Matemática Aplicada 2

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Unidade II
Unidade II
5 CUSTO TOTAL
A função custo total está associada à produção de uma utilidade (valor “gasto” por uma quantidade 
de bens produzidos).
CT = CF + CV, onde CT é o custo total, CF é o custo fixo e CV é o custo variável.
 Lembrete
Custos fixos permanecem iguais independentemente da produção e das 
vendas. Exemplo: aluguel de escritório.
Custos variáveis mudam proporcionalmente ao nível de produção ou de 
vendas. Exemplo: matéria‑prima de produção.
• Exemplo conforme Silva (2011):
O custo variável médio (custo unitário) de produção de certo bem é de R$ 12,00, e o custo fixo 
associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de 0 a 100 unidades. Se o preço 
de venda, na mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, identifique:
a) A função custo total (CT):
CT = CF + CV
CT = 60 + 12·q
b) A representação gráfica:
Tabela 13
q CT = 60 + 12·q
0 60
100 1260
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MATEMÁTICA APLICADA
CT (R$)
1000
1260
q (quantidade)
60
Figura 16 – Representação gráfica de CT = 60 + 12·q
c) A função receita total (RT):
RT = 20·q
d) O custo total (CT) associado a uma produção de 75 unidades desse bem:
CT = 60 + 12·q
CT = 60 + 12·(75) = 60 + 900 = R$ 960,00
5.1 Exercícios resolvidos passo a passo
1. Um fabricante de camisetas tem, por unidade, um custo de produção de R$ 8,00, e o custo fixo é 
de R$ 1.200.
Figura 17 
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Unidade II
Sabendo que a função custo total CT = 1200 + 8·q está associada à produção das camisetas, 
determine o custo total referente à produção de 230 unidades:
Produção de 230 unidades (q = 230):
CT = 1.200 + 8·(230)
CT = 1.200 + 1.840
CT = R$ 3.040,00
Portanto, o custo total referente à produção de 230 unidades do referido bem será de R$ 3.040,00.
2. Um fabricante de calculadoras tem por custo variável R$ 25,00 e por custo fixo R$ 2.000.
Figura 18 
Sabemos que a função custo total CT = 2000 + 25·q está associada à produção da calculadora. 
Qual será a produção necessária para termos um custo total de R$ 5.000,00?
Custo total de R$ 5.000,00 (CT = R$ 5.000,00):
CT = 5.000,00
2.000 + 25·q = 5.000
25·q = 5.000 – 2.000
25·q = 3.000
q = 3.000
 25
q = 120 unidades produzidas.
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MATEMÁTICA APLICADA
Portanto, a produção necessária para termos um custo total de R$ 5.000,00 é de 120 unidades do 
determinado bem.
3. Marcos vende café em porta de fábrica com um custo fixo de R$ 3,00 e um custo variável 
de R$ 0,60.
Figura 19 
Sabendo‑se que esse produto é vendido a R$ 0,80 a unidade, Marcos precisa vender, pelo menos, q 
unidades do produto para não ter prejuízo. Qual é o valor de q?
Por meio das informações do problema, vamos construir as funções CT e RT:
CT = 3 + 0,60·q (valor “gasto” pela produção de q unidades de determinada utilidade).
RT = 0,80·q (valor “recebido” pela venda de q unidades de determinada utilidade).
Para não ter prejuízo, podemos afirmar que:
LT > 0.
Nesse caso, a função lucro total é:
LT = RT – CT
LT = 0,80·q – (3 + 0,60·q)
LT = 0,80·q – 3 – 0,60·q
LT = 0,20·q – 3
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Unidade II
Considerando LT ≥ 0, temos:
LT ≥ 0
0,20·q – 3 ≥ 0
0,20·q ≥ 3
q ≥ 3 
 0,20
q ≥ 15 unidades
Para LT ≥ 0, temos q ≥ 15 unidades.
Portanto, para não ter prejuízo, Marcos precisa vender pelo menos 15 unidades do produto. O valor 
de q é de 15 unidades.
6 PONTO DE NIVELAMENTO E LUCRO TOTAL
6.1 Ponto de nivelamento
Quando há equilíbrio entre custo e receita, a quantidade produzida é considerada ponto de 
nivelamento. É o equivalente a uma barreira a ser transposta, pois abaixo desse ponto há prejuízo, e 
acima, lucro (BONORA, 2006).
