Cap-13a1-Alunos

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MECÂNICA - DINÂMICA
Cinética Plana de uma 
Partícula: Força e Aceleração
Cap. 13
Prof Dr. Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 2
�Estabelecer as Leis de Newton para Movimentos e 
Atração Gravitacional e definir massa e peso
�Analisar o movimento acelerado de uma partícula 
utilizando a equação de movimento escrita em 
diferentes sistemas coordenados
Objetivos
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 3
1.2 * 3 Leis do Movimento de Newton
�Primeira Lei (equilíbrio)
�Uma partícula originalmente em repouso, ou em movimento
constante, permanecerá neste estado se não for submetida a 
uma força desbalanceadora
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 4
1.2 * 3 Leis do Movimento de Newton
�Segunda Lei (movimento acelerado)
�Uma partícula sob a ação de uma força em desequilíbrio
F sofre uma aceleração a que possui a mesma direção da
força e intensidade diretamente proporcional à força. Se F
é aplicada a uma partícula de massa m, essa lei pode ser 
expressa matematicamente como:
�F = ma
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 5
1.2 * 3 Leis do Movimento de Newton
�Terceira Lei
�As forças mútuas de ação e reação entre duas partículas
são iguais, opostas e colineares.
�Para cada ação existe uma reação (em direção contrária)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 6
1.2 * Quantidades Básicas
�Comprimento: descreve o tamanho de um 
sistema físico (localizar e posicionar um ponto no espaço).
�Tempo: concebido como uma sucessão de 
eventos (importante para a dinâmica).
�Massa: propriedade da matéria pela qual se 
pode comparar a ação de um corpo sobre o 
outro (resistência da matéria à mudança de velocidade).
�Força: considerada como um empurrão ou
puxão exercido por um corpo sobre outro
(caracterizada pela sua intensidade, direção e ponto de aplicação).
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 7
�Força: considerada como um empurrão ou
puxão exercido por um corpo sobre outro
(caracterizada pela sua intensidade, direção e ponto de aplicação).
Ocorre apenas pelo contato direto???
Forças:
Gravidade
Elétrica
Magnética
1.2 * 3 Leis do Movimento de Newton
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 8
1.2 * Lei de Atração Gravitacional de Newton
�F = força de gravitação entre duas partículas
�G = constante universal de gravitação;
�G = 66,73 x 10-12 m3/(kg.s2)
�m1, m2 = massa de cada uma das partículas
�r = distância entre as duas partículas
2
21
r
mm
GF =
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 9
1.2 * Peso
� No caso de uma partícula localizada sobre ou próxima à 
superfície da Terra, a única força da gravidade com 
intensidade considerável é aquela entre a Terra e a partícula. 
Consequentemente, essa força, denominada peso W, será a 
única força da gravidade considerada no estudo da mecânica.
� Pela equação anterior, podemos desenvolver uma expressão
aproximada para encontrar o peso W de uma partícula com 
uma massa m1 = m. Se considerarmos a Terra uma esfera
sem rotação, de densidade constante e tendo uma massa m2
= Me, e se r é a distância entre o centro da Terra e a partícula, 
temos:
2
21
r
mm
GF =
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 10
1 2
2
1
2
2
2
Para uma partícula na superfície da Terra
F W
 massa da partícula 
 massa da Terra 
Adotando: 
onde é a aceleração da gravidade
e
e
e
m m
F G
r
m m
m M
mM
W G
r
GM
g
r
g
W mg
=
⇒ =
=
=
⇒ =
=
⇒ =
1.2 * Peso
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 11
1.2 * Peso
� Como g depende de r, então o peso de um corpo não é uma
quantidade absoluta. Em vez disso, sua intensidade é 
determinada onde a medição foi feita. Para a maioria dos 
cálculos de engenharia, no entanto, g é determinanada ao nível
do mar e na latitude de 450, que é considerado o ‘local padrão’.
2
e
GM
g
r
=
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 12
1.2 * Massa vs Peso
� Massa é uma propriedade da matéria, represestada por uma
quantidade absoluta, pois a medida da massa pode ser feita
em qualquer lugar. 
� O peso de um corpo por outro lado, não é uma quantidade
absoluta, pois é medido num campo gravitacional, e, portanto, 
seu módulo depende do lugar onde se realiza a medição.
3
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 13
1.3 Unidades de Medida
Unidades do SI (MKS)
É o sistema internacional de unidades
Versão atualizada do sistema métrico
F = ma
F = força em Newton (N)
m = massa em kg
a = aceleração em m/s2
N = kg. m/s2
W = mg (g = 9,81 m/s2)
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 14
1.3 Unidades de Medida
Unidades dos USA (FPS)
F = ma
F = força em libras (lb)
m = massa em slugs
a = aceleração em ft/s2
slug = lb. s2/ft
W = mg (g = 32,2 ft/s2)
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�Estabelecer as Leis de Newton para Movimentos e 
Atração Gravitacional e definir massa e peso
�Analisar o movimento acelerado de uma partícula 
utilizando a equação de movimento escrita em 
diferentes sistemas de coordenadas
Objetivos
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Quando várias forças atuam:
aF m=∑
13.2 Equação de Movimento
R
=∑F F
Soma vetorial
Equação de movimento
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 17
13.2 Equação de Movimento
aF m=∑
Equivalência 
gráfica
Diagrama de corpo livre: considera o ponto material ‘livre’ de sua vizinhança e 
mostra todas as forças que agem nele.
