Dinâmica I

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Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
Dinâmica I
“Cinemática de Partículas”
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Dinâmica I
Bibliografia Recomendada
Bibliografia Básica:
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc Graw Hill, 2006.
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003.
Bibliografia Complementar:
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982.
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2003. 496p.
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p.
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães
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	Princípios da Dinâmica
 Introdução
 Conceitos Básicos
3. Leis de Newton
	4. Unidades
	5. Gravitação
	6. Descrição de Problemas de Dinâmica
	7. O Movimento Absoluto e a Física de Newton
 8. Velocidade Relativa
 9. Atividades
 Dinâmica I
 Introdução - Dinâmica
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1 - Introdução 
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem corrente elétrica. Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. 
A Dinâmica é a parte da Física que estuda os movimentos e as causas que os produzem ou os modificam. Então, na dinâmica vamos estudar os movimentos dos corpos e suas causas, utilizando também os conceitos de cinemática já estudados.
 Introdução - Dinâmica
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Introdução 
A Dinâmica tem duas partes distintas – Cinemática, que é o estudo do movimento, sem fazer referência às forças que o causam, e a Cinética, que relaciona a ação de forças sobre os corpos aos movimentos resultantes. A perfeita compreensão da Dinâmica fornece a estudantes de Engenharia uma de suas mais úteis e poderosas ferramentas para análise.
Em termos de aplicação em Engenharia, a Dinâmica é uma das ciências mais recentes. Somente depois de conseguir que as máquinas e estruturas operassem em altas velocidades e acelerações apreciáveis foi que o homem achou necessário fazer cálculos baseados nos princípios da Dinâmica. O rápido desenvolvimento tecnológico sem dúvida exige a ampliação dos princípios da Mecânica.
 Introdução - Dinâmica
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Introdução 
Aristóteles elaborou uma teoria para explicar os movimentos dos corpos, dando início ao estudo da Dinâmica. As explicações de Aristóteles foram utilizadas até Galileu Galilei, considerado o primeiro cientista moderno, realizar vários experimentos, chegando às leis matemáticas que descrevem o movimento dos corpos terrestres, impulsionando o estudo da Dinâmica.
As idéias de Galileu sobre a dinâmica, seus estudos sobre os movimentos dos corpos foram precursoras das Leis de Newton, que conseguiu dar um enorme salto na ciência. Conseguiu o que todos buscavam na época, uma teoria física unificada. Analisando o movimento da lua ele chegou a uma descrição perfeita para os movimentos, uma descrição que poderia ser utilizada tanto para os astros (lei da gravitação universal), como para objetos menores na terra.
 Introdução - Dinâmica
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Espaço. é a região geométrica na qual o evento ocorre. É comum relacionar linha reta ou plano como espaço uni ou bidimensional.
Sistema de referência. A posição no espaço é determinada relativamente a sistemas de referência por meio de medidas lineares ou angulares.
Tempo. é a medida da sucessão de eventos e é considerado uma quantidade absoluta.
Força. é a ação de um corpo sobre outro. 
 Introdução - Dinâmica
2 - Conceitos Básicos 
r
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Inércia. é a propriedade da matéria que causa resistência à variação do movimento.
Massa. é a medida quantitativa da inércia. É também a propriedade de todo corpo que sofre sempre atração mútua em relação a outros corpos.
Partícula. é um corpo cujas dimensões são desprezíveis na situação em que vamos considerar. É pois um corpo que em uma situação específica pode ser considerado como um ponto geométrico, no que diz respeito às suas dimensões.
Corpo Rígido. é um sistema constituído de partículas agregadas de um modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. Não apresenta nenhuma deformação relativa entre suas partes.
 Introdução - Dinâmica
Conceitos Básicos 
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Escalar. a quantidade com a qual somente a grandeza está associada. Exemplos: tempo, volume, massa, densidade...
Vetor. a quantidade na qual a direção, bem como a magnitude, está associada. Exemplos: deslocamento, velocidade, aceleração, força...
Em dinâmica, o tipo em negrito é usado para simbolizar os vetores e o tipo comum, para escalares. Assim V = V1 + V2 representa o vetor soma de dois vetores, enquanto S = S1 + S2 representa a soma de dois escalares. 
Frequentemente, o uso de derivada de vetores e escalares em relação ao tempo é utilizado. Como notação, um ponto sobre a quantidade será usado para indicar uma derivada em relação ao tempo: significa dx/dt e para d2x/dt2.
 Introdução - Dinâmica
Conceitos Básicos 
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Newton conseguiu elaborar uma teoria unificada para a Física e esta teoria é descrita em três leis, conhecidas como as leis de Newton.
Primeira lei de Newton ou Princípio da Inércia
na ausência de forças externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento permanece em movimento.
Segunda lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica
a força aplicada a um objeto é igual à massa do objeto multiplicado por sua aceleração.
Terceira lei de Newton ou Princípio da ação e reação 
Se um objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força de mesma intensidade, de mesma direção e em sentido oposto.
 Introdução - Dinâmica
3 - Leis de Newton 
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A segunda lei de Newton é básica para a maioria das análises em Mecânica. Quando aplicada a uma partícula de massa m pode ser fixada como: F = ma (ou de outra forma )
Onde F é a força resultante que atua sobre a partícula e a é a aceleração resultante. 
A primeira lei de Newton é uma consequência da segunda, desde que não haja nenhuma aceleração quando a força é zero, e a partícula esteja em repouso ou move-se a velocidade constante.
A terceira lei é básica para a compreensão de força. Ela estabelece que as forças sempre ocorrem em pares de igualdade e são opostas, sem observar-se a sua origem, e permanece válida para todo instante do tempo durante o qual as forças atuam. 
 Introdução - Dinâmica
Leis de Newton 
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Nos últimos anos, todos os países do mundo vêm adotando o Sistema Internacional de Unidade - SI - para todos os trabalhos de Engenharia e científicos. As tabelas resumem as unidades que formam a bases para os cálculos mecânicos e seus prefixos mais usados:
 Introdução - Dinâmica
4 - Unidades 
	Grandeza	Nome	Símbolo
	 Comprimento	metro	 m
	 Massa	 quilograma	 kg
	  Tempo	 segundo	  s
	Força	newton	N
	Nome	Símbolo	Multiplicador
	giga	G	109
	mega	M	106
	quilo	k	103
	mili	m	10-3
	micro	m	10-6
	nano	n	10-9
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A lei da Gravitação Universal diz que dois objetos quaisquer se atraem gravitacionalmente pormeio de uma força que depende das massas desses objetos e da distância que há entre eles.
Dados dois corpos de massa m1 e m2, a uma distância d entre si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa esses corpos. Matematicamente:
 
onde
F é a força mútua de atração entre os dois corpos;
G é constante gravitacional universal;
m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si; e
r é a distância entre os dois corpos.
 Introdução - Dinâmica
5 - Gravitação 
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O peso de um corpo é a força gravitacional de atração exercida sobre esse corpo pela Terra e depende da posição do corpo em relação à Terra. Esta força existe estando o corpo em repouso ou em movimento.
Todo objeto que é deixado cair no vácuo numa dada posição, na superfície terrestre, terá a mesma aceleração g.
onde mT é a massa da Terra e r o seu raio. 
A aceleração devida à gravidade, quando determinada pela lei gravitacional, é a aceleração de um grupo de eixos de referência com origem no centro da Terra, porém não girando com a mesma. 
g = 9,824 m/s2
 Introdução - Dinâmica
Gravitação 
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A variação de g com a altitude pode ser determinada pela lei gravitacional. Se g0 apresenta a aceleração absoluta devido à gravidade ao nível do mar, o valor absoluto numa altitude h é:
onde r é o raio da Terra.
A massa m de um corpo pode ser calculada pelo resultado de uma experiência gravitacional. Se a força gravitacional de atração ou peso verdadeiro de um corpo for W, para uma aceleração absoluta g, tem-se:
W = mg
 Introdução - Dinâmica
Gravitação 
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O estudo da Dinâmica é dirigido no sentido da compreensão e da descrição das diversas quantidades envolvidas nos movimentos dos corpos. Esta descrição, que é amplamente matemática, habilita fazer prognósticos em relação ao comportamento da Dinâmica. Necessita-se, porém, para formular esta descrição de um duplo processo mental. É preciso pensar tanto em termos da situação física como nos da descrição matemática correspondente. A análise de cada problema requer esta contínua transição reflexiva entre aquilo que diz respeito à Física e à Matemática.
Durante a construção do modelo matemático idealizado para qualquer problema de Engenharia, certas aproximações estarão sempre presentes. Algumas delas podem ser matemáticas, enquanto outras serão físicas. O grau da hipótese depende da informação ou da precisão que se deseja.
