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Humanas / Sociais

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Resumos e atualidades

19/04/2023

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Matemática Discreta
Unidade 32: Recorrências Lineares não Homogêneas (1)
Renato Carmo
David Menotti
Departamento de Informática da UFPR
Segundo Peŕıodo Especial de 2020
Recorrência Linear não Homogênea
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
a1, . . . , ak ∈ C
g : N→ C
Recorrência Linear não Homogênea
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
a1, . . . , ak ∈ C
g : N→ C
Recorrência Linear não Homogênea
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
a1, . . . , ak ∈ C
g : N→ C
Recorrência Linear não Homogênea
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
a1, . . . , ak ∈ C
g : N→ C
Teorema 37
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f (n) satisfaz uma RLH cujo PC é
G (X k − a1X k−1 − . . .− ak−2X 2 − ak−1X − ak)
Teorema 37
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f (n) satisfaz uma RLH cujo PC é
G (X k − a1X k−1 − . . .− ak−2X 2 − ak−1X − ak)
Teorema 37
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
g(n) satisfaz uma RLH
cujo PC é G
f (n) satisfaz uma RLH cujo PC é
G (X k − a1X k−1 − . . .− ak−2X 2 − ak−1X − ak)
Teorema 37
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f (n) satisfaz uma RLH cujo PC é
G (X k − a1X k−1 − . . .− ak−2X 2 − ak−1X − ak)
Teorema 37
f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + . . . + ak f (n − k) + g(n), para todo n ≥ k
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f (n) satisfaz uma RLH cujo PC é
G (X k − a1X k−1 − . . .− ak−2X 2 − ak−1X − ak)
Corolário 38
g(n) = cnk rn satisfaz uma RLH cujo PC é (X − r)k+1
Corolário 38
g(n) = cnk rn
satisfaz uma RLH cujo PC é (X − r)k+1
Corolário 38
g(n) = cnk rn satisfaz uma RLH cujo PC é (X − r)k+1
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F
= X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n)
= f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n)
= a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G
= FG (T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG
(T. 37)
Corolário 39
f , g : N→ C satisfazem RLHs cujos PCs são F e G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é FG
Demonstração.
f satisfaz uma RLH cujo PC é F = X k − a1X k−1 − . . .− ak
f (n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k), para todo n ≥ k
(f + g)(n) = f (n) + g(n) = a1f (n − 1) + . . . + ak f (n − k) + g(n)
g(n) satisfaz uma RLH cujo PC é G
f + g satisfaz uma RLH cujo PC é (X k − a1X k−1 − . . .− ak)G = FG (T. 37)