Física 1 - Força e energia

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Física 1
Força e energia
Movimento 2D e 3D
• Generalização do movimento para casos tridimensionais. Valem todas 
as fórmulas anteriores
• Vetor posição - local que o corpo está com relação a uma origem
• Deslocamento – mudança de posição do corpo
Ԧ𝑟 = 𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑧෠𝑘
z
y
x
∆Ԧ𝑟 = (𝑥2 − 𝑥1) Ƹ𝑖 + (𝑦2 − 𝑦1) Ƹ𝑗 + (𝑧2 − 𝑧1)෠𝑘
• Velocidade – indica o quão rápido é o deslocamento de um corpo
• Velocidade média – razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo em 
que acontece
• Velocidade instantânea – fornece a velocidade de um corpo em qualquer 
instante de tempo do movimento, através de uma função
𝑣𝑚 =
ΔԦ𝑟
Δ𝑡
=
Δ𝑥
Δ𝑡
Ƹ𝑖 +
Δ𝑦
Δ𝑡
Ƹ𝑗 +
Δ𝑧
Δ𝑡
෠𝑘 [m/s]
𝑣 =
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Ƹ𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Ƹ𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
෠𝑘
• Aceleração – indica a variação da velocidade de um corpo
• Aceleração média – razão entre a variação da velocidade e o intervalo de 
tempo em que acontece
• Velocidade instantânea – fornece a velocidade de um corpo em qualquer 
instante de tempo do movimento, através de uma função
a𝑚 =
Δv
Δ𝑡
=
Δ𝑣𝑥
Δ𝑡
Ƹ𝑖 +
Δv𝑦
Δ𝑡
Ƹ𝑗 +
Δ𝑣𝑧
Δ𝑡
෠𝑘 [m/s²]
a =
𝑑v
𝑑𝑡
=
𝑑v𝑥
𝑑𝑡
Ƹ𝑖 +
𝑑v𝑦
𝑑𝑡
Ƹ𝑗 +
𝑑v𝑧
𝑑𝑡
෠𝑘
𝑎 =
𝑑2 Ԧ𝑟
𝑑𝑡²
Movimento balístico
• Combinação do movimento vertical e horizontal de lançamento de 
um objeto
y
x
Θ
A
h 𝑣0
Ԧ𝑣 Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Velocidade inicial
𝑣0𝑥 = v0 cos 𝜃 𝑣0𝑦 = v0 sen 𝜃
Movimento horizontal - MRU
𝑣𝑦 𝑡 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
𝑣0𝑥 = constante 𝑥 𝑡 = 𝐴(𝑡) = 𝑣0𝑥𝑡
Movimento vertical - MRUV
𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 = 𝑣0𝑦𝑡 −
𝑔
2
𝑡2
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 − 2gh
Uma pessoa lança uma bola com velocidade de 25 m/s e ângulo de 40° em direção a uma parede que está a 22 
m de distância.
a) A que distância vertical a bola atinge a parede?
b) Qual as componentes da velocidade da bola ao atingir a parede?
c) A altura máxima que a bola atinge
Componentes da velocidade inicial
a) Tempo de choque pelo movimento horizontal
𝐴 = 𝑣0𝑥𝑡
b) Encontrar as velocidades no instante que a bola toca a parede
𝑣0𝑥 = v0 cos 𝜃 = 25 cos 40° = 19,15 𝑚/𝑠
𝑣0𝑦 = v0 sen 𝜃 = 25 s𝑒𝑛 40° = 16,07 𝑚/𝑠
22 = 19,15𝑡
𝑡 = 1,15 𝑠
Altura que a bola atinge neste tempo
ℎ 1,15 = 16,07 ∗ 1,15 −
9,81
2
(1,15)2
ℎ 1,15 = 12 𝑚
𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑣𝑥 = 19,15 𝑚/𝑠
𝑣𝑦 1,15 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 16,07 − 9,81 ∗ 1,15
𝑣𝑦 = 4,79 𝑚/𝑠
Uma pessoa lança uma bola com velocidade de 25 m/s e ângulo de 40° em direção a uma parede que está a 22 
m de distância.
a) A que distância vertical a bola atinge a parede?