 Introdução - Dinâmica
6 - Descrição de Problemas de Dinâmica
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A utilização de métodos eficazes para solucionar problemas de Dinâmica – bem como todos os problemas de Engenharia – é essencial. 
Cada solução deve ser buscada através de uma sequência lógica que vai do levantamento de hipóteses até a conclusão. A sistematização da tarefa deve incluir o estabelecimento das seguintes partes, cada uma delas claramente identificadas:
	1. dados fornecidos;
	2. resultados desejados;
	3. diagramas necessários;
	4. cálculos;
	5. respostas e conclusões.
Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é aplicado seja claramente definido.
 Introdução - Dinâmica
Descrição de Problemas de Dinâmica
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Para descrever as relações entre as forças e os movimentos que elas produzem, é essencial que o sistema para o qual um princípio é aplicado seja claramente definido. Algumas vezes uma única partícula ou um corpo rígido é o sistema a ser isolado, enquanto que em outras vezes dois ou mais corpos considerados juntos constituem o sistema. A definição do sistema a ser analisado torna-se clara através da construção do seu diagrama de corpo livre.
 Introdução - Dinâmica
Descrição de Problemas de Dinâmica
Um pesquisador, a ser chamado por observador O, construiu um mini-laboratório (mini-lab) convidando um colega seu, a ser chamado por observador O', para que permaneça no interior do mini-lab para ajudá-lo em suas pesquisas. O mini-lab anda sobre trilhos perfeitos, sem atrito, e vamos assumir, por facilidade, que não há gravitação neste local. Vamos desprezar também outros atritos e viscosidades. Pelo princípio da relatividade de Galileu é de se esperar que as leis do modelo mecânico newtoniano, válidas no laboratório original, sejam válidas também neste mini-lab, sempre que ele estiver com velocidade constante em relação a um referencial fixo ao laboratório original.
 Introdução - Dinâmica 
7 - O Movimento Absoluto e a Física de Newton
 
 Uma experiência de pensamento 
No interior do mini-lab existem duas bolinhas A e B e duas molas, como mostra a figura. As bolinhas A e B estão fixas a molas comprimidas e travadas, e em repouso em relação ao mini-lab. Uma terceira bolinha C está no teto do mini-lab e no compartimento exterior, mas fixa ao mesmo. No laboratório original que contém o mini-lab existe uma terceira mola fixa ao teto. Esta terceira mola não está comprimida e localiza-se exatamente no trajeto por onde irá passar a bolinha C quando o mini-lab entrar em movimento.
 Introdução - Dinâmica 
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Num dado instante o observador O aciona um mecanismo e coloca o mini-lab em movimento a uma velocidade v (pode ser uma velocidade pequena, pois não vamos aqui testar a teoria da relatividade de Einstein). Quando a bolinha C encostar na mola distendida, ela começa a comprimir a mola e vamos supor que, através de um mecanismo apropriado, ela solte-se do mini-lab e se fixe à mola exterior (deixando portanto de acompanhar o mini-lab). Ao final da compressão a mola trava-se, graças a outro mecanismo apropriado. Exatamente nesse instante o observador O' aciona um mecanismo a destravar as duas molas interiores e a soltar as bolinhas A e B. Estas ficam então soltas no espaço recebendo o impulso das molas ao se distenderem. 
 Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Vamos supor, por facilidade, que o aparato foi construído de tal maneira que as duas bolas adquiram uma velocidade v, em relação ao observador O', igual à velocidade do mini-lab em relação ao observador O. Nestas condições teremos, ao final da experiência, as duas bolinhas A e C em repouso em relação ao observador O e a bolinha B com a velocidade 2v. Em relação ao observador O', do mini-lab, as bolinhas A e C afastam-se para a esquerda na velocidade v e a bolinha B afasta-se para a direita também na velocidade v.
 Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Em termos do modelo mecânico newtoniano, é relativamente fácil explicar tudo o que aconteceu durante todo o processo. Também não é difícil perceber que cada um dos observadores irá concordar que a energia, da maneira como é definida em física clássica, se conserva; se bem que os argumentos utilizados serão diversos, pois eles estão em referenciais distintos. De qualquer maneira, existem alguns componentes comuns a ambas interpretações e a independer do referencial, quais sejam: 1) a energia armazenada na mola que foi comprimida; 2) a energia das duas molas que se distenderam, e que acabou se transformando em energia cinética das bolas A e B no referencial do mini-lab (e estas sim, serão diferentes de um observador para outro); e 3) a energia correspondente ao impulso inicial a colocar o mini-lab em movimento.
 Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Sem entrar em maiores detalhes a respeito da localização e/ou comparação dessas energias relativas e não-relativas. Na realidade, o que se pretende é analisar esta experiência de pensamento sobre um outro prisma, aquele relativo a um possível absolutismo do movimento. Em particular, pretende-se mostrar que esse absolutismo do movimento não implica na existência de um referencial absoluto, pensado como algo a ser fixado num hipotético espaço absoluto. 
Raciocinando fisicamente ninguém pode contestar a seguinte verdade: algo está se movendo, qualquer que seja o referencial da observação. Portanto,e sob esse aspecto, o movimento existe num sentido absoluto, sendo relativo apenas quando pensamos em descrever em qual dos objetos esta propriedade foi constatada. O movimento não seria uma propriedade da matéria em si, mas algo mutável e a depender da postura do observador.
 Introdução - Dinâmica
O Movimento Absoluto e a Física de Newton
Umas das aplicações mais comum, que se faz necessário o uso de propriedades vetoriais, é o estudo da velocidade relativa em mais de uma dimensão. Pode-se ver inicialmente como as observações feitas em diferentes sistemas de referência estão relacionadas uma com a outra. 
Por exemplo, considere dois carros se aproximando um do outro, em linha reta, onde cada um viaja com uma velocidade de 50 km/h com respeito a Terra. v1 = v2 = 50 km/h
Observadores na Terra, ao lado da estrada, medirão uma velocidade de 50 km/h para ambos os carros, mas em sentido contrário. Observadores dentro dos carros (em referenciais diferentes) medirão uma velocidade de aproximação igual a vr = 100 km/h. 
 Introdução - Dinâmica
8 - Velocidade Relativa 
Nota-se que quando objetos movem-se em uma mesma linha, uma soma simples ou subtração das velocidades envolvidas é suficiente para determinar a velocidade relativa. Isto significa que não é necessário, nestes casos, levar em conta as características vetoriais do movimento. Mas se os movimentos não estão na mesma linha, estas considerações não são válidas e somos forçados a fazer uso das somas vetoriais. Vejamos o movimento de um barco cruzando um rio. 
 Introdução - Dinâmica
Velocidade Relativa 
Usando as notações: vbr velocidade do barco em relação as águas do rio, vbm velocidade do barco em relação a margem e vrm a velocidade do rio em relação a margem. Neste caso, a velocidade do barco em relação a margem (vbm) é igual a velocidade do bote no rio (vbr) mais o efeito da correnteza do rio (vrm). Como este movimento envolve velocidades em direções e sentidos diferentes, é necessário usar somas vetoriais.	 			 vbm = vbr + vrm  
Neste exemplo, nota-se que para o barco chegar na outra margem do rio em um ponto (A) exatamente em frente ao ponto de partida é necessário que o movimento esteja inclinado. Este fato deve-se à influência da corrente de águas no rio. Caso contrário, se o barco estiver viajando sempre apontando para o ponto A, ele será arrastado pelas correntezas do rio. Conseqüentemente irá atingir a margem num ponto distante do ponto B.
 Introdução - Dinâmica
Velocidade Relativa 
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Para os vetores fornecidos V1 e V2, determine V1 + V2, V1 + V2, V1 - V2, V1 X V2 e V1 . V2. Considere os vetores adimensionais e seus módulos V1 = 12 e V2 = 15.
Observação: Lembre-se de que a grandeza vetorial está representada em negrito.
 Introdução - Dinâmica
9 - Atividades
V1
V2 
30º
3
4
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2. Uma esfera considerada pontual é lançada verticalmente para cima. Após o lançamento, ela fica somente em contato com ar. Desprezando a força de resistência do ar para os itens a seguir, marque verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações.
( ) A única força que atua na esfera é a força peso.
( ) Durante a subida, o vetor aceleração da esfera tem sentido para cima.
( ) Durante a subida, o vetor velocidade tem sentido para cima.
( ) Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, a aceleração da esfera é nula.
( ) Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, a velocidade da esfera é nula.
( ) A esfera pode ser considera pontual por ser pequena e possuir massa muito baixa.
