Estática 12ed; Hibbeler-2

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Capítulo 7 Forças internos I 251 
pelo membro, perpendicular ao seu eixo, no ponto onde as cargas internas 
devem ser detenninadas. 
• Depois que a secção for feita, desenhe um diagrama de corpo livre do segmento 
que tem o menor número de cargas sobre ele e indique as componentes das 
re ultantes da força e do momento de binário na seção tran versa! que atua 
em suas direções positivas, conforme a convenção de sinal estabelecida. 
Equações de equilíbrio 
• Os momentos devem ser ornados na seção. Desse modo, as forças nonnal e 
cortante na secção são eliminadas, e podemos obter uma solução direta para 
o momento. 
• Se a solução das equações de equilíbrio gerar um escalar negativo, o sentido 
da quantidade é oposto ao que é mostrado no diagrama de corpo livre. 
Exemplo 7.1 
Determine a força normal, o esforço cortante e o momento tlctor que atuam à esquerda, 
ponto 8 , e à direita, ponto C, da força de 6 k sobre a viga da Figura 7.4a. 
6 k 16 kN 
9kN · m 9k · m l 
A#-"""!'"~--~~~ A 'i-=~------il o) 
~3 m-B-If---6 m ~ 1-A-.r 3 m--1---6 m--0- ,- 1 
(a) (b) 
-SOLUCAO 
• 
Rea~ões de apoio 
O diagrama de corpo livre da viga é mostrado na Figura 7.4b. Ao determinar as 
reações e.xtemas, observe que o momento de binário de 9 kN · m é um vetor livre 
e, portanto, pode ser colocado em qualquer lugar no diagrama de corpo livre da viga 
inteira. Aqui , só determinaremos A .... pois os segmentos da esquerda serão usados 
para a análise. 
\.+ 'LM0 = O; 9 kN · m + (6 kN) (6 m) - A>(9 m) = O 
A,.= 5 kN 
Diagramas de corpo livre 
Os diagramas de corpo livre dos segmentos da esquerda AB e AC da viga ão 
mostrados nas figuras 7.4c e 7.4d. Nesse caso, o momento de binário de 9 kN · m 
não está incluído nes es diagramas, pois precisa ser mantido em sua posição original 
até depois que o scccionamento for feito e o segmento apropriado for isolado. 
Equo~ões de equilíbrio 
Segmento AB 
.:!: 'LF. = O; N8 = O 
+I 'LF =O· 
) ' 5 kN - V8 = O VB = 5 kN 
'-+ 'LM8 = O; (5 kN)(3 m) + M8 = O M8 = 15 kN · m 
(<) 
r kN 
A----c..l !~Nc 
l-3m--l c 
SkN 
(d) 
figura 7.4 
I 252 I Estático 
1200 /m 
(a) 
~ (600 N/m)( 1.5 m) 
600 N/m ~----- ---
Me,- : ---·-----
~ (- • 8 
Nc Vcl I 
~ 
(<) 
Figura 7.5 
Segmento AC 
.:!: rr;. = o; Ne = O 
+ I .EF = O· 
y ' 
\..+ .EMe =O; 
5 kN - 6 kN - Vc =O 
- (5 kN)(3 m) + Me = O 
Vc = - I kN 
Me = 15 kN · m 
NOTA: O sinal negativo indica que V c atua no sentido oposto do que é mostrado no 
diagrama de corpo livre. Além disso, o braço do momento para a força de 5 kN nos 
dois casos é de aproximadamente 3 m, pois 8 e C são 'quase' coincidentes. 
Exemplo 7.2 
Detennine a força normal, esforço cortante e momento tletor em C da viga da 
Figura 7 .5o. 
T 
1200 N/m 
_L 
I· 1,5 m 
(b) 
-SOLUCAO • 
Diagrama de corpo livre 
Não é necessário encontrar as reações de apoio em A, pois o segmento BC da viga 
podem ser usados para determinar as cargas internas em C. A intensidade da carga 
distribuída triangular em C é detenninada com triângulos semelhantes, por meio da 
geomet1ia mostrada na Figura 7.5b, ou seja, 
we = (1200 N/m)( \
5
m
111
) = 600 N/m 
A carga distribuída atuando sobre o segmento BC pode agora ser substituída por sua 
força resultante, e sua posição é indicada no diagrama de corpo livre, Figura 7.5c. 
Equa~ões de equilíbrio 
.:!: .Ef:. = O; Nc = O 
+I .EF;. =O; Vc -1 (600 N/m)(l ,5 m) =O 
\.. +LMc =O; 
Vc = 450 N 
- Me -t(600 N/m)( l ,5 m)(0,5 m) =O 
Me =-225N 
O sinal negativo indica que Me atua no sentido oposto ao que é mostrado no diagrama 
de corpo livre. 
Capítulo 7 Forças internos I 253 I 
Exemplo 7.3 
Determine a força normal, o esforço cortante e o momento tletor que atuam no 
ponto B da estrutura de dois membros mostrada na Figura 7.6a. 
-SOLUÇAO 
Rea~ões de apoio 
Um diagrama de corpo livre de cada membro é mostrado na Figura 7.6b. Como CD 
é um membro com duas forças, as equações de equilíbrio precisam ser aplicadas 
apenas ao membro AC. 
\..+ 'f.M~ = O; - 400 kN(4 m) + ( ~ )Foc(8 m) =O Foc = 333,3 kN 
.:!: l.f'. = O; -A. + ( 1 )(333,3 kN) =O A, = 266,7 kN 
+ I EF, =O; A, - 400 kN + (; )(333,3 kN) = O A,= 200 kN 
Diagramas de corpo livre 
Passando um corte imaginário perpendicular ao eixo do membro AC através do ponto B 
gera os diagr.1mas de corpo livre dos segmentos AB e BC, mostrados na Figum 7.6c. Ao 
construir esses diagramas, é importante manter a carga distribuída onde ela se encontra 
até depois que o corteforfeiro. Somente depois ela poderá ser substituída por uma única 
força resultante. 
200 kN 200 k 
j-2 m-- 2 m-J j-2 m- - 2 m-J 
----- _____ ..., Ma ~----- - ----I I 
I j ) la I 266,7 k I ~E I I 8 ~Na 8 c 
~ 
200 kN V a V a 333,3 kN 
4 
(c) 
Figura 7.6 
Equa~ões de equilíbrio 
Aplicando as equações de equilíbrio ao segmento AB, temos: 
.:!: 'EF; = O; Na - 266,7 kN =O Na = 267 k 
+I 'EF. = O; 200 kN 200 kN - V8 = O V8 = O 
\..+EM8 =O; M8 - 200 kN(4 m) + 200 kN(2 m) =O M8 = 400 kN · m 
NOTA: Como um exercício, tente obter esses mesmos resultados usando o egmcnto BC. 
j 4mj4m-J 
SO kN/; llJ 11T lllT 11111 
..,.....!:! .• • • c 
8 
(a) 
400 k 
1-4 m~4 m----1 
~------r-----~ 
A~ l jl 
A F },6J C A_.. oc 4 
Foc 
(b) 
I 254 I Estático 
I 
0,5 m 
E•-+ 
0,5 m 
I 
c 
600 N 
(a) 
0,5 m 
848,5 
(c) 
Figura 7.7 
Figura 7.8 (a) 
Exemplo 7.4 
Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor que atuam no 
ponto E da estrutura carregada conforme mostra a Figura 7.7a. 
p 
-SOLUCAO 
' 
Reações de apoio 
~(o 
D 
p 
o) .. 
c 
(b) 
R 
' ' ' ' ' ' ' 
~ 
600 N 
R 
Por inspeção, os membros AC e CD são membros de duas forças (Figura 7.7b). Para 
determinar as cargas internas em E, primeiro temos que determinar a força R atuando 
na extremidade do membro A C. Para obtê-la, analisaremos o equilíbrio do pino em C. 
Somando as forças na direção vertical do pino (Figura 7.7b), temos: 
+ t 'L.F,. = O; R sen 45° - 600 N = O R = 848,5 N 
Diagramas de corpo livre 
O diagrama de corpo livre do segmento CE é mostrado na Figura 7.7c. 
Equações de equilíbrio 
.:!. 'LF = O· 848,5 cos 45° N - VE = o .. ' 
+I L.f;. = O; -848,5 sen 45° N + Ne = O 
848,5 cos 45° N(0,5 m) - Me = O 
Ve = 600 N 
NE = 600 N 
ME= 300 N · m 
NOTA: Esses resultados indicam um projeto fraco. O membro AC deveria ser reto (de 
A a C) para que a curvatura dentro do membro seja eliminada. Se AC fosse reto, 
então a força interna só criaria tração no membro. 
Exemplo 7.5 
O cartaz uniforme mostrado na Figura 7.8a tem uma massa de 650 kg e está apoiado 
sobre uma coluna fixa. Os códigos de projeto indicam que a carga de vento uniforme 
máxima esperada que ocorrerá na área onde ele está localizado é de 900 Pa. Detennine 
as cargas internas em A. 
-SOLUÇAO 
O modelo idealizado para o cartaz é mostrado na Figura 7.8b. Aqui, as dimensões 
necessárias são indicadas. Podemos considerar o diagrama de corpo livre de uma 
seção anterior do ponto A, pois ela não envolve as reações de apoio. 
Capítulo 7 Forças internos I 255 I 
(b) (c) 
Figura 7.8 
Diagrama de corpo livre 
O cartaz tem um peso de W = 650(9,81) N = 6,376 kN, e o vento cria uma força 
resultante de F,.. = 900 N/m2(6 m)(2,5 m) = 13,5 kN, que atua perpendiculannente 
à face do cartaz. Essas cargas são mostradas no diagrama de corpo livre (Figura 7.8c). 
Equa~ões de equilíbrio 
Como o problema é tridimensional, uma análise vetorial será utilizada . 
.EF = O; FA- 13,5i - 6,376k = o 
FA = {13,5i + 6,38k} kN 
MA + r X (Fw + W) = O 
i j k 
MA + o 3 5,25 = o 
- 13,5 o - 6,376 
MA= {l9,li + 70,9j - 40,5k} kN · m 
NOTA: Aqui, FA. = {6,38k} kN representa a força normal, enquanto FA = { 13,5i} kN 
• • 
é a força escalar. Além disso, o momento de torção é M,., = {- 40,5k} kN · m e o 
momento fletor é determinado a partir de suas componentes MAx = {19,1i} kN · m 
e M Ay = {70,9j } kN · m; ou seja, (Mb)A = (M,,); +( MA); = 73,4 kN · m. 
Problemas fundamentais 
7.1. Determine a força nom1al, o esforço cortante e o momento 
no ponto C. 
7.2. Determine a força normal,o esforço cortante e o momento 
no ponto C. 
10 kN 
15 k 
-- • ~ 
AJi\ 
IC 
~ 1 ,5 m 1,5 m I ,5 m 1.5 m ~ 
Problema 7.1 
30 k · m 
,B ~~ A !l 
- 1,5 111 -1-
• 
c 
1 5m --
' 
Problema 7.2 
lO kN 
)i\_. J 
8 
1,5 111 -l- I.Sm -
I 256 I Estático 
7.3. Detennine a força nonnal, o esforço cortante e o momento 
no ponto C. 
50 kN/m 
• r. 8 
~2m A I 1.5 m_j.::.l.5 m--j 
Problema 7.3 
7.4. Detennine a força nonnal, o esforço cortante c o momento 
no ponto C. 
12 kN 9 kN/m 
! l l l l l l l 
A • 8 
~ 1,5 m-L 1,5 1111 1.5 111 1 1.5 111~ 
Problema 7.4 
Problemas 
•1.1. Detenninc a força normal e o e forço cortante internos, 
e o momento fletor nos pontos C e D da viga. Assuma que 
o apoio em B seja um rolete. O ponto C está localizado logo 
à direita da carga de 40 k . 
40kN 
60kN - m 
~ 
Problema 7.1 
7.2. Detennine o esforço cortante e o momento nos pontos 
Ce D. 