Ponto de nivelamento (ou equilíbrio) é a quantidade (produzida e vendida) de determinada 
mercadoria, que corresponde, ao mesmo tempo, à receita total e ao custo total. Ou seja, lucro zero.
RT = CT
• Exemplo conforme Silva (2011):
São dadas as funções RT = 0,4·q e CT = 3 + 0,1·q para 0 ≤ q ≤ 20 unidades de um determinado produto.
O ponto de nivelamento é:
RT = CT
0,4·q = 3 + 0,1·q
0,4·q – 0,1·q = 3
0,3·q = 3
qe = 3 = 10 unidades
 0,3
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MATEMÁTICA APLICADA
Para uma quantidade qe = 10 unidades (produzida e vendida) de determinada mercadoria, temos RT 
(valor total recebido pela venda) igual ao CT (valor total “gasto” pela produção), portanto, não temos 
lucro nem prejuízo.
Construindo o gráfico para tal situação:
1) Tabelas de valores:
Tabela 14
q RT = 0·4.q
0 0
20 8
Tabela 15
q CT = 3 + 0,1·q
0 3
20 5
2) Representação gráfica:
RT, CT (R$)
0 q (quantidade)
8
5
4
3
10 20
CT = 3 + 0,1 . q
RT = 0,4 . q
Figura 20 – Representação gráfica de RT = 0,4·q e CT = 3 + 0,1·q para 0 < q < 20
Observe no gráfico anterior que, nesse caso, para uma quantidade (produzida e vendida) de 10 
unidades (qe) dessa mercadoria, temos RT = CT = R$ 4,00.
RT = 0,4·q = 0,4·(10) = R$ 4,00
CT = 3 + 0,1·q = 3 + 0,1·(10) = 3 + 1 = R$ 4,00
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Unidade II
6.2 Lucro total
A partir da receita total, ao subtrairmos o custo total, temos o lucro total.
Seja CT o custo total associado à produção de uma utilidade e RT a receita total referente à venda 
dessa utilidade.
A função lucro total (LT) associada à produção e à venda da utilidade é dada por:
LT = RT – CT
Vamos analisar o gráfico do exemplo anterior com mais atenção:
RT, CT (R$)
0
q (quantidade)
8
5
4
3
10 20
CT = 3 + 0,1 . q
RT = 0,4 . q
Figura 21 – Representação gráfica de RT = 0,4·q e CT = 3 + 0,1·q para 0 < q < 20
• anteriormente, observamos que o ponto de nivelamento, nesse caso, é qe = 10 unidades (RT = CT). 
Não existe lucro nem prejuízo para tal quantidade produzida e vendida;
• para uma quantidade (produzida e vendida) entre 0 e 10 unidades (0 ≤ q < 10), o gráfico do 
custo está acima do gráfico da receita. Isso significa que, nessa faixa, o custo total é maior que a 
receita total (CT > RT), ou seja, o “gasto” excede o “valor recebido”. Nessa faixa de bens produzidos 
e vendidos existirá prejuízo;
• para uma quantidade (produzida e vendida) entre 10 e 20 unidades de determinado bem (10 < q 
≤ 20), o gráfico do custo está abaixo do gráfico da receita. Isso significa que, nessa faixa, o custo 
total é menor que a receita total (CT < RT), ou seja, o “valor recebido” excede o “gasto”. Nessa faixa 
de bens produzidos e vendidos existirá lucro.
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MATEMÁTICA APLICADA
Tudo isso pode ser representado algébrica e graficamente por meio da função lucro (LT = RT – CT). 
Veja:
Sabendo que as funções dadas no exemplo foram RT = 0,4·q e CT = 3 + 0,1·q para 0 ≤ q ≤ 20, 
obtemos:
LT = 0,4·q – (3 + 0,1·q)
LT = 0,4·q – 3 – 0,1·q
LT = 0,3·q – 3 (para: 0 ≤ q ≤ 20).
Inserindo a representação gráfica da função lucro:
1) Tabela de valores
Tabela 16
q LT = 0,3·q – 3 
0 ‑ 3 
20 3
2) Representação gráfica
RT, CT, LT (R$)
0
q (quantidade)
8
5
4
3
10 20
CT = 3 + 0,1 . q
RT = 0,4 . q
LT = 0,3 . q ‑ 3
+++
‑3
Figura 22 – Representação gráfica de LT = 0,3·q – 3 (para: 0 < q < 20)
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Unidade II
6.3 Exercícios resolvidos passo a passo
1. Considere as funções RT = 3,5·q e CT = 10 + 1,5·q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada 
mercadoria. Qual é o ponto de nivelamento?