 Introdução - Dinâmica
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	Cinemática das Partículas
 1. Introdução
2. Movimento Retilíneo
 		Exercícios Resolvidos
	3. Interpretações Gráficas
			Exercícios Resolvidos
 4. Movimento Retilíneo Uniforme
 5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
	6. Atividades
 Dinâmica I
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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1 - Introdução 
A cinemática trata da posição no espaço como função do tempo e geralmente refere-se à “geometria do movimento”. O cálculo de trajetórias de vôos de aviões e naves e o projeto de engrenagens e correntes para controlar ou produzir certos movimentos são exemplos de problemas cinemáticos. O movimento das partículas pode ser descrito através da especificação de coordenadas lineares ou angulares e suas derivadas em relação ao tempo. 
A cinemática das partículas será desenvolvida progressivamente pela discussão do movimento com uma, duas ou três coordenadas espaciais.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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2 - Movimento Retilíneo de uma Partícula
Consideremos uma partícula P movendo-se apenas ao longo de uma reta. Tal movimento é dito retilíneo ou unidimensional. Vamos escolher o eixo OX de nosso referencial ao longo dessa reta. A posição de P em qualquer instante de tempo t pode ser especificada por seu deslocamento Δs de algum ponto de referência O fixado sobre a linha. Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 a sua posição no instante t2. A variação de posição da partícula, do instante t1 ao instante t2, é a diferença x2 - x1. Isto é: Δs = x2 - x1
Obs. Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos no sentido positivo ou negativo do eixo OX.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Movimento Retilíneo de uma Partícula - vm
Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 ≠ t1; nesse caso, a duração t2 - t1 do intervalo é diferente de zero. Seja Δs o deslocamento da partícula no intervalo de tempo Δt = t2 - t1. A razão entre o deslocamento da partícula no intervalo de tempo gasto nesse deslocamento é chamada de velocidade média da partícula no intervalo considerado.
Sendo a velocidade média a razão entre um deslocamento e um intervalo de tempo, a sua unidade será a razão entre as unidades de comprimento e de tempo que forem usadas. Se usamos o metro para os deslocamentos e o segundo para o tempo, a unidade de velocidade média é o metro por segundo, usualmente escrita como m/s.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Movimento Retilíneo de uma Partícula
Considere agora uma partícula em movimento e dois instantes t e t+Δt durante o movimento, onde Δt é uma quantidade de tempo que vamos considerar cada vez mais próxima de zero sem, contudo, jamais ser igual a zero. A razão Δs/Δt pode ser escrita: 
Quando Δt se aproxima indefinidamente de zero, o intervalo com extremos em t e t+Δt torna-se cada vez mais próximo de um único instante t, e a velocidade da partícula se aproxima de um valor que chamamos de velocidade instantânea (v) no instante t. A velocidade instantânea v é o valor do qual a fração Δs/Δt aproxima-se quando Δt se aproxima de zero. Para expressar esse fato, usamos a seguinte simbologia:
				 ou
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Movimento Retilíneo de uma Partícula - am
Se ao longo da trajetória a velocidade instantânea da partícula varia de v em x1 para v +Δv em x2, a aceleração média durante o intervalo de tempo correspondente Δt é am = Δv/Δt, e será positiva ou negativa, dependendo se a velocidade está aumentando ou diminuindo. 
A aceleração instantânea (a) da partícula é a variação instantânea com o tempo da variação da velocidade, 
isto é, quando o valor Δt se aproxima indefinidamente de zero. 
				 				 
				 ou
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 1
Uma partícula executa um movimento em linha reta dado por: 
s = 8 + Bt − 2t2
onde B é uma constante. Sabendo que a partícula inverte o sentido de seu movimento no instante t = 5 segundos, determine o valor da constante B.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 2
Uma partícula se move ao longo do eixo OX e seu movimento é dado por s = - t2 + 6t + 16, onde está subentendida a utilização do Sistema Internacional de Unidades.
 Determine a expressão da velocidadee da aceleração da partícula.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
(b) Em que instantes e com que velocidades a partícula passa pela origem?
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Exercício resolvido 3
A velocidade de uma partícula ao longo do eixo x é dada por v = 5 u3/2, onde v é expresso em milímetros por segundo. Determine a aceleração quando u vale 2.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 4
Consideremos um ponto material que desloca em linha reta, de modo que sua posição seja definida por x = 6t2 – t3, onde t é expresso em segundos e x em metros. Determine (a) sua função velocidade, (b) sua função aceleração e (c) um esboço dos gráficos de x, v e a em função do tempo.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
(a)
(b)
(c)
Uma análise dos três diagramas do movimento pode nos mostrar que o movimento do ponto material desde t = 0 até t = ∞ pode ser dividido em quatro fases:
. O ponto material parte da origem, x = 0, com velocidade zero, mas com aceleração positiva. Animado com esta aceleração, o ponto adquire uma velocidade positiva no sentido positivo. De t = 0 a t = 2 s, x, v e a são todos positivos.
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
. Em t = 2 s, a velocidade é zero; a velocidade atinge o valor máximo. De t = 2 s a t = 4 s, v é positivo; mas a é negativo; o ponto move-se, ainda, no sentido positivo, cada vez mais lentamente; está desacelerado.
. Em t = 4 s a velocidade é zero; a coordenada de posição x alcança o valor máximo. Daqui por diante, v e a são negativos; o ponto está acelerado e move-se no sentido negativo, com um aumento de velocidade.
. Em t = 6 s, o ponto passa pela origem; sua coordenada x é então, zero, enquanto a distância total percorrida desde o início do movimento é 64 m. Para valores de t maiores que 6 s, x, v e a serão todos negativos. O ponto irá se movimentar no sentido negativo, afastando-se de O, cada vez mais rapidamente.
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Não se deve esquecer que o ponto material não se move ao longo de qualquer uma dessas curvas; o ponto move-se sobre uma reta. Como a derivada de uma função mede a inclinação da curva correspondente, a inclinação da curva x – t, para qualquer instante dado, é igual ao valor de v nesse instante, e a inclinação da curva v – t é igual ao valor de a. Já que a = 0 para t = 2 s, a inclinação da curva v – t deve ser zero para t = 2 s; a velocidade alcança um máximo nesse instante. Também, sendo v = 0 para t = 4 s, a tangente a curva x – t deve ser horizontal para este valor de t.
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Movimento Retilíneo de uma Partícula
Comentário:
É possível determinar o movimento de uma partícula conhecendo-se sua velocidade em qualquer instante do movimento e a sua posição em um certo instante?
Vamos pensar o exemplo em que a velocidade de uma partícula seja dada por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m. Vamos supor, ainda, que o movimento dessa partícula esteja definido para t ≥ 0. É possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo? 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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3. Interpretações Gráficas
A interpretação das equações diferenciais que governam o movimento retilíneo é consideravelmente esclarecida através da representação gráfica das relações entre s, v, a e t.
Como vimos, para se determinar a velocidade de uma partícula num instante t, podemos usar o intervalo [t1, t2].  A velocidade média nesse intervalo é v = Δx/Δt = (x2 - x1)/(t2 - t1), o que equivale à declividade da secante “r”.  
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Interpretações Gráficas
Para um valor mais aproximado podemos tomar o intervalo [t3, t4], quando então a velocidade média será v = (x4 - x3)/(t4 - t3) que é igual à declividade da secante “s”. Se reduzirmos o intervalo de tempo, a secante se aproxima da tangente à curva, cuja declividade representará o valor da velocidade no instante t. Assim, a velocidade no instante t é a declividade da tangente à curva no instante considerado. 
A tangente à curva para algum instante de tempo t, obtém-se a sua taxa de variação.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Interpretações Gráficas
Então, construindo a tangente à curva para algum instante de tempo t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a velocidade: 
Assim, a velocidade pode ser determinada para todos os pontos sobre a curva e representada graficamente contra o tempo correspondente.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Interpretações Gráficas
Supondo que desejamos determinar o espaço percorrido no intervalo de tempo Δt = t2 – t1, representado no gráfico v x t. Podemos dividir o intervalo em intervalos menores e considerar que em cada intervalo a média das velocidades inicial e final seja a velocidade média (vm) no intervalo. 
Em cada intervalo, a distância percorrida será aproximadamente igual à vm.Δt, o que equivale à área de um retângulo de base Δt e altura vm.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Interpretações Gráficas
A distância total percorrida será a soma das áreas de todos os retângulos.
Se tomarmos os retângulos com Δt → 0, a área será v(ti) onde ti são os valores de t em cada um dos instantes que constituem o intervalo de tempo. 
 Como a soma corresponde a infinitos intervalos escrevemos : 
Ou seja,  o espaço percorrido é a integral da equação da velocidade definida no intervalo de tempo considerado. 