2,5 kN 
l kN I 5 kN • 
8 
A • 
c o-- E 
~3m 2m 2m 3m lm 
Problema 7.2 
7.3. Detennine a força nonnal interna, o esforço cortante e 
o momento no ponto C da viga simplesmente apoiada. O 
ponto C está localizado à direita do momento de binário de 
2,5 k · m. 
A 
2.5 kN · m 
~2m--+--2m--J 
Problema 7.3 
7.5. Detennine a força nonnal, o esforço cortante e o momento 
no ponto C. 
9lN/m 
A • 8 
I c 1---J m--+---3 m----1 
Problema 7.S 
7.6. Detennine a força nonnal, o esforço cortante e o momento 
no ponto C. Suponha que A esteja fixado e B seja um rolete. 
6kN/m 
, .11 I 
I'- B 
3m 3m 
Problema 7.6 
•7.4. Dctcnnine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento nos ponto E e F da viga. 
~-..l..-'-:--...1.-'--'--:--'--'---'-:''--'-__._--!JOO N/m 
~1,5 m..J-1 ,5 111-J-1 ,5 111-~1,5 m~ 
Problema 7.4 
•7.5. Dctcnninc a força normal interna, o esforço cortante c 
o momento no ponto C. 
o.2 ~·~r-_.4oo 
fVJ I 
lm 
1.[• 8 
~~ lm_j 
Problema 7 .S 
7.6. Dctcnnine a força nonnal interna, o esforço cortante e 
o momento no ponto C da viga com apoio simples. 
8 
.... , --3 111 --1--- 3 111 ---1 
Problema 7.6 
7.7. Determine a força normal interna, o esforço cortante e 
o momento no ponto C da viga em balanço. 
I· 
Problema 7.7 
L ----1 
2 
8 
*7.8. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento nos pontos C e D da viga simplesmente apoiada. 
O ponto D está localizado à esquerda da força de 5 kN. 
5 k 
3 kN/m 
A 8 
Problema 7.8 
•7.9. A barra aparafusada está sujeita a uma tração de 400 N. 
Determine a força normal interna, o esforço cortante e o 
momento no ponto C. 
A 8 
Problema 7. 9 
7.10. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento no ponto C da viga com dupla extremidade 
em balanço. 
3 kN/m 
c 
I ,5 m -I- I ,5 m --1-- I ,5 m -I- I ,5 m 
Problema 7.1 O 
Capítulo 7 Forças internos I 257 I 
7.11. Detennine a força nonnal interna, o es forço cortante e 
o momento nos pontos C e D da viga simplesmente apoiada. 
O ponto D está localizado logo à esquerda da carga 
concentrada de 10 kN. 
10 kN 
6 kN/m 
A 8 
~ 1.5 m r1 .5 m -L 1.5 m J_~ .5 m ~ 
Problema 7.11 
*7.12. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento nos pontos C e D da viga. O ponto D está 
localizado à direita da carga de 25 kN. 
25 kN 
10 kN/m 
A .. f/ir. -• ~ 8 
~ _[_ j_ ID 
l-2m 2m 2 m-I-2 
Problema 7.1 2 
•7.13. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento no ponto D da estrutura com dois membros. 
7.14. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento no ponto E da estrutura com dois membros. 
250 /m 
~ l l l l l l l l + l l l l J 
r 
~ 
Cl) • Cl 8 
~ A D 
2m 
1,5 m 
l 
~ 
I-
~ c E 
O) • \ 300N/m 
~ 
4m 
Problemas 7.13/ 14 
7.15. Detem1ine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento atuando no ponto C, e também no ponto D, 
que está localizado à direita do apoio de rolete em B. 
6 kN/m 
4 kN/m 4 kN/m 
Problema 7.1 5 
I 258 I Estático 
•7.16. Dctcnninc a força nonnal interna, o esforço cortante 
c o momento no ponto 8 da viga em balanço. 
... 
100 kNfm 
+ 
• 
:I m--11-
8
----4 m -----11 
Problema 7.16 
•7.17. Detenninc a razão de a/b para a qual o esforço cortante 
será zero no ponto intermediário C da viga com dupla 
extremidade em balanço. 
t ~ 
• • 
A c 8 
a h2 h12 a 
Problema 7.17 
7.18. Detennine a força nonnal interna, o esforço cortante 
e o momento atuando nos pontos D e E da viga. O ponto D 
está localizado à esquerda do suporte de rolete em 8, onde 
o momento de binário atua. 
2 kNfm 
l--3 m--l 
5kN 
Problema 7.18 
7.19. Dctcnninc a distância a em tcnnos da dimensão L da 
viga entre os apoios A c 8 simetricamente posicionados de 
modo que o momento interno no centro da viga seja zero. 
~i~i~ 
1------ L ---------4 
Problema 7.19 
•1.20. Detennine a força norn1al interna, o esforço cortante 
e o momento nos pontos D c E na viga composta. O ponto E 
está localizado à esquerda da carga concentrada de I O kN. 
Assuma que o apoio em A seja fixo c a vinculação em 8 . . 
SeJa um ptno. 
lO kN 
I.S m~l .5 m~- 1 ,5 m ~ 
Problema 7.20 
•7.21. Detennine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento nos pontos F e G da viga composta. O ponto 
F está localizado à direita da força de 2,5 kN, enquanto o 
ponto G está localizado à direita da força de 3 kN. 
2,5 k 
~0,6 m--0,6 ml 
A ~ª' 
D 
C • E 
~0,6 mt o,6 m!0,6 m~ 
Problema 7.21 
7.22. Um guindaste suporta um barco de I ,5 Mg com o 
centro de massa em G. Dctcnninc a força nonnal interna, o 
esforço cortante c o momento no ponto D da viga mestra. 
O carrinho está livre para rolar pelo trilho da viga mestra e 
está localizado na posição indicada. Somente reações 
verticais ocorrem em A e 8 . 
5ml 
7,5111 
Problema 7.22 
7.23. Detenninc a força nonnal interna, o esforço cortante 
e o momento nos pontos D e E nos dois membros. 
0.75/n\.;n ..... 
0,75 111 • E 
>{o o 
A C 
I 1-----2 111 ----1 
Problema 7.23 
•7.24. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento nos pontos F e E da estrutura. A caixa pesa 
I ,5 kN. 
,12m 
o 
E D 
1,2 m 
8 
Problema 7.24 
•7.25. Determine a força nonnal interna, o esforço cortante e 
o momento nos pontos D e E da estrutura que suporta a caixa 
de I 00 kg. Despreze a dimensão do pino em C. 
1,2 m 
L 
1 
0,6 m 
+-
0,45 m 
I 
I 
0,45 m 
f--- I ,35 m--- 1 
B 
D 
Problema 7.25 
---. -----------------·----
7.26. A viga tem um peso w por unidade de comprimento. 
Determine a força normal interna, o esforço cortante e o 
momento no ponto C devido ao seu peso. 
.b. 
2 
.b. 
2 
Problema 7.26 
B 
Capítulo 7 Forças internas I 259 I 
7.27. Determine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento que atuam no ponto C. A unidade de 
resfriamento tem uma massa total de 225 kg com centro 
de massa em G. 
F 
Problema 7.27 
•7.28. O macaco AB é usado para ace1tar a viga fl etida DE 
usando a montagem mostrada. Se a força compressiva axial 
no macaco é de 25 kN, determine o momento interno 
desenvolvido no ponto C da viga superior. Despreze o peso 
das vigas. 
•7.29. Resolva o Problema 7.28 assumindo que cada viga 
tem peso uniforme de 3 kN/m. 
c 
D 
E 
Problemas 7.28/ 29 
7.30. A lança do guindaste suporta uma carga de 3,75 kN 
através do carrinho que desliza por cima da lança. Determine 
a força normal interna, o esforço cortante e o momento no 
ponto C da lança quando o carrinho está na posição mostrada . 
Os membros do guindaste estão interligados por pino em B, 
E e F e por uma ligação curta BH. 
7.31. A lança do guindaste suporta uma carga de 3,75 kN 
através do carrinho que desliza por cima da lança. Determine 
a força normal interna, o esforço cortante e o momento no 
ponto D da lança quando o carrinho está na posição mostrada. 
Os membros do guindaste estão conectados por um pino em 
B, E e F e por uma ligação curta BH. 
I 260 I Estático 
0.3 m 
0.9 m 
I 
3,75 k 
Problemas 7.30/ 31 
•7.32. Detennine a força normal interna, o esforço cortante 
e o momento atuando nos pontos B e C da barra curva. 
A2.5 kN 
Problema 7.32 
1.35. Determine as componentes x, y e z da carga in-
terna em uma seção passando pelo ponto C na tubu-
lação. Despreze o peso da tubulação. Faça F1 = {350j -
400k } kN c F2 = { 150i 300k } kN. 
•7.36. Determine as componentes x, y e = da carga 
interna em uma seção passando pelo ponto C na 
tubulação. Despreze o peso da tubulação. A carga é 
F1 = {-80i + 200j - 300k} kN e F2 = {250i - 150j - 200k} kN. 
--
y 
3m 
Problemas 7.3S/ 36 
•1.31. O eixo está apoiado em um mancai axial em A e um 
mancai radial em 8. Detcnnine a componentes x, y e= da 
•1.33. Detennine a força nonnal interna, o esforço cortante carga interna no ponto C. 
e o momento no ponto D que está localizado à direita da 
força de 50 N. 
50N 
50 
50N 50 
Problema 7.33 
1.34. Determine as componentes x, y c z da carga interna 
no ponto C da tubulação. Despreze o peso da tubulação. 
Faça F1 = {- 24i IOk } kN, F2 = { 80i} kN c M = {- 30k} 
kN · m. 
'\ 8 
~---------------
--
3m 
Problema 7.34 
750 
y 
Problema 7.37 
1.38. Determine as componentes x, y e z da carga interna 
no ponto D da barra. Existem mancais radiais em A, B e C. 
Considere F = {7i - 12j - 5k } kN. 
1.39. Dctcnninc as componentes x, y e z da carga interna 
na barra no ponto E. Considere F = {7i 12j - 5k} kN. 
--
0.2 111 °·6 ·~ 
Problemas 7.38/ 39 
Capítulo 7 Forças internos I 261 
Equações e diagramas de esforço cortante e 
momento fletor 
Vigas ão membros estruturais projetados para suportar cargas aplicadas 
perpendiculares aos seus eixos. Em geral, elas são longas e retas, e po uem uma 
área da eção transversal constante. onnalmente são classificadas de acordo com a 
fonna como são apoiadas. Por exemplo, uma viga que é simplesmente apoiada com 
um pino em uma extremidade e com um rolete na outra, como na Figura 7.9a, 
enquanto uma viga em balanço é fixada ou engastada em uma extremidade e livre 
na outra. O projeto real de uma viga requer um conhecimento detalhado da variação 
do esforço cortante interno V c do momento fletor M interno atuando em cada ponta 
ao longo do eixo da viga. • 
I a-1 h L p 
11 "' 
o I 
~x.; 
~2~ I XJ 
(a) 
Essas l'ariações de V e M ao longo do eixo da viga podem ser obtidas u ando o 
método das eções discutido na Seção 7 .I. este caso, porém, é necessário seccionar 
a viga a uma distância arbitrária x a partir de uma extremidade e depois aplicar as 
equações de equilíbrio ao segmento tendo o comprimento x. Fazendo isso, podemos 
então obter V e M como funções de x. 
Em geral, as funções de esforço cortante e momento flctor interno serão 
descontínuas, ou suas inclinações serão descontínuas, em pontos onde uma carga 
distribuída varia ou onde forças ou momentos de binário comccntrados são aplicados. 
Por causa disso, essas funçõc precisam ser detenninadas para cada segmento da 
viga localizado entre duas descontinuidades de carga quaisquer. Por exemplo, 
segmentos com comprimentos x1, x2 ex3 terão que ser usados para descrever a variação 
de V e M ao longo do comprimento da viga na Figura 7.9a. Essas funções serão 
válidas somente dentro das regiões de O até a para x" de a até b para x2 e de b até L 
para x3• Se as funções resultantes de x forem desenhadas, os gráficos serão chamados 
de diagrama de esforço cortante e diagrama de momento jletor, figuras 7.9b e 7.9c, 
respectivamente. 