b) Qual as componentes da velocidade da bola ao atingir a parede?
c) A altura máxima que a bola atinge
c) Calcular o instante em que a bola atinge o máximo
𝑣𝑦 𝑡 = 0
0 = 16,07 − 9,81𝑡𝑀
𝑡𝑀 = 1,64 𝑠
A bola bate na parede antes de atingir o máximo de sua trajetória
ℎ 1,64 = 16,07 ∗ 1,64 −
9,81
2
(1,64)2
ℎ 1,64 = 13,16 𝑚
Movimento circular uniforme
• Um corpo que descreve uma trajetória circular com velocidade
constante. O vetor velocidade muda de direção com o tempo
R
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
𝑎𝑐
𝑎𝑐
Aceleração centrípeta
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑅
Período de rotação – tempo para 
completar uma volta 
𝑇 =
2𝜋𝑅
𝑣
Uma pessoa está em uma roda gigante de 30 m de diâmetro. Ela completa cinco voltas por minuto.
a) Qual o período do movimento?
b) A velocidade linear da pessoa
c) O módulo e o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais alto?
Dados
a) Período
b) Usando a expressão do período
𝑅 =
d
2
=
30
2
= 15 m
𝑇 =
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
5
=
60 𝑠
5
𝑇 = 12 𝑠
𝑇 =
2𝜋𝑅
𝑣
12 =
2𝜋 ∗ 15
𝑣
𝑣 = 7,85 𝑚/𝑠
c) Cálculo da aceleração centrípeta
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑅
=
7,852
15
𝑎𝑐 = 4,11 𝑚/𝑠
2 Verticalmente para baixo
Leis de Newton
1. O corpo tende a manter seu estado de movimento (ou repouso) se
nenhuma força resultante diferente de zero, está agindo sobre ele.
2. A força resultante que age sobre um corpo é proporcional a sua
massa e aceleração.
3. Quando dois corpos interagem, cada corpo exerce no outro uma
força de mesmo módulo mas sentidos opostos
Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎
𝐹𝑅𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑅𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
𝐹𝑅𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
Grandeza vetorial
[N]
• Força gravitacional (peso) – exercida sobre todos os corpos pela ação da gravidade
• Força normal – força de contato entre os corpos; é sempre perpendicular à
superfície
• Atrito – resistência ao movimento em contato com uma superfície
• Tração – força que surge em cordas esticadas
• Elástica – força que surge ao esticar ou comprimir molas
𝑃 = 𝑚𝑔
𝑃
𝑁
Movimento
𝐹𝑎𝑡 𝐹𝑎𝑡 = μN
𝐹𝑒 = 𝑘x
Um disco de massa m = 2,5 kg está sujeita à ação das seguintes forças. Calcule módulo da 
aceleração 
𝐹1𝑥 = 50 cos 45 = 35,36 𝑁
Decomposição das forças
Resultante das forças em cada direção
y
x
𝐹1 = 50𝑁
𝐹2 = 25𝑁
x
45º
10º
𝐹1𝑦 = 50 sen 45 = 35,36 𝑁
𝐹2𝑥 = 25 cos 10 = −24,62 𝑁
𝐹2𝑦 = 25 sen 10 = −4,34 𝑁
𝐹𝑅𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
35,36 − 24,62 = 2,5𝑎𝑥
𝑎𝑥 = 4,3 𝑚/𝑠
2
𝐹𝑅𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
35,36 − 4,34 = 2,5𝑎𝑦
𝑎𝑦 = 12,41 𝑚/𝑠
2
Módulo da aceleração
𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 = 4,32 + 12,412
𝑎 = 13,13 𝑚/𝑠2
Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. O bloco maior tem massa m1 = 2,3 kg 
e o bloco menor tem massa m2 = 1,2 kg. Uma força de 5 N é aplicada no bloco maior. Calcule a 
força de contato entre os blocos e a aceleração deles.
