P2-TEA008-2018-2-v02-GABARITO

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TEA008 - Mecânica dos Sólidos II - Engenharia Ambiental - UFPR Gabarito P2
Data: 18/09/2018
Professor: Emílio G. F. Mercuri
(1) (50,0 pontos) O cofre S tem massa igual a 200 kg e é suportado pela corda e arranjo de polias mostrado na �gura abaixo.
Considere que no �nal da corda existe um homem B que tem massa igual a 90 kg. Determine a aceleração do homem B se ele não
soltar a corda. Despreze a massa da corda e das polias.
Solução da Questão 1
O diagrama de corpo livre do homem é:
T
90(9,81) N
aB
y
x
O diagrama de corpo livre do cofre S é:
TT
200(9,81) N
aS
y
x
Foram ilustradas a aceleração do homem aB apontando para baixo e a aceleração do cofre aS apontando para baixo pois serão
usados dois sistemas de coordenadas sB e sS que apontam para baixo. Essas escolhas são arbitrárias, o sinal do resultado indicará
se a escolha foi correta ou se o vetor está invertido.
Do diagrama de corpo livre do homem e observando que ay = −aB , tem-se:∑
Fy = may → T −mg = −maB → T = 90(9,81)− 90 aB
Do diagrama de corpo livre do cofre, tem-se:∑
Fy = may → 2T −mg = −maS → T =
200(9,81)− 200 aS
2
= 100(9,81)− 100 aS
Por enquanto tem-se 2 equações e 3 incógnitas: T , aB e aS .
Na sequência será encontrada a terceira equação com base na teoria cinemática de partículas conectadas.
Considerando o seguinte sistema de coordenadas sS e sB
sB
sS
O comprimento total da corda L pode ser escrito como:
2sS + sB + constantes = L
Derivando a equação acima duas vezes em relação ao tempo, obtém-se a terceira equação desejada:
2s̈S + s̈B = 0 → 2aS = −aB
Resolvendo as 3 equações obtém-se:
T = 882,9− 90 aB
T = 981− 100 aS
2aS = −aB
Resultados: aB = −0,7 m/s2, aS = 0,35 m/s2, T = 945,9 N.
(2) (50.0 pontos) Determine a massa necessária do bloco A de maneira que, ao ser solto do repouso, mova o bloco B de 5 kg em
uma distância de 0,75 m para cima ao longo do plano inclinado liso em t = 2 s. Despreze a massa das polias e cordas.
Solução da Questão 2
Aplicando a equação s = s0 + v0 t + 12a t
2, obtém-se:
0,75 = 0 + 0 +
1
2
aB 2
2 aB = 0,375 m/s2
sBsA
O comprimento total da corda L pode ser escrito como:
3sA + sB + constantes = L
Derivando a equação acima duas vezes em relação ao tempo, obtém-se a terceira equação desejada:
3s̈A + s̈B = 0 → 3aA = −aB
Como conhecemos aB :
aA = −0,125 m/s2
Diagramas de corpo livre:
Do diagrama de corpo livre do bloco B, a equação do movimento na direção do plano inclinado y′ (positiva para cima) é:∑
Fy′ = may′ → T −mg sen 60◦ = maB → T − 5(9,81) sen 60◦ = 5(0,375)
T = 44,35 N
Do diagrama de corpo livre do blodo A, a equação do movimento na direção do plano y vertical (positiva para cima) é:∑
Fy = may → 3(44,35)− (9,81)mA = mA(−0,125)
mA = 13,7 kg
Relações Matemáticas
F = ma
s = s0 + v0 t +
1
2
a t2
v2 = v20 + 2 a∆s