Procedimento para análise 
Os diagramas de esforço cortante e momento fletor para uma viga podem ser 
construídos usando o procedimento a seguir. 
Reações de apoio 
• Determine todas as forças e momentos de binário reativos que anmm sobre a 
viga e decomponha todas as forças em componentes que atuam perpendicular 
c paralela ao eixo da viga. 
Funções de esforço cortante e momento 
• Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na extremidade 
esquerda da viga c estendendo-se para regiões da viga entre forças e/ou 
momentos de binário concentrados, ou onde a carga distribuída é continua. 
• A força nonnal in tema não é considerada por dois motivos. a maioria dos casos, as cargas aplicada.~ 
a uma viga atuam pcrpcndiculamJcntc ao eixo da viga c, portanto, produzem apenas um esforço 
cortante c um momento nctor intcmo. E para fins de projeto, a resistência da viga no cisalhamcnto, 
e particularmente à nexão, é mais importante do que sua capacidade de resistir a uma força normal. 
v 
L L-----..Ja ___ b.+--....:rx 
(b) 
M 
(c) 
Figura 7.9 
I 262 I Estático 
A 
Esforço conante positivo 
M M 
)( 
Momento Oetor positivo 
M 
( 
Convenção de sina l 
da viga 
Figura 7.1 O 
v 
A I--X_) ) M 
2.5 kN 
O<x < 2 m 
(b) 
5kN 
x - 2m 
2,5 kN 
2m < x < 4m 
(d 
Figura 7.11 
• Seccione a viga a cada distância x c desenhe o diagrama de corpo livre de um 
dos segmentos. Certifique-se que V e M apareçam atuando em seu sentido 
positivo, de acordo com a convenção de sinal dada na Figura 7.1 O. 
• O esforço cortante V é obtido somando-se as forças perpendiculares ao eixo 
da viga. 
• O momento tletor M é obtido somando-se os momentos em relação a 
extremidade seccionada do segmento. 
Diagramas de esforço cortante e momento fletor 
• Construa o gráfico do diagrama do esforço cortante (V versus x) e do diagrama 
de momento fletor (M versus x). Se os valores calculados das funções 
descrevendo V e M forem positivos, os valores são desenhados acima do 
eixo x, enquanto os va lores negativos são desenhados abaixo do eixo x. 
• Geralmente, é convenie nte fazer os gráfi cos dos diagramas de esforço cortante 
e momento flctor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. 
Exemplo 7.6 
Construir os diagramas de esforço cortante e de fl etor para o e ixo mostrado na 
Figura 7 . li a. O apoio em A é um mancai axial e o apoio em C é um mancai radial. 
5 kN 
l 
A e o :;;_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:(! B:J!c;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;~_ O. c 
[-2m-l-2m--1 
(a) 
-SOLUÇAO 
Reações de apoio 
As reações de suporte aparecem no diagrama de corpo livre do eixo, Figura 7.l ld. 
Funcões de esforco cortante e momento fletor • • 
O eixo é seccionado a uma d istância arbitrária x do ponto A, estendendo-se dentro 
da região AB, c o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado na 
Figura 7. 11 b. Consi dera mos que as incógnitas V e M ah.wm no sentido positivo 
na face direita do sebrmento, de acordo com a convenção de sinal estabelecida. A 
aplicação das equações de equilíbrio gera: 
+I 'LF.,. = O; V = 2,5 kN (I) 
\.+'LM = O; M = 2,5x kN · m (2) 
Um diagrama de corpo livro para um segmento esquerdo do eixo estendendo-se a 
uma distância x dentro da região BC é mostrado na Figura 7 . li c. Como sempre, V 
e M aparecem atuando no sentido positivo. Logo, 
+I 'L~= O; 2,5 kN - 5 kN - V= O 
\.+ 'LM =o· ' 
V = - 2 5 kN ' 
M + 5 kN(x - 2m) - 2,5 kN(x) = O 
M = (I O - 2,5x) kN · m 
(3) 
(4) 
Capítulo 7 Forças internos I 263 I 
Diagramas de esforço cortante e de momento fletor 
Quando as equações de I a 4 são expressas graficamente dentro das regiões em que são 
válidas, os diagramas de esforço cortante e de momento fletor mostrados na Figura 7.11d 
são obtidos. O diagrama de esforço cortante indica que a força cortante interna é sempre 
• 2,5 kN (po itiva) dentro do segmento AB. A direita do ponto B, a força cortante muda 
de sinal e permanece em um valor constante de - 2.5 kN para o segmento BC. O 
diagrama de momento fletor começa em zero, aumenta lineannente até o ponto Bem 
x = 2 m, onde M,_ = 2,5 kN(2 m) = 5 kN · m, e depois diminui de volta para zero. 
NOTA: Vemos na Figura 7.1 1d que os gráficos dos diagramas de esforço cortante e 
de momento flctor são descontínuos onde a força concentrada atua, ou seja, nos 
pontos A, 8 c C. Por esse motivo, conforme já dissemos, é necessário expressar as 
funções de esforço cortante e de momento fletor separadamente para regiões entre 
cargas concentradas. Deve-se observar, porém, que todas as descontinuidades de carga 
são matemáticas, que surgem da idealização de uma força e de 11111 momento de 
binário concentrado. Fisicamente, as cargassempre são aplicadas sobre uma área 
finita, e se a variação da carga real pudesse ser considerada. os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor então seriam continuas no comprimento inteiro do eixo. 
Exemplo 1.1 
Construir os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga mo trada 
na Figura 7.12a. 
6kNtm 
1----9m ----1 
(a) 
-SOLUCAO 
• 
Reações de apoio 
As reações de apoio são mostmdas no diagrama de corpo livre da viga (Figura 7. 12c). 
Funções de esforço cortante e de momento fletor 
Um diagrama de corpo livre para um segmento esquerdo da viga tendo um comprimento X 
é mostrado na Figura 7.12b. Devido aos triângulos proporcionais, a carga distribuída 
que atuam no final deste segmento tem uma intensidade w/x = 6/9 ou w = (2/3)x. Ela 
é substituída por uma força resultante após o segmento ser isolado como um diagrama 
de corpo livre. A intensidade da força resultante é igual a t( x )n x) = t x2 • Essa 
força atua 110 centroide da área da carga distribuída, a uma distância de ~ x da 
extremidade direita. Aplicando as duas equações do equilíbrio, geramos: 
+ I 'LF; = O; 9 - ~ x2 - v= o 
(I) 
\. +'LM =O; 
(2) 
5kN 
A ç::::==:::Ó:B==:===;Jt C 
2.5 kN ~~5 k 
r (kl ) 
V-2.5 
2 4 x(m) 
M (k · m) = -2.5 
Mm,- 5 
.11 = (lO- 2.5x) 
(d) 
Figura 7.11 
(b) 
Figura 7.12 
I 264 I Estático 
6 kN/m 
Diagramas de esforso cortante e de momento fletor 
Os diagramas de esforço cortante e de momento tletor mostrados na Figura 7 .12c 
são obtidos expressando-se graficamente as equações I e 2. 
O ponto de esforço cortante zero pode ser encontrado usando a Equação 1: 
9kN 
V(kN) r2 
9 V= 9 -·3 18 kN 
~----"'~--91-- x (m) 
v= 9- ~
2 
=o 
x = 5,20 m 
- 18 
NOTA: Será mostrado na Seção 7.3 que esse valor de x representa o ponto na viga 
onde ocorre o momento jletor máximo. Usando a Equação 2, temos 
1L---~s,'="2o=----'9~ x (m) 
(c) 
Figura 7.12 
Problemas fundamentais 
1.1. Determine o esforço cortante e o momento fletor como 
uma fu nção de x, e depois construa os diagramas de esforço 
cortante e de momento fletor. 
6kN 
1--x-1 
1-----3m -----1 
Problema 7.7 
7.8. Determine o esforço cortante e o momento tletor como 
uma função de x, e depois construa os diagramas de esforço 
cortante e de momento tletor. 
30 kN/m 
25 kN · m 
(=~~ 
X 
~------ 3m-----~ 
Problema 7.8 
7.9. Determ ine o esforço cortante e o momento tletor como 
uma função de x, e depois construa os diagramas de esforço 
cortante e de momento fletor. 
6kN/m 
rx~ 1-r-----3m----~ 
Problema 7. 9 
M.w. = (9(5,20) - (5,~0)3) kN · m 
=31,2kN · m 
7.10. Determine o esforço cortante e o momento tletor como 
uma função de x, e depois construa os diagramas de esforço 
cortante e de momento fletor. 
~---- 6 m ------l 
Problema 7.1 O 
7.11. Detennine o esforço cortante e o momento tletor como 
uma função de x, onde O < x < 3 m e 3 m < x < 6 m, e depois 
construa os diagramas de esforço cortante e de momento. 
30 kN · m 
A 8 
1--x~ c 
Problema 7.11 
7.12. Detennine o esforço cortante e o momento tletor como 
uma função de x, onde O :S x < 3 m e 3 m < x :S 6 m, e depois 
construa os diagramas de esforço cortante e de momento fletor. 
4kN 
8 
Problema 7.12 
*7.40. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga (a) em termos dos parâmetros 
mostrados; (b) faça P = 4 kN, a = 1,5 m, L = 3,6 m. 
p p 
1-1: G-'~-~ L-------1:1 
Problema 7.40 
•7.41. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga simplesmente apoiada. 
9 kN 
A B 
1----4m ---·1-- 2 111-
Problema 7.41 
7.42. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga ABCDE. Todas as polias têm um 
raio de 0,3 m. Despreze o peso da viga e da montagem das 
polias. A esfera pesa 1,5 kN. 
1---- 2,4 m ---r0:.:::.6..:..:n+1 0::...6::..;m""" 
0,9 m 
Problema 7.42 
7.43. Determine os diagramas de esforço 
momento fletor para a viga em balanço. 
2 kN/111 
cortante e de 
) 
1-A------ 2m -------116 kN . m 
Problema 7.43 
*7.44. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga (a) em tennos dos parâmetros 
mostrados; (b) faça M0 = 500 N · m, L = 8 m. 
Capítulo 7 Forças internos I 265 I 
•7.45. Se L = 9 m, a viga falhará quando a força cortante 
máxima for Vnm• = 5 kN ou o momento fletor máximo for 
Mnmx = 22 kN · m. Determine o maior momento de binário 
M0 que a viga suportará. 
Mo 
A 8 
1-L/2 L/2-1 
Problemas 7.44/ 45 
7.46. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga simplesmente apoiada. 
A 8 
Problema 7.46 
7.47. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga simplesmente apoiada. 
300 N/m 
300N ·m 
(A 
li B 
----- 4 111 -----1 
Problema 7.47 
*7.48. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga com extremidade em balanço. 
8 kN/m 
A c 
----4 m ----f-1 -2m~ 
Problema 7.48 
•7.49. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento tletor para a viga. 
2 kN/m 
,""\50 kN · m 
A ~ c 
1.. 8 ~ 
r-I· -- 5 m --1·11--· --5 m--1·1 
Problema 7.49 
I 266 I Estático 
7.50. Detennine os diagramas 
momento fletor para a viga. 
de esforço cortante e de 
· m 
Problema 7.50 
7.51. Detennine os diagrama de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga. 
1,5 k fm 
I I 
A ~ 
I 3m I ' 
Problema 7.5 1 
*7.52. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga simplesmente apoiada. 
3k 
k · m 
A 
~------4m--------4 
Problema 7.52 
•7.53. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga. 
0.6 k lm 
0,3 k · m 
- 1------3 m --
8
---l- 1,5 m 1} 
Problema 7.53 
7.54. Se L = 5,4 m, a viga fa lhará quando a força cortante 
máxima for V""' = 4 kN ou o momento fl etor máximo for 
M'"b. = I ,8 k · m. Determine a maior intensidade w da carga 
distribuída que ela suportará. 
.r= . ' ~· I"" 
8 ... 
L 
A 
Problema 7.54 
7.55. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga. 
80 kNfm 
_,.... 
"'r-r--,.... 