Forças atuantes em cada bloco
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎
Bloco 1
Aplicando agora a segunda lei de Newton apenas para o bloco 2
Aplicando a segunda lei de Newton no conjunto:𝑁1
𝐹 = 5𝑁 𝑓12
Bloco 2
𝑁2
𝑓12
𝑃1 𝑃2
5 = (2,3 + 1,2)𝑎
a = 1,43 𝑚/𝑠2
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎
𝑓12 = 1,2 ∗ 1,43
𝑓12 = 1,71 𝑁
Uma caixa de massa 8,5 kg está presa por uma corda no plano inclinado de 30º, sem atrito
a) Qual a tensão na corda?
b) Se a corda for cortada, qual a aceleração da caixa?
a) Usando a segunda lei de Newton para as forças horizontais
Força atuante no bloco
𝑁 𝑇
𝑃
30º
𝑃𝑥 = 𝑚𝑔 cos 30 = 8,5 ∗ 9,81 ∗ 0,87 = 72,21𝑁
Decomposição da força peso
𝑃𝑦 = 𝑚𝑔 sen 30 = 8,5 ∗ 9,81 ∗ 0,5 = 41,69𝑁
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎 𝑎 = 0
𝑃𝑥 − 𝑇 = 0
𝑇 = 72,21 𝑁
b) Desconsiderando a tração
𝐹𝑅 = 𝑚𝑎
𝑃𝑥 = 𝑚𝑎
72,21 = 8,5𝑎
𝑎 = 8,5 𝑚/𝑠2
Qual a aceleração dos blocos sabendo que existe atrito entre a mesa e o bloco A.
Dados: mA = 4,5 kg; mB = 2 kg; μ = 0,2
Forças atuantes em cada bloco
Bloco 1
𝑁𝐴
𝐹𝑎𝑡
𝑇
Bloco 2
𝑇
𝑃𝐴 𝑃𝐵
𝑃𝐴 = 𝑚𝐴𝑔 = 4,5 ∗ 9,81 = 44,15 𝑁
Cálculo das forças peso
𝑃𝐵 = 𝑚𝐵𝑔 = 2 ∗ 9,81 = 19,62 𝑁
Usando a 2ª lei para a resultante vertical, nos blocos:
𝐹𝑅𝑦 = 𝑚𝐴𝑎 𝑎 = 0
Bloco 1
𝑁𝐴 − 𝑃𝐴 = 0
𝑁𝐴 = 44,15 𝑁
𝐹𝑅𝑦 = 𝑚𝐵𝑎
Bloco 2
𝑇 − 𝑃𝐵 = 𝑚𝐵𝑎
𝑇 − 19,62 = 2𝑎
Qual a aceleração dos blocos sabendo que existe atrito entre a mesa e o bloco A.
Dados: mA = 4,5 kg; mB = 2 kg; μ = 0,2
Usando a 2ª lei para a resultante horizontal no bloco 1:
𝐹𝑅𝑥 = 𝑚𝐴𝑎
𝑇 − 𝐹𝑎𝑡 = mAa
𝑇 − 𝜇𝑁 = 4,5𝑎
𝑇 − 0,2 ∗ 44,15 = 4,5𝑎
𝑇 = 4,5𝑎 + 8,83
Substituindo a força de tração na expressão anterior:
𝑇 − 19,62 = 2𝑎
4,5𝑎 + 8,83 − 19,62 = 2𝑎
𝑎 = 4,32 𝑚/𝑠2
• Forças no movimento circular uniforme – para que o corpo mantenha 
o movimento circular surge a aceleração centrípeta, logo, existe uma 
força associada
R
𝑎𝑐
𝐹𝑐
Força centrípeta
𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 =
𝑚𝑣2
𝑅
A força centrípeta sempre apontara para 
o centro da trajetória circular
Um disco de massa 1,5 kg faz uma trajetória circular de 20 cm sobre uma mesa sem atrito. Ele 
está ligado por um fio a uma caixa de 2,5 kg. Qual a velocidade linear que o disco deve ter para 
que a caixa não caia?