Dizendo de uma outra forma, a área sob a curva v x t durante o intervalo de tempo dt é “v dt”, que é o deslocamento ds. Consequentemente, o deslocamento da partícula durante o intervalo de t1 até t2 é a corresponde área sob a curva, dada por:
			 		 ou 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Interpretações Gráficas
Observação:
Na realidade, a integral não é o espaço percorrido, mas sim o deslocamento. Se o gráfico intercepta o eixo horizontal, ao calcular a integral da região abaixo do eixo horizontal esta resultará em um valor negativo. Isto indica que o móvel descreveu um movimento retrógrado. Ao calcular a integral, a área abaixo do eixo será subtraída da área acima do eixo. Assim, o resultado da integral será correspondente ao deslocamento. Para obter a distância efetivamente percorrida deve-se integrar a equação da velocidade dividindo o intervalo em intervalos acima e abaixo do eixo horizontal e somar os valores absolutos encontrados. 
Podemos agora voltar à questão inicial: “É possível determinar o movimento de uma partícula conhecendo-se sua velocidade em qualquer instante do movimento e a sua posição em um certo instante?”
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Interpretações Gráficas
No exemplo proposto em que a velocidade de uma partícula foi dada por vx = 5m/s e que a sua posição no instante t = 4s seja 20m. É possível conhecer seu movimento no decorrer do tempo utilizando o conceito de integral!
A partir do que foi exposto, podemos escrever:
Note que o conhecimento da equação da velocidade de uma partícula não é suficiente para obtermos seu movimento. É necessário também fornecer a posição da partícula em um dado instante de tempo; no caso, em t = 4s. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
50
Interpretações Gráficas
Do mesmo modo, construindo a tangente à curva para algum instante de tempo t, obtém-se a sua taxa de variação, que é a aceleração:
Logo, a taxa de variação dv/dt da curva v x t em qualquer instante de tempo fornece a aceleração naquele instante. Assim, a aceleração pode ser determinada para todos os pontos e a curva a x t pode ser então representada.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
51
Interpretações Gráficas
De maneira similar, a área sob a curva a x t durante o intervalo de tempo dt é “a dt”, que é a velocidade dv.Assim, a variação da velocidade da partícula durante o intervalo de t1 até t2 é a corresponde área sob a curva, dada por:
						ou
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 1
Considere uma partícula em queda livre, executando um movimento retilíneo, com aceleração constante a = g. Considere, por simplicidade, que no instante inicial t = 0 a velocidade seja v = v0. 
a) Escreva a velocidade em função do intervalo de tempo t. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
b) Supondo conhecida a posição inicial s = s0, obtenha a função do movimento em função do tempo t. 
c) Que tipo de movimento representam essas expressões?
Um movimento retilíneo uniformemente variado (acelerado)!
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Exercício resolvido 2
A velocidade de uma partícula é dada por vx = −2 + 3t2. Sabe-se ainda que em t = 2 s a sua posição é −16 m.
 Encontre a sua “função-movimento”.
(b) Determine as posições da partícula nos instantes t = 0s e t = 3s.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 3
Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade inicial vx = 50 m/s na origem quando t = 0. Para os primeiros 4 segundos a partícula não possui aceleração, e após esse intervalo de tempo ela sofre a ação de uma força retardadora que fornece uma aceleração constante ax = -10 m/s2. 
Calcule a velocidade e a coordenada x da partícula para as condições de t = 8 s e t = 12 s, e encontre a máxima coordenada x positiva atingida pela partícula.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Nos instantes de tempo especificados, as velocidades são:
A velocidade da partícula após t = 4 s é determinada a partir de:
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
A dependência da velocidade com o tempo pode ser representada graficamente:
A coordenada x da partícula em qualquer instante após 4 s é a distância percorrida durante os primeiros 4 s mais a distância percorrida após a descontinuidade na aceleração ter ocorrido. Assim,
Para os dois instantes especificados:
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Exercício resolvido 4
De uma janela de um prédio, localizada a 20 m acima do solo, arremessa-se, verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10 m/s. Sabendo-se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81 m/s2, para baixo, determinar (a) a velocidade v e elevação y da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante t, (b) a máxima elevação atingida pela bola e o correspondente instante t e (c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua correspondente velocidade. Esboçar os gráficos v – t e y – t.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
(a) Escolhemos o eixo y para medir a coordenada de posição (ou elevação), com origem O no solo e sentido positivo para cima. O valor da aceleração e os valores iniciais de v e y estão indicados na figura ao lado. Substituindo-se a em a = dv/dt = 0, v0 = +10 m/s, tem-se:
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Substituindo-se v em v = dy/dt e notando-se que para t = 0, y0 = 20 m, obtém-se:
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
(b) A velocidade da bola anula-se quando esta atinge a elevação máxima. Da expressão da velocidade, segue-se que:
		10 – 9,81t = 0 → t = 1,02 s
Substituindo-se t = 1,02 s na expressão de y, resulta:
		y = 20 + 10.(1,02) – 4,90.(1,02)2 → y = 25,1 m
(c) Quando a bola atinge o solo, tem-se y = 0. Fazendo-se y = 0 na expressão da posição, tem-se:
		20 + 10t – 4,90t2 = 0 → t = -1,24 s e + 3,28 s
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Somente a raiz positiva corresponde a um tempo posterior ao início do movimento. Levando-se este valor de t para a expressão da velocidade, tem-se, finalmente:
		v = 10 – 9,81.(3,28) = – 22,2 m/s
60
4. Movimento Retilíneo Uniforme
Este é um tipo de movimento retilíneo frequentemente encontrado em aplicações práticas. Nesse movimento, a aceleração a do ponto material é nula para qualquer valor de t. A velocidade v é, dessa forma, constante:
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
A coordenada de posição s é obtida pela integração desta equação. Denotando-se por s0, o valor inicial de s, escrevemos:
				
Esta equação pode ser usada somente quando a velocidade do ponto material for constante!
Movimento Retilíneo Uniforme
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Movimento Retilíneo Uniforme
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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5. Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Neste outro tipo de movimento, a aceleração a do ponto material é constante:
A velocidade v do ponto material é obtida pela integração desta equação:
Onde v0 é a velocidade inicial. 
Chamando-se de s0 o valor inicial de s e integrando-se 
a substituição da equação da velocidade, escrevemos:
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Podemos também escrever:
				
Então: 		 	 ;
Integrando-se ambos os membros, obtemos:
				
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Comentário: As três equações deduzidas acima fornecem relações úteis entre coordenada de posição, velocidade e tempo para o caso de um movimento uniformemente acelerado, assim que a, v0 e x0 forem substituídos por valores apropriados. Primeiramente, deve ser definida a origem O do movimento, escolhendo-se sentidos positivos ao longo dos eixos; estes sentidos possibilitarão determinar os sinais de a, v e x0. Uma aplicação importante de um movimento uniformemente acelerado é na queda livre de um corpo. 
A aceleração de um corpo em queda livre (geralmente indicada por g) é igual a 9,81 m/s2, valor tomado como padrão (aceleração normal). Efetivamente, este valor depende da posição considerada, sobre a superfície da Terra, e de sua distância ao centro desta.
É importante não esquecer que as três equações anteriores podem ser usadas somente quando a aceleração do ponto material é constante. Se a aceleração do ponto for variável, seu movimento será determinado pelas equações de derivação.				
 Introdução - Dinâmica I
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Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
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Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
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6. Atividades
 A coordenada de posição de uma partícula que está confinada a se mover ao longo de uma linha reta é dada por s = 2t3 – 24t + 6, onde s é medida em metros a partir de uma origem conveniente e t é expresso em segundos. Determine: 
 o tempo requerido para a partícula atingir a velocidade de 72 m/s a partir da sua condição inicial em t = 0;
(b) a aceleração da partícula quando v = 30 m/s;
(c) o deslocamento da partícula no intervalo de tempo desde t = 1 s até t = 4 s.
R: (a) 4 s; (b) 36 m/s2; (c) 54 m
 Introdução - Dinâmica I
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2. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com uma velocidade em milímetros por segundo dada por v = 400 – 16t2, onde t é expresso em segundos. Calcule o deslocamento Δs durante os primeiros 6 segundos de movimento.
R: 1,248 m
 Introdução - Dinâmica I
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3. A aceleração de uma partícula é dada por a = 4t – 30, onde a é expressa em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Determine a velocidade e o deslocamento como funções do tempo. O deslocamento inicial em t = 0 é s0 = -5 m, e a velocidade inicial é v0 = 3 m/s.
 Introdução - Dinâmica I
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4. (a) Um foguete é lançado do repouso verticalmente para cima. Se ele foi projetado para manter uma aceleração constante para cima de 1,5g, calcule o tempo t necessário para o foguete atingir uma altitude de 30 Km e a sua velocidade nessa posição.