RT = CT
3,5·q = 10 + 1,5·q
3,5·q – 1,5·q = 10
2·q = 10
q = 10
 2
q = 5 unidades (ponto de nivelamento)
Portanto, para cinco unidades (qe) de mercadorias produzidas e vendidas, não teremos lucro nem 
prejuízo (LT = 0).
2. Considere as funções RT = 3·q e CT = 6 + q, para 0 ≤ q ≤ 10 unidades de determinada mercadoria. 
Qual é a função lucro total?
A função lucro total é construída da seguinte maneira:
LT = RT – CT
LT = 3·q – (6 + q)
LT = 3·q – 6 – q
LT = 2·q – 6
Portanto, nesse caso, a função lucro total pode ser escrita como LT = 2·q – 6.
3. Considere a função lucro total LT = 8·q – 3.600, para 0 ≤ q ≤ 1.500 unidades de um determinado 
bem. Qual é o lucro total referente à produção de 600 unidades dessa mercadoria?
LT = 8·q – 3.600
LT = 8·(600) – 3.600
LT = 4.800 – 3.600
LT = R$ 1.200,00
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MATEMÁTICA APLICADA
Portanto, o lucro total referente à produção de 600 unidades dessamercadoria é de R$ 1.200,00.
4. Considere a função lucro total LT = 7·q – 3.500, para 0 ≤ q ≤ 2.000 unidades de determinado bem. 
Qual será a produção necessária para que ocorra RT = CT?
Observe que RT = CT corresponde a LT = 0.
Portanto:
LT = 0
7·q – 3.500 = 0
7·q = 3.500
q = 3.500
 7
q = 500 unidades produzidas
Será necessária uma produção de 500 unidades desse bem para que ocorra RT = CT, ou seja, para 
que não ocorra lucro nem prejuízo.
A utilidade prática de calcular o ponto de nivelamento e o lucro total reside na necessidade das 
organizações de projetar seus investimentos em aumento de produção, por exemplo. A pergunta básica 
nesse caso é: valerá a pena investir x se o ponto de nivelamento for muito difícil de atingir?
 Saiba mais
Leia o artigo Considerações acerca do ponto de equilíbrio como 
ferramenta gerencial, de Edmar José Zorzal. Disponível em: <http://www.
novomilenio.br/foco/1/artigo/5_Ponto_de_equilbrio_artigo.pdf>.
 Resumo
Vimos alguns valores cujos cálculos são rotineiros para os administradores: 
o custo total e o lucro total.
Custo total é o valor gasto por uma quantidade de bens produzidos, 
obtido pela soma de custos fixos e variáveis.
A partir da receita total, ao subtrairmos o custo total, temos o lucro 
total, que revela o lucro de um dos bens produzidos.
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Unidade II
Também estudamos o conceito de ponto de nivelamento.
Quando há equilíbrio entre custo e receita, a quantidade produzida é 
considerada ponto de nivelamento. É o equivalente a uma barreira a ser 
transposta, pois abaixo desse ponto há prejuízo, e acima, lucro. Uma das 
muitas tarefas dos administradores é gerenciar o ponto de nivelamento dos 
bens produzidos pela empresa, pois é a partir daí que perseguimos o lucro.
 Exercícios
Questão 1 (ENADE 2006). Analise a figura a seguir:
Fábricas Depósitos
1
2
1
2
3
R$ 5,00/t
R$ 6,00/t
R$ 
4,0
0/t
R$ 3,0
0/t
R$ 5,00/t
R$ 4,00/t
Demanda = 1.000
Demanda = 1.500
Demanda = 500
Figura
A Cia. de Produtos Vegetais – CPV possui duas fábricas que abastecem três depósitos. As fábricas 
têm um nível máximo de produção baseado nas suas dimensões e nas safras previstas. Os custos 
em R$/t estão anotados em cada rota (ligação entre as fábricas e depósitos). José de Almeida, 
estudante de Administração, foi contratado pelo Departamento de Logística com a finalidade de 
atender a demanda dos depósitos sem exceder a capacidade das fábricas, minimizando o custo 
total do transporte.