Forças atuantes em cada bloco
Bloco 1
𝑁𝐴
𝑇
Bloco 2
𝑇
𝑃𝐴 𝑃𝐵
𝑃𝐴 = 𝑚𝐴𝑔 = 1,5 ∗ 9,81 = 14,72 𝑁
Cálculo das forças peso
𝑃𝐵 = 𝑚𝐵𝑔 = 2 ∗ 9,81 = 24,53 𝑁
Usando a 2ª lei para a resultante radial no disco:
𝐹𝑐 = 𝑚𝐴𝑎 =
𝑚𝐴𝑣
2
𝑅
𝑇 =
1,5𝑣2
0,2
𝑇 = 7,5𝑣2
Usando a 2ª lei para a resultante vertical na caixa:
𝐹𝑅𝑦 = 𝑚𝐵𝑎 𝑎 = 0
𝑇 − 𝑃𝐵 = 0
7,5𝑣2 − 24,53 = 0
𝑣2 = 3,27
𝑣 = 1,81 𝑚/𝑠
Energia 
• Grandeza escalar associada a um sistema
de objetos e seu
comportamento
• Energia cinética – associada ao movimento
• Energia potencial gravitacional – acumulada pela variação de altura
• Energia potencial elástica – acumulada pela variação do comprimento
de uma mola
𝐸𝑐 =
𝑚𝑣2
2
𝐸𝑔 = 𝑚𝑔ℎ
𝐸𝑒 =
𝑘𝑥2
2
[J]
Trabalho
• Quantidade de energia que é transferida para um objeto pela ação de 
uma força
• Pode ser calculado pela soma individual entre as forças que atuam no 
corpo
𝑊 = Ԧ𝐹. Ԧ𝑑
𝑊 = 𝐹𝑑 cos 𝜃 Ԧ𝑑
Ԧ𝐹
Θ
𝐹
𝐹
Ԧ𝑑
Ԧ𝑑
𝑊 = 𝐹𝑑 cos 90° = 0 𝑊 = 𝐹𝑑 cos 0° = 𝐹𝑑
[J]
• Gráficos de força variável – trabalho realizado corresponde à área sob a 
curva do gráfico
𝑊 = 𝐹𝑥
Δ𝑊 = න
𝑥0
𝑥𝑓
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
F
x
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑥
• Teorema trabalho e energia cinética – a variação de energia cinética 
de um corpo corresponde ao trabalho de uma força para acelerá-la
𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑜 = 𝑊
𝑚𝑣𝑓
2
2
−
𝑚𝑣𝑜
2
2
= Fd
x (m)
𝑣0 𝑣𝑓
d
𝐹
• Expressão do trabalho para algumas forças especiais
1. Peso
2. Atrito
3. Elástica -> a força varia com a posição
𝑃
Ԧ𝑑
Ԧ𝑑
𝑊 = 0 𝑊 = 𝑚𝑔ℎ cos 180 = −𝑚ℎ𝑔
𝑃
Ԧ𝑑
𝑊 = 𝑚𝑔ℎ cos 0 = 𝑚ℎ𝑔
𝑃
Ԧ𝑑
𝑊 = 𝜇𝑁𝑑 cos 180 = −𝜇𝑁𝑑𝐹𝑎𝑡
𝑊 = න
𝑥0
𝑥𝑓
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
𝑥
𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑊 =
𝑘𝑥2
2
Um bloco de massa 0,2 kg está sujeito a ação de diferentes forças por um percurso de 3 m.
a) Qual o trabalho total realizado sobre o bloco?
b) Sabendo que a velocidade inicial do bloco era de 5 m/s, qual a velocidade final?
F1 = 5 N; F2 = 9 N; F3 = 2 N; θ = 60 º
a) Calculo das contribuições individuais no trabalho
𝑊1 = 𝐹1𝑑 cos 180 = 5 ∗ 3 ∗ −1 = −15 𝐽
𝑊2 = 𝐹2𝑑 cos 60 = 9 ∗ 3 ∗ 0,5 = 13,5 𝐽
𝑊3 = 𝐹3𝑑 cos 90 = 2 ∗ 3 ∗ 0 = 0 𝐽
𝑊𝑇 = 𝑊1 +𝑊2 +𝑊3
𝑊𝑇 = −15 + 13,5 + 0
𝑊𝑇 = −1,5 𝐽
b) Usando o teorema do trabalho – energia cinética
𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑜 = 𝑊
𝑚𝑣𝑓
2
2
−
𝑚𝑣𝑜
2
2
= 𝑊
0,2𝑣𝑓
2
2
−
0,2 ∗ 52
2
= −1,5 𝑣𝑓 = 3,16 𝑚/𝑠
Conservação de energia
• A energia mecânica de um sistema é a soma das energia cinética e
potencial.