 (b) Um carro consegue parar completamente a partir de uma velocidade inicial de 80 Km/hem uma distância de 30 m. Com a mesma aceleração constante, qual seria a distância de parada s a partir de uma velocidade inicial de 110 Km/h?
R: (a) 63,9 s e 940 m/s; (b) 56,7 m
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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5. (a) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 200 m/s. Calcule a máxima altitude h atingida pelo projétil e o tempo t após o lançamento para ele retornar ao chão. Despreze a resistência do ar e tome a aceleração da gravidade como sendo constante em 9,81 m/s2.
 (b) Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 25 m/s de um plano próximo a um planalto de 15 m de altura. Determine a distância h acima do planalto atingida pela bola e o tempo t após o lançamento em que ela aterrissa nele.
R: (a) 2040 m e 40,8 s; (b) 16,86 m e 4,4 s
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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 O gráfico mostra a história do deslocamento no tempo para um movimento retilíneo de uma partícula durante um intervalo de 8 segundos. Determine a velocidade média vméd durante o intervalo e, dentro de limites aceitáveis de precisão, encontre a velocidade instantânea v quando t = 4 s.
R: –0,75 m/s e –1,25 m/s
 Introdução - Dinâmica I
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7. A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por v = 2 + 5t3/2, onde t é expresso em segundo e v em metros por segundo. Avalie o deslocamento s, a velocidade v e a aceleração a quando t = 4 s. 
A partícula está na origem s = 0 quando t = 0.
R: 72 m; 42 m/s; 15 m/s2
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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8. A posição de um ponto material que se desloca em linha reta é definida pela relação x = t3 - 6t2 - 15t + 40, onde x é expresso em metros e t em segundos e t ≥ 0. 
Determine (a) o instante em que a velocidade será nula, (b) a posição e a distância percorrida pelo ponto até esse instante, (c) a aceleração do ponto nesse instante, (d) a distância percorrida pelo ponto de t = 4 s a t = 6 s.
R: 5 s; 100 m; 18 m/s2; 2 m
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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9. Para um breve intervalo de tempo, a velocidade do carro que se move em linha reta é dada por v = (3t2 + 2t) m/s, onde t é expresso em segundos. Determine a posição e a aceleração do carro para t = 3 s. 
Sabe-se que quando t = 0 e s = 0.
R: 36 m; 20 m/s2
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Questão Desafio:
A aceleração de um ponto material é definida por a = kt2, no sistema internacional de unidades. Sabendo-se que v = - 24 m/s quando t = 0 e que v = + 40 m/s quando t = 4 s 
(a) determine a constante k. 
(b) Sabendo-se também que x = 6 m quando t = 2 s escreva as equações da posição e da velocidade que caracterizam o movimento.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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 Dinâmica
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
	Cinemática Vetorial de Partículas
 	1. Introdução
	2. Velocidade
	3. Aceleração
	4. Visualização do Movimento
	5. Coordenadas Retangulares
	6. Movimento de Projéteis
	7. Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
	8. Movimento Circular
	9. Coordenadas Polares (r-θ)
	
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1 - Introdução 
O caso do movimento tridimensional mais geral é aquele que trata do movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva que pertence a um único plano. 
Considere o movimento como representado na figura abaixo. No instante t a partícula está na posição A, que é localizada pelo vetor posição r medido a partir de alguma origem fixa conveniente O. No instante t + Δt, a partícula está em A’, localizada pelo vetor posição r + Δr. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Nota-se que essa é uma combinação vetorial, e não uma adição escalar. O deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo Δt é o vetor Δr, que representa a variação vetorial da posição. 
A distância percorrida pela partícula conforme ela se move de A para A’ é o comprimento escalar Δs medido ao longo da trajetória.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
	Cinemática Vetorial de Partículas 	
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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2 - Velocidade
A velocidade média da partícula entre A e A’ é definida como , que é um vetor cuja direção é a de Δr. A velocidade escalar média da partícula entre A e A’ é o quociente escalar Δs/Δt.
A velocidade instantânea (v) da partícula é definida como valor-limite da velocidade média conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Assim:
A direção de se aproxima da tangente à trajetória conforme Δt se aproxima de zero; assim a velocidade é sempre um vetor tangente à trajetória.
Ampliando a definição básica da derivada de uma grandeza escalar para incluir uma grandeza vetorial, temos:
A derivada de um vetor é também um vetor que tem módulo e direção.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
83
Recorrendo novamente à figura, fica então definido a velocidade da partícula em A pelo vetor tangente v e a velocidade em A’ pela tangente v’. 
Existe uma variação vetorial na velocidade durante o tempo Δt, sendo que a velocidade v em A mais (vetorialmente) a variação Δv igual à velocidade em A’: v’ – v = Δv.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Soma Vetorial
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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3 - Aceleração
A aceleração média da partícula entre A e A’ é definida como Δv/Δt, que é um vetor cuja direção é a de Δv.
A aceleração instantânea (a) da partícula é definida como o valor-limite da aceleração média, conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Assim:
Pela definição da derivada, então pode-se escrever:
Obs.: À medida que o intervalo Δt se torna menor e se aproxima de zero, a direção da variação Δv se aproxima daquela da variação diferencial dv e, assim, de a. A aceleração a inclui os efeitos tanto da variação do módulo de v quanto da variação da direção de v. Então, em geral, a direção da aceleração de uma partícula em um movimento curvilíneo não é nem tangente à trajetória nem normal a ela; porém, a componente da aceleração que é normal à trajetória aponta sempre para o seu centro de curvatura.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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4 - Visualização do Movimento
Abaixo temos uma interpretação gráfica da aceleração, onde os vetores posição de posições arbitrárias sobre a trajetória da partícula são mostrados. Existe um vetor velocidade tangente à trajetória correspondentes a cada vetor posição. Os vetores aceleração são mostrados para instantes quaisquer, escolhidos arbitrariamente.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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5 - Coordenadas Retangulares (x-y)
Este sistema de coordenadas é particularmente útil para a descrição do movimento quando as componente x e y da aceleração são independentemente geradas ou determinadas. O movimento curvilíneo resultante é então obtido pela combinação vetorial das componentes x e y dos vetores posição, velocidade e aceleração.
Na figura podemos visualizar a trajetória de uma partícula, mostrada ao longo dos eixos x e y. O vetor posição r, a velocidade v e a aceleração a da partícula são representados juntamente com suas componentes. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
88
Com o auxílio dos vetores unitários i e j, pode-se escrever os vetores r, v e a em termos das suas coordenadas x e y. Assim,
 r = xi + yj
 v = dr/dt = vxi + vyj ou
 a = dv/dt = axi + ayj
Como observado anteriormente, a direção da velocidade é sempre tangente à trajetória, e a partir da figura, fica claro que:
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
89
Se as coordenadas x e y são conhecidas, pode-se em qualquer instante de tempo combiná-las para obter r. Do mesmo modo, combinam-se suas primeiras derivadas e para obter v, e suas segundasderivadas 	para obter a. 
Por outro lado, se as componentes da aceleração ax e ay são dadas como funções do tempo, pode-se integrar cada uma separadamente com relação ao tempo, uma vez para obter vx e vy e novamente para obter x e y. A eliminação do tempo t entre essas duas últimas equações paramétricas fornece a equação da trajetória da curva y = f(x).
Obs.: A partir dessa discussão, percebe-se que a representação em coordenadas retangulares do movimento curvilíneo é meramente a superposição das componentes de dois movimentos retilíneos simultâneos nas direções x e y. Desse modo, tudo que foi tratado sobre o M.R. pode ser aplicado separadamente para o movimento em x e para o movimento em y.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
	Cinemática Vetorial de Partículas 	
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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6 - Movimento de Projéteis
A figura apresenta o movimento de uma partícula no plano x-y. 
Para os eixos mostrados, as componentes de aceleração são ax = 0 e ay = - g. A integração dessas acelerações segue os resultados obtidos para aceleração constante, e fornece:
vx = vx0 ; vy = vy0 – gt
x = x0 + vx0 t ; y = y0 + vy0 t – ½gt2
vy2 = vy02 – 2g(y – y0)
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Em todas essas expressões, o subscrito zero denota as condições iniciais, frequentemente tomadas onde o lançamento ocorre, para o caso ilustrado x0 = y0 = 0. Desprezam-se o arrasto aerodinâmico, a curvatura e a rotação da Terra e considera-se que a variação de altitude é pequena o suficiente, de tal modo que a aceleração devida à gravidade pode ser considerada constante.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Movimento de Projéteis
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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 Observações:
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
 Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem):
de x = v0xt temos: t = x/v0x
Substituindo na equação para y encontramos a equação da trajetória:
(Equação de uma parábola !)
