aula2-Matematica

Prévia do material em texto

O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
bettega@fisica.ufpr.br
Escola de Verão de Física de Curitiba - 2019
.
Introdução
Vamos discutir nesta aula, de forma bastante resumida, o formalismo matemático
da mecânica quântica. Primeiro vamos conversar sobre o espaço de funções de
onda e depois sobre o espaço de estados (ambos são espaços vetoriais
complexos), introduzindo o conceito de vetor de estado.
Função de onda
Espaço F (espaço vetorial complexo): espaço das funções quadraticamente
integráveis.
ψ(r, t) ∈ F −→
∫ +∞
−∞
|ψ(r, t)|2d3r = finito
Normalização:
ψ(r, t) ∈ F −→
∫ +∞
−∞
|ψ(r, t)|2d3r = 1
Interpretação de ψ(r, t) (representa o estado de uma partícula sem spin):
|ψ(r, t)|2d3r fornece a probabilidade de encontrar a partícula no elemento de
volume d3r, no instante de tempo t.
Produto escalar de ψ(r) por ϕ(r) (número complexo):
ψ(r), ϕ(r) ∈ F → (ϕ,ψ) =
∫ +∞
−∞
ϕ∗(r)ψ(r)d3r
Princípio de superposição: ψ1(r), ψ2(r) ∈ F → λ1ψ1(r) + λ2ψ2(r) ∈ F
Função de onda
Propriedades do produto escalar:
(ϕ,ψ) = (ψ,ϕ)∗; (ϕ, λ1ψ1 + λ2ψ2) = λ1(ϕ,ψ1) + λ2(ϕ,ψ2)
(λ1ϕ1 + λ2ϕ2, ψ) = λ
∗
1(ϕ1, ψ) + λ
∗
2(ϕ2, ψ); (ψ,ψ) ≥ 0(= 0→ ψ = 0)
Função de onda
Bases discretas {ui(r)} e bases contínuas {vp(r)}:
Vamos considerar um conjunto ortonormal discreto de funções quadraticamente
integráveis {ui(r)}:
(ui, uj) = δij ;ψ(r) =
∑
i
ciui(r); ci = (ui, ψ)
O conjunto {ui(r)} é completo?
ψ(r) =
∑
i
(ui, ψ)ui(r) =
∑
i
[∫
u∗i (r
′)ψ(r′)d3r′
]
ui(r)
ou
ψ(r) =
∫ [∑
i
u∗i (r
′)ui(r)
]
ψ(r′)d3r′
Desta forma concluímos que:∑
i
u∗i (r
′)ui(r) =
∑
i
ui(r)u
∗
i (r
′) = δ(r− r′)
Função de onda
A expressão acima fornece a relação de completeza da base. Para entender isso,
podemos escrever ψ(r) como:
ψ(r) =
∫
δ(r− r′)ψ(r′)d3r′
e escolhemos a base através da completeza via δ(r− r′).
Vamos agora considerar um conjunto "ortonormal"de ondas planas
{vp(r) = exp(ip · r/~)/(2π~)3/2} (não são quadraticamente integráveis):
(vp, vp′) = δ(p− p′);ψ(r) =
∫
ψ̄(p) exp(ip · r/~)/(2π~)3/2d3p
ψ̄(p) =
∫
exp(−ip · r/~)/(2π~)3/2ψ(r)d3r = (vp, ψ)
A completeza da base é: ∫
v∗p(r
′)vp(r)d
3p = δ(r− r′)
Note que ψ(r) e ψ̄(p) são transformadas de Fourier uma da outra. No caso
unidimensional temos que ∆x∆px ∼ ~. Isto leva ao princípio da incerteza de
Heisenberg.
Operadores lineares
Operador linear A:
Aψ(r) = ψ′(r);A[λ1ψ1(r) + λ2ψ2(r)] = λ1Aψ1(r) + λ2Aψ2(r) = λ1ψ
′
1(r) + λ2ψ
′
2(r)
Comutador de dois operadores lineares A e B: [A,B] = AB −BA
Considere X e Px definidos como:
Xψ(r) = xψ(r);Pxψ(r) = −i~
∂
∂x
ψ(r)
Como fica [X,Px]? Vamos atuar o comutador em ψ(r):
[X,Px]ψ(r) = (XPx − PxX)ψ(r) = X (Pxψ(r))− Px (Xψ(r)) =
= −i~x ∂
∂x
ψ(r) + i~ ∂
∂x
(xψ(r)) = i~
Vetor de estado
Como representar o estado de uma partícula com spin? O spin não pode ser
representado por uma função de coordenadas.
Espaços de estado Er (partícula sem spin) e E :
Ket (vetor): |ψ〉 ∈ Er ⇔ ψ(r) ∈ F
Produto escalar: (|ϕ〉, |ψ〉) = (ϕ,ψ)
Espaço E : |ψ〉 ∈ E . Postulamos:
"O estado quântico de qualquer sistema físico é representado por um ket de estado
que pertence ao espaço de estado E do sistema."
Espaço E∗: bra 〈ψ|
Produto escalar: (|ϕ〉, |ψ〉) = 〈ϕ|ψ〉; 〈ϕ|ψ〉 = 〈ψ|ϕ〉∗
Propriedades do produto escalar:
〈ϕ|ψ〉 = 〈ψ|ϕ〉∗; 〈ϕ|λ1ψ1 + λ2ψ2〉 = λ1〈ϕ|ψ1〉+ λ2〈ϕ|ψ2〉
〈λ1ϕ1 + λ2ϕ2|ψ〉 = λ∗1〈ϕ1|ψ〉+ λ∗2〈ϕ2|ψ〉; 〈ψ|ψ〉 ≥ 0(= 0→ |ψ〉 = 0)
Normalização: 〈ψ|ψ〉 = 1
Operadores lineares
A é um operador linear que atua em E :
A|ψ〉 = |ψ′〉;A [λ1|ψ1〉+ λ2|ψ2〉] = λ1A|ψ1〉+ λ2A|ψ2〉 = λ1|ψ′1〉+ λ2|ψ′2〉
Projetor Pψ = |ψ〉〈ψ|:
Pψ|ϕ〉 = (|ψ〉〈ψ|)|ϕ〉 = |ψ〉(〈ψ|ϕ〉) = (〈ψ|ϕ〉)|ψ〉
O axioma associativo: "Todo o bracket completo representa um número (em geral
complexo) e todo o bracket incompleto representa um vetor, que pode ser bra ou
ket, dependendo se a expressão final contem a primeira ou a segunda parte dos
brackets."
〈ϕ|(|ψ〉〈ψ|) = 〈ψ|(〈ϕ|ψ〉)
Operador adjunto Hermitiano A† de A: A|ψ〉 = |ψ′〉 ⇔ 〈ψ|A† = 〈ψ′|
〈ψ′|ϕ〉 = 〈ϕ|ψ′〉∗ ⇔ 〈ψ|A†|ϕ〉 = 〈ϕ|A|ψ〉∗
Operadores lineares
Conjugação Hermitiana:
E ⇔ E∗
|ψ〉 〈ψ|
λ λ∗
A A†
A|ψ〉 〈ψ|A†
Pode-se mostrar que:
(A†)† = A; (AB)† = B†A†; (A+B)† = A† +B†; (λA)† = λ∗A†
Operadores lineares
Operador Hermitiano: A† = A.
〈ψ|A†|ϕ〉 = 〈ψ|A|ϕ〉 = 〈ϕ|A|ψ〉∗
.
Funções de um operador linear A, F (A).
F (A) =
∞∑
n=0
fnA
n; expA =
∞∑
n=0
1
n!
An = 11 +A+
A2
2!
+
A3
3!
+ · · ·
Autovetores e autovalores: A|ψ〉 = λ|ψ〉
No caso da equação de Schrödinger independente do tempo: H|ϕ〉 = E|ϕ〉
H =
P2
2m
+ V (R)
onde P é o operaror momentum linear e R é o operador posição (voltaremos a eles
mais tarde).
Para um operador Hermitiano, os autovalores são números reais e os autovetores
associados à autovalores diferentes são ortogonais.
NA MQ as observáveis físicas, como energia, momentum linear, momentum
angular, posição etc, são representadas por operadores Hermitianos.
Operadores lineares
Bases discretas {|ui〉} e contínuas {|r〉}, {|p〉}.
Base discreta:
〈ui|uj〉 = δij ; |ψ〉 =
∑
i
ci|ui〉; ci = 〈ui|ψ〉
onde ci é a componente do vetor |ψ〉 na direção |ui〉. Temos então:
|ψ〉 =
∑
i
(〈ui|ψ〉) |ui〉 =
∑
i
|ui〉 (〈ui|ψ〉) =
(∑
i
|ui〉〈ui|
)
|ψ〉
onde a relação de completeza é: ∑
i
|ui〉〈ui| = 11
Aplicações:
〈ϕ|ψ〉 = 〈ϕ|11|ψ〉 = 〈ϕ|
(∑
i
|ui〉〈ui
)
|ψ〉 =
∑
i
〈ϕ|ui〉〈ui|ψ〉 =
∑
i
d∗i ci
Operadores lineares
Expansão do operador A na base {|ui〉}:
A = 11A11 =
(∑
i
|ui〉〈ui|
)
A
(∑
j
|uj〉〈uj |
)
=
∑
i
∑
j
〈ui|A|uj〉|ui〉〈uj | =
=
∑
i
∑
j
Aij |ui〉〈uj |
onde Aij = 〈ui|A|uj〉 é o elemento de matriz do operador A na base {|ui〉}. Se
A† = A: 〈ui|A†|uj〉 = 〈ui|A|uj〉 = 〈uj |A|ui〉∗ → Aij = A∗ji.
Diagonalização de operadores.
A|ψ〉 = λ|ψ〉 → 〈ui|A|ψ〉 = λ〈ui|ψ〉
〈ui|A
(∑
j
|uj〉〈uj |
)
|ψ〉 = λ〈ui|
(∑
j
|uj〉〈uj |
)
|ψ〉 →
∑
j
[Aij − λδij ] cj = 0
Os autovalores e autovetores (em termos das componentes ci) são obtidos da
solução da equação secular det(Aij − λδij) = 0.
Base {|r〉 = |x, y, z〉}.
Base {|r〉}:
〈r|r′〉 = δ(r− r′);
∫
|r〉〈r|d3r = 11
|ψ〉 = 11|ψ〉 =
(∫
|r〉〈r|d3r
)
|ψ〉 =
∫
|r〉〈r|ψ〉d3r =
∫
ψ(r)|r〉d3r
onde 〈r|ψ〉 = ψ(r) (a função de onda) é a componente de |ψ〉 na base de
coordenadas {|r〉}.
Produto escalar em Er:
(|ϕ〉, |ψ〉) = 〈ϕ|ψ〉 = 〈ϕ|
(∫
|r〉〈r|d3r
)
|ψ〉 =
∫
〈ϕ|r〉〈r|ψ〉d3r =
∫
ϕ∗(r)ψ(r)d3r
Base {|r〉}.
Operador posição R = (X,Y, Z):
X|r〉 = x|r〉;Y |r〉 = y|r〉;Z|r〉 = z|r〉
onde (x, y, z) são as coordenadas da partícula. Em uma forma condensada:
R|r〉 = r|r〉
Operadores: 〈r|A|r′〉 = A(r, r′). Se o operador for local:
A(r, r′) = A(r)δ(r− r′) = A(r′)δ(r− r′)
A(R): A|ψ〉 → 〈r|A(R)|ψ〉 = A(r)ψ(r)
Pode-se mostrar que para A(P) temos: A|ψ〉 → 〈r|A(P)|ψ〉 = A(−i~∇)ψ(r)
No caso da equação de Schrödinger independente do tempo: H|ϕ〉 = E|ϕ〉, onde,
H =
P2
2m
+ V (R)
temos:
H|ϕ〉 =
[
P2
2m
+ V (R)
]
|ϕ〉 = E|ϕ〉
Base {|r〉}.
Projetando na base de coordenadas:
〈r|
[
P2
2m
+ V (R)
]
|ϕ〉 =
[
− ~
2
2m
∇2 + V (r)
]
〈r|ϕ〉 = E〈r|ϕ〉
ou, na forma "popular":
− ~
2
2m
∇2ϕ(r) + V (r)ϕ(r) = Eϕ(r)
Base {|p〉 = |px, py, pz〉}.
Base {|p〉}:
〈p|p′〉 = δ(p− p′);
∫
|p〉〈p|d3p = 11
|ψ〉 = 11|ψ〉 =
(∫
|p〉〈p|d3p
)
|ψ〉 =
∫
|p〉〈p|ψ〉d3p =
∫
ψ̄(p)|p〉d3p
onde 〈p|ψ〉 = ψ̄(p) (a função de onda) é a componente de |ψ〉 na base de
momenta {|p〉}.
Produto escalar em Er:
(|ϕ〉, |ψ〉) = 〈ϕ|ψ〉 = 〈ϕ|
(∫
|p〉〈p|d3p
)
|ψ〉 =
∫
〈ϕ|r〉〈p|ψ〉d3p =
∫
ϕ̄∗(p)ψ̄(p)d3p
Base {|p〉}.
Operador momentum linear P = (Px, Py, Pz):
Px|p〉 = px|p〉;Py|p〉 = py|p〉;Pz|p〉 = pz|p〉
onde (px, py, pz) são as componentes do momentum linear da partícula. Em uma
forma condensada: P|p〉 = p|p〉
Operadores: 〈p|A|p′〉 = A(p,p′). Se o operador for local:
A(p,p′) = A(p)δ(p− p′) = A(p′)δ(p− p′)
A(P): A|ψ〉 → 〈p|A(P)|ψ〉 = A(p)ψ̄(p)
Pode-se mostrar que para A(R) temos: A|ψ〉 → 〈p|A(R)|ψ〉 = A(i~∇p)ψ̄(p)
No caso da equação de Schrödinger independente do tempo: H|ϕ〉 = E|ϕ〉, onde,
H =
P2
2m
+ V (R)
temos:
H|ϕ〉 =
[
P2
2m
+ V (R)
]
|ϕ〉 = E|ϕ〉
Base {|p〉}.
Projetando na base de coordenadas:
〈p|
[
P2
2m
+ V (R)
]
|ϕ〉 =
[
p2
2m
+ V (i~∇p)
]
〈p|ϕ〉 = E〈p|ϕ〉
ou, na forma "popular":
p2
2m
ϕ̄(p) + V (i~∇p)ϕ̄(p) = Eϕ̄(p)
Mudançade base: {|p〉} ⇔ {|p〉}.
Vamos partir de 〈r|ψ〉 e incluir o 11 da base |p〉:
〈r|ψ〉 = 〈r|11|ψ〉 = 〈r|
(∫
|p〉〈p|d3p
)
|ψ〉 =
∫
〈r|p〉〈p|ψ〉d3p
Como 〈r|p〉 = exp(ip · r/~)/(2π~)3/2 temos:
〈r|ψ〉 = ψ(r) = 1
(2π~)3/2
∫
ψ̄(p) exp(ip · r/~)d3p
De forma análoga:
〈p|ψ〉 = ψ̄(p) = 1
(2π~)3/2
∫
ψ(r) exp(−ip · r/~)d3r
Observáveis:
Definição de um observável A: operador Hermitiano cujos autovetores formam uma
base em E .
A|uin〉 = an|uin〉; i = 1 · · · gn; 〈uin|ui
′
n′ = δnn′δii′〉;
∑
n
gn∑
i=1
|uin〉〈uin| = 11
Observáveis A e B que comutam ([A,B] = 0)têm autovetores simultâneos:
A|uinp〉 = an|uinp〉;B|uinp〉 = bp|uinp〉, i = 1 · · · gnp
Conjunto Completo de Observáveis Comutantes {A,B,C, · · · }: a especificação
dos autovalores de cada observável determina unicamente um autovetor.
Exemplo: átomo de H
{H,L2, Lz} ⇔ (En, `(`+ 1)~2,m`~)→ |ϕn`m`〉
H|ϕn`m`〉 = En|ϕn`m`〉, L
2|ϕn`m`〉 = `(`+ 1)~
2|ϕn`m`〉, Lz|ϕn`m`〉 = m`~|ϕn`m`〉
Referências:
Os "modernos":
Quantum Mechanics, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë,
Volumes I e II, John Wiley & Sons.
Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar, 2nd Edition, Plenum Press.
Modern Quantum Mechanics, J. J. Sakurai e Jim Napolitano, Second Edition,
Addison Wesley (as outras edições também estão valendo).
Os "da velha guarda":
Quantum Mechanics, E. Merzbacher, 3rd edition, Wiley.
Quantum Mechanics, A. S. Davydov, 2nd edition, Pergamon.
Quantum Mechanics, A. Messiah, Dover Publications (two volumes bound as one).
Quantum Mechanics, L. I. Schiff, Third Edition, McGraw Hill.
Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, L. Landau , 3nd Edition,
Butterworth-Heinemann.
The Principles of Quantum Mechanics, P. A. M. Dirac, Oxford University Press.