• Quando apenas existem forças conservativas (sem atrito, por
exemplo), a energia mecânica não se altera entre dois pontos.
• Existe uma transferência de energia entre as parcelas cinética e
potencial
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝
𝐸𝑚1 = 𝐸𝑚2
𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2
• Quando apenas existem forças dissipativas (atrito, por exemplo), a
conservação de energia mecânica ganha o termo do trabalho dessa
força
𝑊𝑑 = 𝐹𝑑x
𝐸𝑚1 −𝑊𝑑 = 𝐸𝑚2
𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 −𝑊𝑑 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2
Potência
• Taxa de variação no tempo do trabalho realizado por uma força
• A potência em cada instante de tempo é:
𝑃𝑜𝑡𝑚 =
W
Δ𝑡
𝑃𝑜𝑡 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡 𝑃𝑜𝑡 =
𝑑(𝐹𝑥)
𝑑𝑡
= 𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑃𝑜𝑡 = 𝐹v
Se a força é constante no tempo
Um bloco de massa 2 kg cai do repouso de uma altura de 40 cm sobre uma mola de constante 
elástica k = 1960 N/m.
a) Qual a velocidade do bloco assim que ele toca a mola?
b) Quanto a mola comprime?
a) Usando a conservação de energia:
1 – Bloco a 40 cm da mola em repouso
2- Bloco na mola, 40 cm a baixo
𝐸𝑚1 = 𝐸𝑚2
𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2
𝑚𝑣0
2
2
+𝑚𝑔ℎ1 =
𝑚𝑣𝑓
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2
2 ∗ 9,81 ∗ 0,4 = 𝑣𝑓
2
𝑚𝑔ℎ1 =
𝑚𝑣𝑓
2
2
𝑣𝑓 = 2,80 𝑚/𝑠
b) Usando a conservação de energia:
1 - Bloco na mola
2- Bloco com a mola comprimida
𝐸𝑚1 = 𝐸𝑚2
𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2
𝑚𝑣𝑓
2
2
+𝑚𝑔𝑥 =
𝑚𝑣𝑚
2
2
+𝑚𝑔ℎ𝑚 +
𝑘𝑥2
2
𝑚𝑣𝑓
2
2
+ 𝑚𝑔𝑥 =
𝑘𝑥2
2
2 ∗ 2,82
2
+ 2 ∗ 9,81𝑥 =
1960𝑥2
2
𝑥 = 0,1 𝑚
c) Usando a conservação de energia:
1 – Bloco assim que toca a mola
2 – Bloco quando a mola está totalmente comprimida
Um bloco de massa 2,5 kg desliza de encontro com uma mola de constante elástica k = 320 N/m. A 
mola comprime 7,5 cm, e existe um fator de atrito de 0,25 com a superfície.
a) O trabalho realizado pela mola
b) O trabalho da força de atrito durante a compressão da mola
c) A velocidade antes de tocar na mola
a) Usando a expressão do trabalho:
𝐸𝑚1 −𝑊𝑑 = 𝐸𝑚2
𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 −𝑊𝑑 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2
𝑚𝑣𝑓
2
2
−𝑊𝐹𝑎𝑡 =
𝑘𝑥2
2
𝑣𝑓 = 1,04 𝑚/𝑠
𝑊𝑚 = −
𝑘𝑥2
2
=
320 ∗ 0,0752
2
𝑊𝑚 = −0,9 𝐽
b) Usando a expressão do trabalho:
𝑊𝐹𝑎𝑡 = −𝜇𝑁𝑑 = −0,25 ∗ 2,5 ∗ 9,81 ∗ 0,075 𝑊𝐹𝑎𝑡 = −0,46 𝐽
O bloco para 
quando a mola 
comprime 
totalmente
2,5𝑣𝑓
2
2
− 0,46 =
320 ∗ 0,0752
2