Em sua decisão ele considerou as seguintes situações:
I – 1.000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 1. A demanda restante deve 
ser suprida a partir da Fábrica 1;
II – 2.500 unidades devem ser transportadas da Fábrica 1 para os Depósitos 1 e 2. A demanda 
restante deve ser suprida a partir da Fábrica 2;
III – 1.000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 2. A demanda restante 
deve ser suprida a partir da Fábrica 1.
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MATEMÁTICA APLICADA
Apresenta(m) o(s) menor(es) custo(s) apenas a(s) situação(ões):
A) I.
B) II.
C) III.
D) I e III.
E) II e III.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das afirmativas
I) Afirmativa correta.
Justificativa: como 1000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 1, a 
demanda restante deve ser 1500 unidades transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 2, e 500 unidades 
transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 3. Sabendo‑se que a receita total é dada por RT = P0 . q, 
sendo P o preço fixo e q as quantidades (demanda), podemos determinar RT:
Quando 1000 unidades são transportadas da Fábrica 2 para o Depósito I temos que RT = 4 . 1000 = 4000.
Quando 1500 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 2, temos que RT = 4 . 1500 = 6000.
Quando 500 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 3, temos que RT = 6 . 500 = 3000.
Assim, o custo total será a soma das receitas RT = 4000 + 6000 + 3000, que será igual a R$ 13.000,00.
II) Afirmativa incorreta.
Justificativa: como 2500 unidades devem ser transportadas da Fábrica 1 para os Depósitos 1 e 2, 
a demanda restante deve ser 500 unidades transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 3. Sabendo‑se 
que a receita total é dada por RT = P0 . q, sendo P o preço fixo e q as quantidades (demanda), podemos 
determinar RT:
Quando 1000 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito I temos que RT = 5 . 1000 = 5000.
Quando 1500 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 2, temos que RT = 4 . 1500 = 6000.
Quando 500 unidades são transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 3, temos que RT = 5 . 500 = 2500.
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Unidade II
Assim, o custo total será a soma das receitas RT = 5000 + 6000 + 2500, que será igual a R$ 13.500,00.
III) Afirmativa correta.
Justificativa: como 1000 unidades devem ser transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 2, a 
demanda restante deve ser 1000 unidades transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 1, 500 unidades 
transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 2 e 500 unidades transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 
3. Sabendo‑se que a receita total é dada por RT = P0 . q, sendo P o preço fixo e q as quantidades 
(demanda), podemos determinar RT:
Quando 1000 unidades são transportadas da Fábrica 2 para o Depósito 2 temos que RT = 3 . 1000 = 3000.
Quando 1000 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 1, temos que RT = 5 . 1000 = 5000.
Quando 500 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 2, temos que RT = 4 . 500 = 2000.
Quando 500 unidades são transportadas da Fábrica 1 para o Depósito 3, temos que RT = 6 . 500 = 3000.
Assim, o custo total será a soma das receitas RT = 3000 + 5000 + 2000 + 3000, que será igual a R$ 13.000,00.
Questão 2 (ENADE 2006). A Cia. Alonso de Auto Peças Ltda. distribui peças para oficinas de 
reparo de automóveis localizadas em grande área metropolitana. Embora se trate de um mercado 
competitivo, a Cia. Alonso gostaria de oferecer níveis de estoque adequados às oficinas atendidas, 
ao mesmo tempo em que deseja maximizar seus lucros. Ela é sabedora de que, à medida que 
aumenta a percentagem média de atendimentos aos clientes (nível de serviço), maior é seu custo 
de estoques. A fim de determinar a influência dos níveis de estoque no percentual de atendimento 
aos clientes, a Alonso fez um levantamento dos principais itens de seu estoque nos últimos seis 
meses. A seguinte tabela foi preparada:
Tabela 17
Percentagem média 
de atendimento aos 
clientes
Nível médio 
mensal de estoque
(R$)
Custos de estoques 
mensais
(R$)
Receita média de 
vendas mensais
(R$)
80% 27.500,00 550,00 900,00
85% 30.000,00 600,00 1.200,00
90% 35.000,00 700,00 1.400,00
95% 40.000,00 800,00 1.450,00
98% 50.000,00 1.000,00 1.600,00
A partir dos dados apresentados nessa tabela, pode‑se concluir que o maior lucro ocorrerá quando 
o nível de serviço for equivalente a:
51
MATEMÁTICA APLICADA
A) 80%.
B) 85%.
C) 90%.
D) 95%.
E) 98%.
Resolução desta questão na plataforma.