lista3.derivada_complexa (1)

Prévia do material em texto

3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa
(Derivada Complexa)
Aluno(a):
1. Verifique, por definição, que:
(a) Se f(z) = z3, então f ′(z) = 3z2.
(b) Se f(z) = zn, onde n ∈ N, então f ′(z) = nzn−1.
2. Seja f(z) = z. Verifique que:
(a) Não existe f ′(0).
(b) Em geral, não existe f ′(z0), seja qual for z0 ∈ C.
3. (a) Se f é derivável em z0, mostre que f é cont́ınua em z0.
(b) Dê exemplo de uma função cont́ınua que não é derivável.
4. Mostre que:
(a) Toda função polinomial p(z) = a0 + a1z + a2z
2 + · · ·+ anzn é derivável e
p′(z) = a1 + 2a2z + · · ·+ nanzn−1.
(b) Toda função racional é derivável.
5. Seja z ̸= 0. Mostre que:
(a)
(
1
z
)′
= − 1
z2
.
(b) Em geral, (zn)′ = nzn−1, para n < 0 inteiro.
Engenharia de Telecomunicações -1- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
6. Seja f : C → C a função dada por f(z) = |z|2. Mostre que:
(a) f(z0+h)−f(z0)
h
= z0 + h+ z0
h
h
, para h ̸= 0.
(b) f ′(0) = 0.
(c) f possui derivada somente em z0 = 0.
7. Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(z) = iz
5+2z−i
(z2+1)3
.
(b) g(z) = 1+2i−z
8
(z2+i)3
.
(c) p(z) = (z3 + z2 + z + 1)2022.
(d) q(z) = (2 + z3 + 4z5 + 6z7)2023!.
8. (Derivada de uma função inversa) Seja f : U → V uma função que possui
inversa g = f−1 : V → U , onde U e V são abertos de C. Se f é derivável no
ponto z0 ∈ U e g é cont́ınua no ponto w0 = f(z0), então g é derivável no ponto
w0 se, e somente se, f
′(z0) ̸= 0. No caso afirmativo, g′(w0) = 1f ′(z0) .
9. Verifique se a função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) satisfaz as equações de Cauchy-
Riemann.
(a) f(z) = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3).
(b) f(z) = e−y(cosx+ isenx).
(c) f(z) = 3x2y − y3 + i(3xy2 − x3).
(d) f(z) = ex(cos y + iseny).
10. Verifique que:
(a) A função f(z) = |z|2 satisfaz as equações de Cauchy-Riemann apenas para
z = 0.
(b) A função f(z) = z não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em ne-
nhum ponto z ∈ C.
Engenharia de Telecomunicações -2- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
11. Seja f(z) =
{
0 + 0i se xy = 0
1 + 0i se xy ̸= 0 .
(a) Verifique que f satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em z0 = 0.
(b) Apesar de (a), verifique que f não é derivável em z0 = 0.
12. Sejam f(z) = cosh x cos y + i senhx seny e g(z) = senhx seny − i coshx cos y.
(a) Verifique que f e g são deriváveis em todos os pontos.
(b) Calcule f ′(z) e g′(z).
13. Considere a função f : D → C, dada por f(z) = z
1−|z| . Mostre que:
(a) f é uma bijeção cont́ınua.
(b) A função inversa g = f−1 : C → D é dada por g(z) = z
1+|z| , e também é
cont́ınua.
(c) f ′(0) = 1 e g′(0) = 1.
(d) Não existem as derivadas f ′(i/2) e g′(i).
14. Seja f : U → C uma função holomorfa definida no aberto conexo U ⊂ C.
(a) Se f ′(z) = 0, para todo z ∈ U , então f é constante.
(b) Se u = Re(f) = 0, então f é uma função constante.
(c) Se v = Im(f) = 0, então f é uma função constante.
(d) Se f(U) está contido em uma reta, então f é uma função constante.
(e) Se f(U) está contido em um ćırculo, então f é uma função constante.
(f) Se |f | é holomorfa, então f é uma função constante.
15. ConsidereA = {z ∈ C; Re(z) > 0 ou Re(z) < 0} e f(z) =
{
1 se Re(z) > 0
−1 se Re(z) < 0 .
(a) Verifique que A é aberto e que f ′(z) = 0, para todo z ∈ A.
(b) Por que isso não contradiz o exerćıcio anterior?
Engenharia de Telecomunicações -3- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
16. Calcule ∂f
∂z
e ∂f
∂z
nos casos abaixo:
(a) f(z) = 1 + 2z + 3z + 4z2 + 5|z|2 + 6z2.
(b) f(x, y) = 1 + 2x+ 3y + 4x2 + 5xy + 6y2.