..........-~ ~~ 
A 
4m~ 4111 
Problema 7.55 
*7.56. Determine os diagramas de esforço cortante 
momento fletor para a viga em balanço. 
1,5 kN m 
------------2 m------------l 
Problema 7.56 
e de 
•7.57. Detem1ine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga com extremidade em balanço. 
4 kN/m 
A 
Problema 7.57 
7.58. Determine a maior intensidade w0 da carga distribuída 
que a viga pode suportar se a viga suporta uma força 
cortante máxima V"'"= 6 kN e um momento tletor máximo 
M mh = I kN · m. 
"o 
Aft~ 8 
2 w -m 
Problema 7.58 
7.59. Detennine a maior intensidade w0 da carga distribuída 
que a viga pode supor1ar se a viga suporta um momento 
fletor máximo M .. m, = 20 kN · me uma força cortante máxima 
V'"àx = 80 kN. 
"'o 
1----- 4.5 m -----1-1- I ,5 m ~ 
c 
Problema 7.59 
*7.60. Detennine o posicionamento a do apoio de rolete 8 
de modo que o momento tletor máximo dentro do trecho 
A 8 seja equivalente ao momento fl etor no apoio 8. 
II'Q 
Affi 
8 ..i J 
{/ 
L 
Problema 7.60 
Capítulo 7 Forças internas I 267 I 
•7.61. A viga composta tem apoio fixo em A, vinculação com 
pino em 8 c é suportada por um roletc em C. Determine os 
diagramas de esforço cortante e de momento tletor para a viga. 
7.63. Expresse as componentes internas de esforço cortante 
c o momento fl ctor que atua na barra como uma função de 
y, onde O ~ y ~ 1,2 m. 
10 kNim 
~I ~ c 
A 
1m--f 
.. 
2m I 
Problema 7.61 
7.62. O frustum do cone está em balanço a partir do ponto 
A. Se o cone é feito de um material tendo peso específico 
de y, dctennine a força cortante c o momento tlctor interno 
no cone como uma função de x. 
7 
I 
~ 
0.6 m 
y 
Problema 7.63 
*7.64. Determine a força normal, a força cortante e o 
momento tletor na barra curva como uma função de e. 
Problema 7.62 
Relasões entre carga distribuída, esforso cortante e 
momento fletor 
Se uma viga está sujeita a várias forças concentrada, momentos de binário e 
cargas distribuídas, o método de construção dos diagramas de esforço cortante c de 
momento tletor discutidos na Seção 7.2 podem se tomar muito tediosos. Nesta seção, 
discutimos sobre um método mais simples para construir esses diagramas - um 
método baseado nas relações diferenciais que existem entre a carga, o esforço cortante 
e o momento tletor. 
Carga distribuída 
Considere a viga AD mostrada na Figura 7.13a, que está sujeita a uma carga 
arbitrária w = w(x) e uma série de forças e momentos de binário concentrados. Na 
discussão a seguir, a carga distribuída será considerada positiva quando a carga age 
para cima, confom1e mostrado. Um diagrama de corpo livre para um pequeno 
segmento da viga tendo um comprimento flx é escolhido em um ponto x ao longo 
da viga, que não está sujeito a uma força ou momento de binário concentrado (Figura 
7.13b). Logo, quaisquer resultados obtidos não se aplicarão nesse ponto de carga 
concentrada. Consideramos que a força cortante e o momento tletor interno 
mostrados no diagrama de corpo livre atuam no sentido positivo, de acordo com 
a convenção de sinal estabelecida. Observe que tanto a força cortante como o 
momento tlctor que atua sobre a face direita precisam ser aumentados por uma 
pequena quantidade finita a fim de manter o segmento em equilíbrio. A carga 
distribuída foi substituída por uma força resultante õF = w(x) ôx, que atua a uma 
distância fracionária k(6.x) a partir da extremidade direita, onde O < k < I [por 
exemplo, se w(x) for uniforme, k = l]. 
2 
Problema 7.64 
w 
A 
(a) 
11'(x) 1 - I 
I I 
I I 
I },- J:( t.\:r) 
I I ~ 
I - l-
I 
(b) 
Figura 7.13 
I 268 I Estático 
F 
ó .M 
(a) 
Figura 7.14 
Relação entre a carga distribuída e o esforço cortante 
Se aplicarmos a equação de equilíbrio de forças ao segmento, então: 
+ l 'LF; =O; V + w(x) lll' - (V + óV} = O 
óV = w(x) lll' 
Dividindo por ó;r: e fazendo ó.:r: - O, obtemos: 
c;J; = w(x) 
Inclinação do 
diagramo de • 
esforço cortante 
Intensidade do 
cargo distribuído 
(7 . I ) 
Se reescrevermos a equação acima na forma dV = w(x)d.:r: e real izannos a integração 
entre dois pontos quaisquer 8 c C na viga, veremos que: 
b.V = J w(x)cLr l 
• Vorioçõo no Areo sob o curvo 
esforço cortante • de corregoment~ 
(7.2) 
Relacão entre o esforco cortante e o momento , , 
Se aplicarmos a equação de equilibrio de momentos em relação ao ponto O no 
diagrama de corpo livre da Figura 7 .13b, obtemos: 
'-+ l.M0 = O; (M + I:!M) - [ 11·(x) ó.r] kâx Vó.r - M =O 
6M = Vó.x + k lt~X) ~ 
Dividindo os dois Lados dessa equação por ó.r c fazendo lll' - O, obtemos: 
dM =V 
clr 
lnclinoçõo do diagramo Esforço cortante 
de momento Retor • 
(7.3) 
Em particular, observe que o momento netor máximo absoluto IMlmA. ocorre no 
ponto onde a inclinação dM/d.:r: = O, pois é onde o esforço cortante é igual a zero. 
Se a Equação 7.3 for reescrita na forma dM =f V dx c integrada entre dois pontos 
8 c C quaisquer na viga, temos: 
(7.4) 
• 
Vorioçõo no Areo sob o diagramo 
momento Aetor • de esfOfço cortante 
Conforme indjcamos anteriormente, as equações acima não se aplicam em pontos 
onde atua uma força ou momento de binário concentrado. Esses dois casos especiais 
criam descontinuidades nos diagramas de e forço cortante c momento netor e, como 
rc ultado, cada um merece tratamento separado. 
Forca , 
Um diagrama de corpo livre de um segmento pequeno da viga na Figura 7.13a, 
tomado sob uma das forças, é mostrado na Figura 7.14a. Aqui, o equilíbrio de forças 
requer: 
+J'iF =o· ... , óV = F (7.5) 
Capítulo 7 Forças internos I 269 I 
Como a variação no esforço cortante é positiva, o diagrama de esforço cortante 
'saltará' para cima quando F atuar para cima na viga. De modo semelhante, o salto 
no esforço cortante (ôV) é para baixo quando F atua para baixo. 
Momento de binário 
Se removermos um segmento da viga na Figura 7. 13a que está localizado no 
momento de binário M0, o resultado é o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 
7.1 4b. Nesse caso, fazendo llx- O, o equilíbrio de momento requer: 
\..+1:M = O; .1M = M0 (7.6) 
Assim, a l'llriaçào 110 momento é positiva, ou o diagrama do momento 'saltará' 
para cima se M0 estiver 110 sentido horário. De modo semelhante, o alto ôM é para 
baixo quando M0 está em sentido anti-horário. 
Os exemplos a seguir ilustram a aplicação das equações a nteriores quando usadas 
para construir os diagramas de esforço cortante e de momento tletor. Depois de 
trabalhar com esses exemplos, recomenda-se que você solucione os exemplos 7.6 e 
7.7 usando esse método. 
Pontos importantes 
• A inclinação do diagrama de esforço cortante em um ponto é igual à intensidade 
da carga distribuída, onde a carga distribuída positiva é para cima, ou seja, 
dV/dx = w(x). 
• Se uma força concentrada arua para cima na viga, o esforço cortante saltará 
para cima com a mesma quantidade. 
• A variação no esforço cortante ôVentre dois pontos é igual à área sob a curva 
de carga distribuída entre os pontos. 
• A inclinação do diagrama de momento tletor em um ponto é igual ao esforço 
cortante, ou seja, dM/dx = V. 
• A variação no momento 11M entre dois pontos é igual à área sob o diagrama 
de esforço cortante entre os dois pontos. 
• Se um momento de binário no sentido horário atuar sobre a viga, o esforço 
cortante não será afetado; porém, o diagrama de momento fletor saltará para 
cima com a mesma quantidade. 
• Os pontos de esforço cortante zero representam os pontos de momento fletor 
máximo ou mínimo, pois dMidx = O. 
• Como duas integrações de w = w(x) estão envolvidas para primeiro determinar 
a variação no esforço cortante, ôV = fw (x) dx, em seguida, para determinar a 
variação no momento, .1M =f V dx, se a curva de carga w = w(x) for um 
polinômio de grau n, V= V(x) será uma curva de grau 11 + I eM= M(x) será 
uma curva de grau 11 + 2. 
(b) 
Figura 7.14 
270 I Estática 
2 
w• O 
(b) 
M•• 11 kN · m 
I,SkN/m 
i nc h naçAo O 
w e con.slante negatjva 
V(kN) inclinação • consaante negativo: 
2 4 
1-..---+--+--+r-+x(m) 
(c) 
11 • cons1anre negn1wa 
inclinação ... consuanre negnu\ o 
M(kN · m) 
Y crescendo negaliva 
1nclinaç~o crescendo ncgat1va 
A 
2 4 
o r:::::t:::t~r--t x (m) 
-4m 
-4 
(d) 
I I 
1'• 2 kN 
t)M 4 kN · m 
m---1 
(e) 
Figura 7.1 S 
4 kN/m 
-2m-i I 
A , - 2 kN (b) 
B,• tOkN 
I w = O 
inclinação 
V(kN) 
"" = constante:: ncgaLi,·a o 
inclin:•çâo • constanlc negativa 
8 
~ 
~ O 1--..--~+---t-.4~r-"";6 x (m) 
1-~r--'"---~-2 
(c) 
J' .,. decrescendo posiuva 
inclinação decrescendo positivo 
V • constante negativa 
inclinaçllo • consumte ne-gativa 
M(kN · m) 
-8 
(d) 
Figura 7.16 
Exemplo 7.8 
Detetmine os diagramas do esforço cortante c momento flctor para a viga em balanço 
na Figura 7.15a. 
2kN 
A 
1---2m ---+---2m ---1 
(a) 
SOLUCÃO • 
As reações no apoio fixo B estão mostradas na Figura 7 .15b. 
Diagrama de esfor~o cortante 
O esforço cortante na extremidade A é - 2 kN. Esse valor é esboçado no gráfico 
em x = O (Figura 7 .15c). Observe como o diagrama de esforço cortante é construído 
seguindo as inclinações definidas pela carga w. O esforço cortante em x = 4 m 
é - 5 kN, a reação na viga. Esse valor pode ser verificado encontrando-se a área 
sob a carga distribuída ; Olll seja, 
11-4m = J!l,.2 "" + ô V = - 2 kN - ( I ,5 kN/m)(2m) = - 5 kN 
Diagrama de momento 
O momento fletor de zero em x = O está esboçado na Figura 7.15d. A construção do 
diagrama de momento fletor é baseada no conhecimento da sua inclinação que é igual 
ao esforço cortante em cada ponto. A variação do momento de x = O para x = 2 é 
determinada a partir da área sob o diagrama de esforço cortante. Logo, o momento 
fletor em x = 2 m é: 
Mlr-o2 m = Mlx:() + ôM = O + [- 2 kN(2m)] = - 4 kN · m 
Esse mesmo valor pode ser determinado a partir do método das seções, Figura 7 .15e. 
Exemplo 7.9 
Detetmine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga com 
extremidade em balanço na Figura7.16a. 
4 kN/m 
A 
1----4m ----+1 -2 m~ 
(a) 
~ 
SOLUCAO 
• 
As reações de apoio são mostradas na Figura 7 .16b. 
