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Exercícios Navier Stokes
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𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜌 (𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 (
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
)
𝜌 (𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇 (
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
)
𝜌 (𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
)
Escoamento completamente desenvolvido em um tubo redondo – Escoamento de Poiseuille
1
𝑟
𝜕𝑟𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
𝜌 (𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝜃
−
𝑢𝜃
2
𝑟
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑟 −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 {
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
[𝑟𝑢𝑟]) +
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑢𝑟
𝜕𝑥2
}
𝜌 (𝑢𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝑢𝑟𝑢𝜃
𝑟
+ 𝑢
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝜃 −
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 {
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
[𝑟𝑢𝜃]) +
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝑥2
}
𝜌 (𝑢𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜃
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 {
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
}
1
𝑟
𝜕𝑟𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
𝜌 (𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝜃
−
𝑢𝜃
2
𝑟
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑟 −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 {
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
[𝑟𝑢𝑟]) +
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑢𝑟
𝜕𝑥2
}
𝜌 (𝑢𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝑢𝑟𝑢𝜃
𝑟
+ 𝑢
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝜃 −
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 {
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
[𝑟𝑢𝜃]) +
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝑥2
}
𝜌 (𝑢𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝜃
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
) = 𝜌�⃗�𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 {
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
}
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