17. Seja f(z) = z(1 + 2|z|sen(1/|z|)), z ̸= 0, f(0) = 0. Calcule f ′(0). Verifique se
existe f ′(z) para todo z ∈ C.
18. Seja f : C → C uma função inteira.
(a) Mostre que a função g(z) = f(z) também é inteira.
(b) Mostre que h(z) = f(z) é derivável em 0 se, e somente se, f ′(0) = 0.
19. Sejam u, v : U ⊂ C → R funções com derivadas parciais de segunda ordem
cont́ınuas. Se f = u+ iv é holomorfa, mostre que u e v são harmônicas.
20. Se duas funções harmônicas u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann,
então v é dita conjugada harmônica de u.
(a) Verifique que u(x, y) = x2 − y2 é uma função harmônica.
(b) Verifique que v(x, y) = 2xy é conjugada harmônica de u.
(c) Identifique a função holomorfa f = u+ iv.
21. (a) Verifique que u(x, y) = ex cos y é uma função harmônica.
(b) Encontre uma conjugada harmônica de u(x, y) = ex cos y.
(c) Ache uma função holomorfa f tal que u = Re(f).
22. Sejam v e v∗ conjugadas harmônicas de uma função u : U → R, definida em
um aberto conexo U ⊂ C. Mostre que v e v∗ diferem por uma constante.
23. (Existência da conjugada harmônica) Seja U um disco aberto ou o plano todo.
Se u : U → R é uma função harmônica, mostre que u tem uma conjugada
harmônica.
Engenharia de Telecomunicações -4- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
24. Verifique que:
(a) |ez| = ex > 0, para todo z = x+ iy ∈ C.
(b) ez = ez, para todo z ∈ C.
(c) (ez)−1 = e−z, para todo z ∈ C.
(d) ez+w = ez · ew, para quaisquer z, w ∈ C.
(e) (ez)n = enz, para quaisquer z ∈ C e n ∈ Z.
(f) ez = 1 se, e somente se, z = 2kπi, para algum k ∈ Z.
25. Seja f : C → C, dada por f(z) = ez. Mostre que f é uma função inteira e que
f ′(z) = f(z), para todo z ∈ C.
26. Seja f : C → C uma função inteira tal que f(0) = 1 e f ′(z) = f(z), para todo
z ∈ C. Mostre que f(z) = ez, para todo z ∈ C.
27. Defina o seno e o cosseno complexos por
cos z = 1
2
(eiz + e−iz) e sen z = 1
2i
(eiz − e−iz).
Verifique que:
(a) cos, sen : C → C são funções inteiras.
(b) cos′ z = −sen z, para todo z ∈ C.
(c) sen′z = cos z, para todo z ∈ C.
(d) cos z = cos z, para todo z ∈ C.
(e) sen z = sen z, para todo z ∈ C.
28. Para z, w ∈ C, mostre que:
(a) cos2 z + sen2z = 1.
(b) cos(z + w) = cos z cosw − senz senw.
(c) sen(z + w) = senz cosw + senw cos z.
(d) | cos z|2 + |senz|2 = 1 se, e somente se, z é real.
Engenharia de Telecomunicações -5- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
29. Seja f : U → C uma função holomorfa tal que sen(f(z)) = z, para todo z ∈ U .
Prove que (f ′(z))2 = 1/(1− z2). Prove que π
2
̸∈ f(U).
30. A partir das relações usuais, são definidas as demais funções trigonométricas:{
tg z = sen z
cos z
; cotg z = cos z
sen z
sec z = 1
cos z
; cossec z = 1
sen z
. Mostre que:
(a) tg′z = sec2 z. (c) sec′ z = sec z tg z.
(b) cotg′z = −cossec2z. (d) cossec′z = −cossecz cotgz.
31. Defina o seno e o cosseno hiperbólicos complexos por
cosh z = 1
2
(ez + e−z) e senh z = 1
2
(ez − e−z).
Verifique que:
(a) cosh, senh : C → C são funções inteiras.
(b) cosh′ z = senhz, para todo z ∈ C.
(c) senh′z = cosh z, para todo z ∈ C.
(d) cosh2 z − senh2z = 1, para todo z ∈ C.
(e) senh(z + πi) = −senhz e cosh(z + πi) = − cosh z, para z ∈ C.
32. Seja D0 = C − {(x, 0); x ≤ 0} o domı́nio do ramo principal do logaritmo.
Considere os abertos U1 = {z ∈ C; Re(z) > 0}, U2 = {z ∈ C; Im(z) > 0} e
U3 = {z ∈ C; Im(z) < 0}. Mostre que:
(a) D0 = U1 ∪ U2 ∪ U3.
(b) Em U1, tem-se arg0z = arcsen
[
Im(z)
|z|
]
.