Fotografia estroboscópica 
do movimento parabólico
O movimento na direção y não depende da velocidade vx. Na figura ao lado, duas bolas são jogadas sob a ação da gravidade. A vermelha é solta (v0y=0) e a amarela tem velocidade inicial horizontal v0x.
Em cada instante elas têm a mesma altura!
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 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 1
Dispara-se um projétil, da extremidade de uma colina de 150 m de altura, com uma velocidade inicial de 180 m/s, num ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) a distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Substituindo-se nas equações do movimento uniformemente acelerado, tem-se:
Movimento vertical → Movimento Uniformemente Acelerado. 
- Escolhendo o sentido do eixo y para cima e colocando a origem O na arma, temos:
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Movimento horizontal → Movimento Uniforme. 
- Escolhendo-se o sentido positivo do eixo x para a direita, tem-se:
Substituindo-se na equação do movimento uniforme, obtém-se:
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 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
(b) Quando o projétil atinge a máxima elevação, temos vy = 0; levando-se este valor à equação da velocidade para o movimento vertical, escrevemos:
Elevação máxima acima do solo = 150 m + 413 m → 563 m
(a) Quando o projétil atinge o solo, temos: y = -150 m
Levando-se este valor à equação do movimento vertical, escrevemos:
Levando-se t = 19,9 s à equação do movimento horizontal, tem-se:
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Exercício resolvido 2
O vetor posição de uma partícula se movendo no plano x-y no tempo t = 3,60 s é 2,76i – 3,28j m. Em t = 3,62 s seu vetor posição se torna 2,79i – 3,33j m. Determine o módulo v de sua velocidade média durante esse intervalo e o ângulo θ que a velocidade média faz com o eixo x.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 3
Um operário que trabalha no telhado de uma casa lança uma pequena ferramenta para seu companheiro no chão. Qual deve ser a mínima velocidade horizontal v0 necessária para que a ferramenta passe, sem tocar, o ponto B? Localize o ponto de impacto, especificando a distância s mostrada na figura.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Atividades
 Todo dia, Bisnaga jogava futebol com seus amigos depois da aula. Um dia, quando parou um pouco para respirar, viu seu professor na arquibancada fazendo várias anotações. Depois do jogo, foi perguntar a ele o que estava fazendo. O professor lhe mostrou dois desenhos. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Bisnaga, eu estava esquematizando uma jogada sua. Enquanto você andava do ponto A ao ponto B, os seus oponentes não mudaram de lugar. Mas, quando se dirigiu de B para o C, de onde chutou a bola o para o gol, deu tempo para o defensor D ficar na sua frente e o goleiro G retornar para a linha de fundo podendo agarrar a bola. Você tem força no pé para, estando no ponto B, chutar a bola que encobriria o goleiro antes que ele retornasse ao gol. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Usando os conceitos de Dinâmica, estava calculando em que direção você deveria chutar. Se você chutar para a direção do gol com certa velocidade e a bola adquirir uma velocidade horizontal de 20 m/s e uma velocidade vertical de 9 m/s, no início do lançamento, é possível, sabendo que o ponto B está a 32 m do gol, determinar qual o tempo que a bola levará para chegar na linha de fundo e com que altura ela chegará. Desprezando a resistência do ar, determine os valores encontrados por Bisnaga para o tempo e altura com os dados fornecidos pelo professor. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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2. Uma pedra considerada pontual é lançada por uma catapulta no plano XY como mostrado na figura. Após o lançamento, ela fica somente em contato com ar. Desprezando a força de resistência do ar para os itens a seguir, marque verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações.
( ) Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, o vetor aceleração da esfera tem direção horizontal.
( ) Ao atingir o solo, o vetor velocidade da pedra é nulo.
( ) O ângulo α de lançamento, feito com a horizontal, influencia na velocidade final da pedra.
( ) O vetor velocidade inicial (v0) da esfera possui módulo constante.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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3. Um atleta de salto à distância se aproxima da plataforma de salto A com uma velocidade horizontal de 10 m/s. Determine a componente vertical vy da velocidade de seu centro de gravidade no ponto A para que ele realize o salto mostrado. Qual será a elevação h do seu centro de gravidade?
R: vy = 3,68 m/s; h = 0,69 m 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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4. No combate a incêndios em florestas, aviões jogam água para ajudar equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Se o avião está voando horizontalmente a uma altura H acima do solo com velocidade V a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa? Despreze a resistência do ar.
R: V.√(2H/g)
 Cinemática Vetorial
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5. Um helicóptero pretende lançar cobertores para uma família que está isolada em uma região onde houve uma enchente. O helicóptero está voando paralelo ao solo a uma altitude de 10 m com uma velocidade de 5 m/s. No momento em que a distância horizontal entre o helicóptero e a casa vale 10 m, os cobertores caemdo helicóptero. 
A que distância da casa os cobertores caem? 
(b) Qual a velocidade instantânea dos cobertores no instante imediatamente antes deles atingirem o solo? Expresse esta velocidade em termos dos unitários i e j. R: 2,86 m; 14,87 m/s
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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6. Um time de estudantes de engenharia está projetando uma catapulta para lançar uma pequena bola em A, de tal modo que ela atinja a caixa. Sabe-se que o vetor velocidade inicial faz um ângulo 30º com a horizontal. Determine a faixa de velocidades de lançamento v0 para as quais a bola irá parar dentro da caixa.
R: 6,15 – 6,68 (m/s)
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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7. Qual deve ser a mínima velocidade horizontal para que o rapaz lance uma pedra em A e ultrapasse, sem tocar, o obstáculo em B?
R: 28,37 m/s
 Cinemática Vetorial
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8. Uma pedra é arremessada até um muro de altura h com velocidade inicial de 42 m/s fazendo um ângulo θ0 = 60 º com a horizontal, conforme a figura. A pedra atinge o ponto A 5,5 s após o lançamento. Determine (a) a altura h do muro, (b) a velocidade da pedra logo antes do impacto em A e (c) a altura máxima H alcançada pela pedra.
R: 51,68 m; 27,38 m/s; 67,43 m
 Cinemática Vetorial
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9. O bocal de uma mangueira de jardim despeja água a uma taxa de 15 m/s. Se o bocal é mantido no nível do solo e inclinado de 30º em relação à horizontal, determine a altura máxima alcançada pela água e a distância horizontal entre o bocal e o ponto no solo onde a água o atinge.
R: 2,87 m; 19,74 m
 Cinemática Vetorial
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10. Em uma competição esportiva, uma moto saltou da pista em A, a um ângulo de 60º. Se o ponto de aterrissagem dista de 20 m do ponto A, determine aproximadamente o módulo da velocidade com que a motocicleta deixou o solo. Despreze as dimensões da moto.
R: 15,05 m/s
 Cinemática Vetorial
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11. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa região a aceleração da gravidade não é bem vertical. Além de uma componente vertical para baixo de módulo g, ela possui uma componente horizontal de módulo a. Em relação a um sistema de eixos convenientemente escolhido, as equações do movimento de uma partícula lançada nessa região são 
onde v0x e v0y são constantes positivas.
Determine (a) o tempo de subida da partícula, isto é, o tempo desde o lançamento até que ela chegue ao ponto mais alto da trajetória e (b) o espaço horizontal percorrido pela partícula no movimento de subida.
 Cinemática Vetorial
117
12. A menina sempre lança os brinquedos do ponto A, a um ângulo de 30º. Determine com que velocidade ela deve lançar cada brinquedo para que eles atinjam a piscina.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
13. Um jogador de basquete lança uma bola de uma altura de h = 2,30 m do solo imprimindo-lhe uma velocidade v0 de módulo 10 m/s e que faz um ângulo de 60° com a horizontal. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2. Trate a bola como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura abaixo.
118
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Escreva o vetor velocidade inicial da bola em relação à Terra.
Escreva o vetor posição r e o vetor velocidade instantânea v da bola em termos dos unitários i e j.
A que distância D da bola deve estar o centro da cesta para que o jogador consiga acertar a mesma, quando a bola estiver na descendente? A altura da cesta é de H = 3,0 m em relação ao solo.
Qual a velocidade instantânea da bola no instante em que ela atingir a cesta? Expresse esta velocidade em termos dos unitários i e j.
119
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
14. Uma equipe de estudantes de engenharia projeta uma catapulta de tamanho médio que lança esferas de aço de 4 kg. A velocidade de lançamento é v0 = 24 m/s, o ângulo de lançamento é θ = 35° acima da horizontal, e a posição de lançamento é 2 m acima do nível do solo. Os estudantes usam um campo de atletismo com uma inclinação adjacente limitada por uma cerca com 2,4 m de altura, conforme mostrado. Determine se as esferas de aço irão atingir o solo no nível superior do campo ou irão atingir a cerca.