Diagrama de esfor~o cortante 
O esforço cortante de - 2 kN na extremidade A da viga é esboçado no gráfico em x = O 
(Figura 7.16c). As inclinações são detenninadas a partir da carga e, com isso, o diagrama 
de esforço cortante é construído, conforme indicado na figura. Em particular, observe o 
salto positivo de I O kN em x = 4 m devido à força B>" confonne indicado na figura. 
Capítulo 7 Forças internas I 271 
Diagrama de momento fletor 
O momento flctor de zero em x = O é esboçado no gráfico (Figura 7. 16d), depois, 
seguindo o comportamento da inclinação, encontrado a partir do diagrama de esforço 
cortante, o diagrama de momento fletor é construído. O momento fletor em x = 4 m 
é encontrado a partir da área sob o diagrama de esforço cortante. 
MlfW'I., = Ml...o + 6M = O+ [-2 kN(4m)] = -8 k · m 
Também podemos obter esse valor usando o método das seções, como mostra a 
Figura 7 . 16e. 
Exemplo 7.10 
O eixo na Figura 7.17a é suportado por um mancai axial em A c um mancai radial 
em 8. Determine os diagramas de esforço cortante c de momento flctor. 
120 kN/ rn 
................ 
r'"' 
"'r' 
,.-' ........ 
.....-""" ..,.-1, 
A 
"' 
~----12m--------~ 
(a) 
-SOLUCAO 
• 
As reações de apoio são mostradas na Figura 7.17b. 
Diagrama de esfor~o cortante 
8 
Como mostrado na Figura 7.17c, o esforço cortante em x = O é 240 kN. Seguindo a 
inclinação definida pela carga, o diagrama de esforço cortante é construído, onde, 
em 8, seu valor é - 480 kN . Como o esforço cortante muda de sinal, o ponto onde 
V= O deve ser localizado. Para fazer isso, usaremos o método das seções. O diagrama 
de corpo livre do segmento da esquerda do eixo, seccionado em uma posição x 
qualquer dentro da região O:::; x < 9 m, é mostrado na Figura 7.l7d. Observe que a 
intensidade da carga distribuída em x é w = I Ox, que foi encontrada por triângulos 
proporcionais, ou seja, 120112 = wlx. 
Assim, para V = O, 
+I l.F; = O; 240 kN - + ( IOx)x =O 
x = 6,93 m 
Diagrama de momento fletor 
O diagrama de momento fletor começa em zero pois não há momento em A; então 
ele é construído baseado nas inclinações, conforme detenninado pelo diagrama de 
esforço cortante. O momento fletor máximo ocorre em x = 6,93 m, onde o esforço 
é igual a zero, pois dM!dx = V = O (Figura 7.17e). 
\. + l.M = O; Mrru., + t [{10)(6, 93 )] 6,93 ( t(6, 93))- 240(6, 93 ) = O 
Mmh = 1109 kN · m 
Finalmente, observe como a integração, primeira da carga w que é linear, produz um 
diagrama de esforço cortante que é parabólico, e depois um diagrama de momento 
fletor que é cúbico. 
Y=2 kN 
A !::====t.J M = 8 k · m 
1--- 4 m I 
2kl 
(e) 
Figura 7.16 
120 kN'm 
linear 
....<a1 
A 8 
12m 
40kN ' -~ " • - 8 • 4 ' SOJ.N (b) 
.. - =endo ~11\'8 
mchnaçllo ~ =ndo ~11\3 
l ' (kN) 
2-101-r~:::· 
O ~t--:::=:..t""õ:"""o---+-·• (m l 
480 
(c) 
po~ili'a V • crescendo ncgn1iva 
decre>(:endo inclinação • cres.:eodo ncgalivn 
M (kN· m) 
6.93 12 
(d) 
IOx 
1---x----l 
A,= 2-10 kN 
(e) 
Figura 7.17 
I 272 I Estática 
Problemas fundamentais 
7.13. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
8 
6kN 
L I m-LI m--1 m--t 
Problema 7.13 
7.14. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
6kN 
8kN/m 
A 
1,5 m . I 1,5 m----1 
Problema 7.14 
7.15. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
60 kN 
30 kN 
8 
Problema 7.1 S 
• Problemas 
•7.65. O eixo está apoiado em um mancai axial liso em A e 
um mancai radial liso em B. Determine os diagramas de 
esforço cortante e de momento fletor para o eixo. 
3 kN 
2kN 
1,5 kN 
l- I m-t·- I m- il-1 m-l-1 m-1 
Problema 7.65 
7.16. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
6 kN/m 6 kN/m 
I 'Õ' 
ií 
A 8 
- 1,5 m . I . 3m . I . 1,5 m-
Problema 7.16 
7.1'1. Dctenninc os diagramas de esforço cortante c de 
momento fletor para a viga. 
6 kN/m 6 kN/m 
A 
8 
~3m--+-·'-3 m-----l 
Problema 7.17 
7.18. Detennine os diagramas de esforço co1tante e de 
momento fletor para a viga. 
9 kN/m 
A 
8 
1---- 3m ---·+1--- 3 m ---l 
Problema 7.18 
7.66. Detennine os diagramas de esforço co1tante e de mo-
mento fletor para a viga com dupla extremidade em balanço. 
lO kN 
5 kN SkN 
Problema 7.66 
7.67. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga com extremidade em balanço. 
18 kN 
6kN 
Problema 7.67 
*7.68. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga simplesmente apoiada. 
4kN 
M = 2kN·m 
• B 
f-2m+2m~-2m-J 
Problema 7.68 
•7.69. Determine os diagramas de esforço cortante 
momento tletor para a viga simplesmente apoiada. 
IOkN IOk 
15 kN · m 
A 
~2 m-+---2 m~-2 m---1 
Problema 7.69 
e de 
7.70. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. O apoio em A não oferece 
resistência à carga vertical. 
p p 
I 
A B 
j\ 
t .L_ 3 t~ 
Problema 7.70 
7.71. Determine os diagramas de esforço cortante e de momento 
fletor para o eixo de um tomo se ele estiver sujeito às cargas 
mostradas. O mancai em A é um mancaJ radial, e em B é wn 
mancai axial. 
60 80 
A 
50 N 
B 
50 
40 N 50 N 
-200 mm-t----1--1 
100 mm mm 
Capítulo 7 Forças internas 273 I 
•1.12. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga. 
lO kN 
3 kN/m 
1-------6 m-------1 
Problema 7.72 
•7.73. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fl etor para a viga. O apoio em A é um mancai axial 
e em B é um mancai radial. 
4kN 
2 kN/ m 
A B 
-• 
1----- 0,8 m ___ ___,11-:-:,....--l·l 
0,2 111 
Problema 7.73 
7.74. Determine os diagramas de 
momento fletor para a viga. 
esforço cortante e de 
8 k 8 kN 
15 kN/ m 
20 kN · m -A f'\ 
Ji 1 D lm~ -lm 0.75m -lm 
0,25 m 
Problema 7.74 
7.75. O eixo está apoiado por um mancai axial liso em A e 
um mancal radial liso em B. Determine os diagramas de 
esforço cortante e de momento t1etor para o eixo. 
500N 
300 N/m 
A 
1----1,5 m ---+---1.5 m --I 
Problema 7.75 
*1.16. Determine os diagramas de esforço cortante e de mo-
mento fletor para a viga. 
lO kN 
2 kN/m 
A F\ 
.J.. 8 
5m 3m 2m~ 
Problema 7.71 Problema 7.76 
I 274 I Estático 
•1.11. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento flctor para o eixo. O apoio em A é um mancai 
radial c em 8 é um mancai axial. 
1000 2000 Nim 
A 8 500 N · 
1-0.3 m I 1,2 m I 0.3 m 
Problema 7.77 
1.18. A viga consiste em dois segmentos conectados por um 
pino em 8. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
• • •• 
• 
•• 
• 
• 
• • 
• • 
. 
• A 
• 
• 
• 2m • 
35 kN • 
3 kN/m 
1,2 k · m 
] 8 t 
LlmLI.Sm~ 
c 
Problema 7.78 
1.19. Detennine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga em balanço. 
1.5 kN 
A 
1-------2 m------1 
Problema 7.79 
•7.80. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga simplesmente apoiada. 
lO kN 
8 
Problema 7.80 
•7.81. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
lO kN 
lO kN m 
A$ ~ ' t .R 
I 
•• 
3 m 3 m 
Problema 7.81 
1.82. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
t A!; 
8 
I L L 
Problema 7.82 
7.83. Determine os diagramas de esforço cortante c de 
momento fletor para a viga. 
8 kN/m 
1---3 m----1 
l---3 m---i 
8 kN/m 
Problema 7.83 
•7.84. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
20 kl 
40kN m 
A F\ s:rr .__r_ 
3m~ 1 8m 
) 
I 50 kN · m 
Problema 7.84 
•7.85. O eixo faU1ará quando o rnomenro tletor máximo for 
Mnm = 50 kN · m ou o esforço cortante máximo for V mõx = 40 kN. 
Detem'line a maior intensidade w da carga distribuída que a viga 
suportará. 
1---2m A I 2 m------1 
Problema 7.85 
1.86. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor paraa viga composta. 
5 kN 
A 
~3 m-+--3 m - -l-1 ,5 m 1 ,5 m~ 
Problema 7.86 
Capítulo 7 Forças internas 275 I 
7.87. Determine os diagramas de esforço cortante e de momento 
netor para o eixo. Os apoios em A c 8 são mancais radiais. 
2l..N/m 
•7.88. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento flctor para a viga. 
100 kN/m 
_,/' / ' r---f'f-
AI bs 
25 k 
( 
/ 
~2 -~ 
L .. 7o\ I 
I· 4 8 
5 k1 · m 
) 
,•F 
450mm-l 
A 
1,8mj 
~ f:;;:;> 
JOOmm 
600mm 
1.8 m 
Problema 7.87 
Cabos 
Cabos flexíveis c correntes combinam resistência com leveza e frequentemente são 
usados em estruturas para suportar c transmitir cargas de um membro para outro. 
Quando usados para suportar pontes suspensas e carretilhas, os. cabos fonnam o principal 
elemento de transporte de carga da estrutura. a análise de força desses sistemas, o 
peso do próprio cabo pode ser desprezado, pois normalmente é pequeno em comparação 
com a carga que ele carrega. Por outro lado, quando os cabos são usados como linhas 
de transmis ão e estai de antenas de rádio e guindastes, o peso do cabo pode se tomar 
importante, e deve ser incluído na análise estrutural. 
Três casos serão considerados na análise a seguir. Em cada caso, faremos a hipótese 
de que o cabo seja pelfeitamente flexível e inextensível. Devido à sua flexibilidade, o 
cabo não oferece resistência à curvatura e, portanto, a força de tração atuando no cabo 
é sempre tangente ao cabo em pontos ao longo de seu comprimento. Sendo inextensível, 
o cabo tem um comprimento constante tanto antes quanto depois que a carga é aplicada. 
Como resultado, quando a carga é aplicada, a geometria do cabo permanece inalterada, 
c o cabo ou um segmento dele pode ser tratado como um corpo rígido. 
Cabo sujeito a cargas concentradas 
Quando um cabo de pc o desprezível uporta várias catgas concentrada , o cabo 
assume a forma de vários segmentos de linha reta, cada um sujeito a uma força de 
tração constante. Considere, por exemplo, o cabo mostrado na Figura 7.18, onde as 
distâncias h, L1, L2 c L3 c as cargas P1 e P2 são conhecidas. O problema aqui é 
determinar as nove incógnitas consistindo na tração em cada um dos três SCI:,'lllentos, 
as quatro componentes das reações em A e 8, e as duas flechas Yc e Yn nos pontos 
C e D. Para a solução, podemos escrever duas equações de equilibrio de força em 
cada um dos pontos A, 8 , C e D. Isso resulta em um total de oito equações. • Para 
completar a solução, precisamos saber algo sobre a geometria do cabo a fim de obter 
a nona equação necessária. Por exemplo, se o comprimento total do cabo L for 
especificado, então o teorema de Pitágoras pode ser usado para relacionar cada um 
dos três comprimentos segmentais, escritos em termos de h , Yc. y 01 L ., L2 e L1, com 
o comprimento total L. Infelizmente, esse tipo de problema não pode er re olvido 
facilmente a mão. Outra possibilidade, porém, é especificar uma das flechas, seja J'c 
ou y01 ao invés do comprimento do cabo. Fazendo isso, as equações de equilíbrio 
são então uficientc para obter as forças incógnitas e a flecha remanescente. Quando 
a flecha em cada ponto de carga é obtida, o comprimento do cabo pode então ser 
determinado pela trigonomerria. O exemplo a seguir ilustra um procedimento para 
realizar a análise de equilibrio para um problema desse tipo. 