Diagrama dinâmico: refere-se ao movimento do ponto causado pelas forças.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 18
É um sistema que não gira e que está fixo ou em translação com 
velocidade constante (aceleração nula);
Essa definição assegura que a aceleração do ponto material 
medida por observadores em dois referenciais inerciais
diferentes será sempre a mesma;
Sistema Referencial Inercial
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 19
Sistema Referencial Inercial
Quando se está estudando movimentos de foquetes e satélites, é 
justificável considerar os referenciais em relação às estrelas, 
enquanto problemas de dinâmica de movimentos na superfície
terrestre ou próximos a ela podem ser resolvidos usando-se um 
referencial inercial suposto fixo na Terra. Embora a Terra gire
em torno de seu eixo e se desloque ao redor do sol, as 
acelerações criadas por esses movimentos são relativamente
pequenas e podem ser desprezadas na maioria dos cálculos.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 20
G
m=∑F a
13.3 Equação de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
A soma das forças externas que agem no sistema é igual à massa
total dos pontos materiais multiplicada pela aceleração de seu
centro de massa.
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( )x y z x y zm a a
m
a+ + = + +
=
∑ ∑ ∑
∑
F i F j F k i j
F a
k
13.4 Equações de Movimento: Coordenadas Retangulares
Seja uma partícula movendo-se em relação a um sistema inercial
x x
y y
z z
ma
ma
ma
=
=
=
∑
∑
∑
F
F
F
Para que essa equação seja satisfeita, os componentes i, j, k no 
primeiro membro devem ser iguais aos seus termos correspondentes
no segundo membro. Logo:
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Observação
ATRITO: Se um ponto material em movimento tem contato com uma
superfície áspera, pode ser necessário usar a equação de atrito,
que relaciona o coeficiente de atrito cinético µc com as
intensidades de força de atrito Ff e da normal N agindo nas
superfícies em contato, isto é, Ff = µc N. Deve-se lembrar que no
diagrama de corpo livre Ff sempre aponta no sentido oposto ao do
movimento do ponto relativamente à superfície com a qual ele se
atrita. Se o ponto material estiver no limiar do escorregamento,
então o coeficiente de atrito estático deverá ser usado.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 23
Observação
MOLA: Se o ponto está ligado a uma mola elástica de massa
desprezível, a intensidade Fs da força da mola sobre o ponto
relaciona-se com a deformação desta de acordo com a equação
Fs = k.s, onde k é a rigidez da mola, medida como uma força por
unidade de comprimento e s, é a deformação por tração ou
compressão, medida pela diferença entre o comprimentol da mola
deformada e seu comprimento l0 quando não deformada, s = l – l0.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 24
Pontos importantes
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 25
Exemplo 13.2
Um projétil de 10 kg é disparado para cima na vertical,
a partir do solo, com velocidade de 50 m/s. Determine
a altura máxima do projétil quando: a) a resistência do ar
é desprezível; b) a resistência do
2
 ar é 0,01 N, onde
 é a velocidade do projétil em m/s.
D
F v
v
=
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 26
Exemplo 13.2 - Solução
( )0 0² ² 2 -Ahv v a z z= + m=10kg
Caso a:
( )( )0 50² 2 -9,81 - 0
127, 12 7 m42
A
AA
h
h h
= +
= =∴
0 0No instante inicial, 0 e 50 m/s e
Na máxima altura alcançada, e 0
AA h
z v
z h v
= =
= =
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 27
Exemplo 13.2 - Solução
( )D
Caso b:
 e peso do projétil 10(9,81) 98,1 N
A força F = 0,01v² N retarda o movimento ascendente
atuando na mesma direção da gravidade.
W mgF ma == = =
m=10kg
 - 0,01 ² -98,1 10
-0,001 ² -9,81
z z v a
a
F m
v
a ∴ =
=
=∑
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Exemplo 13.2 - Solução
( )
( )
A aceleração não é constante, pois depende da velocidade. 
Como , podemos relacionar a aceleração com a posição 
usando -0,001 ² -9,81
D
ads vdv
F
a f v
v ds vdv
=
∴= =
m=10kg
-0,001 ² -9,81a v=
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Exemplo 13.2 - Solução
0 0
0
0 50
Lembrando que para 0, 50 m/s e que para
para , 0 e integrando:
-
0,001 ² 9,81
B
B
B h
h
z v
z h v
v
ds dv
v
= =
= =
=
+
∫ ∫ m=10kg
( )-0,001 ² -9,81v ds vdv=
( )
0
50
 - 500 ln 0,001 ² 9,81
113,51 1 1 4 m 
B
BB
h v
h h
=
=
+
= ∴
2
1
1
ln( ² cte2)
² cte2 2*
x
x
x
dx ctex
ctex cte
= +
+∫