R: Ultrapassa a cerca e cai em 48,7 m
120
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
15. O jogador de basquete gosta de arremessar seus lances livres com uma velocidade inicial v0 = 7,15 m/s. Quais valores iniciais do ângulo θ podem levar a bola a passar por dentro da cesta? Despreze qualquer consideração com relação a folga com que a bola passa através do aro.
R: 8,5° ou 53,6°
121
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
122
Questão desafio: 
Um avião de carga voa com uma velocidade horizontal constante v0 a uma altura H acima no nível do solo. No exato instante em que passa em cima de uma pessoa que se encontra no chão deixa cair uma caixa de massa m (sem nenhuma velocidade inicial em relação ao avião). 
Desprezando as dimensões da caixa e a resistência do ar e tomando como instante inicial de tempo aquele em que a caixa é liberada pelo avião, como função do tempo, escreva os vetores posição, velocidade e aceleração da caixa em relação à pessoa que se encontra no solo.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
123
7 - Coordenadas Normal e Tangencial (n-t)
Uma das descrições mais comuns do movimento curvilíneo usa as variáveis de trajetória, que são medidas feitas ao longo da tangente t e da normal n à trajetória da partícula.
As coordenadas n e t são consideradas como se movendo ao longo da trajetória com a partícula, como mostrado na figura abaixo, onde a partícula avança de A para B até C. 
O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o centro de curvatura. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
124
As coordenadas são usadas para descrever a velocidade v e a aceleração a para um movimento curvilíneo de uma partícula. Introduzem-se os unitários en na direção n e et na direção t, como mostrado na figura para a posição da partícula no ponto A.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
125
Com o raio de curvatura da trajetória nesse ponto designado por ρ, podemos escrever a velocidade como o vetor: v = vet = et
A aceleração a da partícula é um vetor que reflete tanto a variação no módulo quanto a variação na direção de v. A partir da equação da velocidade e trabalhando com os unitários, a equação para a aceleração se torna: a = en + et
	onde: 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
126
As relações obtidas nos dizem que a componente tangencial da aceleração é igual à derivada temporal da velocidade escalar do ponto material, enquanto a componente normal é igual ao quadrado da velocidade escalar dividida pelo raio de curvatura da trajetória. Conforme a velocidade do ponto material aumenta ou diminui, at é positiva ou negativa, e a componente vetorial at está dirigida no sentido do movimento ou contrária ao mesmo. A componente vetorial an, por outro lado, está sempre orientada para o centro de curvatura C da trajetória.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
127
É importante observar que a componente normal da aceleração an está sempre direcionada para o centro de curvatura da trajetória. A componente tangencial, por outro lado, estará no sentido positivo da direção t do movimento se o módulo da velocidade v estiver aumentando, e no sentido negativo da direção t se o módulo da velocidade estiver diminuindo.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
128
Conclui-se, portanto, que a componente tangencial da aceleração é responsável pela mudança da velocidade escalar do ponto material, enquanto sua componente normal reflete a mudança na direção de seu movimento. 
A aceleração de um ponto material será zero somente se ambas as componentes forem zero. Assim, a aceleração de um ponto material que se desloca com uma velocidadeconstante ao longo de uma curva nunca será zero, a não ser que o ponto material passe por um ponto de inflexão da curva (onde o raio de curvatura é infinito) ou a curva seja uma linha reta. 
O fato de a componente normal da aceleração depender do raio de curvatura da trajetória do ponto material é levado em conta no projeto de estruturas ou mecanismos como asas de avião e linhas férreas. Para evitar variações repentinas na aceleração de partículas do ar que se escoam ao redor da asa de um avião, projetam-se perfis de asas sem qualquer mudança brusca de curvatura. 
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
129
8 - Movimento Circular
O movimento circular é um importante caso especial do movimento curvilíneo plano, onde o raio de curvatrura ρ se torna o raio r constante de um círculo e o ângulo β é substituído pelo ângulo θ medido a partir de alguma referência radial conveniente. As componentes de velocidade e aceleração para o movimento circular da partícula se tornam:
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
130
Aqui também podemos usar um vetor unitário: (note que este vetor varia com o movimento)
A aceleração fica:
(a aceleração tem a direção do vetor posição e aponta para o centro da circunferência. Esta é a aceleração centrípeta).
Ou:
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
 Observações:
Movimento Circular
131
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Movimento Circular
132
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 1
Uma partícula se move em uma trajetória circular de 0,4 m de raio. Calcule o módulo a da aceleração da partícula (a) se sua velocidade é constante em 0,6 m/s e (b) se sua velocidade é 0,6 m/s, mas está aumentando a uma taxa de 1,2 m/s a cada segundo.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 2
Um carro passa por uma depressão na estrada em A com uma velocidade constante, que fornece ao seu centro de massa G uma aceleração igual a 0,5g. Se o raio de curvatura da estrada em A é 100 m, e se a distância da estrada ao centro de massa G do carro é 0,6 m, determine o módulo v da velocidade do carro.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Exercício resolvido 3
Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração uniforme. Sua velocidade é de 100 Km/h no ponto A da depressão e de 50 Km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra a 120 m de A ao longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma desaceleração total de 3 m/s2 em A e se o raio de curvatura da elevação em C é 150 m, calcule (a) o raio de curvatura ρ em A, (b) a aceleração no ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
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Encontra-se a desaceleração constante ao longo da trajetória a partir de:
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
137
Atividades
1. Seis vetores aceleração são mostrados para um carro cujo vetor velocidade está direcionado para a frente. Para cada vetor aceleração descreva, em palavras, o movimento instantâneo do carro.
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
138
2. Uma partícula se move num plano com movimento uniforme, isto é, com velocidade de módulo constante. A figura mostra um trecho de sua trajetória, formada por um semicírculo de raio r, uma semi-reta e outro semicírculo de raio R = 2r. O sentido do movimento está indicado na figura e, nela, estão marcados os pontos A e B.
Indique, com vetores, as velocidades e acelerações da partícula nos instantes em que ela se encontra no ponto A e no ponto B. Desenhe as setas de modo que seus tamanhos sejam proporcionais aos seus módulos. Marque, ainda em seu desenho, o vetor deslocamento Δr[ta, tb], onde ta é o instante e que ela se encontra no ponto A e tb, o instante em que ela se encontra no ponto B.
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
3. Uma esfera de aço de pequenas dimensões, suspensa por um fio ideal a um suporte, está oscilando em um plano vertical, com atrito desprezível, entre as posições extremas A e B. A figura abaixo mostra a posição da esfera em um determinado instante.
Dos cinco segmentos orientados – I, II, III, IV e V – desenhados na figura, aquele que pode representar o vetor aceleração da esfera, nesse instante, é:
a) I b) II c) III d) IV e) V
139
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
140
4. Na parte inferior A de um loop interno, o módulo da aceleração total de um avião é 3g. Se a velocidade medida no avião é de 800 Km/h e está aumentando a uma taxa de 20 Km/h por segundo, calcule o raio de curvatura ρ da trajetória em A.
R: 1709 m
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
141
5. Uma partícula se move ao longo de uma trajetória circular no plano x-y. Quando a partícula cruza o eixo x, positivo ela faz um movimento acelerado e com aceleração ao longo da trajetória igual a 1,5 m/s2 , e sua velocidade é de 6 m/s na direção negativa de y. Considerando o raio r = 0,6 m, escreva o vetor a aceleração da partícula no instante considerado.
R: – 60 i – 1,5 j 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
142
6. A velocidade e a aceleração de uma partícula são dadas para um certo instante por v = i – j + k m/s e a = - i + j - k m/s2. 
Determine o ângulo entre v e a, e também a aceleração tangencial at.
R: 180º; √3 m/s2 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
143
7. Uma partícula P se move ao longo de uma curva espacial e possui velocidade v = 4i -2j - k (m/s) para o instante mostrado. No mesmo instante a partícula tem uma aceleração a cujo módulo é 8 m/s2. Calcule o raio de curvatura ρ da trajetória para essa posição e a taxa com a qual o módulo da velocidade está aumentando. 
R: 7,67 m; 7,52 m/s2 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
144
8. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular de raio ρ = 50 m com uma velocidade escalar v = (0,2.t2) m/s, onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do bote no instante t = 3 s.