• Conforme mostraremos no exemplo a seguir, as oito equações de equilíbrio também podem ser 
escritas pam o cabo inteiro. ou qualquer pane dele. Ma não mais do que oi1o equações estilo 
disponlvcis. 
J m 
Problema 7.88 
I 
YD 
P, 
1--L.J_L2-tL1 
Figura 7.18 
' B_i 
I 276 I Estática 
A_,. Ey 
E 
A,-i--------1--E., 
3 kN 
4 kN 
15 kN 
3 m 5 m-f-8 m-1--1 111 
{b) 
12 kN 
A,~~-------.r 
12 l1l 
t--t-5 m-
3m 
{<) 
12 kN 
6,33 kN ---<>--.-
A 
{d) 
Figura 7.19 
Exemplo 7.11 
Detetmine a tração em cada segmento do cabo mostrado na Figura 7 .19a. 
A E 
I 
YD 
YB 
12m 
3kN 
4kN 
15 kN 
1-----1-- 5 m + 8 m -+---1 
3m 2m 
{a) 
-SOLUCAO • 
Por inspeção, existem quatro reações externas desconhecidas (A., Ay, E., e E_,.) e quatro 
trações de cabo desconhecidas, uma em cada segmento de cabo. Essas oito incógnitas, 
juntamente com as duas flechas incógnitas y8 e y0 , podem ser determinadas a partir 
de dez equações de equilíbrio disponíveis. Um método é aplicar as equações de 
equilíbrio de força CfF.. = O, 'f-Fy = O) em cada um dos cinco pontos de A até E. 
Aqui, porém, usaremos uma técnica mais direta. 
Considere o diagrama de corpo livre para o cabo inteiro (Figura 7.19b). Assim, 
.±,. 'f-F,. = O; -A x + Ex = O 
\..+'f-M~; =O; - Ay(18 m) + 4 kN (15m) + 15 kN (10m) + 3 kN (2m)= O 
+I L-F;.= O; 
A_, =l2kN 
12 kN - 4 kN - 15 kN - 3 kN + E>' = O 
Ey ;;;; I O kN 
Como a flecha ye =12m é conhecida, agora consideraremos a seção mais à esquerda, 
que corta o cabo BC (Figura 7.19c). 
\..+ L-Me = O; A .• (12 m) - 12 kN (8 m) + 4 kN (5 m) = O 
.±.. 'f-F,.= O; 
+I L-F =O· .v ' 
Assim, 
A_..= E.. = 6,33 kN 
T0e cos 80e- 6,33 kN = O 
12 kN - 4 kN T8c sen 88c =O 
(}BC = 51,6° 
T0e= 10,2 kN 
Prosseguindo agora para analisar o equilíbrio dos pontos A, C e E em sequência, 
temos: 
Ponto A (Figura 7 .19d). 
.±.. L-F.. = o; ~a cos e .. n - 6,33 kN = o 
+I L-F,.= O; - TAB sen e .. B + 12 kN =o 
• 
(}AB = 62,2° 
~8 = 13,6 kN 
Capítulo 7 Forças internas I 277 I 
Ponto ((Figura 7.19e). 
± 'L F_. :;; O; Tcn cos Ocn I 0,2 cos SI ,6° kN = O 
+ l 'LF., :;; 0: Tw sen Oco - I 0,2 seo SI ,6° kN - 15 kN = O 
Oco= 47,9° 
Tw = 9,44 kN 
Ponto E (Figura 7.19/). 
± 'LF.:;; O; 
+ t 'LF, :;; O; 
6,33 kN - Tco cos Oro = O 
lO kN - Tco sen Oco= O 
Om = 57,7° 
Tw = I I ,8 kN 
NOTA: Por comparação, a tração máxima no cabo está no segmento AB, pois esse segmento 
tem a maior inclinação (O) c é preciso que, para qualquer segmento de cabo, a componente 
horizontal Tcos O= A,= E, (uma constante). Além disso, como os ângulos de inclinação 
que os segmentos de cabo fazem com a horizontal agora foram dctcnninados, é possível 
detenninar as flechas y8 e Yn (Figura 7.19a), usando a trigonometria. 
Cabo sujeito a uma carga distribuída 
Agora, vamos considerar o cabo sem peso mostrado na Figura 7.20a, que está 
sujeito a uma carga distribuída w = w(x) que é medida na direção x. O diagrama 
de corpo livre de um segmento pequeno do cabo tendo um comprimento t::.s é 
mostrado na Figura 7.20b. Como a força de tração varia em ambos, intensidade e 
direção ao longo do comprimento do cabo, indicaremos essa variação no diagrama 
de corpo livre por t::.T. Finalmente, a carga distribuída é representada por sua força 
resultante w(x)(ó..:r), que atua a uma distância fracionária k(ó..l') do ponto O, onde 
O< k < I . Aplicando as equações de equilíbrio, temos: 
± 'LF.. :;; O; 
+ t 'LF,. :;; O; 
\..+'LM0 = O; 
y 
T cos () + ( T + t::. 7) cos( O + t::.O) = O 
- T scn O- w(x}(M} + (T + !::.1) seo(B + t::.O) = O 
w(x)(x)k(t::.x) - T cos (} t::.y + T sen Ot::.x = O 
T \ o 
, 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
; "' 
..,~"'.,. 
.,."' 
k(t..x)-j 
----
1----x~~-t.x -x 1-----l:J.x ----l 
(a) (b) 
Figura 7.20 
15 kN 
(e) 
10 kN 
-.--o---6.33 kN 
Ow E 
(f) 
Figura 7.19 
t.y 
I 278 I Estática 
Dividindo cada uma dessas equações por t:.x e fazendo o limite quando t:.x - O, 
e, portanto, t:.y- O, t:.e- O e t:.T- O, obtemos: 
d(TcosO) = 0 
dx 
d(T sen 8) _ w(x) = 0 
dx 
dy = tgfJ 
dx 
Integrando a Equação 7.7, temos: 
T cos 8 = constante = F11 
(7.7) 
(7.8) 
(7.9) 
(7.1 O) 
onde F11 representa a componente horizontal da força de tração em qualquer ponto 
ao longo do cabo. 
Integrando a Equação 7.8, temos: 
T sen e f w( X) dx 
(7 .li) 
Dividindo a Equação 7.11 pela Equação 7.10 elimina T. Então, usando a 
Equação 7.9, podemos obter a inclinação do cabo. 
tgO = dy = - 1 jw(x)dx 
dx F11 
Realizando uma segunda integração, temos: 
y= AJ(jw(x)dr)dx 
(7.12) 
Esta equação é usada para determinar a curva para o cabo,y = f(x). A componente 
da força horizontal F11 e as duas constantes adicionais, digamos, C, e C2, resultantesda integração, são determinadas aplicando as condições de contorno para a curva. 
Exemplo 7.12 
O cabo de uma ponte pênsil suporta metade da superfície da estrada uniforme entre 
as duas torres em A e B (Fi,gura 7.2la). Se essa carga distribuída for w0, determine 
a força máxima desenvolvida no cabo e o comprimento requirido do cabo. O 
comprimento do vão L e flecha h são conhecidos. 
Figura 7.21 (a) 
-SOLUÇAO 
Podemos determinar as incógnitas no problema primeiro encontrando a equação da curva 
que define a forma do cabo, usando a Equação 7 .12. Por motivos de simetria, a origem 
das coordenadas foi colocada no centro do cabo. Observando que w(x) = w0, temos: 
Capítulo 7 Forças internas I 279 I 
y = iJ(J "odr)dx 
Realizando as duas integrais, temos: 
I ( llo X
2 
) Y =F. 2 + c;x + Ci 
/f (I) 
As con tantc de integração podem ser determinadas usando as condições de conto mo 
y = O em x = O c dyldx = O em x = O. Substituindo na Equação I c sua derivada, 
temo C1 = C2 = 0. A equação da curva toma-se, então, 
(2) 
Esta é a equação de uma parábola. A constante F11 pode ser obtida usando a condição 
de contorno y = h em x = L/2. Assim, 
F,, = 
(3} 
Portanto, a Equação 2 torna-se: 
(4) 
Como F11 é conhecido, a tração no cabo pode agora ser determinada usando a 
Equação 7 .I O, escrita como T = F,jcos e. Para O 5 e < 1C/2, a tração máxima 
ocorrerá quando{) é máximo, ou eja, no ponto 8 (Figura 7.2Ja). Pela Equação 2, 
a inclinação neste ponto é: 
d}l l lléJ l dx = tgOm:i~ = F. X 
- L:! H =L:! 
ou 
e -• (110L) mb = tg 2FII 
(5) 
Portanto, 
T - F,, 
nlll• - COS ( (} ll'lÁ.<) 
(6) 
Usando as relações do triângulo mostrado na Figura 7.2lb, que é baseado na Equação 
5, a Equação 6 pode ser escrita como: 
Substituindo a Equação 3 na equação acima, temos: 
lloL j ( L )2 f.w. = 2 I + 4h 
Para um segmento diferencial da extensão do cabo ds, podemos escrever 
ds = J<dxr+<dyr = ;,+(~r dx 
Logo, a extensão total do cabo pode ser determinada pe la integração. Usando a 
Equação 4, temo : 
f 1
U2 
9:.= ds=2 
0 (7) 
A integração gera: 
2FII 
(b) 
Figura 7.21 
I 280 I Estática 
y 
w = w(s 
_s 
(a) 
Cabos suieitos ao seu próprio peso 
Quando o peso do cabo se torna importante na análise da força, a função de carga 
ao longo do cabo será uma função do comprimento do arcos, ao invés do comprimento 
projetado x. Para analisar esse problema, consideraremos uma função de carga 
generalizada w = w(s) que atua ao longo do cabo, como mostra a Figura 7.22a. O 
diagrama de corpo livre para l.lll11 segmento pequeno 6s do cabo é mostrado na Figura 7.22b. 
Aplicando as equações de equilíbrio ao sistema de forças no diagrama, obtêm-se 
relacionamentos idênticos aos que são dados pelas equações de 7.7 a 7.9, mas 
com ds substitui ndo dx. Portanto, podemos mostrar que: 
T cos () = F11 
T sen () = f w( s) ds 
(7.13) 
~ = --'- fw(s) ds 
dx F;1 (7 .14) 
Para realizar uma integração direta da Equação 7. 14, é necessário substituir 
dyldx por ds/dx . Como, 
então: 
dy ( -ddxs )2- l dx = 
Portanto, 
Separando as variáveis e integrando, obtemos: 
r -f ds 
I+ ),~ f w(s)ds-- - [ ( )']1/2 
(7 .15) 
As duas constantes de integração, digamos, C1 e C2, são encontradas usando as 
condições de contorno para a curva. 
w(s)(t:.x) 
k(M -i 
-------- T + t:.T ---/ / 
I 
I 
I 
I 
I 
I t:.y I 
I 
r \ 
X 
tu 
(b) 
Figura 7.22 
Capítulo 7 Forças internos I 281 
Exemplo 7.13 
Determine a curva de dcflcxão, o comprimento e a tração máxima no cabo uniforme 
mostrado na Figura 7.23. O cabo tem um peso por unidade de comprimento de 
w0 = 5 N/m. 
-SOLUÇAO 
Por motivos de simetria, a origem das coordenadas é local izada no centro do cabo. 
A curva de deflcxão é expre a como y = j{x). Podemos determiná-la primeiro 
aplicando a Equação 7.15, onde w(s) = w0• 
x-f ds 
- [I + (IIF~)(f "o ds rr 
Integrando o termo sob o sinal de integral no denominador, temos: 
f ds x = [I + (IIF1~)(w0s c;Jr'2 
Substituindo u = (I /F11) (woS + C1), de modo que du = (wofF11) ds, uma segunda 
integração gera: 
x = F11 (senh- 1 u + C,) 
11' -o 
ou 
x= ~; {scnh- 1 [f)''os+c;)]+c;} 
Para avaliar as constantes, observe que, pela Equação 7. 14, 
~ = ~ f "o ds ou : = J. ( 110s + c;) 
/( /( 
Como dyldx = O em s = O, então C1 = O. Assim, 
dy 11oS 
dr = F,, 
(I) 
(2) 
A constante C2 pode ser avaliada usando-se a condição s = O em x = O na Equação I, 
onde C2 = O. Para obter a curva de deflexão, resolva para s na Equação I, que gera: 
F. (~"' ) s = _!!_ senh .....Q. x 
"'o FH (3) 
Agora, substitua na Equação 2, em que: 
: = senh ( ; : x) 
Logo. 
Se a condição de contorno y = O em x = O for aplicada, a constante C3 = F1/w0 e, 
portanto, a curva de deflexào se toma: 
y = liL(cosh(~x) - l] 
llo FH (4) 
Essa equação de tine a fonna de uma curva catenária. A constante F11 é obtida usando 
a condição de contorno que y = h em x = L/2, onde: 
F. [ (wL) ] h = _jJ_ cosh 0 - I 
H\) 2F11 (5) 
1---L z 20 m- --1 ,, 
" 
Figura 7.23 
I 282 I Estático 
Como w0 = 5 N/m, h = 6 m e L = 20 m, as equações 4 c 5 se tomam: 
y = F,, [cosh( 5 N/m x)- IJ 5 N/m F,, 
(6) 
(7) 
A Equação 7 pode ser resolvida para F11 usando um procedimento de tentativa e erro. 
O resultado é: 
F11 = 45,9 
e, portanto, a curva de deflexào, Equação 6, torna-se 
y = 9,19[cosh(O,I09x) - I) m 
Usando a Equação 3, com x = I O m, o meio comprimento do cabo é: 
;e 45,9 N 5 N/m ( )J T = 5 N/m scnh 45,9 N I O m = 12, I m 
Logo, 
!i=24,2m 
Como T = F1/ cos e, a tração máxima ocorre quando O é máximo, ou seja, em 
::E/2 = 12,1 m. Usando a Equação 2, temos: 
!!l._ l = (} = 5 N/m(12, I m) = I 32 dx tg m;Lt 45 9 , 
J=l2.1m ' 
Orná., = 52,8° 
E, portanto, 
r - F,, = 45• 9 t!_ = 75 9 N 
ma.\ - COS (}mÃX COS 52,8° ' 
Despreze o peso do cabo 110s problemas a segui1; a menos 
que seja i11dicado o co11trário. 
7.91. Os segmentos de cabo suportam a carga mostrada. 
Determine a distância horizontal x8 a partir da força em 8 
até o ponto A. Faça P = 200 N. •7.89. Determine a tração em cada segmento do cabo e o 
comprimento dotal do cabo. Faça P = 400 N. 
7.90. Se cada segmento do cabo puder suportar uma tração 
máxima de 375 N, determine a maior carga P que pode ser 
aplicada. 
8 
A 
0,6 m 
1.5 m 
c 
250 
I> 
0.9 m_J__I ,2 m- -1-0,9 m 
Problemas 7.89/ 90 
*7.92. Os segmentos de cabo suportam a carga mostrada. 
Determine a intensidade da força horizontal P de modo que 
x8 = 1,8 m. 
1---- r1 ---1 
I 
1.5 m 
2,4 rn 
Problemas 7.91 /92 
•7.93. Detem1ine a força P necessária para manter o cabo 
na posição mostrada, ou seja, de modo que o segmento BC 
permaneça horizontal. Além disso, calcule a fl echa y8 e a 
tração máxima no cabo. 
4kN p 
1--4m - +---6 m --+1-3 m 
Problema 7.93 
6kN 
- 2 m 
7.94. O cabo A BCD suporta a lâmpada E de I O kg e a 
lâmpada F de 15 kg. Determine a tração máxima no cabo 
e a flecha y8 do ponto B. 
2 m 
I m-+---- 3 m----1--1 
0,5 m 
Problema 7.94 
7.95. O cabo suporta as três cargas mostradas. Determine 
as flechas y8 e y0 dos pontos B e D. Considere P1 = 2000 N, 
P2 = 1250 N. 
•7.96. O cabo suporta as três cargas mostradas. Determine a 
intensidade de P1 se P2 = 1500 N e y8 = 2,4 m. Determine 
também a flecha y0 . 
D 
4,5m 3,6m 
Problemas 7.95/ 96 
•1.91. O cabo suporta a carga mostrada. Determine a 
distância horizontal x8 que a força no ponto B atua a partir 
de A. Faça P = 200 N. 
Capítulo 7 Forças internos I 283 
7.98. O cabo suporta a carga mostrada. Determine a 
intensidade da força horizontal P de modo que x8 = I ,8 m. 
1 xs--i 
I 
1,5 m 
2.4 m 
'3 
I 150 N 10,9 m 
Problemas 7.97/ 98 
7.99. Determine a carga distribuída unifonne máxima w0 N/m 
que o cabo pode suportar se ele é capaz de sustentar uma 
tração máxima de 60 kN. 
t-------60 m------1 
Problema 7.99 
•1.100. O cabo suporta a carga distribuída uniforme de 
w0 = 12 kN/m. Determine a tração no cabo em cada apoio 
A e B. 
•7.101. Detennine a carga distribuída uniforme máxima w0 
que o cabo pode suportar se a tração máxima que o cabo 
pode suportarfor 20 kN. 
[ 
L 
8 
A j 
\ J 
~ ,-;/ i' 
1------ 7,5 m,.-----l 
Problemas 7.100/ 101 
4 
J 
IV o 
7.102. O cabo está sujeito à carga triangular. Se a inclinação 
do cabo no ponto O é zero, determine a equação da curva 
y = f(x) que define a inclinação do cabo 08, e a tração 
máxima desenvolvida no cabo. 
y 
Problema 7.102 
I 284 I Estático 
7.103. Se os cilindros C e D pesam cada um 5 kN, 
determine a flecha máxima h e o comprimento do cabo 
entre as polias lisas em A e 8. A viga tem um peso por 
unidade de comprimento de 2 kN/m. 
l------3,6m------l 
c D 
Problema 7.1 03 
*7.104. O tabuleiro da ponte tem um peso por unidade de 
comprimento de 80 kN/m. Ele está apoiado em cada lado por 
um cabo. Determine a tração em cada cabo nos pilares A e 8. 
•7.105. Se cada um dos dois cabos laterais que suportam 
o tabuleíro da ponte podem sustentar uma tração máxima 
de 50 MN, determine a carga distribuída uniforme permitida 
w0 causada pelo peso do tabuleíro da ponte. 
A I· 1000 ll1 -----i 
-.,:-
150m 
I 
• 
Problemas 7.104/ 105 
B 
::::r 75 ll1 
••••• 
7.106. Se a inclinação do cabo no apoio A é I 0°, determine 
a curva de deflexão y = f{x) do cabo e a tração máxima 
desenvolvida no cabo. 
y 
1------- 12m -----1·1 
8 
I 
~AP"!~10"~F=l::tllllllL~3Í--x 
10 k.N/m 
Problema 7.1 06 
7.107. Se h = 5 m, determine a tração máxima desenvolvida 
na corrente e seu comprimento. A corrente tem uma massa 
por unidade de comprimento de 8 kg/m. 
50 m --------1 
A 8 
h = 5m 
Problema 7.107 
'7.108. Um cabo tendo um peso por unidade de compiÍmento 
de 0,1 kN/m é suspenso entre os apoios A e 8. Determine a 
equação da curva catenária do cabo pelo seu comprimento do 
cab(J. 
30" Jo• 
Problema 7.1 08 
•7.109. Se o cabo de 45 rn de comprimento tem urna massa por 
unidade de comprimento de 5 kg/m, detennine a equação da 
curva catenária do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo. 
40 111 
A B 
Problema 7.1 09 
'1.110. Mostre que a curva de deflexão do cabo discutido no 
Exemplo 7.13 se reduz à Equação 4 no Exemplo 7.12 quando 
a função de cosseno hiperbólico é expandida em termos de 
uma série e apenas os dois primeiros termos são mantidos. 
(A resposta indica que a catenáría pode ser substituída por 
uma parábola na análise de problemas em que a tlecba é 
pequena. Nesse caso, o peso do cabo é considerado unifor-
memente distribuído na horizontal.) 
7.111. O cabo tem uma massa por unidade de comprimento de 
I O kg/m. Detennine o comprimento total L mais curto do cabo 
que pode ser suspenso em equilíbrio. 
Problema 7.111 
•1.112. O cabo de transmissão de energia tem um peso por 
unidade de comprimento de 0,25 kN/m. Se o ponto mais baixo 
do cabo precisa estar a pelo menos 30m acima do solo, detennine 
a tração máxima desenvolvida no cabo e o comprimento do 
cabo entre A e B. 
f-----100m-----i 
8 
60m ~ 
40m 
Problema 7.112 
- , 
REVISAO DO CAPITULO 
Cargas internas 
Capítulo 7 Forças internas I 285 I 
•7.113. Se a força de reboque horizontal for T = 20 kN c 
a corrente tem uma massa por unidade de comprimento 
de 15 kg/m, determine a flecha máxima h. Despreze o 
efeito de flutuação da água sobre a corrente. Os barcos 
estão parados. 
Problema 7.113 
CH-j~"-' 
Força ---v ( M 
cisalhante Momento fletor 
ou cortante 
A_. • 8 
A c 
A> 
B_. 
... 
A, 
jc .. 
A c 
Se um sistema de forças coplanares atua 
sobre um membro, então, em geral, uma 
resultante interna da força normal N, da 
força cortante V e do momento jletor M 
atuarão em qualquer seção transversal ao 
longo do membro. As direções positivas 
dessas cargas estão mostradas na figura. 
A resultante intema da força norn1al, da 
força cortante e do momento fletor são 
determinadas usando-se o método das 
seções. Para encontrá-las, o membro é 
seccionado no ponto C onde as cargas 
internas devem ser detenninadas. Um 
diagrama de corpo li vrc de uma das partes 
seccionadas é então desenhado e as cargas 
internas são mostradas em suas direções 
positivas. 'LF = O X 
c 
A resultante da força normal é detenninada 
somando as forças norn1ais na seção 
transversal. A resultante da força cortante 
é encontrada somando-se as forças 
tangentes à seção transversal, e a 
resultante do momento fletor é encontrada 
somando-se os momentos em relação ao 
centro geométrico ou centroide da área 
da seção transversal. 
Se o membro estiver sujeito a uma carga 
tridimensional, então, em geral, um mo-
mento de torção atuará sobre a seção 
transversal. Ele pode ser determinado 
somando-se os momentos em relação a 
um eixo perpendicular à seção transversal 
e que passa por seu centroide. 
'LF = O y 
'LMc =O 
Ar 
~ Mt 
'c C 
-• 
I Componentes do 
momento fletor t M: ___ r--.... 
~' 
I 
V: 
A----i-. 
V c 
8_.. 
(
Força nom1nl 
/ Momento torsionnl 
NJ. ('\ :.t, 
;-.H-• -~· .. --y j 
/ 
I 286 I Estático 
Diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor 
Para construir os diagramas de esforço 
cortante e de momento tletor para um 
membro, é necessário seccionar o membro 
em um ponto qualquer, localizado a uma 
distância x da extremidade esquerda. 
Se a carga externa consiste em variações na 
carga distribuída, ou uma série de forças e 
momentos de binário concentrados atuando 
sobreomembro,entãodiferentesexpressões 
para V e M devem ser determinadas dentro 
dasregiõesentrcquaisqucrdescontinuidadcs 
de carga. 
O esforço cortante e momento incógnitos 
são indicados na seção transversal na dire-
ção positiva, de acordo com a convenção 
de sinal estabelecida, e depois o esforço 
cortante e momento fletor internos são de-
tenninados como funções de x. 
Cada uma das funções do esforço cortante 
e do momento tletor é então expressa 
graficamente para criar os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor. 
Relações entre esforço cortante e 
momento fletor 
É possível construir os diagramas de esforço 
cotiante e de momento fletor rapidamente 
usando relações diferenciais que existem 
entre a carga distribuída w e VeM. 
A inclinação do diagrama de esforço 
cortante é igual à carga distribuída em 
qualquer ponto. A inclinação é positiva se 
a carga distribuída atuar para cima, e 
. 
vtcc-vcrsa. 
A inclinação do diagrama do momento 
fletor é igual ao esforço cottante em 
qualquer ponto. A inclinação é positiva se o 
esforço cortante for positivo, ou vice-versa. 
A variação do esforço cortante entre dois 
pontos quaisquer é igual à área sob a 
carga distribuída entre os pontos. 
A variação do momento fletor é igual à 
área sob o diagrama de esforço cortante 
entre os pontos. 
t=a~ 
L 
b p 
o ~ 
dV = w 
&c 
dM _v 
dx -
-Xt-1 
~V= J wdx 
~M= Jvdx 
111 
X2~ 
X) 
Esforço cortante positivo 
M M 
)( 
Momento flctor positivo 
M 1\1 
( ) 
Convc~çà<? de sinal 
Capítulo 7 Forças internos I 287 I 
Cabos 
Quando um cabo flexível e inextensível 
está sujeito a uma série de forças concen-
tradas, então a análise do cabo pode ser 
realizada usando-se as equações de 
equilíbrio aplicadas a diagramas de corpo 
livre de segmentos ou pontos de aplicação 
da carga. 
y=i;f(J w(x)dx)d>: 
Carga distribuída 
Se cargas distribuídas externas ou o peso 
do cabo tiverem que ser considerados, 
então a fonna do cabo deve ser detenni-
nada analisando primeiro as forças em um 
segmento diferencial do cabo e depois 
integrando esse resultado. As duas cons-
tantes, digamos, C1 e C2, resultantes da 
integração, são determinadas aplicando-
-se as condições de contorno para o cabo. 
f ds y = [ ( )2]1/2 I +)~ f w(s)ds 
Pesa do cabo 
7.114. Um cabo de 50 kg está conectado entre dois pontos 
distantes 15 m entre si e com elevações iguais. Se a tração 
máxima desenvolvida no cabo é 375 N, determine o 
comprimento do cabo e a flecha. 
7.115. Determine os diagramas de esforço cortante e de mo-
mento fletor para a viga CD. 
1--- 0,9 m I · 0,6 m 
50 k 
·a B 6 k · m 
•• 
~0,6 m -1- -0,9 111--1--0,6 m ~ 
Problema 7.11 S 
*7.116. Detennine a força normal, a força cortante e o 
momento fletor interno nos pontos B e C da viga. 
7 5 kN 
' 
2kN/m 6k N 
I kN/m 
•B 
•C 
~ 
A 
) 
40 k · m 
7 
5m 5m 3m-
lm 
Problema 7.116 
•7.117. Determine a força normal, a força cortante e o mo-
mento tletor interno nos pontos D e E da estrutura. 
60° 
400 Nfm :U:f:~­A • 
0,25111 
1 ·1 o.75 m--J 
D 
B 
Problema 7.117 
lm 
7.118. Determine a distância a entre os apoios em tennos do 
comprimento L da viga de modo que o momento na viga 
simétrica seja zero no centro da viga. 
11' 
_.......,..- ................ 
____.-f, rf......... 
I Õ\ I 
~a~ 
L 
Problema 7.118 
7.119. Urna corrente é suspensa entre pontos na mesma 
altura e espaçados a uma distância de 20 m. Se tiver um peso 
por unidade de comprimento de I O N/m e a fl echa for I m, 
detennine a tração máxima na corrente. 
I 288 I Estático 
•7.120. Determine os diagramas de esforço cortante e de 
momento fletor para a viga. 
2 k '/m 
50 kJ . m 
A .... ~ c 
I __.. 8 
5 m 5 m 
Problema 7.120 
•7.121. Determine o esforço cortante c o momento flctor 
interno no membro ABC como uma função de x, onde a 
origem para x está em A. 
A 
1----3 m 
8 
1.5 m 
L "'---..Jf' 
---+- 1,5 m -1- 1.5 m 
6k 
Problema 7.121 
c 
7.122. A ponte rolante consiste em uma viga de 5 m com 
uma massa uniforme por unidade de comprimento de 20 
kglm. O gancho suspenso e sua carga suportada exercem 
uma força de 8 kN na viga quando x = 2 m. Determine os 
diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga. 
As rodas-guia nas extremidades A e 8 exercem apenas 
reações verticais sobre a viga. Despreze a dimensão do 
carrinho em C. 
5 m 
8kN 
Problema 7.122 
•7.123. Determine a força normal, a força cortante e o 
momento fl ctor interno como uma função de 0° < 8 < 180° 
e O < y 5 0,6 m para o membro carregado conforme 
mostrado. 
--.1-- ....,:C::...__.,.. I 000 
0.6 m 
Problema 7.123 
•7.t24. O iate está ancorado com uma corrente que tem uma 
extensão total de 40 m, uma massa por unidade de 
comprimento de 18 kglm, c a tração na corrente em A é 7 
kN. Determine o comprimento da corrente ld que encosta no 
fundo do mar. Qual é a distância d? Suponha que os efeitos 
de flutuação da água sobre a corrente sejam desprezíveis. 
Dica: Estabeleça a origem do sistema de coordenadas em 8, 
conforme mostramos. a fim de encontrar o comprimento da 
corrente 8A. 
Problema 7.124 
•7.125. Dctcrn1inc a força normal, a força cortante c o 
momento flctor interno nos pontos D c E da estrutura. 
c 150 
D 
I-0,9 mJE j 1----2,4 m ----1-- 1.2 m -1 
Problema 7.125 
7.126. A viga uniforme pesa 2500 N e é mantida na posição 
horizontal por meio do cabo AB, que tem um peso de 
100 N/m. Se a inclinação do cabo em A é 30°, determine o 
comprimento do cabo. 
cl 
1------5m -------1· 
Problema 7.126 
Capítulo 7 Forças internos I 289 I 
7.127. O balão é mantido no lugar usando uma corda de 
120 m que pesa 16 N/m e faz um ângulo de 60° com a 
horizontal. Se a tração na corda no ponto A é 750 N, 
dete1mine o comprimento da corda, I, que está encostada 
no solo, e a altura h. Dica: Estabeleça o sistema de 
coordenadas em B, como mostra a figura. 
Problema 7.127 
Atrito 
Obietivos do capítulo 
• Introduzir o conceito de atrito seco e mostrar como analisar o equilíbrio de corpos rígidos sujeitos a essa força. 
• Apresentar aplicações específicas da análise de força de atrito em calços, parafusos, correias e mancais. 
• Investigar o conceito de resistência ao rolamento. 
Características do atrito seco 
Ah·ito é lLma força que resiste ao movimento de duas superfícies em contato que 
se deslizam uma em relação à outra. Essa força sempre atua tangente à superfície 
nos pontos de contado e é direcionada de modo a se opor ao movimento possíve l ou 
existente entre as superficies. 
Neste capítulo, estudaremos os efeitos do atrito seco, que às vezes é chamado de 
atrito de Coulomb, pois suas características foram bastante estudadas por C. A. 
Coulomb em 1781. O atrito seco ocorre entre as superficies de contato dos corpos 
quando não existe um fluido lubrificante.* 
Teoria do atrito seco 
A teoria do atrito seco pode ser explicada considerando-se os efeitos causados 
por puxar horizontalmente um bloco de peso uniforme W que está em repouso sobre 
uma superficie horizontal rugosa que seja não rígida ou cleformável (Figura 8.la). A 
parte superior do bloco, porém, pode ser considerada rígida. Como vemos no diagrama 
de corpo livre do bloco (Figura 8.1 b ), o piso exerce uma distribuição desuniforme 
da força normal llN. e da força ele atrito ôF. ao longo da superficie de contato. Para 
o equilíbrio, as forças normais devem atuar para cima para equi librar o peso do bloco 
W, c as forças de atrito atuam para a esquerda, para impedir que a força aplicada P 
mova o bloco para a direita. Um exame de perto das superficies em contato entre o 
piso e o bloco revela como essas forças de atrito e normal se desenvolvem (Figura 
8.lc). Pode-se ver que exjstern muitas irregularidades microscópicas entre as duas 
superficies e, como resultado, as forças reativas ôR. são desenvolvidas em cada ponto 
• Outro tipo de atrito, chamado atrito fluido, é estudada na mecânica dos fluidos. 
l 
I 
w 
(a) 
w 
,.-óF. 
-
(b) 
(c) 
Figura 8.1 
p 
p 
ó F, 
ó R, 
de contato.• Conforme mostrado, cada força reativa contribui com ambas uma 
componente de atrito ô Fn c uma componente normal ôN,. 
Equilíbrio 
Independentemente do peso do ancinho ou pó que esteja 
suspenso, o dispositivo foi projetado de modo que o 
pequeno rolete mantenho o cabo em equilíbrio devido às 
forças de atrito que se desenvolvem nos pontos de 
contato A, B, C. 
O efeito das carga normais c de atrito distribuídas é indicado por suas resultames 
N c F no diagrama de corpo livre (Figura 8. 1d). Ob ervc que N atua a uma di tância 
x à direita da linha de ação de W (Figura 8.1d). Essa posição, que coincide com o 
centroide ou centro geométrico da distribuição de força normal na Figura 8.1 b, é 
necessária a fim de equilibrar o 'efeito de tombamento' causado por P. Por exemplo, 
se P for aplicada a uma altura h da superficie (Figura 8. ld), então o equilíbrio do 
momento em relação ao ponto O é satisfeito se Wx = Ph ou x = Ph/W. 
Iminência de movimento 
Em ca os onde as supcrficies de contato são muito 'escorregadias', a força de 
atri to F pode 11cio ser grande o suficiente para equilibrar P, e conscquentcmcntc o 
bloco tenderá a deslizar. Em outras palavras, à medida que P aumenta lentamente, F 
aumenta de forma correspondente até que alcance um certo valor máximo F, chamado 
de força de atrito estática limite (Figura 8. 1 e). Quando esse valor é atingido, o bloco 
está em equilíbrio i11stável, pois qualquer adicional em P fará com que o bloco se 
mova. Experimentalmente, tem sido determinado que essa força de atrito estática 
limite F. é diretamente proporcional à força normal resultante N. Expressando 
matematicamente, 
I F, = Jl.N (8.1) 
onde a con tantc de proporcionalidade, p, (mi 'subscrito' s), é chamada de coeficiente 
de atrito estático. 
As im, quando o bloco está no limiar de deslizamento, a força normal 1 e a força 
de atrito F, se combinam para criar uma resultante R, (Figura 8. 1 e). O ângulo ; , (fi 
'subscrito' s) que R, faz com N é chamado de ângulo de atrito estático. Da figura, 
r/J, = tg- 1 ( "*) = tg-1 ( 11:) = tg-t .u, 
• Além das interações mecânicas, confom1e explicamos aqui, que são 'conhecidas como uma técnica 
clássica, um tratamento detalhado da natureza das forças de atrito também precisa incluir os 
efeitos da temperatura, densidade, limpeza c atração atômica ou molecular entre as superficies 
em contato. Ver J. Krim, Scientific American, out. 1996. 
Capítulo 8 Atrito I 291 
w 
ra/ 2 a 2-j 
~ 
• 
h 
1-- 1-;:+T....L.. F 
1 Klo -, ___ _ I 
..:..: -~ 
X :"< 
p 
Forças resultantes 
nonnais e de atrito 
w 
(d) 
Iminência ---p de movimento 
h 
(e) 
Figura 8.1 
I 292 I Estático 
w 
.---+---. __ ,. Movimento 
F 
p 
(a) 
(b) 
Figura 8.2 
Sem movimento 1 
F, I------.,; 
Figura 8.3 
Movimento 
Os valores