 
Considere uma viga AB submetida a um carregamento, e seja M o momento fletor a uma distância 
x da extremidade A. Desprezando por enquanto o efeito da força cortante e levando em conta 
somente as tensões normais σx=My/I, substituímos essa expressão e escrevemos:
Exemplo
. Energia de deformação elástica para tensões de cisalhamento
Energia de Deformação na Torção.
Trabalho e energia em razão de uma única carga
Carga por impacto
Em todo o texto, consideramos que todas as cargas são aplicadas a um corpo de um modo gradual 
tal que, quando elas atingem um valor máximo, permanecem constantes ou estáticas. Entretanto, 
algumas cargas são dinâmicas; isto é, variam com o tempo. Um exemplo comum é a carga 
provocada pela colisão de objetos, denominada carga de impacto. Especificamente, ocorre impacto 
quando um objeto atinge outro de modo tal que forças de grande intensidade são desenvolvidas 
entre eles durante um período muito curto.
Assim, para uma deformação elástica da estrutura, podemos expressar o valor máximo da energia de 
deformação como:
a tensão máxima:
Notamos pela expressão obtida que a seleção de uma barra com um grande volume V e um 
baixo módulo de elasticidade E resultará em um valor menor da tensão máxima σm para um 
carregamento por impacto.
Considerando n 2 na expressão, a barra BCD é submetida a uma força estática Pm, sua 
energia de deformação é
Para Pm, determinamos a força estática que produz na barra a mesma energia de 
deformação do carregamento por impacto: 
A maior tensão ocorre na parte CD da barra. Dividindo Pm pela área A dessa parte, temos:
substituindo Um, temos:
Trabalho e energia devido a várias cargas
Energia de deformação da viga quando atuam nela as forças P1 e P2 como
Levando em conta apenas o efeito das tensões normais, determine a energia de deformação 
da viga prismática AB para o carregamento mostrado.
Usando E 200 GPa, determine a energia de deformação devido à flexão, para a barra de 
aço e o carregamento mostrado.
A barra AC é feita de alumínio e está submetida a um torque T aplicado em C. Sabendo que G 73 GPa 
e que a parte BC da barra é vazada e tem um diâmetro interno de 16 mm, determine a energia de 
deformação da barra para uma tensão de cisalhamento máxima de 120 MPa
impacto
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