VariAível-Complexa1

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Disciplina:Variável Complexa
Código:MAT118
Carga Horária:60
Créditos:4
Pré-requisitos:MAT002
-Números complexos. Topologia de C. Funções analíticas, Equações de Cauchy-Riemann. Funções
Harmônicas. Integração. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy. Séries de Taylor.
Princípio de Máximo. Teorema de Liouville. Singularidades isoladas. Séries de Laurent. Teoremas de
resíduos e aplicações.
Ementa:
-Números Complexos: definição. Propriedades, representação geométrica. Complexos conjugados,
valor absoluto, forma polar. Produtos, potências e quocientes. Raízes. Regiões do plano complexo.
-Funções analíticas: Funções de variável complexa. Mapeamento. Limites. Continuidade. A derivada.
Fórmulas de derivação. Condições de Cauchy-Riemann. Condições suficientes. Funções analíticas.
Funções harmônicas.
-Funções elementares: Funções exponencial, trigonométricas, hiperbólicas, logarítmicas. Ramos.
Propriedades dos logaritmos. Expoentes complexos.
-Transformação de regiões planas, funções elementares: Funções lineares, z, 1
-z, ponto do infinito. Transformação linear fracionária. Função z. Transformações w = exp(z) e w =
sen(z). Transformações sucessivas.
-Transformações conformes: Rotação de tangentes. Transformações conformes. Exemplos. Funções
harmônicas. Transformações de funções harmônicas. Transformações de condições de contorno.
-Aplicações das transformações conformes: Fluxo de calor estacionário. Potencial elétrico. Fluxo de
fluídos.
-Integrais: Integrais definidas. Contornos. Integrais de linha. Teorema de Cauchy. Domínios simples
e multiplamente conexos. Integrais indefinidas. Fórmula integral de Cauchy. Derivadas das funções
analíticas. Módulos máximos de funções.
-Séries de Potências: Séries de Taylor e Laurent. Propriedades.
-Resíduos e pólos: Teorema dos resíduos. Pólos. Quocientes de funções analíticas. Cálculo de
integrais impróprias reais. Integrais com funções trigonométricas.
Programa:
-CHURCHILL, R.V. - Variáveis complexas e suas aplicações. SP. Editora Universitária de São Paulo,
McGraw-Hill do Brasil Ltda.
-COLWELL
-MATHEWS - Introdução às variáveis complexas. SP. Editora Edgard Blucher Ltda.
-KREYSZIG, E. - Matemática Superior. Volume IV, RJ, LTC.
-SPIEGEL, M. R. - Variáveis complexas. SP. Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda.
Bibliografia: