Cap12

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des e por uma corda na outra extremidade. Sem qualquer cálculo escri-
to, ordene as situações de acordo com os módulos (a) da força da corda
sobre a haste, (b) da força vertical da dobradiça sobre a haste e (c) da
força horizontal da dobradiça sobre a haste, do maior para o menor.
"
4 Na Fig. 12-18, uma trave rígida está presa a dois postes que estão
presos num piso. Um cofre pequeno, mas pesado, é colocado nas seis
posições indicadas, em seqüência. Suponha que a massa da trave é des-
prezível comparada com a do cofre.
(a) Ordene as posições de acordo
com a força sobre o poste A devida
ao cofre, da maior compressão para
a menor, da menor tração para a mai- A
or e indique onde, se houver algum C:~::::::::::::;~::::::::::::::::::J
lugar, a força é nula. (b) Ordene-as
de acordo com a força no poste B.
1 2 4 53
Fig. 72-78 Pergunta 4.
5 A Fig. 12-19 mostra um móbile de pingüins de brinquedo pendu-
rado em um teto. Cada barra transversal é horizontal, tem massa des-
prezível e se estende três vezes mais para a direita do fio que a supor-
ta do que para a esquerda. O pingüim 1 tem massa m, = 48 kg. Quais
são as massas (a) do pingüim 2, (b) do pingüim 3, e (c) dopingüim4?
2
4:3
Fig. 12-19 Pergunta 5.
6 Três cavalinhos ornamentais (piíiatas) estão pendurados no
arranjo (em repouso) de polias e cordas de massas desprezíveis vis-
to na Fig. 12-20. Uma corda longa
se estende do lado direito do teto
até a polia mais baixa à esquerda.
V árias cordas menores suspendem
as polias pelo teto ou os cavalinhos
pelas polias. São fornecidos os pe-
sos (em newtons) de dois cavali-
nhos. Qual é o peso do terceiro ca-
valinho? (Sugestão: Uma corda
que dá meia volta em torno de uma
polia puxa-a com uma força líqui-
da que é o dobro da tensão na cor-
da.) (b) Qual é a tensão na corda
curta identificada por T? Fig. 72-20 Pergunta 6.
Equilíbrio e Elasticidade 17
7 Na Fig. 12-21, uma haste vertical está presa a uma dobradiça
na sua extremidade inferior e a um cabo na sua extremidade supe-
rior. Uma força horizontal F. deve ser aplicada na haste como mos-
tra a figura. Se o ponto no qual a força é aplicada for movido para
cima na haste, a tensão no cabo aumenta, diminui ou permanece a
mesma?
6
Fig. 12-27 Pergunta 7.
8 Uma escada está apoiada em uma parede sem atrito mas não
cai por causa do atrito com o chão. Suponha que você desloque a
base da escada em direção à parede. Determine se a seguinte gran-
deza torna-se maior, menor ou permanece a mesma (em módu-
10): (a) a força normal sobre a escada exercida pelo chão, (b) a
força da parede sobre a escada, (c) a força de atrito estático do
chão sobre a escada e (d) o valor máximofe.máx da força de atrito
estático.
9 Quatro hastes cilíndricas estão esticadas como na Fig. 12-11a.
Os módulos das forças, as áreas das faces nas extremidades, as va-
riações no comprimento e os comprimentos iniciais são dados na
tabela abaixo. Ordene as hastes de acordo com seus módulos de
Y oung, do maior para o menor.
Área
Variação do Comprimento
Haste Força Comprimento Inicial
1 F A t:.L L
2 2F 2A 2t:.L L
3 F 2A 2DL 2L
4 2F A t:.L 2L
10 A tabela abaixo fornece as áreas de três superfícies e o módulo
de uma força perpendicular à superfície aplicada uniformemente. Or-
dene as superfícies de acordo com a tensão sobre as mesmas, da
maior para a menor.
Área Força
Superfície A O,SAo 2Fo
Superfície B 2Ao 4Fo
Superfície C 3Ao 6Fo
Problemas~
0_ 000 O número de pontos indica o nível de dificuldade do problema.
Seção 12-4 O Centro de Gravidade
., Como g varia pouco sobre a extensão de muitas estruturas, o cen-
tro de gravidade de uma dada estrutura coincide efetivamente com
o seu centro de massa. Aqui está um exemplo fictício onde g varia
mais significativamente. A Fig. 12-22 mostra um arranjo de seis
partículas, cada uma de massa m, presas na borda de uma estrutura
rígida de massa desprezível. A distância entre partículas adjacen-
tes ao longo da borda é 2,00 m. A tabela seguinte fornece o valor
de g (m/s") em cada localidade das partículas. Usando o sistema de
18 Capítulo Doze
coordenadas mostrado, encontre (a) a coordenada XCM e (b) a coor-
denada YCM do centro de massa do sistema de seis partículas. En-
contre, então, (c) a coordenada XCG e (d) a coordenada YCG do centro
de gravidade do sistema de seis partículas.
)'
3 ~."'" 4
Partícula g Partícula g 2 5
1 8,00 4 7,40 :il 6
2 7,80 5 7,60
x
3 7,60 6 7,80 Fig. 12-22 Problema 1.
Seção 12-5 Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático
~ Uma turma de estudantes de física, cujos pesos estão indicados
em newtons na Fig. 12-23, está equilibrada em uma gangorra. Qual
o número da pessoa que provoca o maior torque em torno do eixo
de rotação que passa pelo ponto de apoio fno sentido (a) para fora
da página e (b) para dentro da página?
2 7 83 4 5 6
220 330 440 440 330 220 newtons
4 3 3 4 metros2 o 21
Fig. 12-23 Problema 2.
03 Uma corda de massa desprezível está esticada horizontalmente
entre dois suportes separados por 3,44 m. Quando um objeto pesan-
do 3160 N é pendurado no centro da corda, ela arqueia por 35,0 cm.
Qual é a tensão na corda?
04 Um arco é puxado em seu ponto médio até que a tensão na corda
fica igual à força exercida pelo arqueiro. Qual é o ângulo entre as
duas metades da corda?
~ Na Fig. 12-24, uma esfera uniforme de massa m = 0,85 kg e raio
r = 4,2 em é mantida em repouso por uma corda de massa despre-
zível presa a uma parede sem atrito a uma distância L = 8,0 em acima
do centro da esfera. Encontre (a) a tensão na corda e (b) a força da
parede sobre a esfera.
í
L
L
Fig. 12-24 Problema 5.
o 6 Um andaime com 60 kg de massa e 5,0 m de comprimento é
mantido numa posição horizontal por um cabo vertical em cada
extremidade. Um lavador de janelas com 80 kg de massa está em
pé sobre o andaime a 1,5 m de distância de uma das extremida-
des. Qual é a tensão (a) no cabo mais próximo e (b) no cabo mais
afastado?
o 7 Um mergulhador com 580 N de peso está em pé na extremidade
de um trampolim de comprimento L = 4,5 m e massa desprezível
(Fig. 12-25). O trampolim está preso em dois pedestais separados
por uma distância d = 1,5 m. Das forças que atuam sobre o trampo-
lim, quais são (a) o módulo e (b) o sentido (para cima ou para bai-
xo) da força exercida pelo pedestal da esquerda e (c) o módulo e (d)
o sentido (para cima ou para baixo) da força exerci da pelo pedestal
da direita? (e) Que pedestal (esquerda ou direita) está sendo estica-
do e (f) que pedestal está sendo comprimido?
1-<----L---;iO[
Fig. 12-25 Problema 7.
o 8 Um automóvel com massa de 1360 kg tem 3,05 m entre os eixos
dianteiro e traseiro. Seu centro de gravidade está localizado a 1,78
m atrás do eixo dianteiro. Com o automóvel nivelado em relação ao
solo, determine o módulo da força do solo sobre (a) cada roda dian-
teira (supondo que as forças nas rodas dianteiras são iguais) e (b)
cada roda traseira (supondo que as forças nas rodas traseiras são
i~uais).
o 9 Um bastão de um metro está em equilíbrio na horizontal sobre a
lâmina de uma faca na marca de 50,0 cm. Com moedas de 5,00 g
empilhadas na marca de 12,0 em, o bastão fica em equilíbrio na
marca de 45,5 em. Qual é a massa do bastão?
o 10 Na Fig. 12-26, um homem está tentando retirar seu carro de
um atoleiro no acostamento de uma estrada. Ele amarra aperta-
damente uma das extremidades de uma corda no pára-choque di-
anteiro e a outra extremidade em um poste a 18 m de distância.
Ele, então, empurra a corda para o lado em seu ponto médio com
uma força de 550 N, deslocando o centro da corda de 0,30 m em
relação à sua posição anterior, e o carro praticamente não se
move. Qual é a força da corda sobre o carro? (A corda se estica
um pouco.)
"Fig. 12-26 Problema 10.
o 11 Um limpador de janelas de 75 kg utiliza uma escada de 10 kg
com 5,0 m de comprimento. Ele coloca uma extremidade sobre o
chão a 2,5 m de uma parede, encosta a extremidade superior em uma
janela rachada e sobe na escada. Ele está a 3,0 m para cima ao longo
da escada quando a janela se quebra. Despreze o atrito entre a esca-
da e a janelae suponha que a base da escada não escorrega. Quando
a janela está na iminência de quebrar, quais são: (a) o módulo da
força da escada sobre a janela, (b) o módulo da força do chão sobre
a escada e (c) o ângulo-i em relação à horizontal) desta força sobre a
escada?
• 12 Um caixote cúbico uniforme tem 0,750 m de lado e pesa 500 N.
Ele repousa sobre um piso com uma das arestas encostada em um
obstáculo fixo muito pequeno. Em qual altura mínima acima do piso
deve ser aplicada uma força horizontal de 350 N para entornar o cai-
xote?
• 13As forças F;, F'z e F3 atuam sobre a estrutura cuja vista superior
está mostrada na Fig. 12-27. Desejamos colocar a estrutura em equi-
líbrio aplicando uma quarta força em_um .e.0nto tal como P. A quar-
ta força tem componentes vetoriais F;, e F.. São dados a = 2,0 m,
b = 3,Om, c = 1,Om, FI = 20N, F2 = lON, e F3 = 5,ON. Encon-
tre (a) FI<' (b) r, e (c) d.
y
c..•.•---
Fig. 72-27 Problema 13.
.}4 O sistema da Fig. 12-28 está em equilíbrio.'com a corda do cen-
tro exatamente na horizontal. O bloco A pesa 40 N, o bloco B pesa
50 N, e o ângulo ()é 35°. Encontre (a) a tensão TI' (b) a tensão T2, (c)
a tensão T3 e (d) o ângulo ()"
Fig. 72-28 Problema 14.
• 15 A Fig. 12-29 mostra as estruturas anatômicas na parte inferior
da perna e do pé, que estão envolvidas quando ficamos apoiados na
ponta do pé, com o calcanhar levemente levantado de modo que o
pé fica em contato com o chão efetivamente apoiado apenas no ponto
P. Suponha que a distância a = 5,0 em, a distância b = 15 em, e o
peso da pessoa P = 900 N. Das forças que atuam sobre o pé, quais
são (a) o módulo e (b) o sentido (para cima ou para baixo) da força
do músculo da panturrilha no ponto A e (c) o módulo, e (d) o senti-
do (para cima ou para baixo) da força dos ossos inferiores da perna
no ponto B?
Equilíbrio e Elasticidade 19
Fig. 12-29 Problema 15.
·16 Na Fig. 12-30, um andaime horizontal, de comprimento igual a
2,00 m e massa uniforme de 50,0 kg, está suspenso em um edifício
por dois cabos. O andaime tem várias latas de tinta empilhadas so-
bre ele. A massa total das latas de tinta é 75,0 kg. A tensão no cabo
à direita é 722 N. Quão distante horizontalmente deste cabo está o
centro de massa do sistema de latas de tinta?
Fig. 72-30 Problema 16.
- .• 17 Na Fig. 12-31, uma viga uniforme de peso igual a 500 N e com
3,0 m de comprimento está suspensa horizontalmente. No lado es-
querdo ela está presa a uma parede por uma dobradiça; à direita
ela está presa por um cabo parafusado na parede a uma distância
D acima da viga. O cabo se rompe com uma tensão mínima de 1200
N. (a) Que valor de D corresponde a esta tensão? (b) Para que o
cabo não se rompa, D deve aumentar ou diminuir em relação a este
valor?
T
D
l~~~
Viga
Fig. 12-31 Problema 17.
·18 Na Fig. 12-32, o andaime horizontal 2, com massa uniforme
m2 = 30,0 kg e comprimento L2 = 2,00 m, está pendurado em um
andaime horizontal 1, com massa uniforme ml = 50,0 kg. Uma
caixa de pregos de 20,0 kg repousa sobre o andaime 2, centrada
em uma distância d = 0,500 m da extremidade esquerda. Qual é a
tensão Tno cabo indicado?
Fig. 12-32 Problema 18.
Ismael
Oval
Ismael
Oval
20 Capítulo Doze
\ -
··19 Na Fig. 12-33, qual é o módulo da força horizontal F necessá-
ria para erguer a roda sobre um degrau de altura h = 3,00 em quan-
do aplicada no seu eixo? O raio da roda é r = 6,00 em, e sua massa
é m = 0,800 kg.
Fig. 12-33 Problema 19.
•• 20Na Fig. 12-34, um bloco de 15 kg é mantido em repouso atra-
vés de um sistema de polias. O braço superior da pessoa está na
vertical; o antebraço faz um ângulo e = 30° com a horizontal. O an-
tebraço e a mão têm uma massa conjunta de 2,0 kg, com um centro
de massa a uma distância d, = 15 em do ponto de contato do osso
do antebraço com o osso do braço superior (úmero). O músculo
tríceps puxa o antebraço verticalmente para cima a uma distância
d2 = 2,5 cm atrás desse ponto de contato. A distância d3 é igual a 35
cm. Quais são (a) o módulo e (b) o sentido (para cima ou para bai-
xo) da força do músculo tríceps sobre o antebraço e (c) o módulo e
(d) o sentido (para cima ou para baixo) da força do ütnero sobre o
antebraço?
Fig. 12-34 Problema 20.
··21 Na Fig. 12-35, uma extremida-
de de uma viga uniforme de peso
igual a 222 N está presa por uma do-
bradiça a uma parede; a outra extre-
midade é presa por um fio que faz
ângulos de 30,0° com a viga e com a
parede. Encontre (a) a tensão no fio e
as componentes (b) horizontal e (c) Dobradiça
vertical da força da dobradiça sobre
a viga.
··22 Na Fig. 12-36, uma placa de si-
nalização quadrada uniforme de 50,0
kg, de lado L = 2,00 m, está pendu-
rada em uma haste horizontal de Fig. 12-35 Problema 21.
comprimento dh = 3,00 m e massa desprezível. Um cabo está preso
numa extremidade da haste e em um ponto a uma distância d; = 4,00
m acima do ponto onde a haste está presa na parede através de uma
dobradiça. (a) Qual é a tensão no cabo? Quais são (b) o módulo e (c)
o sentido (para a esquerda ou para a direita) da componente horizon-
tal da força da dobradiça sobre a haste, e (d) o módulo e (e) o sentido
(para cima ou para baixo) da componente vertical desta força?
r
L~-.
H. Pere: I
OENTlSTAj
~=1
Fig. 12-36 Problema 22.
\
•• 23 O sistema na Fig. 12-37 está
em equilíbrio. Um bloco de concre-
to de 225 kg de massa está pendu-
rado na extremidade de uma esco-
ra de 45,0 kg de massa. Para os ân-
gulos ()= 30,0° e ()= 45,0°, encon-
tre (a) a tensão Tno cabo e as com-
ponentes (b) horizontal e (c) verti-
cal da força da dobradiça sobre a
escora. Fig. 12-37 Problema 23.
··24 Na Fig. 12-38, um montanhista está em uma subida ao longo
de uma fissura, com as mãos puxando em um lado da fissura e os
pés pressionados no lado oposto. A fissura tem uma largura w = 0,20
m, e o centro de massa do escalador está a uma distância horizontal
d = 0,40 m da fissura. O coeficiente de atrito estático entre mãos e
rocha é p-! = 0,40 e entre botas e rocha ele é J.l-2 = 1,2. (a) Qual é a
menor força horizontal das mãos e dos pés que manterá o escalador
estável? (b) Para a força horizontal em (a), qual deve ser a distância
vertical h entre as mãos e os pés? Se o montanhísta encontrar rocha
úmida, de modo que p-! e J.l-2 estejam reduzidos, o que acontece com
(c) a resposta de (a) e (d) a resposta de (b)?
T
h
1
Fig. 12-38 Problema 24.
··25Uma barra não-uniforme é mantida em repouso em uma posi-
ção horizontal por duas cordas de massas desprezíveis, como mos-
tra aFig. 12-39. Uma corda faz um ângulo e = 36,9° com a vertical;
a outra faz um ângulo 8 = 53,1° com a vertical. Se o comprimento
L da barra é 6,10 m, calcule a distância x entre a extremidade es-
querda e o centro de massa da barra.
e
f--L-1
--l x r-: eM
Figo 12-39 Problema 25 .
•• 26 Uma porta tem uma altura de 2,1 m ao longo de um eixo y, que
se estende verticalmente para cima, e uma largura de 0,91 m ao lon-
go de um eixo x, que se afasta da borda da porta que está presa em
dobradiças. Uma dobradiça está a 0,30 m da borda superior da porta
e outra a 0,30 m da borda inferior, cada uma suportando metade do
peso da porta, cuja massa é 27 kg. Em termos dos vetores unitários,
quais são as forças sobre a porta (a) na dobradiça superior e (b) na
dobradiça inferior?
\
··27 Na Fig. 12-40, suponha que o comprimento L da barra unifor-
me seja 3,00 m e que seu peso seja 200 N. Seja P = 300 N o peso do
bloco e o ângulo 8 = 30,0°. O fio pode suportar uma tensão máxima
de 500 N. (a) Qual é a maior distância x possível antes que o fio se
arrebente? Com o bloco posicionado neste valor máximo de x, quais
são as componentes (b) horizontal e (c) vertical da força da dobra-
diça sobre a barra no ponto A?
c
A
Lj~---L---
Figo 12-40 Problemas 27 e 28.
··28 Na Fig. 12-40, uma barra AB fina de peso desprezível e com-
primento L está presa a uma parede vertical por uma dobradiça em
A e em B por um fio fino BC que faz um ângulo e com a horizontal.
Um bloco de peso P pode ser movido para qualquer posição ao lon-
go da barra; sua posição é definida pela distância x da paredeao seu
centro de massa. Como função de x, encontre (a) a tensão no fio, e
as componentes (b) horizontal e (c) vertical da força da dobradiça
sobre a barra em A.
•• 211 Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 890 N. Desejamos
"rolar" a caixa empurrando-a horizontalmente em uma de suas bor-
das superiores. (a) Qual é a menor força exigida para isso? (b) Qual
é o menor coeficiente de atrito estático exigido entre a caixa e o piso?
(c) Se existe uma maneira mais eficiente de rolar a caixa, encontre
a menor força possível que deve ser aplicada diretamente na caixa
Equilíbrio e Elasticidade 21
para isso. (Sugestão: No limiar de inclinação, onde a força normal
está aplicada?)
•• 30A Fig. 12-41a mostra uma viga vertical uniforme de compri-
mento L que está presa a ugIa dobradiça em sua extremidade inferi-
or. Uma força horizontal F;, é aplicada na viga a uma distância y da
extremidade mais baixa. A viga permanece na vertical porque há um
cabo preso em sua extremidade superior, fazendo um ângulo 8 com
a horizontal. A Fig. 12-41 b fornece a tensão T no cabo como função
da posição da força aplicada dada como uma fração y/L do compri-
mento da barra. A Fig. 12-41c fornece o módulo Fh da componente
horizontal da força da dobradiça sobre a viga, também em função
de y/L. Calcule (a) o ângulo e e (b) o módulo de F;,.
(a)
600 /'
/
/
V
/'
/'
<,
r-,
<,
r-,
1"-
240
400g
t-.
200
g
r::120
o 0,2 0,4 0,6 0,8 1
ylL
(b)
° 0,2 0,4 0,6 0,8ylL
(c)
Figo 12-41 Problema 30.
··31 Na Fig. 12-42, uma prancha uniforme, com um comprimento
L de 6,10 m e um peso de 445 N, repousa apoiada no chão e em um
rolamento sem atrito no topo de uma parede de altura h = 3,05 m.
A prancha permanece em equilíbrio para qualquer valor de e ~ 70°,
mas escorrega se e < 70°. Encontre o coeficiente de atrito estático
entre a prancha e o chão -,
h
1
Figo 12-42 Problema 31 .
•• 32 Na Fig. 12-43, as vigas uniformes A e B estão presas numa
parede com dobradiças e frouxamente parafusadas uma na outra. A
viga A tem comprimento LA = 2,40 m e massa 54,0 kg; a viga B tem
massa de 68,0 kg. As dobradiças estão separadas pela distância d =
Ismael
Oval
22 Capítulo Doze
1,80 m. Em termos dos vetores unitários, qual é a força (a) sobre a
viga A exercida por sua dobradiça, (b) sobre a viga A exercida pelo
parafuso, (c) sobre a viga B exercida por sua dobradiça e (d) sobre a
viga B exercida pelo parafuso?
Fig. 12-43 Problema 32.
···33Um caixote, na forma de um cubo de 1,2 m de lado, con-
tém uma peça de uma máquina; o centro de massa do caixote
com seu conteúdo está localizado a 0,30 m acima do centro
geométrico do caixote. O caixote repousa sobre uma rampa que
faz um ângulo O com a horizontal. Quando (J aumenta a partir
de zero, um valor de ângulo é atingido no qual o caixote ou
tomba ou desliza para baixo da rampa. Se o coeficiente de atri-
to estático f.Le entre a rampa e o caixote for 0,60, (a) a rampa
tomba ou desliza e (b) em que ângulo (J isto ocorre? Se f.Le =
0,70, (c) o caixote tomba ou desliza e (d) em que ângulo isto
ocorre? (Sugestão: No limiar de inclinação, onde a força nor-
mal está localizada?)
···34A Fig. 12-44a mostra uma viga horizontal uniforme de mas-
sa mb e comprimento L que é mantida à esquerda por uma dobra-
diça presa numa parede e à direita por um cabo em um ângulo (J
com a horizontal. Um pacote de massa mp está posicionado sobre
a viga a uma distância x da extremidade esquerda. A massa total é
mb + mp = 61,22 kg. A Fig. 12-44b fornece a tensão T no cabo
como uma função da posição do pacote dada como uma fração xl
L do comprimento da viga. Calcule (a) o ângulo O, (b) a massa mb
e (c) a massa mp-
700
""'"
","
"1/
~ 600
h
(a)
5000 0,2 0,4 0,6 0,8
x/L
(b)
Fig. 12-44 Problema 34.
••• 3S Para a escada da Fig. 12-45, os lados AC e CE têm ambos
2,44 m de comprimento e estão unidos por uma dobradiça no pon-
to C. A barra horizontal BD tem 0,762 m de comprimento e está a
meia altura da escada. Um homem pesando 854 N sobe 1,80 m ao
longo da escada. Supondo que não há atrito com o chão e despre-
zando a massa da escada, encontre (a) a tensão na barra e os
módulos das forças do chão sobre a escada em (b) A e (c) E. (Su-
gestão: Isole partes da escada ao aplicar as condições de equilí-
brio.)
A E
Fig. 12-45 Problema 35.
Seção 12-7 Elasticidade
·36A Fig. 12-46 mostra a curva tensão-deformação para o quartzito.
Quais são (a) o módulo de Young e (b) o valor aproximado do limi-
te elástico para este material?
• 37 Uma haste de alumínio horizontal com 4,8 em de diâmetro se
projeta 5,3 em além de uma parede. Um objeto de 1200 kg está
suspenso na extremidade da haste. O módulo de cisalhamento do
alumínio é 3,0 X 101ON/m2• Desprezando a massa da haste, encon-
tre (a) a tensão de cisalhamento sobre a haste e (b) a deflexão verti-
cal da extremidade da haste.
./ .•.
V
V
I
V- i
~ 300<
!- 200
o
C
o 100,,".,
>::
~ 00 0,002 0,004
Deformação
Fig. 12-46 Problema 36.
,
• 38 A Fig. 12-47 mostra o gráfico tensão versus deformação para
um fio de alumínio que é esticado por uma máquina que puxa em
sentidos opostos nas extremidades do fio. O fio tem um comprimento
inicial de 0,800 m e uma área de seção transversal igual a 2,00 X
10-6 m2. Que trabalho a força da máquina realiza sobre o fio para
produzir uma deformação específica de 1,00 X 10-37
~ 7,0
""a
<,
z
'O::::.
/
/'
,/
/
,/
o l~
Deformação (10-3)
Fig. 12-47 Problema 38.
··39 Na Fig. 12-48, um tronco uniforme de 103 kg está pendurado
por dois fios de aço, A e B, ambos com raio de 1,20 mm. Inicial-
mente, o fio A tinha 2,50 m de comprimento e era 2,00 mm mais
Ismael
Oval
Ismael
Oval
curto do que o fio B. O tronco está agora na horizontal. Quais são os
módulos das forças sobre o tronco exercidas (a) pelo fio A e (b) pelo
fio B? (c) Qual é a razão dA/dE?
".
Fig. 12-48 Problema 39.
•• 40Na Fig. 12-49, um tijolo de chumbo repousa horizontalmente
sobre os cilindros A e B. As áreas das faces superiores dos cilin-
dros estão relacionadas por AA = 2AB; os módulos de Y oung dos
cilindros estão relacionados por EA = 2EB• Os cilindros tinham
comprimentos idênticos antes que o tijolo fosse colocado sobre
eles. Que fração da massa do tijolo é suportada (a) pelo cilindro A
e (b) pelo cilindro B? As distâncias horizontais entre o centro de
massa do tijolo e os eixos dos cilindros são d, e dB' (c) Qual é a
razão dA/dB?
Fig. 12-49 Problema 40. I
•• 41 Um túnel de comprimento L = 150 m, altura H = 7,2 m, e lar-
gura de 5,8 m (com um teto plano) deve ser construído a uma pro-
fundidade d = 60 m abaixo do solo. (Veja a Fig. 12-50.) O teto do
túnel deve sersuportado inteiramente por colunas quadradas de aço,
cada uma com uma seção transversal de 960 cm-, A massa de 1,0
em' do material do solo é 2,8 g, (A) Qual é o peso total do material
do solo que as colunas devem suportar? (b) Quantas colunas são
necessárias para manter a compressão em cada coluna na metade de
seu limite de ruptura? -
11
l
T
Fig. 12-50 Problema 41.
Equilíbrio e Elasticidade 23
···42 A Fig. 12-51 é uma vista superior de uma haste rígida que gira
em tomo de um eixo vertical, até que os calços de borracha idênti-
cosA e B sejam empurrados contra paredes rígidas nas distâncias rA
= 7,0 em e rB = 4,0 em em relação ao eixo. Inicialmente os calços
tocam as paredes sem sofrer compressão. Então, uma força F de
módulo igual a 220 N é aplicada perpendicularmente à haste em uma
distância R = 5,0 em em relação ao eixo. Encontre o módulo da força
que comprime (a) o calço A e (b) o calço B.
Calço A Calço B
Fig. 12-51 Problema 42.
Problemas Adicionais
43 Na Fig. 12-52, uma esfera de 10 kg está presa por um cabo sobre
um plano inclinado sem atrito em um ângulo () = 45° em relação à
horizontal. O ângulo ()é 25°. Calcule a tensão no cabo.
Fig. 12-52 Problema 43 .
44 A Fig. l2-53a mostra uma rampa uniforme entre dois edifícios, a
qual permite que eles oscilem devido a ventos fortes. Na sua extremi-
dade esquerda, ela é presa por uma dobradiça na parede de um dos edi-
fícios; na extremidade direita, ela tem um rolamentoem contato com a
parede do outro edifício. Não há componente vertical da força do edifí-
cio sobre o rolamento, apenas uma força horizontal de módulo Fh' A
distância horizontal entre os edifícios é D = 4,00 m. O desnível entre
as extremidades da rampa é h = 0,490 m. Um homem caminha ao lon-
go da rampa a partir da extremidade esquerda. A Fig. l2-53b fornece
F; como função da distância horizontal x do homem até a extremidade
esquerda. Quais são as massas (a) da rampa e (b) do homem?
T 25Dd
1
••...x-l
~l Il-h r.:::
I'""
L
/
./ V
V
V
(a)
2
x(m)
(b)
4
Fig. 12-53 Problema 44.
Ismael
Oval
24 Capítulo Doze
45 Na Fig. 12-54, uma caçamba de construção de 817 kg está sus-
pensa por um cabo A que está preso em O a dois outros cabos B e C,
fazendo ângulos ()\ = 51,0° e ()2 = 66,0° com a horizontal. Encontre
as tensões (a) no cabo A, (b) no cabo B e (c) no cabo C. (Sugestão:
Para evitar resolver duas equações com duas incógnitas, posicione
os eixos como mostrados na figura.)
x
y
Fig. 12-54 Problema 45.
46 Na Fig. 12-55a, uma viga uniforme de 40,0 kg está centrada
sobre dois rolamentos. As linhas verticais na viga definem compri-
mentos iguais ao longo da viga. Duas das linhas estão centradas sobre
os rolamentos; um pacote de 10,0 kg está centrado sobre o rolamen-
to B. Quais são os módulos das forças sobre a viga exercidas (a) pelo
rolamento A e (b) pelo rolamento B? A viga, então, rola para a es-
querda até que a extremidade di-
reita esteja centrada sobre o rola-
mento B (Fig. 12-55b). Quais são
agora os módulos das forças so-
bre a viga exercidas (c) pelo rola-
mento A e (d) pelo rolamento B?
Em seguida, a viga rola para a
direita. Suponha que ela tem um
comprimento de 0,800 m. (e) Que
distância horizontal entre o paco-
te e o rolamento B coloca a viga
na iminência de perder contato
com o rolamento A?
A B
(a)
(b)
Fig. 12-55 Problema 46.
47 A força F na Fig. 12-56 mantém o bloco de 6,40 kg e as polias
em equilíbrio. As polias têm massa e atrito desprezíveis. Calcule a
tensão T no cabo superior. (Sugestão: Quando um cabo é enrolado
em tomo de uma semicircunferência de uma polia, o módulo de sua
força sobre a polia é o dobro da tensão no cabo.)
Fig. 12-56 Problema 47.
\
48 Na Fig. 12-57, um pacote de massa m está pendurado em uma cor-
da curta que está ligada à parede através da corda I e ao teto através da
corda 2. A corda 1 faz um ângulo f} = 400 com a horizontal; a corda 2
faz um ângulo (). (a) Para que valor de () a tensão na corda 2 é
rninimizada? (b) Em termos de mg, qual é a mínima tensão na corda 2?
Fig. 12-57 Problema 48.
49 A Fig. 12-58 mostra um cilindro horizontal de 300 kg. Três fios
de aço prendem o cilindro a partir de um teto. Os fios 1e 3 estão nas
extremidades do cilindro e o fio 2 está no centro. Cada fio tem uma
área de seção transversal de 2,00 X 10-6 m-. Inicialmente (antes de o
cilindro ser colocado nesta posição), os fios 1e 3 tinham comprimen-
to de 2,0000 m e o fio 2 era 6,00 mm mais longo do que isso. Agora
os três fios estão esticados. Qual é a tensão (a) no fio 1 e (b) no fio 2?
r Teto
1
Fig. 12-58 Problema 49.
50 Na Fig. 12-59, duas esferas idênticas, uniformes e sem atrito,
cada uma com massa m, repousam em um recipiente retangular rí-
gido. Uma linha conectando seus centros está a 4SO da horizontal.
Encontre os módulos das forças sobre as esferas exercidas (a) pelo
fundo do recipiente, (b) pela parede lateral esquerda do recipiente,
(c) pela parede lateral direita do recipiente e (d) por uma das esferas
sobre a outra. (Sugestão: A força de uma esfera sobre a outra está
dirigida ao longo da linha que passa pelos centros.)
••w
Fig. 12-59 Pr~blema 50.
51 Um cubo uniforme de 8,0 em de lado repousa sobre um piso
horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o piso é J.L.
Uma força horizontal P empurra o cubo em uma das faces verti-
cais, em uma distância de 7,0 em acima do piso e sobre a linha ver-
Ismael
Oval
tical que passa pelo centro da face do cubo. O módulo de P aumen-
ta gradualmente. Para que valores de J.L o cubo irá finalmente (a) co-
meçar a escorregar e (b) começar a tombar? (Sugestão: No limiar
de tombamento, onde está localizada a força normal?)
"-52 A armação quadrada rígida-da Fig. 12-60 consiste em quatro
barras lateraisAB, BC, CD eDA, e duas barras diagonaisAC eBD,
as quais passam uma pela outra livremente em E. Através do
esticador G a barra AB é submetida a uma traç~o, como se suas
extremidades estivessem submetidas a forças ±T, de módulo 535
• '. (a) Quais das outras barras também estão sob tração? Quais são
o módulos (b) das forças que causam essas trações e (c) das for-
> s que causam compressão nas outras barras? (Sugestão: Consi-
derações de simetria podem levar a uma considerável simplifica-
ção do problema.)
G
-1
Fig. 12-60 Problema 52.
53 Quatro tijolos de comprimento L, idênticos e uniformes, são
empilhados um sobre o outro (Fig. 12-61) de modo que uma parte
de cada um se estende além da superfície em que está apoiado. En-
contre, em termos de L, os valores máximos de (a) ai' (b) a2, (c) a3,
d) a4 e (e) h, de modo que a pilha esteja em equilíbrio.
Fi9' 12-61 Problema 53.
S4 Na Fig. 12-62, a motorista de um carro sobre uma pista hori-
zontal faz uma parada de emergência aplicando os freios de modo
que todas as quatro rodas travam e derrapam ao longo da pista. O
coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a pista é 0,40. A sepa-
ração entre os eixos dianteiro e traseiro é L = 4,2 m, e o centro de
massa do carro está localizado em uma distância d::;: 1,8 m atrás do
eixo dianteiro e a uma distância h = 0,75 m acima da pista. O carro
pesa 11 kN. Encontre o módulo (a) da aceleração de frenagem do
carro, (b) da força normal sobre cada roda traseira, (c) da força nor-
mal sobre cada roda dianteira, (d) da força de frenagem sobre cada
roda traseira, e (e) da força de frenagem sobre cada roda dianteira.
(Sugestão: Embora o carro não esteja em equilíbrio de translação,
ele está em equilíbrio de rotação.)
Equilíbrio e Elasticidade 2S
Fig. 12-62 Problema 54.
ss Na Fig. 12-63, o bloco A (massa de 10 kg) está em equilíbrio,
mas ele deslizaria se o bloco B (massa de 5,0 kg) fosse mais pesado.
Para o ângulo e = 30°, qual é o coeficiente de atrito estático entre o
bloco A e a superfície abaixo dele?
o
B
Fig. 12-63 Problema 55.
56 Uma balança é feita com uma haste rígida de massa desprezí-
vel e um prato pendurado em cada extremidade da haste. A haste é
apoiada em um ponto em torno do qual ela pode girar livremente e
que não está em seu centro. Ela fica em equilíbrio com massas desi-
guais colocadas nos dois pratos. Quando uma massa m desconheci-
da é colocada no prato da esquerda, ela fica em equilfbrio com uma
massa ml colocada no braço da direita; quando a massa m é coloca-
da no prato da direita, ela fica em equilíbrio com uma massa m2
colocada no prato da esquerda. Mostre que m = ~mlm2 •
57 Para quebrar a casca de uma noz em um quebra-nozes, forças
de pelo menos 40 N de módulo devem atuar sobre a casca em am-
bos os lados. Para o quebra-nozes da Fig. 12-64, com distâncias L::;:
12 em e d::;: 2,6 em, quais são as componentes da força FJ.em cada
cabo (aplicada perpendicularmente ao cabo) correspondendo a es-
ses 40 N?
Fig. 12-64 Problema 57.
26 Capítulo Doze
58 Uma haste cilíndrica uniforme, com um comprimento inicial de
0,8000 m e raio de I000,0 p.,mé presa em uma extremidade e esticada
por uma máquina que puxa ao longo do comprimento da haste na
outra extremidade. Supondo que a densidade (massa por unidade de
volume) da haste não varia, encontre o módulo da força que é re-
querida da máquina para diminuir o raio da haste para 999,9 iut:
(O limite elástico não é ultrapassado.)
59 O sistema da Fig. 12-65 está em equilíbrio. Os ângulos são
01 = 60° e O2 = 20°, e a bola tem massa M = 2,0 kg. Qual é a tensão
(a) na corda ab e (b) na corda bc?
c
Fig. 12-65 Problema 59.
\
60 A Fig. 12-66 mostra um arranjo de duas caixas e três cordas em
repouso. A caixa A tem uma massa de 11,0 kg e está sobre umarampa
em um ângulo O = 30,0°; a caixa B tem uma massa de 1,00 kg e está
pendurada por uma corda. A corda conectada com a caixa A é para-
lela à rampa, cujo atrito é desprezível. (a) Qual é a tensão na corda
superior e (b) que ângulo esta corda faz com a horizontal? .
Fig. 12-66 Problema 60.
61 Na Fig. 12-67, uma haste uniforme de massa m está presa a uma
parede por uma dobradiça em sua extremidade inferior, enquanto
sua extremidade superior é mantida na posição por uma corda presa
na parede. Se o ângulo 81 = 60°, que valor deve ter o ângulo O2 para
que a tensão na corda seja de mg/2?
Fig. 12-67 Problema 61.
62 Um operário tenta levantar uma trave uniforme do chão até uma
posição vertical. A trave tem 2,50 m de comprimento e pesa 500 N.
Em um certo instante, o operário mantém a trave em repouso mo-
mentaneamente com a extremidade superior a uma distância d = 1,50
rr.!acima do chão, como mostrado na Fig. 12-68, exer<:endouma força
P perpendicular à trave. (a) Qual é o módulo de P? (b) Qual é o
módulo da força resultante do piso sobre a trave? (c) Qual é o valor
mínimo do coeficiente de atrito estático entre a trave e o chão para
que a trave não escorregue neste instante?
Fig. 12-68 Problema 62.
63 Um cubo sólido de cobre tem um lado de 85,5 cm. Que compres-
são deve ser aplicada ao cubo para reduzir seu lado para 85,0 em? O
módulo de elasticidade volumétrica do cobre é 1,4 X 10" N/m2•
64 O elevador de uma mina é suportado por um único cabo de aço
de 2,5 em de diâmetro. A massa total da cabina do elevador e de
seus passageiros é 670 kg. De quanto o cabo é esticado quando o
elevador está pendurado por um cabo de (a) 12 me (b) 362 m? (Des-
preze a massa do cabo.)
65 Uma viga de comprimento L é carregada por três homens, um
homem em uma das extremidades e os outros dois apoiando a viga
entre eles através de uma trave posicionada de modo que a carga da
viga é igualmente dividida entre os três homens. A que distância da
extremidade livre a trave de apoio é posicionada? (Despreze a mas-
sa da trave de apoio.),
66 Uma viga uniforme tem 5,0 m de comprimento e massa de 53
kg. Na Fig. 12-69, a viga está suportada na posição horizontal por
uma dobradiça e um cabo, com o ângulo () = 60°. Em notação de
vetores unitários, qual é a força da dobradiça sobre a viga?
Fig. 12-69 Problema 66.Viga
67 Na Fig. 12-70, uma viga uni-
forme com um peso de 60 N e um
comprimento de 3,2 m está presa
por uma dobradiça em sua extremi-
dade inferior e uma força F de
módulo 50 N atua em sua extremi-
dade superior. A viga é mantida na ,
posição vertical por um cabo que . ."
faz um ângulo 8 = 25° com o chão
e está preso na viga em uma altu-
ra h = 2,0 m. Quais são (a) a ten-
são no cabo e (b) a força da dobra-
diça sobre a viga exercida pela do-
bradiça, em termos dos vetores
unitários? Fig. 12-70 Problema 67.
68 Após uma queda, um montanhísta de 95 kg encontra-se pendente
na extremidade de uma corda originalmente com 15 m de compri-
mento e diâmetro de 9,6 mm, mas que foi esticada por 2,8 cm. Para
a corda, calcule (a) a tensão, (b) a deformação e (c) o módulo de
Young. .•.'
69 Na Fig. 12-71, uma placa de cimento retangular repousa numa
superfície rochosa inclinada de um ângulo e = 26°. A placa tem um
comprimento L = 43 m, espessura T = 2,5 m, largura W = 12 m e
1,0 em" seu tem uma massa de 3,2 g. O coeficiente de atrito estático
entre a placa e a rocha é 0,39. (a) Calcule a componente da força
gravitacional sobre a placa paralela à superfície da rocha. (b) Cal-
cule o módulo da força de atrito estático sobre a placa. Comparando
(a) e (b), você pode ver que a placa corre o risco de escorregar. Isto
é evitado apenas pela eventual presença de proruberâncias na rocha.
(c) Para estabilizar a placa, parafusos devem ser colocados perpen-
dicularmente à superfície da rocha (dois parafusos são mostrados
na figura). Se cada parafuso tem uma seção transversal de 6,4 em? e
se parte com uma tensão de cisalhamento de 3,6 x 108 N/m2, qual é
o número mínimo de parafusos necessários? Suponha que os para-
fusos não alteram a força normal.
Fig. 12-71 Problema 69.
70 Uma escada uniforme cujo comprimento é 5,0 m e cujo peso é
400 N está apoiada em uma parede vertical serI)-atrito. O coeficien-
te de atrito estático entre o chão e o pé da escada é 0,46. Qual é a
maior distância em que o pé da escada pode estar da base da parede
para que a escada não escorregue?
71 Um homem de 73 kg está em pé sobre uma ponte horizontal de
comprimento L. Ele está a uma distância L/4 de uma das extremida-
des. A ponte é uniforme e pesa 2,7 kN. Quais são os módulos das
forças verticais sobre a ponte exercidas pelos seus suportes (a) na
extremidade mais afastada do homem e (b) na extremidade mais pró-
xima?
72 Um alçapão quadrado em um teto tem 0,91 m de lado, uma
massa de 11 kg, e está preso por uma dobradiça ao longo de um lado
e por um ferrolho no lado oposto. Se o centro de gravidade do alça-
pão está a 10 em de seu centro em direção ao lado com dobradiça,
quais são os módulos das forças exercidas pelo alçapão (a) no fer-
rolho e (b) na dobradiça?
73 Uma ginasta com 46,0 kg de massa está em pé sobre uma trave
de equilíbrio como mostra a Fig. 12-72. A trave tem 5,00 m de com-
Fig. 12-72 Problema 73.
Equilíbrio e Elasticidade 27
primento e uma massa de 250 kg (excluindo-se as massas dos dois
suportes). Cada suporte está a 0,540 m da extremidade mais próxi-
ma. Em notação de vetores unitários, qual é a força exercida sobre a
trave (a) pelo suporte 1 e (b) pelo suporte 2?
}4 Na Fig. 12-73, uma viga uniforme de 12,0 m de comprimento é
presa por um cabo horizontal e por uma dobradiça em um ângulo
e = 50,0°. A tensão no cabo é 400 N. Em notação de vetores unitá-
rios, quais são (a) a força gravitacional sobre a viga e (b) a força da
dobradiça sobre a viga?
Fig. 12-73 Problema 74.
.•.
7S Uma escada uniforme tem 10 m de comprimento e pesa 200 N.
Na Fig. 12-74, a escada está apoiada em uma parede vertical s~m
atrito na altura h = 8,0 m acima do chão. Uma força horizontal F é
aplicada sobre a escada na distância d = 2,0 m a partir da base (me-
dida ao longo da escada). (a) Se F = 50 N, qual é a força do chão
sobre a escada, em notação de vetores unitários? (b) Se F = 150 N,
qual é a força do chão sobre a escada? (c) Suponha que o coeficien-
te de atrito estático entre a escada e o chão é 0,38; para que valor
mínimo de F a base da escada começará a se mover em direção à
parede?
T
h
~l
Fig. 12-74 Problema 75.
76 Se a viga (quadrada) na Fig. 12-7a for de pinho, qual deve ser
sua espessura para manter a tensão de compressão sobre ela em t
de seu limite de ruptura? (Veja o Problema Resolvido 12-3.)
77 Na Fig. 12-75, um trampolim uniforme de 40 kg de massa está
preso a dois suportes separados pela distância di = 1,0 m. Quando
um saltador estaem pé na borda, a uma distância dz = 2,5 m do
suporte 2, o suporte 1 puxa o trampolim para baixo com uma força
de módulo 1200 N. A que distância do suporte 1 o saltador deve se
posicionar para reduzir esta força a zero?
28 Capítulo Doze
I
~. 1.: .é---- cl2---'1I!
Figo 72-75 Problema 77.
78 Um balanço improvisado é feito a partir de um laço numa ex-
tremidade de uma corda e amarrando-se a outra extremidade ao galho
de uma árvore. Uma criança está sentada no laço com a corda na
vertical quando o pai da criança a empurra continuamente com uma
força horizontal, deslocando-a para um lado. Imediatamente antes
de a criança ser abandonada a partir do repouso, a corda faz um
ângulo de 15° com a vertical e a tensão na corda é 280 N. (a) Quanto
pesa a criança? (b ) Qual é o módulo da força (horizontal) do pai
sobre a criança imediatamente antes de abandoná-Ia? (c) Se a força
máxima que o pai pode exercer sobre a criança for de 93 N, qual é o
maior ângulo com a vertical que a corda pode fazer enquanto o pai
empurra a criança horizontalmente?
79 Quatro tijolos uniformes idênticos de comprimento L estão
empilhados sobre uma mesa de duas maneiras, como mostra a Fig.
12-76 (compare com o Problema 53). Desejamos maximizar a dis-
tânciah em ambas as configurações. Encontre as distâncias ótimas
ai' a2, b, e b2 e calcule h para os dois arranjos.
(a)
(b) Figo 72-76 Problema 79.
80 Aqui está uma maneira de mover uma tora pesada em uma flo-
resta tropical. Encontre uma árvore jovem que esteja localizada na
direção em que você deseja deslocar a tora e que tenha um cipó
pendurado do topo ao nível do chão. Enrole o cipó em tomo de um
galho na tora, puxe o cipó forte o suficiente para dobrar a árvore e,
a seguir, amarre o cipó no galho. Repita este procedimento com
várias árvores; por fim, a força resultante dos cipós move a tora para
a frente. Embora tediosa, esta técnica permitiu que trabalhadores mo-
vessem toras muito antes que as máquinas modernas estivessem dis-
poníveis. A Fig. 12-77 mostra um arranjo no qual um único cipó está
preso a um galho em uma extre-
midade de uma tora uniforme de
massa M. O coeficiente de atrito
estático entre a tora e o chão é
0,80. Se a tora está na iminência
de escorregar, com a extremida-
de esquerda ligeiramente levan-
tada pelo cipó, quais são (a) o ân-
gulo e e (b) o módulo T da força
do cipó sobre a tora? Figo 72-77 Problema 80.
Figo 72-78 Problema 81.
81 A.,Torre de Pisa (Fig. 12-78) tem 55 m de altura e 7,0 m de
diâmetro. O topo da torre está deslocado 4,5 m em relação à verti-
cal. Trate a torre como um cilindro circular uniforme. (a) Que des-
locamento adicional, medido no topo, levaria a torre para a
iminência de tombar? (b) Que ângulo a torre faria com a vertical
nesta situação?
82 Você deve construir um grande monte de areia dentro de um
galpão e deve tomar cuidado com a compressão no piso. A maior com-
pressão não ocorre diretamente abaixo do topo, mas em pontos a uma
distância rm deste ponto central (Fig. 12-79a). Este deslocamento para
fora da compressão máxima é devido à formação de arcos pelos grãos
de areia dentro do monte. Para uma altura do monte H = 3,00 m e
ângulo e = 33,0°, aFig 12-79b fornece a compressão ucomo função
do raio r a partir do ponto central da base do monte: (To = 40 000 N/
m-, (Tm= 40024 N/m2, rm = 1,82 m, e 1,00 m' de areia tem uma mas-
sa de 1800 kg. (a) Qual é o volume de areia contida no monte para
r ~ r,,/2? (Sugestão: O volume é o de um cilindro vertical modifica-
do com um cone no topo do cilindro. O volume do cone é 1TR2h/3,
onde R éoraio eh a altura do cone.) (b) Qual é o pesoPdeste volume
de areia? (c) Use a Fig. 12-79b
para escrever uma expressão
para a compressão (T sobre o piso
como uma função do raio r,para
r ~ rm' (d) Sobre o piso, qual é a
área dA de um anel [mo de raio r
centrado no eixo central do mon-
te, de espessura radial dr? (e)
Qual é o módulo dF da força para
baixo sobre o anel exercida pela
areia? (f) Qual é o módulo F da
força resultante para baixo sobre
o piso exercida por toda a areia
contida no monte para r ~ r.,/2?
(Sugestão: Integre a expressão de
(e)der= Oar= r,,/2.) Note ago-
ra a surpresa: O módulo F desta
força sobre o piso é menor do que
o peso P da areia acima do piso,
como encontrado em (b). (g) De
que fração F é reduzido de P; ou
seja, quanto vale (F - P)/P?
(a)
(b)
Figo 72-79 Problema 8_.