R: 1,80 m/s; 1,20 m/s2 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
9. O piloto de um caça F18 da força aérea a voar segundo uma trajetória circular desmaia se a aceleração normal a que é submetido for superior a 9 vezes a aceleração da gravidade (9g). Se o F18 se deslocar a uma velocidade de 300 m/s, qual o diâmetro D do círculo mais apertado que o piloto pode suportar?						 R: 2,04 Km
145
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
146
10. Um bloco de massa m desce um trilho com atrito desprezível passando pelos pontos A, B, C, D e E, de acordo com a figura, sem perder o contato com o trilho em nenhum ponto. O trilho é formado por uma parte plana inclinada e por parte de um círculo. Os pontos C e E são, respectivamente, os pontos mais baixo e mais alto do círculo. O ponto D se encontra a meia altura da distância entre C e E. Considerando a Terra como um referencial inercial, desenhe os vetores velocidade e aceleração do objeto no ponto D.
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
147
11. Uma partícula executa um movimento curvilíneo de raio R com uma aceleração de componente tangencial dada por at = a0βt, onde a0 e β são constantes positivas. Sabendo que no instante t0 = 0 a velocidade escalar é v0 = , represente num instante de tempo qualquer a velocidade escalar da partícula, v, e a componente centrípeta (ou normal) de sua aceleração. 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
148
12. Escreva a expressão vetorial para a aceleração a do centro de massa G do pêndulo simples em coordenadas n-t para o instante em que θ = 60° se ω = 2 rad/s e α = 2,45 rad/s.
R: 8 en + 4,90 et (m/s2)
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
149
Questão Desafio:
Uma partícula realiza um movimento sem atrito no interior de um trilho de perfil circular na vertical. O movimento é tal que ela não perde o contato com o trilho durantetodo o trajeto. Represente o vetor velocidade e o vetor aceleração resultante sobre a partícula nos pontos indicados na figura.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
150
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
151
Considera-se agora a terceira descrição do movimento curvilíneo plano em que a partícula é localizada pela distância radial r a partir de um ponto fixo e por uma medida angular θ até a linha radial.
A figura abaixo mostra as coordenadas polares r e θ que localizam uma partícula se movendo sobre uma trajetória curva. Uma linha fixa arbitrária, tal como o eixo x, é usada como referência para as medidas de θ. 
 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
9 - Coordenadas Polares (r-θ)
152
Vetores unitários er e eθ são estabelecidos nos sentidos positivos das direções r e θ, respectivamente. O vetor posição r da partícula em A tem módulo igual à distância radial r e uma direção especificada pelo vetor unitário er. Assim, a localização da partícula em A é expressa pelo vetor: 
	 r = rer
Podemos utilizar a diferenciação dessa relação e o tempo para obter v = dr/dt e a = dv/dt.
 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
153
Fazendo também uso das derivadas temporais dos vetores unitários, encontramos para a velocidade:
onde:
Diferenciando a expressão da velocidade temos para a aceleração:
onde:
	
 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
154
É importante notar que ar não é igual à derivada em relação ao tempo de vr e que aθ não é igual à derivada em relação ao tempo de vθ.
No caso de um ponto material que se desloca ao longo de uma circunferência de centro O, temos r = constante, , e as fórmulas de velocidade e de aceleração reduzem-se, respectivamente a:
 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
155
 Para descrever o MCU podemos também usar as coordenadas polares! 
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é:
A posição angular é uma função do tempo, . O arco descrito em dt é dado por . Então:
x
 Define-se assim a velocidade angular :
Então:
Se
:
 
.
(v: velocidade tangencial) 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Observações:
156
Exercício resolvido 1
O braço AO de 0,9 m de comprimento gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação θ = 0,15 t2, onde θ está expresso em radianos e t em segundos. O cursor desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento em relação a O dado por r = 0,9 – 0,12t2, onde r é expresso em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e aceleração total do cursor B após o braço AO ter girado 30º.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
157
Exercício resolvido 1
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Primeiramente achamos t quando θ = 30º:
	θ = 0,15t2 → 0,524 = 0,15t2 → t = 1,87 s
Substituindo-se t = 1,87 s nas expressões para r, θ e suas primeiras e segundas derivadas, temos:
158
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Para o cálculo da velocidade, obtemos os valores de suas componentes quando t = 1,87 s:
		
Do triângulo retângulo ilustrado na figura, obtemos o módulo, direção e sentido da velocidade: 
	V = 0,524 m/s ;	β = 31º
159
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Para o cálculo da aceleração, fazemos:
Encontramos: a = 0,531 m/s2 ; 
160
Exercício resolvido 2
A posição do cursor P no braço articulado giratório AO é controlada por um parafuso, como mostrado. No instante representado, dθ/dt = 8 rad/s e dθ2/dt2 = - 20 rad/s2. Também nesse instante, r = 200 mm, dr/dt = - 300 mm/s, e dr2/dt2 = 0. Para esse instante, determine as componentes r e θ da aceleração de P.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
161
1. Um brinquedo de um parque de diversões consiste numa cadeira que gira numa trajetória circular horizontal de raio r presa a um braço OB que possui velocidade angular ω e aceleração angular α. Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do passageiro. Despreze o tamanho do passageiro.
Atividades
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
162
2. O movimento curvilíneo de uma partícula é governado pelas coordenadas polares r = t3/3 e θ = 2cos(πt/6), onde r é expresso em metros, θ em radianos e t em segundos. Especifique a velocidade v e a aceleração a da partícula quando t = 2 s.
R: v = 4er – 2,42eθ (m/s); a = 1,807er – 7,99eθ (m/s2) 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
163
3. A rotação do braço pivotado radialmente é governada por θ = 0,2t + 0,02t3 (SI). Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor B e controla a sua distância a partir de O de acordo com r = 0,2 + 0,04t2 (SI). Calcule o módulo da velocidade e da aceleração do cursor para o instante t = 3s.
R: v = 0,479 m/s; a = 0,601 m/s2 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
164
4. Um carro desloca-se numa curva circular de raio r = 300 m. Num dado instante, sua taxa angular de rotação é ω = 4 rad/s e cresce a uma taxa de α = 2 rad/s2. Determine o módulo da aceleração do carro nesse instante.
R: 4,837 Km/s2
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
165
5. O tubo vazado é pivotado em torno de um eixo horizontal que passa no ponto O e é posto para girar em um plano vertical com uma velocidade constante no sentido anti-horário ω = 3 rad/s. Se uma partícula de 0,1 Kg está deslizando no tubo em direção a O com uma velocidade de 1,2 m/s relativamente ao tubo quando passa pela posição θ = 30º, calcule o módulo N da força normal exercida pela parede do tubo sobre a partícula nesse instante.
R: 0,1296 N
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
166
6. O braço OAB é pivotado em torno do ponto O, enquanto simultaneamente a seção AB se estende em relação à seção OA. Determine a velocidade e a aceleração do centro B da polia para as seguintes condições: θ = 30º, ω = 5 graus/s, α = 2 graus/s2, l = 2 m, v = 0,5 m/s, a= - 1,2 m/s2. As grandezas v e a são a primeira e a segunda derivada no tempo, respectivamente, do comprimento l da seção AB.
				 R: 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
167
7. O braço AO de 0,9 m de comprimento gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação θ = 0,15t2 (SI). O cursor B desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento em relação a O dado por r = 0,9 – 0,12t2, no SI. Determine a aceleração total do cursor B após o braço AO ter girado 30º.
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
168
Questão Desafio:
A haste AO mostrada na figura gira num plano horizontal de modo que θ = (t3) rad. Ao mesmo tempo, o curso B desliza de O para A, tendo sua coordenada r variando no tempo de acordo com r = (100t2) mm. Considerando em ambos os casos t expresso em segundo, determine a velocidade e a aceleração do cursor para t = 1 s.				 
R: 361 mm/s; 1930 mm/s2 
 Cinemática das Partículas - Dinâmica
Cinemática das Partículas
	Movimento Curvilíneo Espacial
 	1. Introdução
	2. Coordenadas Retangulares (x-y-z)
	3. Coordenadas Cilíndricas (r-θ-z) 
	4. Coordenadas Esféricas (R-θ-Φ)
	5. Movimento Relativo (Eixos Transladados)
		Representação Vetorial
 Dinâmica I
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica I
169
1 - Introdução 
No caso geral do movimento tridimensional de uma partícula ao longo de uma curva espacial três sistemas de coordenadas são comumente usados para descrever esse movimento: 
Coordenadas retangulares (x-y-z), cilíndricas (r-θ-z) e esféricas (R-θ-Φ)!
 Introdução - Dinâmica I
 Cinemática das Partículas - Dinâmica I
170
2 - Coordenadas Retangulares (x-y-z)
A extensão de duas para três dimensões não oferece grandes dificuldades. Adiciona-se apenas a coordenada z e suas derivadas no tempo às expressões bidimensionais já vistas; de tal modo que o vetor posição R, a velocidade v e a aceleração a se tornam:
Obs. Note que em três dimensões