(c) Em U2 ∪ U3, tem-se arg0z = arccos
[
Re(z)
|z|
]
.
(d) As funções arg0z e log z = ln |z|+ i arg0z são cont́ınuas em D0.
33. Mostre que todo ramo de logaritmo log : Dϕ → C, log z = ln |z| + i argϕz, é
uma função holomorfa e vale log′(z) = 1
z
, para todo z ∈ Dϕ.
Engenharia de Telecomunicações -6- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
34. Sejam U = {z ∈ C; Re(z) > 0} e log o ramo principal do logaritmo.
(a) Verifique que 1 + i, 1− i e (1 + i)(1− i) pertencem a U .
(b) Calcule log(1 + i) e log(1− i).
(c) Verifique que log[(1 + i)(1− i)] = log(1 + i) + log(1−i).
(d) Em geral, mostre que log(z · w) = log z + logw, para quaisquer z, w ∈ U
tais que z · w ∈ U .
(e) Conclua que log z2 = 2 log z, para todo z ∈ U tal que z2 ∈ U .
35. O chamado paradoxo de Bernoulli é o seguinte:
(−z)2 = z2 =⇒ 2 log(−z) = 2 log z =⇒ log(−z) = log z.
Aonde está o erro?
36. Determine um aberto não vazio U ⊂ C tal que f(z) = 1
i
log(z+
√
z2 − 1) esteja
bem definida em U . Prove que cos(f(z)) = z, para todo z ∈ U . Faça o mesmo
para g(z) = 1
i
log(z −
√
z2 − 1).
37. (a) Prove que a equação tg2(z) = −1 não tem solução.
(b) Prove que a restrição tg|(−π/2, π/2) : (−π/2, π/2) → R possui uma in-
versa arctg : R → (−π/2, π/2).
(c) Considerando o ramo principal do logaritmo, prove que arctg(t) = 1
2i
log( i−t
i+t
),
para todo t ∈ R. Conclua que arctg′(t) = 1
1+t2
.
38. Usando o ramo principal de zλ, calcule 1i, 2i, 21+i, ii e (2i)i.
39. Mostre que todas as determinações de ii são reais e dadas por
exp −(4k+1)π
2
, k ∈ Z.
40. Sejam z, w, λ, µ ∈ C. Se as expressões abaixo estiverem bem definidas em um
ramo de logaritmo, mostre que:
(a) zλ+µ = zλzµ.
(b) (zw)λ = zλwλ.
Engenharia de Telecomunicações -7- UFC - Fortaleza
3.ª Lista de Exerćıcios de Variável Complexa Prof. Marcelo Melo
Sugestões e Respostas
2. Verifique que o limite depende do caminho. 4-5. Use as regras de derivação.
8. Supondo g derivável em w0, use a Regra da Cadeia para obter g
′(w0)·f ′(z0) = 1.
Reciprocamente, supondo f ′(z0) ̸= 0, use a definição para calcular g′(w0).
11. (a) Calcule as derivadas parciais utilizando a definição. (b) Verifique que f
não é cont́ınua em z0 = 0.
12. (a) Para f = u+ iv, verifique que u, v possuem derivadas parciais cont́ınuas
e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. (b) Uma opção: f ′(z) = ∂u
∂x
+ i ∂v
∂x
.
13. (c) Calcule as derivadas utilizando a definição. (d) Verifique que as equações
de Cauchy-Riemann não são satisfeitas.
14. Use as equações de Cauchy-Riemann. 15. (b) O aberto A não é conexo.
18. (a) Por definição, mostre que g′(z) = f ′(z). (b) Calcule lim
z→0
h(z)− h(0)
z
.
19. Use as Equações de Cauchy-Riemann e a Regra de Schwarz.
20. (c) f(z) = z2. 21. (b) v(x, y) = exseny + C, onde C é constante.
22. Use as equações de Cauchy-Riemann para obter ∇v = ∇v∗.
23. Considere a função v : U → R dada por
v(x, y) =
∫ y
0
∂u
∂x
(x, t) dt−
∫ x
0
∂u
∂y
(s, 0) ds.
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para obter ∂v
∂y
= ∂u
∂x
. Use a Regra de Leibniz
para obter ∂v
∂x
=
∫ y
0
∂u2
∂x2
(x, t) dt− ∂u
∂y
(x, 0). Conclua que ∂v
∂x
= −∂u
∂y
.
26. Defina g : C → C por g(z) = e−zf(z). Mostre que g′(z) = 0, para todo z ∈ C.
33. Utilize o exerćıcio 8. 35. Veja o exerćıcio anterior.
40. Escreva zλ = eλ log z e utilize as propriedades da exponencial e do logaritmo.
Engenharia de Telecomunicações -8- UFC - Fortaleza